Luận văn Một số tính chất của độ đo điều hòa trên tập Julia đối với ánh xạ tựa đa thức

i báo “ Julia sets are uniformly perfect” của R.Mané và L.F. Da Rocha. Trong chương này trước hết ta chứng minh rằng các tập Julia của một ánh xạ hữu tỷ là tập hoàn chỉnh đều theo nghĩa Pommerenke và do đó là tập chính quy theo nghĩa Dirichlet (định lý 1). Sử dụng kết quả này ta nhận được công thức tính entropy một độ đo điều hòa bất biến trên các tập Julia. Từ đây ta đưa ra một chứng minh của Lopes đối với chiều đảo của định lý Brolin. Cho  là một mặt cầu Riemann. Ta có một số khái niệm sau : i) Ta nói rằng tập A⊂  là một hình vành khăn nếu tồn tại một biểu diễn bảo giác của { }: 1z r z∈ < < lên A với số (0,1)r∈ nào đó. Số 1log r được gọi là modun của A. Ký hiệu là modA. ii) Cho K ⊂  , ta nói rằng A tách K nếu K A∩ =∅ và K giao với cả hai thành phần liên thông của phần bù cA của A . iii) Một tập K ⊂  được gọi là tập hoàn chỉnh đều nếu nó chứa nhiều hơn một phần tử và tồn tại 0m > sao cho mọi hình vành khăn A tách K có mod A m≤ . Đặc biệt các tập liên thông là tập hoàn chỉnh đều vì không hình vành khăn nào có thể tách chúng. Một tập hoàn chỉnh đều luôn là tập chính quy (theo nghĩa Dirichlet). Trong [4] Pommerenke đã chứng minh một tính chất mạnh hơn, đó là: Cho (.,.)d là mêtric cầu trên  , ( )Sγ là dung lượng loga của một tập compact S. Khi đó một tập compact 15 K ⊂  là tập hoàn chỉnh đều nếu và chỉ nếu tồn tại 0δ > sao cho với mọi a K∈ và 0r > ta có { }( : ( , )z K d z a r rγ δ∈ ≤ ≥ . Tính chất này dẫn đến tính chính quy của K ( xem [9]). Ta có kết quả sau: 2.1. Định lý Tập Julia ( )K J f= của một ánh xạ hữu tỷ :f →  là tập hoàn chỉnh đều. Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng có một dãy các hình vành khăn ( 1,2..)nA n = tách K sao cho lim mod nn A→+∞ = +∞ . Tính chất này dẫn đến rằng với mỗi n , một thành phần liên thông nK của \ c n nA A=  có thể được chọn sao cho lim 0nn diamK→∞ = . Kí hiệu nK ′ là thành phần liên thông khác của c nA . Khi đó 0inf 0nn diamK> ′ > vì nếu không ta có thể lấy một dãy con { }' jnK với lim 0jnj diamK→∞ ′ = và các điểm ( ) jj n p K J f′ ′∈ ∩ , ( ) jj n p K J f∈ ∩ lần lượt hội tụ về p′ và p trong ( )J f . Khi đó từ lim lim 0 j jn nj n diamK diamK →∞ →∞ ′ = = và ( ) , j jn n J f K K j′⊂ ∪ ∀ dẫn đến {( }) { }J f p p′= ∪ , mà điều này không thể được. Kí hiệu { }:| | 1D z z= ∈ < và :n n nD A Kϕ → ∪ là một biểu diễn bảo giác với (0)n nKϕ ∈ . Khi đó 1mod( ( )) mod( )n n nD K Aϕ −− = . Do đó 1lim ( )) 0n nn diam Kϕ − →+∞ = vì lim mod( )nn A→+∞ = ∞ . Lấy 2 2 ( )n n nr diam Kρ> > > thỏa lim 0nn r→+∞ = , lim 0 n n nr ρ →+∞ = . Đặt { }' :| |n nD z z ρ= ∈ < . Họ các hàm :n Dϕ → là chuẩn tắc vì ( )n 0i f infcnn nndiam diam KDϕ = >′ . Do đó lim ( )) 0n nn diam Dϕ→+∞ ′ = . Nhưng ( ))n nDϕ ′ là 16 một tập mở chứa các điểm của ( )J f . Do đó theo lý thuyết cổ điển về các tập Julia tồn tại các số nguyên 0nt > sao cho ( ) ( ( ))n t n nJ f f Dϕ ′⊂ . Lấy 0 ( )c diam J f< < và lấy nm là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ( ( ))nm n nf D cϕ ′ ≥ . Vì lim( ( )) 0n nn Dϕ→∞ ′ = dẫn đến lim nn m→+∞ = +∞ . Hơn nữa vì 1( ( ))nm n ndiam f D cϕ − ′ < dẫn đến ( ( ))nm n nf D Lcϕ ′ < ở đây L là hằng số Lipschitz của f . Cho S là một tập gồm bốn điểm trong ( )J f . Lấy c đủ nhỏ để mọi tập có bán kính nhỏ hơn Lc không chứa hai điểm của chúng. Khi đó ( ( ))nm n nf Dϕ ′ không thể chứa ba điểm của S . Định nghĩa :n Dψ → bởi ( ) ( )n m n n nz f r zψ ϕ= . Ta chứng minh rằng họ { }nψ chuẩn tắc. Chỉ cần chứng minh rằng với mọi , ( )nn Dψ không thể chứa ba điểm (có thể phụ thuộc vào n ) của S . Nếu | | 1 2 n n z r ρ < < thì | | 2 n n nr z r ρ < < và vì 1( ) 2 n n ndiam K ρϕ− < dẫn đến 1( )n n nr z Kϕ −∉ và ( ))n n nr z Kϕ ∉ . Khi đó ( )) ( )n nr z J fϕ ∉ vì ( ) ( )n nK J f Dϕ= ∩ . Do đó ( ) ( ) ( ( )) ( )n n m m n n nz f r z f J f J fψ ϕ= ∉ = . Do đó ( )n z Sψ ∉ khi | | 1 2 n n z r ρ < < . Mặt khác nếu | | 2 n n z r ρ ≤ dẫn đến | | 2 n n nr z ρ ρ≤ < và khi đó ( ) ( ) ( )n nm mn n n n nz f r z f Dψ ϕ ϕ ′= ∈ không thể chứa ba điểm của S . Điều này chứng minh tính chuẩn tắc của họ { }nψ . Do đó với 0ε > cho trước, tồn tại một lân cận V của 0 sao cho ( )ndiam zψ ε≤ , n∀ . Nhưng với n đủ lớn, ta có :| | n n V z z r ρ  ⊃ <    và ( ) :| | ( )nmnn n n n diam V diam z z diam f D c r ρε ψ ψ ϕ       ′≥ ≥ < = ≥ Vì 0ε > tùy ý nên ta có điều mâu thuẫn. 17 Chúng ta sẽ chỉ ra đây một vài ứng dụng về tính chính quy của tập Julia. Nhắc lại rằng, với tập compact chính quy K ⊂  và 1 điểm p∈ , độ đo điều hòa pµ được định nghĩa là độ đo xác suất trên σ - đại số Borel của K sao cho tích phân ứng với pµ của một hàm liên tục : Kϕ →  được xác định bởi *( )pd pϕ µ ϕ=∫ trong đó * :ϕ →  là một mở rộng điều hòa của ϕ . Nếu p K∉ thì giá của pµ là biên của thành phần liên thông của CK chứa p và ta biết rằng nếu p và q thuộc cùng một thành phần liên thông của CK thì pµ và qµ là tương đương, đồng thời đạo hàm Radon-Nykodim p q d d µ µ bị chặn và có infimum thực sự dương. Nhận xét rằng nếu :f →  là ánh xạ hữu tỷ và : ( )J fϕ →  liên tục thì * *( )f fϕ ϕ=  vì * fϕ  là hàm điều hòa trên phần bù của ( )J f và * ( )( ) ( ) ( ) J fJ f f fϕ ϕ=  . Khi đó ( )( ) p f pf d dϕ µ ϕ µ=∫ ∫ (vì ( )* * * ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )p f pf d f p f p f p dϕ µ ϕ ϕ ϕ ϕ µ= = = =∫ ∫   ) Do đó pµ là f − bất biến nếu và chỉ nếu ( )f p p= . Cho p là một điểm bất động hút của f , ta định nghĩa đáy ( ) sW p của p là tập hợp các điểm z sao cho lim ( )n n f z p →∞ = và đáy tức thời ( )sB p là thành phần liên thông của ( )sW p chứa p . Khi đó pµ là độ đo xác suất f - bất biến có giá là biên ( ) sB p∂ của ( )sB p . 2.1.1. Hệ quả 1 Nếu :f →  là ánh xạ hữu tỷ và p là điểm bất động hút của f thì entropy ( ) p h fµ của f ứng với pµ được cho bởi : 18 1 ( ) ( ) ( ) log p s x p x f p B p p dh f d dµ µ µ µ−∈ ∩   =      ∑∫ ở đây 1( )x f p−∈ được lặp lại tương ứng với bội của nó. Chứng minh: Định nghĩa : ( )sJ B p∂ →  bởi 1 ( ) ( )s x x f p B p p dJ d µ µ−∈ ∩ = ∑ Chúng ta chứng minh rằng J là Ja-cô-bi của pµ , nghĩa là ( )( ) ( )2.1p p A f A Jdµ µ= ∫ với mọi tập Borel ( )sA B p⊂ ∂ sao cho |Af là đơn ánh. Khi điều này được chứng minh thì hệ quả được suy ra từ công thức ( ) log p p h f Jdµ µ= ∫ được chứng minh trong [10]. Để chứng minh (2.1) ta ký hiệu ( )( )0 sC B p∂ và ( )( )0 sC B p lần lượt là không gian các hàm liên tục trên ( )sB p∂ và ( )sB p lấy giá trị trong  được trang bị chuẩn sup. Cho hàm ( ): sB pϕ ∂ →  (tương ứng ( ): sB pϕ →  ), định nghĩa ( ) ( ): sB pϕ ∂ → L (tương ứng ( ) ( ): sB pϕ → L ) bởi ( )( ) ( )x yϕ ϕ=∑L với tổng được lấy trong các ( ) ( )1 sy f x B p−∈ ∩∂ (tương ứng ( ) ( )1 sy f x B p−∈ ∩ ) lặp lại tùy theo bội của nó. Nhận xét rằng L biến các hàm liên tục thành các hàm liên tục. Khi đó nếu ( )( )0 sC B pϕ ∈ ∂ thì mở rộng điều hòa ( )( ) ( )( )* 0 sC B pϕ ∈L của ( )ϕL thỏa ( )( ) ( )* *ϕ ϕ=L L . Để thấy được điều này, ta nhận xét rằng ( )*ϕL là hàm điều hòa trong phần bù của các giá trị tới hạn của f vì nó là tổng (địa phương) của các hàm *ϕ hợp với các nhánh chỉnh hình của ( )( ) 1 | sB p f − . Hơn nữa ( )*ϕL liên tục do đó ( )*ϕL 19 điều hòa. Ta có ( ) ( ) ( ) * | sB p ϕ ϕ ∂ =L L . Do đó ( ) ( )( )**ϕ ϕ=L L . Khi đó, nếu ( )( )0 sC B pϕ ∈ ∂ thì ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 * * * s s s p x f p B p x x p p x f p B p x f p B p p d p p x dd d Jd d ϕ µ ϕ ϕ ϕ µϕ µ ϕ µ ϕ µ µ − − − ∈ ∩ ∈ ∩ ∈ ∩ = = =   = = =     ∑∫ ∑ ∑∫ ∫ ∫ L L L Từ đẳng thức này suy ra : ( ) p pd Jdϕ µ ϕ µ=∫ ∫L với mọi hàm đo được bị chặn ( ): sB pϕ ∂ →  . Áp dụng điều này cho trường hợp khi ϕ là hàm đặc trưng của một tập Borel ( )sA B p⊂ ∂ sao cho |Af là đơn ánh. Khi đó ( )ϕL là hàm đặc trưng của ( )f A . Suy ra ( )( ) ( )p p p A f A d Jd Jd ϕµ ϕ µ ϕ µ µ= = =∫ ∫ ∫L Vậy hệ quả 1 đã được chứng minh.  Với hệ quả tiếp theo ta nhắc lại rằng nếu ( )| ( )deg sB pf là bậc của | ( )sB pf (nghĩa là số nghịch ảnh trong ( )sB p của ( )sx B p∈ tùy ý đếm cả bội) thì entropy của | ( )sB pf là ( )| ( )logdeg sB pf và tồn tại duy nhất một độ đo xác suất µ trên ( )sB p∂ , bất biến qua | ( )sB p f ∂ sao cho ( ) ( )| ( )logdeg sB ph f fµ = . 2.1.2. Hệ quả 2 ( ) ( )( )|logdeg sp B ph f fµ = nếu và chỉ nếu ( ) ( )1 sf p B p p− ∩ = 20 Chứng minh: Nếu ( ) ( )1 sf p B p p− ∩ = thì từ công thức của hệ quả 1 dẫn đến ( ) ( )( )|logdeg sp B ph f fµ = vì ( ) ( )11, sx p d x f p B p d µ µ −≡ ∀ ∈ ∩ . Để chứng minh điều ngược lại, ta sử dụng bất đẳng thức Jensen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 | ( ) log log log logdeg p s s s s x x p p x f p B p x f p B pp p x B p x f p B p d dh f d d d d fd f µ µ µµ µ µ µ µ − − − ∈ ∩ ∈ ∩ ∈ ∩     = ≤           = = ∑ ∑∫ ∫ ∑ ∫ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 1 | ( ) deg s s x B p x f p B p p d f d µ µ−∈ ∩ =∑ , pµ - hầu khắp nơi. Ký hiệu ( )| ( )deg sB pm f= và S là tập các điểm thuộc ( ) ( )1 sf p B p− ∩ đếm lặp lại ứng với số bội. Khi đó: ( ) ( ) ( )( ) ( )* * 0 2.2s x S m p x C B pϕ ϕ ϕ ∈ = ∀ ∈ ∂∑ vì ( ) ( ) ( )* *xp p x x S x S x Sp dm p m p d d d x d µ ϕ ϕ µ ϕ µ ϕ µ ϕ µ∈ ∈ ∈   = = = =     ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ Từ (2.2) chúng ta chỉ ra rằng x S∈ dẫn đến x p= . Không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng ( )J f∞∈ . Trước tiên chúng ta chứng minh từ (2.2) suy ra ( )1 2.3 x S p x m ∈ = ∑ Giả sử điều này sai. Khi đó ta lấy một hàm tuyến tính 2: Cψ = →  sao cho: ( ) ( )1 x S p x m ψ ψ ∈ ≠ ∑ Với các số nguyên 0, 0n k> > , định nghĩa ( )( )0, sn k C B pϕ ∈ ∂ bởi: ( ) ( ),n k z zϕ ψ= khi ( )k z nψ− < < ( ),n k z nϕ = khi ( )z nψ ≥ 21 ( ),n k z kϕ = khi ( )z kψ ≤ − Khi đó với mỗi k , { },n k nϕ là một dãy tăng và với mỗi n , { },n k nϕ là một dãy giảm. Do đó { } { }* *, ,,n k n kn kϕ ϕ có tính chất giống nhau. Ta có : *,lim lim n kk nψ ϕ→∞ →∞= ( do ψ điều hòa) Dẫn đến ( ) ( )* *, , 1 n k n k x S p x m ϕ ϕ ∈ ≠ ∑ với ,n k đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với (2.2). Vậy ta có (2.3). Nhưng (2.3) suy ra 1( ) ( ) x S T p T x m ∈ = ∑ (2.4) với mọi ánh xạ Mobius :T →  sao cho 1( ) ( )T J f− ∞ ∈ vì : 1TfT − có ( )T p là điểm bất động hút; các tạo ảnh của ( )T p qua 1TfT − thuộc đáy tức thời là các điểm { }( ) :T x x S∈ và 1( )J TfT −∞∈ (do tính chất 1( ) ( )T J f− ∞ ∈ ) . Do đó (2.3) suy ra (2.4). Đặc biệt (2.4) dẫn đến 0 0 1 1 1 x Sp z m x z∈ = − −∑ (2.5) với mọi 0 ( )z J f∈ (lấy T là ánh xạ 0 1( )T z z z = − ). Đẳng thức đúng với hữu hạn các giá trị của 0z ∈ hoặc là với mọi 0z ∈ . Trong trường hợp thứ nhất, vì ( )J f vô hạn, ta có thể lấy 0 ( )z J f∈ vi phạm (2.5) và hệ quả 2 được chứng minh do mâu thuẫn. Trong trường hợp hai, có thể đồng nhất vế trái và vế phải (2.5) là các hàm theo 0z ∈ . Nhưng hàm vế trái có một cực điểm duy nhất tại 0z p= và vế phải có các cực điểm tại mọi x trong S . Khi đó ta có ,p x x S= ∀ ∈ , ta có điều phải chứng minh . 22 Ta nhắc lại rằng : một ánh xạ hữu tỷ :f →  bậc 1d > có entropy tôpô log d và có một độ đo xác suất duy nhất maxµ (độ đo cực đại) thỏa ( ) logmaxh f dµ = . Khi f là đa thức, ∞ là điểm bất động hút và 1( ) { }f − ∞ = ∞ (với bội d ). Do đó theo hệ quả 1 ta có ( ) logh f dµ∞ = . Như vậy chúng ta vừa chứng minh kết quả của Brolin được phát biểu rằng : với mọi đa thức độ đo cực đại là độ đo điều hòa đối với ∞ . Sử dụng hệ quả 1 và hệ quả 2, ta có thể chứng minh tính chất ngược lại (xem [1]) : Nếu với một ánh xạ hữu tỷ :f →  độ đo cực đại trùng với độ đo điều hòa đối với ∞ thì f là đa thức. Để chứng minh điều này ta nhận xét rằng maxµ µ∞= dẫn đến µ∞ là f −bất biến. Do đó ( )f ∞ = ∞ . Nếu ( )J f∞∈ thì µ∞ là hàm Dirac δ tại ∞ và ( )h fµ∞ là 0. Do đó ( )J f∞∉ . Do ∞ là điểm bất động mà ( )J f∞∉ nên hoặc ∞ là một điểm bất động hút hoặc ∞ là tâm của đĩa Siegel. Trong trường hợp thứ nhất, từ hệ quả 1 và bất đẳng thức Jensen, dẫn đến ( )| ( )log ( ) logdeg logsBd h f f dµ∞ ∞= ≤ ≤ Do đó số các điểm trong 1( ) ( )sf B− ∞ ∩ ∞ (đếm cả bội) là d (vì ( )| ( )logdeg logsBf d∞ = ) và theo hệ quả 2, 1( ) ( )sf B− ∞ ∩ ∞ = ∞ (vì ( )| ( )logdeg ( )sBf h fµ∞∞ = ). Vì 1( )f − ∞ chứa d điểm (đếm cả bội), dẫn đến 1( ) { }f − ∞ = ∞ , chứng minh rằng f là một đa thức. Khi ∞ là tâm của một đĩa Siegel ta có ( ) 0h fµ∞ = . Điều này có được do công thức trong hệ quả 1 cũng đúng (không thay đổi chứng minh) bằng cách thay ( )sB p bởi đĩa Siegel với điểm bất động p . Nhưng vì trong trường hợp này 1( )f p− giao với đĩa Siegel chỉ chứa duy nhất p dẫn đến ( ) 0 p h fµ = . Do đó ( ) 0h fµ∞ = , mâu thuẫn với giả thiết log ( )d h fµ∞= . 23 Chương 3 - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC Nội dung chính của chương này dựa vào bài báo “Harmonic measure on the Julia set for polynomial-like maps” của Anna Zdunik [3]. Cho ( 1,.., ),iU i n W= là các tập con của  đẳng cấu với các đĩa, trong đó iclU W⊂ ( 1,..,i n= ), i jU U∩ =∅ . Một ánh xạ tựa đa thức mở rộng là ánh xạ xác định trên một hợp U các đĩa iU sao cho | iUf là một ánh xạ riêng, chỉnh hình bậc dRiR lên W và id d=∑ . Xét { }= ∈ : ( )nfK z U f z xaùc ñònh vôùi moïi n Kí hiệu Ω là phần bù của fK trong  . Tập Julia của f được định nghĩa trên J = ∂Ω Chúng ta sẽ kiểm tra Ω là một miền chính quy (mệnh đề 3.1.1). Do đó hàm Green G (với cực ở vô tận có thể được mở rộng (bằng cách đặt 0G = trên fK ) thành một hàm điều hòa dưới và liên tục trên \{ }∞ . Ta kí hiệu G là họ các hàm số xác định trên lân cận của fK sao cho các hàm số đó liên tục, bằng 0 trên fK , điều hòa và dương ngoàiR fK R. Kí hiệu ω là độ đo điều hòa tương ứng trên J và với mọi G∈G thì ∆ G là độ đo có giá chứa trong fK .Trong chương này ta sẽ chứng minh các kết quả sau Định lý A Tồn tại một độ đo µ ergodic, f − bất biến và tương đương với ω. Hơn nữa Gµ = ∆ . 24 Định lý B Với một ánh xạ tựa đa thức thì độ đo entropy cực đại và độ đo điều hòa là tương đương nếu và chỉ nếu f tương đương bảo giác với một đa thức. Ngược lại, chúng là kì dị với nhau. Định lý C Nếu fK không liên thông thì chiều Hausdorff của độ đo điều hòa ω nhỏ hơn 1 3.1. Về toán tử P trên lớp G Chúng ta sẽ kiểm tra Ω là một miền chính quy (theo nghĩa Dirichlet). Mệnh đề 3.1.1 \ fKΩ =  là miền chính quy ( theo nghĩa Dirichlet) Chứng minh: Trường hợp f là đa thức trong chương 1 ta đã chứng minh được ( )J f là tập hoàn chỉnh đều suy ra Ω là miền chính quy( theo nghĩa Dirichlet). Mỗi ánh xạ tựa đa thức suy rộng là liên hợp tựa bảo giác với một đa thức ([7]), do đó điều này cũng đúng với tất cả các hình vành khăn chứa trong iU . Đối với các hình vành khăn không chứa trong iU chỉ cần nhận xét rằng mọi hình vành khăn A với mod A lớn chứa hình vành khăn hình học A′ với mod 'A lớn. Nếu hình vành khăn hình học iA U′ ⊄ và giao với iU khác rỗng thì diam dist( , )f iA K K U′ > = ∂ . Nhưng vì tất cả các thành phần của \ A′ chứa các điểm của fK và fK bị chặn và diam A′ bị chặn. Điều này dẫn đến mod A bị chặn với tất cả các hình vành khăn A′ như trên. Vì nếu ngược lại, ta có thể lấy một dãy các điểm n fx K∈ sao cho nx nằm trong một thành phần bị chặn của \ nC A′ , mod nA′ → ∞ và n fx x K→ ∈ . Do đó x là một điểm cô lập trong fK , đó là điều mâu thuẫn. 25 Do Ω là miền chính quy hàm Green ( ) ( , )G z g zΩ= ∞ có thể được mở rộng (bằng cách đặt 0G = trên fK ) thành một hàm G điều hòa dưới và liên tục trên \{ }∞ . Tất cả các độ đo ∆ G tương đương với độ đo điều hòa ω (xem [6]). Thật ra, với G ∈ G ta có 1C G G CG− ≤ ≤ với một hằng số C và hàm mật độ bị chặn bởi 1C− và C . Giả sử rằng F ∈G xác định trên W và định nghĩa 1 ( ) ( )( ) ( ) x f y F y F x −∈ = ∑P (tạo ảnh được lấy lặp lại ứng với bội của nó). Khi đó ( )FP là một hàm điều hòa dưới xác định trên W , dương và điều hòa ngoài fK và bằng 0 trên fK . Vì ( )FP liên tục trên W và điều hòa trên lân cận của mọi điểm trên \ fW K mà không là điểm tới hạn của f . Nhưng những các điểm tới hạn lại là các điểm cô lập. Do đó ( )F ∈P G Mệnh đề 3.1.2 Nếu F ∈G xác định trên W, khi đó ( )FP là xác định trên W thì *( ( )) ( )F f F∆ = ∆P Chứng minh: Nếu 1 2:g Ω →Ω là phép đồng phôi chỉnh hình (đẳng cấu chỉnh hình) giữa các miền trong  thì với mọi tập Borel 1E ⊂ Ω ta có ( )( ) ( )u g E u gE∆ = ∆ .  Hệ quả : Lặp nGP là đơn ánh trên W và *( ) n nG f ω∆ =P 3.2. Sự tồn tại của độ đo bất biến Với tính chất được mô tả ở mệnh đề 3.1.2, để chỉ ra sự tồn tại của một độ đo liên tục tuyệt đối bất biến ta cần tìm hiểu về phép lặp nGP . Cho : E Wϕ → là một phép biến đổi bảo giác, ở đây E là đĩa mở đơn vị. Nếu ε đủ gần với 0 thì ({ | | 1 6 })zϕ ε< − chứa tất cả các iU và không có giá trị tới hạn của 26 f trên ({ | | 1 6 }zϕ ε≥ − ). Ta định nghĩa đường cong 0γ là ({ | | 1 3 })zϕ ε= − . Ta sẽ kiểm tra kết quả sau : Bổ đề 3.2.1 1. ( ) ( ) . ( )nC G z G z C G z− ≤ ≤P (3.2.1R0R) đúng với z trên miền bị bao quanh bởi γRo Chứng minh. Từ | | 0f f n K KG G= =P , bất đẳng thức (3.2.1R0R) thỏa mãn trên KRf R. Do đó theo nguyên lý cực đại, ta có (3.2.1R0R) khắp mọi nơi trên miền bao quanh 0γ Ta có kết quả quan trọng sau Định lý 3.2.2 Tồn tại một độ đo f − bất biếnµ tương đương với ω. Hơn nữa µ = G∆ với G∈ G . Chứng minh. Xét một dãy hàm điều hòa dưới : 1 0 1 n i n i G G n − = = ∑P Từ tính chất (3.2.1R0R) cho ta : 1 nC G G C G − ≤ ≤ ⋅ Do đó { }nG bị chặn đều và ta có thể chọn một dãy con { }knG hội tụ đều trên tập compact về một hàm G∈ G , thỏa mãn : 1C G G C G− ≤ ≤ ⋅ Do đó G có thể mở rộng tới một hàm điều hòa dưới trên W bằng cách đặt 0G = trên KRf R. Hơn thế nữa : 1 1 1 0 0 1 1( ) lim lim k kn n i i k ki ik k G G G G n n − − + →∞ →∞ = =   = = =    ∑ ∑ P P P P Kí hiệu Gµ = ∆  thì ( )G G= P cho *f µ µ= 27 Mặt khác 1C G G C G− ≤ ≤ ⋅ cho ta 1 dC C d µ ω − ≤ ≤ Vậy tồn tại một độ đo bất biến tương đương với độ đo điều hòa  3.3. Một số tính chất mở rộng của độ đo điều hòa ω Kí hiệu : ( )−= n n iU f U Bổ đề 3.3.1 Tồn tại 0n và 1λΛ > > để 0 ( ) ( ) nG f x G x Λ >  > λ với 0 \n fx U K∈ Chứng minh. Ta chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức trên với x ∈ 0nU∂ Lấy inf { ( ) : }ic G z z U= ∈ ∂ . Cố định 1λ > và xem : ( ) cU z G zλ λ  = ≤    Khi đó iU Uλ ⊂ (theo nguyên lý cực đại). Kí hiệu Γ là biên của Uλ . Hiển nhiên, ( ) cG z λ = trên Γ . Vì fKΓ∩ =∅ nên với mọi z∈Γ thì tồn tại số nhỏ nhất ( )n n z= sao cho 1 1 1( ) cl ( ( ))n if z U U f U −∉ =  Tương tự, điều này cũng đúng với z′ trên lân cận của z. Vì vậy ta có thể lấy 1 sup ( ) z n n z ∈Γ = < ∞ và 0 1 1n n= + . Do đó toàn bộ tập Γ nằm ngoài 0nU , điều đó có nghĩa là với mọi thành phần 0nUγ ∈∂ và Uλγ ⊂ và với x γ∈ ta có ( ) cG x λ ≤ . Suy ra 0 ( ) ( ) nG f x c G x c λ λ⋅> = Bất đẳng thức còn lại suy ra từ nguyên lý cực đại.  28 Sau đây ta trình bày một số ký hiệu và hình vẽ minh họa để chứng minh một số tính chất của độ đo điều hòa Hình 3.3.1.1 Hình vành khăn hình học Ta định nghĩa hình vành khăn QRoR : 0 ({1 5 | | 1 })Q zϕ ε ε= − < < − và các đường cong 0 0 0, ,γ γ γ′ ′′ lần lượt là ({ | | 1 3 })zϕ ε= − , 0 ({ | | 1 2 })zγ ϕ ε′ = = − và 0 ({ | | 1 4 })zγ ϕ ε′′= = − . Hình vành khăn 0Q có thể được biến hình bảo giác thành một hình vành khăn hình học (qua ϕ) . Vì thế với mỗi 0 0z γ∈ , ta có thể xác định một nửa hình vành khăn 0( )S z (là một nghịch ảnh của nửa hình vành khăn hình học tương ứng). Ta định nghĩa 0( )S z là giao của 0( )S z với một hình vành khăn giới hạn bởi 0γ ′ và 0γ ′′ . 29 Hình 3.3.1.2 Các đường cong chứa trong nQ Các nhánh của các phép lặp lùi nfη − được định nghĩa trong 0( )S z . Nếu nz là nghịch ảnh của 0z qua nf , thì ta kí hiệu ( )nS z là tập 0( ( )) nf S zη − , trong đó nfη − là nhánh của nf − biến 0z thành nz . Do đó với mọi n , ta có nd “hộp” ( )nS z . Các “hộp” ( )nS z sẽ được kí hiệu trong một vài chỗ là nS ( không mô tả tạo ảnh nz ). Nghịch ảnh của 0γ qua nf là họ những đường cong rời nhau nγ , mà mỗi đường cong này được ánh xạ lên 0γ bởi nf . Ta kí hiệu nΓ là họ các đường cong nγ . Mỗi đường cong nγ được chứa trong một hình vành khăn nQ mà ảnh của nó qua là 0Q qua nf . Các đường cong nγ ′ và nγ ′′ cũng được xác định bằng cách đó. Những đĩa tô pô bị chặn bởi nγ ′ và nγ ′′ được kí hiệu tương ứng là nDγ ′ và nDγ ′′ hoặc chỉ là nD′ và nD′′ . Với các hình vành khăn nQ , ta ký hiệu nQ +∂ và nQ −∂ là thành phần liên thông ngoài và trong của nQ∂ . 30 Với đường cong đã cho nγ , ta kí hiệu ( )n nX γ là phần của ( )J f được bao quanh bởi nγ . ( Nói cách khác ( ) ( ) ( )n nn nX J f D J f Dγ γγ ′′ ′= ∩ = ∩ ) Bổ đề 3.3.2 Với ny Q −∈∂ , ta có \ ( , ( ) ) ; 0f nnD K y J f Dγ γω β β′′ ′′∩ > > độc lập với , ,nn yγ . Điều này vẫn đúng khi nγ ′′ được thay bởi nγ ′ và ny γ∈ . Hơn nữa có một hằng số C sao cho ( , ( ))n nx X Cω γ > với nx γ∈ . Chứng minh : Ta kiểm tra bất đẳng thức đầu tiên, bất đẳng thức thứ hai chứng minh tương tự. Một đĩa nD′′ bị chặn bởi nγ ′′ được ánh xạ lên đĩa 0D′′ bị chặn bởi 0γ ′′ qua nf . Lấy 0 0 ( , )D fK Dω ′′∩Ω ′′⋅ ∩ là một độ đo điều hòa của 0fK D′′∩ trên 0D′′∩Ω . Tương tự lấy ( , ) nD f n K Dω ′′∩Ω ′′⋅ ∩ là một độ đo điều hòa của f nK D′′∩ . Khi đó ( , ) nD f n K Dω ′′∩Ω ′′⋅ ∩ = 0 0( , ) n D fK D fω ′′∩Ω ′′⋅ ∩  Do đó 0 0 0inf ( , ) inf ( , ) 0n n D f n D fy Q z Q y K D z K Dω ω β − −′′ ′′∩Ω ∩Ω∈∂ ∈∂ ′′ ′′∩ = ∩ > > (Suy ra \ ( , ) 1n fD K nyγω γ β′′ ′′ < − ). Bất đẳng thức thứ ba được suy ra từ nhận xét \( , ( )) ( , ( ))fnn n D K n nx X x Xγω γ ω γ′> với \ n f x D Kγ ′∈  Bổ đề 3.3.3 Với mỗi γRnR ∈ ΓRnR thì ( , ( ))n nXω γ∞  ( ) n n n z G z γ∈ ∑ Chứng minh : Cố định n nγ ∈Γ , ta viết nX thay cho ( )n nX γ . Thay cho toán tử P ta xét toán tử nX P như sau : ( ) ( ( )) n n X vF z F f z −= ∑P trong đó tổng được lấy trên 31 các nghịch ảnh chứa trong một miền bị chặn bởi nγ , lặp lại tùy theo bội của chúng. Điều này một lần nữa cho một hàm số điều hòa dưới không âm xác định trên lân cận của 0X bị chặn bởi 0γ , điều hòa và dương bên ngoài ( )K f . Ta có nX F ∈GP . Sử dụng lý luận tương tự như trong chứng minh mệnh đề 3.1.2 ta kết luận rằng ( ( )) nX G∆ P là một độ đo v xác định như sau : ( ) ( ( ) )n nv E f E Xω −= ∩ Hơn nữa ( ( )) ( )nv J f Xω= . Bây giờ ta có thể thay đổi lập luận đã dùng trong chứng minh mệnh đề 3.1.2 : Nếu ( ) ( ) nX n G z Xεω<P tại một điểm 0z γ∈ nào đó thì bất đẳng thức còn đúng với mọi 0z γ∈ trong đó ε được thay bởi một nhân tử hằng. .Điều này dẫn đến ( ) nX n G X Gεω< ⋅P khắp mọi nơi; bất đẳng thức tương tự đúng với toán tử Laplace. Do đó ( ) ( ( )) ( ( )) ( )n nX v J f J f Xω εω ω= < ⋅ với ε nhỏ. Điều này là mâu thuẫn. 3.4. Các tính chất Ergodic của độ đo µ Nhắc lại rằng với γRnR ta kí hiệu ( )n n nX X γ= là một phần của fK được bao quanh bởi γRnR (khi đó 0 0 0: ( ) n nf X X X γ→ = ). Ta cố định nγ , mγ và ( )n n nX X γ= , ( )m m mX X γ= . Xem tất cả ( )n m n m n mX X γ+ + += với n m n mγ + +∈Γ nào đó sao cho n m nX X+ ⊂ và ( ) n n m mf X X+ = . Kí hiệu n mY + là tổng tất cả các n mX + ở trên (với ,m nX X cố định). Ta sử dụng kí hiệu A  B nếu tỉ số A B bị chặn trên và chặn dưới. Mệnh đề 3.4.1 0 ( ) ( ) mX X ω ω  ( ) ( ) n m n Y X ω ω + 32 Chứng minh. Thay thế cho toán tử P ta xét nXP như sau ( ) ( ( ))n n X vG z G f z −= ∑P (như trong chứng minh ở mệnh đề 3.3.3). Hơn thế nữa, với mỗi 0 0z γ∈ thì 0( ) ( )n n n X n z G z G z γ∈ = ∑P  ( )nXω Từ 0( )G z 1, ta có 0 0 ( ) ( ) nX G z G z P  ( )nXω với 0 0z γ∈ Theo nguyên lý cực đại ta có ( ) ( ) nX G z G z P  ( )nXω với mọi z trong miền bị chặn bởi 0γ . Do đó, với mX ta có ( )mXω  ( ) m m m z G z γ∈ ∑  1 ( )( ) n m m X m zn G z X γω ∈ ∑ P  1 ( )( ) n m n m Xn X X ω ω + +∑ = ( )( ) n m n Y X ω ω + (sử dụng lại mệnh đề 3.3.3). Mệnh đề 3.4.2 Cho ( )nXσ  là σ đại số được tạo bởi các XRnR. Nếu Y ∈ ( )nXσ  và 1( )f Y Y− = thì µ(Y) = 1 hay µ(Y) = 0. Chứng minh. Giả sử µ(Y) > 0. Khi đó với một số α nhỏ tùy ý tồn tại nX sao cho ( ) 1 ( ) n n Y X X µ α µ ∩ > − . Ta có : : ( ) inf inf ( ) n m n m n n n mm X X Y X Y X Xµ µ + + + ⊃ ∩    ∩ =     ∑  Lấy { }mX=C là phủ của 0Y X∩ . Khi đó { : ( ) } n n m n n mX X f X+ +′ = ⊂ = ∈C C là một phủ của nY X∩ . 33 Do đó ' ( ) 1 ( ) n m n m X n X X µ α µ + + ∈ > −∑ C Suy ra ' ( ) ( ) n m n n m n m X X n X X X µ α µ + + + ⊂ ∉ <∑ C Theo mệnh đề 3.4.1 thì 0 0 ( )