Luận văn Hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng trong một hệ trụ

se eo oN fssn V nh C' hη ηδ ′− + − −  N (2.5) trong đó s và f là thứ tự của các lớp chứa phân tử cho và phân tử nhận. Chỉ số trên N trong Nsδ là số lớp của khối trụ. Các hệ số 1 1, ... fs fs H VC C được xác định từ các điều kiện biên (2.1) và (2.2) và được cho trong [12] dưới dạng nghiệm của các phương trình hồi quy. Trong biểu thức của hàm Green ở công thức (2.5) e o fnη M và e o fnη N là các hàm cơ sở của sóng trụ, chúng có dạng như sau 15 cos(1) (1) s cos c in (1) (1) sin nos si ˆ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ˆˆ( ) ( ) e o f ihz n fn n f n f ihz h H r n e nH r H r n n e r r η η φ η η φ φ  = ×    ∂ = −  ∂   M z r ∇ φ ( 2.6)  (1) (1) sin2 2 (1) (1) sin 2 (1) sin cos cos o sin2 s z cos2 1 ˆ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . f e o ihz n fn f n f c ih n f f n f f h H r n e h n H r ihnn H r n H r n e r rh n η η φ η φ η φ η η φ  = ×  +  ∂ = +  ∂ +   N z r z  ∇ φ (2.7) Trong các công thức (2.6) và (2.7) (1) ( )n fH rη là hàm Hankel loại 1. Trị riêng fη và hằng số truyền fk ở lớp f có dạng 2 2 2 2 2 , , f f f f f h k k η ω µ ε = − = (2.8) trong đó fµ và fε là độ từ thẩm và hằng số điện môi ở lớp thứ f . 2.2. Các hệ số phản xạ Để tính toán số, ta cần biết dạng tường minh của các hệ số phản xạ C trong (2.5). Chúng là nghiệm của các phương trình hồi quy, với các phân cực TE và TM được kí hiệu bởi H và ,V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , 1 1 21 1 , H V H V H V H Vs s f fff fsf f f s δ δ++ +    + = +     C A F C AF (2.9) ở đây các ma trận cho hệ số C là                                           1 1 , 1 , 1 2 , 2 ,, 1 1 1 3 , 3 , 1 1 1 4 , 4 , 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 1 1 1 1 N fs N N fs f s f sH V H V N fs N N fs f s f sH V H VH V fs fs N fs f s f sH V H V fs N fs f s f sH V H V C C' C C' C C' C C' C d d d d d d d d d d d d d d d d                                (2.10) các ma trận hằng 16 1 1 0 0 0 0 0 0 0      =       A , 2 0 0 0 0 0 1 0 0      =       A ; (2.11) và các ma trận F cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (1) (1) (1)(1) (1) 0 0 , 0 0 n j m n j mj n j m j n j m m m m m j n j m j n j mH jm j n j m j n j mj j n j m j j n j m m m m m j j n j m j j n j m H a J aH a J a a a a a H a J a H a J aH a J a a a a a H a J a η ηζ η ζ η ρ η ρ η τ η τ ηζ τ η ζ τ η τ ρ η τ ρ η     ∂ ∂      ∂ ∂     =       ∂ ∂   ± ±  ∂ ∂         F (2.12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)(1) (1) (1) (1) (1) 0 0 , 0 0 n j m n j mj n j m j n j m m m m m j n j m j n j mV jm j n j m j n j mj j n j m j j n j m m m m m j j n j m j j n j m H a J aH a J a a a a a H a J a H a J aH a J a a a a a H a J a η ηζ η ζ η ρ η ρ η τ η τ ηζ τ η ζ τ η τ ρ η τ ρ η     ∂ ∂    ± ±  ∂ ∂     =       ∂ ∂     ∂ ∂         F (2.13) với 1,2,...j N= và 1,2,... 1m N= − là chỉ số của các lớp và bán kính của khối trụ tương ứng với lớp đó và j j j ε τ µ = , j j ihn k ζ = , ( )2j j jk η ρ = . (2.14) Trong (2.12) và (2.13) dấu phía trên dành cho hàm chẵn và dấu phía dưới dành cho hàm lẻ. Các phương trình (2.5) cho hàm Green và (2.9) cho các hệ số phản xạ là các phương trình tổng quát cho hệ trụ có số lớp bất kỳ. Trong phần phụ lục và trong chương sau chúng tôi trình bày chi tiết trường hợp hệ trụ hai và ba lớp. 17 CHƯƠNG 3: TỐC ĐỘ TRUYỀN NĂNG LƯỢNG ĐỐI VỚI HỆ TRỤ HAI LỚP 3.1. Công thức tường minh cho tốc độ truyền năng lượng Chúng ta xét trường hợp phân tử cho và phân tử nhận được đặt cùng ở lớp thứ nhất 1f s= = , là lớp bên ngoài khối trụ. Từ (2.5) hàm Green tán xạ trong trường hợp này có dạng 1 1 1 1 1 1 1 1 0 11 2 0 1 11 (1) (1) 11 (1) (1) 1 1 11 (1) (1) 11 (1) (1) 2 2 (2 )( , ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . e e e en n n no o o o o e o en n n ne o e o n es n H V H V iG dh C h h C h h C h h C h h η η η η η η η η δ π η ∞+∞ −∞ = −′ =  ′ ′ ′ ′× − + − ′ ′ ′ ′+ − + −  ∑∫ N N M r r M M N M N (3.1) Đối với hàm Green trong chân không, ta có thể viết trong hệ tọa độ trụ hoặc trong hệ tọa độ Đề các. Hàm Green trong chân không trong hệ tọa độ trụ có dạng 0 0 2 2 0 (1) (1) (1) (1) (2 )( ')( , ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . e ee e o s o so s o s e ee e o s o so s o s n e ns s n nn n n nn n iG ' dh k h ' h h ' h r r' h ' h h ' h r r' η ηη η η ηη η δδ π η +∞ ∞ =−∞ −− = − +  − + − > × − + − <  ∑∫ rr r rr r M M N N M M N N   (3.2) Và trong hệ tọa độ Đề các có dạng 0e 2 3 3 2 2 2 1 1( , ) 3 , 4 ikRk iG ' e I I R k R k R R kRπ  ⊗ ⊗    = − − − + −           R R R Rr r (3.3) với '= −R r r . Đối với một phân tử bất kỳ, mômen lưỡng cực của phân tử có thể định hướng theo các phương khác nhau. Trong trường hợp của bài toán đang xét ta giả định phân tử cho và phân tử nhận cùng có mômen lưỡng cực định hướng theo phương Oz . Khi cho các phân tử định hướng theo trục z thì chỉ các số hạng của e o fnη M và e o fnη N chứa zˆ mới đóng góp vào tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng. Do e o fnη M không chứa thành phần zˆ (xem (2.6)), chỉ có số hạng thứ hai trong (3.1) có đóng góp 18 1 1 0 11 11 (1) (1) 12 0 1 z (2 )( , ) ( ) . 8 e en no o n es Vz n iG dh C h η η δ π η ∞+∞ −∞ = − ′ ′ ′= −  ∑∫r r N N (3.4) 3.1.1. Hai phân tử cùng đặt trên đường thẳng song song với trục Oz bên ngoài khối trụ. Để cho đơn giản ta chọn A BR R= , 0Az = , 0A Bφ φ= = . Vậy tọa độ của hai phân tử lúc này lần lượt là ( , 0, 0)A AR=r và ( , 0, )B A BR z=r như trong hình 3.1 Thành phần zz của hàm Green tán xạ lúc này có dạng ( ) ( ) ( ) 2z 1 z2 (1) 2 cos 2 (1) 2 cos 1 1 1 si 0 11 12 0 n 1 1 1 sin , 2 2 z(1)1 1 1 0 1 0 0 2 1 0 1 ( ) (2 )( , ) 8 (2 ) 8 ( ) ) 4 ( 2 B B n es ih n A n B A e B Vz o ih n n A n n V n n iG dh C i dh k H h R n H h R n e H R e d k C i h η ε µ φ η ε µ φ η η δ π η δ π δ π ∞+∞ −∞ = ∞+∞ −∞ = + − ∞ −   × − −  ′=  ′− − −        =   = ∑∫ ∑ ∑∫ ∫ r r ( ) 2 2(1)1 12 1 1 0 cos( ) .nV A BH R hC zk η η ∞ =     ′∑ (3.5) Hình 3.1. Các phân tử đặt cạnh khối trụ trên đường thẳng song song với trục Oz. RA z dA dB r zB R 19 Bây giờ ta cần xác định hệ số 1VC′ trong công thức ( 3.5). Sử dụng công thức (10) trong phụ lục ta thu được hệ số 1VC′ có dạng là 1 ,V AC D ′ = − (3.6) trong đó A và D lần lượt có dạng như sau 22 2 (1) 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 (1)2 2 (1)2 11 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , n n n n n n n n n n n ihn ihnA H R J R J R k k k k J R J RR J R J R R k R k J R H RH R J R R k R k ε ε η ηη η η µ µ η ηε η ε ηη η µ µ η ηε η ε ηη η µ µ   = −     ∂ ∂ − ∂ ∂   ∂ ∂ × − ∂ ∂  + (3.7) 22 22(1) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 22 222 (1)2 1 2 1 1 1 2 1 2 2(1) 2 (1)1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n ihn ihnD H R J R k k k k J RR H R R k H R J R H R J R R R ε ε η ηη η µ µ η ε ε ηη µ µ η η ε ε ηη η µ µ    = −       ∂   +     ∂        ∂ ∂  − +      ∂ ∂       2 2 1 2 2 2(1) 22(1)1 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) .n n k k H R J R R k η η ε ε ηη µ µ    ∂  +      ∂     (3.8) Ta sẽ tính toán cho trường hợp khối trụ nằm trong chân không với 1 1 1ε µ= = và ở lớp thứ hai là khối trụ có hằng số điện môi 2ε và có 2 1µ = . Trong quá trình tính toán số, ta sẽ chuyển các đại lượng về dạng không thứ nguyên như sau A A h ch h k ω = = ⇒ Ah h c ω = ⇒ 22 2 2 / A A A i i i i i i A hh c c c c ω ω ωη ε µ ε µ η ω   = − = − =    và / AR R λ= . Vì 2 2A A A A c c ω π λ π λ ω = ⇒ = do đó 2 2 ,Ai i i A cR R R c ω πη η πη ω = = ở đây 1 . Ak ηη = 20 Như vậy sau khi đưa về dạng không thứ nguyên ta thu được hàm Green tán xạ có dạng là 11 0 2 (1) 2 1 1 10 0z ( , ) (2 ) [ (2 )] cos(2 ) . 4 A A B n Ves n A Bz n kG dh i C H R hzδ η πη π π ∞+∞ =   ′= −  ∑∫r r (3.9) Để tính tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng theo công thức (1.34) ta cần biết đóng góp của hàm Green trong chân không. Từ công thức (3.3) ta có [ ]0 3 3 2 2z 1( , ) 2 , 4 Aik RA e A B z A A k iG e k R k Rπ   = −    r r (3.10) với BR z= . 3.1.2. Các phân tử đặt vòng quanh khối trụ nằm trong mặt phẳng Oxy. Khi ta đặt hai phân tử A và B đặt trong mặt phẳng Oxy, để bài toán đơn giản ta chọn 0BAz z= = , 0Aφ = . Vậy tọa độ của hai phân tử lúc này lần lượt là ( , 0, 0)A AR=r và ( , , 0)B BBR φ=r như trong hình 3.2 Hình 3.2. Các phân tử nằm trên mặt phẳng Oxy. Hàm Green tán xạ lúc này có dạng RB y B x A R O R Bφ RA 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 2z 1 2 (1) 2 cos 2 (1) 2 cos 1 1 1 sin 1 1 1 sin , 2 (1) (1)1 0 11 12 0 1 0 0 11 12 1 0 (2 )( , ) 8 (2 ) 1 ( ) ( ) co 4 s( ) 8 n es A B Vz n n V n n A A n B B e o n A n B B k H h R n H h R n H R H R n iG dh C i dh C i d k δ π η δ η ε µ φ η ε µ φ η η η π π φ ∞+∞ −∞ = ∞+∞ −∞ = +∞    × − −          =     −  ′ = =  ′− ∑∫ ∑ ∑∫ r r ( ) ( ) 2 (1) (1)1 1 12 1 0 1 0 (2 ) cos( ) .nn BV A n B n H R H R n k h C η η ηδ φ ∞ = ′  −     ∑∫ (3.11) Hàm Green chân không suy từ (3.3) có dạng [ ]0 2 2 3 3z 1 1( , ) , 4 Aik RA e A B z A A A k iG e k R k R k Rπ   = + −    r r (3.12) với 2 2 2 cosA B A B BR R R R R φ= + − . 3.1.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz. Khi ta đặt hai phân tử A và B trên đường thẳng vuông góc với trục Oz. Khi đó để bài toán đơn giản ta chọn 0BAz z= = , 0BAφ φ= = như hình 3.3. Vậy tọa độ của hai phân tử lúc này lần lượt là ( , 0, 0)A AR=r và ( , 0, 0)BB R=r , A BR R≠ . z dA dB RA r RB R 22 Hình 3.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz. Hàm Green tán xạ lúc này có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 2z 1 2 (1) 2 cos 2 (1) 2 cos 1 1 1 sin 1 1 1 sin , 2 (1) (1)1 1 12 0 11 12 0 1 0 0 1 0 1 0 (2 )( , ) 8 (2 ) 1 ( ) ( 8 ( ) 2 4 n es A B Vz n n V n n A A n B B e o n A B n n k H h R n H h R n H R H R iG dh C i dh C i dh k δ π η δ π δ π η ε µ φ η ε µ φ η η η ∞+∞ −∞ = ∞+∞ −∞ = +∞ −  ′=  ′−    × − −          =     = − ∑∫ ∑ ∑∫ ∫ r r ( ) ( ) 2 (1) (1)1 1 12 1 1 0 ) .V n n A n BH R H Rk C η η η ∞ =        ′ ∑ (3.13) Hàm Green trong chân không có dạng [ ]0 2 2 3 3z 1 1( , ) , 4 Aik RA e A B z A A A k iG e k R k R k Rπ   = + −    r r (3.14) với B AR R R= − . 3.2. Các cực của hàm Green Trong việc tính toán giải tích những vị trí xảy ra cộng hưởng cộng hưởng được thể hiện qua giá trị của hàm )(f h , với hàm )(f h là phần dưới dấu tích phân của hàm Green (3.9) 0 2 (1) 2 1 1 1 0 (2 ) [ (( )] cos(2 )) Re ,n V n A B n if C' H R hzh δ η η π ∞ = = −∑ (3.15) trong đó chúng tôi lựa chọn lấy phần thực đó vẽ hình. Hàm Green cho khối trụ có các cực nằm trên nửa trên của mặt phẳng phức của h [8]. Các cực này tương ứng với các cộng hưởng whispering gallery modes (WGM) khi 1Re( )h ε≤ và các guided modes khi 1 2Re( )hε ε< ≤ . Các cực này gây khó khăn rất lớn cho tính toán số. Để minh họa cho sự tồn tại của chúng, trên hình 3.4 và hình 3.5 chúng tôi vẽ ( )f h như là hàm của h cho trường hợp các phân tử đặt trên đường thẳng song song trục Oz. 23 Hình 3.4. Vị trí các cộng hưởng ứng với bán kính khối trụ 1.0 AR λ= , khoảng cách của các phân tử với trục Oz là 1.05A AR λ= , hằng số điện môi ε =2.0. Hình 3.5. Vị trí các cộng hưởng ứng với bán kính khối trụ 4.0 AR λ= , khoảng cách của các phân tử với trục Oz là 4.2A AR λ= , hằng số điện môi ε =2.0. Ta thấy các vạch cộng hưởng rất sắc và đều nằm ở vùng 2 2.0 1.44h ε< = = . Trong hình 3.4 với kích thước khối trụ =1.0 AR λ ta chỉ quan sát thấy một vạch cộng hưởng WGM. 24 Khi kích thước khối trụ tăng ( =4.0 AR λ trong hình 3.5) số vạch cộng hưởng tăng cho cả WGM và guided modes (so sánh hình 3.4 và 3.5). 3.3. Phương pháp lấy tích phân Có thể thấy từ phương trình (3.10) ở phần trên, việc tính toán tốc độ truyền năng lượng dẫn đến việc tính các tích phân có dạng 0 2 (1) 2 1 1 10 0 (2 ) [ ( )] cos(2 ) .n V n A B n I dh i C' H R hzδ η η π ∞+∞ = = −∑∫ (3.16) Tại vị trí các cực của hàm Green, việc tính số tích phân trên gặp khó khăn. Do hàm Green là một hàm giải tích trong mặt phẳng phức [13], ta sẽ áp dụng phương pháp lấy tích phân theo định lý Cauchy. Do hàm Green tại vô cực tiến tới không và các cực của hàm Green nằm tại nửa trên của mặt phẳng phức, ta sẽ thay tích phân theo trục thực của h bằng một tích phân chứa cung vòng để tránh các vạch cộng hưởng. Khi đó tích phân (3.16) sẽ được tách thành hai phần. Một tích phân đường theo đường cong mà ta chọn vòng qua các vị trí cộng hưởng và một tích phân được lấy theo phương pháp bình thường trừ đi phần đã vòng qua các cộng hưởng. Ta có thể chọn đường cong với các hình dạng khác nhau [13] nhưng để đơn giản ta chọn đường cong có dạng elip. Giả sử ta có elip có bán trục lớn là a, bán trục nhỏ là b trong không gian h có trục hoành là phần thực của h và trục tung là phần ảo của h , ( )R θ và θ như hình 3.6. Hình 3.6. Hệ tọa độ cực trong mặt phẳng phức của h. Ta có phương trình elip như sau b Re(h) Im(h) R(θ ) θ a 25 2 2 ( ) . ( cos ) ( sin ) abR b a θ θ θ = + (3.17) Tiến hành đổi biến lấy tích phân theo đường elip, các bước như sau. Đặt ( )Rex h= , ( )Imy h= với ( )cosx R θ θ= , ( )siny R θ θ= . (3.18) Tích phân cần chuyển đối với phần ảo có dạng (phần thực cũng chuyển đổi tương tự) ( )( ) ( )( )Im Im C d h f h ds f h→∫ ∫ . (3.19) Trong mặt phẳng phức, h có thể được biểu diễn ( ) ( )Re Im ,h h i h= + ( ) ( )cos sinh R iRθ θ θ θ= + . (3.20) Tích phân (3.19) được viết lại như ( )( )Im C dsd f h d θ θ∫ , (3.21) trong đó 2 2 2 2 dx dyds d d d θ θ θ = + . (3.22) Từ (3.18) suy ra ( ) ( )cos sindx R R d θ θ θ θ θ ′= − , (3.23) ( ) ( )sin cosdy R R d θ θ θ θ θ ′= + , (3.24) từ đó dẫn ra 26 2 2 2 2( ) ( )x y R Rθ θ′ ′ ′+ = + , (3.25) trong đó kí hiệu “ ' ” là phép lấy đạo hàm theo q . Từ (3.17) ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 sin cos . cos sin a b R ab b a θ θ θ θ θ − ′ = − + (3.26) Cuối cùng, từ (3.19) và (3.21) ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2Im Im C d h f h d f R Rθ θ θ θ′= +∫ ∫ . (3.27) Tương tự cho phần thực ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2Re Re C d h f h d f R Rθ θ θ θ′= +∫ ∫ . (3.28) Hình 3.7. Đường cong lấy tích phân. 2ε 0 Re( h ) Im( h ) 27 CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 4.1. Các phân tử nằm trong mặt phẳng Oxy Trước tiên ta kiểm tra độ tin cậy của tính toán số bằng cách phục hồi kết quả của [13] cho trường hợp hai phân tử nằm trong cùng một mặt cắt Oxy của khối trụ. Đồng thời ta cũng khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng vào khoảng cách của nguồn tới bề mặt và độ hấp thụ của vật chất. Trong hình 4.1 là kết quả của [13] cho hằng số điện môi không có tán sắc và hấp thụ ( ) 2.0.Aε ω = Tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng đã chuẩn hóa Γ giữa hai phân tử được vẽ cho bốn trường hợp khác nhau của bán kính hình trụ, 0.2 , 0.5 ,1.0A A AR λ λ λ= và 2.0 Aλ . Trong tất cả các trường hợp phân tử cho là ở nơi có đánh dấu “x” bên ngoài hình trụ, với khoảng cách tới tâm ( )a 0.22 ,A AR λ= (b) 0.55 ,Aλ (c) 1.05 Aλ và (d) 2.2 Aλ . Như quan sát, hàm Γ có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn đơn vị, ngụ ý việc tăng lên hoặc giảm xuống của tốc độ truyền do sự hiện diện của hình trụ. 28 Hình 4.1. Tốc độ truyền năng lượng chuẩn hóa với giá trị trong không gian tự do giữa hai phân tử gần hình trụ điện môi có 2.0ε = với ( ) 0.2 , 0.22 ,A A Aa R Rλ λ= = ( ) 0.5 , 0.55 ,A A Ab R Rλ λ= = ( ) 1.0 , 1.05A A Ac R Rλ λ= = và ( ) 2.0 , 2.2 .A A Ad R Rλ λ= = Cả hai phân tử có mômen lưỡng cực hướng theo trục z. (a) (b) (c) (d) Hình 4.2. Đồ thị biểu diễn tốc độ truyền năng lượng chuẩn hóa với giá trị trong không gian tự do giữa hai phân tử đặt gần hình trụ điện môi có 2.0ε = với ( ) 0.2 , 0.22 ,A A Aa R Rλ λ= = ( ) 0.5 , 0.55A A Ab R Rλ λ= = , ( ) 1.0 , 1.05A A Ac R Rλ λ= = và ( ) 2.0 , 2.2A A Ad R Rλ λ= = . Cả hai phân tử có mômen lưỡng cực hướng theo trục z. 29 Trên hình 4.2 là các kết quả tính số của chúng tôi (Fortran) với tích phân tính theo đường vòng như trình bày trong mục 3.3. Cách lấy đường vòng này khác với đường vòng trong [13] gồm một bán kính và một cung tròn. Trục tung là tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng đã chuẩn hóa. Trục hoành là góc giữa bán kính vectơ của hai phân tử A và B. Kết quả phù hợp tốt trong các trường hợp (a), (b), (c). Trường hợp (d) có sai lệch nhỏ: giá trị cực đại của Γ ở hình 4.1(d) lớn hơn 10, trong khi trong hình 4.2(d) là nhỏ hơn 9. Các đỉnh tương ứng với vị trí của các WGM. Khi các phân tử nằm rất gần nhau (đường liền ứng với A BR R= , 0ϕ  và 2ϕ π ) tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng tiến về giá trị trong không gian tự do ( 1Γ→ ). Đó là vì khi các phân tử nằm rất gần nhau, ảnh hưởng của khối trụ trở nên không đáng kể. Các đường cong khác nhau trong hình 4.2 là cho các khoảng cách khác nhau từ phân tử nhận tới khối trụ. Cho các BR khác nhau, tăng cường tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng có thể chuyển thành ức chế và ngược lại. Đây là hệ quả của phân bố không đồng đều trong không gian của các WGM. Trong hình 4.3 chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng vào hấp thụ của vật chất thể hiện qua phần ảo của hằng số điện môi. Ta thấy tốc độ truyền giảm khi độ hấp thụ tăng nhưng cấu trúc các đỉnh cộng hưởng hầu như không đổi. Ta cũng thấy ảnh hưởng của hấp thụ là lớn nhất khi hai phân tử xa nhau nhất, tương ứng với ϕ π= trong hình vẽ. (a) (b) 30 (c) (d) Hình 4.3. Đồ thị biểu diễn tốc độ truyền năng lượng chuẩn hóa với giá trị trong không gian tự do giữa hai phân tử đặt gần hình trụ điện môi có ' 2.0ε = và các giá trị khác nhau của ''ε với ( ) 0.2 , 0.22 ,A A B Aa R R Rλ λ= = = ( ) 0.5 , 0.55 ,A A B Ab R R Rλ λ= = = ( ) 1.0 , 1.05A A B Ac R R Rλ λ= = = và ( ) 2.0 , 2.2A A B Ad R R Rλ λ= = = . Cả hai phân tử có mômen lưỡng cực hướng theo trục z. 4.2. Các phân tử nằm trên đường thẳng song song với trục Oz. • Sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng vào bán kính khối trụ và khoảng cách của các phân tử và bề mặt khối trụ. Tiếp theo ta khảo sát trường hợp các phân tử đặt trên đường thẳng song song với trục của khối trụ. Trong trường hợp này các guided mode đóng vai trò quan trọng hơn các WGM. Hình 4.4 trình bày tốc độ truyền năng lượng đã chuẩn hóa Γ như hàm của khoảng cách giữa hai phân tử. Trước tiên ta thấy khi khoảng cách này rất bé 1Γ→ , tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng tiến về giá trị trong không gian tự do. Nói cách khác, các phân tử không “nhìn thấy” khối trụ. Khi khoảng cách tăng, ảnh hưởng của khối trụ cũng tăng. Các mode tham gia tương tác giao thoa dẫn đến sự thay đổi của Γ . Khi giao thoa là triệt tiêu 1Γ < . Từ đồ thị ta có thể thấy tồn tại những khoảng cách khi hiệu ứng truyền năng lượng cộng hưởng bị triệt tiêu gần như hoàn toàn ( 0Γ→ ). Hiện tượng ức chế hoàn toàn chỉ xảy ra ở những cực tiểu đầu tiên của Γ . Khi giao thoa là tăng cường, 1Γ > và hiệu ứng truyền năng lượng cộng hưởng diễn ra nhanh hơn so với trong không gian tự do. Các đỉnh của Γ tương ứng với trường hợp các phân tử cộng hưởng tốt với các mode của khối trụ. 31 Ta thấy Γ có xu hướng tăng (mặc dù dao động) khi khoảng cách phân tử tăng. Điều này không có nghĩa là giá trị tuyệt đối của tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng có xu hướng tăng tuyệt đối mà là tăng tương đối so với giá trị trong không gian tự do. Tuy các giá trị cực đại maxΓ trong hình 4.4 tương đương với maxΓ trong hình 4.3 cho phân tử nằm trong mặt phẳng Oxy (WGM), các giá trị của maxΓ có thể tăng lớn hơn nữa. Điều này là do kích thước khối trụ là có giới hạn theo các phương trong mặt cắt trong khi vô hạn theo phương trục. Tuy nhiên Γ không thể tăng tới vô hạn. Khi khoảng cách các phân tử ngày một lớn, vai trò của hấp thụ của vật chất cũng sẽ tăng lên và làm giảm Γ . Ta sẽ khảo sát ảnh hưởng của hấp thụ vật chất trong phần tiếp theo. Khi khoảng cách giữa các phân tử và bề mặt tăng (đường gạch và đường chấm trong hình 4.4) ảnh hưởng của khối trụ lên Γ giảm, dẫn tới maxΓ giảm và cấu trúc các đỉnh giao thoa không rõ ràng. Trên hình (4.5) chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của Γ vào kích thước khối trụ. Kết quả cho thấy khi kích thước khối trụ thay đổi, vị trí và cường độ các đỉnh cộng hưởng cũng thay đổi. Hình 4.4. Sự thay đổi của tốc độ truyền năng lượng khi ta thay đổi khoảng cách giữa các phân tử và bề mặt trụ A BR R= . Với bán kính khối trụ 0.2 ,AR λ= z 0, 2.0A ε= = . 32 Hình 4.5. Sự thay đổi của tốc độ truyền năng lượng khi ta thay đổi bán kính khối trụ. Khoảng cách từ phân tử đến bề mặt khối trụ được giữ không đổi bằng 0.5 ,Aλ z 0, 2.0A ε= = và .A BR R= • Sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng vào độ hấp thụ của vật chất. Ở trường hợp này chúng ta sẽ xem xét khối trụ có hằng số điện môi là một số phức, với 2.0 ''iε ε= + . Các kết quả khảo sát được thể hiện qua đồ thị sau Hình 4.6. Sự phụ thuộc của tốc độ truyền vào độ hấp thụ của môi trường "ε . Ứng với bán kính khối trụ 0.2 ,AR λ= khoảng cách giữa các phân tử và khối trụ 0.3 , 0A B A AR R zλ= = = . 33 Từ hình 4.6 ta thấy khi thay đổi ''ε từ 0 đến 310− đường cong hầu như không đổi ở cách khoảng cách zB có giá trị từ 0 tới 3.5 Aλ . Khi ''ε tăng tới 1'' 10ε −= (đường nét gạch) sự thay đổi trở nên rõ ràng. Ảnh hưởng của sự hấp thụ vật chất đáng kể hơn ở khoảng cách xa hơn so với khoảng cách gần. Như vậy Γ không thể tăng liên tục khi khoảng cách tăng, mà sớm muộn sẽ giảm do ảnh hưởng của sự hấp thụ vật chất. Ta cũng có thể thấy tăng hấp thụ vật chất có xu hướng làm giảm tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng nhưng không làm thay đổi đáng kể vị trí các đỉnh của Γ . Chú ý rằng các các giá trị 3'' 10ε −= và 110− sử dụng trong hình vẽ là tương đối lớn so với các vật liệu điện môi thông dụng. 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này chúng tôi khảo sát hiệu ứng truyền năng lượng cộng hưởng giữa hai phân tử đặt gần một khối trụ, tập trung vào trường hợp các phân tử đặt bên ngoài khối trụ, trên một đường thẳng song song với trục hình trụ. Sử dụng các công thức rút ra từ lý thuyết lượng tử áp dụng được cho vật chất có cả tán sắc và hấp thụ, chúng tôi đã rút ra các biểu thức giải tích cho tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng thể hiện qua hàm Green và sau đó sử dụng tính toán số để nhận được các kết quả vật lý. Độ tin cậy của chương trình tính số được kiểm nghiệm bằng cách phục hồi lại kết quả của các tác giả khác cho trường hợp các phân tử nằm trong mặt phẳng là mặt cắt của hình trụ. Kết quả cho thấy khi khoảng cách giữa các phân tử càng xa ảnh hưởng của khối trụ càng rõ nét (so với trường hợp không gian tự do). Tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng có thể tăng ít nhất một bậc nhờ sự có mặt của khối trụ. Ngược lại, cũng có thể quan sát thấy hiện tượng ức chế hoàn toàn hiệu ứng truyền năng lượng cộng hưởng tại khoảng cách phù hợp do hiệu ứng giao thoa triệt tiêu. Chúng tôi đã khảo sát ảnh hưởng của hấp thụ vật chất lên tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng. Việc tính đến hấp thụ vật chất giúp bài toán trở nên thực tế và đặc biệt quan trọng ở các khoảng cách xa giữa phân tử cho và phân tử nhận. Các tính toán trên có thể mở rộng và hoàn thiện theo nhiều hướng khác nhau. Ví dụ như tính đến các hướng khác của mômen lưỡng cực phân tử. Các hướng khác nhau có mức độ tương tác khác nhau với các guided mode vì vậy có thể ảnh hưởng đáng kể tới tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng. Các công thức trình bày trong phần phụ lục là bước chuẩn bị cho các tính toán số cho trường hợp hai phân tử cho và nhận cùng nằm bên trong khối trụ, một phân tử nằm bên trong và phân tử còn lại nằm bên ngoài. Các công thức cho hệ ba lớp có thể được sử dụng cho các tính toán cho hệ carbonnanotube. 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Avery J. S. (1966), “Resonance energy transfer and spontaneous photon emission”, Proceedings of the Physical Society, 88(1). 2. Blum C., Zijlstra N., Lagendijk A., Wubs M., Mosk A. P., Subramaniam V., Vos W. L. (2012), “Nanophotonic Control of Förter Resonance Energy Transfer Efficiency”,