Luận văn Mẫu ising và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỒNG MINH SƠN HUYỀN TRANG MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60.44.01.04 HÀ NỘI - 2016 Công trình đƣợc hoàn thành tại: Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Bạch Hƣơng Giang GS. TS. Bạch Thành Công Phản biện 1: TS. Phạm Ngọc Anh Huy Phản biện 2: TS. Nguyễn Tiến Cường Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ tại: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Thư viện Đại học Quốc gia Hà Nội 3 TÓM TẮT LUẬN VĂN MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Mẫu Ising là một mô hình toán học đơn giản mô tả các hiện tượng trong cơ học thống kê. Mục đích ban đầu của mẫu Ising, cũng là chủ đề luận án tiến sĩ của Ising là giải thích cấu trúc và tính chất của các chất sắt từ. Ở đây, Ising đã cố gắng giải thích một số dữ liệu thực nghiệm quan sát được về vật liệu sắt từ bằng cách sử dụng mô hình do người thầy của mình là Lenz đề xuất năm 1920. Kể từ khi mẫu Ising cho phép đơn giản hóa những tương tác phức tạp thì nó đã được ứng dụng thành công trong các lĩnh vực khoa học. Thống kê cho thấy trong khoảng những năm từ 1969 đến 1997 đã có hơn 12.000 bài báo về mẫu Ising được công bố, và con số này cho đến nay vẫn tăng không ngừng. Có thể kể đến các biến thể của mẫu Ising giúp hiểu được bản chất sâu xa của nhiều hiện tượng lý sinh như các đường cong bão hòa của Hemoglobin, tốc độ phản ứng ban đầu của enzyme allosteric hay mô hình mạng thần kinh và các đặc trưng quan trọng của màng lipid. Ngoài ra mô hình Ising còn được ứng dụng trong các lĩnh vực khác như kinh tế học (nghiên cứu về ảnh hưởng của kinh tế - xã hội đến chỉ số kinh doanh, phân tích chuỗi thời gian tài chính trong thị trường kinh doanh), xã hội học (hành vi xã hội của mỗi cá nhân thay đổi để phù hợp với hành vi của các cá nhân khác trong vùng lân cận của họ) hay ngôn ngữ học (sự thay đổi của ngôn ngữ), Đối với ngành Vật lý, trong nhiều thập kỷ qua, mẫu Ising chủ yếu được áp dụng để nghiên cứu các vật liệu từ. Gần đây, sự phát triển của kỹ thuật màng mỏng đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về mẫu Ising hai chiều, mẫu Ising cho màng mỏng sắt điện hoặc sắt từ trong trường ngoài. Những hướng nghiên cứu này thu hút cả các nhà vật lý lý thuyết và vật lý thực nghiệm. Về mặt lý thuyết nó giúp xác định tính chất vĩ mô của hệ vật chất. Về mặt thực nghiệm, nó được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực công nghệ khác nhau, chẳng hạn như trong lưu trữ dữ liệu, xúc tác, điện tử, ... tạo những bước ngoặt lớn trong tiến bộ của khoa học công nghệ. 4 Trong luận văn này, tôi tiếp tục nghiên cứu phát triển mô hình Ising về mặt lý thuyết, ứng dụng trong việc khảo sát các tham số nhiệt động của mẫu Ising 2 chiều, mẫu Ising trong trường dọc, cho màng mỏng có trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết với thực nghiệm cho điểm Curie của màng mỏng sắt điện. Các tính toán được thực hiện trong gần đúng phương pháp trường trung bình và lý thuyết Landau cho mẫu Ising đồng thời so sánh với kết quả dựa trên phương pháp Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng một lớp). Mục tiêu nghiên cứu - Xây dưṇg lý thuyết Landau cho màng mỏng có chuyển pha trật tự - không trật tự, tham số xuất phát từ mô hình Ising với spin tùy ý theo phương pháp trường trung bình . - So sánh phương pháp trường trung bình và phương pháp Monte - Carlo cho màng đơn lớp. - Áp dụng lý thuyết trường trung bìn h giải thích sư ̣phu ̣thuôc̣của nhiêṭ đ ộ Curie vào độ dày màng. Phƣơng pháp nghiên cứu - Dựa trên mô hình Ising và lý thuyết trường trung bình, lý thuyết chuyển pha Landau thực hiện các bước biến đổi giải tích theo cơ học thống kê để xây dựng các biểu thức cho năng lượng tự do, độ từ hóa và nhiệt dung của hệ spin đặc trưng cho hệ có trật tự xa, khảo sát hiện tượng chuyển pha xảy ra trên các hệ khi không vàkhi có trường ngoài tác dụng. Từ đó sử dụng các phần mềm hỗ trợ tính toán số thu được các kết quả có thể áp dụng để phân tích các kết quả thực nghiệm khác nhau cho các đại lượng nhiệt động tương ứng. - Sử dụng phương pháp Monte – Carlo áp dụng cho một số trường hợp màng một lớp (mẫu 2D)có trật tự xa để so sánh với phương pháp giải tích trong gần đúng trường trung bình. Cấu trúc luận văn Bên cạnh phần mục lục và mở đầu, cấu trúc luận văn gồm ba phần chính như sau: Chương 1: Mẫu Ising và lý thuyết chuyển pha Landau Chương 2: Áp dụng mẫu Ising và lý thuyết chuyển pha Landau cho màng mỏng có trật tự xa 5 Chương 3: Tính toán Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng một lớp) Kết luận CHƢƠNG 1: MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU 1.1. Mẫu Ising hai trạng thái (S = 1/2) Mẫu Ising là cách biểu diễn lý thuyết đơn giản nhất cho hiện tượng sắt từ, tuy nhiên nó có thể dùng để mô tả các hệ có trật tự khác nhau như trật tự sắt từ, sắt điện, hợp kim có trật tự, Xuất phát toán học của mẫu Ising: Coi mỗi nút mạng chỉ có spin σivà chỉ có hai định hướng là lên trên (spin up σi = +1) và xuống dưới (spin down σi = -1). Đối với vật liệu có trật tự khác nhau, spin có thể đặc trưng cho độ phân cực từ (vật liệu từ) hay độ phân cực điện (vật liệu sắt điện) hay tỷ số nồng độ thành phần trong hợp kim đôi trật tự. 1.2. Lý thuyết chuyển pha Landau 1.2.1. Lý thuyết chuyển pha Landau khi không có trường ngoài 6 Lý thuyết chuyển pha Landau là lý thuyết hiện tượng luận cho chuyển pha trật tự - mất trật tự trong đó tham số trật tự  ở pha trật tự khác không và nó bằng không ở pha mất trật tự. Biểu thức năng lượng tự do Landau gần điểm chuyển pha có dạng: F = a(T – TC) 𝜂2 2 + β 𝜂4 4 + (ở đây, η là tham số trật tự có thể là độ từ hóa trung bình, trật tự xa, mật độ dòng siêu lỏng hoặc mật độ dòng siêu dẫn). Đặt: A = mω0 2 = a(T - TC) ; B = 22 ' d c   ; C = γ > 0 ta được biểu thức của năng lượng tự do của hệ với trật tự đặc trưng bởi tham số  là chủ yếu:   2 6 4sgn 2 4 6 BA F B C      (1.13) Đặt: 3 0 2 B F C  ; 2 AC B   ; 0 F f F  ta được biểu thức năng lượng tự do không thứ nguyên:  2 4 6sgn 1 2 4 6 B f       (1.17) Biểu thức (1.17) thuận lợi cho việc khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự không thứ nguyên  bằng cách thay đổi giá trị của α. 7 Hình 1.1: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng tự do không thứ nguyên f theo tham số trật tự không thứ nguyên  với các giá trị khác nhau của tham số  1.2.2. Lý thuyết chuyển pha Landau khi có trường ngoài Biểu thức năng lượng tư do F có dạng:   2 6 4sgn ' 2 4 6 BA F B C h        (1.24) Đặt 0     ; 1 2 0 B C         2 2 0 B C        ; 3 0 2 B F C  Với α = 2 AC B ; h = 3 2 5 2 ' C h B ta thu được năng lượng tự do không thứ nguyên:  2 4 6sgn 1 2 4 6 B f h         (1.27) Trong đó: ξ là độ từ hóa tỉ đối không thứ nguyên η là độ từ hóa η0 là độ từ hóa bão hòa 8 Dựa vào biểu thức (1.27) ta sẽ khảo sát được sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự không thứ nguyên ξ. Hình 1.2: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự không thứ nguyên ξ theo từ trường ngoài h, tham số α = 0.1, sgn(B) = -1. Hình 1.2 là đường biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự không thứ nguyên ξ vào từ trường ngoài h khi tham số α = 0.1 vàsgn(B) = -1.Trạng thái giả bền (đường nét đứt) có thể tồn tại khi trường ngoài bé. 1.3. Lý thuyết trƣờng trung bình cho mẫu Ising spin -1/2 trong trƣờng dọc Xét hệ spin trong mạng tinh thể với Hamiltonian Ising sau: H = - J /2 ij Nq i j     - h 1 N k k    (1.32) trong đó: σi = ±1/2 là giá trị của hình chiếu spin của nguyên tử từ tính ở nút mạng thứ i. Biến spin σi = ±1/2 có thể được xem như thành phần z của spin -1/2 chuẩn (ma trận Pauli) với các giá trị riêng σzi = ±1/2. 9 Số hạng đầu tiên bên vế phải của phương trình (1.32) là tổng năng lượng liên kết giữa các cặp spin lân cận gần nhất, số hạng thứ hai là năng lượng Zeeman của các momen từ riêng ứng với momen spin σk trong trường ngoài h (ở đây h = g µB H, trong đó H là cường độ từ trường ngoài, g là nhân tử Lande, µB là magneton Bohr), N là tổng số các spin (hay các nút mạng) và q là số phối vị (hay số lân cận gần nhất). Mô hình Ising được cho bởi Hamiltonian phương trình (1.32) là bán cổ điển. Để tính được Hamiltonian của mẫu Ising theo công thức (1.32) cần những thuật toán rất tinh vi. Lý thuyết trường trung bình được đưa ra để tránh sự phức tạp này, bằng cách coi các spin còn lại đó như một tập hợp không tương tác với nhau và thay thế bằng một giá trị kỳ vọng, gọi là giá trị trung bình. Do đó, Hamiltonian cho mỗi spin trong trường trung bình sẽ là: Hi = - J σi 1 q j i j h     (1.33) Giá trị của từ trường hiệu dụng trong lý thuyết trường trung bình là: Hm..f = h + Jq Trong đó: m.f ký hiệu cho trường trung bình (mean field). Ta có được ước tính trường trung bình cho năng lượng tự do chính xác Gibbs của spin Ising -1/2 trong trường dọc là:   2ln 2 ln cosh 2 2 B B Nq F Nk T Nk T qJm h Jm           (1.41)   1 tanh 2 2 m qJm h        (1.42) Trong trường hợp không có từ trường ngoài (h = 0) thì: 1 tanh 2 2 qJm m        (1.43) Ta tìm được nhiệt độ chuyển pha này từ phương trình (1.43). 10 1 4 B Ck T qJ  (1.44) Trong đó: TC là nhiệt độ chuyển pha và 1 C B Ck T   là nghịch đảo của nhiệt độ chuyển pha. Khai triển năng lượng tự do theo bậc bé của độ từ hóa ở gần điểm Curie có dạng: F(h = 0, m→0) = N (A0+ A2m 2 + A4m 4 + ) (1.47.a) Năng lượng tự do tính trên một hạt sẽ là: f = F/N = A0+ A2m 2 + A4m 4 + (1.47.b) Trong công thức trên: 0 ln 2BA k T  2 1 2 4 qJ qJ A        (1.48) 3 4 24 2 qJ qJ A        (1.49) Tại nhiệt độ chuyển pha loại 2, T = TC , β = βC = 1/kBTC ; A2(βC) = 0. Từ (1.48) ta lại nhận được biểu thức (1.44) cho nhiệt độ Curie khi dùng khai triển Landau cho năng lượng tự do: 4 C B qJ T k  (1.50) Trong lý thuyết chuyển pha Landau, sự chuyển pha liên tục bị ràng buộc bởi các điều kiện A2 = 0, A4 > 0. Và theo lý thuyết này thì tại điểm chuyển pha của spin Ising -1/2 giá trị của nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc vào số phối vị q cũng như độ lớn của tích phân trao đổi J và spin (S = 1/2). 11 CHƢƠNG 2:ÁP DỤNG MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU CHO MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA 2.1. Mẫu Ising cho màng mỏng có trật tự xa, lời giải trong lý thuyết trƣờng trung bình Xét màng mỏng có trật tự xa gồm n lớp song song xếp chồng lên nhau, mỗi lớp có N spin. 12 Hamiltonian Ising cho hệ spin trong màng mỏng cấu trúc lập phương gồm n lớp được viết như sau: H = - , ' ' ' , ' ' z z j j j j j j J S S       - hμ z j j S   (2.1) Với: z jS là toán tử spin ở nút rνj μ là magneton Bohr. , ' 'j jJ  là tích phân trao đổi giữa spin z jS và ' ' z jS ở hai nút mạng rνjvà rν’j’. Trong gần đúng trường trung bình, Hamiltonian trong biểu thức (2.1) có thể viết dưới dạng sau: , ' ' ' ' ' ' . S j z z z jj j j j j j m fH J S h S                   (2.3) ... là ký hiệu trung bình thống kê lấy theo Hamiltonian .m fH . 13 Ta thu được biểu thức tổng thống kê của hệ spin trong gần đúng trường trung bình như sau: 1 1 2 2 n sh S sh Z                       (2.9) Năng lượng tự do của hệ spin trong màng mỏng là: ' ' ' ln (0)m 2 B N F k T Z J m        Trong đó: 1 Bk T   (với kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối). '(0)J là ảnh Fourier của tích phân trao đổi khi k r = 0. Năng lượng tự do của màng mỏng spin n lớp trong phép gần đúng trường trung bình là: ' ' ' 1 1 2 2 (0) m ln 2 n n sh S sh N N F J m                             (2.10) Giá trị trung bình thống kê của momen từ ở nút mạng νj với spin z jS trong phép gần đúng trường trung bình là: 1 1 1 2 2 2 2 m cth S S cth                             Trong đó: 𝛼𝜈 = ' ' 1 (0) mh J               ' '(0) ( )j j J J R  uur 2.2. Phƣơng trình xác định điểm Curie cho màng mỏng trật tự trong lý thuyết trƣờng trung bình 14 Phương trình xác định điểm Curie cho màng mỏng có trật tự xa: 2 (S 1) 2 cos 3 1 B C P S S k T JS J J n        (2.22.a) Đặt  = P S J J là tham số đặc trưng cho sự dị hướng tương tác trao đổi giữa các spin lân cận trong một lớp ( SJ ) và giữa các lớp ( PJ ) ta được: 2 (S 1) 2 cos 3 1 B C S k T S J n           (2.22.b) Hình 2.2: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie B CC S k T ح J  vào số lớp màng 15 Hình 2.3: Đồ thị so sánh kết quả của lý thuyết trường trung bình và thực nghiệm về sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie sắt điện của perovskite 3PbTiO vào độ dày màng mỏng Hình 2.2 biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dày màng mỏng (số lớp spin n) khi S = 1. Đồ thị cho thấy khi trao đổi dị hướng tăng  lớn thì nhiệt độ Curie cũng tăng theo và xu hướng chung là nhiệt độ Curie giảm khi độ dày màng giảm. Hình 2.3 thể hiện kết quả tính toán cho điểm Curie theo lý thuyết trường trung bình khi so sánh với kết quả thực nghiệm cho điểm Curie sắt điện xác định từ thực nghiệm cho các màng mỏng có độ dày khác nhau. Trong đó, đường liền nét là đường biểu diễn tỉ số B C S k T J theo số lớp màng n. Các điểm rời rạc màu đỏ là các điểm thực nghiệm. Kết quả lý thuyết và thực nghiệm là tương đối phù hợp.Kết quả tốt hơn được cho bởi mô hình Ising trong trường dọc và ngang. 2.3. Khai triển Landau cho màng mỏng có trật tự mô tả bởi mô hình Ising Khai triển Landau cho năng lượng tự do bây giờ có dạng: 16 F = 2 N ' ' ' (0)mJ m              22 2 6 1 2 41 11 3 32 1 1 2 2 1 4 4 6 90 6!63 2 4 n S S S S ln S S S S S S S N                                           Năng lượng tự do tính trên một nút mạng (hay trên một spin):   ' ' ' 1 (0) m 2 1 2 1ln S n F f J m Nn n             2 2 2 62 4 1 (S 1) ( 1) 3 3 1 2 2 1 4 4 ... 6 90 6!63 2 4 1 ( ) S S S S S S S S S n                             (2.28) Đặt:  1 2 1 3 A n Sm S           (2.29)  2 1 (S 1) 2 2 1 90 S S S n B          2 21 ( 1) 3 34 4( ) 6!63 2 4n C S S S S                Khi đó biểu thức của năng lượng tự do tính trên một nút mạng có dạng: 1 n f f    (2.30.a) với f là năng lượng tự do tính trên một spin trong một lớp mạng spin. f có dạng:     2 4 6' ' ' 1 2 1 1 0 ... 2 ln S n f J m m A B C n                      (2.30.b) Các hệ số A , B , C được cho bởi (2.29). Đặt A ( C ) = 0 khi không có trường ngoài h = 0, 4 Jm  ta nhận lại được phương trình (2.15) xác định điểm Curie cho màng mỏng một lớp. 17  4 1 3 B C S Sk T J   (2.31) 2.4. Nhiệt dung đẳng tích cho màng mỏng Công thức chung cho nhiệt dung đẳng tích của một vật liệu mà Hamiltonian của nó là H được cho bởi biểu thức sau: V B H H k T        £ với Bk T  (2.32) Công thức chung cho nhiệt dung đẳng tích của màng mỏng spin gồm n lớp.     2 2 ' ' ' ' 2 0V S B mm mC J m B k n n                                    2 22 2 'S SB B n                          (2.36) 2.5. Tính toán số cho màng mỏng đơn lớp có trật tự 2.5.1. Phương trình xác định sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự Biểu thức độ từ hóa tính cho màng mỏng một lớp như sau: 1 1 4 1 2 2 2 2 m m m S cth S ح h ح ct                         (2.39) Với ح = Bk T J là nhiệt độ không thứ nguyên đo trong đơn vị tích phân trao đổi J giữa các lân cận gần nhất. 18 Hình 2.4: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của momen từ trên một nút mạng m vào nhiệt độ không thứ nguyên ح Bk T J TÀI LIỆU THAM KHẢO A- Tài liệutiếng Việt [1] Nguyễn Thị Kim Oanh, luận văn Thạc sĩ khoa học “Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ”, ĐH Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014. B- Tài liệu tiếng Anh [2] Clarendon Press, Statistical Mechanics of Phase Transitions, Oxford,1992. [3] C. Kittel, Introduction to Solid State physics, chapter 16, eighth edition, John Wiley & Sons, Inc. 2005. [4]Dillon D. Fong, G. Brien Stephenson, Stephen K. Streiffer,Jeffrey A. Eastman, Orlando Auciello, Paul H. Fuoss, Carol Thompson ,Science304 (2004) 1650. [5] D. K. Khudier, Nabeil A. Fawaz, Two dimensional Ising model application with Monte Carlo method7(2013) 2. [6] J. A. Krumhansl, Solid State communication 84 (1992) 251. [7] J. Borowska, L. Lacinska, Jour. of Appl. Math. Comput.Mech.14(2015) 11. 19 [8]J. Strecka, M. Jascur, Acta physica slovaca65 (2015) 235. [9] K. Binder and D. W. Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics, Springer, Berlin, 1997. [10] M. Hjorth Jensen, Computational physics, University of Oslo, 2003. [11] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller and E. Teller,Journal of Chemical Physics, 1953. [12]Nguyen Tu Niem, Bach Huong Giang, Bach Thanh Cong,Journal of Science: Advanced Materials and Devices1 (2016) 531. [13] Onsager Lars, Physical Review, Series II, 65 (3–4): 117–149, (1944). [14] Sergio A. Cannas, Pablo M. Gleiser, Francisco A. Tamarit, Two dimentional Ising model with long-range competing interactions, Transworld Research Network 2004. [15]S. V. Tyablikov, Method in the quantum theory of magnerism, Plenumpress. NewYork 1967. [16] W. Nolting, A. Ramakanth, Quantum theory of Magnetism, Springer 2009.