Luận văn Một số tính chất của môđun minimax

U)/L(M) ⊂ M/ L(M), ta giả sử M (cũng tương tự với M/U) là môđun đế. Trong trường hợp là vành địa phương, ta có U ∈ 𝔉, nên với x ∈ m thì phép nhân x: U → U là tác động song ánh, vì vậy trong dãy khớp Soc(M) → Soc(M/U) → ExtR1(R/m, U) cả ba thành phần của dãy đều là 0. Trong trường hợp chung, với mỗi m ∈ Ω thì Mm ∈ 𝔥 là môđun đế và Um là môđun căn nên Soc(Mm/Um) = 0 và do đó Socm(M/U) = 0. (e). Như [15, Bổ đề 1.1] thì mỗi U ⊂ P(M) theo (c) ta được Soc(P(M)/U) = 0, do đó U là môđun căn. (f). Trong trường hợp là vành địa phương thì M ∈ 𝔉, do đó M ∈ 𝔅. Khi đó ta có dãy giảm Imf ⊃ Imf2 ⊃ Imf3 ⊃ với m ≥ 1 thỏa mãn Imfm/ Imfm+1 là hữu hạn sinh và môđun nội xạ của đẳng cấu f → M/Imf, nghĩa là đến Cokerf. Trong trường hợp không là vành địa phương thì (Coker f)m là hữu hạn sinh với mọi m ∈ Ω do đó Cokerf là coatomic. (g). Vì Rm-môđun Um là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin nên Um cũng có môđun thương căn hữu hạn sinh, do đó dim(U/mU) = dim(Um/Ra(Um)). Mệnh đề 2.1.2. Cho một R-môđun M. Các điều sau là tương đương: (i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. (ii) Trong mỗi dãy tăng U1⊂ U2⊂ U3⊂... của các môđun con của M thì Ui+1/Ui là môđun nửa artin với hầu hết các i. 18 (iii) M là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin. Trong trường hợp này thì M =M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn và As ( ) ( )Rs M MAnn∩ = . Chứng minh: Cho 𝔉’ là lớp các R- môđun là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin. (i ⇒ iii) Giả sử M ∉ 𝔉’, nên ta có M/L (M) ∉ 𝔉’ và tập {X ⊂ M/ Soc(M/X) = 0 và M/X ∉ 𝔉’} có một phần tử cực đại X0. Ta chọn X0 ⊊ A ⊂ M với A/X0 là hữu hạn sinh, từ U/A = L(M/A) thì X0 ⊊ U và Soc(M/U) = 0, vì do tính cực đại nên M/U ∈ 𝔉’. Khi đó kéo theo M/A ∈ 𝔉’, nghĩa là M/X0 ∈ 𝔉’ trái với sự lựa chọn của X0. (iii ⇒ ii) Tính chất (ii) là mở rộng nhóm đóng và tức nhiên với mỗi môđun hữu hạn sinh cho ta một môđun nửa artin, bao gồm cả M. (ii ⇒ i) Hiển nhiên. Ngoài ra, chúng ta có thể giả sử M là môđun đế. Khi đó, mỗi môđun con đóng U của M thì Ass(M/U) ⊂ Ass(M) nên M/U là môđun đế. Điều kiện tối đại cho lớp môđun con đóng tương đương với số chiều Goldie hữu hạn. Với b = ⋂Ass(M) thì M là b-nguyên sơ, do đó 1 ( )iM i b MAnn ∞ = =∑ . Bởi vì M/AnnM(bi) là môđun căn với mọi i nên ta có thể giả sử AnnM(be) = AnnM(be+1) = với e ≥1 và từ beM = 0 kéo theo b ( )RAnn M⊂ . Bao hàm ngược lại là luôn luôn đúng. Hệ quả 2.1.3. 𝔘 = 𝔉. Chứng minh: M ∈ 𝔄 không thể là tổng trực tiếp vô hạn các môđun khác 0: Ta có M = ⊕𝑖=1 ∝ 𝑀𝑖 trong đó Mi ≠ 0 với mọi i. Như trong [1, trang 4] thì M = ⊕𝑖=1 ∝ 𝑁𝑖 trong đó mỗi Ni là tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác 0, và với Un = 1 n i iN=⊕ thì trong dãy tăng U1⊂U2⊂U3⊂ các môđun thương Un+1/Un ≅ Nn+1 là artin, điều đó là không thể. Theo (2.1.2) ta chọn một môđun con hữu hạn sinh B của M sao cho M/B là môđun nửa artin, khi đó Soc(M/B) ∈ 𝔄 nên cũng là hữu hạn sinh, M/B là artin và M ∈ 𝔉. 19 Mệnh đề 2.1.4. Giả sử dim(R)≤1 và M là một R-môđun có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó nếu M có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin thì mỗi thành phần nguyên sơ của M/B là artin. Chứng minh : Trong trường hợp dim(R) = 0 thì M là artin, vì vậy hiển nhiên đúng. Trong trường hợp dim(R) = 1 thì với các iđêan nguyên tố không tối đại p1,, pk của R ta có tập con nhân đóng S = R∖⋃i=1kpi, và khi đó Rs là artin. Vì vậy Ms không chỉ là Rs-môđun có chiều Goldie hữu hạn mà còn là môđun hữu hạn sinh. Giả sử B là một môđun con hữu hạn sinh của M sao cho (M/B)S = 0. Khi đó M/B là nửa artin, vì vậy M ∈ 𝔉’. Với mỗi môđun con U của M và mỗi m ∈ Ω thì U/mU là hữu hạn sinh, bởi vì L(U) ⨂𝑅 R/m là rõ ràng và theo (2.1.1)(g) áp dụng cho U/L(U) ⨂𝑅 R/m. Cụ thể Socm(M/B) là hữu hạn sinh, do đó Lm(M/B) là artin. Mệnh đề 2.1.5. Cho M là một R-môđun. Các điều sau tương đương: (i) M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. (ii) Trong mỗi dãy giảm U1⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ của các môđun con của M thì Ui/Ui+1 là nửa artin với hầu hết các i. (iii) M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn và với mọi p ∈ Ass(M) thì dim(R/p) ≤ 1. Trong trường hợp này áp dụng cho mỗi đơn cấu f: M → M thì Coker f là nửa artin. Chứng minh :(i ⇒ ii) Với mọi n ≥1, ta có Vn/Un = L(M/Un) nên Soc(M/Vn) = 0. Xét dãy V1⊃ V2⊃ V3⊃ vì (Vn+1+Un)/Un là ảnh toàn cấu của Vn+1/Un+1 nửa artin nên chứa trong Vn/Un nghĩa là Vn+1⊂ Vn. Theo giả thiết Vm = Vm+1 = với m ≥ 1, vì vậy với mọi i ≥ m thì Ui/Ui+1 ⊂ Vm+1/Ui+1 = L (M/Ui+1), do đó Ui/Ui+1 là nửa artin. (ii ⇒ iii) Từ (ii) ta có môđun thương và với mọi p ∈ Ass (L(M)) thì dim(R/p) = 0, ta có thể giả sử M là môđun đế. Với mỗi môđun con đóng U của M thì Soc(M/U) = 0, khi đó M thỏa điều kiện min đối với môđun con đóng, tức là có chiều Goldie hữu hạn. Từ (ii) ta cũng có các môđun con, tương tự ta giả sử M ≅ R/p như khẳng định thứ hai: Chọn tập {X ⊂ M/X ≠ 0 và Soc(M/X) = 0} một phần tử tối tiểu X0, khi đó Soc(X0/Y) ≠ 0 với mọi 0 ≠ Y ⊊ X0, nên X0/U là nửa artin với mọi 0 ≠ U ⊂ X0. Vậy R/p có tính chất tương tự như môđun con X0, và do đó dim(R/p) = 1. 20 (iii ⇒ i) Từ Soc(M/U) = 0 kéo theo L(M) ⊂ U, ta giả sử M là môđun đế khác 0. Với S = R ∖ ⋃Ass(M) từ Bước 1 ta có: nếu Soc(M/U) = 0 thì U là S-bão hòa trong M. Từ Soc(M/U) = 0 suy ra với mọi p ∈ Ass(M/U) thì tồn tại p0 ∈ Ass(M) sao cho p0 ⊂ p ∉ Ω. Mặt khác dim(R/p0) = 1 nên p0 = p ∈ Ass(M), nhưng Ass(M/U) ⊂ Ass(M) nên x ∈ S không là ước của 0 trên M/U, do đó U là S-bão hòa trong M. Trở lại với Soc(M/U) ≠ 0, tức là với m ∈ Ω thì m ∈ Ass(M/U) kéo theo m ⊄∪Ass(M) và x0 ∈ m ∩ S là ước của 0 trên M/U. Vì vậy U không là S-bão hòa trong M. Trong bước 2 cần chỉ ra rằng Ms là Rs-môđun artin: với mỗi p ∈ Ass(M) thì pRs là một iđêan tối đại trong Rs, giả sử p ⊆ p1 sao cho p1 ∩ S = ∅, kéo theo p1 ∈ Ω và p1 ∈ Ass(M) điều này mâu thuẩn với Soc(M) = 0. Vì có chiều Goldie hữu hạn nên một đơn cấu cốt yếu ∐i=1n R/pi → M cảm sinh thành một Rs-đơn cấu cốt yếu ∐i=1n (Rs/piRS) → MS, trong đó tập nguồn là vành artin bao gồm cả tập đích. Bổ sung được thể hiện trong (2.1.1)(f), từ dãy giảm Imf ⊃ Imf2 ⊃. với mỗi m ≥1 ta có Imfm/Imfm+1 ≅ Cokerf là nửa artin. Hệ quả 2.1.6. Cho M là môđun căn và M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. Khi đó M thỏa điều kiện min tương đương. Chứng minh : Theo (2.1.2) thì ta có M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn, mặt khác M là môđun căn nên P(M) = M, vì thế với mọi p ∈ Ass(M) ta có dim(R/p) ≤ 1 theo (2.1.1)(e). Cũng theo (2.1.5) ta có M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M) = 0. Vì thế ta nói M thỏa điều kiện min tương đương. Hệ quả 2.1.7. Cho dim(R) ≤ 1 và R-môđun M. Các điều sau tương đương: (i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. (ii) M thỏa điều kiện min tương đương. (iii) M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn. Mệnh đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun và M = M/L(M). Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) M thỏa điều kiện min và max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. (ii) M thỏa điều kiện min tương đương và ⋂Ann( M ) = ( )RAnn M . 21 (iii) M thỏa điều kiện max tương đương và với mỗi đơn cấu g: M M→ thì Cokerg là nửa artin. Chứng minh: (i ⇒ ii) hoặc (i⇒ iii) được bổ sung trong (2.1.2) hoặc (2.1.5). (ii ⇒ i) Trong chứng minh của (2.1.5)(iii ⇒ i) ta có thể giả sử M là môđun đế khác 0 và chỉ ra với S = R ∖ ⋃Ass(M) thì MS là RS-môđun có chiều dài hữu hạn. Với b = ⋂Ass(M) thì bRS chỉ là căn Jacobson của các vành nửa địa phương RS và ⋂Ass(M) = ( )RAnn M tức là b eM = 0 với mỗi e ≥ 1, vì vậy MS được giản ước bởi (bRS)e. Khi đó MS là RS-môđun artin và có chiều dài hữu hạn. (iii ⇒ i) Từ cách chứng minh của (2.1.5)(iii) ta có thể giả sử M là môđun đế, theo (2.1.2) ta có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin. Khi đó B lớn trong M và đặc biệt M có chiều Goldie hữu hạn và Ass(M) = Ass(B). Mỗi x ∈ R không phải là ước của 0 trên B và cũng không là ước của 0 trên M, do đó theo giả thiết thì M/xM là nửa artin, vì vậy ta có dãy khớp AnnM/B(x) → B/xB →M/xM (cũng như B/xB). Với mỗi m ∈ Ω thì dimRm(Bm) = 1. Thật vậy, vì m ⊄ ⋃Ass(B) nên ta chọn một phần tử x ∈ m sao cho không là ước của 0 trên B. Khi đó dimRm(Bm/(x/1).Bm) = 0 trong đó x/1 ∈ mRm không là ước của 0 trên Bm. Vì vậy với mỗi p ∈ Ass(B) thì p ⊊ p1 ⊊ m là không thể, nên dim(R/p) = 1. Hệ quả 2.1.9. M là coatomic và M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. Khi đó M cũng thỏa điều kiện max tương đương. 2.2. Điều kiện min đối với môđun con căn. Bởi vì môđun minimax M thuộc lớp 𝔅 nên trong mỗi dãy giảm U1 ⊃ U2 ⊃ các môđun con căn của M thì dừng. Điều kiện min trong (2.2.3) cung cấp cho ta một định lí cấu trúc, cụ thể cho ta tính chất (ii) như trong điều kiện (2.1.2)(iii) là điều đáng ngạc nhiên. Từ đó kéo theo (2.2.7) ta có được đẳng thức 𝔅 = 𝔉. Bổ đề 2.2.1. Cho M là chia được với bất kỳ iđêan nguyên tố liên kết với nó và cho B là môđun con của M sao cho M/B là artin. Khi đó M/P(B) cũng là artin. Chứng minh: Từ giả thiết của M ta có với mỗi môđun con hữu hạn sinh V của M có một iđêan a sao cho aV = 0 và aM = M. Thật vậy, khi V = 0 thì là hiển nhiên và khi 22 V ≠ 0 thì Ass(V) = {p1,,pn} và b = p1pn. Theo giả thiết thì bM = M mà b ⊂ ⋂Ass(V) nên beV = 0 với e ≥ 1 vì vậy a = be. Giả sử M/B là artin. Với mọi m ∈ Ass (M/B), ta có B/mB là hữu hạn sinh, vì trong dãy khớp Tor1R(M/B, R/m) → B R⊗ R/m → M R⊗ R/m ta có thành phần đầu tiên là hữu hạn sinh và thứ ba là 0. Với mỗi m ∉ Ass(M/B) ta có B là m-chia được, vì mỗi x ∈ m, x ∉ Ass(M/B) thì đồng cấu nhân với x: M/B → M/B là song ánh để Tor1R(M/B, R/m) = 0. Ta chọn một môđun con hữu hạn sinh V của B sao cho V + mB = B với mọi m ∈ Ass(M/B), từ một iđêan a với aV = 0 và aM = M thì aB là môđun căn và vì dãy khớp 1or ( / , / ) / / R R RT M B R a B R a M R a→ ⊗ → ⊗ nên aB cũng là artin. Vì aB ⊂ P(B) nên M/P(B) cũng là artin. Bổ đề 2.2.2. 𝔉’ như trong (2.1.2) là lớp tất cả các R-môđun, là mở rộng của một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin. Cho M là một R-môđun căn và nếu mỗi môđun con căn U ⊊ M thỏa U ∈ 𝔉’ thì khi đó M ∈ 𝔉’. Chứng minh : Bước 1: Bổ sung R là một miền nguyên và M là môđun xoắn chia được. Giả sử M ∉ 𝔉’, khi đó ta chọn một môđun con B ⊊ M sao cho M/B là artin và khi đó theo (2.2.1) thì M/P(B) cũng là artin, vì vậy theo giả thiết P(B) ∈ 𝔉’ kéo theo M ∈ 𝔉’, điều này trái với giả sử. Bước 2: Với R là vành tùy ý. Giả sử M ∉ 𝔉’ vì thế tập {x ∈ R/ xM ≠M} là một iđêan nguyên tố, ta đặt là p và pM ⊊ M. Trên miền nguyên R =R/p thì M1= M/pM là môđun căn và không thuộc 𝔉’, nhưng mỗi môđun con căn thực sự của M1 thuộc 𝔉’. Thay vì R ta ký hiệu là R, khi đó M1 là chia được và theo Bước 1 không là môđun xoắn. Vì vậy M2= M1/T(M1) là chia được, xoắn và không thuộc 𝔉’, nhưng mỗi môđun con căn thực sự của M2 là thuộc 𝔉’. Khi đó M2 ≅ K, dim(R) >1 sao cho với 0 ≠ q ∉ Ω để Rq ⊊ K và vì Rq là R- môđun căn nên Rq cũng thuộc 𝔉’. Môđun con căn thực sự của môđun xoắn chia được K/Rq đều thuộc 𝔉’, theo Bước 1 thì K/Rq ∈ 𝔉’, M2∈ 𝔉’ và điều này mâu thuẫn với điều chứng minh. Mệnh đề 2.2.3. Cho một R-môđun căn M. Các điều sau tương đương: (i) M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn. (ii) M là mở rộng cốt yếu một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin. 23 (iii) M có chiều Goldie hữu hạn và mỗi môđun thương đế của M có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết, mỗi môđun con căn của M có hữu hạn các iđêan nguyên tố đối liên kết. Nếu môđun căn M thỏa điều kiện tương đương thì: (a) M là bổ sung yếu. (b) Với mỗi m ∈ Ω thì Mm là một môđun minimax. (c) ⋂ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝑀) = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑀). Chứng minh: (i ⇒ ii) Chúng ta cần chứng minh M ∈ 𝔉′ và M có chiều Goldie hữu hạn. Giả sử M ∉ 𝔉′, khi đó tập {X ⊂ M/ X là một môđun căn và X ∉ 𝔉′} có một phần tử tối tiểu X0, từ tính chất tối tiểu mà mỗi môđun con căn thật sự của X0 đều thuộc 𝔉′, tức là theo (2.2.2) thì X0 cũng thuộc 𝔉′. Điều này là không thể. Nếu M ∈ 𝔉′ thì M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn.Theo (2.1.1)(c) thì L(M) là môđun căn, do đó tập { X ⊂ L(M)/ X là môđun căn và L(M)/X là môđun artin} có một phần tử tối tiểu là X0. Ta giả sử X0 khác 0, ta chọn như Bước 1 của chứng minh (2.2.2) một môđun B ⊊ X0 sao cho X0/B là artin và theo (2.2.1) thì L(M)/P(B) là môđun artin, điều này trái với tính chất tối tiểu của X0. Vì vậy X0 = 0, do đó L(M) là môđun artin. (ii ⇒ iii) Rõ ràng là M có chiều Goldie hữu hạn. Với mỗi môđun thương môđun đế của M/U ta chỉ ra Coass(M/U) ⊂ Ass(M/U) ⊂Ass(M). Thật vậy, lấy p ∈ Ass(M/U) thì có một p0 ∈ Ass(M) với p0 ⊂ p, và từ (2.1.1)(e) thì dim(R/p0) ≤ 1, vì p ∉ Ω và nên p0 = p = Ass(M). Lấy q ∈ Coass(M/U), vì theo (2.1.2) ta có As ( / ) ( / )Rs M U Ann M U∩ = nên tồn tại p ∈ Ass(M/U) sao cho p ⊂ q và vì q ∉ Ω nên dim(R/p)=1 kéo theo p = q ∈ Ass(M/U). Vì giả thiết (ii) nên ta có môđun con căn, chúng ta cần chỉ ra Coass(M) là hữu hạn: Rõ ràng có L(M) là môđun artin và với M/L(M) ta có điều phải chứng minh. (iii ⇒ i) Đầu tiên ta cần chứng minh với mỗi môđun con U của M có tính chất sau: nếu M/U là môđun đế thì U là môđun căn và L(M) ⊂ U. Từ Soc(M/U)=0 kéo theo L(M) ⊂ U và theo giả thiết thì Ass(M/U) cũng như Coass(M/U) đều là hữu hạn. Theo (2.1.1)(c) thì Tor1R(M/U,R/m)=0, vì vậy U R⊗ R/m = 0 với mọi m ∈ Ω tức là U là môđun căn. Ngược lại 24 L(M) ⊂ U và U là môđun căn thì U = U/L(M) sao cho ExtR1(R/m,U ) = 0. Khi đó Socm( /M U ) = 0 với mọi m ∈ Ω, do đó Soc(M/U) = 0. Theo (1.2.13) thì dim(R/p) ≤ 1 với mọi p ∈ Ass(M) mà theo (2.1.5) M thỏa điều kiện min đối với môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. Nhưng trong dãy M ⊃ U1⊃ U2 ⊃ thì mọi Ui đều là môđun căn, mặt khác L = L(M) là artin, do đó Um⋂ L = Um+1⋂ L =với mỗi m ≥ 1. Mặt khác M/(Ui+L) là môđun đế nên Un+L = Un+1+L =với mỗi n ≥ m và từ đó kéo theo Un = Un+1 =. Trong các phần bổ sung tính chất (c) được suy ra trực tiếp từ (i): Với a = ⋂ Coass(M) thì ta có M ⊃ aM ⊃a2M ⊃ a3M ⊃ là dãy giảm các môđun con căn thì aeM = ae+1M = với mỗi e ≥ 1. Nhưng theo [15, trang 129] thì 1 0i i a M∞ = =  tức là aeM = 0 và a = ( )RAnn M . Với (b) thì (M/L(M))m là môđun đế và thuộc 𝔉′, vì vậy theo chứng minh của (2.1.1)(c) đã thuộc 𝔉, mà L(M)m là môđun artin nên tóm lại ta có Mm∈ 𝔉 . Với (a) thì ta một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin. Khi đó là M/B = m∈Ω⊗ Lm(M/B) là sự phân tích nguyên sơ của môđun minimax , do đó cũng là môđun artin. Đặc biệt M/B là môđun bổ sung yếu, vì vậy M cũng là thặng dư cốt yếu các môđun artin M/B. Khi Ω là hữu hạn với những khái niệm trên thậm chí M/B là môđun artin. Hệ quả 2.2.4. Cho R là vành nửa địa phương, khi đó một R-môđun M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn nếu P(M) là một môđun minimax. Hệ quả 2.2.5. Cho M là môđun đế và M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn. Khi đó M thỏa điều kiện max tương đương. Mệnh đề 2.2.6.Cho một R-môđun M. Các điều sau tương đương: (i) Trong dãy giảm 1 2 3 ....U U U⊃ ⊃ ⊃ của các môđun con của M thì hầu hết các môđun Ui/Ui+1 là coatomic. (ii) M là mở rộng của một coatomic theo một môđun artin. Trong trường hợp này thì P(M) là một môđun minimax và là thặng dư cốt yếu của một môđun artin. Chứng minh : (i ⇒ ii) M chứa một môđun con coatomic V, vì vậy M/V là môđun căn. Mặt khác nếu ta có U1 ⊊ M sao cho M/U1 là môđun căn và từ U2 ⊊ U1 sao cho U1/U2 là 25 môđun căn, do đó bằng cách qui nạp ta có dãy 1 2 3 ....U U U⊃ ⊃ ⊃ trong đó tất cả Ui/Ui+1 là môđun căn khác 0 và điều này trái với giả thiết. Thật vậy, với môđun V một lần nữa M/V đáp ứng các điều kiện (i), do đó theo (2.2.3) có một môđun con hữu hạn sinh B/V sao cho M/B là nửa artin. Mà theo (2.2.3) M/B không chỉ là môđun artin ngoài ra B còn là coatomic, do vậy M thỏa yêu cầu. (ii ⇒ i) Tính chất (i) được xem như mở rộng nhóm đóng và dĩ nhiên nó có một môđun coatomic và một môđun artin, bao gồm cả M. Hơn nữa, chúng ta có thể giả sử M là môđun căn, khi đó theo (2.2.3) B là một môđun con hữu hạn sinh, do đó M/B là nửa artin. Mà theo (2.2.3) thì M/B phải là artin do vậy M ∈ 𝔉 và dĩ nhiên B << M, vậy nên M là thặng dư cốt yếu các môđun artin M/B. Mệnh đề 2.2.7. 𝔙 = 𝔉. Chứng minh : Tương tự như (2.1.3) cho ta thấy M ∈ 𝔙 không là tổng trực tiếp vô hạn các môđun khác 0. Thật vậy, mỗi môđun thương của M có chiều Goldie hữu hạn. Theo [3] thì M có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là môđun căn và theo (2.2.6) thì M/B ∈ 𝔉 kéo theo M ∈ 𝔉. Chú ý 2.2.8. Cho một R-môđun M. Các điều sau tương đương: (i) Trong dãy giảm 1 2 3 ....U U U⊃ ⊃ ⊃ của các môđun con của M thì hầu hết các môđun Ui/Ui+1 có chiều dài hữu hạn. (ii) M là một môđun minimax và với mọi p ∈ Ass(M) thì dim(R/p) ≤ 1. 2.3. Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E). Định lí 2.3.1. ( Xem [2], Định lí 3.30). Đối với các R-môđun M ⊆ E, các điều sau tương đương: (i) E là mở rộng cốt yếu tối đại của M. (ii) E là môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M. (iii) E là môđun nội xạ tối thiểu chứa M. Định nghĩa 2.3.2. Nếu các R-môđun M ⊆ E thỏa các điều kiện tương đương của (2.3.1) thì E được gọi là bao nội xạ của M và ký hiệu là E = ER(M), trong trường hợp vành được ngầm hiểu. 26 Trong trường hợp R là một vành địa phương thì 𝑅 � là vành đầy đủ của R, E là bao nội xạ của R và M0 = HomR(M, E). Bổ đề 2.3.3. Cho một R-môđun M và một iđêan nguyên tố p của R. Các điều sau tương đương: (i) p ∈ Coass(M). (ii) p = AnnR(A) với A là môđun thương artin của M. (iii) p ∈ Ass(HomR(M, C)) với mỗi R-môđun artin C. Với R là vành địa phương, tiếp theo đó tương đương với (iv) p ∈ Ass(M0). Chứng minh: (i ⇒ ii) Từ p ∈ Coass(M) có một môđun thương artin không phân tích được M/M0 với p = I(M/M0), và cho mỗi môđun con U sao cho M0 ⊂ U ⊊ M, khi đó p = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑀/𝑈). Tiếp tục ta chọn trong tập { AnnR(M/U) / M0⊂ U ⊊M} một phần tử tối đại a0 = AnnR(M/U0) và khi đó a0 (xem [2, chương IV, Bài 1, Mệnh đề 1]) là một iđêan nguyên tố và rõ ràng p = a0. (ii ⇒ iii) Ta có p = AnnR(M/U) và M/U artin, vì C = M/U nên với mỗi 𝛾 ∈ HomR(M, C) ta được AnnR(𝛾) = p. (iii ⇒ i) Với C là môđun artin và với f ∈ HomR(M, C) sao cho p = AnnR(f), khi đó A = M/Kerf là một môđun thương artin của M sao cho p = AnnR(A). Theo [15, trang 127] thì ⋂ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝐴) = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝐴), tức là p ∈ Coass(A), p ∈ Coass(M) theo yêu cầu. Trong trường hợp vành địa phương, để chỉ ra (iii) ta có thể thay thế môđun artin C bởi E: p ∈ Ass(HomR(M, C)) và C ⊂ En kéo theo p ∈ Ass(HomR(M, E)n) = Ass(M0). Bổ đề 2.3.4. Với mỗi R-môđun M. Các điều sau là tương đương: (i) Mỗi môđun thương của M thỏa điều kiên max đối với lớp các hạng tử trực tiếp của M. (ii) X1, X2,là một họ các môđun con của M sao cho Xn+( 1 ii n X ∞ = + ) = M với mọi n ≥ 1, khi đó Xi = M với hầu hết các i. 27 Trong trường hợp này M có một môđun con hữu hạn sinh M0, khi đó M/M0 là môđun căn. Chứng minh: (i ⇒ ii) Với Xi như giả thiết, ta có: An = X1∩ ∩ Xn và Bn = Xn+1∩ ∩ Xn+2 ∩ với mọi n ≥ 1 thì An+ Bn = M. Thật vậy, rõ ràng là cho n = 1 và cũng với n > 1 ta có bằng cách qui nạp: An+ Bn = (Bn-1 + An-1) ∩ Xn + Bn = Xn + Bn = M. Với D = ⋂ 𝑋𝑖∝𝑖=1 sao cho (An/D) ⨁ (Bn/D) = M/D với mọi n ≥ 1. Theo giả thiết thì Am = D với mỗi m ≥ 1, Bm = M, Xm+1 = Xm+2 = = M như yêu cầu. (ii ⇒ i) Bởi vì (ii) nên kế thừa các môđun thương, chúng ta cần chứng minh điều kiện max trong M. Thật vậy, từ dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ các hạng tử trực tiếp trong M, chúng ta chọn V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ sao cho Vi ⨁ Ui = M với mọi i, ta đặt Xi = Vi+1 ⨁ Ui và vì Xn + (⋂ 𝑋𝑖∝𝑖=𝑛+1 ) = M với mọi n ≥ 1 nên Un+1 nằm trong phần giao. Theo giả thiết ta có Xm = Xm+1 = M với mỗi m ≥ 1, từ đó Vm = Vm+1 = Và cuối cùng Um = Um+1 = như yêu cầu. Giả sử M0 không là môđun hữu hạn sinh, chúng ta xây dựng một họ các môđun tối đại (Xi)i>0 của M và một họ các môđun con cyclic (Vi)i>0 của M để Vi + Xi = M và V1 + + Vi ⊂ Xn+1 với mọi i ≥ 1 Thật vậy, ta có X1 ,, Xn và V1 ,, Vn như yêu cầu, vì vậy theo giả thiết M/( V1++ Vn ) không là môđun căn, tức là có một môđun con tối đại Xn+1 của M thỏa mãn V1++ Vn ⊂ Xn+1 và tức nhiên cũng có một môđun con cyclic Vn+1 của M sao cho Vn+1 + Xn+1 = M. Từ hai họ trên ta có Vn ⊂ Xn+1 ∩ Xn+2 ∩ vì vậy Xn + (⋂ 𝑋𝑖∝𝑖=𝑛+1 ) = M với mọi n ≥ 1 và Xi = M với hầu hết các i, điều này là mâu thuẫn. Định nghĩa 2.3.5. Cho M là một R-môđun. Khi đó một tập các môđun con của M được gọi là đối độc lập nếu mỗi cặp phần tử khác nhau X1 ,, Xm từ tập này luôn có X1 +(X2 ∩∩ Xm) = M. Mệnh đề 2.3.6. Cho mỗi R-môđun M. Các điều sau tương đương: (i) Mỗi tập đối độc lập các môđun con của M là hữu hạn. 28 (ii) X1, X2 , là một họ của các môđun con của M sao cho (X1⋂⋂Xn-1) + Xn = M với mọi n ≥ 2, khi đó Xi = M với hầu hết các i. (iii) M là môđun bổ sung yếu và mỗi môđun thương của M thỏa mãn điều kiện max đối với lớp các hạng tử trực tiếp của M. (iv) M là thặng dư cốt yếu của tổng trực tiếp hữu hạn các môđun không phân tích được. (v) M là thặng dư cốt yếu của một môđun artin. Nếu R là vành địa phương thì tương đương tiếp theo với: (vi) M0 là 𝑅�-môđun có chiều Goldie hữu hạn. Chứng minh : (i ⇒ ii) Với mỗi họ như vậy ta có Xn + ( ⋂ 𝑋𝑖𝑚𝑖=1 𝑖≠𝑛 ) = M với mọi 1 ≤ n < m. Theo giả thiết thì ( X1 ∩ ∩ Xm-1 ) + Xm = M. ( X1 ∩ ∩ Xm-2 ) + ( Xm-1 ∩ Xm ) = M. ( X1 ∩∩ Xn ) + ( Xn+1 ∩ ∩ Xm ) = M. Với n >1 ta tách X1 ∩.∩ Xn-1 ra và sau đó thêm Xn vào ta có điều phải chứng minh. Giả sử rằng trong họ (Xi)i>0 ta có vô hạn Xi ≠ M, do đó ta có một họ (Yi)i>1 các môđun con khác M sao cho (Y1∩.∩Yn+1) + Yn = M với mọi n ≥ 2. Với mọi 1 ≤ n < m thì Yn + Ym = M tức là Yn ≠ Ym, và theo (2.3.5) thì tập { Y1, Y2, Y3,} là đối độc lập. Nhưng điều đó là không thể. (ii ⇒ iii) Giả sử M không phải là môđun bổ sung yếu, chúng ta xây dựng một họ X1, X2, các môđun con khác M sao cho (X1∩∩Xn-1) + Xn = M với mọi n ≥ 2. Tiếp tục ta lấy X1 ⊂ M không là bổ sung yếu trong M. Khi đó X1 ≠ M, X1 cũng không nhỏ trong M, tức là X1 + X2 = M với X2 ≠ M. Nếu ta có X1, X2,, Xn như yêu cầu (n ≥ 2) thì X1 + ( X2 ∩∩ Xn) = M (xem các biến đổi trong chứng minh của (i → ii)). Mặt khác X1 + (X2 ∩∩ Xn) không nhỏ trong M nên ⋂ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 +Xn+1 = M với mỗi Xn+1 khác M. 29 Đối với điều kiện max mong muốn, theo (2.3.4) ta có một họ X1, X2,các môđun con của M sao cho Xn + (⋂ 𝑋𝑖∝𝑖=𝑛+1 ) = M với mọi n ≥1. Khi đó (X1 ∩∩ Xn-1) + Xn = M với mọi n ≥ 2, do đó theo giả thiết Xi = M với hầu hết các i. (iii ⇒ i) Giả sử có một tập đối độc lập vô hạn các môđun con. Khi đó ta có thể có được một họ {Y1, Y2,.} với các Yi khác biệt. Từ Vn = Y1 ∩∩ Yn (n ≥ 1) ta chọn một dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3⊂ với Vi là bổ sung yếu của Ui trong M (ta đã có U1,, Un và W là một bổ sung tương đối của Un+ Vn+1 trong M nếu Un+1 = W + Un). Với Xi = Vi+1 + Ui kéo theo Xn+ (⋂ 𝑋𝑖∝𝑖=𝑛+1 ) = M với mọi n ≥ 1, nghĩa là theo (2.3.4) thì Xm = Xm+1 = .= M với mỗi m ≥ 1. Với mọi i ≥ m thì Vi+1 + Ui = M, Vi+1 + (Ui ∩ Vi) = Vi là tập đối độc lập nên Vi+1 + Yi+1 = M tức là Ym+1 = Ym+2== M, điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn Yi. (ii ⇒ v) Giả sử M không là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, khi đó M khác 0 và có một X1 ⊂ M sao cho M/X1 cũng là artin khác 0. Bởi vì X1 không nhỏ trong M nên X1 +X2 = M với M/X2 là arin khác 0. Vì vậy bằng cách qui nạp ta có một họ X1, X2, các môđun con của M sao cho (X1∩.∩Xn-1) + Xn = M và M/Xn là artin khác 0 với mọi n ≥ 2. Mặt khác Xi = M với hầu hết các i và điều này là mâu thuẫn mong muốn. (v ⇒ vi) M là thặng dư cốt yếu các môđun artin A, nó đủ để cho ta thấy rằng A có tính chất mong muốn. Nếu A là môđun 0 hoặc không phân tích được thì hoàn tất chứng minh. Ngược lại nếu A = U1+ U2++Un với Ui không phân tích được và ta có thể giả sử rằng bất kì Ui là không cốt yếu. Với Di = U1++ Ui-1 + Ui+1 ++ Un thì A/Di là không phân tích được (1 ≤ i ≤ m) tức là có f: A → ∏ (𝐴/𝐷𝑖𝑛𝑖=1 ) là song ánh và Kerf = ∑ (𝑈𝑖 ∩ 𝐷𝑖)𝑛𝑖=1 nhỏ trong A, nghĩa là f là một toàn cấu cốt yếu. (iv ⇒ ii) Mỗi môđun không phân tích được là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, vì vậy M cũng là sự thặng dư cốt yếu của một môđun artin A và tất nhiên A thỏa điều kiện (iii) cũng như (ii) và bởi vì các tính chất (ii) nên M là thặng dư cốt yếu. Với R là một vành địa phương, cho bất kỳ môđun M như trong [14, trang 59] để chứng minh rằng một môđun con U của M, U nhỏ trong M khi và chỉ khi AnnM0(U) là lớn trong M0 trên 𝑅�. Trong trường hợp (v ⇒ vi) U là một môđun con nhỏ trong M với môđun artin thương M/U thì AnnM0(U) như là 𝑅�-môđun hữu hạn sinh và lớn trong M0, tức là M0 có chiều Goldie hữu hạn. Đảo ngược trong (vi ⇒ v) thì H là một môđun hữu hạn sinh, lớn trong 30 𝑅�-môđun M0, tức là H = AnnM0(U) với một R-môđun con U của M (tức là U = AnnM(H)), và khi đó U nhỏ trong M, M/U là môđun artin nh