Luận văn Một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan

hĩa 1.6.1.Cho M là một R-môđun; I, J là hai iđêan của R, ta định nghĩa tập: { }, ( ) | , 1nI J M x M I x Jx nΓ = ∈ ⊆  ta thấy ( )n nI x Jx I Ann x J⊆ ⇔ ⊆ + do đó { }, ( ) | ( ) , 1nI J M x M I Ann x J nΓ = ∈ ⊆ + từ đây ta có thể chứng minh được , ( )I J MΓ là một R-môđun con của M. Cho :f M N→ là một đồng cấu R-môđun. Ta có , ,( ( )) ( )I J I Jf M NΓ ⊆ Γ và do đó ta định nghĩa R-đồng cấu , , ,( ) : ( ) ( )I J I J I Jf M NΓ Γ →Γ chính là thu hẹp của f trên , ( )I J MΓ . Từ đây ta định nghĩa được hàm tử ( ),I JΓ − . 13 Định nghĩa 1.6.2. Hàm tử , :I J R RMod ModΓ → là một hàm tử hiệp biến cộng tính, ta gọi đây là hàm tử (I,J)-xoắn. Với M là một R-môđun ta định nghĩa , ( )I J MΓ là môđun (I, J)-xoắn của M. , ( )I J M MΓ = ta nói M là môđun (I, J)-xoắn, , ( ) 0I J MΓ = ta nói M là môđun (I, J)- xoắn tự do. Nhận xét rằng nếu J = 0 thì ,I J IΓ ≡ Γ là hàm tử I-xoắn quen thuộc trong đối đồng điều địa phương. Bổ đề 1.6.3. Hàm tử (I,J)-xoắn , ( )I JΓ − là hàm tử khớp trái. Định nghĩa 1.6.4. Với i là số tự nhiên, ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ,I JΓ là , i I JH : hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo một cặp iđêan (I,J). Với M là một R-môđun ta định nghĩa , ( ) i I JH M là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo (I,J). Nhận xét rằng nếu J = 0 thì ,0I IΓ ≡ Γ do đó ,0 i i I IH H≡ , hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan chính là mở rộng của hàm tử đối đồng điều địa phương quen thuộc. Mệnh đề 1.6.5. [16, 1.4] Cho I, J là các iđêan của vành R; i là số tự nhiên bất kỳ và M là một R-môđun. Ta có: , ,( ) ( ) i i I J J I JH M H M+ = ; , ,( ) ( ) i i I J I JH M H M= . Định nghĩa 1.6.6. Cho I, J là hai iđêan của R. Ta định nghĩa tập hợp sau:  W( , ) ( ) , 1nI J Spec R I J np | p+    Nhận xét rằng khi J = 0 thì W( , ) ( )I J V I= lại đưa về định nghĩa quen thuộc. Mệnh đề 1.6.7. [16, 1.7]Cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau là tương đương. i. M là môđun (I, J)-xoắn. 14 ii. ( ) W( , )Min M I J⊆ . iii. As ( ) W( , )s M I J⊆ . iv. ( ) W( , )Supp M I J⊆ . Mệnh đề 1.6.8. [16, 1.10] Cho M là R môđun. Khi đó       ,As W , =As I Js M I J s M  . Đặc biệt,  , 0I J M  khi và chỉ khi    As W ,s M I J  . Mệnh đề 1.6.9. [16, 1.11] Cho ( )Spec R∈p , khi đó ta có: i. W( , )I J∈p thì ( / )E R p là môđun (I, J)-xoắn. ii. W( , )I J∉p thì ( / )E R p là môđun (I, J)-xoắn tự do. Mệnh đề 1.6.10. [16, 2.5]Cho ,I J là các iđêan của vành R . Nếu R −mô đun M là J − xoắn thì ( ) ( ),i iI J IH M H M≅ với mọi i ∈ . Mệnh đề 1.6.11. [16, 4.2]Cho M là R −môđun hữu hạn sinh với ( ),R m là vành địa phương và các iđêan ,I J . Khi đó M là ( ),I J −xoắn khi và chỉ khi ( ), 0iI JH M = với mọi 0i∈ . Định lý 1.6.12. [16, 4.3]Cho ( ),R m là vành địa phương và M là R −môđun hữu hạn sinh. ,I J là các iđêan của vành R và J R≠ . Khi đó ( ), 0iI JH M = với mọi dim /i M JM> . Định lý 1.6.13. [16, 4.7]Cho M là R −môđun hữu hạn sinh. ,I J là các iđêan của vành R . Khi đó ta có: i. ( ), 0iI JH M = với mọi số nguyên thỏa dimi M> . ii. ( ), 0iI JH M = với mọi số nguyên thỏa dim / 1i M JM> + . 15 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN 2.1. Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định lý 2.1.1. Giả sử ( , )R m là vành địa phương. Cho M là một R −môđun hữu hạn sinh với dim M d= . Khi đó ( ),dI JH M là Artin. Chứng minh. Do M là R −môđun hữu hạn sinh nên có một lọc các môđun con của M 0 10 tM M M M= ⊂ ⊂ ⊂ = sao cho 1/ /j j jM M R− ≅ p với j SuppM∈p , 1, ,j t=  Với mỗi 1,2, ,j t=  ta có dãy khớp ngắn các R −môđun 10 / 0j j jM M R−→ → → →p Từ đó ta thu được dãy khớp dài sau: ( ) ( ) ( ), 1 , , /d d dI J j I J j I J jH M H M H R −→ → → →p Cụ thể như sau: Với 1j = ta có ( ) ( ), 1 , 10 / 0d dI J I JH M H R→ → →p , do đó ( ) ( ), 1 , 1/d dI J I JH M H R≅ p . Với 2j = ta có ( ) ( ) ( ), 1 , 2 , 2/d d dI J I J I JH M H M H R→ → → → p Với j t= ta có ( ) ( ) ( ), 1 , , /d d dI J t I J I J tH M H M H R−→ → → → p Do đó chỉ cần chứng minh ( ), /dI J jH R p là môđun Artin với mọi 1,2, ,j t=  .Đặt j =p p . Xét hai trường hợp sau: Nếu J ⊆ p thì ( ) { } { }/ / | 0, 0 / | , 0 /n nJ R x R J x n x R J x n RΓ = ∈ = = ∈ ∈ = p p p p p , do đó /R p là J − xoắn. Khi đó ( ) ( ),/ /I I JR RΓ = Γp p . Thật vậy, ( ) ( ),/ 0 : 0 /nI I Jx R n I x Jx x R∈Γ ⇒ ∃ > = ⊂ ⇒ ∈Γp p . Ngược lại ( ), / 0 : nI Jx R n I x Jx∈Γ ⇒ ∃ > ⊆p , mặt khác /R p là J − xoắn nên 0, 0mJ x m=  . Do đó . 0m n mI x J x⊆ = hay ( )/Ix R∈Γ p . 16 Suy ra ( ) ( ), / /d dI J IH R H R≅p p . Do dim /R d≤p , nên theo định lý 1.5.3 thì ( )/ 0dIH R =p là Artin. Do đó ( ), / 0dI JH R =p là Artin. Nếu J ⊄ p thì ( ) ( ) ( )( ) ( )dim / / / dim / / dim / dim /R J R R J Ann R R J R d= + = + < ≤p p p p p . Do đó theo định lý 1.6.12 thì ( ), / 0dI JH R =p là Artin.  Nhận xét: Định lý này chính là sự mở rộng của định lý 1.5.9 tương ứng với môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan. Định lý 2.1.2. Giả sử ( ),R m là vành địa phương. Cho ,I J là hai iđêan của vành R sao cho I J+ = m , M là R −môđun hữu hạn sinh. Nếu với số nguyên t mà ( ),iI JH M là Artin với mọi i t> thì khi đó ( ) ( ), ,/t tI J I JH M JH M là Artin. Chứng minh. Do I J+ = m nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ), , ,, r r r r I J I J J JI J J H M H M H M H M+ += = = m với mọi r . Do đó có thể giả sử là I = m . Ta sẽ chứng minh định lý bằng phép quy nạp theo : dimn M= . Với dim 0n M= = thì M có độ dài hữu hạn, do đó { }AssM SuppM= = m . Ta có 0 , 1n J n⊆ + ⊆ + m m m nên ( )W , J∈m m . Khi đó M là ( ), J −m xoắn vì ( )W ,SuppM J⊆ m . Theo mệnh đề 1.6.11 thì ( ), 0 0i JH M i= ∀ >m . Mà ( )0 ,JH Mm là Artin theo định lý 2.1.1. Vậy ( ) ( )0 0, ,/J JH M JH Mm m là Artin. Với 0n . Từ dãy khớp ngắn ( ) ( )0 / 0J JM M M M→Γ → → Γ → , ta có dãy khớp dài ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1, , , ,/t t t tJ J J J J J JH M H M H M M H M+→ Γ → → Γ → Γ → m m m m Vì ( )J MΓ là J −xoắn nên theo mệnh đề 1.6.10 ta có ( )( ) ( )( ),i iJ J JH M H MΓ ≅ Γm m với mọi i . Khi đó ( )( ),i J JH MΓm là Artin với mọi i vì ( )( )i JH MΓm là môđun Artin theo định lý 1.5.7. Do đó, từ dãy khớp dài ở trên ta có thể giả sử ( ) 0J MΓ = . Lấy phần tử M − chính quy x J∈ , do đó dim / 1M xM n= − vì x không là ước của không trong M . 17 Khi đó từ dãy khớp 0 / 0xM M M xM→ → → → , ta thu được dãy khớp dài sau ( ) ( ) ( ) ( )1, , , ,/t t t txJ J J JH M H M H M xM H Mα β +→ → → → → m m m m Do ( ),i JH Mm là Artin với mọi i t> , nên từ dãy khớp dài ở trên suy ra ( ), /i JH M xMm là Artin với mọi i t> . Khi đó ( ) ( ), ,/ / /t tJ JH M xM JH M xMm m là Artin theo giả thiết quy nạp. Từ dãy khớp dài ở trên ta có hai dãy khớp ngắn sau ( ),0 Im / Im 0t JH M xMα β→ → → →m ( ) ( ), , Im 0t txJ JH M H M α→ → →m m Tác động hàm tử ( )/R J ⊗− , với đẳng cấu ( )/ /R J M M JM⊗ ≅ ta thu được hai dãy khớp sau ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , ,/ , Im Im / Im / / / Im / Im 0 * R t t J JTor R J J H M xM JH M xM J β α α β β → → → → m m ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,/ / Im / Im 0 **t t t txJ J J JH M JH M H M JH Jα α→ → →m m m m Do x J∈ nên Im 0x = , suy ra ( ) ( ), ,/ Im / Imt tJ JH M JH M Jα α≅m m . Mặt khác Imβ là môđun con của ( )1,t JH M+m nên Artin. Do ( )/ ImR J β⊗ là Artin nên ( )1 / , ImRTor R J β cũng Artin. Từ dãy khớp ( )* do ( ) ( ), ,/ / /t tJ JH M xM JH M xMm m Artin nên Im / ImJβ β Artin. Cũng theo dãy khớp ( )* thì ( ) ( ), ,/ Im / Imt tJ JH M JH M Jα α≅m m là môđun Artin.  Định lý 2.1.3. Giả sử ( ),R m là vành đại phương. M là một R −môđun hữu hạn sinh sao cho dim /M JM t= . Khi đó ( ) ( ), ,/t tI J I JH M JH M là Artin. Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo : dimn M= . Với dim 0n M= = thì dim / 0M JM = . Theo định lý 2.1.1 thì ( ) ( )dim 0, ,MI J I JH M H M= là môđun Artin, nên suy ra ( ) ( )0 0, ,/I J I JH M JH M là môđun Artin. Với 0n . Từ dãy khớp ( ) ( )0 / 0J JM M M M→Γ → → Γ → , ta có dãy khớp dài ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1, , , ,/t t t tI J J I J I J J I J JH M H M H M M H M+→ Γ → → Γ → Γ →  18 Do ( )( )dim dim /J M M JM tΓ ≤ = nên ( )( ), 0iI J JH MΓ = với ( )( )dim Ji M> Γ . Từ dãy khớp dài trên ta có thể giả sử ( ) 0J MΓ = . Lấy phần tử M − chính quy x J∈ , do đó dim / 1M xM n= − vì x không là ước của không trong M . Khi đó từ dãy khớp 0 / 0xM M M xM→ → → → , ta thu được dãy khớp dài sau ( ) ( ) ( ) ( )1, , , ,/t t t txJ J J JH M H M H M xM H Mα β +→ → → → → m m m m Do ( ) ( ) ( )dim / / / dim / dim /M xM J M xM M J Rx M M JM t= + = = nên theo giả thiết quy nạp thì ( ) ( ), ,/ / /t tI J I JH M xM JH M xM là Artin. Từ dãy khớp dài ở trên ta có hai dãy khớp ngắn sau ( ),0 Im / Im 0tI JH M xMα β→ → → → . ( ) ( ), , Im 0t txI J I JH M H M α→ → → . Tác động hàm tử ( )/R J ⊗− , với đẳng cấu ( )/ /R J M M JM⊗ ≅ ta thu được hai dãy khớp sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , ,/ , Im Im / Im / / / Im / Im 0 * R t t I J I JTor R J J H M xM JH M xM J β α α β β → → → → ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,/ / Im / Im 0 **t t t txI J I J I J I JH M JH M H M JH Jα α→ → → Do x J∈ nên Im 0x = , suy ra ( ) ( ), ,/ Im / Imt tI J I JH M JH M Jα α≅ . Mặt khác Imβ là môđun con của ( )1,tI JH M+ nên Artin. Do ( )/ ImR J β⊗ là Artin nên ( )1 / , ImRTor R J β cũng Artin. Từ dãy khớp ( )* do ( ) ( ), ,/ / /t tI J I JH M xM JH M xM Artin nên Im / ImJβ β Artin. Cũng theo dãy khớp ( )* thì R −môđun ( ) ( ), ,/ Im / Imt tI J I JH M JH M Jα α≅ là Artin.  Định lý 2.1.4. Cho M là một R −môđun hữu hạn sinh với số chiều hữu hạn. Nếu dim /R M JM d= thì ( ) ( )1 1, ,/ 0d dI J I JH M JH M+ + = Chứng minh. Nếu JM M= thì theo bổ đề Nakayama thì tồn tại a J∈ sao cho ( )1 0a M+ = . Do đó Jx Rx= với mọi x M∈ ; suy ra M là ( ),I J −xoắn. Khi đó ( ) ( ), ,/ 0I J I JM J MΓ Γ = . Nên ta giả sử rằng 19 0d ≥ . Ta chứng minh quy nạp theo : dimn M= . Với dim 0M = theo định lý 1.6.13 (i) ( ) ( )1 1, ,/ 0I J I JH M JH M = . Với dim 0M n= > thì ( ) ( )1 1, ,/ 0d dI J I JH M JH M+ + = . Từ dãy khớp ngắn các R −môđun ( ) ( )0 / 0J JM M M M→Γ → → Γ → , ta có dãy khớp dài sau           1, , , ,/i i i iI J J I J I J J I J JH M H M H M M H M         Áp dụng định lý 1.6.13 (ii), do ( )dim dim /J M M JM dΓ ≤ = nên ( )( ) ( )( )1 2, , 0d dI J J I J JH M H M+ +Γ = Γ = . Do đó từ dãy khớp dài trên ta có ( ) ( )( )1 1, , /d dI J I J JH M H M M+ +≅ Γ . Ta có thể giả sử ( ) 0J MΓ = , khi đó tồn tại a J∈ không là ước của không trong M và dim / 1M aM n= − . Dãy khớp ngắn 0 / 0aM M M aM→ → → → cảm sinh dãy khớp dài      1 1 1, , , / 0ad d dI J I J I JH M H M H M aM      . Tác động hàm tử ( )/R J ⊗− ta có dãy khớp phải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1, , , , , ,/ / / / / 0ad d d d d dI J I J I J I J I J I JH M JH M H M JH M H M aM JH M aM+ + + + + +→ → → Do a J∈ nên Im 0a = , khi đó ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, , , ,/ / / /d d d dI J I J I J I JH M JH M H M aM JH M aM+ + + +≅ . Mặt khác theo giả thiết quy nạp do dim / 1M aM n= − nên ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, , , ,/ / / /d d d dI J I J I J I JH M JH M H M aM JH M aM+ + + +≅ .  Định lý 2.1.5. Giả sử ( ),R m là vành địa phương. Khi đó với bất kỳ một R −môđun M hữu hạn sinh nào thì ta có đẳng thức: ( ){ } ( ) { }{ },inf | không inf | W , \ .iI Ji H M Artin depthM I J= ∈p p m Chứng minh. Đặt ( ) { }{ }inf | W , \r depthM I J= ∈p p m và ( )E M• là phép giải nôi xạ tối tiểu của M . Với ( ) { }W , \I J∈p m , khi đó ( ){ } ( ){ }inf | / , 0 inf | , 0iR ir depthM i Ext R R M i Mµ≤ = ≠ = ≠p p p pp p với ( ) ( ), dim / ,ii RM Ext R R Mµ = p p pp p là số Bass thứ i của M ứng với p . 20 Chú ý rằng ( )( ), / 0I J E RΓ =p nếu ( )W ,I J∉p và ( )( ) ( ), / /I J E R E RΓ =p p nếu ( )W ,I J∈p , do đó với i r< ta có: { } { } ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,W( , ) W( , )\ ( ) ( ) W( , )\ ( ) ( ( )) ( ( / ) ( ( / ) ( ( / ) ( ( / ) ( / ( / ( / i i i i i i i Mi I J I J Spec R M M M I J I J I JI J I J M M I J M E M E R E R E R E R E R E R E R µ µ µ µ µ µ µ ∈ ∉ ∈ ∈ Γ = Γ ⊕ = Γ ⊕ ⊕Γ ⊕ ⊕Γ = ⊕ ⊕ = p, p p, p, m, p p m p, m, p m m, p) p) p) m) p) m) m) Do ( )/E R m là Artin và ( ),i Mµ m là hữu hạn nên ( )( ), iI J E MΓ là Artin với i r< . Do đó ( ),iI JH M cũng là Artin vì môđun con thương của ( )( ), iI J E MΓ với mọi i r< . Mặt khác, tồn tại ( ) { }W , \I J∈q m sao cho ( )( )( ), rR I JAss E M∈ Γ ≠ ∅q , điều này chứng tỏ ( )( ), rI J E MΓ không là Artin vì q không là iđêan tối đại. Ta có sơ đồ giao hoán sau                 1 1 , , , 1 1 1 , , 1 r r r I J I J I J r r r d d dr r I J I J r rd d d E M E M E M E M                     Do ( )Ker r rd E M⊆ là một mở rộng cốt yếu, khi đó ( ) ( )( ) ( )( ), , ,Ker Kerr r r rI J I J I Jd d E M E MΓ = ∩Γ ⊆ Γ là một mở rộng cốt yếu. Chú ý rằng nếu K L⊆ là mở rộng cốt yếu thì K là Artin khi và chỉ khi L là Artin. Do đó ( ),Ker rI J dΓ là không Artin. Mặt khác, do ( )( )1, rI J E M−Γ là Artin nên ( )1,Im rI J d −Γ là Artin. Do đó từ dãy khớp ( ) ( ) ( )1, , ,0 Im Ker 0r r rI J I J I Jd d H M−→ Γ → Γ → → suy ra ( ),rI JH M là không Artin.  Định lý 2.1.6. Giả sử ( ),R m là vành địa phương. Khi đó với bất kỳ R −môđun M hữu hạn sinh nào thì ta đều có đẳng thức: ( ){ } ( ), ,inf | không inf |i iI J I Ji H M Artin i H M= ≅ ( ){ }iH Mm . Chứng minh. 21 Đặt ( ){ },inf | khôngiI Ji H M Artin . Từ chứng minh của định lý 2.1.4 ta có ( )( ), iI J E MΓ là Artin với i r< . Khi đó Do đó ( ) ( ),i iI JH M H M≅ m với i r< . Mặt khác do ( ),rI JH M không Artin và ( )rH Mm Artin nên ( ),rI JH M ≅ ( )rH Mm .  2.2. Tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định lý 2.2.1. Cho 0r ≥ là số nguyên sao cho ( ), / 0rI JH R =p với mọi RSupp M∈p . Khi đó ( ), 0rI JH N = với bất kỳ R −môđun N thỏa mãn SuppN SuppM⊆ . Đặc biệt ( ), 0rI JH M = . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ( ), 0rI JH M = . Do M là R −môđun hữu hạn sinh nên có một lọc các môđun con của M 0 10 sM M M M     sao cho 1/ /j j jM M R− ≅ p với , 1,2, ,j SuppM j s  p . Do đó ta có dãy khớp sau với mỗi 1,2, ,j s  10 / 0j j jM M R−→ → → →p Từ đó ta thu được dãy khớp dài      , 1 , , /r r rI J j I J j I J jH M H M H R    p Cụ thể như sau: Với 1j = ta có ( ) ( ), 1 , 10 / 0d dI J I JH M H R→ → →p , do đó ( ) ( ), 1 , 1/d dI J I JH M H R≅ p . Với 2j = ta có    , 1 , 2 , 2( / )d d dI J I J I JH M H M H R    p Với j s= ta có      , 1 , , /d d dI J s I J I J sH M H M H R p     ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( / ) ( ( / ) ( ( / ) ( / i i i i Mi Spec R M M V M E M E R E R E R E R µ µ µ µ ∈ ∉ = Γ = Γ ⊕ = Γ ⊕ ⊕Γ = p, m m p p, m, m m p m m m, p) p) m) m) 22 Do ( ), / 0rI JH R =p với mọi RSupp M∈p nên ( ), 1 0dI JH M = , tương tự theo các dãy khớp trên thì ( ), 0dI JH M = .  Định lý 2.2.2. Cho 0r ≥ là số nguyên sao cho ( ), / 0rI JH R =p với mọi RSupp M∈p . Đặt   ,( , , ) sup | 0iI Jcd I J M i H M  gọi là chiều đối đồng điều địa phương của R −môđun M theo một cặp iđêan (I,J). Khi đó ( ), , /cd I J R r<p với mọi SuppM∈p . Đặc biệt ( ), ,cd I J M r< . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh ( )1, / 0rI JH R+ =p với bất kì SuppM∈p bằng phản chứng. Giả sử ngược lại ( )1, 0/ 0rI JH R+ ≠p với 0 SuppM∈p . Khi đó ( )( )1, 0As /rI Js H R+ ≠ ∅p và 0I ⊄ p . Thật vậy, giả sử 0I ⊆ p . Ta có:    0 0 0 0 0/ / | 0, 1 /nR a R a n R    p p p p p nên 0/R p là 0 −p xoắn. Do 0I ⊆ p nên 0/R p cũng là I −xoắn. Khi đó    , 0 0 0/ / | , 1 /nI J R a R I a J a n Rp p p     . Hay 0/R p cũng là ( ),I J −xoắn. Suy ra ( )1, 0/ 0rI JH R+ =p , mâu thuẫn. Lấy ( )( )1, 0As /rI Js H R+∈q p . Ta chứng minh 0=q p . Do ( )( ) ( ) ( )1, 0 0 0/ /rI JSupp H R Supp R V+∈ ⊆ =q p p p nên 0 ⊆p q . Bao hàm thức ngược lại ta chứng minh phản chứng. Giả sử tồn tại 0\x I∈ ∩q p , từ dãy khớp ngắn ( )0 0 00 / / / 0R R R xR→ → → + →p p p ta thu được dãy khớp khớp dài       1 1, 0 , 0 , 0/ / /xr r rI J I J I JH R xR H R H Rp p p      . Do (i) nên ( )( ), 0/ 0rI JH R xR+ =p , suy ra x là ( )( ), 0/rI JH R xR+ −p chính quy. Tuy nhiên ( )( )1, 0As /rI Jx s H R+∈ ∈q p nên x là ước của không trong ( )1, 0/rI JH R+ p , mâu thuẫn. Vậy nên 0 ⊇p q . 23 Do ( )1, 0/rI JH R+ p là ( ),I J − xoắn nên ( )( ) ( )10 , 0As / W ,rI Js H R I J+= ∈ ⊆p q p . Suy ra ( )0/E R p cũng là ( ),I J − xoắn. Do đó ( )1, 0/ 0rI JH R+ =p , mâu thuẫn.Vậy ta đã chứng minh được ( )1, / 0rI JH R+ =p bất kì SuppM∈p . Theo (i) thì ( )1, 0rI JH N+ = . Một cách hoàn toàn tương tự, ta chứng minh quy nạp được với N là R −mô đun hữu hạn sinh thỏa SuppN SuppM⊆ thì ( ), 0nI JH N = với mọi 1n r≥ + .  Mệnh đề 2.2.3. Cho ,I J là hai iđêan thật sự của vành Noether R . ,M N là các R −môđun hữu hạn sinh thỏa mãn SuppN SuppM⊆ . Khi đó ( ) ( ), , , ,cd I J N cd I J M≤ Chứng minh. Do ( ), 0iI JH M = với mọi dim / 1i M JM> + nên ta chỉ cần chứng minh ( ), 0iI JH N = với bất kì i thỏa ( ), , dim / 2cd I J M i M JM< ≤ + và bất kì R −môđun N hữu hạn sinh thỏa SuppN SuppM⊆ . Với dim / 2i M JM= + , do dim / dim /M JM N JN≥ kết hợp với ( ), 0iI JH N = với mọi dim / 1i N JN> + nên ( )dim / 2, 0M JMI JH N+ = . Với ( ), , dim / 1cd I J M i M JM< ≤ + . Khi đó với SuppN SuppM⊆ , theo định lý Gruson ta có lọc các môđun con của N như sau: 0 10 tN N N N     thỏa môđun thương 1/j jN N − là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn các bản sao của M , với 1,2, ,j t  . Sử dụng dãy khớp ngắn 1 10 / 0j j j jN N N N− −→ → → → , thì chỉ cần chứng minh cho trường hợp 1t  . Do đó với R môđun hữu hạn sinh L và số nguyên m , ta có dãy khớp ngắn 0 0mL M N    ; kéo theo dãy khớp dài tương ứng sau:        1, , , ,i i m i iI J I J I J I JH L H M H N H L      Do đó theo giả thiết quy nạp thì  1, 0iI JH L  và  , 0i mI JH M  thì  , 0iI JH N  .  Từ các định lý trên ta rút ra được hệ quả sau về tính chất của ( ), ,cd I J M . Hệ quả 2.2.4. Cho M là R −môđun hữu hạn sinh, khi đó ta có đẳng thức ( ) ( ){ },, , inf | / 0; 1iI Jcd I J M i H R SuppM= = ∀ ∈ −p p . 24 2.3. Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định nghĩa 2.3.1. Một R − môđun M được gọi là ( ),I J − cofinite nếu ( )W ,SuppM I J⊆ và ( )/ ,iRExt R I M là R −môđun hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ . Bổ đề 2.3.2. Cho M là R −môđun và E là bao nội xạ của R − môđun ( ),/ I JM MΓ . Đặt ( )( ),/ / I JL E M M= Γ . Khi đó ta có các đẳng cấu sau: ( ) ( )( )1 ,/ , / , /i iR R I JExt R I L Ext R I M M+≅ Γ , ( ) ( )1, ,i iI J I JH L H M+≅ với mọi 0i ≥ . Chứng minh. Do ( ),/ I JM MΓ là ( ),I J − xoắn tự do nên ( )( ) ( ),As / W ,I Js M M I JΓ ∩ =∅ . Khi đó ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ),As / , As W , As /R I Js Hom R I E V I s E I J s M M= ∩ ⊆ ∩ Γ =∅ . Suy ra ( )/ , 0RHom R I E = và ( ), 0I J EΓ = . Từ dãy khớp ngắn ( ),0 / 0I JM M E L→ Γ → → → , tác động hàm tử ( )/ ,RHom R I − ta có ( ) ( )( )1 ,/ , / , /i iR R I JExt R I L Ext R I M M+≅ Γ , đồng thời tác động hàm tử ( ),I JΓ − ta có ( ) ( )1, ,i iI J I JH L H M+≅ với mọi 0i ≥ .  Định lý 2.3.3. Cho t là số không âm, M là R −môđun sao cho ( )/ ,tRExt R I M là R − môđun hữu hạn sinh và ( ),iI JH M là ( ),I J − cofinite với mọi i t< . Nếu ( ),tI JN H M⊆ sao cho ( )1 / ,RExt R I N là hữu hạn sinh, thì khi đó ( )( ),/ , /tR I JHom R I H M N là R −môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. Trường hợp 1: giả sử 0N = . Ta chứng minh định lý bằng phép quy nạp theo t . Với 0t = , khi đó ta sẽ chứng minh ( )( ),/ ,R I JHom R I MΓ là R −môđun hữu hạn sinh. Từ dãy khớp ( ) ( ), ,0 / 0I J I JM M M M→Γ → → Γ → ta có dãy khớp trái sau ( )( ) ( ) ( )( ), ,0 / , / , / , /I J I JHom R I M Hom R I M Hom R I M M→ Γ → → Γ . Vì ( ),/ I JM MΓ là 25 ( ),I J − xoắn tự do nên cũng là I −xoắn tự do. Khi đó từ dãy khớp trái ta có ( )( ) ( ),/ , / ,I JHom R I M Hom R I MΓ ≅ vì ( )( ),/ , / 0I JHom R I M MΓ = . Suy ra điều phải chứng minh vì ( )/ ,Hom R I M là R −môđun hữu hạn sinh. Với 0t > và trường hợp 1t − định lý đã đúng. Từ giả thiết ta có ( ),I J MΓ là ( ),I J − cofinite nên ( )( ),/ ,iR I JExt R I MΓ là hữu hạn sinh với mọi i . Sử dụng dãy khớp ngắn ( ) ( ), ,0 / 0I J I JM M M M→Γ → → Γ → , vì ( )/ ,tRExt R I M và ( )( ),/ ,tR I JExt R I MΓ là hữu hạn sinh nên ( )( ),/ , /tR I JExt R I M MΓ cũng hữu hạn sinh. Từ bổ đề 2.3.2 ta có R − môđun ( )/ ,tRExt R I L là hữu hạn sinh và ( ),iI JH L là ( ),I J − cofinite với mọi 1i t< − . Do đó, theo giả thiết quy nạp thì ( )( )1,/ , tR I JHom R I H L− là hữu hạn sinh. Cũng theo bổ đề 2.3.2 thì ( )( ),/ , tR I JHom R I H M là R −môđun hữu hạn sinh. Trường hợp 2: giả sử 0N ≠ . Từ dãy khớp ngắn ( ) ( ), ,0 / 0t tI J I JN H M H M N→ → → → tác động hàm tử ( )/ ,RHom R I − ta thu được dãy khớp dài ( )( ) ( )( ) ( )1, ,/ , / , / / ,t tR I J R I J RHom R I H M Hom R I H M N Ext R I N → → → → Từ giả thiết ( )1 / ,RExt R I N là hữu hạn sinh và ( )( ),/ , tR I JHom R I H M là hữu hạn sinh, nên ( )( ),/ , /tR I JHom R I H M N cũng là hữu hạn sinh.  Định lý 2.3.4. Cho t là số không âm. M là R −môđun sao cho ( ),iI JH M là ( ),I J − cofinite với mọi i t< . Khi đó, nếu ( )1 / ,tRExt R I M+ là R −môđun hữu hạn sinh, thì ( )( )1 ,/ , tR I JExt R I H M là hữu hạn sinh. Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo t . Với 0t  , từ dãy khớp các R môđun ( ) ( ) ( ), ,0 / 0 *I J I JM M M M→Γ → → Γ → ta có dãy khớp dài sau 26 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) , , 1 1 1 , , 0 / , / , / , / / , / , / , / I J I J R I J R R I J Hom R I M Hom R I M Hom R I M M Ext R I M Ext R I M Ext R I M M  → Γ → → Γ → Γ → → Γ → Theo chứng minh của định lý 2.3.3 thì ( )( ),/ , / 0R I JHom R I M MΓ = , kết hợp với giả thiết ( )1 / ,RExt R I M là R −môđun hữu hạn sinh, thì ( )( )1 ,/ ,R I JExt R I MΓ là R −môđun hữu hạn sinh. Với 0t > và trường hợp 1t − định lý đã đúng. Từ dãy khớp ngắn ( )* ta có dãy khớp dài ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 , , 2 , / , / , / , / / , t t t R I J R R I J t R I J Ext R I M Ext R I M Ext R I M M Ext R I M   + + + + → Γ → → Γ → Γ → Do ( )1 / ,tRExt R I M+ là R −môđun hữu hạn sinh kết hợp từ giả thiết ta có ( ),I J MΓ là ( ),I J − cofinite nên ( )( ),/ ,iR I JExt R I MΓ là R −môđun hữu hạn sinh với mọi i , nên ( )( )1 ,/ , /tR I JExt R I M M+ Γ cũng hữu hạn sinh. Tiếp tục dùng bổ đề 2.3.2, ta có ( )/ ,tRExt R I L là R −môđun hữu hạn sinh và ( ),iI JH L là ( ),I J − cofinite với mọi 1i t< − . Như vậy theo giả thiết quy nạp thì ( )( )1 1,/ , tR I JExt R I H L− là hữu hạn sinh, do đó ( )( )1 ,/ , tR I JExt R I H M cũng hữu hạn sinh.  Định lý 2.3.5. Cho t là số không âm. M là R −môđun sao cho ( ),iI JH M là ( ),I J − cofinite với mọi i t< . Khi đó, nếu ( )/ ,iRExt R I M là hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ , thì ( )( )1,/ , tR I JHom R I H M+ là hữu hạn sinh khi và chỉ khi ( )( )2 ,/ , tR I JExt R I H M là hữu hạn sinh. Chứng minh. ( )⇒ Ta sẽ chứng minh quy nạp theo t . Với 0t = , từ dãy khớp ngắn ( ) ( ) ( ), ,0 / 0 *I J I JM M M M→Γ → → Γ → ta thu được dãy khớp dài sau ( )( ) ( )( ) ( )1 2 2, ,/ , / / , / ,R I J R I J RExt R I M M Ext R I M Ext R I M → Γ → Γ → → Để chứng minh ( )( )2 ,/ ,R I JExt R I MΓ là hữu hạn sinh, chỉ cần chứng minh thêm ( )( )1 ,/ , /R I JExt R I M MΓ là hữu hạn sinh. Tác động hàm tử ( )/ ,RHom R I − vào dãy khớp 27 ( ) ( ), ,0 / 0I J I JL L L L→Γ → → Γ → ta có dãy khớp trái ( )( ) ( ) ( )( ), ,0 / , / , / , /I J I JHom R I L Hom R I L Hom R I L L→ Γ → → Γ Do ( ),/ I JL LΓ là ( ),I J −xoắn tự do nên cũng là I −xoắn tự do, suy ra ( )( ),/ , / 0R I JHom R I L LΓ = . Khi đó ( )( ) ( ),/ , / ,I JHom R I L Hom R I LΓ ≅ . Theo bổ đề 2.3.2 thì: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 , , 1 , / , / / , / , / , R I J R R I J R I J Ext R I M M Hom R I L Hom R I L Hom R I H M Γ ≅ ≅ Γ ≅ Vậy với 0t = thì định lý đúng. Giả sử 0t > và trường hợp 1t − định lý vẫn còn đúng. Ta chứng minh ( )( )2 ,/ , tR I JExt R I H M là R −môđun hữu hạn sinh. Do ( ),I J MΓ là ( ),I J − cofinite nên ( )( ),/ ,iR I JExt R I MΓ là R − môđun hữu hạn sinh với mọi i . Sử dụng dãy khớp ngắn ( )* , vì ( )/ ,iRExt R I M là hữu hạn sinh nên ( )( ),/ , /iR I JExt R I M MΓ cũng hữu hạn sinh với mọi i . Theo bổ đề 2.3.2, ( )/ ,iRExt R I L là R −môđun hữu hạn sinh với mọi i và ( )( ) ( )( )1, ,/ , / ,t tR I J R I JHom R I H L Hom R I H M+≅ cũng hữu hạn sinh. Do đó từ giả thiết quy nạp thì R −môđun ( )( ) ( )( )2 1 2, ,/ , / ,t tR I J R I JExt R I H L Ext R I H M− ≅ là hữu hạn sinh. ( )⇐ Ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo t . Với 0t = , từ dãy khớp ngắn ( )* ta được dãy khớp dài sau ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2, ,/ , / , / / ,R R I J R I JExt R I M Ext R I