Luận văn Mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử

mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng đóng góp cho mômen từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính. Chương 3. Mômen từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng. Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ chính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2. Lưu ý, việc tính mômen từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lượng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trường điện từ ngoài liên quan tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thường của electron. Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự. Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ : thì các véctơ tọa độ hiệp biến : , trong đó Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của mômen từ với trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc ta có phương trình Pauli cho electron với mômen từ. Nghiên cứu các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen. 1.1 Phương trình Pauli Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là . Kết quả để cho hàm sóng là một spinor hai thành phần (1.1) Vì hạt có spin nên nó có mômen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ của hạt với spin bằng . (1.2) - là magneton Bohr, còn là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ. (1.3) Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng (1.4) Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới đây trong phương trình Schrodinger (1.5) Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ . Kết quả ta thu được phương trình (1.6) ở đây , là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình (1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann. 1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta có: (1.7) Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor hai thành phần (1.8) Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình (1.9) Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần dưới). Kể thêm (1.10) Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+) (1.11) Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-) (1.12) Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor liên hệ với và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor liên hệ với thừa số . Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta có (1.13) Và để cho nghiệm âm (1.14) Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau , (1.15) Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac (1.16) đúng đến bậc cùng với toán tử và tự liên hợp . Nếu chúng ta giới hạn ở nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phương trình này với độ chính xác trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác giữa mômen từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn (thừa số Lande) (1.17) Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”. Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai . Rõ ràng trong những trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài. Chính vì vậy để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tính với các mômen từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạng mômen.(xem them bài tập 11 và 22) Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác . (1.18) Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục và trong trường hợp nghiệm dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương đối tính. 1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc và sai sót trong Hamilton ở bậc . Trong giới hạn này là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn toàn “phân ly ” . Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac. Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc và phương trình Dirac ở dạng (1.19) cùng với (1.20) và (1.21) ở đây và là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó cao hơn và cao hơn bậc sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc . Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được (1.22) (hay cao hơn) (1.23) Và phép biến đổi thứ hai ta có (1.24) (hay cao hơn) (1.25) và tiếp tục..Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là (1.26) Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng như công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán cho việc tính toán kết quả K. Điều này sẽ dẫn đến (1.27) Cùng với (1.28) (1.29) Như ta đã thấy bây giờ đã nâng lên hai bậc Từ đây chúng ta nhận được toán tử đúng đến bậc , đúng trong phương trình Pauli (1.16) Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với cùng (1.30) Từ đây suy ra (1.31) cùng với (1.32) và (1.33) Bỏ qua tất cả các số hạng (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn (1.34) Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac (1.35) Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau (1.36) Tiếp theo ta tính giao hoán tử (1.37) Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau (1.38) Đúng đắn đến bậc với việc chéo hóa Hamilton (1.39) Và ta có hàm sóng (1.40) Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những bậc cao hơn có thể thực hiện Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây - Khi các là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung bình như phép biến đổi - Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa khi sự biến đổi (1.41) tương đương với (1.42) - Các toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép biến đổi cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần chéo. Phương pháp Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóng cùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt. - Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ. - Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng. (1.43) Cùng với các toán tử chẵn , và toán tử lẻ lặp lại các hệ thức này theo (1.44) (1.45) (1.46) Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó (1.47) Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn của dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt và phản hạt và đúng cho bậc . -Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phương trình (2.98). Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện (1.48) Trong trường hợp này ta có (1.49) Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tương ứng (1.50) Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng. Thành phần thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau: Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2. . Trong trường hợp của thế Coulomb hai thành phần cuối cùng là và (1.51) Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s-trạng thái. Tổng kết - Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối tính của phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng nhất cho phương trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½. - Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ là gần đúng. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy –Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc cao hơn . Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu , mà từ đây ta thu được lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt. - Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars, là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có thể so sánh với bước sóng Compton. - Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất phép khai triển là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận. Hamiltonian của phương trình có dạng mô tả tương tác của moment từ riêng với từ trường ngoai . Hạt có spin bằng ½ có điện tích e, sẽ có mômen từ - Mômen từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman Theo lý thuyết Dirac mômen từ của electron có dạng - magneton Bohr Theo thực nghiệm phát hiện mômen từ dị thường của electron - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân không ở đây là chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dưới đây là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chân không vật lý. CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-matrận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài . Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng góp vào mômet từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính 2.1 S-ma trận Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài. Nếu trường ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng về nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma trận /1/ (2.1) trong đó T là T-tích, N là N-tích. Sử dụng khai triển hàm mũ (2.2) Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến có thể viết: (2.3) trong đó là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron. Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này (xem Hình 1). (a) (b1) (b2) (b3) (b4) Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng đường electron trường điện từ ngoài đường photon Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lượng bay vào vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng ở gần đúng bậc thấp nhất. Các giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vật lý- chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron. Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1) cho đóng góp vào mômen từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2), (b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài. Ngoài ra ta còn bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, và chỉ giữ lại phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman (b1) cho mômen từ dị thường của electron Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau: . (2.4) Vì trường ngoài không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta có thể bỏ ra ngoài N-tích và , đồng thời khai triển các toán tử và thành các toán tử sinh hủy hạt. , với: :toán tử hủy ; :toán tử hủy ; :toán tử sinh ; :toán tử sinh . Vì nên (2.5) Xét yếu tố ma trận: (2.6a) Khi chuyển các toán tử sinh electron từ phải sang trái và chuyển các toán tử hủy electron từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận. (2.6b) Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn : , (2.7) trong đó: : spinor của electron ở trạng thái đầu ; ; là thế điện từ ngoài. Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự: (2.8) trong đó được xác định bằng công thức: (2.9) và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron. 2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay bằng đại lượng tổng quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ đỉnh. Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực và loại giản đồ không đích thực Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và « không Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp ». . Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là « một hạt bất khả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằng việc cắt bỏ một đường trong. Các giản đồ không đích thực được lồng vào các đường ngoài của giản đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của các đường ngoài, tương ứng với các hạt ngoài. Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định « phần đỉnh đích thực »   (2.10) trong đó là đỉnh « trần » , còn được xác định bằng tập hợp các giản đồ Hình 1. Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theo trường ngoài cùng với tất cả các bổ chính được kể đến, được xác định bằng, mà trong đó ta thay bằng . 2.3 Hệ số dạng điện từ Yếu tố ma trận của tán xạ electron với trường ngoài ở bậc thấp nhất (2.11) trường ngoài tĩnh (2.12) Bỏ qua việc chuẩn hóa các hàm sóng ngoài , thì hàm đỉnh (2.13) trong đó số hạng là đỉnh “trần” , còn được xác định bởi tập hợp các giản đồ. Tiết diện tán xạ ở gần đúng bậc nhất với trường ngoài, cùng với các bổ chính thì biểu thức được thay thế bằng . Bằng lập luận bất biến Lorentz, hàm đỉnh có thể biểu diễn dưới dạng (2.14) trong đó là các hàm số của của và , Đặt (2.15) Khi các đường ngoài nằm trên mặt khối lượng , thì chỉ có một biến độc lập bất biến mà ta chọn là . Định luật bảo toàn dòng . (2.16) Điều này dẫn đến các điều kiện sau và . Hệ quả chỉ còn lại hàm số độc lập và , chúng ta viết lại toán tử đỉnh dưới dạng (2.17) Cần nhấn mạnh các thừa số dạng tồn tại khi các xung lượng không nằm trên mặt khối lượng Sử dụng sự khai triển của Gordon (2.18) Ta có thể viết (2.19) Hai thừa số dạng ; (2.20) tương ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ. Yếu tố S-ma trận để cho tương tác với trường ngoài yếu cùng với tất cả bổ chính có dạng (2.21) Để cho trường tĩnh công thức này có dạng (2.22) Để làm rõ ý nghĩa vật lý của các hệ số dạng, chúng ta xem xét trường hợp tán xạ phía trước ở gần đúng phi tương đối tính mà trong đó (2.23) Nhận thấy số hạng trong phần đỉnh. Sử dụng khai triển Gordon để viết lại ta có thể viết giới hạn phi tương đối tính dưới dạng 2.24) Để cho thế tĩnh điện, số hạng thứ hai triệt tiêu khi và ta có (2.25) Điều này chỉ ra rằng hằng số tương tác cho thế tĩnh điện là mà nó được định nghĩa (2.26) Bây giờ ta chọn trường ngoài là từ trương tĩnh với . Ta có (2.27) Số hạng đầu không cho đóng góp vào giới hạn vì . Số hạng thứ hai có thể biến đổi như sau (2.28) như vậy (2.29) trong đó . Công thức này mô tả tán xạ của hạt với moment từ (2.30) mà nó là mômen Dirac, cùng với g thừa số 2 Bây giờ xem số hạng ở phần đỉnh . Yếu tố S-ma trận để cho tán xạ phía trước trong từ trường ngoài ở gần đúng phi tương đối tính bằng (2.31) mà nó mô tả hiệu ứng của mômen từ bổ xung (2.32) Số hạng này gọi là mômen từ dị thường . Tổng mômen như vậy bằng (2.33) Và nhân tử g được xác định Thừa số 2 xuất phát từ việc biểu diễn mômen từ qua đơn vị magneton . CHƯƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG Mômen từ của electron theo lý thuyết Dirac: được xác định bằng hệ thức . Năm 1947 thực nghiệm tìm ra giá trị , trong đó là phần dị thường của mômen từ của electron mà nó không thể giải thích trong khuôn khổ của cơ học lượng tử. Nguyên nhân chủ yếu là cơ học lượng tử mới chỉ xem xét tương tác của electron với trường ngoài chứ chưa xem xét tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ. Việc kể thêm tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ sẽ dẫn đến số hạng bổ sung cho mômen, kết quả ta có mômen từ dị thường. Việc tính lượng bổ chính cho mômen từ dị thường ta gặp phải các tích phân theo các đường trong là các tích phân phân kỳ. Để tách các phần phân kỳ, thông thường người ta sử dụng các phương pháp khử phân kỳ sau đây: phương pháp cắt xung lượng lớn, phương pháp Pauli - Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên. Trong Luận văn này tôi sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và cuối cùng tôi thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm. Trong mục .3.1 tôi trình bày tính toán bổ chính cho mômen từ trong gần đúng một vòng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên. 3.1. Bổ chính cho mômen dị thường trong gần đúng một vòng Từ giản đồ Feynman bậc hai trong Hình 1, ta có (3.1a) Tích phân này là phân kỳ ở cả hai vùng : vùng tử ngoại và vùng hồng ngoại . Phân kỳ tử ngoại là phân kỳ loga. Loại bỏ phân kỳ này có nhiều cách: phương pháp cắt xung lượng lớn, phương pháp Pauli- Villars, và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên. Trong bản Luận văn này ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vì nó thông dụng trong lý thuyết trường hiện đại. Sau khi điều chỉnh thứ nguyên công thức (3.1a) trở thành (3.1b) Với (3.2) Theo công thức tham số hoá Feynman (3.3) Với (3.4) (3.5) (3.6) Tính mẫu số của : (3.7) = (3.8) ( Do ) (3.9) Thay thành vào biểu thức (3.9) và chỉ giữ lại số hạng bậc chẵn với k, ta được: (3.10) (3.11) Với (3.12) (3.13) * Tính tử số của : (3.14) (3.15) Sử dụng các hệ thức ; ; ; (3.16) Ta được tử số của : (3.17) Thay thành vào biểu thức (3.18) (3.19) Ta tính từng số hạng của : Đặt và với suy ra * (3.20) * (3.21) * (3.22) * Với (3.23) * (3.24) * (3.25) Thay tất cả các số hạng vừa tính được vào công thức (3.19) ta được: (3.26) Như vậy ta chỉ còn tính ba tích phân: (3.27) (3.28) (3.29) Như vậy: (3.30) (3.31) Sử dụng đồng nhất thức (3.32) Các số hạng phản xứng sẽ triệt tiêu sau khi lấy tích phân theo x và y Do vậy: (3.33) Mà * (3.34) * (3.35) Nên (3.36) (3.37) Sử dụng đồng nhất thức Gordon (3.38) Nhóm các số hạng, cuối cùng ta được (3.39) (3.40) (3.41) Bây giờ ta tính các tích phân trên Trước tiên ta tính (3.42) Với ; (3.43) là một hằng số (3.44) Vậy (3.45) Cho . Do đó: (3.46) Tính (3.47) (3.48) (3.49) Lấy giới hạn và cho thì: (3.50) (3.51) (3.52) với . Kết quả cuối cùng ta tìm được (3.53) 3.2. Mômen từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử Hiệu ứng của hạt tương tác với chân không vật ly sẽ cho đóng góp bổ sung vào mômen từ của electron. Theo công thức mômen từ dị thường (2.32) nhận được ở cuối chương 2, ta có (3.54) trong đó được xác định bằng công thức (3.53). Theo công thức (2.33) tổng mômen từ của electron bằng (3.55) trong thừa số g được xác định bằng công thức (2.34) (3.56) ta có thể thay thế bằng , và bằng , khi . Như vậy ta có : (3.57) trong đó là hằng số cấu trúc tinh tế. Số hạng thứ hai từ moment từ dị thường và nó được biết như bổ chính Schwinger . Mômen từ dị thường của electron trong điện động lực học lượng tử được tính đến bậc sáu, và tương tác yếu đã được kể đến. Kết quả ta có: (3.58) Số hạng đầu tiên là tiên đoán của phương trình Di rac vào năm 1928 và số hạng thứ hai là bổ chính Schwinger /11/ xuất phát từ giản đồ Feynman. Số hạng thứ ba là kết quả tính 18 giản đồ Feynman /12/ ở đây số hạng thứ tư được tính từ 72 giản đồ Feynman /13/. So sánh với thực nghiệm ta có (3.59) Giá trị lý thuyết đã được tính sử dụng hằng số cấu trúc tinh tế /8/. (3.60) mà nó nhận được từ thực nghiệm qua hiệu ứng Josephson. Mômen từ dị thường của electron xuất hiện từ tương tác điện từ .Mặt khác các nucleon, tham gia tương tác mạnh, mà nó cho đóng góp vượt trội vào mômen từ dị thường. Những giá trị này khá lớn như ta thấy từ các giá trị thực nghiệm của các mômen từ toàn phần. (3.61) trong đó M là khối lượng của nucleon KẾT LUẬN Trong Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học chúng tôi nghiên cứu mômen từ dị thường của electron trong điện động lực học lương tử. Việc tính bổ chính cho mômen từ dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman. Những kết quả chủ yếu của Luận văn Thạc sĩ bao gồm 1/ Phương trình Pauli chưa số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với từ trường ngoài, nhận được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger từ tư duy hiện tượng luận; ii/ Thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính cho phương trình Dirac của electron trong trường điện từ ngoài. 2/ Sự dị thường của mômen từ xuất hiện do tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ. Việc tính bổ chính cho mômen từ electron qua quá trình tán xạ của electron với trường điện từ ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến 3/ Sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên chúng tôi đã tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn của số hạng bổ chính cho mômen từ. Phần phân kỳ của số hạng bổ chính được gộp vào việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, còn phần hữu hạn của số hạng bổ chính cho đóng góp vào mômen từ dị thường . 4/ Kết quả tính số mômen từ dị thường phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm Những kết quả thu được trong Luận văn Thạc sĩ sẽ là cơ sở để nghiên cứu việc tính mômen từ của các hạt cơ bản trong các lý thuyết trường phức tạp hơn trong vật lý hạt cơ bản như mô hình chuẩn mà nó thống nhất ba trong bốn