Luận văn Một số tính chất của phương trình monge - Ampère phức và lý thuyết đa thế vị

uộc K) 23 Vì jT có hệ số là độ đo ta có jvT vT→ . Để hoàn thành chứng minh ta kết hợp hai điều này với bất đẳng thức tam giác.  Định lý 1.5.10. (Định lý hội tụ của dãy tăng). Cho { } 1 j k j u ∞ = là dãy bị chặn đều địa phương các hàm đa điều hòa dưới trên Ω với 1,2,..., ;k N= và cho ( )jk k locu u PSH L∞↑ ∈ ∩ Ω hầu khắp nơi khi j →∞ với 1,2,...,k N= . Khi đó 1 1... ... c j c j c c N Ndd u dd u dd u dd u∧ ∧ → ∧ ∧ . Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp quy nạp trên N . Giả sử N n< 1 1... ... c j c j c c j N NT dd u dd u dd u dd u T= ∧ ∧ → ∧ ∧ = Chỉ cần chỉ ra rằng với các hàm đa điều hòa dưới jv v↑ ta có j jv T vT→ Khi đó theo định lý Stokes 1 1... ... c c j c j c c c j N Ndd v dd u dd u dd v dd u dd u∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ Áp dụng nguyên lý địa phương hóa ta giả sử BΩ = và tất cả các hàm đa điều hòa dưới có liên quan bằng với ( )h PSH∈ Ω trong một lân cận của B∂ . Do Hệ quả 1.5.9 ta được lim limj j jv T vT vT≤ = . Từ bất đẳng thức này ta hoàn thành chứng minh khi ta chứng minh được rằng lim j j B B v T vTα α∧ ≥ ∧∫ ∫ , với dạng dương sơ cấp α song bậc ( ),n N n N− − tùy ý. Bất đẳng thức cuối cùng thu được bằng cách sử dụng Hệ quả 1.5.9 và định lý Stokes với 1 1cT dd u S= ∧ 24 1 1 1 1 1 1 lim lim jj j s j B B c s s B B c c s B B B v T v T v T v dd u S u dd v S u dd v S vT α α α α α α α →∞∧ ≥ ∧ = ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧ → ∧ ∧ = ∧ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ trong đó sự hội tụ của dòng cuối cùng (với s →∞ ) suy ra từ giả thiết quy nạp.  1.6. Nguyên lý so sánh Nguyên lý so sánh là một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị. Nó khai thác đầy đủ tính dương của cdd u với u là hàm đa điều hòa dưới Định lý 1.6.1. (Nguyên lý so sánh). Cho Ω là tập con mở bị chặn của n . Với ( ),u v PSH L∞∈ ∩ Ω thỏa mãn ( )( )lim 0z u vζ ζ→ − ≥ với bất kỳ z∈∂Ω ta có ( ) { } ( ) { } n nc c u v u v dd v dd u < < ≤∫ ∫ Chứng minh. Xét trường hợp ,u v C∞∈ và { }E u v= < ⊂⊂ Ω có biên trơn. Đặt ( )max , 1/kv v u k= + theo định lý Stokes ta được (1.1) ( ) ( ) ( ) ( )1 1n n n nc c c c c ck k k E E E E dd v d v dd v d u dd u dd u − − ∂ ∂ = ∧ = ∧ =∫ ∫ ∫ ∫ do 1/kv u k= + trong lân cận của E∂ . Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề 1.5.6 cho kv v↓ trên E với bất kỳ tập compact K E⊂ và ( )0 ,0 1C Eφ φ∞∈ ≤ ≤ với 1φ = trên K ( ) ( ) ( ) ( )lim limn n n nc c c ck k K E dd v dd v dd v dd vφ φ= = ≤∫ ∫ ∫ ∫ . Do đó ( ) ( )limn nc c k E E dd v dd v≤∫ ∫ Kết hợp điều này với (1.1) ta có điều phải chứng minh. 25 Trong trường hợp tổng quát giả sử , 1u v > , và tìm một tập mở U sao cho ( ) 0 0, ,cap U u u v vε< = = trên \UΩ với 0u và 0v là hàm liên tục nào đó. Cho kv v↓ và ku u↓ là chính quy hóa sao cho với ( ) { }0 0 0:E u vδ δ= < − và ( ) { }:k k kE u vδ δ= < − ta có ( ) ( )0 2 \ \kE U E Uδ δ⊂⊂ và ( ) ( )0\ 0kE U Eδ∪ ⊂⊂ . Theo định lý Sard ta có thể giả sử (thay đổi δ nếu cần) biên của ( )kE δ là trơn. Vì với bất kỳ 0δ ≥ ta có ( ) ( ) ( ) { }0\ \ , :E U E U E u vδ δ δ δ= = < − , Ta có thể áp dụng phần đầu của chứng minh để suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 \ 2 \ 0 0 lim lim lim 2 2 k k k n nc c E U E U n nc c k k E U E n n nc c c k E E E U dd v dd v dd v dd v dd u dd u dd u δ δ δ δ δ ε ε ε ε ∪ ∪ = ≤ ≤ + ≤ + ≤ + ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Suy ra điều phải chứng minh nếu ta cho ,ε δ tiến đến 0.  Hệ quả 1.6.2. Với giả thiết của định lý 1.6.1 bất đẳng thức ( ) ( )n nc cdd u dd v≤ kéo theo v u≤ . Nếu ( ) ( )n nc cdd u dd v= và ( )( )lim 0 z u v ζ ζ → − = với z∈∂Ω thì u v= . Chứng minh. Giả sử trái lại rằng với 0ε > tập { }E u v ε= < − khác rỗng và cố định hàm đa điều hòa dưới âm ngặt ρ sao cho ρ ε> − trong Ω . Sau đó, sử dụng Định lý 1.6.1 ta gặp mâu thuẩn với giả thiết do ( ) { } ( )( ) { } ( ) { } n n nc c c u v u v u v dd v dd v dd u ρ ρ ρ ρ < + < + < + ≤ + ≤∫ ∫ ∫ Phần thứ hai suy ra từ phần thứ nhất.  Tiếp theo ta ước lượng độ đo Monge-Ampère của cực đại của hai hàm đa điều hòa dưới. Định lý 1.6.3. Cho Ω là tập con mở của n . Giả sử ( ), locu v PSH L∞∈ ∩ Ω . Khi đó ( )( ) { } ( ) { } ( )max , n n nc c c u v u vdd u v dd u dd vχ χ≥ <≥ + , 26 trong đó Eχ là ký hiệu hàm đặc trưng của tập E. Chứng minh. Ta chỉ cần ước lượng trên tập compact tùy ý { }K u v⊂ ≥ . Giả sử 1,u < cố định 0ε > và lấy tập mở U sao cho ( ) 0 0, ,cap U u u v vε< = = trên \UΩ với 0 0,u v là hàm liên tục nào đó. Với dãy ju giảm về u và { }0 0: , 0tV v u t t= ta có jv u t< + trên \tV U . Vì thế, theo định lý hội tụ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) \ \ \ lim lim 2 lim max , 2 max , 2 t t t t n n nc c c j jj j K V U V U n nc c j j V U V U dd u dd u dd u dd u t v dd u t v ε ε ε →∞ →∞ ∪ →∞ ≤ ≤ + = + + ≤ + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Do \tV U giảm về { } \u v U≥ khi t tiến đến 0. Ước lượng còn lại cũng được suy ra bằng cách áp dụng định lý hội tụ.  1.7. Hàm cực trị tương đối Một miền Ω được gọi là siêu lồi nếu tồn tại hàm khác không ( ) ( )u PSH C∈ Ω ∩ Ω sao cho 0u = trên ∂Ω . Định nghĩa 1.7.1. Cho E là tập con của miền nΩ⊂  ta định nghĩa hàm cực trị tương đối bởi công thức ( ){ }, sup : 0, à 1 trênE Eu u u PSH u v u EΩ = = ∈ Ω < ≤ − Do bổ đề Choquet Eu là giới hạn của dãy các hàm đa điều hòa dưới tăng. Do đó ( )*Eu PSH∈ Ω . Mệnh đề 1.7.2. i) Nếu 1 2E E⊂ thì 2 1E Eu u≤ . ii) Nếu 1 2E ⊂ Ω ⊂Ω thì 2 1, ,E Eu uΩ Ω≤ . iii) Nếu jK K↓ , với jK là tập compact trong Ω thì ( ) * * *lim jK K u u= . 27 Chứng minh. i) ii) và bất đẳng thức “≤ ” trong iii) hiển nhiên. Chứng minh bất đẳng thức ngược lại ta xét ( ) , 0u PSH u∈ Ω ≤ với 1u ≤ − trên K . Lấy 0ε > tập mở { }1U uε ε= < − + chứa K . Do đó, với j đủ lớn jK Uε⊂ và * jK u uε− ≤ . Lấy cận trên đúng của tất cả các hàm u như thế ta được *lim jK K u uε− ≤ . Cho ε dần về 0 ta có điều phải chứng minh.  Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng đối với các tập compact cận trên đúng trong định nghĩa của dung lượng tương đối đạt được khi *Eu u= . Dung lượng ngoài *cap xác định như sau ( )* , inf{cap E Ω = ( ), , ,cap U E U UΩ ⊂ mở} Định lý 1.7.3. Cho tập compact tương đối E trong miền siêu lồi Ω ta có ( ) ( )** , nc Ecap E dd u Ω Ω = ∫ Nếu jE E↓ là một dãy các tập compact thì ( ) ( ) ( )lim , , * ,jj cap E cap E cap E→∞ Ω = Ω = Ω . Chứng minh. Áp dụng bổ đề Choquet ta có thể tìm được một dãy tăng 1ju ≥ − với ( )* *lim j Eu u= . Sử dụng nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère (định lý 2.6 sau đây) ta tìm được jv sao cho * j j Eu v u≤ ≤ và ( ) 0 nc jdd v = trên một quả cầu cố định ( ), \B z r E⊂ Ω . Áp dụng Định lý 1.5.9 cho dãy jv ta có ( )* 0 nc Edd u = trên ( ),B z r và vì vậy ( )* 0nc Edd u = trên \ EΩ . Do * 1Eu = − trong int E ta kết luận ( )* nc Edd u có giá là E∂ . Bây giờ, giả sử E E= và cố định một hàm vét cạn đa điều hòa dưới h trên Ω với 1h < − trên E . Khi đó ta chọn dãy ju như trên sao cho jh u≤ . Lấy tùy ý ( ) , 1 0v PSH v∈ Ω − ≤ < và với 0ε > đủ nhỏ đặt ( )( )max , 1 2j jh u vε ε= − − . 28 Nhận xét rằng ( )1 2jh vε ε= − − trên E và j jh u= trên \ 'Ω Ω trong đó 'Ω ⊂⊂Ω . Hơn nữa, 1 0jhε− + ≤ ≤ và với ε đủ nhỏ ta có 'E ⊂ Ω . Các tính chất đó cùng với việc 'Ω có thể được chọn với biên trơn để áp dụng định lý Stokes ta nhận được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 1 2 n n n n nc c c c j j j E E dd v dd h dd h dd uε Ω Ω − = ≤ =∫ ∫ ∫ ∫ . Từ định lý 1.5.9 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * ' ' 1 2 lim n n n n nc c c c j E E E E dd v dd u dd u dd uε Ω Ω − ≤ ≤ =∫ ∫ ∫ ∫ , ở đây đẳng thức cuối cùng suy ra từ phần đầu tiên của chứng minh. Do đó (1.2) ( ) ( ) ( )* *, n nc cE E E cap E dd u dd u Ω Ω = =∫ ∫ Do Định lý 1.5.9 và Mệnh đề 1.7.2 ta có ( ) ( ) ( )lim , , * ,jcap E cap E cap EΩ = Ω = Ω , với đẳng thức thứ hai có được bằng cách lấy jE với int jE E⊂ . Để nhận được phần đầu của khẳng định trong định lý cho trường hợp E tùy ý ta chú ý rằng với tập compact tương đối, mở V ta có ( ) ( )*, nc Vcap V dd u Ω Ω = ∫ Điều này được suy ra từ Định lý 1.5.5 áp dụng cho * jK u với jK dãy vét cạn các tập compact của V . Bây giờ nếu E V⊂ thì theo Định lý 1.6.1 ( ) ( ) ( )* * ,n nc cE Vdd u dd u cap V Ω Ω ≤ = Ω∫ ∫ . Do đó ( ) ( )* * ,nc Edd u cap E Ω ≤ Ω∫ . 29 Với bất đẳng thức ngược lại ta xét ju và chọn h như trên. Với 1jt ↓ tập { }1j j jV t u= < − . Khi đó jV giảm, jE V⊂ và * jj j V t u u≤ . Do đó * * jV E u u↑ hầu khắp nơi và theo Định lý 1.5.9 ( ) ( )* *lim j nnc c E Vdd u dd u Ω Ω =∫ ∫  1.8. Tập hợp nhỏ Định nghĩa 1.8.1. Một tập E trong n được gọi là tập đa cực nếu với z E∈ tùy ý tồn tại một lân cận V của z và ( )v PSH V∈ sao cho { }E V v∩ ⊂ = −∞ . Nếu { }E v⊂ = −∞ với ( )nv PSH∈  ta gọi E tập đa cực toàn cục. Tuy nhiên, khái niệm này dư thừa do Định lý Josefson được chứng minh bên dưới nói rằng với bất kỳ tập con đa cực trong n thì đa cực toàn cục. Định nghĩa 1.8.2. Một tập con E của một tập mở nΩ⊂  được gọi là tập bỏ qua được (tập không đáng kể) nếu { }*E u u⊂ < , trong đó ( )sup ,s su u u PSH= ∈ Ω . Họ su ở đây có thể chọn là họ đếm được theo hệ quả Choquet. Nếu { }E v⊂ = −∞ với ( )v PSH∈ Ω thì E là tập bỏ qua được do { }*E u u⊂ < với sup /ju v j∈=  . Ta sẽ thấy chiều ngược lại vẫn đúng và tập bỏ qua được là tập đa cực. Mệnh đề 1.8.3. Trong một miền siêu lồi Ω các điều kiện sau là tương đương: 1) { }E v⊂ = −∞ với ( ) , 0v PSH v∈ Ω < . 2) * , 0Eu Ω = . 3) ( )* , 0cap E Ω = . Chứng minh. ) )( )1 2→ Nếu 1) thỏa thì với bất kỳ 0ε > ta có Ev uε ≤ . Do đó 0Eu = bên ngoài tập { }v = −∞ mà nó có phần trong khác rỗng. Vì vậy * 0Eu = . ) )( )2 1→ Ta chọn ju như trong chứng minh Định lý 1.7.3 cùng với tính chất 2 jj nu dV − Ω <∫ . Khi đó jv u=∑ là đa điều hòa dưới trong Ω và bằng −∞ trên E . 30 (2) ↔ (3) là do định lý 1.8.3 và hệ quả 1.6.2 Một trong các kết quả quan trọng trong lý thuyết đa thế vị được sử dụng sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ đa thức, động lực phức và nhiều nơi khác, là chỉ ra sự giống nhau của tập bỏ qua được và tập đa cực.  Định lý 1.8.4. (Bedoford-Taylor). Tập bỏ qua được là tập đa cực. Chứng minh. Theo mệnh đề 1.8.3 ta chỉ cần chứng minh rằng một tập bỏ qua được E thỏa mãn ( )* , 0cap E Ω = . Cho ju là dãy trong định nghĩa tập bỏ qua được và sup ju u= . Cố định 0ε > và tập ( ){ }: ,z dist zε εΩ = ∈Ω ∂Ω > . Sử dụng tính tựa liên tục của ju chọn tập mở U sao cho ( ),cap U εΩ < và tất cả ju liên tục trên phần bù của U trong Ω . Với số hữu tỷ s t< đặt { }\ : ( ) *( )stK z U u z s t u zε= ∈Ω ≤ < ≤ . Khi đó ( ) \E UεΩ ∩ có biểu diễn như là hợp (đếm được) các tập compact như thế. Như vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng ( ), 0cap K Ω = với stK K= . Lâp luận phản chứng, ta giả sử đẳng thức này sai và tồn tại ( )h PSH C∈ ∩ Ω với 1 0h− ≤ < và ( ) 0nc K dd h >∫ . Áp dụng nguyên lý địa phương hóa ta có thể giả sử h là hàm vét kiệt và với j tùy ý ta có ju h= bên ngoài tập con compact của Ω . Đặt j jv u h= + và *v u h= + . Khi đó bởi theo định lý Stokes và Mệnh đề 1.4.2 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 0 . 0 nn n k n kc c c c c j j j k n nc c j K K h dd v dd v v v dd h dd v dd v v v dd h t s dd h const − − − =  − − = − ∧ ∧   ≥ − ≥ − > > ∑∫ ∫ ∫ ∫ Mâu thuẩn với Định lý 1.5.9 và Hệ quả 1.5.8.  Định lý 1.8.5.(Josefson). Với bất kỳ tập con đa cực E của n tồn tại ( )nh PSH∈  với { }E h⊂ = −∞ . 31 Chứng minh. Do định nghĩa jE E= ∪ trong đó ( ),j j jE B a r⊂ và ( )( ),j j jv PSH B a r∈ nào đó ta có jv = −∞ trên jE . Cố định một dãy các số nguyên dương ( )j k trong đó mỗi số nguyên lặp lại vô hạn lần và sao cho ( ) ( )( ) ( )( ), 0,exp 2k kj k j kB a r B B⊂ = . Bởi Mệnh đề 1.7.2 và 1.8.3 ( ), 1 * 0 j k Bk Eu + = . Do đó ta tìm được ( )1k ku PSH B +∈ với 1 0; 1k ku u− ≤ < = − trên ( )j kE và 2 k k k n B u dV −<∫ . Đặt ( ) ( ) ( )( ) 1 1 ên max ,2 log 2 ên \ 2 log 2 ên \ k k k k k k k k n k u z tr B h z u z z tr B B z tr B − + − +  = −  −  Khi đó ( )njh h PSH= ∈∑  do trên kB các số hạng ,jh j k> âm và chuỗi hội tụ theo cách chọn ku . Hơn nữa, vô hạn số hạng của chuỗi bằng -1 trên ( )j kE . Do đó { }E h⊂ = −∞ . Chú ý. ( ) ( )log 1h z z< + . 32 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE (Nội dung chương này được trích từ [KO].) Mục đích chính của mục 2.1 là chỉ ra sự tồn tại nghiệm đa điều hòa dưới liên tục trong bao đóng Ω của một miền giả lồi ngặt của bài toán Dirichlet với điều kiện biên liên tục và vế phải của phương trình Monge Ampère phức là d fdVµ = , 0f ≥ liên tục trong Ω . Nội dung chính của mục này là định lý 2.6. Định lý chỉ ra rằng bao trên của họ các nghiệm dưới đa điều hòa dưới là nghiệm của bài toán Dirichlet. Mục 2.2 tổng quát hóa Định lý 2.6 bằng cách làm yếu các hạn chế vế phải của phương trình Monge Ampère phức ở trong mục 2.1 . Nội dung chính của mục này là chỉ ra sự tồn tại nghiệm đa điều hòa dưới bị chặn trong Ω với vế phải phương trình thuộc lớp các độ đo Borel không âm liên kết với một hàm chấp nhận được. 2.1. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampère phức với dữ liệu liên tục. Trong suốt phần này ta sẽ làm việc trong một miền giả lồi ngặt Ω . Mục đích chính là tìm nghiệm cho bài toán Dirichlet sau ( )u PSH C∈ ∩ Ω (*) ( )ncdd u fdV= ( ) ( ) ( ) ' lim ' , z z u z z z Cϕ ϕ → = ∈∂Ω ∈ ∂Ω , với hàm f không âm tùy ý và liên tục trong bao đóng của Ω . Nghiệm như thế luôn tồn tại duy nhất theo Hệ quả 1.6.2 Ký hiệu 𝒞 là nón các ma trận Hec-mit không âm n n× và định nghĩa trên 𝒞 một hàm cộng tính trên thuần nhất ( ) 1/det ,nF A A A= ∈ 𝒞 Ta cũng xét không gian M các độ đo trên Ω nhận giá trị trong 𝒞 và đặt 33 ( ) ( )( )inf j j F E F Eµ µ= ∑ , trong đó cận dưới đúng được lấy trên tất cả các phân hoạch { }jE của E thành hữu hạn các tập Borel rời nhau. Bổ đề 2.1. a) Fµ là độ đo vô hướng. b) ( )F t tFµ µ= với 0t > và ( )F F Fµ ν µ ν+ ≥ + . c) ( )F F Fµ ν µ ν+ = + nếu µ và ν kỳ dị với nhau. d) ( )F µ ν µ ν− ≤ − trong đó . kí hiệu biến phân toàn phần của độ đo. e) Nếu ν là độ đo không âm, h là hàm nhận giá trị trong 𝒞 và ( ) E E hdµ ν= ∫ thì ( ) ( ) E F E F h dµ ν= ∫ . f) Nếu dãy jµ các độ đo nhận giá trị trong 𝒞 hội tụ yếu đến µ thì lim jF Fµ µ≥ . g) Nếu ρ là hàm thử thì ( )F Fµ ρ µ ρ∗ ≥ ∗ . Chứng minh. g). Do bất đẳng thức Jensen ( )( ) ( ) { }( ) ( )( ) ( ) { }( ) ( ) j j j F E F z E z dV z z E z dV z µ ρ ρ µ ρ µ ∗ = − ≥ − ∫ ∫ Lấy tổng theo j ( )( ) ( ) { }( ) ( )( )j j j j F E z F E z dV zµ ρ ρ µ∗ ≥ −∑ ∑∫ ( ) { }( ) ( ) ( )z F E z dV z F Eρ µ µ ρ≥ − = ∗∫  Với hàm đa điều hòa dưới u ta định nghĩa 34 ( ) ( ) 2 1/4 ! n j k uu n F z z φ  ∂ =   ∂ ∂  . Nhận xét rằng với u trơn ta có ( ) ( )nc ndd u u dVφ= . Toán tử φ có các tính chất sau: Mệnh đề 2.2. a) ( ) ( )tu t uφ φ= với 0t > và ( ) ( ) ( )u v u vφ φ φ+ ≥ + . b) Nếu ρ là hàm thử thì ( ) ( )u uφ ρ φ ρ∗ ≥ ∗ . c) Nếu dãy các hàm đa điều hòa dưới ju hội tụ yếu đến u và ( )juφ hội tụ yếu thì ( ) ( )lim ju uφ φ≥ . d) Với chính quy hóa của u ta có ( ) ( )lim u uεφ φ= . e) ( )( ) ( ) ( )( )max , min ,u v u vφ φ φ≥ . Chứng minh. Ba khẳng định đầu tiên suy ra từ Bổ đề 2.1. Đối với d) nhận xét rằng theo b) và c) ) ta có ( ) ( ) ( ) ( )lim limu u u uε εφ φ φ ρ φ≥ ≥ ∗ = . Khẳng định e) đúng với u và v trơn (xem định lý 1.6.3). Tổng quát, xét chính quy hóa ju u↓ và jv v↓ . Chuyển qua dãy con, ta giả sử tất cả ( ) ( ) ( )( ), , max ,j j j ju v u vφ φ φ và ( ) ( )( )min ,j ju vφ φ hội tụ yếu. Sau đó áp dụng b) và c) ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) max , lim max , lim min , lim min , lim min , min , . j j j jj j j j jj j u v u v u v u v u v u v φ φ φ φ φ ρ φ ρ φ φ ρ φ φ ≥ ≥ ≥ ∗ ∗ ≥ ∗ =  Bây giờ ta quay lại với Bài toán Dirichlet (*). Ta định nghĩa họ nghiệm dưới: ( ) ( ) ( ) 1 : ,nS v PSH C v f dV vφ ϕ∂Ω   = ∈ Ω ∩ Ω ≥ ≤    và bao trên của nó 35 sup S u v= . Hàm này là nghiệm của bài toán Dirichlet. Nhận xét rằng S khác rỗng vì nếu ρ là hàm đa điều hòa dưới ngặt, thuộc lớp 2C , vét cạn đối với Ω thì với hằng số , 0A B > đủ lớn ta có A B Sρ − ∈ . Hơn nữa, với ,u v S∈ ta có ( )max ,u v S∈ (định lý 1.6.3). Mệnh đề 2.3. Bao trên sup S u v= là liên tục và thuộc S . Hơn nữa, nếu 1 nf và ϕ là Lipschitz thì u cũng Lipschitz. Chứng minh. Đầu tiên giả sử rằng dữ liệu biên ϕ là trơn và mở rộng nó tới hàm trơn trong bao đóng của Ω . Với ρ như trên và A đủ lớn ta có 0v A Sρ ϕ= + ∈ và ( ) 1 0 max nv f dVφ ≥ . Khi đó với h điều hòa trong Ω và bằng với ϕ trên biên 0v u h≤ ≤ , Khi đó ta có u liên tục trên ∂Ω . Cố định 0ε > và một tập compact K ⊂ Ω . Lấy 0 .z K∈ Lấy v S∈ với ( ) ( )0 0v z u z ε> − và 0v v≤ . Để chứng minh sự liên tục của u trên K ta sẽ chứng minh rằng với a nhỏ hàm ( ).v a + sát với biên cũng thuộc S . Ta có thể tìm được 0δ > sao cho với bất kỳ ω∈∂Ω ( ) ( )h z ϕ ω ε− < và ( ) ( )0v z ϕ ω ε− < nếu z ω δ− < . (Nhận xét rằng nếu ϕ và ov Lipschitz với hằng số Lipschitz M thì ta có thể chọn / Mδ ε= ). Do đó ( ) ( )v z ϕ ω ε− < với z như thế. Vì vậy, nếu a δ< và z a+ ∈∂Ω thì ( ) ( ) ( )v z a z a v zε ϕ ε+ − < + < + Suy ra 36 ( ) ( ) ( ) ( )( )1 max , 2 z+a v z khi z a v z v z v z a khiε  + ∉Ω=  + − ∈Ω xác định tốt và 1v ϕ= trên ∂Ω . Giả sử ω kí hiệu mô đun của tính liên tục của 1 nf . Vì ( )( ) ( ) 1 . .nv a f aφ + ≥ + Sử dụng Mệnh đề 2.2e ta có ( ) ( ) 1 1 1 min , .n nv f f aφ   ≥ +    . Vì vậy với ( )2 1 0v v a vω= + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 nv v a v f dVφ φ ω φ≥ + ≥ Do đó ( )2 0v a v Sω− ∈ và (2.1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 0 0 0 0 2 3 4 u z a v z a a v v z a v v z u z ω ε ω ε ε − ≥ − − > − − > − > − với a đủ nhỏ. Vậy u liên tục. Hơn nữa, nếu 1 nf là Lipschitz thì ( )aω tỉ lệ với a và do đó δ có thể chọn để tỉ lệ với ε . Theo bổ đề Choquet tồn tại ju S∈ tăng (đều) đến u . Ta giả sử ( )juφ hội tụ và sử dụng Mệnh đề 2.2 c) có kết luận u S∈ . Nếu ϕ không trơn thì ta xấp xỉ nó bởi dãy giảm các hàm trơn jϕ và nhận xét rằng bao ju tương ứng là hội tụ đều. Hàm giới hạn thuộc S do Mệnh đề 2.2c. Nó là hàm cận dưới lớn nhất của dãy ju và do đó nó là bao mà ta cần tìm.  Mệnh đề 2.4. Bao trên có đạo hàm bậc hai bị chặn với giả thiết bổ sung: Ω là quả cầu đơn vị B , ( ) 1 1,1nf C B∈ và ϕ thuộc lớp 1,1C . 37 Chứng minh. Trong chứng minh ta cần ước lượng biểu thức ( ) ( ) ( )2u z h u z h u z+ + − − Vì biểu thức trên không xác định trên toàn bộ B trước tiên ta thay thế phép tịnh tiến bởi vectơ h và h− với tự các đẳng cấu aT và aT− trong đó với mỗi z đã cho ta có ,h a z a z= − . Ánh xạ được định nghĩa như sau ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 , , 1 , a a a a P z a a z P z z a a T z P z z a a − + − − = = − trong đó .,. kí hiệu tích Hec-mit trong n . Khi đó, tính toán (2.2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 , , det ' 1 2 , a a T z z h a z a T z z a O a ψ= − + = + + với ψ là hàm trơn bị chặn nào đó và 'aT kí hiệu Jacobi của aT . Do đó với ( )0,1g C B∈ tùy ý, (2.3) ( ) ( ) ( )0,1 2 1a C B g T z g z h c g a− − ≤ , Do đó, bởi (2.2) ( )( ) ( )2/ 24det ' 1 ,naT z z a O an= + + Do giả thiết và (2.3), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 ,n naf T z f z a z O aψ= + + trong đó ( ) ( )1 1, ,a z a zψ ψ− = − (theo khai triển Taylor), ta có thể kết luận rằng với hằng số 2c bất đẳng thức sau đúng (2.4) ( ) ( ) 1 1 1 22/ 2/ 2det ' det ' 2 n nn n n a a a aT f T T f T f c a− −     + ≥ −          , Mặt khác, từ giả thiết và áp dụng (2.3) với g ϕ= ta có với hằng số lớn 2c 38 (2.5) 222a aT T c aϕ ϕ ϕ−+ ≤ +  . Ta xét ( ) ( )( )a a av z u T u T z−= +  . Với quy tắc hợp thành ta có ( ) ( ) 12 det ' nna a au T T f Tφ   =       . Từ đây, Mệnh đề 2.2 a) và (2.4) ta có ( ) 1 2 32 nav f c a dVφ   ≥ −    Do đó (từ 2.5) tồn tại hằng số 4c sao cho ( ) ( ) ( )( )2 22 41 1 12 av z v z c a c z S= − + − ∈ , và vì vậy v u≤ . Khi đó ( ) ( )( ) 252 a au z u T u T z c a−≥ + −  . Áp dụng (2.3) với g u= (là ánh xạ Lipschitz theo mệnh đề 2.3) ta được ( ) ( ) ( ) 262u z u z h u z h c a≥ + + − − Ta chính quy hóa bất đẳng thức này (trên một quả cầu nhỏ hơn) được ước lượng ( ) ( ) ( ) 272u z u z h u z h c aε ε ε≥ + + − − Bây giờ, cố định ε và cho a dần về 0 ta kết luận 2D uε là bị chặn trên đều địa phương (bởi ( )c K trên một tập compact K ) . Vì uε là hàm đa điều hòa dưới ta cũng có ( )22 2 2. . 0D u h D u ihε ε+ ≥ và ( ) ( )22 2 2. .D u h D u ih c Kε ε≥ − ≥ − Suy ra đạo hàm bậc hai của u bị chặn địa phương.  39 Định lý 2.5. Giả sử ( ) 1 1,10 nf C B≤ ∈ và ( )1,1C Bϕ∈ ∂ . Khi đó bao u thuộc ( )1,1C B và nghiệm của bài toán Dirichlet (*) nằm trong quả cầu đơn vị. Chứng minh. Tính trơn của u được thể hiện trong Mệnh đề 2.4. Ta cũng biết rằng ( ) 1 nu f dVφ ≥ . Với 1,1u C∈ mật độ của ( )uφ bằng với ( ) 1/ 2 1/4 ! det n n j k un z z   ∂     ∂ ∂   tại điểm tùy ý mà đạo hàm cấp hai tồn tại. Lý luận phản chứng, giả sử rằng bất đẳng thức nghiêm ngặt tại điểm 0z mà tại đó đạo hàm cấp hai xác định. Khai triển Taylor của u tại 0z có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0u z h u z P h H h o h+ = +ℜ + + , trong đó P là đa thức phức (nên Pℜ là hàm đa điều hòa dưới ) và ( ) 2 , j k j k j k uH h h h z z ∂ = ∂ ∂∑ . Vì H là xác định dương nghiêm ngặt ta có với 1t < đủ gần 1, và các số dương r và δ nào đó ( ) ( )( ) ( )0 0 , ,u z P tH h u z h h rδ+ ℜ + < + − = và hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 0 0 0 0 , max , , u z khi z B z r v z u z u z P tH z z khi z B z rδ ∉=  + ℜ + − + ∈ thuộc S . Khi đó ta gặp mâu thuẩn ( ) ( )0 0u z v z δ≤ − .  Định lý 2.6. Bao trên u là nghiệm của bài toán Dirichlet (*) trong miền giả lồi nghiêm ngặt tùy ý. 40 Chứng minh. Trong trường hợp BΩ = ta xấp xỉ đều f và ϕ lần lượt bởi các hàm trơn jf và jϕ . Áp dụng Định lý 2.5 ta được nghiệm ju của (*) ứng với tập jf , jϕ . Từ nguyên lý so sánh ta có ju u→ đều trong B và vì thế ( ) ( ) n nc c jdd u dd u→ do Định lý hội tụ. Do đó u là nghiệm (*). Với Ω tổng quát ta cần chứng minh ( )ncdd u fdV= (xem mệnh đề 2.3). Cố định một quả cầu 0B ⊂ Ω và kí hiệu 1u là nghiệm của bài toán Dirichlet ( ) ncdd u fdV= trong 0B , 1u u= trên 0B∂ . Khi đó v , bằng 1u trong 0B và bằng u nơi khác trong Ω , thuộc S . Do đó v u≤ . Khi đó, do nguyên lý so sánh, 1u u≥ trong 0B , ta kết luận 1u và u bằng nhau trong 0B . Điều này chứng tỏ ( )ncdd u fdV= trong Ω vì định lý đúng cho bất kỳ quả cầu trong Ω . 2.2. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampere phức với nghiệm là hàm đa điều hòa dưới bị chặn. Trong mục này chúng ta tổng quát hóa Định lý 2.6 bằng cách làm yếu các hạn chế vế phải của phương trình. Ta gọi một hàm liên tục tăng ( )1h : ,+ → ∞ là chấp nhận được nếu nó thỏa ( )( ) 11 1 / nxh x dx ∞ − < ∞∫ và nếu với 1 1a ,b> > và 0 0x > ta có ( ) ( )h ax bh x≤ với 0x x> Ta định nghĩa họ các độ đo Borel không âm trong Ω gắn với một hàm chấp nhận được h và một hằng số dương A như sau: ( ) ( ) ( )( ){A,h : K F cap K ,µ µ= ≤ Ω , với ( ) ( )1/ n AxF x h x− = và tập compact K ⊂ Ω tùy ý} Với một hàm :ψ + +→  sao cho ( )x x ψ tăng ra ∞ khi x →∞ ta định nghĩa ( ) ( ) ( )10 00L c f L : f , f dV cψ ψ Ω   = ∈ Ω ≥ ≤    ∫ 41 và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0ncA,h, ,c ; u PSH C : dd u A,h L c , u trênψψ ϕ ϕ= ∈ Ω ∩ Ω ∈ ∩ = ∂ΩP Đặt ( ) ( )( ) ( )( )1 1nh t t log t h log tψ = + + , với h chấp nhận được. Đầu tiên ta chứng minh rằng ( ) ( )0hL c A,hψ ⊂  với A dương. Khi đó, ước lượng tiên nghiệm với chuẩn . ∞ các nghiệm bài toán Dirichlet đối với các độ đo thuộc ( )A,h sẽ được chỉ ra, dẫn đến rằng với ( )0hf L cψ∈ phương trình (*) có nghiệm. Ta bỏ qua chứng minh chi tiết của bổ đề sau. Có thể xem chứng minh trong [KO]. Bổ đề 2.7. Giả sử ( ) ( ) 0u PSH C ,u∈ Ω ∩ Ω = trên ( ) 1nc, dd u∂Ω ≤∫ . Khi đó với 2α < tùy ý độ đo Lebesgue ( )sV Ω của tập { }s : u sΩ = < bị chặn trên bởi ( )2c exp sπα− , trong đó c không phụ thuộc vào u . Bổ đề 2.8. Với hàm chấp nhận được h tùy ý thỏa mãn ( ) ( )1 kh x const. x≤ + với k < ∞ nào đó và với 0 0c > tùy ý, tồn tại 0A > sao cho ( ) ( )0hL c A,hψ ⊂  . Chứng minh. Ta sẽ kiểm tra rằng với 0A > nào đó, ( )0hf L cψ∈ tùy ý và tập compact chính quy K ⊂ Ω tùy ý bất đẳng thức sau đúng (2.6) ( ) ( )( )( ) 11/ n K fdV Acap K , h cap K , − − ≤ Ω Ω  ∫ Đầu tiên, ta nhận xét rằng (2.6) được suy ra từ (2.7) ( )n K v h v fdV A≤∫ , 42 trong đó ( )v PSH∈ Ω có dạng ( )1/ n Kv cap K , u−= Ω với Ku là hàm cực trị tương đối của K đối với Ω . Thật vậy, từ (2.7) ta có Điều này chứng tỏ ta có (2.6). Để chứng