Luận văn Không gian phân thớ và một vài tính chất

T ), A ⊂ X . TËp con U cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ mét l©n cËn cña tËp A nÕu trong U cã mét tËp con më chøa A. Ta hiÓu mét l©n cËn cña phÇn tö x ∈ X lµ l©n cËn cña tËp con {x} §Þnh nghÜa 1.3. ([1]-Tr.57) TËp con A cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ tËp ®ãng nÕu phÇn bï cña A trong X lµ tËp më. VÝ dô 1.2. ([1]-Tr.57,58) 1. XÐt kh«ng gian t«p« th« X . Khi ®ã ta cã tËp X vµ ∅ ®ång thêi võa lµ tËp ®ãng, võa lµ tËp më. 2. XÐt R víi t«p« tù nhiªn th× mçi kho¶ng (a, b) = {x : a < x < b} lµ mét tËp më, mçi ®o¹n [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} lµ mét tËp ®ãng. §Þnh nghÜa 1.4. ([1]-Tr.98) Cho (X, T ) lµ mét kh«ng gian t«p«, Y ⊂ X . Khi ®ã hä U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ T } lµ mét t«p« trªn Y . T«p« U ®­îc gäi lµ t«p« c¶m sinh bëi t«p« T trªn Y . Kh«ng gian (Y,U) ®­îc gäi lµ kh«ng gian con cña kh«ng kh«ng gian t«p« (X, T ). §Þnh nghÜa 1.5. ([1]-Tr.91) Kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ T2−kh«ng gian (hay kh«ng gian Hausdorff) nÕu víi mäi x, y ∈ X mµ x 6= y tån t¹i c¸c l©n cËn Ux cña x vµ Vy cña y sao cho Ux ∩ Vy = ∅. VÝ dô 1.3. 1. Mäi kh«ng gian metric ®Òu lµ kh«ng gian Hausdorff. ThËt vËy, gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian metric bÊt k× vµ a, b ∈ X, a 6= b. Khi ®ã ta cã d(a, b) =  > 0. XÐt c¸c h×nh cÇu më G = S(a, 3), H = S(b,  3). Ta cÇn chøng minh G ∩H = ∅. ThËt vËy, nÕu tån t¹i p ∈ G ∩H th× ta cã d(a, p) < 3 vµ d(b, p) < 3 . 10 MÆt kh¸c ta cã d(a, b) ≤ d(a, p) + d(b, p) Suy ra  ≤  3 +  3 = 2 3 ( V« lÝ ) VËy X lµ kh«ng gian Hausdorff. 2. ([1]-Tr.92) Kh«ng gian t«p« rêi r¹c lµ kh«ng gian Hausdorff. 1.2 ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa 1.6. ([1]-Tr.79) Cho (X, T ), (Y,U) lµ hai kh«ng gian t«p«. Mét ¸nh x¹ f : (X, T ) −→ (Y,U) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mçi l©n cËn W cña f(x0) tån t¹i l©n cËn V cña x0 sao cho f(V ) ⊂ W . NÕu f liªn tôc víi mäi x ∈ X th× f ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn X. §Þnh lÝ 1.1. ([1]-Tr.80) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y . Khi ®ã ¸nh x¹ f liªn tôc t¹i x ∈ X khi vµ chØ khi víi mçi l©n cËn W cña f(x) th× f−1(W ) lµ l©n cËn cña x. Chøng minh. ([1]-Tr.80) Gi¶ sö f : X −→ Y liªn tôc t¹i x ∈ X vµ W lµ mét l©n cËn cña f(x). Khi ®ã do f liªn tôc t¹i x nªn tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho f(V ) ⊂ W , suy ra V ⊂ f−1(W ), do ®ã f−1(W ) lµ mét l©n cËn cña x. Ng­îc l¹i, gi¶ sö W lµ mét l©n cËn cña f(x). Theo gi¶ thiÕt f−1(W ) lµ mét l©n cËn cña x. §Æt V = f−1(W ). Khi ®ã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f(V ) ⊂ W nªn f liªn tôc t¹i x. §Þnh lÝ 1.2. ([1]-Tr.80) Cho (X, T ), (Y,U) lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (a) f lµ ¸nh x¹ liªn tôc; 11 (b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ tËp më; (c) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ®ãng lµ tËp ®ãng; (d) ∀A ∈ X ⇒ f(A) ⊂ f(A); (e) ∀B ∈ Y ⇒ f−1(B0) ⊂ (f−1(B))0. Chøng minh. ([1]-Tr.81) (a)⇒ (b) Gi¶ sö G lµ mét tËp më trong Y , G 6= ∅. Víi mçi x ∈ f−1(G) ta cã f(x) ∈ G, do f liªn tôc nªn tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho f(V ) ⊂ G ⇒ x ∈ V ⊂ f−1(G), do ®ã f−1(G) lµ mét l©n cËn cña x ⇒ f−1(G) lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã nªn f−1(G) lµ tËp më. (b)⇒ (c) XÐt F lµ mét tËp ®ãng trong Y . Ta cã Y \F lµ tËp më, theo (b) ta cã f−1(Y \F ) = X\f−1(F ) lµ tËp më. Do ®ã f−1(F ) lµ tËp ®ãng. (c)⇒ (d) Víi mäi A ∈ X , theo (c) ta cã f−1(f(A)) lµ tËp ®ãng. MÆt kh¸c do f(A) ⊂ f(A) nªn A ⊂ f−1(f(A)). Do ®ã f(A) ⊂ f(A). (d)⇒ (e) Víi mäi B ∈ Y , theo (d) ta cã f(f−1(B)) ⊂ f(f−1(B)) ⊂ B Suy ra f−1(B) ⊂ f−1(B). Do ®ã ∀B ∈ Y ta cã: X\f−1(B) = f−1(Y \B) ⊂ f−1(Y \B) Suy ra f−1(B0) = X\f−1(Y \B) ⊂ X\X\f−1(B) = (f−1(B))0 (e)⇒ (a) Víi mçi x ∈ X , gäi W lµ l©n cËn më cña f(x). Theo gi¶ thiÕt ta cã: x ∈ f−1(W ) = f−1(W 0) ⊂ (f−1(W ))0 12 §Æt V = (f−1(W ))0, ta cã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f(V ) ⊂ W . Do ®ã f liªn tôc tai x, suy ra f liªn tôc trªn X . §Þnh lÝ 1.3. ([1]-Tr.82) Cho (X, TX), (Y, TY ), (Z, TZ) lµ c¸c kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y, g : Y −→ Z lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã g◦f : X −→ Z lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Chøng minh. ([1]-Tr.82) Víi mäi G ∈ TZ . Do g liªn tôc nªn g−1(G) ∈ TY . Do f liªn tôc nªn f−1(g−1(G)) ∈ TX . Cho nªn g◦f liªn tôc. §Þnh nghÜa 1.7. ([1]-Tr.83) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«. ¸nh x¹ f : X −→ Y ®­îc gäi lµ mét phÐp ®ång ph«i nÕu f lµ mét song ¸nh, f liªn tôc vµ f−1 liªn tôc. Khi ®ã hai kh«ng gian X vµ Y ®­îc gäi lµ ®ång ph«i víi nhau hay lµ t­¬ng ®­¬ng t«p«. §Þnh nghÜa 1.8. ([1]-Tr.82) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y . Khi ®ã, f ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ më (®ãng) nÕu víi mäi tËp A më (®ãng) trong X th× f(A) më (®ãng) trong Y . 1.3 Lý thuyÕt ph¹m trï §Þnh nghÜa 1.9. ([5]-Tr.8,9) Mét ph¹m trï C ®­îc cho bëi: (I) Mét líp c¸c ®èi t­îng cña C kÝ hiÖu Ob(C). Mçi phÇn tö cña Ob(C) lµ mét vËt cña C. (II) Hai vËt A,B ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét tËp hîp MorC(A,B) ®­îc gäi lµ c¸c cÊu x¹ tõ A vµo B tháa m·n: nÕu (A,B), (C,D) lµ c¸c cÆp vËt cña C mµ (A,B) 6= (C,D) th×: MorC(A,B) ∩MorC(C,D) = ∅ 13 (III) Víi mçi bé ba (A,B,C) ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét ¸nh x¹: MorC(B,C)×MorC(A,B) −→MorC(A,C) (β, α) 7−→ βα ®­îc gäi lµ phÐp nh©n cÊu x¹, tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: (i) ∀α ∈MorC(A,B), β ∈MorC(B,C), γ ∈MorC(C,D) ta cã: γ(βα) = (γβ)α (ii) ∀A ∈ Ob(C),∃IdA ∈MorC(A,A) sao cho ∀f ∈MorC(A,B), g ∈MorC(C,A) ta cã: (f)IdA = f, IdA(g) = g Ta kÝ hiÖu Mor(C) = ⋃ A,B∈Ob(C) MorC(A,B) VÝ dô 1.4. ([5]-Tr.9,10) 1. Ph¹m trï tËp hîp, kÝ hiÖu Set, bao gåm: mçi vËt lµ mét tËp hîp, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 2. Ph¹m trï kh«ng gian t«p«, kÝ hiÖu Top bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian t«p«, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 3. Ph¹m trï kh«ng gian Vect¬, kÝ hiÖu Vect bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian vect¬, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 4. Ph¹m trï tËp hîp víi ®iÓm c¬ së bao gåm: mçi vËt lµ mét cÆp (A, x0), x0 ∈ A, mét cÊu x¹ gi÷a hai vËt (A, x0) vµ (B, y0) lµ mét ¸nh x¹ f : A −→ B 14 tháa m·n f(x0) = y0, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 1.4 §a t¹p kh¶ vi §Þnh nghÜa 1.10. ([7]-Tr.6)(§a t¹p t«p«) Mét kh«ng gian t«p« (X, T ) ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu nÕu X lµ Hausdorff, tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®­îc thø hai vµ ®ång ph«i ®Þa ph­¬ng víi Rn. §Þnh nghÜa 1.11. ([7]-Tr.7) Cho M lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu. Mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng (hoÆc hÖ täa ®é ®Þa ph­¬ng) cña M lµ mét cÆp (U, φ) víi U lµ mét tËp më kh¸c rçng trong M , φ lµ mét ®ång ph«i tõ U tíi tËp më φ(U) trong Rn. H×nh 1.1: B¶n ®å VÝ dô 1.5. XÐt elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) §Æt U = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U = (−a, a). XÐt ¸nh x¹: ϕ : U −→ U A(x, y) 7−→ x Khi ®ã ta cã (U,ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). ThËt vËy, ta cã 15 H×nh 1.2: Elip (+) Râ rµng U më trong (E) vµ U më trong R (+) ϕ lµ ®ång ph«i ϕ lµ ®¬n ¸nh: Víi mäi A(x1, y1), B(x2, y2) ∈ U mµ ϕ(A) = ϕ(B), ta cã x1 = x2 ⇒ y1 = b a √ a2 − x21 = b a √ a2 − x22 = y2 ⇒ A ≡ B ϕ lµ toµn ¸nh: Víi mäi t ∈ U , xÐt A(t, b a √ a2 − t2) ∈ U . Ta cã ϕ(A) = t ϕ, ϕ−1 liªn tôc: Ta cã ϕ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn tôc. Ngoµi ra ϕ−1 : t 7−→ (t, b a √ a2 − t2) liªn tôc. VËy (U,ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). §Þnh nghÜa 1.12. ([7]-Tr.7) Hai b¶n ®å (U, φ), (V, ψ) ®­îc gäi lµ Ck−phï hîp, k ∈ (N\{0})∪{∞}, nÕu U∩V = ∅ hoÆc φ◦ψ−1 := ψ(U∩V ) −→ Rn vµ ψ◦φ−1 := φ(U ∩ V ) −→ Rn thuéc líp Ck. 16 H×nh 1.3: B¶n ®å phï hîp VÝ dô 1.6. XÐt elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) H×nh 1.4: Elip §Æt U1 = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). XÐt ¸nh x¹ ϕ1 : U1 −→ U 1 A(x, y) 7−→ x 17 §Æt U2 = {A(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). XÐt ¸nh x¹ ϕ2 : U2 −→ U 2 A(x, y) 7−→ y Chøng minh t­¬ng tù vÝ dô 1.5 ta cã (U1, ϕ1) vµ (U2, ϕ2) lµ c¸c b¶n ®å cña (E). §Æt W = U1 ∩ U2 = {A(x, y)|x > 0, y > 0},W1 = ϕ1(W ) = (0, a),W2 = ϕ2(W ) = (0, b). XÐt ¸nh x¹: f : W1 −→ W2 x 7−→ f(x) = ϕ2 ◦ ϕ1(x) = b a √ a2 − x2 Râ rµng f lµ vi ph«i. Do ®ã ta cã (U1, ϕ1) vµ (U2, ϕ2) phï hîp. §Þnh nghÜa 1.13. ([7]-Tr.7) (Atlas trªn mét ®a t¹p) Cho M lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu. Mét Atlas kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0})∪{∞} trªn M lµ mét líp c¸c b¶n ®å A = {(Ui, φi)}i∈I tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) A lµ mét phñ cña M , tøc lµ M = ⋃i∈I Ui. (ii) Hai b¶n ®å bÊt k× cña A lµ Ck−phï hîp. §Þnh nghÜa 1.14. ([7]-Tr.7) Cho M lµ mét ®a t¹p n chiÒu, mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} trªn M lµ mét Atlas cùc ®¹i trªn M . Mét ®a t¹p t«p« ®­îc trang bÞ mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0})∪{∞} ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p kh¶ vi cÊp k. VÝ dô 1.7. Ta cã (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. ThËt vËy, ®Æt: 18 (1) U1 = {(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). ϕ1 : U1 −→ U 1 (x, y) 7−→ x (2) U2 = {(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). ϕ2 : U2 −→ U 2 (x, y) 7−→ y (3) U3 = {(x, y) ∈ (E)|y < 0}, U 3 = (−a, a). ϕ3 : U3 −→ U 3 (x, y) 7−→ x (4) U4 = {(x, y) ∈ (E)|x < 0}, U 4 = (−b, b). ϕ4 : U4 −→ U 4 (x, y) 7−→ y Khi ®ã ta cã {Uα, ϕα}4α=1 lµ mét cÊu tróc kh¶ vi cña (E). Do ®ã (E) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. 1.5 CW-phøc §Þnh nghÜa 1.15. ([3]-Tr.113) Mét khoang phøc X lµ mét kh«ng gian Hausdorff, lµ hîp c¸c kh«ng gian con rêi nhau eα(α ∈ A) (®­îc gäi lµ c¸c khoang) vµ tháa m·n: (a) Víi mçi khoang lu«n cã mét sè nguyªn n ≥ 0 gäi lµ chiÒu cña nã. NÕu eα cã chiÒu n ta kÝ hiÖu lµ e n α. Ta kÝ hiÖu X n lµ tËp hîp cña tÊt c¶ c¸c khoang ekα víi k ≤ n ®­îc gäi lµ n−s­ên. 19 (b) NÕu enα lµ n−khoang, th× tån t¹i mét ¸nh x¹ ®Æc tr­ng: χα : (B n, Sn−1) −→ (X,Xn−1) tháa m·n χ|Bn\Sn−1 lµ mét ®ång ph«i tõ Bn\Sn−1 ®Õn enα. §Þnh nghÜa 1.16. ([3]-Tr.115) Cho X lµ mét khoang phøc. X ®­îc gäi lµ mét CW− phøc nÕu tháa m·n: (i) (TÝnh ®ãng h÷u h¹n) Víi mçi khoang enα th× K(e n α) lµ mét phøc con h÷u h¹n. Trong ®ã K(enα) lµ giao tÊt c¶ c¸c phøc con chøa e n α. (ii) (T«p« yÕu) Víi mçi tËp con F ⊂ X , F lµ tËp ®ãng nÕu F ∩ enα lµ compact víi mçi khoang enα. §Þnh nghÜa 1.17. ([3]-Tr.115) Mét cÆp (X,A) ®­îc gäi lµ mét quan hÖ CW−phøc nÕu X lµ mét kh«ng gian Hausdorff vµ X\A lµ hîp c¸c kh«ng gian con rêi nhau eα(α ∈ A) (®­îc gäi lµ c¸c khoang) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn trong §Þnh nghÜa 1.15 . Ch­¬ng 2 Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt 2.1 Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí (ph©n thí) vµ mét sè vÝ dô §Þnh nghÜa 2.1. ([6]- Tr.3) Mét ph©n thí bao gåm: (i) Mét kh«ng gian t«p« E gäi lµ kh«ng gian toµn phÇn (ii) Mét kh«ng gian t«p« B gäi lµ kh«ng gian c¬ së (iii) Mét ¸nh x¹ liªn tôc p : E −→ B gäi lµ phÐp chiÕu ph©n thí (iv) Mét kh«ng gian F gäi lµ thí Tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (1) p−1(b) ®ång ph«i víi F víi mäi b ∈ B (2) Víi mçi b ∈ B tån t¹i mét l©n cËn Ub cña b, vµ mét phÐp ®ång ph«i φ : Ub × F −→ p−1(Ub) sao cho p(φ(b′, x)) = b′. H×nh 2.1: Ph©n thí 20 21 Ta th­êng kÝ hiÖu ph©n thí bëi ξ = (E, p,B), η = (E, p,B), λ = (E, p,B),. . . Khi ®ã ξ(E) ®­îc gäi lµ kh«ng gian toµn phÇn cña ξ, ξ(B) ®­îc gäi lµ kh«ng gian c¬ së cña ξ. Víi mçi b ∈ B kh«ng gian p−1(b) ®­îc gäi lµ thí trªn b. VÝ dô 2.1. ([4]- Tr.11) Víi E = B × F vµ p : E −→ B x¸c ®Þnh bëi p(b, x) = b. Khi ®ã ta cã (E, p,B) lµ mét ph©n thí vµ ®­îc gäi lµ ph©n thí tÝch. ThËt vËy, do p lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn tôc. Víi mçi b ∈ B chän Ub = B vµ ¸nh x¹ φ = Id : B × F −→ B × F (b, x) 7−→ (b, x) Ta cã φ lµ phÐp ®ång ph«i vµ p(φ(b, x)) = p(b, x) = b. VÝ dô 2.2. (D¶i Mobius) Mét vÝ dô ®¬n gi¶n cña kh«ng gian ph©n thí lµ d¶i Mobius. Nã ®­îc x©y dùng b»ng c¸ch xo¾n mét ®Çu cña 1 m¶nh giÊy sau ®ã d¸n 2 ®Çu l¹i víi nhau. Khi ®ã ta mét kh«ng gian ph©n thí víi c¸c thí lµ c¸c ®o¹n th¼ng, kh«ng gian c¬ së cña c¸c ®o¹n th¼ng lµ mét ®­êng trßn. PhÐp chiÕu ph©n thí pi biÕn tÊt c¶ c¸c ®iÓm trªn mét thí thµnh mét ®iÓm trªn ®­êng trßn H×nh 2.2: D¶i Mobius 22 VÝ dô 2.3. (Ph©n thí tiÕp xóc) Cho B lµ ®a t¹p n−chiÒu. Víi mçi b ∈ B ®Æt: Tb(B) = {−→y ∈ Rn| −→y tiÕp xóc víi B t¹i b } vµ X = ⋃{Tb(B)|b ∈ B} XÐt ¸nh x¹: p : X −→ B Tb(B) 7−→ b Khi ®ã ta cã (X, p,B) lµ mét ph©n thí (gäi lµ ph©n thí tiÕp xóc cña B). H×nh 2.3: Ph©n thí tiÕp xóc, ph©n thí chuÈn t¾c VÝ dô 2.4. (Ph©n thí chuÈn t¾c) XÐt h×nh cÇu ®¬n vÞ Sn, víi mçi y ∈ Rn+1 ta xem y ≡ −→Oy. Víi mçi b ∈ Sn, ®Æt: Mb = {x ∈ Rn+1|x = kb, k ∈ R} §Æt M = ⋃{Mb|b ∈ Sn}. XÐt ¸nh x¹: q : M −→ Sn Mb 7−→ b Khi ®ã (M, q, Sn) lµ mét ph©n thí trªn Sn (gäi lµ ph©n thí chuÈn t¾c cña Sn). 23 §Þnh nghÜa 2.2. ([4]- Tr.11) (E ′, p′, B′) ®­îc gäi lµ mét ph©n thí con cña (E, p,B) nÕu E ′ lµ kh«ng gian con cña E, B′ lµ kh«ng gian con cña B vµ p′ = p|E′ : E ′ −→ B′ 2.2 Nh¸t c¾t cña ph©n thí §Þnh nghÜa 2.3. ([4]- Tr.12) Cho ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí, s : B −→ E lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc tháa m·n p◦s = 1B. Khi ®ã s ®­îc gäi lµ mét nh¸t c¾t cña ph©n thí ξ. Nãi c¸ch kh¸c mét nh¸t c¾t lµ mét ¸nh x¹ s : B −→ E tháa m·n s(b) ∈ p−1(b) víi mçi b ∈ B. H×nh 2.4: Nh¸t c¾t ph©n thí Tõ ®Þnh nghÜa nh¸t c¾t ta thÊy nÕu (E ′, p′, B′) lµ ph©n thí con cña (E, p,B), s lµ mét nh¸t c¾t cña (E, p,B) th× s lµ nh¸t c¾t cña (E ′, p′, B′) nÕu vµ chØ nÕu s(b) ∈ E ′,∀b ∈ B′. MÖnh ®Ò 2.1. ([4]- Tr.12) Mäi nh¸t c¾t cña ph©n thí tÝch (B×F, p,B) cã d¹ng s(b) = (b, f(b)) víi f : B −→ F lµ ¸nh x¹ duy nhÊt ®­îc x¸c ®Þnh bëi s. 24 Chøng minh. ([4]- Tr.12) Do s lµ nh¸t c¾t cña γ nªn ta cã: p◦s(b) = b⇔ p(u, f) = b⇒ u ≡ b, ∀b ∈ B Ta cã f lµ ¶nh cña b qua mét ¸nh x¹ g : B −→ F nªn f = g(b). 2.3 CÊu x¹ cña ph©n thí §Þnh nghÜa 2.4. ([4]- Tr.14) Cho (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) lµ hai ph©n thí. Mét cÊu x¹ cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′), kÝ hiÖu (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′), lµ mét cÆp ¸nh x¹ liªn tôc u : E −→ E ′, f : B −→ B′ tháa m·n p′u = fp, hay tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E u // p  E ′ p′  B f // B′ Tõ ®Þnh nghÜa ta cã (u, f) lµ mét cÊu x¹ cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) th× u(p−1(b)) ⊂ (p′)−1(f(b)). Do ®ã thí trªn b qua u trë thµnh thí trªn f(b). Khi p lµ toµn ¸nh th× f hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi u. VËy cÊu x¹ ph©n thí cã thÓ nãi ®ã lµ mét ¸nh x¹ b¶o toµn thí. §Þnh nghÜa 2.5. ([4]- Tr.14) Cho (E, p,B) vµ (E ′, p′, B) lµ hai ph©n thí trªn B. Mét cÊu x¹ ph©n thí trªn B (hay B-cÊu x¹) u : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B) lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc u : E −→ E ′ tháa m·n p = p′u, hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E u // p 2 22 22 22 22 22 22 E ′ p′ ~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ B 25 VÝ dô 2.5. ([4]- Tr.15) 1. Cho (E ′, p′, B′) lµ mét ph©n thí con cña ph©n thí (E, p,B) vµ u : E ′ −→ E, f : B′ −→ B lµ c¸c phÐp nhóng, khi ®ã (u, f) : (E ′, p′, B′) −→ (E, p,B) lµ mét cÊu x¹ ph©n thí. 2. Nh¸t c¾t cña (E, p,B) lµ mét B-cÊu x¹ s : (B, 1, B) −→ (E, p,B). 3. CÆp ¸nh x¹ (1E, 1B) : (E, p,B) −→ (E, p,B) lµ mét B-cÊu x¹. 4. Cho (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′) vµ (u′, f ′) : (E ′, p′, B′) −→ (E ′′, p′′, B′′) lµ hai cÊu x¹ ph©n thí. Khi ®ã ta cã (u′u, f ′f) : (E, p,B) −→ (E ′′, p′′, B′′) lµ mét cÊu x¹ ph©n thí vµ ®­îc gäi lµ sù hîp thµnh cña hai cÊu x¹ ph©n thí (u, f) vµ (u′, f ′). E u // p  E ′ u ′ // p′  E ′′ p′′  B f // B′ f ′ // B′′ §Þnh nghÜa 2.6. ([4]- Tr.15) Mét cÊu x¹ ph©n thí (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′) ®­îc gäi lµ mét ®¼ng cÊu ph©n thí nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét cÊu x¹ ph©n thí (u′, f ′) : (E ′, p′, B′) −→ (E, p,B) sao cho uu′ = 1E′, u′u = 1E, ff ′ = 1B′, f ′f = 1B. Hay nãi c¸ch kh¸c u, f lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. §Þnh nghÜa 2.7. ([4]- Tr.15) Mét ph©n thí (E, p,B) ®­îc gäi lµ tÇm th­êng víi thí F nÕu (E, p,B) lµ B-®¼ng cÊu víi ph©n thí tÝch (B × F, q, B). §Þnh nghÜa 2.8. ([4]- Tr.15) Ph¹m trï cña c¸c ph©n thí , kÝ hiÖu Bun, bao gåm: mçi vËt lµ mét ph©n thí, mçi cÊu x¹ lµ mét cÊu x¹ cña ph©n thí, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c cÊu x¹ ph©n thí . 26 Víi mçi kh«ng gian B, ta kÝ hiÖu BunB lµ ph¹m trï c¸c ph©n thí trªn B vµ c¸c B−cÊu x¹. 2.4 TÝch ph©n thí vµ thí tÝch §Þnh nghÜa 2.9. ([4]- Tr.15) TÝch cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) lµ mét ph©n thí (E × E ′, p× p′, B ×B′). Tõ ®Þnh nghÜa trªn chóng ta cã thÓ dÔ dµng m« t¶ phÐp to¸n tÝch hai ph©n thí nh­ lµ mét hµm tö Bun×Bun −→ Bun. §Þnh nghÜa 2.10. ([4]- Tr.16) Thí tÝch cña hai ph©n thí ξ1 = (E1, p1, B) vµ ξ2 = (E2, p2, B) trªn B, kÝ hiÖu ξ1⊕ ξ2, lµ ph©n thí (E1⊕E2, q, B) víi E1⊕E2 lµ kh«ng gian con cña E1×E2 gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (x, x′) ∈ E1×E2 tháa m·n p1(x) = p2(x ′) vµ q(x, x′) = p1(x) = p2(x′). Thí tÝch cßn ®­îc gäi lµ tæng Whitney. Thí q−1(b) cña (E1⊕E2, q, B) trªn b ∈ B lµ p−11 (b)× p−12 (b) ⊂ E1 × E2. MÖnh ®Ò 2.2. ([4]- Tr.16) Gi¶ sö u1 : (E1, p1, B) −→ (E ′1, p′1, B) vµ u2 : (E2, p2, B) −→ (E ′2, p′2, B) lµ hai B−cÊu x¹. Khi ®ã ta cã: u1 ⊕ u2 : (E1 ⊕ E2, q, B) −→ (E ′1 ⊕ E2, q′, B) x¸c ®Þnh bëi (u1 ⊕ u2)(x1, x2) = (u1(x1), u2(x2)) lµ mét B− cÊu x¹. Chøng minh. Do u1 : (E1, p1, B) −→ (E ′1, p′1, B) lµ B−cÊu x¹ nªn ta cã u1 liªn tôc vµ p ′ 1u1(x1) = p1(x1),∀x1 ∈ E1 hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 u1 // p1 @ @@ @@ @@ @ E ′1 p′1~~ ~ ~~ ~~ ~ B Do u2 : (E2, p2, B) −→ (E ′2, p′2, B) lµ B−cÊu x¹ nªn ta cã u2 liªn tôc vµ 27 p′2u2(x2) = p2(x2),∀x2 ∈ E2 hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E2 u2 // p2 @ @@ @@ @@ @ E ′2 p′2~~ ~ ~~ ~~ ~ B §Æt v = u1 ⊕ u2, do u1, u2 liªn tôc nªn v liªn tôc. Ta cÇn chøng minh s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 ⊕ E2 v // q $$I II II II II I E ′1 ⊕ E ′2 q′zzuuu uuu uuu u B ThËt vËy ∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2. Ta cã: q(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) MÆt kh¸c ta cã: q′(v(x1, x2)) = q′(u1(x1), u2(x2)) = p′1u1(x1) = p ′ 2u2(x2) Theo gi¶ thiÕt ta cã: p′1u1(x1) = p1(x1) p′2u2(x2) = p2(x2) Do ®ã ta cã q′v = q. HÖ qu¶ 2.1. NÕu u1 vµ u2 lµ c¸c B−®¼ng cÊu th× u1⊕ u2 lµ mét B−®¼ng cÊu. Chøng minh. Ta cã do u1, u2 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i nªn u1 ⊕ u2 lµ phÐp ®ång ph«i, kÕt hîp víi MÖnh ®Ò 2.2 ta cã ®pcm. MÖnh ®Ò 2.3. ([4]- Tr.16) NÕu (E1, p1, B) lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1, (E2, p2, B) lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F2 th× (E1, p1, B)⊕(E2, p2, B) 28 lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1 × F2. Chøng minh. Do (E1, p1, B) lµ mét ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1 nªn tån t¹i phÐp ®ång ph«i u1 : E1 −→ B × F1 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 u1 // p1 A AA AA AA A B × F1 q1 zzvv vv vv vv v B Víi q1 : (b1, x) 7−→ b1 Ta cã ∀x1 ∈ E1 ⇒ u1(x1) = (p1(x1), f1(x1)) víi f1 : E1 −→ F1 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi u1. Do u1 lµ phÐp ®ång ph«i nªn ta cã p1, f1 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. T­¬ng tù ta cã tån t¹i phÐp ®ång ph«i u2 : E2 −→ B × F2 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E2 u2 // p2 A AA AA AA A B × F2 q2 zzvv vv vv vv v B Víi q2 : (b2, x) 7−→ b2 Ta cã ∀x2 ∈ E2 ⇒ u2(x2) = (p2(x2), f2(x2)) víi f2 : E2 −→ F2 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi u2. Do u2 lµ phÐp ®ång ph«i nªn ta cã p2, f2 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. Ta cÇn chøng minh tån t¹i phÐp ®ång ph«i v : E1 ⊕E2 −→ B × F1 × F2 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 ⊕ E2 v // q $$II III III II B × F1 × F2 q′xxqqq qqq qqq qqq B Ta cã: ∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2 ⇒ q(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) XÐt v x¸c ®Þnh nh­ sau:∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2: v(x1, x2) = (p1(x1), f1(x1), f2(x2)) = (p2(x2), f1(x1), f2(x2)) 29 Khi ®ã ta cã v lµ phÐp ®ång ph«i. MÆt kh¸c ta cã: q′v(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) = q(x1, x2) Do ®ã MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. MÖnh ®Ò 2.4. ([4]- Tr.16) Nh¸t c¾t cña thí tÝch (E1 ⊕ E2, q, B) lu«n cã d¹ng s(b) = (s1(b), s2(b)) víi s1 lµ mét nh¸t c¾t cña (E1, p1, B) vµ s2 lµ mét nh¸t c¾t cña (E2, p2, B) x¸c ®Þnh duy nhÊt bíi s. Chøng minh. ([4]- Tr.16) Gi¶ sö s : B −→ E1 ⊕ E2 lµ mét nh¸t c¾t , vµ s(b) = (s1(b), s2(b)). Do s lµ tiÕt diÖn ngang nªn ta cã b = qs(b) = p1s1(b) = p2s2(b), ∀b ∈ B Do ®ã s1, s2 lµ c¸c nh¸t c¾t x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi s. 2.5 Sù h¹n chÕ (thu hÑp) cña ph©n thí, ph©n thí c¶m sinh §Þnh nghÜa 2.11. ([4]- Tr.17) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), A lµ mét kh«ng gian con cña B. Khi ®ã sù h¹n chÕ cña ξ trªn A, kÝ hiÖu ξ|A, lµ ph©n thí (E ′, p′, A) trong ®ã E ′ = p−1(A) vµ p|E ′ = p′. VÝ dô 2.6. ([4]- Tr.17,18) Cho ξ = (B × F, p,B) lµ mét ph©n thí tÝch trªn B víi thí F vµ A lµ mét tËp con cña B. Khi ®ã ξ|A = (A×F, p, A) lµ mét thí tÝch trªn A víi thí F . Sù thu hÑp cña ph©n thí tháa m·n tÝnh chÊt b¾c cÇu. NÕu A1 ⊂ A ⊂ B vµ ξ lµ mét ph©n thí trªn B, th× ta cã ξ|A1 = (ξ|A)|A1 vµ ξ|B = ξ. NÕu u : ξ −→ η lµ B−cÊu x¹ vµ A ⊂ B. Khi ®ã: uA = u|(E(ξ|A)) : ξ|A −→ η|A 30 lµ mét A−cÊu x¹. NÕu v : η −→ ξ lµ mét B−cÊu x¹ thø hai, ta cã (vu)A = vAuA vµ (1ξ)A = 1ξ|A. Do ®ã, c¸c hµm ξ 7−→ ξ|A vµ u 7−→ uA ®­îc x¸c ®Þnh nh­ c¸c hµm tö BunB −→ BunA. §Þnh nghÜa 2.12. ([4]- Tr.18) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Ph©n thí c¶m sinh cña ξ qua ¸nh x¹ f , kÝ hiÖu f ∗(ξ), lµ mét ph©n thí cã kh«ng gian c¬ së lµ B1, kh«ng gian tæng E1 lµ mét kh«ng gian con cña kh«ng gian bao gåm c¸c cÆp (b1, x) ∈ B1×E víi f(b1) = p(x), vµ phÐp chiÕu p1 : (b1, x) 7→ b1. VÝ dô 2.7. 1. Cho ξ lµ mét ph©n thí trªn B vµ A lµ mét kh«ng gian con cña B víi phÐp nhóng j : A −→ B. Khi ®ã ξ|A = (E(ξ|A), p, A) vµ j∗(ξ) = (E(j∗(ξ)), p′, A) lµ A−®¼ng cÊu. ThËt vËy ta xÐt u : E(ξ|A) −→ E(j∗(ξ)) x 7−→ u(x) = (p(x), x) Ta cã p′u(x) = p′(p(x), x) = p(x)⇒ u lµ A−cÊu x¹ MÆt kh¸c xÐt: u′ : E(j∗(ξ)) −→ E(ξ|A) (p(x), x) 7−→ u′(p(x), x)) = x Ta cã u′ lµ A−cÊu x¹, vµ uu′ = 1E(j∗(ξ)), u′u = 1E(ξ|A) Do ®ã u lµ A−®¼ng cÊu. Hay ξ|A vµ j∗(ξ) lµ A−®¼ng cÊu. 2. Cho f ∗(ξ) lµ ph©n thí c¶m sinh cña ξ = (E, p,B) d­íi ¸nh x¹ f : B1 −→ B, vµ fξ : E(f ∗(ξ)) −→ E(ξ) x¸c ®Þnh bëi fξ(b1, x) = x. Khi ®ã fξ cïng víi f x¸c ®Þnh mét cÊu x¹ (fξ, f) : f ∗(ξ) −→ ξ, nã ®­îc gäi lµ cÊu x¹ chuÈn t¾c cña ph©n thí c¶m sinh. 31 ThËt vËy E(f ∗(ξ)) p1 // fξ  B1 f  E p // B ∀(b1, x) ∈ E(f ∗(ξ))⇒ pfξ(b1, x) = p(x) = f(b1) = fp1(b1, x) MÖnh ®Ò 2.5. ([4]- Tr.18) Cho ξ = (E, p,B), vµ (fξ, f) : f ∗(ξ) −→ ξ lµ cÊu x¹ chuÈn t¾c cña ph©n thí ξ d­íi ¸nh x¹ f : B1 −→ B. Khi ®ã víi mçi b1 ∈ B1 th× h¹n chÕ fξ : p−11 (b1) −→ p−1(f(b1)) lµ mét phÐp ®ång ph«i. H¬n n÷a nÕu η lµ mét ph©n thí bÊt k× trªn B1, vµ (v, f) : η −→ ξ lµ mét cÊu x¹ ph©n thí bÊt k×, khi ®ã tån t¹i mét B1−cÊu x¹ w : η −→ f ∗(ξ) tháa m·n fξw = v. CÊu x¹ w lµ duy nhÊt theo mèi quan hÖ trªn. Chøng minh. ([4]- Tr.18) Gi¶ sö f ∗(ξ) = (E1, p1, B1), trong ®ã E1 lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp (b1, x) ∈ B1 × E víi f(b1) = p(x), p1 : (b1, x) 7→ b1. Víi mçi b1 ∈ B1 thí p−11 (b1) ⊂ b1 ×E lµ kh«ng gian con bao gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (b1, x) ∈ b1 × E víi p(x) = f(b1)⇔ x ∈ p−1(f(b1)). fξ : p −1 1 (b1) −→ p−1(f(b1)) ®­îc viÕt l¹i nh­ sau: fξ : b1 × p−1(f(b1)) −→ p−1(f(b1)) (b1, x) 7−→ x §©y râ rµng lµ phÐp ®ång ph«i. B©y giê xÐt η = (E2, p2, B1), vµ (v, f) : η −→ ξ lµ mét cÊu x¹ ph©n thí bÊt k×, suy ra pv = fp2. 32 XÐt ¸nh x¹ w x¸c ®Þnh nh­ sau: w : E2 −→ E1 y 7−→ w(y) = (p2(y), v(y)) Khi ®ã ta cã p1w(y) = p2(y) nªn w lµ mét B1−cÊu x¹. MÆt kh¸c ta cã fξw(y) = fξ(p2(y), v(y)) = v(y)⇒ fξw = v, vµ theo c¸ch ®Þnh nghÜa w ta cã w lµ duy nhÊt theo tÝnh chÊt trªn. §Þnh nghÜa 2.13. ([4]- Tr.18) Cho u : ξ −→ η lµ mét B−cÊu x¹ vµ f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, khi ®ã ®Þnh nghÜa B1−cÊu x¹ f ∗(u) nh­ sau: f ∗(u) : f ∗(ξ) −→ f ∗(η) (b1, x) 7−→ (b1, u(x)) Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã f ∗(1ξ) = 1f∗(ξ) vµ nÕu v : η −→ ξ lµ mét B−cÊu x¹ thø 2 th× f ∗(uv)(b1, x) = (b1, vu(x)) = f ∗(v)f ∗(u)(b1, x). Do ®ã ta cã mÖnh ®Ò sau: MÖnh ®Ò 2.6. ([4]- Tr.19) Víi mçi ¸nh x¹ f : B1 −→ B, hä c¸c hµm f ∗ : BunB −→ BunB1 lµ mét hµm tö. H¬n n÷a, víi mçi B−cÊu x¹ u : ξ −→ η th× s¬ ®å sau giao ho¸n. 33 Chøng minh. Ta chØ cÇn chøng minh ufξ = fηf ∗(u). ThËt vËy,∀(b1, x) ∈ E(f ∗(ξ)), ta cã: ufξ(b1, x) = u(x) = fη(b1, u(x)) = fηf ∗(u)(b1, x) Do ®ã ta cã: ufξ = fηf ∗(u) MÖnh ®Ò 2.7. ([4]- Tr.19) Cho g : B2 −→ B1 vµ f : B1 −→ B lµ 2 ¸nh x¹ liªn tôc, vµ ξ lµ mét ph©n thí trªn B. Khi ®ã 1∗(ξ) vµ ξ lµ B−®¼ng cÊu, g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. Chøng minh. Ta cã 1∗(ξ) = (E ′, p′, B), trong ®ã E ′ = {(p(x), x) ∈ B×E} vµ p′ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt. XÐt ¸nh x¹: u : E −→ E ′ x 7−→ (p(x), x) Ta cã: ∀x ∈ E : p′(u(x)) = p′(p(x), x) = p(x) ⇒ p′u = p. MÆt kh¸c u lµ phÐp ®ång ph«i nªn 1∗(ξ) vµ ξ lµ B−®¼ng cÊu. B©y giê ta chøng minh g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. Ta cã: +) f ∗(ξ) = (E1, p1, B1) trong ®ã: (b1, x) ∈ E1 ⊂ B1 × E ⇔ f(b1) = p(x) vµ p1 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. +) g∗(f ∗(ξ)) = (E2, p2, B2) trong ®ã: (b2, b1, x) ∈ E2 ⊂ B2 ×B1 × E ⇔ g(b2) = p1(b1, x) = b1 vµ p2 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. 34 +) (fg)∗(ξ) = (E3, p3, B2) trong ®ã: (b2, x) ∈ E3 ⊂ B2 × E ⇔ fg(b2) = p(x) vµ p3 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. XÐt ¸nh x¹: v : E3 −→ E2 (b2, x) 7−→ (b2, (g(b2), x)) Khi ®ã v lµ phÐp ®ång ph«i. MÆt kh¸c ∀(b2, x) ∈ E3 ta cã: p2(v(b2, x)) = p2(b2, g(b2), x) = b2 = p3(b2, x)⇒ p2v = p3 Do ®ã ta cã g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. HÖ qu¶ 2.2. ([4]- Tr.19) Cho f : (B1, A1) −→ (B,A) lµ mét ¸nh x¹ cÆp, ®Æt g = f |A1 : A1 −→ A, vµ ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí trªn B. Khi ®ã g∗(ξ|A) vµ f ∗(ξ)|A1 lµ A1−®¼ng cÊu. Chøng minh. ([4]- Tr.19) Ta cã MÖnh ®Ò hiÓn nhiªn ®óng v× g∗(ξ|A) = f ∗(ξ)|A1 = (A1×K, p1, A1) trong ®ã K ⊂ E thâa m·n (a1, x) ∈ A1×K ⇔ f(a1) = p(x), vµ p1 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. MÖnh ®Ò 2.8. ([4]- Tr.19)([4]) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹, vµ f ∗(ξ)