Luận văn Một vài tính chất định tính của bao hàm thức vi phân

sau. Bổ đề 1.1 (xem [3]). Cho (X, ,μ) là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn, Y là không gian metric đủ, khả li. Nếu M∈ ⊗B , thì pr ( ) : { : , ( , ) }X M x X y Y x y M= ∈ ∃ ∈ ∈ là tập thuộc  . (Hình chiếu lên X của một tập đo được theo ⊗B là đo được theo  .) 29 Bổ đề 1.2. Giả sử (X, ) là không gian đo được, Y và Z là hai không gian metric khả li, g:X Y Z× → là ánh xạ Caratheodory (điều đó có nghĩa là với mọi y∈Y ánh xạ g(.,y) là đo được, và với mọi x X∈ ánh xạ g(x,.) là liên tục). Khi đó g là đo được theo ⊗B . Chứng minh. Ta chỉ cấn chứng minh rằng tồn tại dãy ánh xạ g :X Y Zk × → ( k∈ ) đo được theo ⊗B và hội tụ theo điểm đến g. Giả sử { : }iy i∈ là tập điểm đếm được trù mật trong Y. Giả sử ( , )x y X Y∈ × . Với mỗi k∈ , kí hiệu ( )i i k= ∈ là chỉ số nhỏ nhất sao cho 1( , )iy B y k −∈ hay, hoàn toàn tương tự, (1.2) 1( , )iy B y k −∈ Ta đặt ( , ) ( , )k ig x y g x y= . Do (1.2) và do tính liên tục của ánh xạ g(x,.) ta có ( )lim ( , ) lim ( , ) ( , )k i kk kg x y g x y g x y→∞ →∞= = với mọi ( , )x y X Y∈ × . Ta chỉ còn phải chứng minh rằng kg là đo được theo ⊗B . Đặt 1 1 1 , 1 : ( , ) \ ( ( , )) i i k i j j Y B y k B y k − − − = =  . Vì { : }iy i∈ là trù mật trong Y, nên ta có (1.3) , 1 i k i Y Y ∞ = =  . Rõ ràng ,i kY ∈B với mọi ( , )i k ∈ ×  . Ngoài ra, ( , ) ( , )k ig x y g x y= ,( , ) i kx y X Y∀ ∈ × . 30 Điều đó chứng tỏ rằng kg đo được theo ⊗B . Thật vậy, giả sử W Z⊂ là tập mở tùy ý. Ta có 1(W) {( , ) : ( , ) W}k kg x y X Y g x y − = ∈ × ∈ , 1 {( , ) : ( , ) W}i k i i x y X Y g x y ∞ = = ∈ × ∈  1 , 1 (( (., )) (W) )i i k i g y Y ∞ − = = ×  là tập thuộc ⊗B . Định lí 1.20 (Định lí đặc trưng). Cho (T, ,μ) là không gian có độ đo đủ, σ- hữu hạn, E là không gian metric đủ, khả li. Cho :T XΓ → là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, các khẳng định (a), (b), (c) trong Định lí 1.20 và các khẳng định sau là tương đương: (d) gphΓ∈ ⊗B (e) 1( )C−Γ ∈ với mọi tập đóng C X⊂ ; (f) 1( )B−Γ ∈ với mọi tập Borel B∈B . Chứng minh. Do (a)⟺(b) ⟺(c), định lí sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng tỏ được rằng (f)⇒(e), (e)⇒(a), (a)⇒(c), (c)⇒(d), (d)⇒(f). (Tất nhiên ta không cần chứng minh khẳng định (a)⇒(c) nữa.) (f)⇒(e). Hiển nhiên, vì mọi tập đóng là tập Borel. (e)⇒(a). Cho V X⊂ là tập mở. Khi đó ta có thể biểu diễn V dưới dạng 1 ( , )j j j V B x τ ∞ = =  ( 0jτ > với mọi j) Khi đó, 31 1 1 1 ( ) ( ( , ))j j j V B x τ ∞ − − = Γ = Γ  Do đó: Γ đo được (c)⇒(d). Giả sử rằng với mọi x X∈ hàm số ( , (.))d x Γ là đo được. Vì Γ có giá trị đóng, khác rỗng, nên ta có (1.4) {( , ) : ( , ( )) 0}gph t x T X d x tΓ = ∈ × Γ = . Vì với mỗi t T∈ hàm số (., ( ))d tΓ là liên tục, nên áp dụng bổ đề 1.2 cho trường hợp ( , ) : ( , ( ))g t x d x t= Γ ( , )t x T X∀ ∈ × ta suy ra rằng :g T X× → là đo được theo ⊗B . Do (1.4), 1({0})gph g −Γ = . Khi đó vì 0∈ suy ra 1({0})g − ∈ ⊗B , do đó gphΓ∈ ⊗B . (d)⇒(f). Giả sử rằng gphΓ∈ ⊗B và giả sử B X⊂ là tập Borel bất kì. Dễ thấy rằng 1( ) ( ( ))TB pr gph T B −Γ = Γ × . Vì gphΓ∈ ⊗B và T B× ∈ ⊗B . Từ đó ta có 1( )B−Γ ∈ theo bổ đề 1.2. Định lí đặc trưng cho ta hệ quả sau đây về sự tương đương giữa tính đo được (còn gọi là tính đo được yếu) và tính đo được mạnh của ánh xạ đa trị. Hệ quả 1.6. Cho nT =  ,  là σ-đại số các tập đo được theo Lebesgue của ,n μ là độ đo Lebesgue trên n . Cho X là không gian metric đủ, khả li, và :T XΓ → là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, Γ là đo được khi và chỉ khi 1( )C−Γ ∈ với mọi tập đóng C X⊂ . Nhận xét 1.1. Có những ánh xạ đa trị là đo được nhưng không là nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới tại bất cứ điểm nào thuộc miền xác định của nó. Ví dụ, :Γ →  cho bởi công thức ( ) {0}f x = nếu x∈ và ( ) {1}f x = nếu x∉ 32 Một số tính chất khác của hàm đa trị đo được đề nghị xem lại trong chương 3 của Castaing và Valadier 1977 [3]. 33 Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG, NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 2.1. Mở đầu. Trong chương này sẽ trình bày các định lí về sự tồn tại nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục của bao hàm thức vi phân phiếm hàm trong không gian Banach, có dạng sau đây: (2.1) ( ) ( , )tx t G t x • ∈ với [ ]0,t T∈ (2.2) ( ) ( ) ox θ ϕ θ= với [ ],0hθ ∈ − Để thuận tiện, chúng tôi liệt kê một vài kí hiệu được sử dụng trong phần này. E chỉ đến không gian Banach khả ly với đối ngẫu mạnh và chuẩn *E , Eσ và 'sE là không gian E và *E trang bị topo yếu ( )*,E Eσ và ( )*,E Eσ . Đối với 0T ≥ và 0h ≥ , [ ],EC h T− và [ ],EC h Tσ − là các không gian của các hàm liên tục từ [ ],h T− vào E và Eσ . Dễ thấy rằng [ ] [ ], ,E EC h T C h Tσ− ⊂ − . Chúng tôi sẽ kết hợp [ ],EC h T− và [ ],EC h Tσ − với topo hội tụ đều trên [ ],h T− . Lưu ý rằng, cơ sở trong lân cận của [ ],EC h Tσ − chứa các tập có dạng [ ] [ ]( ){ }, : ,Ef C h T f h T Vσ∈ − − ⊂ , với V là lân cận của gốc trong Eσ . Chúng ta sử dụng kí hiệu [ ]1 0,EL T là không gian của tất cả các hàm khả tích (hay, các lớp tương đương khả tích) từ [ ]0,T vào [ ] [ ]1 10, 0,RL T L T= ; và [ ]* 0, sE L T∞ là không gian của tất cả các lớp hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi từ [ ]0,T vào [ ] [ ]* 0,; 0,s RTE L L T∞ ∞= . Tích phân ở đây được hiểu theo cách của Bochner. Cuối cùng, gọi [ ]: 0, 2ETΓ → là một đa hàm khả đo được, mà với mỗi [ ]0,t T∈ , ( )tΓ là một tập lồi không rỗng ( )*,E Eσ , là tập con compact của E. Chúng ta kí hiệu SΓ là tập hợp của tất cả các tập đo được của Γ. Chúng ta cũng giả sử rằng Γ khả tích, nghĩa là tồn tại một hàm khả tích dương ( ).m để 34 cho ( )x m t≤ đối với mỗi [ ]0,t T∈ và mỗi ( )x t∈Γ . Khi đó, rõ ràng, [ ]1 0,ES L TΓ ⊂ . Theo định nghĩa, đối với [ ], ' 0,t t T∈ , ( ) ( ) ' ' : t t t t s ds f s ds f SΓ   Γ = ∈     ∫ ∫ . Một chú ý quan trọng, khái niệm đo được và yếu hay đo được vô hướng đối với các hàm từ [ ]0,T vào E trùng nhau vì E là một không gian Banach khả ly. 2.2. Sự tồn tại nghiệm địa phương. Cho U là lân cận mở của gốc trong Eσ , kí hiệu tập [ ] [ ]( ){ },0 : ,0ED C h h Uϕ ϕ= ∈ − − ⊂ , ta xem D như tập con mở của [ ],0EC h− . Lấy [ ]: 0, 2EG T D× → là một hàm đa trị có giá trị lồi khác rỗng, ( )*,E Eσ - compact trong E. Đối với một hàm cho trước 0 Dϕ ∈ , chúng ta xét bao hàm thức vi phân (FDI) có dạng: (2.1) ( ) ( ) [ ], , 0,tx t G t x t T • ∈ ∈ , (2.2) ( ) ( ) [ ]0 , ,0x hθ ϕ θ θ= ∈ − , ở đây, bằng định nghĩa, ( ) ( ) [ ] [ ]( )0, , ,0tx x t t T hθ θ θ= + ∀ ∈ ∀ ∈ − . Chúng ta nói rằng, một hàm [ ],Ex C h T∈ − là nghiệm địa phương của FDI (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.2) nếu tồn tại ( ]0 0,T T∈ để cho ( ).x liên tục tuyệt đối trên (0, ]T và thỏa mãn bao hàm (2.1) hầu khắp nơi trên [ ]00,T và (2.2). Nếu 0T T= thì x được gọi là nghiệm toàn cục. Do đó ta có định nghĩa. Định nghĩa 2.1. Ta gọi hàm [ ]: ,x h T E− → là nghiệm địa phương của bao hàm thức vi phân (2.1)-(2.2) nếu tồn tại số 0 (0, ]T T∈ , sao cho ( )x ⋅ liên tục trên 35 [ ]0,h T− , liên tục tuyệt đối trên [ ]00,T , thỏa mãn (2.2) trên [ ,0]h− và thỏa (2.1) hầu khắp [ ]00,T . Định lí 2.1. Ngoài các giả thiết cho ở trên đối với các hàm đa trị Γ và G, giả sử G thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) [ ]0, , , ( , ) ( )t T D G t tϕ ϕ∀ ∈ ∀ ∈ ⊂ Γ ; (ii) Dϕ∀ ∈ , (., )G ϕ là hàm đa trị đo được trên [ ]0,T ; (iii) [ ]0,t T∀ ∈ , ( , )G t ⋅ là hàm đa trị nửa liên tục (n.l.t.t) trên từ D vào Eσ Khi đó với mọi o Dϕ ∈ , tập các nghiệm địa phương của bao hàm thức vi phân (2.1)-(2.2) khác rỗng. Chứng minh. Vì 0 Dϕ ∈ và ( )0 0 Uϕ ∈ nên tồn tại lân cận V của gốc đối với topo yếu ( )*,E Eσ sao cho ( )0 V Uϕ + ⊂ . Vì đa hàm ( ) 0 t t s ds→ Γ∫ là n.l.t.t từ [ ]0,T vào Eσ (xem Th.II-20 trong [3]), nên tồn tại 0 0T > sao cho ( ) [ ]( )0 0 0, t s ds V t TΓ ⊂ ∀ ∈∫ . Do đó, ta có (2.3) ( ) [ ]0 0 0 (0) , 0, t s U t Tϕ + Γ ⊂ ∀ ∈∫ Chúng ta định nghĩa một tập của các hàm ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]0 00 0 0 . , : , ,0 , 0 , 0, , t EX x C h T x h x t s ds t T Sθ ϕ θ θ ϕ σ σ Γ   = ∈ − = ∀ ∈ − = + ∀ ∈ ∈     ∫ Rõ ràng, X là một tập con không rỗng và lồi của [ ]0,EC h T− . Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng X là compact khi xem nó như là một tập con của [ ]0,EC h Tσ − . Trước hết, ta nhận thấy ứng với mỗi [ ]00,t T∈ , ( ) 0 t s dsΓ∫ là một tập con compact của Eσ . Hơn nữa, khi sử dụng định lý Ascoli có thể chứng minh 36 được X là đồng liên tục đều, chẳng hạn, đối với lân cận V bất kì của gốc 0 trong E, tồn tại 0δ > sao cho với mỗi x X∈ , ( ) ( )'x t x t V− ∈ với 't t δ− < và [ ]0, ' ,t t h T∈ − . Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể chọn { }* *, : ,eV V x E e xε ε= = ∈ . Vì 0ϕ liên tục đều trên [ ],0h− và ( ) 0 t m s ds∫ hoàn toàn liên tục trên [ ]00,T , nên tồn tại ( ) 0δ δ ε= > sao cho [ ]0, ' ,t t h T∈ − với 't t δ− < , ta có ( ) * 0 2 t m s ds eε<∫ , nếu [ ]0, ' 0,t t T∈ ; và ( ) ( )0 0 *' 2 t t eεϕ ϕ− < , nếu [ ], ' ,0t t h∈ − . Điều này dẫn đến, đối với bất kì x X∈ và bất kì [ ]0, ' ,t t h T∈ − với 't t δ− < , điều kiện kéo theo ( ) ( )*, 'e x t x t ε− < vẫn đúng, hoặc tương đương với ( ) ( )'x t x t V− ∈ . Như vậy, X là tập con đồng liên tục đều của [ ]0,EC h Tσ − , tính đóng kín của X có thể chứng minh tương tự như trong [3, định lí VI.1] và tính compact của X dẫn ra từ định lý Ascoli. Bây giờ, xét một đa hàm : 2XXΦ → được xác định bởi ( ) ( ) [ ]{ }: ( ) , . 0,tx y X y t G t x h k T•Φ = ∈ ∈ Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng Φ xác nhận một điểm cố định trong X. Trước hết lưu ý đến đặc trưng của (2.3) đối với mỗi x X∈ và đối với mỗi [ ]0, , tt T x D∈ ∈ . Hơn nữa, dễ thấy rằng hàm tt x→ là liên tục từ [ ]00,T vào D. Tuy nhiên, sử dụng [3, Đlí. VI-6], tồn tại một hàm đo được [ ]0: 0,T Eσ → sao cho ( ) ( ), tt G t xσ ∈ h.k trên [ ]00,T . Dưới điều kiện (i), Sσ Γ∈ . Chúng ta nhóm thành 37 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 0 0 0 , ,0 0 , 0, t t t h y t s ds t T ϕ ϕ σ  ∈ −  =  + ∈  ∫ Rõ ràng ( )y x∈Φ . Như vậy, ( )xΦ là tập con lồi và không rỗng của mỗi x X∈ . Để áp dụng định lý điểm xác định Kakutani-Ky Fan, cần phải chỉ ra rằng Φ là n.l.t.t, hay graph của Φ là đóng kín trong X X× (cùng với topo cảm sinh của [ ] [ ]0 0, ,E EC h T C h Tσ σ− × − ). Để làm được điều này, lưu ý rằng X X× là metric, chúng ta giả sử rằng ( ){ } 1 ,k k k x y ∞ = là một chuỗi trong graph của Φ hội tụ tại ( ),x y X X∈ × . Khi đó, bằng định nghĩa, ( ) ( ), kty t G t x • ∈ h.k trên [ ]0,T và đối với giá trị khác không bất kì * *e E∈ và đối với 0ε > bất kì, tồn tại N sao cho ( ) ( ) [ ]( )* 0, , ,ke x t x t k N t h Tε− < ∀ ≥ ∀ ∈ − . Do đó, ( ) ( ) [ ]( )*, , ,0kt te x x k N hθ θ ε θ− < ∀ ≥ ∀ ∈ − . Nói cách khác, ktx hội tụ tại tx trong topo của [ ],0EC hσ − . Mặc khác, lấy ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 0 0 0 , ,0 0 , 0, k t k t t h y t s ds t T ϕ ϕ σ  ∈ −  =  + ∈  ∫ và ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 0 0 0 , ,0 0 , 0, t t t h y t s ds t T ϕ ϕ σ  ∈ −  =  + ∈  ∫ ở đây kσ và σ thuộc vào SΓ . Vì ky hội tụ về y trong [ ]0,EC h Tσ − , dẫn đến, đối với giá trị bất kì của * *e E∈ , 38 (2.4) ( ) ( ) [ ]( )* * 0 0 0 , , 0, t t ke s ds e s ds t Tσ σ→ ∀ ∈∫ ∫ Vì tập SΓ (thương của SΓ tương đương h.k.n) là compact đối với topo yếu [ ] [ ]( )*1 0 00, , 0, s E E L T L Tσ ∞ , tồn tại một chuỗi con { } 1ki iσ ∞ = hội tụ về Sσ Γ∈ . Điều này cho thấy rằng, đối với mỗi * *Ee ∈ , chuỗi ( ){ } ( ) * 1 , .ki ie σ ∞ = hội tụ về ( )*, .e σ đối với topo yếu [ ] [ ]( )0 010, 0,,T TL Lσ ∞ . Hơn nữa, chúng ta có thể áp dụng định lý VI.4 trong [3] để kết luận rằng ( ) ( ), tt G t xσ ∈ h.k trên [ ]00,T . Từ đây, ta dẫn ra rằng [ ] ( ) ( ) ( )* 0 0 ' , , t t z kie z s ds e s dsσ σ→∫ ∫ , với mỗi [ ]00,t T∈ và đối với mỗi * *e E∈ . Sử dụng (2.4), ta có ( ) [ ]( )* * 0 0 0 , , , 0, t t e s e ds t Tσ σ= ∀ ∈∫ ∫ . Vì E là không gian Banach khả ly, nên ( ) [ ]( )0 0 0 , 0, t t ds s ds t Tσ σ= ∀ ∈∫ ∫ . Hệ quả là ( )y x∈Φ . Như vậy, graph của Φ là một tập con đóng của X X× . Theo định lý Kakutani-Ky Fan, Φ xác định tại một điểm x X∈ , nghĩa là ( )x x∈Φ . Rõ ràng, x là một nghiệm của (2.1) thỏa điều kiện ban đầu (2.2). Định lý 2.1 được chứng minh hoàn toàn. Nhận xét 2.1. Định lí này là mở rộng của Định lí VI-7 trong [3] của Castaing và Valadier cho bao hàm thức vi phân phiếm hàm. Kết quả còn là sự mở rộng cho lớp các bao hàm thức vi phân có chậm sẽ đề cập ở phần sau. 2.3. Sự tồn tại nghiệm toàn cục Trong phần này, xét [ ] [ ]0: 0, ,0 2EEG T C hσ× − → là hàm đa trị với giá trị lồi và khác rỗng, *( , )E Eσ compact trong E. 39 Với [ ]0 00,EC Tϕ ∈ cho trước, ta xét FDI sau (2.1) ( ) ( ) [ ], , 0,tx t G t x t T • ∈ ∈ , với điều kiện ban đầu (2.2) ( ) ( )0 ,x θ ϕ θ= [ ],0hθ ∈ − Định nghĩa 2.2. Hàm [ ](.) ,Ex C h T∈ − gọi là nghiệm toàn cục của bao hàm thức vi phân (2.1)-(2.2), nếu (.)x liên tục tuyệt đối trên toàn [ ]0,T , thỏa mãn (2.2) trên [ ],0h− và thỏa mãn (2.1) hầu khắp [ ]0,T . Định lí 2.2. Ngoài các giả thiết trên đây, giả sử hàm đa trị G thỏa mãn các tính chất: (i) Đối với mỗi [ ],0EC hσϕ ∈ − , ( ).,G ϕ đo được trên [ ]0,T ; (ii) Đối với mỗi [ ]0,t T∈ , ( ).,G ϕ là một hàm đa trị n.l.t.t từ [ ],0EC hσ − vào Eσ ; (iii) Tồn tại một tập lồi cân bằng ( )*,E Eσ - tập compact K E⊂ và tồn tại một hàm dương ( ) [ ]10,. TLα ∈ sao cho đối với mỗi [ ]0,t T∈ và mỗi [ ],0EC hϕ∈ − , ( ) ( )( ), 1G t t Kϕ α ϕ⊂ + Khi đó, đối với mỗi [ ]0 ,0EC hϕ ∈ − , tập nghiệm toàn cục của (2.1)-(2.2) khác rỗng. Chứng minh. Đặt { }sup :c x x K= ∈ , và 40 ( ) [ ]{ }0 0: sup : ,0a hϕ ϕ θ θ= = ∈ − . Giả sử rằng ( ).x là nghiệm toàn cục của (2.1) thỏa mãn (2.2), khi đó ( ) ( )0x θ ϕ θ= , [ ],0t h∀ ∈ − và ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 t x t x s dsϕ= + ∫ ( [ ]0,t T∀ ∈ với ( ) ( ) [ ], , 0,tx t G t x t T • ∈ ∈ ). Do đó, với mỗi [ ],t h T∈ − , ( ) ( ) ( )( ) 0 0 1 t t sx t a x s a c s x dsα • ≤ + ≤ + +∫ ∫ . Điều này dẫn đến ( ) ( )( ) 0 1 t sx t a c s x dsθ α+ ≤ + +∫ với mọi [ ],0hθ ∈ − , và do đó, ( )( ) [ ] 0 1 , 0, t t sx a c s x ds t Tα≤ + + ∀ ∈∫ . Sử dụng bổ đề Gronwall, chúng ta dẫn ra rằng mỗi nghiệm ( ).x của (2.1)- (2.2) phải thỏa bất đẳng thức sau ( ) ( ) [ ] 0 exp 1, 0, t tx a i c s ds t Tα   ≤ + − ∀ ∈    ∫ . Đặt ( ) ( ) ( ) [ ] 0 1 exp 1, 0, t z t a c s ds t Tα   = + − ∀ ∈    ∫ . Dễ dàng chỉ ra rằng ( )z t là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) ( ) ( )( ) 0 1 t z t a s z s dsα= + +∫ (tính đơn nhất được dẫn ra từ bổ đề Gronwall). Bây giờ xét hàm đa trị ( ) ( ) ( )( )1t t z t KαΓ + + 41 Khi đó, bằng cách sử dụng [3, Hệ quả V.4], thương SΓ của tập SΓ với tất cả các tập đo được của Γ là một tập lồi không rỗng của [ ]1 0,EL T , compact đối với topo yếu [ ] [ ]( )*1 0, , 0, s E E L T L Tσ ∞ . Khi đó, SΓ là metric. Đối với mỗi f SΓ∈ , chúng ta đặt (2.5) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 . 0 0 , ,0 0 , 0, f t t t h x t f s ds t T ϕ ϕ  ∈ −  =  + ∈  ∫ Dễ thấy rằng ( ) [ ]. ,f Ex C h T∈ − . Chúng ta đưa vào đa hàm Φ bằng cách đặt, đối với mỗi f SΓ∈ , ( ) [ ]{ : 0, :f g T E gΦ = → −đo được ( ) ( )}, , ftg t G t x∈ . Vì hàm ftt x→ là liên tục từ [ ]0,T vào [ ],0EC hσ − , cùng với [3, Hệ quả VI- 5] dẫn đến ( )fΦ khác rỗng với mọi f SΓ∈ . Hơn nữa, sử dụng định nghĩa của Γ , đối với mỗi f SΓ∈ , ta có ( ) ( ) ( )( ) [ ]1 , 0,f t t z t c t Tα≤ + ∀ ∈ , Và do đó, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] 0 0 1 , 0, t t fx t a f s ds a c s z s ds z t t Tα≤ + ≤ + + = ∀ ∈∫ ∫ . Điều này dẫn đến, đối với mỗi ( )g f∈Φ và h.k. [ ]0,t T∈ , ( ) ( ) ( )( ) ( ), 1f ft tg t G t x t x K tα∈ ⊂ + = Γ Kéo theo, ( ) ,f S f SΓ ΓΦ ⊂ ∀ ∈ . Như vậy, Φ là một đa hàm với trị lồi khác rỗng từ một tập compact metric SΓ vào chính nó. Để áp dụng định lý điểm cố định Kakutani-Ky Fan, điều kiện đủ là graph của Φ là một tập con đóng của S SΓ Γ× . Giả thiết rằng một chuỗi ( ){ } 1,k k kf g ∞ = thuộc graph của Φ hội tụ trong S SΓ Γ× về ( ),f g . Khi đó,, sử dụng định nghĩa, ( ) ( ), kfk tg t G t x∈ đối với h.k 42 [ ]0,t T∈ . Rõ ràng đối với mỗi * *e E∈ , chuỗi ( ){ }* 1 , .k ke f ∞ = (hay, ( ){ }* 1 , .k ke g ∞ = ) hội tụ tại ( )*, .e f (hay, tại ( )*, .e g ) đối với topo yếu [ ] [ ]( )1 0, , 0,L T L Tσ ∞ . Thực tế, đối với mỗi 0ε ≥ và mỗi [ ]0,t T∈ , tồn tại ( ),N N t ε= sao cho ( ) ( )* 0 , 2 t ke f s f s ds ε − ≤∫ , khi k N≥ . Lấy ( ) 0tδ δ= > đủ nhỏ, chúng ta có thể viết,với mọi [ ] [ ]' , 0,t t t Tσ δ∈ − + ∩ và đối với mọi k N≥ , ta có ước lượng sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ' * * 0 0 ' ' * * , , , 2 1 2 2 2 t t k k t t k t t e f s f s ds e f s f s ds e f s f s ds e c s z s dsε α ε ε ε − ≤ − + − ≤ + + < + = ∫ ∫ ∫ ∫ Xét [ ]{ }0, : , 1, 2,..., ,i it T t t i mδ∈ − ≤ = là một lớp phủ hữu hạn đối với [ ]0,T và định nghĩa ( ){ }max , , 1, 2,...,iN N t i mε ε= = . Khi đó, đối với tất cả [ ]0,t T∈ , ( ) ( )* 0 , t ke f s f s ds ε− <∫ với k Nε≥ . Từ đó, ta rút ra ( ) ( )*, kf ft te x xθ θ ε− < , [ ]0,t T∀ ∈ , [ ],0hθ∀ ∈ − , 43 với k Nε≥ . Điều này cho thấy kftx hội tụ về ftx trong [ ],0EC hσ − đối với topo hội tụ đều. Hơn nữa, sử dụng [3, Th. VI-4], ta được ( ) ( ), ftg t G t x∈ h.k.n trên [ ]0,T , do đó ( )g f∈Φ , hay là ( ),f g thuộc graph của Φ . Như vậy, bằng cách sử dụng định lý Kakutani-Ky Fan, Φ xác định một điểm cố định 0f SΓ∈ . Hàm ( )0 .fx , được định nghĩa bởi (2.5), là nghiệm toàn cục của FDI (2.1) thỏa điều kiện ban đầu (2.2). Đây là điều phải chứng minh. Nhận xét 2.2. Định lí 2.2 là mở rộng của định lí VI-13 trong [3]. Định lí 2.2 có vai trò quan trọng trong bài toán điều khiển đối với phương trình vi phân phiếm hàm. Định lí này không những chỉ ra sự tồn tại nghiệm toàn cục mà chỉ ra không gian pha của tập nghiệm. Điều này rất có ích cho bài toán điều khiển được. 2.4. Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm Giả sử [ ] [ ]: 0, 0,ir T h→ là các hàm liên tục i=1,2,,p; [ ]0 : ,0h Uϕ − → liên tục mạnh. U là lân cận mở của gốc trong Eσ và hàm đa trị [ ]: 0, pF T U E× → có giá trị lồi, khác rỗng, *( , )E Eσ - compact. Ta xét bao hàm thức vi phân có chậm sau: (2.6) 1 2( ) ( , ( ( )), ( ( )),..., ( ( )))px t F t x t r t x t r t x t r t • ∈ − − − , với [ ]0,t T∈ , (2.7) 0( ) ( )x θ ϕ θ= , với [ ],0hθ ∈ − Hệ quả 2.2. Giả sử rằng [ ]: 0, 2ETΓ → là một đa hàm khả tích với *( , )E Eσ lồi khác rỗng – giá trị compact trong E và [ ]: 0, 2p EF T U× → là một hàm đa trị với *( , )E Eσ lồi, khác rỗng – giá trị compact trong E thỏa mãn các điều kiện sau (i) Với mọi [ ]0,t T∈ , với mọi 1 2( , ,...., )p px x x U∈ , 1 2( , , ,...., ) ( )pF t x x x t⊂ Γ (ii) Với mọi 1 2( , ,...., )p px x x U∈ , 1 2( , , ,...., )pF x x x⋅ là hàm đa trị đo được trên [ ]0,T ; 44 (iii) Với mọi [ ]0,t T∈ , ( , )F t ⋅ là hàm đa trị nửa liên tục trên từ pU vào Eσ Khi đó bao hàm thức vi phân (2.6)-(2.7) có nghiệm địa phương trên [ ]0,h T− với [ ]0 0,T T∈ . Chứng minh. Để chứng minh điều này, cần xét tập [ ] [ ]( ){ },0 : ,0ED C h h Uϕ ϕ= ∈ − − ⊂ Và định nghĩa một đa hàm [ ]: 0, 2EG T D× → ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 2, , , ,..., pG t F t r t r t r tϕ ϕ ϕ ϕ= − − − . Kết quả được dẫn ra trực tiếp từ Định lý 2.1. 45 Chương 3. TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 3.1. Mở đầu Trong chương này, chúng tôi đề cập đến một số tính chất của tập nghiệm Caratheodory đối với một bao hàm thức vi phân (FDI) phụ thuộc tham số dưới dạng ( ) ( ), ,tx t G t x ξ • ∈ , [ ]0,t T∈ , ( ) ( )x t tϕ= , [ ],0t h∈ − . Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng với những giả thiết về tính liên tục và tính lồi phù hợp trên một đa hàm G, tập hợp của tất cả các nghiệm của bao hàm thức vi phân trên đây là một hàm đa trị nửa liên tục trên theo giá trị ban đầu ϕ và tham số ξ , với giá trị compact khác rỗng trong [ ],EC h Tσ − . Đối với các bao hàm thức vi phân thường, tính chất topo của tập nghiệm đã được nghiên cứu mở rộng trong những năm gần đây. Tuy nhiên, một vài trường hợp được biết đến của bao hàm thức vi phân và các kết quả được rút ra chỉ ứng với các FDI trong không gian có số chiều hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi xem xét các bao hàm thức vi phân tổng quát trong không gian Banach. Ứng dụng kết quả thu được, chúng tôi xem xét một vấn đề điều khiển tối ưu đối với một hệ động lực được mô tả bởi một phương trình vi phân, sự tồn tại của nghiệm tối ưu và tính liên tục của hàm tương ứng Bellman sẽ được chứng minh. Xuyên suốt chương này, E là không gian Banach khả ly với chuẩn . và với đối ngẫu mạnh *E , Eσ và *sE là không gian E và *E kết hợp với topo yếu ( )*,E Eσ và ( )*,E Eσ . Không gian Banach của tất cả các toán tử tuyến tính từ E vào E được kí hiệu là ( )L E . Với ,a b R∈ , ( ),EC a b và ( ),EC a bσ dùng để kí hiệu các không gian của các hàm liên tục từ [ ],a b vào E và Eσ , cùng với topo hội tụ đều. Rõ ràng ( ) ( ), ,E EC a b C a bσ⊂ . Không gian ( ),EC a b kết hợp với topo cảm sinh hội tụ đều của ( ),EC a bσ được kí hiệu là ( ),EC a b σ . Không gian của tất cá các hàm khả tích Bochner từ [ ],a b vào E được kí hiệu là ( )1 ,EL a b . Như đã biết 46 ( )( ) ( )*'1 , , s E E L a b L a b∞= , kí hiệu này dùng để chỉ không gian các hàm đo được bị chặn từ [ ],a b vào *sE . Để tiện giản, chúng tôi sẽ bỏ qua việc định nghĩa khoảng ( ),a b trong các kí hiệu trên đây của các không gian hàm khi không cần thiết. Cuối cùng, đặt ( )tΓ là một hàm đa trị đo được từ [ ]0,T vào E, khi đó chúng tôi sẽ dùng kí hiệu SΓ để chỉ tất cả các tập đo được của Γ. 3.2. Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều khiện ban đầu. Gọi E là không gian Banach khả ly. Đối với 0T > cho trước và 0h ≥ , đặt [ ] ( ): 0, ,0EF T C h E× − → là một hàm đa trị, thỏa mãn các điều kiện sau đây: (3.i) Đối với mỗi ( ) [ ] ( ), 0, ,0Et T C hϕ ∈ × − , ( ),F t ϕ là một tập con có giá trị lồi khác rỗng, *( , )E Eσ compact của E, (3.ii) Đối với mỗi ( ),0EC hϕ∈ − , ( ).,F ϕ là một hàm đa trị đo được trên [ ]0,T ; (3.iii) Đối với mỗi [ ]0,t T∈ , ( ),.F t là một hàm nửa liên tục trên từ ( ),0EC hσ − vào Eσ , (3.iv) Điều kiện tăng tuyến tính: Tồn tại một tập lồi, cân, *( , )E Eσ compact K và một hàm khả tích dương ( ) [ ]. : 0,T Rα → sao cho, đối với mỗi ( ),0EC hϕ∈ − , ( ) ( )( ), 1F t t Kϕ α ϕ⊂ + . Đặt [ ] ( ): 0,A T L E→ là một hàm khả tích Bochner, thỏa ( ) 0 T A t dt < ∞∫ . Chúng ta xét bao hàm thức vi phân có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) [ ], , 0,tx t A t x t F t x t T • ∈ + ∈ , (3.1) Với điều kiện ban đầu 47 ( ) ( )x t tϕ= , [ ],0t h∈ − , (3.2) ở đây ϕ là một phần tử cho trước trong ( ),0EC h− và sử dụng định nghĩa ( ) ( )tx x tθ θ= + với [ ],0hθ ∈ − . Một hàm ( ) ( ). ,Ex C h T∈ − thỏa mãn (3.2) là một nghiệm của FDI (3.1)- (3.2) nếu ( ).x hoàn toàn liên tục trên [ ]0,T và thỏa mãn (3.1) với mọi [ ]0,t T∈ Lấy ( ),0EM C h∈ − là một tập con compact cho trước sao cho M compact trong ( ),0EC hσ − . Định lý 3.1. Với các giả thiết trên đây, đối với mỗi Mϕ∈ , tập hợp ( )N ϕ của tất cả các nghiệm của (3.1)-(3.2) là một tập con khác rỗng của ( ),EC h T− . Hơn nữa, đa hàm ( ): ,EN M C h Tσ→ − là n.l.t.t. Chứng minh. Phần đầu cần chứng minh tương tự với Định lý 2.2, nhưng có đôi chút phức tạp hơn bởi vì sự hiện diện của hạng tử tuyến tính ( )A t x trong vế phải của (3.1). Chúng ta sẽ chỉ ra một cách chi tiết ở đây: Kí hiệu ( ) [ ]{ }sup , ,0 ,a t t h Mϕ ϕ= ∈ − ∈ , { }1 sup ,c x x K= ∈ và { }1max ,1c c= . Vì K compact yếu, ta có c < ∞ . Giả sử ( ).x là một nghiệm của FDI (3.1)-(3.2), khi đó dễ thấy rằng, đối với [ ]0,t T∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , t sx t A s x s F s x dsϕ  ∈ + + ∫ . Do đó, sử dụng (3.iv), ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 t sx t a A s x s c s x dsα ≤ + + + ∫ . Điều này dẫn đến 48 ( ) ( )( )( ) 0 1 t t sx a c A s s x dsα≤ + + +∫ , Sử dụng bổ đề Gronwall, thu được ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 : 1 exp 1 t tx z t a c A s s dsα   ≤ = + + −    ∫ , với [ ]0,t T∈ . Ta xét hàm hàm đa trị từ [ ]0,T vào E sau đây ( ) ( ) ( )( )1t t z t KαΓ = + . Khi đó, như đã biết, tập hợp SΓ của tất cả các tập hợp đo được của Γ là compact trong topo yếu ( )*1 , s E E L Lσ ∞ . Đối với mỗi f SΓ∈ và ( ),0EC hϕ∈ − , ta đi định nghĩa hàm ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , 1 0 , ,0 , 0 , 0, , f t t t h x t t t s f s ds t T ϕ ϕ ϕ −  ∈ −  =  Φ +Φ Φ ∈  ∫ ở đây toán tử hàm [ ] ( ): 0,T L EΦ → là nghiệm toán tử cơ bản của phương trình tuyến tính ( ) ( ) ( )x t A t x t • = , ví dụ ( )tΦ thỏa phương trình ( ) ( ) ( )t A t t • Φ = Φ và ( )0 IΦ = (toán tử đơn vị trong E). Trong phần dưới, chúng ta lược bỏ chỉ số trên ϕ trong kí hiệu ( ),fx tϕ cho đơn giả