Luận văn K-Lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá

on W của V sao cho ( )y yT W F= , với mọi y∈W. Ở đây ký hiệu ( )yT W chỉ không gian tiếp xúc của W tại y, yF là thớ tại y của F. Đa tạp W như thế được gọi là đa tạp con tích phân của F. Mệnh đề 2.1.2. Các khẳng định sau đây là tương đương 46 (i) F là phân bố khả tích của V. (ii) ∀ ∈x V , tồn tại đa tạp con mở U trong V chứa x và một phép ngập : ( codim dim dim )qp U q F V F→ = = − sao cho *ker( ) , = ∀ ∈y yF p y U . (iii) { }( ) ( ) / , ∞ ∞= ∈ ∈ ∈x xC F X C TV X F x V là một đại số Lie. (iv) Ideal ( )J F các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F là ổn định đối với phép lấy vi phân ngoài. Như vậy, mọi phân thớ con 1-chiều F của TV đều khả tích, nhưng khi dim 2F ≥ thì điều kiện khả tích là không tầm thường. 2.1.2. Phân lá Định nghĩa 2.1.3. Một phân lá ( ),V F là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một phân bố khả tích F trên nó. Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá, còn F gọi là phân bố xác định phân lá. Số chiều (đối chiều) dim F (codim F) cũng được gọi là số chiều (đối chiều) của phân lá ( ),V F . Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại L của F được gọi là một lá của phân lá ( ),V F . Ta có dim L = dim F. Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây. Mệnh đề 2.1.4 (i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá. (ii) x V∀ ∈ , tồn tại hệ tọa độ địa phương { } 1 2, , ,..., / dimnU x x x n V= quanh x sao cho nếu lá L giao với U thì mỗi thành phần liên thông trong L U∩ (mà được gọi là một tấm) đều được cho bởi các phương trình dạng: 1 1,..., ; dim .k n n kx c x c k F+ −= = = 47 trong đó 1 2, ,..., n kc c c − là các hằng số (phụ thuộc vào từng tấm). Ở địa phương, đa tạp phân lá của mỗi phân lá k-chiều bị phân hoạch thành các tấm “rời” nhau, mỗi tấm đều vi phôi với một phẳng k-chiều trong n . Bản đồ địa phương ( ),U ϕ ứng với hệ tọa độ địa phương nêu trong Mệnh đề 2.1.4 được gọi là một bản đồ phân lá của phân lá ( ),V F . Như vậy đa tạp phân lá V luôn có thể được phủ bởi một tập bản đồ (atlat) gồm các bản đồ phân lá. Giả sử có một họ  các đa tạp con của đa tạp trơn V tạo thành phân hoạch của V sao cho mỗi ∈L  đều là một đa tạp con tích phân liên thông tối đại của cùng một phân bố khả tích F trên V. Khi đó  chính là họ các lá của phân lá ( ),V F . Ta thường đồng nhất  với chính phân bố khả tích F và dùng cùng một ký hiệu F để chỉ họ . Ta cũng bảo họ  (các đa tạp con như trên của V) lập thành một phân lá trên V. Sau đây là 2 kiểu phân lá điển hình mà ta thường gặp trong luận án.  Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) :p V B→ sao cho mỗi thớ của nó là và chỉ là một lá của phân lá ( ),V F thì ta bảo rằng phân lá ( ),V F được cho bởi phân thớ :p V B→ . 48  Tương tự nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) trên V sao cho mỗi quỹ đạo của G là và chỉ là một lá của phân lá ( ),V F thì ta cũng bảo ( ),V F được cho bởi tác động của nhóm G (lên đa tạp phân lá V). 2.2. Tôpô phân lá Theo kết quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1.4, tất cả các phân lá cùng chiều trên cùng một đa tạp vi phân đều có cùng cấu trúc địa phương. Tuy nhiên nếu xét trên quan điểm toàn cục thì có thể rất khác nhau. Bởi thế, vấn đề của “tôpô phân lá” là nghiên cứu trên quan điểm tôpô về các vấn đề toàn cục của phân lá. Chẳng hạn sự tồn tại lá compact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của các lá, 2.2.1. Không gian các lá của phân lá Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các lá của một phân lá. Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) V F của một phân lá ( ),V F là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm. Nếu phân lá ( ),V F được cho bởi phân thớ :p V B→ thì không gian lá V F chính là đáy B của phân thớ xác định phân lá. Còn khi ( ),V F được cho bởi tác động của nhóm Lie G thì V F lại là không gian V G các G-quỹ đạo. 49 2.2.2 Kiểu tôpô của các phân lá Hai phân lá ( ),V F và ( )', 'V F được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng kiểu tôpô (phân lá) nếu có một đồng phôi : 'h V V→ sao cho h chuyển mỗi lá của F thành mỗi lá của 'F . Theo quan điểm của tôpô phân lá, ta không phân biệt hai phân lá cùng kiểu tôpô (cả về mặt địa phương lẫn toàn cục). 2.3. Phân lá đo được Có những ví dụ cho thấy, mặc dù đa tạp phân lá là compact nhưng bản thân các lá có thể compact hoặc không. Do đó, khó có thể nói gì về các tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá. Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L (xem [8, p. 523]). Vì vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều người ta quan tâm là tìm cách “đếm số lượng” các lá compact, không compact trong không gian phân lá. Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không gian các lá một độ đo thích hợp. Năm 1982, A. Connes đã đưa ra khái niệm độ đo hoành ([8]) đặc biệt thích hợp với không gian các lá của phân lá mà ngay sau đây ta sẽ giới thiệu. Giả sử ( ),V F là một phân lá. Đa tạp con N của V được gọi là hoành nếu ( ), pp N T V∀ ∈ chẻ ra thành tổng trực tiếp ( )p pT N F⊕ . Khi đó hiển nhiên dim codimN F= . Hơn nữa, có thể chọn một bản đồ phân lá ( ),U ϕ quanh mỗi 50 điểm p N∈ sao cho các tấm của U tương ứng 1 – 1 với các điểm của N U∩ , tức là mỗi tấm trong U cắt N tại một điểm duy nhất. Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu B L∩ đếm được, với mỗi lá L của phân lá. Một chú ý quan trọng là mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được của các tập hoành Borel B có kiểu như sau: tồn tại đơn ánh : B Nψ → từ B vào đa tạp con hoành N nào đó sao cho ( )xψ thuộc cùng lá chứa x, với mỗi x B∈ . Định nghĩa 2.3.1. Một độ đo hoành Λ đối với phân lá ( ),V F là một ánh xạ σ -cộng tính ( )B BΛ từ họ các tập con hoành Borel của V đến [ ]0,+∞ sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn: (i) Nếu 1 2: B Bψ → là song ánh Borel và ( )xψ thuộc lá chứa x ( )1x B∀ ∈ thì ( ) ( )1 2B BΛ = Λ (tính đẳng biến Borel). (ii) ( )KΛ < +∞ nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành. Phân lá ( ),V F đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được. 2.4. Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân lá, đồng thời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét. 51 2.4.1. Các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm Nhắc lại rằng, các MD-nhóm (không giao hoán) về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo là khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi nhóm chỉ gồm hai tầng các K-quỹ đạo: tầng các K-quỹ đạo 0-chiều và tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại của một nhóm liên thông ta thấy: các quỹ đạo là các đa tạp liên thông, đôi một rời nhau và có cùng số chiều. Điều này gợi cho ta nghĩ đến một phân lá. Trong [2], L. A. Vũ đã chứng minh được rằng, đối với các MD4-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân thì họ các K-quỹ đạo chiều cực đại luôn tạo thành một phân lá đo được. Trong [25], một khẳng định tương tự cũng được các tác giả chứng minh cho các MD5-nhóm liên thông, đơn liên với ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều. Phép chứng minh các khẳng định này được tiến hành bởi những tính toán cụ thể theo 2 bước sau đây: • Bước 1 : Chỉ ra phân bố khả tích GF trên GV ( GV là hợp của tất cả các K-quỹ đạo chiều cực đại của G) sao cho mỗi K-quỹ đạo là một đa tạp liên thông tối đại của nó. • Bước 2 : Trang bị cho ( ),G GV F một độ đo hoành. Đối với các MD(5,4)-nhóm, bằng phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 2.4.1. Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm bất kỳ, GF là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó và { }/G GV F= Ω Ω∈ . Khi đó, ( ),G GV F là một phân lá đo được. Phân lá này được gọi là một MD(5,4)-phân lá liên kết với G. 52 Như vậy, ta cũng nhận được 14 họ các MD(5,4)-phân lá tương ứng với 14 họ các MD(5,4)-nhóm đã được chỉ ra trong Chương 1. Từ Định lí 1.3.1, dễ thấy rằng, tất cả các đa tạp phân lá của các MD(5,4)- phân lá đều vi phôi với nhau đồng thời vi phôi với đa tạp con mở      * * *4 2             của 5 2            . Do đó, để thuận tiện về mặt ký hiệu, các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)- nhóm 5,4,...G sẽ được ký hiệu tương ứng là ( )4,...,V F thay cho ( )5,4,.. 5,4,..,G GV F . Ví dụ, ( ) ( )4,3,V F λ là một MD(5,4)-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của MD(5,4)-nhóm ( )5,4,3 G λ . 2.4.2. Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá Sau đây, ta sẽ trình bày chi tiết định lí phân loại tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá, đồng thời đưa ra một mô tả chi tiết không gian các lá cho từng kiểu tôpô. Định lí 2.4.2. (Phân loại tôpô và mô tả không gian lá của các MD(5,4)-phân lá) 1. Có đúng 3 kiểu tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét, mỗi kiểu gồm các MD(5,4)-phân lá thuộc một và chỉ một trong các tập hợp F1, F2 , F3 được liệt kê dưới đây:  ( )( ){ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 21 2 31 4,54,2 , 4,3 4,4 4,6 ,4,1 , ,, , , , , , , , , , ,V F V F V F V F V F V Fλ λ λ λ λ λλ λ λ=F ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) { }}4,10 1 2 34,7 4,8 4,9, , , , , , , , , , , \ 0,1 .V F V F V F V Fλ λ λ λ λ λ λ∈ 53  ( )( ) ( )( ) ( )( ) { } ( ){ }1 22 1 24,11 , , 4,12 , 4,13 ,, , , , , , , , \ 0 , 0;V F V F V Fλ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ λ ϕ π= ∈ ∈F .  ( )( ) ( ){ }3 4,14 , ,, , , , 0, 0;V F λ µ ϕ µ λ µ ϕ π= ∈ > ∈F . Ta sẽ ký hiệu các kiểu này lần lượt bởi chính các ký hiệu F1, F2 , F3. 2.(i) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F1 đều được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên mặt cầu đơn vị 3S . (ii) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F2 và F3 đều là các phân lá được cho bởi các tác động của 2 trên đa tạp phân lá ( )*4V ≡ ×  . Chứng minh. 1. Để chứng minh phần đầu của Định lí 2.4.2, ta cần chỉ ra các đồng phôi của đa tạp phân lá V, chuyển lá thành lá, cho tất cả các phân lá trong cùng một tập hợp F1, F2 , F3 đã liệt kê ở mục 1 của định lí. Cụ thể,  Ta xét các ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 3 4,2 , 4,3 4,4 4,6 , 4,74,1 , , , , , , , ,h h h h h hλ λ λ λ λ λ λλ λ λ ( ) ( ) 4,104,8 4,9, , h h hλ λ đi từ ( )4V ∗ ≡ ×  vào V được định nghĩa như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 1 1 1 4,1 , , , , , , : ,sign . ,sign . ,sign . , .h x y z t s x y y z z t t sλ λ λλ λ λ  =     ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 1 4,2 , , , , , : ,sign . ,sign . , , .h x y z t s x y y z z t sλ λλ λ  =     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4,3 , , , , : ,sign . ,sign . , , .h x y z t s x y y z z t sλ λλ  =     ( ) ( ) ( ) 1 4,4 , , , , : ,sign . , , , .h x y z t s x y y z t sλλ  =     54 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 4,6 , 1 1 ,sign . ,sign . , , .ln , 0 , , , , : ,sign . ,sign . ,0, , 0 x y y z z t s t t t h x y z t s x y y z z s t λ λ λ λ λ λ  − ≠  =    =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4,7 1 1 ,sign . ,sign . , , .ln , 0 , , , , : ,sign . ,sign . ,0, , 0 x y y z z t s t t t h x y z t s x y y z z s t λ λ λ λ λ  − ≠  =    =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4,8 1 1 1,sign . ,sign ln . ln , , .ln , 0, 0 ,0,sign . , , .ln , 0, 0 , , , , : 1,sign . ,sign ln x y y z y y z y y t s t t y t x z z t s t t y t h x y z t s x y y z y y λ λ λ λ λ λ λ λ     − − − ≠ ≠       − = ≠   =  − ( ) 1 1 1. ln ,0, , 0, 0 ,0,sign . ,0, , 0, 0 z y y s y t x z z s y t λ λ λ             − ≠ =        = =     ( ) ( ) ( )4,9 , , , , : , , , ,h x y z t s x y z t sλ =    , trong đó ;x x= ( ) 1 sign . ;y y y= λ z z= .ln , 0 , 0 t z z z t t z  − ≠ =  =  55 ( )1 1.ln ln .ln ln , 0, ln 2 2 1 .ln , 0, ln 2 ln , 0, 0 , s t z t z z t z z z t z z s t z z t z z s s t t z t s − − − − ≠ ≠ − ≠ = = − = ≠  0, 0z t        = =  ( ) ( )4,10 , , , , : , , , ,h x y z t s x y z t s=    , trong đó x x= ; y y= .ln , 0 , 0 z y y y z z y  − ≠ =  =  ( )1 1.ln ln .ln ln , 0, ln 2 2 1 .ln , 0, ln 2 .ln , 0, 0 , t z y z y y z y y y z y y t z y y z y y t t z z y z t − − − − ≠ ≠ − ≠ = = − = ≠  0, 0y z        = =  ( ) 21 1 1 1 1.ln ln .ln ln ln .ln , 0 3 3 2 3 2 1 1.ln ln .ln ln , 0, 0, ln 2 2 1 .ln , 2 s t y t z y y t z y y y y y s t z t z z t z z y z t z z s s t z    − − − + − + − ≠        − − − − = ≠ ≠ = −  0, 0, ln .ln , 0, 0, 0 , 0, 0, 0 y z t z z s t t y z t s y z t    = ≠ = − = = ≠ = = =         56 Kiểm tra trực tiếp ta được ( )1 2 34,1 , ,h λ λ λ (tương ứng ( ) ( ) ( )1 24,2 , 4,3 4,4, , ,h h hλ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 4,104,6 , 4,7 4,8 4,9 , , , , h h h h hλ λ λ λ λ ) là đồng phôi của V chuyển mỗi lá của phân lá ( )( )1 2 34,1 , ,,V F λ λ λ (tương ứng của ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 24,2 , 4,3 4,4 4,6 ,, , , , , , , ,V F V F V F V Fλ λ λ λ λ λ ( )( )4,7,V F λ ( )( )4,8, , ,V F λ ( )( ) ( )4,104,9, , ,V F V Fλ ) thành mỗi lá của phân lá ( )4,5,V F . Do đó các phân lá thuộc F1 là cùng kiểu tôpô.  Tương tự, để chứng minh sự tương đương tôpô của các phân lá trong cùng tập F2, ta xét các đồng phôi đi từ ( )2V ∗≡ × ×   vào chính nó được định nghĩa như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1ln . 4,11 , , , . , , : , ,sign . ,sign . . ir i ieih x r e t s x e t t s s ϕθθ λ λ λ λ ϕ + − =     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1ln . 4,12 , , . , , : , ,sign . ,sign . . ir i ieih x r e t s x e t t s s ϕθθ λ λ λ ϕ + − =     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1ln . 4,13 , ln . 1, ,sign . , . .ln , 0 , . , , : , ,0, , 0 i i r i ie i r i ie x e t t s t t t h x r e t s x e s t ϕ ϕ θ λ θ λ ϕ θ λ + − + −  − ≠  =    =   Các ánh xạ ( )1 24,11 , ,h λ λ ϕ (tương ứng ( ) ( )4,12 , 4,13 ,, h hλ ϕ λ ϕ ) là đồng phôi chuyển mỗi lá của phân lá ( )( )1 24,11 , ,,V F λ λ ϕ (tương ứng của ( )( ) ( )( )4,12 , 4,13 ,, , ,V F V Fλ ϕ λ ϕ ) thành mỗi lá của phân lá 4,12 1, 2 ,V F π             . Do vậy, các phân lá thuộc F2 là cùng kiểu tôpô.  Hoàn toàn tương tự cho các phân lá trong cùng tập F3, ta có các ánh xạ: ( ) ( )4,14 , , :h V Vλ µ ϕ ∗≡ × × →   57 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ln ' ' . ln . ' 1ln ' ' .ln . , , , 0 , . , '. , , , 0 i i r i i r i ie i i r ir i ie x e e x r e r e x e e ϕ ϕ µ λθ λ µ λ µθ θ θ θθ µ λ λ    + −  + ++ −   ++ −     ≠         =      là đồng phôi chuyển mỗi lá của phân lá ( )( )4,14 , ,,V F λ µ ϕ thành mỗi lá của phân lá 4,14 0,1, 2 ,V F π             . Do vậy các phân lá thuộc F3 là cùng kiểu tôpô. Dựa vào bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm, sự không tương đương tôpô của các phân lá kiểu F1, F2, F3 là rõ ràng. Do vậy, phần đầu của định lí được chứng minh. 2. Sau đây, ta chứng minh phần 2 của định lí bằng cách chỉ ra tường minh các phân thớ hoặc các tác động mà từ đó chúng cảm sinh ra các phân lá thuộc kiểu F1, F2 và F3. Cụ thể, (i) Xét toàn ánh ( ) ( ) 4 3 3 4,5 : , , P V S S s u v s ∗ +≡ × ≡ × × →     Rõ ràng, phân thớ 3 34,5 :P S S+× × →  cảm sinh ra phân lá ( )4,5,V F . Hơn nữa các thớ của nó là liên thông. Do đó ( )4,5,V F là phân lá được cho bởi phân thớ. Từ đây ta suy ra các phân lá thuộc kiểu F1 cũng là các phân lá được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên mặt cầu đơn vị S3. (ii) Xét các tác động của 2 trên V xác định như dưới đây. 2 4,12 :P V V× → 58 ( ) ( )( ) ( )( )4,12 , , , , , , . , . , .ia a aP r a x y iz t s x r y iz e t e s e−+ = + + trong đó ( ) ( ) ( )2 2, , , , ,r a x y iz t s V ∗∈ + ∈ ≡ × ×    . 2 4,14 :P V V× → ( ) ( )( ) ( ) ( )( )4,14 , , , , , . , .ia iaP r a x y iz t is x r y iz e t is e− −+ + = + + + trong đó ( ) ( ) ( )2, , , ,r a x y iz t is V ∗∈ + + ∈ ≡ × ×    . Dễ dàng thấy rằng các tác động 4,12P , (tương ứng 4,14P ) cảm sinh ra phân lá 4,12 1, 2 ,V F π             , (tương ứng 4,14 0,1, 2 ,V F π             ). Do đó, tất cả các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F2 và F3 đều là các phân lá được cho bởi các tác động của 2 trên đa tạp phân lá V . Định lí được chứng minh hoàn toàn. ∎ Nhận xét 2.4.3. Các kết quả của Định lí 2.4.2 sẽ rất có ích trong việc mô tả giải tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá, cũng như trong việc đặc trưng các C*-đại số này bằng phương pháp K-hàm tử trong chương cuối cùng của luận án. 59 CHƯƠNG 3: K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ Kết quả chính của chương này là Định lí 3.4.3 và Định lí 3.4.4 ở Mục 3.4 về nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. Các kết quả này được công bố trong các bài báo [27] và [28]. Trước khi đi vào các kết quả chính, phần đầu của chương sẽ dành cho việc trình bày tóm tắt lại một số kiến thức có liên quan về C*-đại số Connes liên kết với một phân lá, K-lý thuyết đối với phân lá, đồng thời điểm lại những ý tưởng cơ bản của phương pháp K-hàm tử. Một trình bày đầy đủ và chi tiết hơn có thể tìm thấy trong các tài liệu kham thảo, mà chủ yếu là [2], [8], [10] và [22]. 3.1. C*-đại số Connes liên kết với phân lá Trong mục này, ta nêu lại các bước xây dựng C*-đại số Connes liên kết với một phân lá được A. Connes đưa ra trong [8], cùng với các tính chất quan trọng của nó được A. M. Torpe chỉ ra trong [22]. Đặc biệt, ta quan tâm đến trường hợp phân lá được cho bởi phân thớ cũng như phân lá cho được bởi tác động của nhóm Lie. 3.1.1. Holonomy của lá Giả sử ( ),V F là một phân lá, dim , dim ,V n F k= = codim F n k q= − = ( )1 k n≤ ≤ . Xét một lá L tuỳ ý và hai điểm , x y nào đó trên L. Giả sử ( )( ) [ ]0,1ttγ γ ∈= là một đường trơn trên L nối x và y, tức là ( ) ( )0 , 1x yγ γ= = . 60 Khi đó luôn tồn tại một họ các bản đồ phân lá ( ){ } 1,,i i i mU ϕ = có các tính chất sau ([20]): (1) ( ) ( )1, , 1;1 , 1 n m i ix U y U U i mϕ∈ ∈ = − ≤ ≤ , ( ) ( )1 0mx yϕ ϕ= = ; (2) [ ]( ) 1 0,1 m i i U Kγ = ⊃ =  ; (3)  1x U∀ ∈ , tồn tại họ các tấm ( ){ } 1, x i i m= Π của cùng một lá L (chứa x ) nào đó sao cho: (i) ( ) ( ), 1 ;xi iU L i mΠ ⊂ ∩ ≤ ≤ (ii)  ( ) ( ) ( ) 1 1, , 1 1; x x x i ix i m+∈Π Π ∩Π ≠∅ ≤ ≤ − (iii) Nếu x x= thì ( ) , 1xi i iK U L U i m∩ ⊂Π ⊂ ∩ ≤ ≤ và ( ) ( ) 1 , x x mx y∈Π ∈Π . Gọi ( ) ( ): 1;1 1;1n qpr − → − là phép chiếu lên q thành phần sau xác định bởi ( ) ( )1 1,..., ,...,n n q npr x x x x− += . Vì 1U được phủ bởi các tấm ( ) 1 x Π ,  1x U∈ , nên nhờ ánh xạ pr ta có thể xác định được ánh xạ ( ) ( ): 1;1 1;1q qf − → − sao cho: ( )( ) ( )( ) 1 1 1, x xm mf pr pr x Uϕ ϕ Π = Π ∈    . Kiểm chứng được rằng f là vi phôi trơn địa phương tại 0 với ( )0 0.f = Điều quan trọng là mầm vi phôi trơn địa phương hγ xác định bởi f chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân [ ]γ của đường γ trong lá L. Ta gọi mầm hγ đó là ánh xạ holonomy cảm sinh bởi γ . 61 Đặc biệt khi x y= , tương ứng [ ] hγγ  cho ta một đồng cấu nhóm ( )1: , qh L x GΠ → từ nhóm cơ bản của L (tại x ) đến nhóm các mầm vi phôi trơn địa phương tại 0 của q . Nhóm con ( )Im h trong qG gọi là nhóm holonomy của lá L. Điều đáng lưu ý là nếu phân lá ( ),V F được cho bởi phân thớ thì nhóm holonomy của mỗi lá bất kì của nó đều tầm thường: chỉ gồm phần tử đơn vị. Tương tự, nếu lá L nào đó đơn liên (tức là { }1 0( , ) 1L xΠ = ) thì nhóm holonomy của L cũng tầm thường. Lá có nhóm holonomy tầm thường còn được gọi là lá không có holonomy. 3.1.2. Phỏng nhóm Holonomy của phân lá Giả sử ( ),V F là một phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp H (không nhất thiết Hausdorff), có số chiều dim dim dimH V F= + mà được gọi là phỏng nhóm holonomy của phân lá đã cho. Phép xây dựng H được đưa ra bởi Winkelnkemper (xem [8, Mục 5]). Một phần tử γ của H được cho bởi hai điểm ( ) ( ),x s y rγ γ= = trong V và một lớp tương đương của các đường trơn ( ), [0,1], (0) , (1)∈ = =t t x yγ γ γ tiếp xúc với phân thớ F (tức là ( )'( ) , [0,1]tt F tγγ ∈ ∀ ∈ , điều này suy ra x, y thuộc cùng một lá) bởi quan hệ tương đương sau: 1γ tương đương với 2γ nếu ( )12 1h γ γ − là phép đồng nhất. Trong H có phép nhân tự nhiên như sau: với , ' Hγ γ ∈ thì 'γ γ có nghĩa khi ( ) ( )'s rγ γ= . Với phép toán này thì H là một phỏng nhóm, do đó H còn được gọi là phỏng nhóm holonomy hay đồ thị của phân lá ( ),V F . 62 Cấu trúc đa tạp trên V cho ta một tôpô trên H mà tiền cơ sở của nó là các tập có dạng: ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }| , ', 'H x s U y r U h pr x pr yγγ γ γΓ = ∈ = ∈ = ∈ = , ở đó ( ) ( ) ( ) ' 1;1 , ' ' 1;1 dimq qU U q co F ϕ ϕ ≅Π× − ≅Π × − = là các bản đồ phân lá của V, và ( ) ( ): 1;1 , ' : ' 1;1q qpr U pr U→ − → − là các phép ngập lên tập hoành ( )1;1 q− . Họ các tập Γ như trên cũng xác định một atlat trên H, và do đó H trở thành một đa tạp khả vi ( )dim dimV F+ -chiều. Khi đó các ánh xạ , r s từ H vào V là các phép ngập, và ánh xạ ( , ) :s r H V V→ × là một phép dìm có ảnh là tập { }0( , ) : ,x y V V x y L V F∈ × ∈ ∈ . Nói về tính Hausdorff của H, ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 3.1.1. Đồ thị H của phân lá ( ),V F là Hausdorff nếu và chỉ nếu: với mọi cặp điểm ( ),x y thuộc cùng một lá L nào đó, và với mọi cặp đường trơn 1 2, γ γ trên L nối x với y , các ánh xạ holonomy 1 2h , hγ γ sẽ trùng nhau nếu chúng đồng nhất trên một tập con mở (của miền xác định) mà có bao đóng chứa x . 3.1.3. Không gian các nửa mật độ • Cho ( , )V F là phân lá k - chiều định hướng được, với mỗi x V∈ ta định nghĩa: { }1 21 2 : : : ( ) ( ), ,k kx x xF v v v F Ω ρ Λ ρ λ λ ρ Λ λ= → = ∀ ∈ ∀ ∈  . Ở đây, k xFΛ là không gian véctơ thực một chiều các k −dạng tuyến tính đan dấu trên xF (tức là với một bản đồ địa phương của L tại x thì k xFΛ có cơ sở là { }1 2 ... kdx dx dx∧ ∧ ∧ ). Ta thấy ngay 1 2xΩ cùng với phép toán thông thường 63 trên các hàm là một không gian véctơ phức một chiều. Hơn nữa, họ ( )1 2x x VΩ ∈ là một phân thớ vectơ phức một chiều. Ta gọi 1 2( )x x VΩ ∈ là phân thớ các nửa mật độ trên V . Với mỗi Hγ ∈ , giả sử ( )s xγ = , ( )r yγ = , ta đặt 1 2 1 2 1 2x yγΩ Ω Ω= ⊗ , thì 1 2 γΩ là không gian véctơ phức một chiều. • Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp H Hausdorff. Cụ thể, ta đặt: ( ) {1 2 1 2, : : ( ) |cC H f H f γΩ γ γ Ω∞ = ∈ ∈ f trơn và }supp compactf là không gian các nửa mật độ trơn có giá compact trên H. Vì V định hướng nên ( )k x x VFΛ ∈ là phân thớ tầm thường trên V , do đó ( )1 2x x VΩ ∈ cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường hoá ( )1 2x x Vv V∈∈ Ω ≅ × , tức là cố định một cơ sở cho mỗi 1 2 xΩ , do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi 1 2 , HγΩ γ ∈ . Khi đó ta có thể đồng nhất hàm ( )cf C H∞∈ (không gian các hàm trơn trên H có giá compact và nhận giá trị phức) với hàm ( )1 2.( ) ,cf v s v r C H Ω∞⊗ ∈  theo cách như sau: Với Hγ ∈ , ( ) ( ).( ) ( ) ( ). ( ) ( )f v s v r f v s v rγ γ γ γ⊗ = ⊗    , trong đó ( )( ) ( )v s v rγ γ⊗  là một cơ sở cố định qua v của 1 2γΩ , nên khi đó ( ) 1 2( ). ( ) ( )f v s v r γγ γ γ Ω⊗ ∈  . • Xét trường hợp H không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của H để định nghĩa ( )1 2,cC H Ω∞ như sau: Với mỗi bản đồ địa phương ( ),U ϕ của đa tạp H ta xét các hàm thực ( )n kch C∞ +∈  , ( )supph Uϕ⊂ , ta có ( )ch C Uϕ ∞∈ . Vì U 64 Hausdorff nên có thể đồng nhất ( )ch C Uϕ ∞∈ với ( )1 2,cC U Ω∞ như trong trường hợp trên. Do đó, nếu ta định nghĩa ( )cC H∞ là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các h ϕ như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất ( )cC H∞ với ( )1 2,cC H Ω∞ là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các ( )1 2,cf C U Ω∞∈ . Như vậy là ta đã định nghĩa được ( )1 2,cC H Ω∞ cho cả hai trường hợp Hausdorff và không Hausdorff của H. ( )1 2,cC H Ω∞ là một không gian véctơ và được gọi là không gian các nửa mật độ trơn trên H. 3.1.4. C*-đại số Connes liên kết với một phân lá Trước hết, ta trang bị tích chập và phép đối hợp trên không gian véctơ ( )1 2,cC H Ω∞ . Cụ thể, với mọi ( )1 2, ,cf g C H Ω∞∈ ta định nghĩa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 * 1 1 2. ;f g f g f fγ γ γγ γ γ γ γ − = ∗ = =∫  . Với hai phép toán này, ( )1 2,cC H Ω∞ trở thành một ∗−đại số. Với mỗi { }, , ( )xx V H H s xγ γ∈ = ∈ = là phủ holonomy của lá chứa x , ta có một biểu diễn tự nhiên xπ của ( )1 2,cC H Ω∞ trên ( )2 1 2,xL H Ω (không gian các nửa mật độ trên xH bình phương khả tích) như sau: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ). ( ), , , , , .x c x xf f f C H L H Hγ γ γπ η γ γ η γ Ω η Ω γ ∞ = = ∈ ∈ ∈∫  Khi đó, ta xác định được một chuẩn trên