Luận văn Một số tính chất của môđun Coatomic

họ các đồng cấu ( / )if i I∈ . Định nghĩa 1.3.4. ([1, §2]) Cho một họ những R -môđun ( /A i Ii ∈ ). Một môđun con của i i I A ∈ ∏ gồm tất cả những phần tử ( )ia mà 0ia = hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i I∈ , được gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng trực tiếp ngoài) của họ ( /iA i I∈ ) và kí hiệu ii I A∈⊕ . Trong trường hợp iA A= với mọi i I∈ ta kí hiệu ( )Iii I A A∈⊕ = . Với mỗi j I∈ tương ứng :j j ii IA Aµ ∈→⊕ , ( )j ia a→ , , , 0, j i a i j a i j    = = ≠ là một đơn cấu. Định lý 1.3.5. ([1, §2]) Giả sử B là R -môđun cùng với các đồng cấu :j jA Bα → . Khi đó, tồn tại duy nhất : iA Bα → sao cho biểu đồ sau giao hoán ji ji I pA A ∈ →⊕ , j I∀ ∈ . B β jβ α jα 13 Mệnh đề 1.3.6. ([1, §2]) Giả sử ( : / )i i if A B i I→ ∈ là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng : i ii I i If A B∈ ∈⊕ →⊕ cho bởi (( )) ( ( ))i if a f a= là một đồng cấu kí hiệu ii I f∈⊕ và được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( / )if i I∈ . Định nghĩa 1.3.7. ([1, §2]) Môđun RA được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( / )iA i I∈ nếu các điều kiện sau thỏa: (i) i i I A A ∈ = ∑ , (ii) 0, .i j i j A A j I ≠ ∩ = ∀ ∈∑ Bổ đề 1.3.8. ([1, §2]) Môđun RA là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( / )iA i I∈ nều và chỉ nếu mỗi phần tử a A∈ biểu diễn duy nhất dưới dạng: 1 2 ... , , n j ji i i i i j a a a a a A i I= + + + ∈ ∈ . Hệ quả 1.3.9. ([1, §2]) Giả sử A là tổng trực tiếp của những môđun con iA , i i I A A ∈ = ∑ . Khi đó, A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ 1 2 0... , , n j ji i i i i j a a a a A i I=+ + + ∈ ∈ suy ra 0,1 ji a j n= ≤ ≤ . Hệ quả 1.3.10. ([1, §2]) Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( /iA i I∈ ) nếu và chỉ nếu ánh xạ ( ) i ii I i i A A a a ∈ ⊕ → ∑ là đẳng cấu. Định nghĩa 1.3.11. ([1, §2]) Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có môđun con C của A sao cho A B C= ⊕ . 14 Môđun con 0A≠ được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử duy nhất trong A . Ví dụ 1.3.12. 1) Giả sử KV V= là không gian vectơ trên trường K và { / }ia i I∈ là cơ sở của nó. Khi đó, hiển nhiên ii IV a K∈=⊕ . 2) Trong   mọi môđun con đều có dạng m , m∈ . Với 0, 1m m≠ ≠ thì m không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy, nếu m n= ⊕   thì 0 0 1mn m n n m m∈ ∩ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =    (trái giả thiết). Vậy   không phân tích được. Định nghĩa 1.3.13. ([1, §3]) Đơn cấu : A Bα → của các R -môđun được gọi là chẻ ra nếu Imα là hạng tử trực tiếp trong B . Toàn cấu : B Aβ → được gọi là chẻ ra nếu Kerβ là hạng tử trực tiếp trong B . Mệnh đề 1.3.14. ([1, §3]) 1) Đồng cấu : A Bα → là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu : B Aβ → sao cho Aidβα = ( ta nói α có nghịch đảo trái). Khi đó Im Kerβ α β= ⊕ . 2) Đồng cấu : B Cβ → là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu :C Bγ → sao cho Cidβγ = ( ta nói β có nghịch đảo phải). Khi đó ImKerβ β γ= ⊕ . Định nghĩa 1.3.15. ([1, §3]) Dãy khớp ngắn 0 0A B Cβα→ → → → được gọi là chẻ ra nếu Im Kerα β= là hạng tử trực tiếp của B. 15 Mệnh đề 1.3.16. ([1, §3]) Đối với dãy khớp ngắn 0 0A B Cβα→ → → → ta có các phát biểu sau tương đương: (i) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra. (ii) α là đơn cấu chẻ ra. (iii) β là toàn cấu chẻ ra. Khi đó, ta có Im Im A Cβ α γ= ⊕ ⊕ , trong đó :C Bγ → là nghịch đảo phải của β . Định lý 1.3.17. ([1, §3]) Cho dãy khớp ngắn 0 0A B Cβα→ → → → . Khi đó các dãy sau là khớp a) 0 ( , ) ( , ) ( , )Hom M A Hom M B Hom M Cα β→ → →∗ ∗ . b) * *0 ( , ) ( , ) ( , )Hom C M Hom B M Hom A Mβ α→ → → . Trong đó, M là R -môđun tùy ý ( , )* Hom idMα α= , ( , )MHom idα α ∗ = (tương tự với *,*β β ). Định lý 1.3.18. ([1, §3]) Cho dãy khớp chẻ ra 0 0A B Cβα→ → → → . Khi đó, các dãy sau cũng là khớp chẻ ra: 16 a) * *0 ( , ) ( , ) ( , )Hom M A Hom M B Hom M C α β → → → . b) * *0 ( , ) ( , ) ( , )Hom C M Hom B M Hom A Mβ α→ → → . 1.4. Môđun cốt yếu và môđun đối cốt yếu Định nghĩa 1.4.1. ([3, §8]) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu ( lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có 0A B∩ ≠ (Một cách tương tự nếu 0 0A B B∩ = ⇒ = ). Khi đó, ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu eA M⊆ . Ví dụ 1.4.2. (i) Đối với mỗi môđun M ta đều có M Me⊆ . (ii) Xem vành các số nguyên  như môđun trên chính nó. Khi đó, mỗi iđêan khác không trong  đều cốt yếu, bởi vì đối với hai iđêan khác không bất kì a và b ta đều có 0 ab a b≠ ∈ ∩  . Bổ đề 1.4.3. ([3, §8]) (i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C⊂ ⊂ thì e eA M B C⊆ ⇒ ⊆ . (ii) Nếu i eA M⊆ , i=1,2,,n thì 1 n i e i A M = ⊆  . (iii) Nếu : M Nϕ → là đồng cấu môđun và eB N⊆ thì 1( ) eB Mϕ− ⊆ . Định nghĩa 1.4.4. ([3, §8]) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu ( hay bé) nếu với mỗi môđun con E M≠ ta đều có A E M+ ≠ ( một cách tương đương nếu A E M E M+ = ⇒ = ).Khi đó, ta kí hiệu sA M⊆ . Ví dụ 1.4.5. (i) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 s M⊆ . (ii) Trong  -môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu. 17 Bổ đề 1.4.6. ([3, §8]) (i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C⊂ ⊂ thì s sB C A M⊆ ⇒ ⊆ . (ii) Nếu i sA M⊆ , i=1,2,,n thì 1 n i s i A M = ⊆∑ . (iii) Nếu : M Nϕ → là đồng cấu môđun và sA M⊆ thì ( ) sA Nϕ ⊆ . Mệnh đề 1.4.7. ([3, §8]) Đối với phần tử Ra M∈ thì môđun con aR không là đối cốt yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a K∉ . Bổ đề 1.4.8. ([3, §8]) Cho A là môđun con của RM . Khi đó eA M⊆ khi và chỉ khi với mỗi phần tử khác không m M∈ thì tồn tại r R∈ sao cho 0 mr A≠ ∈ Hệ quả 1.4.9. ([3, §8]) Cho môđun i i I M M ∈ = ∑ và ,i e iA M i I⊆ ∈ và i ii Ii I A A A ∈∈ = =⊕∑ . Khi đó, ta có eA M⊆ và ii IM M∈=⊕ . Hệ quả 1.4.10. ([3, §8]) Cho môđun ii IM M∈=⊕ và ,i e iA M i I⊆ ∈ . Khi đó, ta có i ii Ii I A A A ∈∈ = =⊕∑ và eA M⊆ . 1.5 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.5.1. ([3, §10]) Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu :f A Q→ và mỗi đơn cấu :g A B→ của những R -môđun, tồn tại một đồng cấu :h B Q→ sao cho hg f= , nghĩa là biểu đồ giao hoán. 18 Định lý 1.5.2 ([3, §10]) Nếu i i I Q Q ∈ =∏ thì Q là nội xạ khi và chỉ khi iQ là nội xạ với i I∈ . Hệ quả 1.5.3. ([3, §10]) Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ. Định lý 1.5.4. ([3, §10]) Đối với môđun RQ các điều sau tương đương : (i) Q là nội xạ. (ii) Mỗi đơn cấu :Q Bϕ → là chẻ ra ( nghĩa là Imϕ là hạng tử trực tiếp trong B ). (iii) Đối với mỗi đơn cấu : A Bα → , ánh xạ ( ,1 ) : ( , ) ( , )Q R RHom Hom B Q Hom A Qα → là toàn cấu. Định lý 1.5.5. ([3, §10]) Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan phải RU R⊂ và mỗi đồng cấu :f U Q→ đều tồn tại đồng cấu : Rh R Q→ sao cho hi f= , trong đó I là phép nhúng từ U vào R . Bổ đề 1.5.6. ([3, §10]) Môđun D  ( nhóm aben ) là nội xạ khi và chỉ khi nó chia được ( nghĩa là nD D= với mọi số tự nhiên 0n > ). Bổ đề 1.5.7. ([3, §10]) Nếu D là nhóm aben chia được thì ( , )Hom R D  là một R -môđun phải nội xạ. Bổ đề 1.5.8. ([3, §10]) Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của nhóm aben chia được. 19 1.6 Chiều Krull và định lí cơ bản của lí thuyết chiều Định nghĩa 1.6.1. ([4, §1]) Một xích các iđêan nguyên tố của R là một dãy hữu hạn, tăng thực sự các iđêan nguyên tố của R có dạng 0 1 ... nP P P⊂ ⊂ ⊂ trong đó 1 , 1,2, ,i iP P i n− ≠ ∀ =  . Số nguyên n được gọi là độ dài của xích. Định nghĩa 1.6.2. ([4, §1]) Chiều Krull của một vành là cận trên đúng của tất cả độ dài của các xích của các iđêan nguyên tố trong R . Chiều Krull của R được kí hiệu là dim R . Ví dụ 1.6.3. (i) Nếu R là vành Artin thì dim 0R = , vì mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan tối đại. (ii) Vành số nguyên  có dim 1= , vì ( )0 là một iđêan nguyên tố còn mọi iđêan nguyên tố khác không đều là iđêan tối đại. (iii) Với K là một trường, vành đa thức vô hạn biến 1 2, , , ,nX X X . Vành [ ]1 2, , , ,nR K X X X=   có dim R = ∞ , vì xích các iđêan nguyên tố ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2, , , , nX X X X X X⊂ ⊂ ⊂  sẽ có độ dài tùy ý. Định nghĩa 1.6.4. ([4, §1]) Cho P là một nguyên tố của vành R . Khi đó dim PR được gọi là chiều cao của P , kí hiệu htP . dim /R P được gọi là đối chiều cao của P . Kí hiệu CohtP . Nhận xét 1.6.5. ([4, §1]) (i) Với mỗi iđêan I của R thì chiều cao của R được xác định bởi Inf P I htI htP ⊃ = , còn đối chiều cao của I là Sup P I CohtI CohtP ⊃ = . 20 (ii) Với mọi iđêan nguyên tố P ta có dimhtP CohtP R+ ≤ . Do đó dimhtI CohtI R+ ≤ , với mọi iđêan I . Định nghĩa 1.6.6. ([4, §1]) Cho M là một R -môđun. Khi đó, chiều Krull của M được kí hiệu dim M , là dim /R AnnM nếu M khác môđun không. Nếu M là môđun không thì qui ước dim 1M = − . Định lý 1.6.7. ([4, §1]) Một vành R là một vành Artin khi và chỉ khi R là một vành Noether có chiều Krull dim 0R = . Định lý 1.6.8. ([4, §1]) Cho M là một R -môđun khác không hữu hạn sinh trên vành Noether R . Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi chiều Krull dim / 0R AnnM = . Mệnh đề 1.6.9. ([4, §1]) Cho P là một iđêan nguyên tố của một vành Noether R . Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) htP n≤ . (ii) Tồn tại một iđêan I của R sinh bởi phần tử sao cho P là một iđêan nguyên tố cực tiểu của I . Mệnh đề 1.6.10. ([4, §1]) Cho một vành điạ phương Noether ( ),A m với tối đại m và a m∈ và không là ước của không. Khi đó, ta có ( )dim / dim 1A a A= − Mệnh đề 1.6.11. ([4, §1]) Nếu P là iđêan nguyên tố của vành Noether R và a P∈ và không là ước của không thì ( )/ 1htP a htP= − . Mệnh đề 1.6.12. ([4, §1]) Nếu là một trường và [ ]1 2, , , nR K X X X =   là vành các chuỗi lũy thừa hình thức n biến 1 2, , , nX X X thì dim R n= . 21 Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN COATOMIC 2.1. Một số khái niệm và tính chất của môđun coatomic Trong phần này chúng tôi giả sử vành R là vành Noether giao hoán có đơn vị 1 0≠ . Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày cấu trúc đại số của môđun coatomic. Định nghĩa 2.1.1. Một R -môđun M được gọi là môđun coatomic nếu mỗi môđun thực sự của M chứa trong một môđun cực đại của M . Hệ quả 2.1.2. Nếu M là R -môđun đơn thì M là R -môđun coatomic. Định nghĩa 2.1.3. Cho R -môđun M . Khi đó, căn của môđun M là giao tất cả môđun con tối đại của M . Định nghĩa 2.1.4. Cho R -môđun M . Khi đó, đế của môđun M là tổng tất cả môđun con đơn của M . Mệnh đề 2.1.5. Một R -môđun M là môđun coatomic nếu và chỉ nếu với mọi môđun con N của M sao cho ( )M MRad N N= thì M N= . Chứng minh. (⇒ ) Hiển nhiên. (⇐ ) Giả sử N là môđun con của môđun M nhưng không chứa trong bất kì môđun con cực đại của M . Do đó M N không chứa trong bất kì môđun cực đại nào. Suy ra ( )M MRad N N= nên M N= (mâu thuẫn). Ta được điều phải chứng minh. 22 Mệnh đề 2.1.6. Nếu M là R -môđun coatomic thì ( )Rad M là môđun con đối cốt yếu của M . Chứng minh. Giả sử ( )M Rad M N= + với N là môđun con của M . Do M là R -môđun coatomic suy ra tồn tại môđun con tối đại P của môđun M . Suy ra ( )Rad M P⊂ , do đó ( )M Rad M N P= + ⊂ (mâu thuẩn). Nên M N= và ta được điều phải chứng minh. Một kết quả liên quan giữa môđun hữu hạn sinh và môđun coatomic được trình bày rõ thông qua mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.7. Nếu R -môđun M là môđun hữu hạn sinh thì M là môđun coatomic. Chứng minh. Giả sử M là R - môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M . Tập hợp ∆ môđun con thực sự của M chứa môđun con N . Tức là, { }' 'M M N M∆ = ≤ ⊆ . Ta có N∈∆⇒∆ ≠∅ . Giả sử { }i i IN ∈ là dãy dây chuyền tăng theo bao hàm thức trong ∆ . Đặt k k I L N ∈ =  ta sẽ chứng minh L∈∆ . Thậy vậy, ta có ,kN N k I N L⊂ ∀ ∈ ⇒ ∈ . Hơn nữa, ta có L là môđun con của M . Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh L M≠ . Giả sử ngược lại L M= . Do M là R - môđun hữu hạn sinh. Suy ra 1 n i i M Rm = =∑ nên ii km N∈ với ik I∈ với mỗi { }1;2; ;ni∈  . 23 Chọn { }1 2; ; ; nj k k k∈  sao cho jN lớn nhất theo quan hệ bao hàm trong tập hợp { }1 2; ; ; nk k kN N N . Suy ra i jm N∈ với mọi { }1;2; ;ni∈  . Do đó jN M= (mâu thuẩn). Theo bổ đề Zorn suy ra ∆ tồn tại phần tử tối đại. Ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 2.1.8. (i)  là  -môđun coatomic. (ii) Cho K là một trường và vành đa thức hữu hạn biến [ ]1 2, , , nR K X X X=  . Khi đó, ta có R là R -môđun coatomic. (iii) Cho K là một trường và vành đa thức vô hạn biến [ ]1 2, , , ,nR K X X X=   . Khi đó, ta có R không là R -môđun coatomic. Hệ quả 2.1.9. Nếu M là R -môđun Noether thì M là R -môđun coatomic. Tiếp theo chúng tôi xin trình bày một lớp môđun gần gũi với môđun coatomic đó là môđun nửa đơn thể hiện qua mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.10. Nếu R -môđun M là nửa đơn thì M là môđun coatomic. Chứng minh. Giả sử ii IM M∈= ⊕ , trong đó iM là môđun con đơn của M , với mọi i I∈ . và N là môđun con thực sự của M . Suy ra tồn tại I J⊆ sao cho ( )ii JM N M∈= ⊕ ⊕ . Ta có 0N M J i J≠ ⇒ ≠∅⇒ ∃ ∈ . Khi đó { }0 ii J i L N M ∈  = ⊕ ⊕    là môđun con của M chứa N và 0i M L M= ⊕ . Bây giờ, ta cần chứng minh L là tối đại trong M . Giả sử tồn tại môđun con 'L sao cho 'L L M⊆  , nên 0 ' iL M∩ =∅ . Lấy bất kì ' : xx L y z∈ = + , với 0 , iy L z M∈ ∈ 24 Do 'L là R -môđun nên 0 ' z ' 0iz y x L L M z= − ∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒ = . Suy ra 'L L= , nên L là môđun tối đại của M chứa môđun con N . Vậy M là R -môđun coatomic. Mệnh đề 2.1.11. Cho M là một R -môđun coatomic. Nếu N là R -môđun con của R -môđun M thì N là R -môđun coatomic. Chứng minh. Giả sử ( )/ 0rad N U ≠ với U là môđun con của N . Suy ra tồn tại :f N E→ sao cho ( )Imf 0rad ≠ và E là bao nội xạ môđun đơn. Nên E là môđun Artin. Do đó mọi môđun con coatomic 'E của E đều hữu hạn sinh. Từ f xây dựng ánh xạ :g M E→ . Suy ra Im Imf g⊂ . Do đó Im ,Imf g hữu hạn sinh (mâu thuẫn). Ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 2.1.12. Cho R -đồng cấu môđun :f M N→ . Nếu ,M N là R -môđun coatomic thì Imf ,K erf là R -môđun coatomic. Hệ quả 2.1.13. Nếu ,iN i I∀ ∈ là môđun của R -môđun coatomic M thì i i I N ∈  là môđun của R -môđun coatomic. Hệ quả 2.1.14. Nếu ,iN i I∀ ∈ là môđun của R -môđun coatomic M và thỏa mãn điều kiện với mọi ,i j I∈ thì tồn tại k I∈ sao cho ,i j kN N N⊂ thì i i I N ∈  là môđun của R -môđun coatomic. Nhận thấy hợp của hai môđun coatomic bất kì chưa chắc là một môđun coatomic. Ví dụ 2.1.15. Cho K là một trường. Khi đó, ta đặt [ ]{ }( x) (x)A f K X f f= ∈ − = và [ ]{ }( x) (x)B f K X f f= ∈ − = − . Do K là một trường nên [ ]K X là Noether. 25 Suy ra ,A B là môđun Noether nên ,A B là K -môđun coatomic. Nhưng A B∪ không phải là K -môđun con của K -môđun K . Suy ra A B∪ không phải là K -môđun coatomic. Mệnh đề 2.1.16. Cho M là R -môđun và N là môđun con của M . Khi đó, ta có các khẳng định sau: (i) Nếu M là R -môđun coatomic thì /M N là R -môđun coatomic. (ii) Nếu N và /M N là R -môđun coatomic thì M là R -môđun coatomic. Chứng minh. (i) Giả sử M là R -môđun coatomic và /K N là môđun con thực sự của môđun /M N . Suy ra K là môđun con thực sự của môđun M . Do đó tồn tại môđun con tối đại P của môđun M chứa môđun K . Nên /P N là môđun con tối đại của môđun /M N chứa môđun /K N . Suy ra /M N là R -môđun coatomic. (ii) Giả sử N và /M N là môđun coatomic và X là môđun con thực sự của M . Trường hợp 1: Nếu M N X≠ + . Suy ra ( ) /N X N+ là môđun con thực sự của môđun /M N . Vì /M N là R -môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại /L N của môđun /M N chứa ( ) /N X N+ . Suy ra X chứa trong môđun con tối đại L của môđun M . Do đó M là R -môđun coatomic. Trường hợp 2: Nếu M N X= + . Suy ra X N∩ là môđun con thực sự của môđun N . Vì N là R -môđun coatomic. Do đó tồn tại môđun con tối đại Q của môđun N chứa môđun X N∩ . Nên X Q+ là môđun con của môđun M chứa môđun X . Bây giờ, ta chứng minh X Q+ tối đại của môđun M . Giả sử tồn tại môđun con 'Q của môđun M sao cho 'X Q Q+ ⊆ . Suy ra 'Q N Q⊆ ∩ môđun con của môđun N chứa X N∩ (mâu thuẩn). Do đó M là R -môđun coatomic. Hệ quả 2.1.17. Cho dãy khớp ngắn 0 0N M P→ → → → . Khi đó, ,N P là R -môđun coatomic nếu và chỉ nếu M là R -môđun coatomic. 26 Chứng minh. Theo giả thiết, ta có dãy khớp ngắn 0 0N M P→ → → → . Suy ra N là môđun con của môđun M và /P M N= theo nghĩa sai khác một đẳng cấu. Do đó nếu M là R -môđun coatomic thì ,N P là R -môđun coatomic. Ngược lại, nếu ,N P là R -môđun coatomic thì M là R -môđun coatomic. Mệnh đề 2.1.18. Cho M là R -môđun và N là môđun con đối cốt yếu của M . Khi đó, M là R -môđun coatomic khi và chỉ khi /M N là R -môđun coatomic. Chứng minh. ( )⇒ Hiển nhiên. ( )⇐ Giả sử /M N là môđun coatomic và P là môđun con thực sự của môđun M . Trường hợp 1: Nếu N P⊂ . Suy ra /P N là môđun con thực sự của môđun /M N . Do /M N là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại /Q N của môđun /M N chứa môđun /P N . Suy ra Q môđun con tối đại của môđun M chứa môđun P . Trường hợp 2: Nếu N P⊄ . Suy ra /P N N+ là môđun con thực sự của môđun /M N . Thật vậy, nếu / /P N N M N P N M+ = ⇒ + = . Do N là môđun con đối cốt yếu của M nên P M= (mâu thuẫn). Mặt khác, do /M N là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại /Q N của môđun /M N chứa môđun / /P N N P N+ = . Suy ra K môđun con tối đại của môđun M chứa môđun P . Do đó M là R -môđun coatomic. 27 Mệnh đề 2.1.19. Cho 1 2M M M= + . Nếu 1 2,M M là R -môđun coatomic thì M là R -môđun coatomic. Chứng minh. Giả sử U là môđun con thực sự của R -môđun M . Trường hợp 1: nếu 1U M⊆ nên U môđun con của R -môđun 1M . Ta có 1M là R -môđun coatomic. Suy ra tồn tại môđun tối đại A chứa U . Nên M là R -môđun coatomic. Trường hợp 2: nếu 2U M⊆ , chứng minh tương tự trường hợp 1. Trường hợp 3: nếu 1U M∩ ≠∅ và 2U M∩ ≠∅ . Khi đó, tồn tại môđun con 1 2,U U lần lượt của 1 2,M M . Do 1 2,M M là R -môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại ,A B của 1 2,M M chứa 1 2,U U . Suy ra A B+ là môđun con tối đại của M chứa U . Nên M là R -môđun coatomic. Hệ quả 2.1.20. Nếu , i 0,iM n∀ = là R -môđun coatomic thì ii I M∈⊕ là R -môđun coatomic. Nhận thấy môđun coatomic chưa chắc là một môđun hữu hạn sinh được minh họa thông qua ví dụ sau. Ví dụ 2.1.21. Cho iiR R∈= ⊕ , trong đó ,i iR = ∀ ∈  . Khi đó, iR là  - môđun coatomic nên R môđun coatomic nhưng R không phải là môđun hữu hạn sinh. Mệnh đề 2.1.22. Cho M là R -môđun coatomic và U là môđun con của M . Khi đó nếu a là một iđêan sao cho 1 i i U a M ∞ = ⊂  thìU là a -chia Chứng minh. 28 Giả sử ngược lại, U không là a -chia nên aU U≠ . Suy ra tồn tại :f U E→ với Imf 0a = sao cho f 0≠ . Trong đó, E là bao nội xạ của một môđun đơn. Ta có mở rộng :g M E→ sao cho Im g có chiều dài hữu hạn. Suy ra 1 Imi i a g ∞ =  a -chia. Do đó ( )Imf g U= là a -chia (mâu thuẫn). Suy ra U là a -chia. Hệ quả 2.1.23. Nếu M là R -môđun coatomic và J là căn Jacobson từ R thì 1 0i i J M ∞ = =  . Chứng minh. Giả sử ngược lại, 1 0i i J M ∞ = ≠  . Suy ra tồn tại môđun con U khác 0 của R -môđun M sao cho 1 i i U J M ∞ = ⊂  . Mà M là R -môđun coatomic. Suy ra U là J -chia (mâu thuẫn) và ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.1.24. Cho M là R -môđun. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương (i) M là R -môđun coatomic. (ii) mM là mR -môđun coatomic với mọi iđêan cực đại m . Chứng minh. (ii⇒ i) Giả sử mM là mR -môđun coatomic với mọi iđêan cực đại m và ( )/X rad M N= , trong đó N là môđun con của M . Do mM là mR -môđun coatomic nên tồn tại môđun con 'N của mM sao cho ( )/ ' 0m mX rad M N= = với mọi iđêan cực đại m . 29 Do đó 0X = suy ra M là R -môđun coatomic. (i⇒ ii) Giả M là R -môđun coatomic và A là R -môđun con của M . Khi đó, ta có ( ) ( )/ / 'mmrad M A rad X N= với 'N là R -môđun con của mM . Suy ra /M A là R -môđun m -chia. Do đó, môđun con của /M A là R -môđun m -chia. Suy ra ( )RAnn x m⊄ với tất cả /x M A∈ nên ( )/ 0mrad M A = . Suy ra mM là mR -môđun coatomic. Mệnh đề 2.1.25. Cho M là R -môđun coatomic và a -nguyên sơ. Khi đó, nếu có hữu hạn iđêan tối đại 1,..., km m sao cho mỗi phần tử của ( )Ass M nằm trong tập hợp { }1,..., km m thì tồn tại 1e ≥ sao cho 0ea M = . Chứng minh. Cho ( )/ miE R là bao nội xạ của / m , 1iR i k∀ ≤ ≤ . Suy ra 1 / m k i i I R = =  là đối sinh của M . Giả sử ( )AsP s M∈ , sao cho ( )R jAnn M P m⊂ ⊂ , với { }1,2, , kj∈  . Với mỗi 0 x M≠ ∈ có toàn cấu / jRx R m→ có thể mở rộng :g M I→ sao cho ( ) 0g x ≠ . Đặt ( )0 ,RM Hom M I= . Khi đó, ta có ánh xạ chính tắc 0M M→ là đơn ánh. Giả sử M là a -nguyên sơ suy ra ( )lim / ,iRM Hom R a M→≅ . Mà 0 0 0 0lim / lim /i i R M R a M M a M ← ← ≅ ⊗ ≅ . Suy ra 0M là a -nguyên sơ, và I là Artin với mọi 0f M∈ . Suy ra Imf là hữu hạn sinh. Do đó a Imf=0, n 1n ∀ ≥ nên ( )0 nMf Ann a∈ . Ta có 0M là không gian mêtric đầy đủ hợp với tập con đóng ( )0 iMAnn a . 30 Theo định lý Baire, suy ra ( )2 1 1 200 0 0e e e eMa M Ann a a M+⊂ ⇒ = . Đặt 1 2e e e= + , ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 2.1.26. Cho M là R -môđun coatomic, U là môđun con hữu hạn sinh của M và a là iđêan. Khi đó, với mỗi 1e ≥ tồn tại 1f ≥ sao cho f eU a M a U∩ ⊂ . Chứng minh. Giả sử N môđun a -nguyên sơ. Suy ra ( )NAnn a là môđun con cốt yếu của N nên ( )a Ass N⊂  . Giả sử M , N và e thỏa điều kiện trong giả thiết. Suy ra tồn tại môđun con tối đại V của M sao cho eU V a U∩ = . Suy ra đơn cấu / /eU a U M V→ . Nên /M V là a -nguyên sơ và ( ) ( )/ / eAss M V Ass U a U= hữu hạn. Suy ra / 0fa M V = với 1f ≥ nên f eU a M a U∩ ⊂ . Ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 2.1.27. Cho M là R -môđun coatomic và S là một tập đóng nhân của R , thì SM là SR −môđun coatomic. Chứng minh. Giả sử ngược lại SM không phải là SR −môđun coatomic và 0SM ≠ . Suy ra tồn tại x M∈ sao cho ( )RAnn x S∩ =∅ . Do đó SpR là iđêan cực đại trong SR sao cho ( )RAnn x p⊂ . Suy ra fRx p M pRx∩ ⊂ , với 1f ≥ và ( ) 1 f S S S x M pR M∈ = . Do đó fsx p M∈ , với s S∈ . Suy ra ( )Rs r Ann x− ∈ , với r p∈ và mâu thuẫn với s p∈ . Ta được điều phải chứng minh. 31 Mệnh đề 2.1.28. Cho môđun M các điều kiện sau là tương đương: (i) M là hữu hạn sinh. (ii) Cho iđêan cực đại và mM là mR -môđun là hữu hạn sinh và mỗi môđun thương X của M có As ( )s X hữu hạn. Chứng minh. (i⇒ ii) hiển nhiên. (ii⇒ i) Giả sử M hữu hạn chiều Goldie và U Uλ= ⊕ , với mọi Uλ là cyclic. Suy ra tồn tại ' U MU ⊂ ⊂ sao cho '/ UU nửa đơn. Do đó tất cả '/ UU hữu hạn sinh. Suy ra môđun thương của M có số chiều Goldie hữu hạn. Do đó tồn tại môđun con hữu hạn sinh A của M sao cho ( )/ /rad M A M A= . Mà M là môđun coatomic nên A M= . Ta được điều phải chứng minh. 2.2. Một số tính chất môđun coatomic trên vành địa phương Mục tiêu chính của phần này là chứng minh định lý 2.2.6. Vì vậy, ta luôn luôn giả sử R là vành địa phương với iđêan tối đại m , E là bao nội xạ /R m . Cho M là R -môđun, đặt ( )0 ,RM Hom M E= và ( ) ( ) 1 i M i L M Ann m ∞ = =∑ . Tất cả các tôpô điều là tôpô m -adic. Mệnh đề 2.2.1. Cho M là môđun và các điều kiện sau là tương đương: (i) M là coatomic. (ii) 0M là m -nguyên sơ. (iii) 00M là tách. Chứng minh. (i⇒ ii⇒ iii) hiển nhiên. (ii⇒ i) Giả sử X là căn môđun thương của môđun M . Mà ( )( ) ( )0 0XAnn So X Ra X= và ( )( ) ( )0 0XAnn Ra X So X= . 32 Suy ra 0X là đế của môđun con của 0M . Do đó 0 0X = suy ra 0X = . (iii⇒ ii) Chứng minh tương tự trên. Hệ quả 2.2.2. Cho M Mλ= ⊕ là môđun coatomic khi và chỉ khi tất cả Mλ là môđun coatomic và tồn tại 1e ≥ sao cho 0em Mλ = với mọi λ . Chứng minh. (⇐ ) Hiển nhiên. (⇒ ) Giả sử M suy ra Mλ là môđun coatomic. Do đó ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của e . Giả sử hầu như Mλ có cấu trúc tôpô rời rạc và tồn tại 1 2, , , nλ λ λ sao cho Mλ không rời rạc. Đặt ( )0nnD Mλ= , suy ra môđun 1 n n D ∞ = ∏ là m -nguyên sơ. Khi đó, ta chọn 1n ≥ sao cho n nf D∈ ( )n nDAnn m . Suy ra ( )1 2, ,f f f=  bị triệt tiêu bởi m nên tồn tại km với ( )k kk Df Ann m∈ . Suy ra tồn tại e sao cho ( ) 0em L M = . Mà ( )M L Mλ ⊂ với mọi λ , ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 2.2.3. Nếu M là môđun coatomic thì là ( )Ass M hữu hạn. Chứng minh. Giả sử M là môđun coatomic suy ra ( )( )Ass L M có ít nhất một phần tử. Do đó M có chiều Goldie hữu hạn. Suy ra tồn tại môđun con đối cốt yếu hữu hạn sinh A của M . Mà ( ) ( )As Ass M s A= nên ( )Ass M hữu hạn. 33 Mệnh đề 2.2.4. Cho R là vành các điều kiện sau là tương đương: (i) Mỗi môđun thương của môđun hữu hạn chiều là môđun hữu hạn chiều. (ii) Mỗi môđun hữu hạn chiều là mở rộng của môđun Artin. (iii) ( )dim 1R ≤ . Chứng minh. (ii⇒ i) Hiển nhiên. (i⇒ iii) Giả sử có một iđêan chính p sao cho ( )dim / 1R p > . Khi đó, ta có M có chiều hữu hạn nhưn