Luận văn Nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng véctơ

ụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết tối ưu. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 2 4. Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng 1. Tính chất đặc trƣng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng trong không gian Banach của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) dưới ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn. Chú ý rằng bài toán tối ưu hóa một tập là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng vectơ. Chƣơng 2. Tính chất đặc trƣng của nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ Trình bày điều kiện đủ và tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach của Gong ([7], 2001) bằng cách sử dụng định lí phạm trù Baire. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 3 Chƣơng 1 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng trong không gian Banach dưới ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn. Các kết quả trình bày trong chương này là của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007). 1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại x X . 1.1.1. Định nghĩa Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương  v X tại x , kí hiệu là  0 ,f x v được xác định như sau:  0 0 ( ) ( ) , limsup x x t f y tv x f x v t     (1.1) trong đó , 0x X t  . 1.1.2 Định lí Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x . Khi đó, (i) Hàm 0( , )v f x v hữu hạn , thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và 0 ( ; )f x v K v . (ii) 0( , )f x v nửa liên tục trên theo  , ,x v  0 ,.f x Lipschitz với hằng số K trên X. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 4 (iii) 0 0( ; ) ( ) ( , )f x v f u v  . Chứng minh: (i) Do f là Lipschitz địa phương tại với hằng số Lipschitz K, cho nên tồn tại lân cận U của x sao cho với mọi ,y z U ,  ( )f y f z K y z   . Do đó, từ (1.1) ta có 0 0 ( , ) limsup x x t K tv f x v K v t    bởi vì với t đủ nhỏ, y U thì y tv U  . Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm  0 ,.f x . Với 0  , ta có  0 0 ( ) ( ) , limsup y x t f y t v f y f x v t       = 0 0 ( ) ( ) limsup ( , ) y x t f y t v f y f x v t         .  hàm  0 ,.f x thuần nhất dương. Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính:  0 0 ( ) ( ) , limsup y x t f y tv t f y f x v t          0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) limsup limsup ( , ) ( , ). y x y xt t f y tv t f y tv f y tv f y t t f x f x v                Bởi vì y tv x  khi y x và 0t  . (ii) Lấy các dãy  ix và  iv hội tụ đến x và v tương ứng, với , , 0i ii y t    sao cho 1 i i iy x t i    , Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 5 0 1 ( ) ( )( , ) i i i ii i i f y t v f y f x v i t     ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i i i i f y t v f y f y t v f y t v t t        (1.2) Để ý rằng ( ) ( )i i i i i i i f y t v f y t v K v v t      với i đủ lớn. Khi đó, từ (1.2) ta có 0 0limsup ( , ) ( , )i i i f x v f x v   Do đó 0(.,.)f nửa liên tục trên Ta chứng minh trên X. Với ,u X , ta có ( ) ( ) ( ) ( )f y tv f y f y t f y K v t        ( ) ( ) ( ) ( )f y tv f y f y t f y K v t t           0 0( , ) ( , )f x v f x K v     (1.3) Đổi vai trò của v và  ta nhận được 0 0( , ) ( , )f x f x v K v     . (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra 0 0( , ) ( , ) .f x v f x K v    Như vậy 0( ,.)f x Lipschitz với hằng số K trên X . (iii) Chứng minh   00( , ) ( , ).f x v f x v   ' ' ' 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( , ) limsup limsup u xx x t t f x tv f x f u tv f f u f x v t t            (đặt 'u x tv  ) Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 6 0( ) ( , )f x v  . Định lý được chứng minh. 1.1.3. Định nghĩa Gradien suy rộng của hàm f tại x , kí hiệu là ( )f x là tập hợp sau đây trong *X  * 0( ) : : ( , , , )f x X f x u u u X       . Đây là khái niệm gradien suy rộng của F.H. Clarke 1.1.4. Định lí Giả sử f là Lipschitz địa phương tại với hằng số Lipschitz K tại x . Khi đó, (i) ( )f x   lồi compact yếu* trong *X và * K  ( ( ))f x  . (ii) Với mọi v V ta có  0( , ) , : ( )f x v max v f x   . Chứng minh: Theo định lí 1.1.2 0( ,.)f x là hàm cộng tính, thuần nhất dương trên X . Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính : X R  sao cho 0( , ) ,f x v v  v X  ( ) ( )f x f x     Ta sẽ chứng minh ( )f x lồi, lấy 1 2, ( ),0 1.f x     Khi đó, 0( , ) ,if x u u  , 1,2u X i   0 0 0( , ) ( , ) (1 ) ( , )f x u f x u f x u     1 2, (1 ) ,u u      1 2(1 ) ,u     1 2(1 ) ( ) ( )f x f x       lồi. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 7 Bây giờ ta chứng minh ( )f x compact yếu* , với ** ( ), ( ) (0, )f x K f x B K     trong đó *(0, )B K là hình cầu đóng tâm 0 bán kính K , hình cầu *(0, )B K là compact yếu * (định lí Alaoglu), ( )f x là đóng yếu*. (ii) Theo định nghĩa 1.1.3   0max , : ( ) ( , )v f x f x v    . Giả sử tồn tại 0v sao cho   00 0max , : ( ) ( , )v f x f x v    . Theo định lí Hanh-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính  thỏa mãn 0, ( , )v f x v   v X  0 0 0, ( , ).v f x v  0 0( ) ( , )f x f x v   0 0 0, ( , )v f x v  vô lí. Định lí được chứng minh. 1.1.5. Ví dụ Xét trường hợp X R ,  f x x . Khi đó, f là hàm Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz 1K  Bây giờ, ta lấy 0x  . Khi đó,  0 0 , limsup y x t y tv y f x v v t         ( ) : , 1f x R v v R        . Tương tự, với 0v , ta có 1  . Do đó, 1  . Một cách tương tự, nếu    0, 1x f x    . Xét trường hợp 0x  Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 8      0 0, 0 : ,f v v f R v v R           0 1,1f   . 1.1.6. Định nghĩa Ánh xạ đa trị  được gọi là đóng, nếu Gr đóng trong X Y. 1.1.7. Định nghĩa Ánh xạ đa trị  được gọi là nửa liên tục trên tại x , nếu với 0, 0     sao cho ( ) ( ) ( )X Yx x B X X B       trong đó XB và YB là các hình cầu đơn vị mở trong X và Y. 1.1.8. Định lí Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x . Ta có các khẳng định sau đây: (i) 0( ) ( ; ) , ( )f x f x v v v X       . (ii) Giả sử các dãy  ix X ,   * i X  thỏa mãn ( )i if x  ,  ix hội tụ đến x ,  là điểm giới hạn của  i theo tôpô yếu * . Khi đó, ( )f x  (tức là ánh xạ đa trị ( )f x đóng yếu *). (iii) 0( ) ( )y x Bf x f y        . (iv) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại x . Nhắc lại: Cho hàm lồi f trên tập lồi mở U, ( : )f U   , dưới vi phân của hàm lồi f tại x U được định nghĩa như sau:  *( ) : f(X) f( ) , ,c f X X X X X X U          . 1.1.9. Định lí Giả sử f là lồi trên U , Lipschitz địa phương tại x U . Khi đó, Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 9 ( ) ( )cf x f x   ,  0( , ) '( , )f x v f x v u X   trong đó f là gradient suy rộng của f , '( ,.)f x là đạo hàm theo phương f tại x . 1.1.10. Định lí Giả sử f Lipschitz địa phương tại x , S là tập tùy ý trong nR có độ đo Lebesgue bằng 0. Khi đó,     lim : , ,i i i i ff x co f x x x x S x      (1.5) trong đó co kí hiệu là bao lồi. 1.1.11. Định nghĩa Vectơ v X được gọi là tiếp xúc với tập C nếu x C nếu  , 0x x x C     . Định nghĩa 1.1.11 cho ta vectơ pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi. 1.1.12 Định nghĩa Nón tiếp liên của tập hợp C tại x là     : : 0, 0, ,cK x v X t v tBsaocho x t C              . 1.2 Điểm siêu hữu hiệu của một đóng Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X. Giả sử C là nón nhọn lồi đóng trong X xác định thứ tự bộ phận C trong X: 1 2Cx x  2 1x x C  . 1.2.1. Định nghĩa Giả sử  là một tập con đóng của X và a , a là một điểm hữu hiệu Pareto của  , kí hiệu  ,a E C  , nếu Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 10 x và 0Cx a  0x a   . Theo Borwein và Zhuang  5 , ta có 1.2.2. Định nghĩa Điểm a là điểm siêu hữu hiệu (superefficient point) của  nếu tồn tại một số thực M > 0 sao cho cl ( )cone a ( )X XB C MB   , trong đó XB là hình cầu đơn vị của X. Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú và được nghiên cứu rộng rãi. Ký hiệu SE( ,C) là tập tất cả các điểm siêu hữu hiệu của  . Ta biết rằng  ,a SE C  nếu và chỉ nếu tồn tại M > 0 sao cho x , y  X và Cx a y x a M y     . (1.6) Ta suy ra    , ,SE C E C   . 1.2.3. Định nghĩa a là một điểm siêu hữu hiệu địa phương của  , ký hiệu  ,La SE C  , nếu tồn tại 0  sao cho   , ,Ca SE B a   , trong đó  ,B a  là hình cầu mở tâm a, bán kính  . Như vậy,  ,La SE C  nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số M, 0  sao cho  , ,x B a y X  và Cx a y x a M y     . (1.7) Rõ ràng là    , ,LSE C SE C   . Khi  lồi ta có    , ,LSE C SE C   . Trong trường hợp  không lồi có lẽ thích hợp hơn là ta xét nghiệm siêu hữu hiệu địa phương. Nhiều kết quả đã biết về nghiệm siêu hữu hiệu đòi hỏi giả thiết lồi. Chẳng hạn, với giả Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 11 thiết  là lồi và C có một cơ sở bị chặn, Borwein và Zhuang  5 chứng minh rằng    *, inta SE C c C      sao cho  * *, min c , :c a x x  , trong đó  * *: *: , 0, C x X x c c C      . Nón tiếp tuyến Clarke của tập X tại điểm x được xác định như sau (xem [2]):    , : ,x , 0, v v sao cho x +t v , n C n n n n n n vT x v X x x t            Nón pháp tuyến Clarke của  tại x được xác định bởi     * * *, : , 0, ,C CN x x X x x v T x       . Như vậy,     , ,C CN x T x      . Chú ý rằng  ,CT x là nón khác rỗng, lồi, đóng; Nón  ,CN x là nón khác rỗng, lồi, đóng yếu *. Chú ý rằng khi  là lồi  * *, min c , :c a x x   * ,cc N a   (trong đó cN ( .,. ) ký hiệu nón pháp tuyến Clarke), kết quả Borwein và Zhuang có thể viết lại như sau:      * *, , cho 0 intca SE C x N a sao C x        . (1.8) 1.2.4. Định nghĩa Nón thứ tự C được gọi là có một cơ sở bị chặn nếu tồn tại một tập con lồi bị chặn C =  : 0,t t   và 0 cl (Θ). Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 12 Ta biết rằng C là cơ sở bị chặn nếu và chỉ nếu int  C Ø. Khi bỏ giả thiết nón thứ tự có một cơ sở bị chặn, ta mở rộng được kết quả của Borwein và Zhuang cho trường hợp  bán dưới trơn (semi-subsmooth) tại a (khái niệm này được định nghĩa ở dưới). Giả sử  là bán dưới trơn tại a. Chúng ta sẽ chứng minh rằng các mệnh đề sau tương đương: (i)  ,La SE C  . (ii) Tồn tại M, (0, )   sao cho   ,x a M y d x    với bất kỳ    , ,x y B a X  với Cx a y  trong đó    , inf : .d x x u u    (iii)   0 int , .cC N a   Trong trường hợp  lồi ta chứng minh các phát biểu sau là tương đương: (i)  ,La SE C  . (ii)  ,a SE C  . (iii) Tồn tại hằng số M > 0 sao cho   ,x a M y d x    với bất kỳ  ,x y X X  với Cx a y  . (iv)   0 int , .cC N a   Giả sử X là không gian Banach được trang bị thứ tự bộ phận bởi một nón lồi đóng C. Với một tập con đóng A của X và a  A, giả sử  ,T A a và là nón tiếp liên của A tại a:   : { : ,, 0n nh X tT A a h h     với n na t h A  ta biết rằng  ,cT A a là một nón lồi đóng trong X còn  ,T A a là một nón đóng có thể không lồi. Giả sử  A,cN a là nón pháp tuyến Clarke của A tại a. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 13 Như vậy,  ,cT A a =   * *: , 0, ,ach X x h x N A    . (1.9) Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu dom f  Ø và    f x x D    . Giả sử  :f X R   là hàm nửa liên tục dưới, chính thường và  c f x là dưới vi phân Clarke của f tại x (với  f x   ), tức là,  c f x :=        * * *: , 1 ( , , ,cx X x N epi f x f x   trong đó       : , : fepi f u t X R u t    (xem  1 ). Nếu f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X ( :f X R ), dưới vi phân Clarke của f tại x được xác định bởi     * * * 0: , , , u X c f x x X x u f x u      , trong đó  0 ;f x u là đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo phương u:  0 0 ( ) ( ) ; lim y x t f y tu y f x u t     . Nếu f là hàm giá trị thực mở rộng, nửa liên tục dưới thì  c f x là tập con đóng yếu * trong *X ,  c f x có thể rỗng và có thể không compact. Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số L thì  c f x khác rỗng, lồi, compact yếu * và L  (  c f x  ). Hơn nữa, với mọi v X ,     0 , max , : cf x v v f x   (xem [2]). Nếu A và f là lồi, thì ta biết rằng  ,cN A a :=  * * *: ,a 0, x X x x x A     (1.10) Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 14 và  c f x :=     * * *: ,u x , x X x f u f x u X      . (1.11) 1.2.5. Định nghĩa Tập A là chính quy gần kề tại a nếu tồn tại , 0   sao cho  1 2, ,x x A B a    và    * * , , i 1,2i c i Xx N A x B    , ta có 2 * * 2 1 2 1 2 1,x x x x x x     . Mới đây, Aussel, Daniilidis và Thibault đã đưa vào nghiên cứu khái niệm dưới trơn (subsmoothness), bán dưới trơn (semi - subsmoothness). 1.2.6. Định nghĩa Tập A là dưới trơn tại a A nếu với bất kỳ 0, 0    sao cho  1 2, ,x x A B a    và    * * , , i 1,2i c i Xx N A x B    , ta có * * 2 1 2 1 2 1,x x x x x x     . 1.2.7. Định nghĩa Tập A là bán dưới trơn tại a A nếu với bất kỳ 0, 0    sao cho     **, , ,c Xx A B a a N A a B     và   * * ,c Xx N A a B  , ta có * *,x a x a x a     . Rõ ràng là: Tính lồi  tính chính quy gần kề  tính dưới trơn  tính bán dưới trơn. 1.2.8. Định nghĩa Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 15 Tập A được gọi là chính quy tại a (theo nghĩa Clarke) nếu    , ,cT A a T A a . Ta có : Tính bán dưới trơn  tính chính quy. Thật vậy, giả sử  ,h T A a và   ** ,c Xa N A a B  , và lấy các dãy 0nt  và nh h sao cho n na th A  với mọi số tự nhiên n. Khi đó, do tính bán dưới trơn của A tại a, với bất kỳ 0  tồn tại số tự nhiên 0n sao cho  * * 0, 0 , ,n n n n n nt a h a a t h a t h n n         . Từ đó và nh h kéo theo *,a h h . Cho 0  , ta suy ra *, 0a h  . Bởi vì h và *a là tùy ý tương ứng trong  ,T A a và   *,c XN A a B , cho nên       * *, : , 0, , ,c cT A a h X a h a N A a T A a      . Chú ý rằng bao hàm thức    , ,cT A a T A a luôn đúng. Do đó ta có    , ,cT A a T A a . Điều này chỉ ra A là chính quy tại a theo nghĩa Clarke. Trong chương này khái niệm bán dưới trơn và chính quy sẽ đóng vai trò quan trọng. 1.3 Các tính chất đặc trƣng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng Trong phần này ta giả sử  là tập con đóng của X và a chúng ta sẽ trình bày các tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu. 1.3.1 Định lý Giả thiết rằng  là bán dưới trơn tại a. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i)  ,La SE C  . Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 16 (ii) Tồn tại M, (0, )   sao cho   ,x a M y d x    với bất kỳ    , ,x y B a X  với Cx a y  . (iii)   0 int , .cC N a   Chứng minh: (iii)  (ii): Khẳng định (iii) đúng có nghĩa là tồn tại 0r  sao cho  * * *,cX X XrB C B N a B      . (1.12) Bởi vì C và  ,cN a là các nón, cho nên (iii) nghĩa là  * ,cX C N a    . Vì vậy,   * ** 1 ,cX X n X C nB N a nB         . (1.13) Chú ý rằng  , ,cC N a   là đóng yếu * và *XB là compact yếu *, cho nên mỗi tập  * *,cX XC nB N a nB      là compact yếu *, và do đó, đóng yếu *. Vì vậy, mỗi  * *,cX XC nB N a nB      là đóng theo chuẩn. Định lý phạm trù Baire khẳng định rằng một không gian Metric đầy đủ thì thuộc phạm trù 2. Từ (1.13) và định lý phạm trù Baire ta suy ra * *, 0u X    và số tự nhiên 1n sao cho  * * ** 1 1,cX X Xu B C n B N a n B       . (1.14) Mặt khác, (1.13) kéo theo tồn tại số tự nhiên 2n sao cho  * ** 2 2,cX Xu C n B N a n B       . Chú ý rằng C C C    và      , , ,c c cN a N a N a     , từ (1.14) ta suy ra Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 17      * * *1 2 1 2,cX X XB C n n B N a n n B        . Điều này chỉ ra rằng (1.12) đúng với 1 2 r n n    . Bởi vì  là bán dưới trơn tại a, cho nên 0  sao cho  *0 , , ,2 4 r y u a u a u B a        và   ** ,c Xy N a B   , nghĩa là  *, , ,2 4 r y u a u a u B a       và   ** ,c Xy N a B   . (1.15) Lấy  ,x B a  và ** Xx rB sao cho *,x x a r x a   . Do (1.12) tồn tại * * X c C B  và   ** ,c Xy N a B   sao cho * * *x c y  . Khi đó, * *, ,r x a c x a y x a     . Bởi vì * *, , , c x a c y y y X     với Cx a y  , cho nên *,r x a y y x a y X      với Cx a y  . (1.16) Lấy dãy  nu trong  sao cho  ,nx u d x   . Chú ý rằng  ,d x x a     và , n nu a x u x a n      . Không mất tính tổng quát có thể giả thiết rằng  ,2 , nu B a n  . Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 18 Từ đó và (1.10) suy ra * * *, , ,n ny x a y x u y u a     4 n n r x u u a    1 4 4 n n r r x u u a           . Cho n , ta có    *, 1 , , 4 4 2 n r r r y x a d x u a d x x a                . Từ đó và (1.16) ta suy ra  , 2 r x a y d x y X      với Cx a y  . Do đó (ii) đúng vói 2 M r  . (ii)  (i) là tầm thường. (i)  (iii): Giả sử rằng (i) đóng. Khi đó, , 0,M    sao cho  , ,x a M y x B a     và ,y x a C   nghĩa là,    , , ,x a Md x a C x B a      . Giả sử *x là một phần tử bất kỳ trong *XB . Khi đó,    *, , , ,x x a x a Md x a C x B a        . Lấy    *, , ,f x x x a Md x a C x X       , ta suy ra f có một cực tiểu địa phương trên  tại a. Từ đó ta có    0 , .cf a N a   Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 19 Chú ý rằng    * ,f a x M d x a C      và  a,d a C C   . Từ đó ta suy ra  * ,cx C N a    . Vì vậy,  * ,cXB C N a    bởi vì *x là tùy ý trong *XB Điều này chỉ ra (iii) đúng. Định lý được chứng minh đầy đủ. 1.3.2. Nhận xét Từ chứng minh định lý 1.3.1 ta thấy rằng các suy luận (ii)  (i) và (i)  (iii) không đòi hỏi giả thiết  là bán dưới trơn tại a. Nhưng khi bỏ đi giả thiết  là bán dưới trơn tại a suy luận (iii)  (i) có thể không đúng thậm chí trong không gian hữu hạn chiều. Ví dụ sau đây minh họa điều đó. 1.3.3. Ví dụ Giả sử 2X R và   2, : 0, 0C s t R s t    . Cho     22 21 , t : 1 1s R s t      và   2 21 1 ,s t       22 22 , t : 1 1s R s t      và   2 21 1 ,s t       22 23 , t : 1 1s R s t      và   22 1 1 ,s t       22 24 , t : 1 1s R s t      và   22 1 1 .s t   Giả sử 4 1 ii   . Khi đó,  là đối xứng theo mỗi đường thẳng 0, 0,s t t s   và t s  . Vì vậy,   , 0,0cT  cũng là đối xứng theo mỗi đường thẳng đó. Ta suy ra Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 20      , 0,0 0,0cT   hoặc    2, 0,0cT R  (do tính lồi của   , 0,0cT  . Ta khẳng định rằng      , 0,0 0,0cT   . Thật vậy, nếu điều này không đúng thì     0 : 1,1 , 0,0ch T   . Giả sử 1 2 2 1 1 : 1 1 ,na n n                và 3 1 : 2 nt n  . Khi đó, 2 , 2na n   và  0,0na  . Ta có 0, 0s t  và       22 1 1, , t 0.9,1.1n ns t s a t      với 2.n Điều này kéo theo    2 0.9,1. ,1 2. n n Øa t n     (1.17) Lấy  nh một dãy trong 2R sao cho 0nh h và , n n na t h n   (do   0 , 0,0ch T  . Bởi vì   2 0.9,1.1 là một lân cận của h ,   2 0.9,1.1 , nh n  đủ lớn. Như vậy,   20.9,1.1 , n n n n na t h a t n    đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với (1.17). Do đó,      , 0,0 0,0cT   . Từ điều này và (1.9) ta suy ra    2, 0,0cN R  . Vì vậy,      0,0 int , 0,0cC N   . Tiếp theo ta chỉ ra rằng    0,0 ,LSE C  . Đặt 1 2 2 1 : 1 1 ,0ny n            . Khi đó,  0,0n C na y  Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 21 và   1 2 1 2 2 2 10,0 1 1 1 1 1 1 n n a n n y n n                     . Do đó    0,0 ,LSE C  . 1.3.4. Định lý Giả sử  lồi. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i)  ,La SE C  . (ii)  ,a SE C  . (iii) Tồn tại M, (0, )   sao cho   ,x a M y d x    với bất kỳ    , ,x y B a X  với Cx a y  . (iv) Tồn tại một hằng số  0,M  sao cho   ,x a M y d x    với bất kỳ  ,x y X X  với Cx a y  . (v)   0 int , .cC N a   Chứng minh: (i)  (iii)  (v) suy ra từ định lý 1.3.1 (ii)  (i) và (iv)  (iii) là tầm thường. Ta chỉ còn phải chỉ ra (i)  (ii) và (iii)  (iv). Giả sử rằng (i) đúng. Lấy ,M O  sao cho (1.7) đúng. Giả sử x và y X thỏa mãn Cx a y  . Lấy  0,1t đủ nhỏ sao cho    .Xa t x a a B    Chú ý rằng   Ca t x a a ty    , từ (1.7) ta suy ra x a M y  . Từ đó và (1.6) suy ra  ,a SE C  . Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 22 Vì vậy, (i)  (ii) đúng. Tương tự ta có (iii)  (iv) đúng. Định lý được chứng minh. 1.3.5. Nhận xét Lấy 2 2, :X l C x l   mỗi tọa độ của x là không âm} và C . Như vậy, với kết quả của Borwein và Zhuang, ta không thể kiểm tra được rằng liệu 0 có là một điểm siêu hữu hiệu của  theo C hay không. Mặt khác, chú ý rằng   0 int ,0cC N   , bởi vì  ,0cN C C      và 2l C C  . Từ Định lý 1.3.4 suy ra  0 ,SE C  . Cuối cùng, ta xét trường hợp  là compact địa phương tại a (tức là tồn tại 0  , sao cho  Xa B  là compact). Ta biết rằng  là compact địa phương tại mỗi điểm của  nếu X là hữu hạn chiều. 1.3.6. Định lý Giả sử  là compact địa phương tại a và  chính quy tại a theo nghĩa Clake. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i)  ,La SE C  . (ii)   0 , , .SE T a C  (iii)   0 , , .E T a C  (iv)   0 int , .cC N a   Chứng minh: Ta có (i)  (iv) suy ra từ nhận xét 1.3.1 Bởi vì  là chính quy tại a , ta có        , ,0 , ,0 , .c c c cN T a N T a N a     Từ Định lý 1.3.4 suy ra (ii)  (iv). Bởi vì (ii)  (iii) là tầm thường, ta chỉ cần chỉ ra rằng (iii)  (i). Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 23 Giả sử  ,La SE C  . Khi đó, tồn tại dãy   ,n nx y trong X sao cho , nx a n C nx a y  và , n nx a n y n   . (1.18) Bởi vì  là compact địa phương tại a , không mất tính chất tổng quát ta giả sử rằng    , \ 0 .n n x a h T a x a      Từ đó và (1.18) suy ra 0Ch  . Do đó,   0 , ,E T a C  . Định lý được chứng minh . Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 24 Chƣơng 2 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chương 2 trình bày điều kiện đủ và tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach bằng cách sử dụng định lý phạm trù Baire, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn. Các kết quả trình bày trong chương này là cơ sở của Gong ([7], 2011). 2.1 Kiến thức chuẩn bị Giả sử X là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là không gian vectơ tôpô lồi địa phương thực, A là tập con của X và :A AF Y  là song hàm. Xét bài toán cân bằng vectơ (viết tắt là VEP): tìm x A sao cho    , \ 0 ,F x y K y A   , trong đó K là một nón lồi trong Y. Trong chương này, khi sử dụng định lý phạm trù Baire chúng tôi trình bày các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach trong đó không phải giả thiết nón thứ tự có cơ sở bị chặn. Giả sử X là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và Y là không gian Banach thực, C là nón nhọn lồi đóng trong Y và giả sử Y* là không gian đối ngẫu tôpô trongY và nón C sinh ra thứ tự bộ phận tro