Luận văn Một số tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô và các kết quả liên quan

( )H α là tập con compact đếm được khác rỗng của X. Dãy γ và π được gọi là ω A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3) và mỗi nγ là một phủ của X. Dãy γ và π được gọi là một A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3), (SC4) và mỗi nγ là một phủ của X. Dãy γ và π được gọi là một ω A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất (SC1), (SC2). Dãy γ và π được gọi là một A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất (SC1), (SC2), (SC4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con trù mật Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2) và (C4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C4) khi Y=X. 20 Một không gian X được gọi là q-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2). Một không gian X được gọi là q-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C5) với Y=X. Một không gian X được gọi là quạt-đầy đủ trù mật nếu tồn tại một A- sàng trù mật trên X với tính chất (C1). Một không gian X được gọi là quạt- đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng trên X với tính chất (C1). Theo E.Michael ([27],[23]) : Một điểm x X∈ được gọi là một qD-điểm nếu tồn tại một không gian con trù mật Y của X và một dãy các lân cận { }:nU n ω∈ của x trong X thỏa nếu n n nx Y U∈ ∩ thì dãy { }:nx n ω∈ có một chùm điểm trong X. Nếu Y=X thì x là một q-điểm. Một không gian X được gọi là một q-không gian trù mật nếu mỗi x X∈ là một qD-điểm. Một không gian X được gọi là một q-không gian nếu mỗi x X∈ là một q-điểm. Mọi không gian q-đầy đủ đều là một q-không gian. Cho { }{ }1: , : :n n n n nU A A A nαγ α π ω+= ∈ → ∈ là một ωA-sàng trù mật với tính chất (C2) và 1X =  { ( ) :H α α là một c-dãy}. Khi đó, mọi điểm 1x X∈ là một qD-điểm. Tập 1X là trù mật trong X. Một điểm x X∈ được gọi là một điểm của kiểu đếm được nếu tồn tại một tập con compact F với một cơ sở đếm được của các lân cận mở { }:nU n ω∈ trong X thỏa x F∈ . Một không gian X được gọi là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm nếu mỗi x X∈ là một điểm của kiểu đếm được. 21 2.2. Chú ý: a) Với mọi ωA-sàng { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ tồn tại một A-sàng { }{ }1: , : :n n n n nv V B q B B nβξ β ω+= = ∈ → ∈ và các ánh xạ { }: :n n nh B A n ω→ ∈ thỏa: 1. ( )nX qcl V Uβ β⊆ và 1n n n nh q hπ +=  với mỗi nBβ ∈ và n ω∈ bất kì. 2. Nếu u có tính chất (C1) thì v cũng có tính chất (C1). 3. Nếu u có tính chất (C2) và (C3) thì v cũng có tính chất (C2) và (C3). 4. Nếu u có tính chất (C2) và (C4) thì v cũng có tính chất (C2) và (C4). Hơn nữa, nếu Y là một không gian con trù mật của X và u là một ωA- sàng thì v là một A-sàng trù mật với các tính chất: - Họ nξ là rời nhau với mọi n ω∈ . - { }1 1( ) :n nq B v vµ ββ µ− += ∈ ⊆ với mỗi nBβ ∈ và mọi n ω∈ . - Nếu { }1,2,3,4,5k = và u có tính chất (Ck) thì v cũng có tính chất (Ck). b) Mọi không gian compact yếu là quạt-đầy đủ. Theo các định nghĩa ở trên ta thấy được tính di truyền của các kiểu không gian đầy đủ lên các không gian con đóng qua các phát biểu sau: - Mọi không gian Tychonoff là không gian con đóng của không gian giả compact nào đó, một không gian con đóng của một không gian quạt-đầy đủ không nhất thiết phải là không gian quạt-đầy đủ. 22 - Mọi không gian con đóng của một không gian sàng-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ. - Mọi không gian con đóng của một không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ. - Mọi không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ trù mật. - Mọi không gian sàng-đầy đủ là không gian q-đầy đủ, và mọi không gian q-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ. - Mọi không gian µ -đầy đủ, quạt-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ. - Một không gian X là quạt-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Đối với một không gian quạt-đầy đủ thì tính chất đầy đủ được bảo toàn trên các Gδ -không gian con. Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau: 2.3. Mệnh đề 2.3: Mọi Gδ -không gian con của một không gian quạt-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ. Đặc biệt, mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy đủ. Chứng minh: Cho { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ là một A-sàng với tính chất (C1) trên một không gian X, và cho { }:nY U n ω= ∈ với { }:nU n ω∈ là một dãy các tập con mở trong X. Khi đó, tồn tại một dãy { }{ }: :n nV B nβξ β ω= ∈ ∈ của họ các tập mở trong X, dãy các ánh xạ { }1: :n n nq B B n ω+ → ∈ và { }: :n n nh B A n ω→ ∈ thỏa: 23 - ( )nX n qcl V U Uβ β⊆ ∩ và 1n n n nh q hπ +=  với mỗi nBβ ∈ và với bất kì n ω∈ ; - { } { }1 1: ( ) : ( )n X nV Y V Y q Y cl Uµ β ββ µ β π α− −∩ = ∪ ∩ ∈ =∪ ∩ ∈ với mọi nBµ∈ và n ω∈ ; Khi đó { } 1W W : , : :n n n nY V B q B B nβ β β ω+= = ∩ ∈ → ∈ là một A- sàng với tính chất (C1) trên Y. Mệnh đề sau cho ta thấy được mối quan hệ giữa không gian quạt-đầy đủ và không gian Baire: 2.4. Mệnh đề 2.4: Nếu một không gian X có chứa một không gian con quạt- đầy đủ trù mật thì X có tính chất Baire. Một không gian X là một M-không gian đầy đủ nếu tồn tại một ánh xạ đóng liên tục :f X Y→ vào một không gian mêtric hóa đầy đủ Y thỏa 1( )f y− là compact đếm được. Trong trường hợp này chúng ta nói rằng f là một ánh xạ tựa đầy đủ. Mọi M-không gian đầy đủ là q-đầy đủ. Định lí sau đây cho thấy một số tính chất của các kiểu không gian đầy đủ qua một ánh xạ liên tục mở và qua một mở rộng liên tục của ánh xạ đó. 2.5. Định lí 2.5: Cho X là một không gian mêtric. Cho :f X Y→ là một ánh xạ liên tục mở của một không gian X vào một không gian Y, và 1X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của X. Khi đó tồn tại một không gian con quạt-đầy đủ trù mật 1Y của Y thỏa 1 1( )f X Y⊆ . Hơn nữa, nếu X, Y là các không gian Tychonoff và 24 :f X Yβ β β→ là mở rộng liên tục của f, thì tồn tại một Gδ -không gian con paracompact Z của Xβ thỏa: ( )S f Zβ= là một không gian con trù mật paracompact của Yβ ; :g f Z Z Sβ= → là một ánh xạ đầy đủ, 1S Y S= ∩ là mộtGδ -không gian con trù mật của 1Y và 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ( ))XZ f y X g y g y cl Z f yβ − − − −∩ = ∩ ⊆ = ∩ với mỗi 1y S∈ ; Nếu 1X là một không gian q-đầy đủ, 1Z Z X= ∩ và 1 1( )S f Z= , thì 1 1 1:h f Z Z S= → là một ánh xạ tựa đầy đủ, và 1Z là M-không gian đầy đủ; Nếu 1X là một không gian sàng-đầy đủ, thì Z X⊆ ; Nếu X hoặc 1X là µ -đầy đủ thì Z X⊆ . Chứng minh: Tồn tại một dãy { }: :n nU A nαγ α ω= ∈ ∈ của họ các tập con mở của X và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ các ánh xạ thỏa: (RC1) { }1 0:X U Aα α⊆ ∈ và { }11 : ( )nU X U Uα β αβ π α−∩ ⊆ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ ; (RC2) với bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { }1 ;nX U nα ω∩ ∈ bị chặn trong 1X . Cho { }( ) :n nV f U Aα αη α= = ∈ với bất kì { }, ( ) :nn X U nαω α ω∈ = ∈ và { }( ) :nY V nαα ω= ∈ , với mọi c-dãy 25 { }:n nα α ω= ∈ . Chúng ta đặt 2 { ( ) :X X α α=  là một c-dãy} và 1 { ( ) :Y Y α α=  là một c-dãy}. Bằng cách xây dựng, ( ) 1 2( ) ( ),f X Y X Xα α⊆ ⊆ và 2 1( )f X Y⊆ . Hiển nhiên ta có { }1 0:Y V Aα α⊆ ∈ và { }11 : ( )nV Y V Vα β αβ π α−∩ ⊆ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Cho { }:n nα α ω= ∈ là một c-dãy và { }:nV n ω∈ là một dãy các tập mở khác rỗng trong Y thỏa nn V Vα⊆ với bất kì n ω∈ . Chúng ta đặt 1( ) nn n U U f Vα −=  . Khi đó, { }:nLim U n ω∈ ≠∅ và { }( ) { }: :n nf Lim U n Lim V nω ω∈ ⊆ ∈ . Do đó, 1Y là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của Y. Giả sử rằng X và Y là các không gian Tychonoff. Khi đó, có các họ rời rạc { }{ }: :n nH B nβξ β ω= ∈ ∈ các tập con mở của Xβ , các họ rời rạc { }{ }W : :n nB nβξ β ω= ∈ ∈ các tập con mở của Yβ , các ánh xạ { }: :n n nq A B n ω→ ∈ và các ánh xạ { }1: :n n np B B n ω+ → ∈ thỏa mãn: - { }:n nW W Bβ β= ∈ là một tập con trù mật mở của Yβ với mỗi n ω∈ ; - { }1: ( )X ncl H p Hβ µ βµ β−∈ ⊆ và { } 1: ( )Y ncl W p Wβ µ βµ β −∈ ⊆ với mọi nBβ ∈ và n ω∈ ; - ( )npX H Uβ β∩ ⊆ và ( )f H Wβ ββ = với mọi nBβ ∈ và n ω∈ ; - 1 1n n n nq q pπ + +=  với mọi n ω∈ . 26 Đặt { }:n nH H Bβ β= ∈ , { }:nZ H n ω= ∈ và { }:nS W n ω= ∈ . Các không gian con Z, S và ánh xạ :g f Z Z Sβ= → thỏa các điều kiện của định lí. 2.6. Hệ quả 2.6: Nếu một không gian µ -đầy đủ X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù mật. Định lí tiếp theo thể hiện mối quan hệ của không gian quạt-đầy đủ với không gian Cech-đầy đủ: 2.7. Định lí 2.7: Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact là không gian Cech-đầy đủ. Chứng minh: Nếu X là một không gian quạt-đầy đủ paracompact, thì tồn tại một dãy { }{ }: :n nU A nαγ α ω= ∈ ∈ của các phủ hữu hạn địa phương mở và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ của các ánh xạ với các tính chất (C1), (C2) thỏa Uα là một Fσ -tập trong X với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Cố định các hàm liên tục không âm { }: ,ng A nα α ω∈ ∈ thỏa { }: 2 nng Aβ β −∈ =∑ và 1(0) \g X Uα α− = với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Khi đó, { }( , ) : ,nx y g A nαρ α ω= ∈ ∈∑ là một giả mêtric liên tục trên X. Do đó, tồn tại một không gian mêtric (Y,d) và một ánh xạ liên tục :f X Y→ vào Y thỏa ( , ) ( ( ), ( ))x y d f x f yρ = với mọi ,x y X∈ . Cố định b X∈ và một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ thoả { }:nb U nα ω∈ ∈ . Tồn tại một dãy { }( ) :n nε ω∈ thỏa ( ) ( 1) 0n nε ε> + > và 27 { }X: ( , ) ( ) nn V y x y n Uαρ ε= ∈ < ⊆ với bất kì n ω∈ . Từ { }1( ( )) :nf f b H U nα ω− ⊆ = ∈ và H là một tập con bị chặn của không gian paracompact X, các tập 1( ( ))f f b− và Xcl H là compact, và f là một ánh xạ đầy đủ. Bây giờ ta dễ dàng kiểm tra được rằng (Y,d) là một không gian mêtric đầy đủ. 2.8. Mệnh đề 2.8: Cho X là một không gian thỏa: Với mọi tập con khác rỗng U, tồn tại một tập con mở khác rỗng V và một không gian con quạt-đầy đủ Z của X sao cho: XZ V U cl Z⊆ ⊆ ⊆ . Khi đó X chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 2.9. Mệnh đề 2.9: Bất kì không gian quạt-đầy đủ địa phương nào cũng đều là không gian quạt-đầy đủ. 2.10. Mệnh đề 2.10: Cho G là một nhóm nửa tôpô hoặc là một không gian thuần nhất, V là một tập con mở của G, Z là một không gian con quạt-đầy đủ, với XZ V cl Z⊆ ⊆ . Ta có: 1. G có chứa không gian con quạt-đầy đủ trù mật nào đó. 2. Nếu Z V= , thì G là không gian quạt-đầy đủ. Một tập Z là chuẩn tắc trong một không gian X nếu với bất kì tập con đóng F của không gian con Z và với mỗi tập con mở U của X chứa F tồn tại một tập con V của X thỏa XF V cl V U⊆ ⊆ ⊆ . Hiển nhiên, Z là một không gian con đóng chuẩn tắc của X. 28 2.11. Mệnh đề 2.11: Cho Y là một tập con trù mật của X và { }:nU n ω∈ là một dãy các tập con mở khác rỗng của X với các tính chất:  { }:nF U n ω= ∈ là tập con chuẩn tắc trong X;  1X n ncl U U+ ⊆ với mỗi n ω∈ ;  Mỗi dãy { }:n ny Y U n ω∈ ∩ ∈ có một điểm hội tụ trong X. Khi đó: 1. F là một không gian con đóng chuẩn tắc của không gian X. 2. Không gian con F là compact đếm được. 3. { }:nU n ω∈ là một cơ sở của F trong X. Chứng minh: 1. Hiển nhiên. 2. Cho { }:nL x F n ω= ∈ ∈ là một dãy rời rạc của không gian con F. Khi đó tồn tại một họ rời rạc{ }:nV n ω∈ các tập con mở của X thỏa n nx V∈ với bất kì n ω∈ . Tồn tại một tập con mở W của X thỏa { }:X nL W cl W V n ω⊆ ⊆ ⊆ ∈ . Chúng ta đặt n n nW W U V= ∩ ∩ . Khi đó { }:nW n ω∈ là một họ rời rạc các tập con mở của X, điều này dẫn đến mâu thuẩn. 3. Cho U và V là hai tập con mở của X và XF V cl V U⊆ ⊆ ⊆ . Khi đó { }\ :n n XH U cl V n ω= ∈ là một họ rời rạc các tập con mở của X. Do 29 đó mH =∅ và nU U⊆ với một vài m ω∈ . Khẳng định 3 đã được chứng minh. 2.12. Hệ quả 2.12: Cho X là một không gian chuẩn tắc. Các khẳng định sau đây là tương đương: 1. Không gian X là q-đầy đủ trù mật. 2. Không gian X có chứa một không gian con q-đầy đủ trù mật. 3. Không gian X là quạt-đầy đủ trù mật. 4. Không gian X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 2.13. Hệ quả 2.13: Một không gian X là sàng-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật. 2.14. Ví dụ: Cho 0W là tập tất cả các số thứ tự đếm được và 1ω là số thứ tự không đếm được đầu tiên. Trong tập 0 0 [0;1)V W= × xét thứ tự tuyến tính: ( ) ( ), ,u vα β< với α β< hoặc α β= và u < v. Không gian V0 với tôpô cảm sinh bởi thứ tự tuyến tính được gọi là đường thẳng dài. Không gian { }0 1V V ω= ∪ , trong đó 1x ω< với bất kì 0x V∈ . Với tôpô cảm sinh bởi thứ tự tuyến tính là compact hóa Stone-Cech của không gian 0V . Cho Y là tập tất cả các điểm ( ) 0,0 Vα ∈ , trong đó α là một số thứ tự không giới hạn. Hiển nhiên, không gian con 0 \X V Y= của 0V là mêtric hóa địa phương và Cech-đầy đủ địa phương. Từ đó, X là một không gian sàng-đầy đủ. Chúng ta khẳng định rằng X không phải là một Gδ -không gian con của một vài không gian giả 30 compact. Thật vậy, giả sử rằng X là một không gian con của không gian giả compact Z và { }( ):nX Z F n ω= ∈  ,trong đó { }:nF n ω∈ là một dãy các tập con đóng của Z. Xét các ánh xạ liên tục : X Zϕ β β→ và : X Vψ β → , trong đó ( ) ( )x x xϕ ψ= = với bất kì x X∈ . Bằng cách xây dựng, ( )( )( )1 1n Z ncl Fβϕ ψ ϕ− −Φ = là một tập con compact của \Z Xβ . Chúng ta có thể giả sử rằng n nF Z= ∩Φ . Không gian ( )11 1\Z Xβ ψ ω−= là compact đếm được và compact địa phương. Nếu ( ),0 Yα ∈ và ( )( )1( ) ,0H α ϕ ψ α−= , thì ( ) \H Z Xα β⊆ . Vì Z là giả compact nên ( )X H α∩ ≠∅ . Do đó, ( )Z H α∩ ≠∅ và ( )( ) nH αα ⊆ Φ với một vài ( )n α ω∈ . Do đó, ( ) { }1 \ :nZ X nϕ ω⊆ Φ ∈ . Vậy, ( ){ }11 \ :nX Z nϕ ω−= Φ ∈ là một Gδ -tập con của không gian 1Z và X là Cech-đầy đủ, điều này dẫn đến mâu thuẫn. Tồn tại một không gian giả compact 1X thỏa không gian các số hữu tỉ  là một không gian con đóng. Cho 2 1X X X= × . Bằng cách xây dựng, 2X là một không gian quạt-đầy đủ, mà không là không gian Cech-đầy đủ địa phương và không là một Gδ -không gian con của không gian giả compact nào đó. 31 Chương 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ TRÊN CÁC KHÔNG GIAN CỤ THỂ Trong chương này chúng tôi sẽ đề cập đến việc khảo sát các không gian đầy đủ và các tính chất của chúng trong mối quan hệ với: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với phép nhân tựa liên tục, các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, các không gian giải tích với tính chất Baire. 3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: Một ánh xạ :f X Y Z× → từ không gian tích X Y× vào một không gian Z được gọi là tựa liên tục mạnh bên phải tại một điểm ( ),a b X Y∈ × nếu với mỗi lân cận mở W của ( ),f a b trong Z và mọi lân cận mở U của a trong X, tồn tại một tập con mở khác rỗng 1U trong X và một tập mở V trong Y thỏa 1 ,U U b V⊂ ∈ , và ( )1f U V W× ⊂ . Theo cách tương tự ta có thể định nghĩa ánh xạ tựa liên tục mạnh bên trái tại một điểm ( ),a b X Y∈ × . Một ánh xạ f là tựa liên tục mạnh tại một điểm ( ),a b X Y∈ × nếu nó là tựa liên tục mạnh bên phải và bên trái tại ( ),a b X Y∈ × . Một ánh xạ :f X Y→ từ một không gian X vào một không gian Y được gọi là tựa liên tục tại một điểm b X∈ nếu với mỗi lân cận mở V của f(b) 32 trong Y và mọi lân cận mở U của b trong X tồn tại một tập mở khác rỗng W trong X thỏa W U⊂ và ( )f W V⊂ . Nếu một ánh xạ :f X Y Z× → là tựa liên tục mạnh bên phải hoặc bên trái, thì f là tựa liên tục. 3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: Cho 1X là một không gian con trù mật của không gian X, 1Y là một không gian con trù mật của Y, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một không gian Z, ( )1 1 1 1, ,g f X Y a X b Y= × ∈ ∈ . Khi đó: 1. Ánh xạ f là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại một điểm (a,b) nếu và chỉ nếu ánh xạ g là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại (a,b). 2. Ánh xạ f là tựa liên tục tại một điểm (a,b) nếu và chỉ nếu ánh xạ g là tựa liên tục tại (a,b). Chứng minh: Cho ( ),c f a b= và W là một lân cận của c trong Z. Cố định hai tập con mở W1 và W2 của Z thỏa 2 2 1 1Z Zc W cl W W cl W W∈ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ . Giả sử U là một tập con mở của X và V là một tập con mở của Y thỏa ( )1 1 2g U V W× ⊆ , trong đó 1 1U U X= ∩ và 1 1V V Y= ∩ . Với mọi 1x U∈ , ta có { }( )1 2 1Y Zf x cl V cl W W× ⊆ ⊆ do tính liên tục tách của f. Vì 1,XU cl U⊆ ta có ( ) 1Zf U V cl W W× ⊆ ⊆ . 3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: Giả sử rằng X là một không gian q-đầy đủ trù mật, a X∈ , b là một qD-điểm của một không gian Y và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một không gian Z. Khi đó: 33 - f là tựa liên tục mạnh bên phải tại (a,b); - Nếu X và Y là các không gian thuần nhất, thì f là tựa liên tục mạnh bên phải tại mọi điểm của X Y× . Chứng minh: Cố định một không gian con trù mật 1X của X và một ωA-sàng trù mật { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ với tính chất (C2) trên không gian X. Chúng ta có thể giả sử rằng 1a X∈ . Ta cố định một không gian trù mật 1Y của Y và một dãy các lân cận { }:nH n ω∈ của điểm b trong Y thỏa nếu n ny Y H∈ ∩ thì dãy { }:ny n ω∈ có một chùm điểm trong Y. Chúng ta có thể giả sử rằng 1b Y∈ (ta lấy { }1Y b∪ trong 1Y , và ngược lại). Cho ( )1 1g f X Y= × . Đặt ( ),c f a b= . Giả sử rằng ánh xạ f không phải là ánh xạ tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),a b . Theo mệnh đề 3.1.1, ánh xạ g không phải là ánh xạ tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),a b . Khi đó tồn tại một lân cận 1W của c và một lân cận U của a thỏa với mỗi tập con mở khác rỗng 'U của U trong X và mỗi lân cận V của b trong Y ta có ( ) ( )( )1 1 1' \f U V X Y W× ∩ × ≠∅ . Vì Z là tập chính qui, ta có thể tìm được các lân cận mở 0W và W của c thỏa 0 1Z Zcl W W cl W W⊂ ⊂ ⊂ . Chúng ta xây dựng theo phương pháp qui nạp các dãy giảm chắc chắn của các tập mở { }:nU n ω∈ và { }:nV n ω∈ trong X và Y, tương ứng, một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ và các dãy { } 1:nx n Xω∈ ⊂ và { } 1:ny n Yω∈ ⊂ với các tính chất sau: 34 (i) , nn n X n x U cl U U Uα∈ ⊆ ⊆ ∩ ,n n Y n ny V cl V H∈ ⊆ ⊆ 1 ,X n ncl U U+ ⊆ 1Y n ncl V V+ ⊆ , và ( ) ( ) 1, \ \n n n n Zf x y f U V W Z cl W∈ × ⊆ với mỗi n ω∈ ; (ii) Nếu { }0 0: ( , )M x X f x b W= ∈ ∈ , thì 0 0U M⊆ ; (iii) Nếu 1n ≥ , { }1 1: ( , ) \n n n ZM x U f x y Z cl W− −= ∈ ∈ và { }1 1 0: ( , )n n nL y V f x y W− −= ∈ ∈ , thì X n ncl U M⊆ , và Y n ncl V L⊆ . Chúng ta tiếp tục như sau: Bước 0: Đặt { }0 0: ( , )M x X f x b W= ∈ ∈ . Khi đó 0M là mở, theo tính liên tục tách của f, và 0a M∈ , vì 0( , )f a b M∈ . Cố định 0 0Aα ∈ và một tập con mở 0U của X thỏa 00 0 0Xa U cl U M U Uα∈ ⊆ ⊆ ∩ ∩ . Cho 0V là một tập con mở của Y thỏa 0 0b V H∈ ⊆ . Theo giả thiết, tập ( )0 0 0\f U V W× là khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn 0 0 1x U X∈ ∩ và 0 0 1y V Y∈ ∩ thỏa ( )0 0 1, \f x y Z W∈ . Bước 1: Đặt { }1 0 0: ( , ) \ ZM x U f x y Z cl W= ∈ ∈ . Khi đó, 0 1x M∈ , và 1M là mở trong X, do tính liên tục tách của f. Cho 1 1 0 0( )α π α −∈ và 1U là một lân cận mở của 0x trong X thỏa 11 0 1Xcl U U M Uα⊂ ∩ ∩ . Đặt { }1 0 0 0: ( , )L y V f x y W= ∈ ∈ . Từ 1 0x U M∈ ⊂ suy ra 1b L∈ , và 1L là mở trong Y, do tính liên tục tách của f. Cho 1V là một lân cận mở của b trong Y thỏa 1 0 1 1Ycl V V L H⊂ ∩ ∩ . Theo giả thiết, tập ( )1 1 1\f U V W× là khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn 1 1 1x U X∈ ∩ và 1 1 1y V Y∈ ∩ thỏa ( )1 1 1, \f x y Z W∈ . 35 Bước n+1: Giả sử rằng chúng ta đã định nghĩa các tập mở nU và nV trong X và Y, tương ứng, một phần tử n nAα ∈ và các điểm n nx U∈ và n ny V∈ thỏa 0 ,nn nU M U b Vα⊂ ∩ ∈ , và ( ), \n n Zf x y Z cl W∈ . Khi đó, chúng ta đặt ( ){ }1 : , \n n n ZM x U f x y Z cl W+ = ∈ ∈ . Rõ ràng, tập 1nM + là mở, và 1n nx M +∈ . Ta lấy 11 ( )n n nα π α−+ ∈ , 1nU + là lân cận mở bất kì của nx trong X thỏa 11 1 nX n n n cl U M U Uα ++ +⊆ ∩ ∩ . Đặt ( ){ }1 0: ,n n nL y V f x y W+ = ∈ ∈ . Rõ ràng, tập hợp này là mở và có chứa điểm b, vì 0n nx U M∈ ⊆ . Ta lấy 1nV + là lân cận mở bất kì của b trong Y thỏa 1 1 1Z n n n ncl V V H L+ + +⊆ ∩ ∩ . Lặp lại, theo giả thiết, tập ( )1 1 1\n nf U V W+ +× là khác rỗng, và chúng ta có thể chọn các điểm 1 1 1n nx U X+ +∈ ∩ và 1 1 1n ny V Y+ +∈ ∩ thỏa ( )1 1 1, \n nf x y Z W+ + ∈ . Bước n+1 đã hoàn tất. Cho { }:X nP cl U n ω=∩ ∈ và { }:Y nH cl V n ω=∩ ∈ . Bằng cách xây dựng, tồn tại một điểm hội tụ *x P∈ của dãy { }:nx n ω∈ trong X, và một điểm hội tụ *y H∈ của dãy { }:ny n ω∈ trong Y. Vì 1X n ncl U U+ ⊂ , nên điểm *x thuộc vào mỗi nU . Bây giờ, do * 1 1n nx U M+ +∈ ⊂ suy ra ( )*, \n Zf x y Z cl W∈ với mỗi n ω∈ . Vì f là liên tục tách nên ta có ( )* *, \f x y Z W∈ . Cố định n ω∈ . Khi đó, ( ){ }1 1 0: ,n n ny V y Y f x y W+ +∈ ⊂ ∈ ∈ . Do đó, ( ) 0,n mf x y W∈ với mỗi m > n. Do tính liên tục tách của f, ta có ( ) 0, *n Zf x y cl W∈ . Khi đó, cũng do tính liên tục tách của f, thì 36 ( ) 0*, * Zf x y cl W W∈ ⊂ , điều này dẫn tới mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. 3.1.3. Hệ quả 3.1.3: Giả sử rằng X và Y là các không gian q-đầy đủ trù mật, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào không gian Z. Khi đó tồn tại một không gian con trù mật 1X của không gian X và một không gian con trù mật 1Y của không gian Y thỏa ánh xạ f là tựa liên tục mạnh tại mọi điểm của 1 1X Y× . Trong trường hợp đặc biệt, ánh xạ f là tựa liên tục. 3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: 3.2.1. Bổ đề 3.2.1: Cho U là một lân cận mở của phần tử trung hòa e trong một nhóm nửa tôpô G với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên phải :m G G G× → . Khi đó: - *Xe cl U∈ , với ( ) ( )( ){ }* 1: .U x G x e Int m U−= ∈ ∈ ; - Với mỗi điểm *a U∈ tồn tại một lân cận mở V của phần tử trung hòa thỏa 2 .aV U⊆ Chứng minh: Theo định nghĩa, {* :U W U U= ∪ ⊆ mở trong G và .W V U⊆ với một vài lân cận V của phần tử trung hòa }e . Do đó, các phát biểu trên được suy ra từ tính tựa liên tục mạnh bên phải của phép nhân đã cho. 37 3.2.2. Bổ đề 3.2.2: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên phải, X là một không gian con trù mật của G, { }' :nH n ω∈ và { }" :nH n ω∈ là hai dãy các tập con mở của G, { }' :nH n ω∩ ∈ ≠∅ và { }" :nH n ω∩ ∈ ≠∅ . Giả sử rằng mọi dãy ( ){ }' ". :n n nx X H H n ω∈ ∩ ∈ đều có một điểm hội tụ trong G. Khi đó G là một nhóm paratôpô. Chứng minh: Chúng ta có thể giả sử rằng ' "n n ne H H H∈ = = và 1G n ncl H H+ ⊆ với mỗi n ω∈ . Giả sử rằng phép nhân không là phải liên tục đồng thời. Khi đó tồn tại hai lân cận W và V của phần tử trung hòa thỏa Gcl V W⊆ và 2 \ GU cl W ≠∅ với mỗi lân cận U của phần tử trung hòa. Chúng ta đặt ( )( )1H Int m V−= và ( ){ } * : . .V x G x e H= ∈ ∈ Chúng ta định nghĩa bằng cách qui nạp hai dãy { }:nb X n ω∈ ∈ và { }:nc X n ω∈ ∈ của các điểm, và hai dãy { }:nV n ω∈ và { }:nW n ω∈ là các lân cận mở của phần tử trung hòa thỏa:  * 1i ic V V X−∈ ∩ ∩ và . .i i ic W W V⊆ với mỗi n ω∈ ;  2 \i i Gb W cl W∈ và . \i i GV b G cl W⊆ với mỗi n ω∈ ;  1 1i i iW W H+ +⊆ ∩ và 1 1i i iV V W+ +⊆ ∩ với mỗi n ω∈ . Bước 0: Cố định *0c X V∈ ∩ . Vì ( )0 ,c e H∈ , khi đó tồn tại một lân cận 0W của e thỏa 0 0W H⊆ và 2 0 0. c W V⊆ . Chọn một điểm 38 ( )20 0 \ Gb X W cl W∈ ∩ và một lân cận 0V của e thỏa 0 0V W⊆ và 0 0. \ GV b G cl W⊆ . Cuối cùng cố định một điểm 1 0c V X∈ ∩ . Bước n+1: Vì *1n nc V V+ ∈ ∩ , khi đó tồn tại một lân cận 1nW + của e thỏa 1 1n n n nW H V W+ +⊆ ∩ ∩ và 21 1. n nc W V+ + ⊆ . Bây giờ, chọn một điểm ( )21 1 \n n Gb X W cl W+ +∈ ∩ và một lân cận 1nV + của e thỏa 1 1n nV W+ +⊆ và 1 1. \n n GV b G cl W+ + ⊆ . Cuối cùng, cố định một điểm 2 1n nc V X+ +∈ ∩ . Điều này hoàn thành phần chứng minh qui nạp. Cho b là một điểm hội tụ của dãy { }nb , và c là một điểm hội tụ của dãy { }nc . Giả sử rằng n k< . Khi đó 2. . . .nk n n n n k n na c b c W W c W V= ∈ ⊆ ⊆ . Do đó, .n n Ga c b cl V= ∈ , và . Ga c b cl V W= ∈ ⊆ . Vì . . \k n k n Gc b V b G cl W∈ ⊆ , ta có \a G W∈ , dẫn tới mâu thuẫn. 3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 3.3.1. Định lí 3.3.1: Giả sử một nhóm paratôpô G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Khi đó G là một nhóm tôpô. Chứng minh: Giả sử G không phải là nhóm tôpô. Khi đó, tồn tại một tập con mở U của G thỏa e U∈ và tập 1U U −∩ là không đâu trù mật trong G. Cho X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật trong G. Tồn tại một dãy { }{ }: :n nV A nαγ α ω= ∈ ∈ các họ của các tập con mở của không gian G và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ các ánh xạ thỏa: 39 (RC1) { }0:X V Aα α⊆ ∪ ∈ và ( ){ }1: nV X V Vα β αβ π α−∩ ⊆∪ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ ; (RC2) Với mọi c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { };nX V nα ω∩ ∈ là dãy dừng trong X. Cố định 0 0Aβ ∈ và một tập con mở khác rỗng W của G thỏa e W∈ và 0 .Gcl W W U Vβ⊆ ∩ . Đặt ( )1\ GO W cl U U −= ∩ . Khi đó, ( )GO W cl X O⊆ ⊆ ∩ và 1U O−∩ =∅ . Chúng ta sẽ định nghĩa một dãy { }:nU n ω∈ các các tập con mở của G, một dãy { }:nx X n ω∈ ∈ các điểm, và một c-dãy { }:n nA nα ω∈ ∈ thỏa:  n nx X U∈ ∩ với mọi n ω∈ ;  1n n nx U x O+ ∈ ∩ với mọi n ω∈ ;  11 nG n ncl U U V Oα ++ ⊆ ∩ ∩ với mọi n ω∈ ;  0 0α β= và ( )1n n nπ α α+ = với mọi n ω∈ . Cho 0 0α β= , 0U O= và 0x X O∈ ∩ . Giả sử rằng n ω∈ và ,n nUα và nx đã được xây dựng sẵn. Vì Ge W cl O∈ ⊆ , ta có ( )n G n G n