Luận văn Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số Frobenius

n sinh M, ( )JM M M 0= ⇒ = . 11 (iii) Với mọi R – môđun trái N M⊆ mà M N hữu hạn sinh, N JM M N M+ = ⇒ = . 1.14.9. Hệ quả. Cho R là vành Noether phải. Nếu R radR là vành nửa đơn và radR là nil – iđêan thì R là vành Artin phải. 1.15. Vành nửa nguyên sơ Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR lũy linh. 1.16. Định nghĩa phần tử lũy đẳng Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu 2e e= . Nhận xét + Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là hai phần tử lũy đẳng tầm thường. + Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1. 1.17. Vành địa phương 1.17.1. Định nghĩa Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan phải tối đại. 1.17.2. Mệnh đề. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là vành địa phương. (ii) Nếu a ∈ R thì a hoặc 1 – a khả nghịch. (iii) R có duy nhất một iđêan trái tối đại. (iv) radR là iđêan phải tối đại duy nhất trong R. (v) Tất cả các phần tử không khả nghịch của R lập thành một iđêan. (vi) radR là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R. 12 (vii) R radR là vành chia. 1.17.3. Hệ quả Cho vành R, nếu tất cả các phần tử không khả nghịch của R đều lũy linh thì R là vành địa phương. 1.17.4. Mệnh đề Vành địa phương chỉ có phần tử lũy đẳng tầm thường là 0 và 1. 1.17.5. Định lí Nếu R là vành địa phương thì mỗi R – môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều là môđun tự do. 1.18. Môđun không phân tích được, môđun thật sự không phân tích được 1.18.1. Định nghĩa R – môđun phải ( )M 0≠ được gọi là không phân tích được nếu M không thể viết được thành tổng trực tiếp của hai R – môđun con thật sự. R – môđun phải ( )M 0≠ được gọi là thật sự không phân tích được nếu ( )REnd M là vành địa phương. 1.18.2. Định lí Có một tương ứng song ánh giữa sự phân tích của R – môđun M thành tổng trực tiếp của các môđun con và sự phân tích của phần tử đơn vị của vành ( )RE End M= . 1.18.3. Bổ đề. Cho R – môđun phải ( )M 0≠ , các phát biểu sau là tương đương: (i) M không phân tích được. (ii) ( )REnd M không có phần tử lũy đẳng không tầm thường. 1.18.4. Định lí Krull – Schmidt – Azumaya Cho vành R, giả sử RM có hai sự phân tích theo các môđun con: 1 r 1 sM M M N N= ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕  13 trong đó các iN là các môđun không phân tích được, còn các iM là các môđun thật sự không phân tích được. Khi đó r s= , và sau khi sắp xếp lại ta được i iM N , i 1,r≅ = . 1.19. Vành nửa địa phương Vành R được gọi là nửa địa phương nếu là R radR vành Artin trái hoặc R radR là vành nửa đơn. Nhận xét + Vành địa phương là nửa địa phương, vành Artin một phía là vành nửa địa phương. 1.20. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng Với mỗi phần tử lũy đẳng e của vành R, ta luôn có hai sự phân tích sau: ( ) ( ) i R Re Rf ii R eR fR = ⊕ = ⊕ trong đó f 1 e= − là phần tử lũy đẳng bù với e. (i) và (ii) là sự phân tích theo các iđêan trái, phải. 1.20.1. Định lí Cho e và f là các phần tử lũy đẳng của vành R. Khi đó ( )Hom eR,fR fRe≅ . Nếu f = e thì ( )End eR eRe≅ , đặc biệt khi e = 1 thì ta có ( )End R R≅ . 1.20.2. Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy. Phần tử lũy đẳng e 0≠ được gọi là phần tử lũy đẳng nguyên thủy nếu e không có sự phân tích thành tổng của các phần tử lũy đẳng trực giao khác 0. 1.20.3. Bổ đề. Cho R – môđun phải ( )M 0≠ , các phát biểu sau là tương đương: (i) M không phân tích được. (ii) 1 là phần tử lũy đẳng nguyên thủy trong ( )REnd M . 14 1.20.4. Mệnh đề. Với mỗi phần tử lũy đẳng e 0≠ trong R, các phát biểu sau là tương đương: (i) eR là R – môđun phải không phân tích được. (ii) Re là R – môđun trái không phân tích được. (iii) Vành eRe không có phần tử lũy đẳng không tầm thường. (iv) e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy của R. 1.20.5. Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương Phần tử lũy đẳng e 0≠ được gọi là phần tử lũy đẳng địa phương nếu eRe là vành địa phương. Nếu e là phần tử lũy đẳng địa phương thì e cũng là phần tử lũy đẳng nguyên thủy. 1.20.6. Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên Cho I là iđêan của vành R, ta nói phần tử lũy đẳng x R I∈ có thể được nâng lên từ R nếu tồn tại phần tử lũy đẳng e R∈ là tạo ảnh của x trong phép chiếu R R I→ (hay e x= ). 1.21. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 1.21.1. Định nghĩa Cho N là môđun con của M, khi đó ta nói M là một mở rộng của N. Môđun con N của M được gọi là cốt yếu trong M nếu N có giao khác 0 với mọi môđun con khác 0 của M, khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N. Môđun Q được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu nó vừa là mở rộng cốt yếu của M và vừa là môđun nội xạ. Kí hiệu ( )Q E M= . 1.21.2. Mệnh đề (i) ( ) ( ) ( )1 2 1 2E M M E M E M⊕ ⊕ với bất kì R – môđun 1 2M , M . (ii) Nếu : M Qϕ → là đơn cấu và Q là môđun nội xạ thì 1 2Q Q Q= ⊕ trong đó ( )1Q E Imϕ . 15 1.22. Socle của môđun, vành socular 1.22.1. Định nghĩa socle của môđun Cho M là R – môđun phải. Khi đó socle của M, kí hiệu ( )soc M là tổng của tất cả các môđun con đơn của M. Nếu M không có môđun con đơn thì ( )soc M 0= . 1.22.2. Định nghĩa vành socular Vành R được gọi là socular phải (trái) nếu mỗi R – môđun phải (trái) đều có socle khác 0. Một vành vừa socular phải và socular trái được gọi là vành socular. 1.22.3. Mệnh đề. Nếu M là R – môđun thì ( ) ( )( )E M E soc M= . 1.22.4. Mệnh đề. Cho R là vành nửa hoàn thiện. Khi đó ( )Asoc A trùng với linh hóa tử trái ( )l radR và ( )Asoc A trùng với linh hóa tử phải ( )r radR . Đặc biệt hơn, ( )Asoc A và ( )Asoc A là các iđêan hai phía. 1.23. Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện 1.23.1. Định nghĩa vành nửa hoàn thiện Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R là vành nửa địa phương và mọi phần tử lũy đẳng của R radR có thể được nâng lên từ R. 1.23.2. Định lí Vành R là vành nửa hoàn thiện khi và chỉ khi 1 2 n1 e e e= + + + , với { }i i 1,ne = là tập các phần tử lũy đẳng địa phương trực giao. 1.23.3. Bổ đề Cho R là vành nửa hoàn thiện, lấy P eA= là A – môđun xạ ảnh không phân tích được và ( )U P P.r adR= là môđun đơn. Khi đó môđun đối ngẫu U* đẳng cấu với ( )l rad R e , và do đó ( )AU* soc A e≅ . 16 1.23.4. Định nghĩa tập con T – lũy linh Tập con A của vành R được gọi là T – lũy linh trái (phải) nếu với mọi dãy phần tử { }1 2 3a ,a ,a , A⊆ , luôn tồn tại n +∈ sao cho 1 2 na a a 0= ( )n 2 1a a a 0= . Nhận xét: Tập lũy linh là tập T – lũy linh trái (phải), tập T – lũy linh trái (phải) là tập nil. 1.23.5. Định nghĩa vành hoàn thiện Vành R được gọi là vành hoàn thiện phải (trái) nếu R radR là vành nửa đơn và radR là T – lũy linh phải (trái). Nếu R là vành hoàn thiện hai phía, ta nói R là hoàn thiện. 1.23.6. Định lí (H.Bass). Cho R là vành. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành hoàn thiện phải. (ii) Mọi R – môđun dẹt phải đều là môđun xạ ảnh. (iii) R thỏa điều kiện dây chuyền giảm của các iđêan trái chính quy. 1.23.7. Định lí. Các điều kiện sau đây là tương đương: (i) R là vành hoàn thiện phải. (ii) R là vành nửa địa phương và socular trái. 1.23.8. Hệ quả Nếu R là vành Noether phải và hoàn thiện phải thì R là vành Artin phải. 17 Chương 2. MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS 2.1. MÔĐUN NỘI XẠ 2.1.1. Định nghĩa 1 Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu : A Bχ → , mỗi đồng cấu f : A J→ , tồn tại đồng cấu f : B J→ sao cho f f= χ Vì χ là đơn cấu nên ta có thể xem như A B⊂ , và do vậy f có thể xem như là sự mở rộng của f trên B. Vì lý do đó có khi người ta xem môđun nội xạ J là môđun cho phép sự mở rộng của bất kỳ đồng cấu f : A J→ thành đồng cấu f : B J→ , trên mỗi môđun A B⊂ . 2.1.2. Định nghĩa 2 Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử ( )Hom ,J− là hàm tử khớp. Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử ( )Hom ,J− chuyển mỗi dãy khớp ngắn: 0 A B C 0χ σ→ → → → thành dãy khớp các nhóm aben : ( ) ( ) ( )* *0 Hom C,J Hom B,J Hom A,J 0σ χ→ → → → Vì hàm tử ( )Hom ,J− là khớp trái nên tính khớp của dãy sau cùng tương đương với đòi hỏi đồng cấu : ( ) ( )*: Hom B,J Hom A,Jχ → J f f A Bχ→ 18 là toàn cấu nếu χ là đơn cấu. Điều này có nghĩa với mọi đồng cấu ( )f Hom A,J∈ , tồn tại đồng cấu ( )f Hom B,J∈ sao cho ( )χ* f f f= χ =  Nếu chỉ dựa vào định nghĩa 1 và định nghĩa 2 mà để xây dựng môđun nội xạ thì rất khó khăn do đó ta cần tìm tiêu chí khác để giảm thiểu các điều kiện trong định nghĩa môđun nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer sau đây 2.1.3. Định lí (Tiêu chuẩn Baer) R – môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan phải U của R và mỗi đồng cấu f : U J→ đều tồn tại đồng cấu h : R J→ sao cho h.i f= , trong đó i là phép nhúng U vào R. Chứng minh: Hiển nhiên các điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ của môđun. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Bước 1 : Xét biểu đồ sau trong đó α là đơn cấu. Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B sao cho Im Cα ⊂ và tồn tại đồng cấu : C Jγ → sao cho .ϕ = γ α . Ta sẽ chứng minh rằng khi đó tồn tại môđun 1C của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu 1 1: C Jγ → sao cho 1.ϕ = γ α (và do đó 1 Cγ = γ ). Thật vậy, lấy b B, b C∈ ∉ và đặt 1C C bR= + . Nếu C bR 0∩ = thì γ có thể mở rộng trên 1C một cách tầm thường. Nếu C bR 0∩ ≠ thì ta gọi { }U u R | bu C= ∈ ∈ . Rõ ràng U là iđêan phải trong R và ánh xạ: : U C u bu ζ → → ϕ J 0 A Bα→ → 19 là một R – đồng cấu. Đặt : U Jξ = γζ → . Theo giả thiết tìm được đồng cấu p : R J→ sao cho p.iξ = nghĩa là biểu đồ sau giao hoán: Bây giờ ta định nghĩa 1 1: C Jγ → bởi quy tắc: ( ) ( ) 1 : C bR J c br c p r γ + → + → γ + tương ứng 1γ là một ánh xạ. Thật vậy, nếu có: c br c br c,c C ; r, r R′ ′ ′ ′+ = + ∈ ∈ thì: ( )c c b r r C bR′ ′− = − ∈ ∩ Từ đó: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r U r r p r r c c b r r r r p r r c p r c p r ′ − ∈ ′ ′⇒ γζ − = − ′ ′ ′ ′⇒ γ − = γ − = γζ − = − ′ ′⇒ γ + = γ + Do γ và p là những R – đồng cấu nên 1γ cũng là R – đồng cấu và rõ ràng 1 Cγ = γ Bước 2 : Giả sử 0C Im= α và 0α là đẳng cấu của A lên 0C cảm sinh bởi α. Đặt 1 0 0 −γ = ϕα ta có 0.ϕ = γ α . Bây giờ ta có thể kéo dài 0γ lên B nhờ bổ đề Zorn. Cụ thể giả sử W là tập tất cả các cặp ( )C,γ trong đó 0C C B⊂ ⊂ và 0 0 C: C J , γ → γ = γ Tập W ≠∅ vì ( )0 0C , Wγ ∈ . Đưa vào W quan hệ thứ tự: U C Jζ γ→ → R pi 20 ( ) ( ) 11 1 1 C C C (1) C, C , (2) ⊂γ ≤ γ ⇔ γ = γ Bây giờ giả sử Q là một dây chuyền trong W và D C=  với ( )C, Qγ ∈ Rõ ràng 0C D B⊂ ⊂ . Hơn nữa, giả sử : D Qδ → đặt tương ứng ( )d d→ γ với d C∈ trong đó ( )C, Qγ ∈ . Do (2) δ là đồng cấu mở rộng của 0γ . Điều này chứng tỏ ( )D,δ là cận trên của Q trong W. Bởi vậy theo bổ đề Zorn, trong W tồn tại phần tử tối đại, và do bước một phần tử tối đại này phải bằng ( )B,ψ trong đó ϕ = ψα * Tiêu chuẩn Baer còn được phát biểu dưới dạng R – môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan phải U của R và mỗi đồng cấu f : U J→ , luôn luôn tồn tại phần tử q J∈ sao cho với mọi Uλ∈ ta có ( )f qλ = λ Một trong những ứng dụng của tiêu chuẩn Baer vào việc phân tích tính nội xạ là định lí 2.1.4 2.1.4. Định lí Tích trực tiếp họ môđun k k K J J ∈ = ∏ là nội xạ khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần kJ là nội xạ. Chứng minh: Trước hết, nếu k k K J J ∈ = ∏ là môđun nội xạ, ta cần chứng tỏ mọi thành phần kJ đều là nội xạ, theo tiêu chuẩn Baer. Giả sử kf : I J→ là đồng cấu từ iđêan phải I R vào kJ . Nối kết f với phép nhúng k k k k K j : J J ∈ → ∏ ta được đồng cấu: kj f : I J→ 21 Bởi J là môđun nội xạ nên tồn tại phần tử x J∈ mà với mọi ( )kI : j f xλ∈ λ = λ . Khi đó với phần tử ( )k k kx p x J= ∈ , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k kf p j f p x p x xλ = λ = λ = λ = λ   với mỗi Iλ∈ Vậy kJ thỏa mãn tiêu chuẩn Baer, tức kJ là môđun nội xạ. Bây giờ nếu mọi thành phần kJ là nội xạ và k k K f : I J J ∈ → = ∏ là đồng cấu từ iđêan phải I R vào J. khi đó với mọi k K∈ , đồng cấu k k kf p f : I J= → , do kJ là môđun nội xạ nên tồn tại phần tử k kx J∈ sao cho với mỗi ( )k kI : f xλ∈ λ = λ . Chọn phần tử ( )k k Kx x ∈= của k k K J J ∈ = ∏ , ta có : ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) k k k k f p f f x x x , I λ = λ = λ = λ = λ = λ ∀λ∈ Vậy J thỏa mãn tiêu chuẩn Baer, tức J là môđun nội xạ. 2.1.5. Bổ đề Nếu mỗi đơn cấu : J Aϕ → là chẻ ra với mọi môđun A thì J là nội xạ. Chứng minh: Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau đây, trong đó g là đơn cấu. Gọi K là môđun con của J B⊕ gồm tất cả các cặp có dạng ( ) ( )( )f a ,g a , a A∀ ∈ . Đặt J BN K ⊕= ta có các đồng cấu : B Nα → và : J Nβ → sao cho hình vuông sau giao hoán: trong đó ( ) ( ) ( ) ( )b 0,b , j j,0α = β = α gA B→ J N β → f f J g0 A B→ → 22 Do g đơn cấu nên β cũng đơn cấu. Khi đó theo giải thiết, β chẻ ra, tức là tồn tại một đồng cấu : N Jγ → sao cho J1γ ⋅β = . Đặt h : B J= γα → , ta có f f g hg= γβ = γα = . Vậy J là nội xạ. 2.1.6. Mệnh đề Một môđun J là nội xạ nếu và chỉ nếu J là một hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó. Chứng minh: Nếu J là nội xạ thì J là hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó. Thật vậy, nếu J là nội xạ và J A⊆ , một ánh xạ đồng nhất trên J mở rộng thành đồng cấu f : A J→ . Khi đó A J Kerf= ⊕ . Tức J là hạng tử trực tiếp của môđun A bất kì chứa J. Ngược lại, giả sử ta có các môđun J và A sao cho A J Kerf= ⊕ . Khi đó J A⊆ và tồn tại một đồng cấu f : A J→ là mở rộng của phép đồng nhất J1 . Vậy J là môđun nội xạ. 2.1.7. Mệnh đề Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R là nội xạ. Chứng minh: Giả sử ra có môđun X là tổng trực tiếp của 2 môđun U và V trên R, X nội xạ. Để chứng minh mệnh đề, ta sẽ chứng minh rằng môđun U cũng là môđun nội xạ. J f1J iJ A→ X U hkf gA B→ j h X k 23 Cho đơn cấu g : A B→ và một đồng cấu f : A U→ . Gọi j : U X→ là phép nhúng tự nhiên và h : X U→ là phép chiếu tự nhiên. Khi đó vì X là nội xạ nên tồn tại một đồng cấu k : B X→ sao cho k.g j.f= . Xét đồng cấu hợp thành h.k : B U→ , ta có h.k.g h.j.f f= = . Vậy U là nội xạ. 2.1.8. Định nghĩa Cho R là miền nguyên, môđun X trên R gọi là môđun chia được nếu với mọi x X∈ và mọi { }R \ 0λ∈ luôn luôn tồn tại phần tử y X∈ sao cho x y= λ Ví dụ: a)  là  – môđun chia được vì phương trình x.n a= trên  luôn có nghiệm x , x , a∈ ∀ ∈ ∈   và { }n \ 0∈ . b)  là  – môđun không chia được vì không phải mọi phương trình x.n a= đều có nghiệm x trên  với mọi a∈ và mọi { }n \ 0∈ (chẳng hạn phương trình x.3 2= không có nghiệm trên  ). 2.1.9. Định lí Nếu R là vành chính thì mọi R – môđun chia được X đều nội xạ. Chứng minh: Cho X là môđun chia được, I R và f : I X→ là đồng cấu. Để chỉ ra X là nội xạ, ta cần chứng tỏ có phần tử q X∈ mà với mỗi Iλ∈ thì ( )f qλ = λ Bởi R là vành chính, tức mỗi iđêan của R là iđêan chính, nói riêng tồn tại a R∈ mà I aR= . Khi đó chọn q X∈ là phần tử mà ( )f a qa= , do X là môđun chia được, thì với mỗi I, arλ∈ λ = ta có: ( ) ( ) ( ) ( )f f ar f a r qa r qλ = = = = λ Vậy theo tiêu chuẩn Baer, X là môđun nội xạ. 2.1.10. Định lí Nếu R là miền nguyên thì mọi R – môđun nội xạ X đều chia được. Chứng minh: 24 Ta chỉ cần chỉ ra với mọi x X∈ , mọi { }R \ 0λ∈ , tồn tại y X∈ mà x y= λ . Xét iđêan I R= λ sinh bởi phần tử λ. Bởi R là miền nguyên nên I là môđun tự do với cơ sở chính là tập một phần tử { }λ . Ánh xạ { }: Xϕ λ → mà ( ) xϕ λ = có thể mở rộng tới đồng cấu : I Xϕ → . Vì X nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn tại phần tử y X∈ sao cho với mọi r I∈ thì ( )r yrϕ = . Nói riêng khi r = λ thì : ( )x y= ϕ λ = λ Vậy X là môđun chia được. 2.1.11. Mệnh đề Một  – môđun D chia được khi và chỉ khi D là nội xạ. Chứng minh: Trước hết, nếu  – môđun D chia được thì D là môđun nội xạ : cho : D Bϕ → là một đơn cấu của hai nhóm Aben, trong đó D là nhóm chia được. Ta sẽ chứng minh rằng ϕ chẻ ra và do đó D là môđun nội xạ. Thật vậy, do ϕ đơn cấu nên D đẳng cấu với ảnh Imϕ. Bởi vậy, không mất tính tổng quát ta có thể xem D là nhóm con của B và ϕ là đơn cấu chính tắc. Gọi U là tập tất cả các nhóm con A của B sao cho D A 0∩ = . Tập U ≠∅ , do A 0 U= ∈ . Áp dụng bổ đề Zorn ta thấy trong U có phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm), chẳng hạn V. Khi đó D V D V+ = ⊕ . Bây giờ ta chứng tỏ B D V= ⊕ Đối với phần tử tùy ý b B∈ ta xét iđêan { }I x \ bx D V= ∈ ∈ + . Do  là vành chính nên I m=  . Hơn nữa I 0≠ vì nếu I = 0 thì nhóm con H sinh bởi b thỏa mãn điều kiện : ( )H D V 0∩ + = , từ đó suy ra ( )H V D 0+ ∩ = , trái với tính tối đại của V. Giả sử 0 0bm d v= + . Do D chia được nên tồn tại 1d D∈ sao cho 1 0d m d= . Khi đó ( )0 1v b d m= − . 25 Ta khẳng định ( )( )1D V b d 0∩ + − = . Thật vậy, nếu giả sử ( ) ( )( )1 1d v b d x D V b d= + − ∈ ∩ + −  . Khi đó 1bx d v d x D V x I= − + ∈ + ⇒ ∈ . Bởi vậy 1x m.x= và do đó ( )1 1 0 1d v b d .m.x v v x= + − = + Mà D V 0∩ = nên d = 0. Từ tính tối đại của V suy ra ( )1b d−  là môđun con của V 1b d V b D V⇒ − ∈ ⇒ ∈ + . Như vậy B D V= ⊕ Ngược lại, giả sử  – môđun D là nội xạ và giả sử d D, 0 m∈ ≠ ∈ . Xét biểu đồ các đồng cấu: trong đó i là phép nhúng chính tắc, còn f được xác định bởi công thức ( )f m d= . Do tính nội xạ của D nên tồn tại đồng cấu h : D→ sao cho f h.i= . Ta có ( ) ( ) ( ) ( )d f m h m h 1.m h 1 .m= = = = . Điều này chứng tỏ rằng D là nhóm chia được. 2.1.12. Mệnh đề Nếu một  – môđun D là chia được (nội xạ) thì ( )Hom R,D  là một R – môđun phải nội xạ. Chứng minh: Giả sử f : A B→ là một R – đơn cấu và ( )g : A Hom R,D→  là một R – đồng cấu tùy ý. Xét biểu đồ: h∃ im →  D f B β αf ( )g hA Hom R,D D→ →  26 trong đó h là đồng cấu nhóm cho bởi ( ) ( )h 1γ = γ Do D là một  – môđun nội xạ nên tồn tại  – đồng cấu : B Dβ → để h.g .f= β Bây giờ ta xác định ( ): B Hom R,Dα →  cho bởi công thức: ( )( ) ( )b r br ,b B,r Rα = β ∈ ∈ Khi đó, rõ ràng đối với phần tử cố định b B∈ ta có ( ) ( )b Hom R,Dα ∈  ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1br r br r b r r b r r br b rα = β = α = α ⇒α = α Do đó α là R – đồng cấu. Hơn nữa ta có: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) f a r f a r f a r f ar hg ar g ar 1 g a r 1 g a r f g α = α = β = β = = = = ⇒α = 2.1.13. Định lí Mỗi môđun X đều có thể nhúng vào một môđun nội xạ N(X) nào đó, xem như là môđun con của N(X). Chứng minh: Xem [3], Theorem 5.2.8. 2.1.14. Định lí. Đối với bất kì môđun J, các phát biểu sau là tương đương: (i) J là môđun nội xạ. (ii) Mọi dãy khớp 0 J B C 0χ σ→ → → → là chẻ ra. (iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó. Chứng minh: (i) ⇒ (ii) : Cho J là môđun nội xạ và dãy 0 J B C 0χ σ→ → → → là khớp. Khi đó, đồng cấu đồng nhất J1 : J J→ có thể mở rộng tới đồng cấu : B Jϕ → , tức là J1ϕχ = . Vậy đồng cấu χ có nghịch đảo trái, tức dãy là chẻ ra. 27 (ii) ⇒ (iii) Theo định lí 2.1.13, môđun J có thể nhúng vào môđun nội xạ N(J) nào đó. Khi đó, ánh xạ nhúng ( )j : J N J→ sinh ra dãy khớp ngắn: ( ) ( )j p0 J N J N J J 0→ → → → Mà theo (ii), dãy này chẻ ra. Vậy ta có đẳng cấu ( )N J J Imp≅ ⊕ , tức là J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ N(J). (iii) ⇒ (i) Nếu J là hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó, thì theo định lý 2.1.7 hiển nhiên J là môđun nội xạ. 2.1.15. Định lí Vành R là Noether phải khi và chỉ khi tổng trực tiếp các R – môđun phải nội xạ là nội xạ. Chứng minh: Giả sử R là Noether phải và ii I E E ∈ = ⊕ , trong đó các iE là nội xạ với mọi i I∈ . Ta sẽ chứng minh rằng E nội xạ. Theo tiêu chuẩn Bear, ta chỉ cần chứng minh rằng E là RR – nội xạ. Xét biểu đồ sau trong đó J là iđêan của RR và f : J E→ là R – đồng cấu môđun phải: Do RR – Noether nên ( )1 2 nJ x ,x , ,x=  (hữu hạn sinh). Vì ( ) ( ) ( )1 2 nf x ,f x , ,f x E∈ nên tồn tại k để ( ) 1 kf J E E E′⊆ ⊕ ⊕ = . Do k hữu hạn nên E’ nội xạ, từ đó suy ra tồn tại đồng cấu Rh : R E′→ là mở rộng của f. Vậy E nội xạ. Ngược lại, nếu mọi tổng trực tiếp các môđun nội xạ là nội xạ, ta phải chứng minh rằng RR là Noether. Giả sử 1 2I I⊂ ⊂ là dãy tăng bất kì các iđêan phải của R. E h∃f J R 28 Đặt i i 1 I I ∞ = =  và gọi ( ) n ni 1 E E R / I = = ⊕ Theo giả thiết, E là nội xạ và dễ thấy I là iđêan của RR . Xác định ( )n n 1 f : I E R / I ∞ = → ∏ , trong đó ( )( ) nnf x x I= + Với mỗi x I∈ ta có kx I∈ với một k nào đó. Từ đó suy ra rằng nx I 0+ = với mọi n k≥ . Vậy thực chất đồng cấu f : I E→ (tức là ảnh của f chỉ ở trong E với ( ) n ni 1 E E R / I = = ⊕ ). Do E nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn tại Eα∈ để ( )f x .x x I= α ∀ ∈ . Khi đó k 0α = Bây giờ x I∀ ∈ ta có ( )( ) ( )k k kkkx I f x .x .x 0 x I+ = = α = α = ⇒ ∈ hay kI I= . Tức là dãy các iđêan ở trên là dừng. Vậy RR là Noether. 2.2. VÀNH TỰ NỘI XẠ 2.2.1. Định nghĩa Vành R được gọi là vành tự nội xạ phải nếu RR là một R – môđun nội xạ. Chú ý : Mọi vành R đều là tự xạ ảnh vì RR là một R – môđun tự do nhưng chưa chắc mọi vành đều là tự nội xạ. Ví dụ: a) Vành các số nguyên  không phải là vành tự nội xạ vì : xét iđêan 2 của  và đồng cấu: f : 2 2n n n → ∀ ∈     Nếu  là  – môđun nội xạ thì tồn tại phần tử q∈ sao cho với mọi 2n 2λ = ∈  thì ta có: 29 ( ) ( ) f q f 2n q2n n q2n λ = λ ⇔ = ⇔ = 1q 2 ⇔ = (điều này không thể xảy ra vì q∈ ) Vậy vành các số nguyên  không phải là vành tự nội xạ. b) Xét R là vành các ma trận tam giác trên cấp n (n ≥ 2) trên vành K. Khi đó R không là vành tự nội xạ. Ta xét trường hợp n = 2, xét iđêan 0 a I 0 0   =     và đồng cấu f : I R→ xác định bởi 0 a 0 0 f 0 0 0 a      =          . Nếu R là R – môđun nội xạ thì tồn tại phần tử x y q R 0 z   = ∈    sao cho với mọi 0 a I, a K 0 0   λ = ∈ ∈    thì ta có: ( ) f qλ = λ 0 a x y 0 a 0 xa f 0 0 0 z 0 0 0 0          ⇔ = =                  0 0 0 xa 0 a 0 0     ⇔ =        a 0⇔ = (mâu thuẫn vì a tùy ý thuộc K) Vậy R không là vành tự nội xạ. c) Cho S là miền các iđêan phải chính và b ≠ 0 là phần tử của S sao cho bS = Sb. Khi đó vành thương R S S bS= = tự nội xạ phải. Xét iđêan phải X aS bS= của R và đồng cấu: f : X R→ a s→ trong đó s S∈ Với { }b ac, c S \ 0= ∈ ta có : 30 ( ) ( ) ( ) ( )0 f 0 f b f ac f a.c s.c sc sc Sb= = = = = = ⇒ ∈ . Với điều kiện bS = Sb ta có thể viết: sc tb tac= = với t S∈ s ta⇒ = , vì vậy ( )f a s t .a= = Khi đó đồng cấu: f : R R→ 1 t→ là mở rộng của f lên R. Vậy R là vành tự nội xạ. d) n  là vành tự nội xạ vì xét iđêan d n  của n  và đồng cấu: f : d n n→    a n a n+ → +  Khi đó có phần tử q 1 n n= + ∈   sao cho với mọi a n d nλ = + ∈   ta có ( ) ( ) ( )( )f f a n a n 1 n a n qλ = + = + = + + = λ    . Vậy n  là vành tự nội xạ. 2.2.2. Mệnh đề Nếu vành A là tự nội xạ phải thì: a) Với bất kì iđêan phải 1 2H , H ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 2l H H l H l H∩ = + . b) Với bất kì iđêan trái hữu hạn sinh H thì ( )( )l r H H= . Chứng minh: a) Rõ ràng ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 2l H l H l H H+ ⊂ ∩ . Ta chứng minh ( ) ( ) ( )1 2 1 2l H H l H l H∩ ⊂ + . Lấy ( )1 2x l H H∈ ∩ . Xét ánh xạ: 1 2: H H Aϕ ∩ → a b xb+ → với 1 2a H , b H∈ ∈ 31 Ta có ϕ là đồng cấu vành. Vì AA nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có y A∈ sao cho ( ) ( )a b y a b xbϕ + = + = với mọi 1 2a H , b H∈ ∈ . Đặc biệt ( ) ( )1 10 a ya a H y l H= ϕ = ∀ ∈ ⇒ ∈ . Với mọi 2b H∈ ta có ( ) ( ) ( )2b yb xb x y b 0 z x y l Hϕ = = ⇒ − = ⇒ = − ∈ . Vì thế ( ) ( )1 2x y z l H l H= + ∈ + . Do đó ( ) ( ) ( )1 2 1 2l H H l H l H∩ = + . b) Cho H là iđêan trái hữu hạn sinh của A. Khi đó có các phần tử 1 2 nh ,h , ,h sao cho 1 2 nH Ah Ah Ah= + + + . Ta có: ( ) ( ) nn i i i 1 i 1 r H r Ah r Ah = =  = =∑     Áp dụng câu a ta có: ( )( ) ( )( ) n i i 1 l r H l r Ah = = ∑ Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng ( )( )l r Ax Ax= với mọi x A∈ . Rõ ràng ( )( )Ax l r Ax⊂ . Lấy ( )( )y l r Ax∈ , khi đó ( ) ( )r x r y⊂ do vậy ánh xạ : xA Aψ → cho bởi ( )xa yaψ = là đồng cấu vành A. Vì AA là nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có phần tử z A∈ sao cho ( )xa zxaψ = . Vì vậy ( )( )zx y y Ax l r Ax Ax= ⇒ ∈ ⇒ ⊂ . Vậy ( )( )l r Ax Ax= . 2.2.3. Bổ đề Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ không phân tích được là vành địa phương. Chứng minh: Lấy Q là A – môđun nội xạ phải không phân tích được và AEnd Qϕ∈ . Khi đó ( )Ker Ker 1 0ϕ∩ −ϕ = . Thật vậy lấy ( )a Ker Ker 1∈ ϕ∩ −ϕ , khi đó ( )a 0ϕ = và ( )a a 0− ϕ = do đó a = 0. Giả sử Ker 0ϕ ≠ và ( )Ker 1 0− ϕ ≠ . Xét ( )E Kerϕ 32 và ( )( )E Ker 1− ϕ lần lượt là bao nội xạ của Kerϕ và ( )Ker 1− ϕ . Khi đó ta có dãy khớp: ( )0 Ker Ker 1 Q→ ϕ⊕ −ϕ → Vì Q là nội xạ nên 1 2Q Q Q= ⊕ trong đó ( )( )1Q E Ker Ker 1ϕ⊕ −ϕ theo mệnh đề ở phần 1.21.2. Vì Q không phân tích được 1Q Q . Do đ