Luận văn Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ thông

( )y xα α= ∈ nhưng các ví dụ sau đó chỉ sử dụng kết quả ( )( ) ( ) ( )1. . 'u x u x u xα αα −′ = để tính đã làm giảm vai trò của nghĩa ba. Về mặt lý thuyết, nghĩa hai và ba của khái niệm logarit đã được [KN] chú ý hơn [KC]. Tuy vậy nghĩa một và nghĩa bốn vẫn không được [KN] quan tâm. Dù trong bài 5.Hàm số mũ và hàm số logarit có đề cập “Với mỗi giá trị thực dương của x , ta luôn xác định được một giá trị loga x (duy nhất)” ([KN], tr.101) nhưng mục đích nhằm hợp thức hóa định nghĩa khái niệm hàm số logarit sau đó. Về vai trò công cụ của khái niệm logarit: Hai vai trò công cụ: đơn giản hóa biểu thức phức tạp dạng tích và tính số các chữ số đứng trước dấu phẩy của số thực dương được [KN] giới thiệu tường minh trong phần bài học. Vai trò công cụ đơn giản hóa được đề cập qua: chứng minh công thức đạo hàm hàm mũ, hàm lũy thừa; không sử dụng máy tính, tính ba và giải các PT mũ dạng ( )f xa b= ; ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= . Cụ thể những trình bày đó như sau: • Trước khi có máy tính, để tính các lũy thừa với số mũ phức tạp, người ta thường dùng phương pháp “logarit hóa” với logarit cơ số 10 và các tính chất được thực hiện nhờ bảng số. Ví dụ 6. Để tính 3,22,1 người ta làm như sau: - Tính 3,2log 2,1 : 3,2log 2,1 3,2 log 2,1 1,0311= ≈ - Từ đó suy ra 3,2 1,03112,1 10 10,7424≈ ≈ ([KN], tr.88) • Ví dụ 7: Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)? Giải: Theo công thức lãi kép ( )1 NC A r= + , sau N năm gửi, người gửi sẽ có một số tiền là: ( )6. 1 0,0756 N+ . Từ đó, ta phải tìm N sao cho : ( ) ( )12 6. 1 0,0756 1N= + Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (1), ta được ( )log12 log 6 log 1 0,0756N= + + . Suy ra: log12 log 6 9,51 log1,0756 N −= ≈ . Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số vốn 6 triệu đồng ban đầu. ([KN], tr.88 và tr.89) • Ví dụ 8. Giải PT 21 23 .2 8.4x x x− −= Giải: Dễ thấy hai vế của PT xác định với mọi x và luôn nhận giá trị dương. Do đó có thể 45 logarit hóa hai vế theo cơ số 2. Ta có: 21 23 .2 8.4x x x− −= ( ) ( )22 2 21 log 3 log 8 2 log 4x x x⇔ − + = + − ( )2 2 22 log 3 1 log 3 0x x⇔ − − + − = PT bậc hai cuối cùng có hai nghiệm 1x = và 21 log 3x = − . Đó là hai nghiệm của PT đã cho. ([KN], tr.122 và tr.123). Như vậy, [KN] đề cập 3 ứng dụng khác nhau nhưng chúng có điểm chung: logarit cho phép chuyển về tính toán trên các biểu thức đơn giản hơn hoặc những kĩ thuật giải đã có. Cụ thể như sau: Ở ví dụ 6, [KN] giới thiệu kĩ thuật tính ba không sử dụng máy tính. Theo đó để tính ba , cần lấy logarit thập phân tác động vào ba , biến đổi thành logb a và tính log10b a . Dù kết quả 1,031110 10,7424≈ không được thể hiện rõ, nhưng chúng tôi dự đoán chúng được thực hiện bởi bảng số. Ở ví dụ 7 và 8, [KN] đã giới thiệu kĩ thuật giải . Nc a b= và ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= nhờ sử dụng công cụ logarit. Thay vì giải trực tiếp, logarit tác động vào hai vế, chuyển giải PT đã cho về giải PT bậc nhất, bậc hai. Về vai trò công cụ tính số các chữ số đứng trước dấu phẩy của số thực dương, [KN] trình bày như sau: Rõ ràng khi 10nx = thì log x n= . Còn với số 1x ≥ tùy ý, viết x trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là 1n + , trong đó n là phần nguyên của log x , [ ]logn x= . Thật vậy, 10n là số tự nhiên bé nhất có 1n + chữ số nên số các chữ số đứng trước dấu phảy của x bằng 1n + khi và chỉ khi 110 10n nx +≤ < , tức là log 1n x n≤ < + ; điều này chứng tỏ [ ]logn x= . Ví dụ 8. Để tìm số các chữ số của 20082 khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của log2 là 0,3010 và được: [ ]2008.log 2 1 [2008.0,3010] 1 [604,408] 1 605+ = + = + = Vậy số 20082 có 605 chữ số. ([KN], tr.89) Như vậy, logarit được [KN] giới thiệu như một công cụ hiệu quả tìm số chữ số đứng trước dấu phẩy của số thực dương x . Theo đó, số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là [ ]log 1x + , với [ ]log x là phần nguyên của log x . Trên cơ sở đó logarit cho phép tính được số các chữ số của số nguyên dương khi viết trong hệ thập phân. Về mặt lí thuyết, [KN] đã giới thiệu tường minh nghĩa hai và ba của khái niệm logarit, những ví dụ kèm theo mà lời giải huy động hai nghĩa và hai vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức và tính số chữ số trước dấu phẩy của một số thực dương x . 46 2.3.2. Phần bài tập Liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit, [KN] và [TN] cũng đề cập 6 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4. Điều khác biệt, [KN] và [TN] đã bổ sung thêm 2 KNV TPTMu5 và TChuSo sau: TPTMu5: “Giải PT mũ ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= với 0 , , 1a b c< ≠ và , ,a b c đôi một khác nhau; k biểu diễn được về a hoặc b hoặc c lũy thừa mũ số nguyên” TChuSo: “Tính số chữ số của một số nguyên dương n cho trước” Nghiên cứu các nhiệm vụ thuộc 6 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4 chúng tôi ghi nhận: + Kĩ thuật giải 6 KNV tương tự trong [KC] và [TC]. Vì thế yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho mỗi kĩ thuật hoàn toàn không thay đổi. + Số lượng bài tập thuộc 6 KNV nhiều hơn. So với 50 nhiệm vụ trong [KC], [TC], chúng tôi thống kê được trong [KN], [TN] có 143 nhiệm vụ thuộc 6 KNV (Kể cả ví dụ và hoạt động). + Nhiều nhiệm vụ có nội dung thực tế đã được [KN] bổ sung như: tính số năm gởi theo thể thức lãi kép; tính số năm chất phóng xạ phân hủy,.Tuy nhiên, xét cho cùng chúng thuộc TPTMu1. Vì thế, chúng tôi chỉ khảo sát TPTMu5 và TChuSo và không phân tích thêm về 6 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4. Về KNV TPTMu5: Nhiệm vụ điển hình thuộc TPTMu5 ở [KN] và kết quả tương ứng trong [VN] như sau: Bài 70. Giải các PT sau: [] c) 13 .8 36 x x x+ = ([KN], tr.125) Kết quả trong [VN]: ( ){ }32; 1 log 2S = − + ([VN], tr.159) Chúng tôi chỉ nhận được kết quả cung cấp từ [VN] mà không thấy lời giải cụ thể. Tuy nhiên xem xét lời giải ví dụ 8, phần bài học (đã nêu ra trong mục bài học) chúng tôi tìm ra kĩ thuật 6.CCLogτ giải TPTMu5. Kĩ thuật giải được chúng tôi phát biểu dựa trên lời giải ví dụ mẫu trong [KN] và những đặc trưng sau: + Hai số ,a b trong PT ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= không thể đưa về lũy thừa mũ số hữu tỉ của cùng một cơ số và số c luôn đưa được về dạng .m nc a b= với ,m n∈ . + PT ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= luôn tồn tại một nghiệm vô tỉ dạng log y t .  Kĩ thuật 6.CCLogτ : + Điều kiện cho PT (nếu có). 47 + Lấy logarit cơ số a (hoặc logarit cơ số b) hai vế PT ( ) ( )( ) . .g x h xf xa b k c= , chuyển PT đã cho về PT đại số. + Giải PT đại số bằng các kĩ thuật giải PT (PT bậc nhất, bậc hai,) đã học. + Đối chiếu nghiệm PT đại số với điều kiện PT đã cho và kết luận. Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên: + Các tính chất của logarit. + Các định lí về nghiệm của PT bậc nhất, bậc hai, PT tích. + Tính đơn điệu của hàm logarit logay x= hoặc logby x= . Nhận xét: Sự lựa chọn của các tác giả SGK về đặc trưng cho TPTMu5 đã tạo điều kiện cho chiến lược sử dụng logarit tác động vào hai vế PT trở thành tối ưu. Thay vì giải trực tiếp, logarit cho phép chuyển PT về dạng có thể giải được. Do đó, TPTMu5 đã tạo môi trường thích hợp cho vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức của logarit được hình thành ở HS. Về KNV TChuSo: Nhiệm vụ duy nhất cho TChuSo được trình bày ở [KN] và lời giải từ [VN] như sau: Bài 40. Số nguyên tố dạng 2 1ppM = − , trong đó p là một số nguyên tốt được gọi là số nguyên tố Mec-xen (M. Mersenne, 1588 – 1648, người Pháp). Ơ - le phát hiện M31 năm 1750. Luy- ca (E.Lucas, 1842 – 1891, người Pháp) phát hiện M127 năm 1876. M1398269 được phát hiện năm 1996. Hỏi rằng nếu viết ba chữ số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số? ([KN], tr.93) Lời giải được trích từ [VN]: 31 31 2 1M = − và số các chữ số của 31M khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của 2 31 nên số các chữ số của M31 là: [ ]31.log 2 1 [9,3] 1 10+ = + = . Tương tự, số các chữ số của 127127 2 1M = − khi viết trong hệ thập phân là: 127 [127.log 2] 1 38 1 39M = + = + = . Số các chữ số của 1398269M khi viết trong hệ thập phân là: [1398269.log 2] 1 420921+ = ([VN], tr.137) Qua lời giải mong đợi, chúng tôi tìm thấy kĩ thuật ChuSoτ giải TChuSo như sau: + Tìm phần nguyên của số log n . + Số các chữ số của số nguyên dương n là [log ] 1n + . Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên: + Tính chất của logarit, số thực và phần nguyên của số thực. Nhận xét: + KNV TChuSo là một nhiệm vụ con của tính số các chữ số trước dấu phẩy của số thực dương. Kĩ thuật ChuSoτ là kĩ thuật tối ưu để tính số chữ số của số nguyên bất kì. 48 + Số lượng bài tập ít ỏi (chỉ 3 bài tập) cho thấy [KN], [TN] không quan tâm nhiều đến vai trò công cụ này, những trình bày chỉ mang tính chất giới thiệu. Ngoài ra, [KN] bổ sung nhiều bài đọc thêm về logarit. [KN] đã cung cấp thêm thông tin: logarit ra đời để đơn giản hóa nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương (bài “Về lịch sử phát minh logarit và bảng logarit”) và logarit chuyển nồng độ ion H+ về đại lượng pH dễ kiểm soát hơn (“Logarit trong một số công thức đo lường”). Tuy nhiên, học sinh hoàn toàn không được thao tác chúng, sử dụng chúng. Vì thế các vai trò công cụ này không tồn tại ở học sinh. Dưới đây là bảng thống kê bài tập thuộc 8 KNV có mặt trong [KN] và [TN] liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit. Cụ thể như sau: Bảng 2.2. Thống kê bài tập của 8 kiểu nhiệm vụ TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4, TPTMu5, TChuSo trong [KN] và [TN] KNV Kĩ thuật [KN], [TN] ưu tiên giải quyết KNV Nghĩa của khái niệm logarit được đề cập Số lượng bài tập Hoạt động, ví dụ Trong [KC] Trong [TC] Tổng số TTinh Nghĩa ba 2 6 18 26 TPTLog Nghĩa ba 8 26 28 62 TPTMu1 Công cụ logarit Nghĩa ba 1 7 5 13 TPTMu3 Cùng cơ số 2 5 10 17 TPTMu2 Cùng cơ số 0 6 4 18 Nghĩa 2 logarit Nghĩa hai 1 3 4 TPTMu4 Cùng cơ số 1 2 2 8 Công cụ logarit 0 1 2 TPTMu5 Công cụ logarit 2 2 2 6 TChuSo Công cụ logarit 1 1 1 3 Tổng 18 59 76 153 Nghĩa ba được huy động ngầm ẩn trong kĩ thuật giải TTinh, TPTLog, TPTMu1 với số lượng bài tập áp đảo (90/97 bài tập huy động hai nghĩa), trong khi nghĩa hai chỉ được vận dụng trong kĩ thuật giải PT xa b= khi b không đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ với số lượng ít ỏi (7/97 bài). Vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức được thể hiện trong kĩ thuật giải TPTMu1, TPTMu4, TPTMu5 khi b không biểu diễn được về dạng na , n∈ với 19 bài tập. So với [KC] và [TC] thì [KN], [TN] có để ý đến vai trò công cụ này. Tuy nhiên, trong 55 bài thuộc 5 KNV TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4, TPTMu5 kĩ thuật đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ vẫn chiếm tỉ lệ cao (36/55). Vai trò công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước của logarit chỉ chiếm tỉ lệ rất nhỏ (2 bài). 49 2.3.3. Kết luận + Khái niệm logarit cơ số 𝑎 của b được định nghĩa là số thực 𝛼 thỏa 𝑎𝛼 = 𝑏. + [KN] giới thiệu tường minh hai nghĩa (nghĩa hai, nghĩa ba) của khái niệm logarit trong định nghĩa đầu tiên về khái niệm logarit và biện luận nghiệm PT xa m= . + Nghĩa hai được sử dụng giải PT xa b= dù b đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ. Trong khi nghĩa ba được huy động trong kĩ thuật tính logb ca , giải các PT ( )loga f x b= , chứng minh công thức đạo hàm của hàm mũ xy a= và hàm lũy thừa y xα= . + Nghĩa thứ nhất và nghĩa bốn của khái niệm logarit không được để ý đến, hoàn toàn vắng mặt trong các KNV liên quan của [KN] và [TN]. + [KN] giới thiệu tường minh vai trò tính số các chữ số trước dấu phẩy của số thực dương và vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức qua: chứng minh công thức đạo hàm của hàm mũ, lũy thừa; không sử dụng máy tính, tính ba và giải các PT ( )f xa b= , ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= khi b không đưa được về a lũy thừa với mũ số hữu tỉ. + Phần bài tập, [KN] và [TN] đề cập 8 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4, TPTMu5 và TChuSo liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ. Chúng tôi sơ đồ hóa sự thể hiện của [KN], [TN] về các KNV liên quan nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit qua hình 2.2 sau (Trang sau): + Nghĩa ba được huy động ngầm ẩn trong kĩ thuật giải các KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1 với số lượng bài tập tương đối nhiều thì nghĩa hai chỉ được huy động trong kĩ thuật giải TPTMu2 khi b không đưa được về a lũy thừa với mũ số hữu tỉ. Hình 2.2. Mối liên hệ giữa các KNV liên quan nghĩa và vai trò công cụ trong [KN], [TN] 50 + Vai trò công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương của logarit xuất hiện khá mờ nhạt trong [KN], [TN]. Còn vai trò công cụ đơn giản hóa của logarit chỉ được thể hiện trong kĩ thuật giải quyết TPTMu1, TPTMu4, TPTMu5 khi b biểu diễn được dưới dạng loga ba với loga b là số vô tỉ. + So với [KC], các tác giả [KN] chú ý nhiều hơn đến vận dụng trực tiếp định nghĩa logarit trong giải PT mũ xa b= và sử dụng logarit như công cụ giải PT ( ) ( )f x g xa b= , ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= . Tuy nhiên vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức cho dưới dạng tích của logarit vẫn chưa được [KN] và [TN] quan tâm một cách thỏa đáng. 2.4. Kết luận chương 2 + Khái niệm logarit cơ số a của b, với 0 1, 0a b luôn được định nghĩa trực tiếp là số thực α thỏa a bα = . + Khái niệm logarit tồn tại theo bốn nghĩa nhưng thể chế thực sự không quan tâm nghĩa một – logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số logay x= tại x b= - và nghĩa bốn – loga b là tỉ số giữa hai tích phân 1 1b dx x∫ và 1 1a dx x∫ (hay loga b là tỉ số giữa hai diện tích có dấu 1 1b dx x∫ và 1 1a dx x∫ - Các SGK không giới thiệu cũng như không đưa vào nhiệm vụ mà kĩ thuật giải huy động nghĩa này tính toán. Trong khi đó, nghĩa hai (Logarit cơ số a của b, với 0 1, 0a b là nghiệm của PT xa b= ) và nghĩa ba (Logarit cơ số a của b, với 0 1,a là số thực α thỏa a bα = ) được trình bày tường minh ở lý thuyết qua tình huống biện luận nghiệm của PT xa b= , định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit và các ví dụ, hoạt động. Những kết luận này cho phép chúng tôi trả lời được câu hỏi đặt ra ở phần đầu luận văn “Tại sao chỉ hai nghĩa (nghiệm của PT 3 7x = và số mà 3 lũy thừa số đó bằng 7) được SV huy động để giải thích cho 3log 7 ?”. + Có 8 KNV liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit xuất hiện trong SGK Việt Nam là TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4, TPTMu5, TChuSo . TTinh: Tính giá trị của biểu thức dạng logb ka . TPTLog: Giải các PT đưa được về dạng ( )loga f x b= với 0 1a< ≠ . TPTMu1: Giải các PT mũ dạng 1 (PT mũ dạng ( )f xa b= trong đó b không thể đưa về 𝑎 lũy thừa mũ hữu tỉ và ( )f x x≠ ) hoặc đưa được về dạng 1. 51 TPTMu2: Giải các PT mũ đưa được về dạng cơ bản xa b= . TPTMu3: Giải các PT mũ dạng 2 (PT mũ dạng ( )f xa b= trong đó b đưa được về 𝑎 lũy thừa mũ hữu tỉ và ( )f x x≠ ) hoặc đưa được về dạng 2. TPTMu4: Giải PT mũ ( ) ( )f x g xa b= với 0 , 1 ;a b a b< ≠ ≠ , ( ) ( );f x x g x x≠ ≠ TPTMu5: Giải PT mũ ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b k c= với 0 , , 1a b c< ≠ và , ,a b c đôi một khác nhau; k biểu diễn được về a hoặc b hoặc c lũy thừa mũ hữu tỉ. TChuSo: Tính số chữ số của một số nguyên dương n cho trước Trong số các KNV trên, 4 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1 và TPTMu2 luôn có mặt trong các SGK. Nghĩa ba được sử dụng ngầm ẩn trong kĩ thuật giải quyết TTinh, TPTLog, TPTMu1 với số lượng lớn bài tập, thì nghĩa hai thực sự chỉ được huy động trong kĩ thuật giải TPTMu2 khi b không đưa được về a lũy thừa với mũ hữu tỉ. Tuy nhiên, số lượng bài tập thuộc KNV TPTMu2 mà nghĩa hai được huy động giải không nhiều đã hạn chế ảnh hưởng nghĩa hai đến HS. Từ đây chúng tôi giải thích được “Nguyên nhân gì đã làm cho 94% SV giải được PT 2 5x = trong khi đó 82,2% SV không giải thích được hoặc giải thích sai về 𝑙𝑜𝑔37?”. Do HS được thực hành nhiều về kĩ thuật giải PT ( )f xa b= , nhưng chỉ huy động ngầm ẩn các nghĩa của khái niệm logarit trong tính toán và không có nhiệm vụ yêu cầu phát biểu tường minh nên rất ít SV giải thích được nghĩa của 𝑙𝑜𝑔37. Vai trò công cụ đơn giản hóa chỉ được thể chế đề cập trong tổ chức toán học thuộc KNV TPTMu1, TPTMu4, TPTMu5 qua giải PT ( )f xa b= , ( ) ( )f x g xa b= và ( ) ( ).f x g xa b c= . Tuy nhiên chỉ khi “b không đưa được về 𝑎 lũy thừa mũ hữu tỉ” thì vai trò công cụ ấy mới được thể hiện, thể chế vẫn ưu tiên kĩ thuật đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ. Vai trò công cụ tính số các chữ số của số nguyên dương cho trước chưa được thể chế quan tâm, những trình bày trong [KN] chỉ mang tính chất giới thiệu. Từ những phân tích về mối quan hệ thể chế với nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit cho phép chúng tôi kết luận được: • Thể chế thực sự đã không tạo điều kiện cho nghĩa “logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số logarit logay x= tại x bằng b” và “ loga b là tỉ số giữa hai tích phân 1 1b dx x∫ và 1 1a dx x∫ (hay loga b là tỉ số giữa hai diện tích có dấu 1 1b dx x∫ và 1 1a dx x∫ )” được hình thành ở HS. 52 • Vai trò công cụ nhằm đơn giản hóa một số tính toán phức tạp bằng kĩ thuật logarit hóa chưa được thể chế chú ý thiết lập cho HS. Ngoài ra, chúng tôi đề ra hai giả thuyết và câu hỏi nghiên cứu sau: Giả thuyết H1: Đối với học sinh học SGK Giải tích 12 Cơ bản, khi giải các phương trình dạng ( )f xa b= , ( ) ( )f x g xa b= có b đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ, học sinh ưu tiên sử dụng kĩ thuật đưa về cùng cơ số dù kĩ thuật logarit – logarit hóa hai vế phương trình – tổng quát hơn, học sinh chỉ ưu tiên sử dụng kĩ thuật logarit để biến đổi khi b không biểu diễn được về a lũy thừa mũ số hữu tỉ. Giả thuyết H2: Dù biết sử dụng kĩ thuật logarit hóa tác động vào hai vế các phương trình ( ) ( )f x g xa b= , ( ) ( ).f x g xa b c= để giải, khi b không đưa được về a lũy thừa mũ số hữu tỉ nhưng vai trò công cụ đơn giản hóa – chuyển việc nghiên cứu các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương về dạng đơn giản hơn – của logarit không được học sinh huy động trong trường hợp cần thiết. Vậy, có thể xây dựng một tình huống cho phép học sinh lớp 12 tiếp cận một trong các vai trò công cụ của logarit hay không? Để kiểm tra giả thuyết và trả lời câu hỏi đặt ra chúng tôi thực hiện thực nghiệm trên đối tượng HS lớp 12 đã học về logarit và thiết kế một tình huống dạy học. Những kết quả nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong chương 3 – Thực nghiệm. 53 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM Mục đích chúng tôi thiết kế chương này là trả lời câu hỏi nghiên cứu “Có thể xây dựng một tình huống cho phép học sinh lớp 12 tiếp cận một trong các vai trò công cụ của khái niệm logarit hay không?” và kiểm tra tính xác đáng của hai giả thuyết nghiên cứu H1, H2 được phát biểu ở cuối chương 2 sau: H1: Đối với học sinh học SGK Giải tích 12 Cơ bản, khi giải các phương trình dạng ( )f xa b= , ( ) ( )f x g xa b= có b đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ, học sinh ưu tiên sử dụng kĩ thuật đưa về cùng cơ số dù kĩ thuật logarit – logarit hóa hai vế phương trình – tổng quát hơn, học sinh chỉ ưu tiên sử dụng kĩ thuật logarit để biến đổi khi b không biểu diễn được về a lũy thừa mũ số hữu tỉ. H2: Dù biết sử dụng kĩ thuật logarit hóa tác động vào hai vế các phương trình ( ) ( )f x g xa b= , ( ) ( ).f x g xa b c= để giải, khi b không đưa được về a lũy thừa mũ số hữu tỉ nhưng vai trò công cụ đơn giản hóa – chuyển việc nghiên cứu các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương về dạng đơn giản hơn – của logarit không được học sinh huy động trong trường hợp cần thiết. Để đạt được những mục đích trên, chúng tôi thực hiện hai thực nghiệm sau: + Thực nghiệm 1: Tìm hiểu mối quan hệ của HS về việc vận dụng logarit như công cụ tính toán và kiểm chứng hai giả thuyết H1, H2. + Thực nghiệm 2: Xây dựng và triển khai một đồ án didactic cho phép HS tiếp cận và vận dụng logarit như một công cụ chuyển việc nghiên cứu các biểu thức phức tạp về biểu thức đơn giản hơn dựa trên các tính chất của logarit. A. THỰC NGHIỆM 1 3.1. Mục đích thực nghiệm Như trình bày trên, mục đích thực nghiệm 1 này là tìm hiểu mối quan hệ cá nhân HS về vận dụng logarit như công cụ tính toán và kiểm chứng giả thuyết H1, H2. Nghiên cứu ở chương 1, 2 cho thấy: logarit thể hiện vai trò công cụ đơn giản hóa trong kĩ thuật giải KNV “tính đạo hàm các hàm số dạng ( ) ( ) ( )1 21 2. ... nny f x f x f xαα α= , ( ) ( )g xy f x= ” ; TGHVoDinh “tính các giới hạn vô định 0 01 , ,0∞ ∞ ”; “giải các PT ( ) ,f xa b= ( ) ( ) ,f x g xa b= ( ) ( ).f x g xa b c= ” và TChuyen “chuyển các hàm lũy thừa, hàm mũ về hàm tuyến tính hay bán 54 tuyến tính”. Tuy nhiên, TGHVoDinh, TChuyen và “tính đạo hàm hàm số ( ) ( ) g xy f x= ” hoàn toàn không tồn tại ở chương trình Toán phổ thông, vì thế để kiểm chứng giả thuyết H1 chúng tôi chọn KNV “giải các PT ( ) ,f xa b= ( ) ( )f x g xa b= ” thực nghiệm, trong khi giả thuyết H2 được kiểm chứng qua “tính đạo hàm các hàm số dạng ( ) ( ) ( )1 21 2. ... nny f x f x f xαα α= ” và “giải các PT ( ) ( ) ,f x g xa b= ( ) ( ).f x g xa b c= ”. 3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm Chúng tôi thực nghiệm trên HS lớp 12 đã học logarit chương trình Toán cơ bản, đối tượng đã tiếp xúc các KNV liên quan đến logarit. Thời gian thực nghiệm là 30 phút. Trong thời gian 30 phút, từng HS độc lập giải hai bài toán 1 và 2. Thông qua các bài giải cá nhân của HS cho phép chúng tôi quan sát được: + Các kĩ thuật giải HS ưu tiên giải quyết các KNV “giải các PT ( ) ,f xa b= ( ) ( )f x g xa b= ” và tính đạo hàm các hàm số dạng ( ) ( ) ( )1 21 2. ... nny f x f x f xαα α= . + Vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức của logarit có được hình thành ở HS? HS ứng xử như thế nào khi gặp KNV cần huy động logarit như công cụ đơn giản hóa như “giải các PT ( ) ( )f x g xa b= , ( ) ( ).f x g xa b c= ” và “tính đạo hàm của các hàm số dạng ( ) ( ) ( )1 21 2. ... nny f x f x f xαα α= ” ? + Khẳng định hay bác bỏ được hai giả thuyết H1, H2 mà chúng tôi đã đưa ra. 3.3. Nội dung các câu hỏi thực nghiệm Bài 1. Giải các PT sau: a) 2 527 3. 9x− = b) ( )61 2 316 8. 2. 4 xx− = c) 2 1 12 3x x+ −= d) 212 .5 5x x+ = Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số ( ) ( ) ( )3 42 2 21 . 3 . 4y x x x= + + + 3.4. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 3.4.1. Biến tình huống và giá trị của chúng Các câu hỏi thực nghiệm 1 được xây dựng dựa trên một số biến tình huống sau: V1: KNV hoàn thành liên quan đến logarit. Các giá trị của biến: + Giải PT mũ ( ) ( ) ( );f x f x g xa b a b= = hay ( ) ( ).f x g xa b c= . + Tính đạo hàm của hàm số dạng ( ) ( ) ( )1 21 2. ... .nny f x f x f xαα α= 55 V2: Các biểu thức được cho trong các KNV. Các giá trị của biến: + Biểu thức được cho dưới dạng tích hoặc thương. + Biểu thức không cho dưới dạng tích hoặc thương. 3.4.2. Biến didactic và giá trị của chúng V3: Dạng của biểu thức ( ) ( ),f x g x trong các PT ( )f xa b= , ( ) ( )f x g xa b= , ( ) ( ).f x g xa b c= . Giá trị của biến: + Số thực. + Nhị thức bậc nhất theo biến x. + Tam thức bậc hai theo biến x. V4: Quan hệ giữa ( ) ( ),f x g x trong các PT ( ) ( )f x g xa b= , ( ) ( ).f x g xa b c= . Giá trị của biến: + Tồn tại số thực 0k ≠ sao cho ( ) ( ).f x k g x= , với mọi x thỏa điều kiện PT. + Không tồn tại số thực 0k ≠ sao cho ( ) ( ).f x k g x= , với mọi x thỏa điều kiện PT. V5: ,a b trong các PT ( )f xa b= , ( ) ( )f x g xa b= , ( ) ( ).f x g xa b c= có thể chuyển về lũy thừa của cùng một cơ số với số mũ hữu tỉ. Giá trị của biến: Có hay không. V6: Dạng của các biểu thức ( )if x trong PT hàm số ( ) ( ) ( )1 21 2. ... nny f x f x f xαα α= Giá trị của biến: + Tồn tại ( )if x chuyển về được lũy thừa với số mũ thực của ( )jf x với j i≠ . + Tất cả ( )if x không chuyển về được lũy thừa với số mũ thực của ( )jf x với j i≠ . V7: Tính xác định dương hay âm của các biểu thức ( )if x trong ( ) ( ) ( )1 21 2. ... nny f x f x f xαα α= Giá trị của biến: + Tất cả ( ) 0if x > với mọi x thuộc tập xác định hàm số. + Tồn tại x thuộc tập xác định hàm số sao cho ( ) 0if x ≤ . V8: Độ lớn của n trong PT hàm số ( ) ( ) ( )1 21 2. ... nny f x f x f xαα α= Giá trị của biến: 2n ≤ hay 2n > . 3.4.3. Đặc trưng của các tình huống nhìn qua lựa chọn các giá trị của biến didactic, biến tình huống Bảng 3.1. Biến didactic, biến tình huống được chọn cho các nhiệm vụ ở bài 1 Biến Bài 1a Bài 1b Bài 1c Bài 1d 56 V1 Giải PT mũ ( )f xa b= Giải PT mũ ( ) ( )f x g xa b= Giải PT mũ ( ) ( )f x g xa b= Giải PT mũ ( ) ( ).f x g xa b c= V3 ( )f x là nhị thức bậc nhất theo biến x. ( ) ( ),f x g x là nhị thức bậc nhất theo biến x. ( ) ( ),f x g x là nhị thức bậc nhất theo biến x. ( )f x là nhị thức bậc nhất , ( )g x là tam thức bậc hai theo biến x. V4 Không tồn tại số thực 0k ≠ sao cho ( ) ( ).f x k g x= , với mọi x thỏa điều kiện PT. Không tồn tại số thực 0k ≠ sao