Luận văn Một nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình bặc nhất hai ẩn

bày áp dụng vào bài toán kinh tế cần làm 39 nổi bật việc mô hình hóa toán học từ một bài toán thực tế” thế nhưng SGK chưa thực sự quan tâm vấn đề này một cách đầy đủ. Như vậy, vấn đề mô hình hóa có được đề cập đến thông qua các bài toán thực tế nhưng mang tính hình thức và chịu nhiều ràng buộc của thể chế. Tham chiếu với 4 bước của mô hình hóa, chúng tôi thấy rằng bước 1 và bước 4 không có cơ hội xuất hiện, bước 2 và bước 3 xuất hiện khá rõ nét. Ngoài ra, việc thực hiện bước 3 trong quá trình mô hình hóa làm chúng tôi phân vân: kỹ thuật giải của bài toán toán học bao gồm cả KTHH và KTĐS. Thật vậy, đầu tiên để tìm miền nghiệm (miền phương án chấp nhận được) người ta dùng KTHH để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (hệ các ràng buộc). Đáng lẽ ra, bước tiếp theo, người ta phải dùng đường định mức để tìm PATU (đáp số của bài toán) như thế mới là hoàn chỉnh KTHH. Nhưng ở đây, SGK đã sử dụng phương pháp cải tiến hàm mục tiêu (ý tưởng chính của phương pháp đơn hình – thuộc KTĐS) để tìm PATU. Việc này đòi hỏi tọa độ các đỉnh của đa giác nghiệm phải chính xác (nhằm tìm được chính xác PTU), điều này đưa chúng tôi đến giả thuyết nghiên cứu thứ nhất như sau: GT1: HS ít sử dụng KTHH mà chủ yếu sử dụng KTĐS hoặc máy tính bỏ túi để tìm tọa độ các đỉnh của đa giác nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hơn nữa những gì đã trình bày ở SGK về vấn đề mô hình hóa thông qua bài toán thực tế đặc biệt là sự kết hợp giữa KTHH và KTĐS trong việc tìm PATU còn cho phép chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu thứ hai sau: GT2: Cách tìm đáp án cho bài toán thực tế như SGK trình bày không đem lại cách hiểu đúng cho HS về việc tìm PATU mà tổng quát là tìm một PA thỏa mãn yêu cầu của bài toán thực tế đặt ra. Như vậy, việc hoàn thành nghiên cứu trong chương 2 đã giúp chúng tôi trả lời được câu hỏi CH2: Trong CT và SGK toán lớp 10, đối tượng O (hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn) tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó? Vấn đề mô hình hóa có được thể chế đặt ra ? và mở ra động lực thúc 40 đẩy chúng tôi thực hiện tiếp nghiên cứu ở chương 3 về nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV. Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mở đầu Từ những phân tích các TCTH cần dạy ở chương 2, chúng tôi muốn nghiên cứu xem trong thực tế dạy học, GV đã giảng dạy các TCTH này như thế nào? Vấn đề áp dụng toán học vào thực tiễn được GV quan tâm ra sao? Vì vậy, chúng tôi tiến hành quan sát một lớp học và phân tích các tổ chức dạy học mà GV thực hiện hay nói cách khác, chúng tôi cố gắng tìm đáp án cho các câu hỏi sau: CH3: Trong thực tế dạy học, GV đã đưa vào những KNV nào ? Họ có chú ý đến những KNV ngoài toán học hay không ? Đâu là sự khác biệt cũng như tương đồng giữa tri thức cần dạy và tri thức được dạy? GV hiểu như thế nào về sự lựa chọn KTHH để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? ♦ Đối tượng: HS lớp 10 đang học theo CT nâng cao (SGK nâng cao) ♦ Hình thức: Dự giờ tiết lý thuyết và tiết bài tập của GV. Sau đó, chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết nhân chủng học làm khung lý thuyết tham chiếu để phân tích tiết học vừa quan sát. ♦ Sản phẩm thu được: Biên bản quan sát tiết học (phụ lục 1), băng ghi âm và các ghi chép về tiết học đó. 41 Biên bản ghi lại tiết học của HS lớp 10A tại trường THPT Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Khánh Hòa, do GV Ng giảng dạy. Một hợp đồng được thiết lập giữa GV và người quan sát: Người quan sát không can thiệp vào bất cứ hoạt động nào giữa GV Ng và HS, chỉ quan sát, ghi âm và ghi chép nội dung tiết học. GV bắt đầu tiết học bằng việc thông báo kết thúc phần bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Tiết học này sẽ học sang phần mới: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 1. GV: Chúng ta vừa học xong các bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Tiết này, chúng ta học qua bài mới, các em mở SGK trang 128. GV ghi tựa đề: Bài 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN3 2. GV ghi tiếp: 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó Định nghĩa: (SGK) 3. GV: phần này chủ yếu các em đọc sách và ký hiệu vào SGK để học chứ không cần ghi chép nhiều. Ở dưới các em có thể sử dụng SGK rồi nêu định nghĩa cho thầy. Nào các em đọc đi. 4. GV: Thầy mời Thoa, em hãy phát biểu định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 5. HS Thoa: (đọc định nghĩa ở SGK). 6. GV: Thầy mời em ngồi xuống. Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một trong bốn dạng đó, mỗi dạng là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các em ghi nhớ định nghĩa. 7. GV ghi: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một trong các dạng: ax + by + c 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0 với a2 + b2 ≠ 0. 3 Chữ in đậm là phần ghi bảng của GV 42 Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn được GV giới thiệu đầy đủ theo đúng trình tự của SGK, khái niệm này xuất hiện tạo điều kiện cho việc đưa vào khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 8. GV: Như thế nào được gọi là nghiệm của bất phương trình và miền nghiệm của bất phương trình? Thứ nhất, một nghiệm của bất phương trình đó là gì? Thầy mời Thảo. 9. HS Thảo: Nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 là cặp số (x0;y0) sao cho ax0 + by0 + c < 0 10. GV: Thầy mời em ngồi xuống.Nghiệm của bất phương trình được định nghĩa như sau: Cho bất phương trình ax + by + c > 0 (1). Cặp số (x0;y0) thỏa mãn ax0 + by0 + c > 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). 11. GV: Như vậy, mỗi nghiệm của bất phương trình (1) gồm hai số x và y thì mỗi cặp số (x,y) này nếu ta cho đó là hoành độ và tung độ của một điểm thì mỗi cặp số (x,y) này ứng với một điểm trong hệ Oxy thì điểm M(x0;y0) đấy được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). 12. GV: Điểm M0(x0;y0) trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1) nếu ax0 + by0 + c > 0. 13. GV: Vậy ta nói bất phương trình (1) có một nghiệm có phải không? 14. HS: Dạ, không phải đâu thầy. Nó phải có nhiều nghiệm lắm. 15. GV: Ví dụ: Cho bất phương trình 2x + y – 1 < 0, hãy tìm các nghiệm của bất phương trình này. 16. HS: (0;0). 17. GV: Một nghiệm nào khác đi. 18. HS: (1;-3). 19. GV: Có thể kể hết tất cả các nghiệm của bất phương trình này không? 20. HS: Không thể đâu thầy ơi vì nó quá nhiều. Một KNV đã được đưa ra đó là KNV T0: “ Tìm nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn”. KNV này được GV thêm vào như là một cách để minh họa cho những lý thuyết vừa được giảng dạy, đồng thời, nó cũng là bước mở đầu để tiếp cận kỹ thuật giải của KNV TNbpt: “Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 43 hai ẩn”. Ngoài ra, kỹ thuật giải của KNV T0 và yếu tố công nghệ lý thuyết đã được GV cùng HS thể chế hóa ngay tại lớp. HS dễ dàng tìm được câu trả lời. 21. GV: Vậy tổng quát, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có bao nhiêu điểm nghiệm? 22. HS: Dạ, có vô số điểm nghiệm. 23. GV: Tập hợp tất cả các điểm nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó. Khái niệm nghiệm và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được xây dựng khá chi tiết. GV giải thích rất rõ lý do có sự liên hệ giữa nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn với tọa độ của một điểm trên hệ trục tọa độ Oxy từ đó tạo điều kiện sinh thái cho sự xuất hiện khái niệm miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn và sau này là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 24. GV: Vậy ta xác định miền nghiệm của bất phương trình như thế nào? Sau đây ta sẽ tìm hiểu cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 25. GV ghi : b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 26. GV: Để xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta thừa nhận một định lý ở SGK, các em xem sách rồi phát biểu lại cho thầy. 27. GV: Nào, Long phát biểu định lý cho thầy nghe. 28. HS Long: (phát biểu định lý ở SGK). 29. GV: Em ngồi xuống. Từ định lý này ta suy ra, đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 và nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0. Do đó, nếu nửa mặt phẳng này là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 thì nếu ta lấy một điểm bất kỳ thuộc nó, ta cũng được một điểm nghiệm của bất phương trình (1). Từ đó, hãy phát biểu quy tắc xác định miền nghiệm của bất phương trình (1)? 30. HS: (phát biểu quy tắc xác định miền nghiệm của bất phương trình (1) như SGK). 44 31. GV ghi: Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 (1), ta làm như sau: - Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0; - Xét một điểm M(x0;y0) không nằm trên (d). Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0. Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0. 32. GV: Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 suy ra được từ quy tắc trên.Vậy đối với miền nghiệm của bất phương trình ax+by +c ≥ 0 thì sao? 33. HS: Lấy miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 kể cả bờ. 34. GV: Tại sao vậy nhỉ? Diệu. 35. HS Diệu: Dạ, theo em là tại vì bất phương trình ax + by + c ≥ 0 gồm bất phương trình ax + by + c > 0 và phương trình ax + by + c = 0 mà phương trình ax + by + c = 0 là phương trình của đường thẳng (d) nên ta lấy miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≥ 0 gồm miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 và cả đường thẳng (d) nữa. 36. GV: Các em có thể hiểu như bạn vừa trình bày. 37. GV ghi:Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + by + c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. Thời điểm xây dựng kỹ thuật giải của KNV TNbpt: “Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn” và xây dựng yếu tố công nghệ lý thuyết đã diễn ra dưới hình thức hợp tác giữa GV và HS nhưng sự hợp tác này diễn ra trên nền tảng tri thức mà SGK đã ghi, GV hoàn toàn không bổ sung thêm bất kỳ lý giải nào cho sự lựa chọn này mặc dù GV đã bổ sung KNV T0 và đi kèm với nó là KTĐS dùng để giải quyết KNV ấy. Tiếp theo là một ví dụ về xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, GV để HS tự giải quyết ví dụ này. Mặc dù, kỹ thuật vừa được xây dựng 45 nhưng HS áp dụng kỹ thuật này vào việc giải ví dụ tương đối tốt và không cho thấy có vấn đề gì gây khó khăn cho HS. 38. GV: Bây giờ, chúng ta áp dụng quy tắc trên để giải ví dụ sau: Ví dụ: Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + y – 1 < 0 (2). Các em suy nghĩ rồi giải cho thầy. 39. HS: (trao đổi làm bài tập). 40. GV: Tuyên. Em giải bài tập này nào. 41. HS Tuyên: Vẽ đường thẳng (d); 2x + y – 1 = 0. Lấy M(1;2) thay vào (2) ta được 2.1 + 2 – 1 < 0 (sai) nên M không thuộc miền nghiệm của (2). Vậy miền nghiệm của (2) không chứa M (HS có vẽ hình) 42. GV: Miền nghiệm này có chứa bờ (d) không đấy ? 43. HS: Dạ không. 44. GV: Các bước xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, SGK đã viết một cách rất rõ, các em có thể tự xem thêm ở SGK trang 129. Ta qua phần tiếp theo.GV ghi : 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Nhờ tất cả những gì đã được xây dựng trước đó, GV hướng dẫn HS tiếp cận khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm này được giới thiệu dựa trên khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ý nghĩa từ “hệ” mà HS đã được hiểu thông qua những tri thức đã được học từ trước. 45. GV: Các em hiểu hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? 46. HS: Là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 47. GV: Vậy nghiệm của hệ được định nghĩa ra sao? 48. HS: Nghiệm của hệ là nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ đó. 49. GV: Thế miền nghiệm của hệ được xác định như thế nào? 50. HS: Lấy phần chung của tất cả các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Với cách chuyển này, chúng tôi cho rằng GV đã đưa đến một sự hiển nhiên trong việc lựa chọn kỹ thuật giải của KNV TNhbpt đó là KTHH được xây dựng từ kỹ thuật giải của KNV TNbpt và định nghĩa miền nghiệm của hệ. 46 Sau khi xây dựng xong kỹ thuật giải của KNV TNhbpt, GV và HS tiếp tục làm việc với KNV này thông qua việc giải ví dụ ở SGK, điều này đồng nghĩa với việc thời điểm làm việc với kỹ thuật đã bắt đầu. Ngoài ra, GV không bổ sung bất kỳ nhận định nào về mối quan hệ giữa đối tượng đang nghiên cứu với tri thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 51. GV: Vậy ta xét một bài toán được nêu trong ví dụ sau nhé. Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình 3x y 3 0 I 2x 3y 6 0 2x y 4 0 ( )  − + > − + − <  + + > . Giải hệ này như thế nào đây? 52. HS: Vẽ đường thẳng (d1): 3x – y + 3 = 0. Chọn O(0;0), thay tọa độ O 53. GV: (ngắt lời) Chúng ta làm cùng một lúc cho gọn nhé. Ta chọn một điểm không thuộc các đường thẳng để thay vào một lúc luôn nha. Đoán xem chọn điểm nào? 54. HS: Chọn gốc tọa độ cho dễ thầy ơi. 55. GV: Đúng rồi đó. Vậy các em làm đi nghen. 56. HS: Vẽ 3 đường thẳng: (d1): 3x – y + 3 = 0; (d2): -2x + 3y – 6 = 0; (d3): 2x + y + 4 = 0 Thay tọa độ điểm O(0;0) và các bất phương trình trong hệ, ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm của cả ba bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch (HS có vẽ hình). 57. GV: Chú ý nhận xét xem miền nghiệm của hệ có tính biên hay không nhé. 58. HS: Vẫn không tính biên. 59. GV: Các em chú ý khi vẽ hình ta dùng các gạch chéo khác nhau để dễ phân biệt. 60. GV: Tốt lắm, đa số các em đã làm được. Bây giờ chúng ta tiếp tục làm bài tập trong câu hỏi H2 nhé. Chúng tôi quan sát thấy rằng, việc giải quyết KNV TNhbpt không gây khó khăn cho HS mặc dù việc tại sao lại dùng KTHH mà không dùng KTĐS đã không được đề cập đến. 47 Kết thúc tiết học, GV củng cố lại các bước cơ bản trong việc xác định miền nghiệm của bất phương trình và của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúng tôi thật sự mong đợi GV đưa ra lý do tại sao KTĐS trong việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hoàn toàn không có mặt hay chí ít, GV có thể đưa ra tính ưu việt của KTHH trong giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nhưng tuyệt nhiên vấn đề này vẫn không được nhắc đến. Sang tiết học tiếp theo của bài này, GV vẫn tiếp tục củng cố lại các kiến thức trên. Điều này cho thấy, vấn đề xác định miền nghiệm là một yêu cầu cơ bản. Tiếp đến, GV đề cập đến vấn đề ứng dụng toán học trong thực tế, cụ thể ở đây là vấn đề ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong việc giải các bài toán thực tế đã được GV thông báo chi tiết cho HS nghĩa là việc dạy học mô hình hóa đã có dấu hiệu xuất hiện: 61. GV: Bây giờ chúng ta tiếp tục, chúng ta đã nói xong phần miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hôm nay, chúng ta sẽ nói về ứng dụng của hệ này trong thực tế. Một trong những ứng dụng đó là việc áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải các bài toán quy hoạch tuyến tính mà nếu có điều kiện học cao hơn các em sẽ có điều kiện nghiên cứu kỹ, còn ở đây chúng ta chỉ biết đến thông qua bài toán kinh tế như ví dụ ở SGK. Các em lật sách ra trang 131 và đọc kỹ bài toán ở phần 3 trang 131. GV tiếp cận vấn đề từ một công việc quen thuộc mà HS đã từng làm đó là giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình. 62. GV: Dựa trên cách giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình mà các em đã được học trước đây, hãy dùng ẩn phụ để viết lại bài toán trong thực tế này thành bài toán trong toán học .Gọi ẩn thế nào đây? 63. HS: Gọi x, y lần lượt là số tấn nguyên liệu loại 1 và loại 2 sẽ sử dụng. Như vậy, cũng như các bài toán thực tiễn khác, trong bài toán này, mô hình toán học đã ngầm ẩn và GV cũng hướng HS gọi ẩn là các giá trị cần tìm. 64. GV ghi : Gọi x, y lần lượt là số tấn nguyên liệu loại 1 và loại 2 sẽ sử dụng. 65. GV: Chúng ta sẽ tóm tắt lại các số liệu của bài toán theo bảng sau nghen 48 Nguyên liệu Số lượng (tấn) Giá tiền (triệu) Số lượng chất A (kg) Số lượng chất B (kg) Loại 1 x 4x 20x 0,6x Loại 2 y 3y 10y 1,5y Việc lập bảng tổng kết các dữ liệu thu thập được từ bài toán cho thấy GV đã thực sự quan tâm đến vấn đề dạy học mô hình hóa nhưng bước 1 cũng không có cơ hội xuất hiện còn bước 2 đã xuất hiện mặc dù rất mờ nhạt. GV giải thích khá chi tiết các dữ kiện được đưa ra cho HS. 66. GV: “cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại 1 và không quá 9 tấn nguyên liệu loại 2” cho ta điều kiện gì? 67. HS: 0≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 9. 68. GV: “ chiết xuất ít nhất 140kg chất A và 9kg chất B” là sao? 69. HS: 20x + 10y ≥ 140; 0,6x + 1,5y ≥ 9. 70. GV: Số tiền mua nguyên liệu tính theo biểu thức nào? 71. HS: 4x + 3y 72. GV: Từ đó hãy phát biểu lại bài toán? 73. HS: Tìm hai số x, y thỏa hệ bất phương trình 0 x 10 0 y 9 20x 10y 140 0 6x 1 5y 9, ,  ≤ ≤  ≤ ≤  + ≥  + ≥ sao cho T(x;y) = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất. 74. GV: Đúng. Rút gọn hệ , ta đưa về bài toán cần giải được phát biểu như sau: Tìm x, thỏa hệ bất phương trình 0 x 10 0 y 9 II 2x y 14 2x 5y 30 ( )  ≤ ≤  ≤ ≤  + ≥  + ≥ sao cho T(x;y) = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất. Như thế việc chuyển một bài toán thực tế thành bài toán toán học đã hoàn thành. Vấn đề tiếp theo là việc giải quyết bài toán toán học. một phần của bài toán 49 là giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã rơi vào KNV TNhbpt nên HS đã tự giải quyết tương đối đơn giản. 75. GV: Ta giải bài toán này thế nào đây? 76. HS: Giải hệ bất phương trình (II) trước, sau đó, tìm điểm M(x;y) sao cho T(x;y) đạt giá trị nhỏ nhất. 77. GV: Các em giải nhanh hệ (II) nhé. 78. HS: (giải hệ bất phương trình (II)) 79. GV ghi: Vẽ các đường thẳng (d1): 2x + 5y = 30; (d2): 2x + y = 14; (d3): x = 10; (d4): y = 9. Tập nghiệm của hệ là phần không bị gạch trên hình vẽ (kể cả biên). (GV vẽ hình). Dưới sự gợi ý của GV, HS đã tìm tọa độ các đỉnh của đa giác ABCD bằng việc giải các hệ phương trình tương ứng bằng máy tính (mặc dù trên đồ thị, tọa độ các điểm này đã thấy rõ) 80. GV: Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2), B là giao điểm của (d1) và (d3), C là giao điểm của (d3) và (d4), D là giao điểm của (d4) và (d2). Tìm tọa độ A như thế nào? 81. HS: Giải hệ 2x 5y 30 2x y 14  + =  + = ta được A(5;4). 82. GV: Tương tự, hãy tìm tọa độ của B, C, D? 83. HS: B(10;2), C(10;9), 5D 9 2 ;       . Với sự dẫn dắt hướng giải bài toán này của GV, chúng tôi cho rằng kết luận thứ nhất mà chúng tôi đưa ra trong chương 2: HS không biết đến KTĐS trong giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và mối liên hệ giữa hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chưa tồn tại trong HS vẫn có giá trị. Đồng thời, chúng tôi cho rằng: Việc GV không có ý kiến bổ sung nào về kỹ thuật trong việc giải hệ phương trình để tìm tọa độ các đỉnh sẽ làm cho HS ưu tiên sử dụng KTĐS hoặc kỹ thuật máy tính trong giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để tìm tọa độ các đỉnh đa giác nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 50 Phần còn lại của bài toán tương đối khó vì việc giải quyết nó vượt ra khỏi phạm vi toán THPT, chính vì thế, GV cùng HS đã nhanh chóng thể chế hóa kỹ thuật giải bài toán : tìm x, y để biểu thức T(x;y) đạt giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) thông qua một kết quả được nói tới trong SGK. Nhờ đó, việc giải quyết bài toán khá đơn giản và HS đưa ngay được đáp án. Bước 3 của dạy học mô hình hóa nhờ đó đã thực hiện xong. 84. GV: Làm thế nào để tìm x, y thỏa mãn điều kiện còn lại của bài toán? 85. HS: Lấy x = 5, y = 4 thì T(x;y) đạt giá trị nhỏ nhất. 86. GV: Sao các em biết? 87. HS: Trong SGK ghi vậy đó thầy (lớp cười). 88. GV: Thật ra, để tìm x, y thỏa mãn bài toán thì chúng ta phải lấy các điểm M(x;y) thuộc miền đa giác ABCD, là miền nghiệm của hệ vừa giải đó, thay tọa độ của nó vào biểu thức T(x;y), từ đó chọn được x, y làm T(x;y) có giá trị nhỏ nhất nhưng thử thế đến bao giờ mới xong? Do đó, chúng ta thừa nhận một kết quả: Biểu thức T(x;y) có giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. Vậy ta làm thế nào tìm được hai số x, y này? 89. HS: Thay tọa độ của các đỉnh A, B, C, D vào biểu thức T(x;y) rồi chọn giá trị nhỏ nhất, từ đó tìm được x, y. Những gợi ý của GV trong việc giải bài toán 2 tiếp tục khẳng định rằng kỹ thuật dùng để tìm PATU vẫn là KTĐS tức là GV vẫn làm theo các bước của SGK đã trình bày. Vấn đề tại sao lại tìm được PATU bằng cách ấy đương nhiên không được giải thích rõ mà chỉ được yêu cầu HS chấp nhận 90. GV: Tính giá trị biểu thức T(x;y) tại các đỉnh A, B, C, D cho thầy nào. 91. HS: T(5;4) = 32; T(10;2) = 46; T(10;9) = 67; 5T 9 37 2 ;   =    92. GV: Vậy x = 5, y = 4 thỏa bài toán đúng không? 93. HS: Dạ. Cuối cùng, GV cho HS đưa ra đáp án cho bài toán thực tế đang giải. Đây chính là bước 4 của bài toán mô hình hóa nhưng hầu hết các bài toán thực tế đưa 51 vào SGK đều cho kết quả phù hợp với các dữ kiện ban đầu tức là phù hợp với thực tế. Do đó GV cho HS kết luận mà không có sự phân tích, đối chiếu kết quả. Tất cả những ghi nhận trên càng tạo cơ sở cho hai giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đưa. 94. GV: Ta kết luận như thế nào đây? 95. HS: Để chiết xuất được ít nhất 140kg chất A và 9kg chất B thì phải dùng 5 tấn nguyên liệu loại 1 và 4 tấn nguyên liệu loại 2. Khi đó, chi phí nguyên liệu là thấp nhất. 96. GV: Qua bài toán này các em thấy được phần nào ứng dụng của toán học vào thực tế . Chúng ta sẽ gặp lại dạng này trong chương trình toán bậc cao hơn nếu có điều kiện.Bây giờ, chúng ta làm bài tập nghen. Đáng tiếc là giờ học đã kết thức và thời lượng dành cho bài học này cũng không còn nên chúng tôi không thể quan sát xem trong tiết bài tập, GV sẽ tập trung vào KNV nào và bài toán thực tế có tiếp tục nhận được sự quan tâm của GV hay không? Chúng tôi đem thắc mắc này trao đổi trực tiếp với GV giảng dạy thì nhận được câu trả lời rằng: các bài tập về nhà cho HS chủ yếu là các bài tập về xác định miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình và các bài toán thực tế tương tự các ví dụ HS đã giải trên lớp, phần này lại không được sử dụng nhiều về sau nên GV sẽ bỏ qua việc kiểm tra, sửa chữa bài tập cho HS. Kết luận Kết quả phân tích các TCTH theo quan điểm động ở trên cho thấy rằng, kỹ thuật giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được xây dựng trên kỹ thuật giải của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy rằng, để tiếp cận kỹ thuật giải của bất phương trình, GV có nói đến việc tìm nghiệm bất phương trình bằng nhẩm nghiệm kết hợp tính toán đại số nhưng khi thực hiện xác định miền nghiệm, nó hoàn toàn là KTHH, KTĐS không có cơ hội xuất hiện và mối liên hệ giữa hệ phương trình và hệ bất phương trình vì thế cũng không tồn tại. Tiếp đến, chúng tôi tiến hành phân tích các TCTH, tổ chức didactic theo quan điểm tĩnh để chúng tôi có thể nghiên cứu những TCTH GV đã triển khai trên lớp học và họ đã triển khai chúng như thế nào? 52  Tổ chức toán học Các TCTH liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện trong SGK toán 10 cũng chính là các TCTH được đưa ra trong thực tế dạy học của GV. Các kỹ thuật giải của các KNV trong các TCTH ấy có quan hệ mật thiết với nhau: kỹ thuật giải của TPATU có một phần là kỹ thuật của KNV TNhbpt, kỹ thuật giải của KNV TNhbpt dựa hoàn toàn trên kỹ thuật giải của KNV TNbpt. Các TCTH được đề cập ở chương 2 được GV dành sự quan tâm như nhau. Đồng thời, mỗi KNV trong mỗi TCTH đều có kỹ thuật giải rõ ràng và đó là KTHH. Vấn đề tìm kiếm nhiều kỹ thuật giải đã không được đặt ra. Các yếu tố công nghệ lý thuyết giải thích cho kỹ thuật cũng được GV nêu ra tường minh.  Tổ chức didactic  Thời điểm gặp gỡ đầu tiên Thời điểm gặp gỡ đầu tiên của tổ chức toán học Nbpt Nbpt NbptT / / / ... τ θ  đoạn 24- 25. Ngay sau khi GV giới thiệu định nghĩa về bất phương trình và nghiệm bất phương trình, KNV TNbpt được gặp lần đầu đầu tiên khi GV hỏi: “Vậy ta xác định miền nghiệm của bất phương trình như thế nào?...”. Ngay lúc này, HS tiếp nhận thông tin về sự tồn tại của KNV TNbpt và bắt đầu suy nghĩ hướng giải quyết KNV này. Đối với tổ chức toán học Nhbpt Nhbpt NhbptT / / / ... τ θ  cũng vậy, bằng lối suy nghĩ lôgic về sự hình thành các đối tượng: phương trình → hệ phương trình → bất phương trình →hệ bất phương trình mà HS đã được làm quen từ các kiến thức toán học trước đó, GV đưa ra khái niệm hệ bất phương trình và ngay lập tức cho HS tiếp cận với KNV TNhbpt thông qua câu hỏi: “Thế miền nghiệm của hệ được xác địn