Luận văn Nghiên cứu chống sạt lở bờ sông đồng tháp, dùng phương pháp phân tích trực tiếp

iệc tiên đoán tải trọng và cơ chế phá hủy. 1.1.1 Giới hạn đàn hồi và hàm chảy Trong cơ học đất Nhƣợng là hiện tƣợng biến dạng không hồi phục bắt đầu xuất hiện trong quan hệ ứng suất – biến dạng của vật liệu. Ứng xử sau điểm nhƣợng trên đƣờng quan hệ ứng suất – biến dạng đối với: - Đối với thủy tinh, đá, đất khô cứng, gốm là vở, bể vụn, phá hoại dẻo thuần túy hoặc khử bền. - Kim loại dẻo là chảy dẻo. - Đất cố kết thƣờng sau “nhƣợng” là dẻo tái bền rồi sau cùng là phá hoại dẻo (dẻo thuần túy) Tiêu chuẩn Nhƣợng là tập hợp các hàm toán học diễn tả đặc trƣng nhƣợng của vật liệu, có rất nhiều tiêu chuẩn nhƣợng đã đƣợc đề xuất bởi các kỹ sƣ và các nhà nghiên cứu, đầu tiên là của Coulomb công bố năm 1773. Tiêu chuẩn nhƣợng của Mohr - Coulomb đã trở thành nền tảng cho sự hiểu biết ứng xử của đất cho đến ngày nay. Tổng quát, nhƣợng là giới hạn trạng thái đàn hồi của vật liệu và nếu sau đó vật liệu chuyển sang ứng xử dẻo thuần túy hoặc đàn hồi - dẻo thì nhƣợng là ngƣỡng dẻo. Trong không gian ứng suất quỹ đạo các điểm ngƣỡng là mặt ngƣỡng thƣờng đƣợc ký hiệu hàm f() viết với các thành phần ứng suất cơ bản f(x, y, z, xy, xz, yz) = k (1.1) Trong đó: k là hằng số và có thể bằng không. Khi vật liệu đồng nhất, hàm ngƣỡng có thể diễn tả theo các ứng suất chính f(1, 2, 3) = k (1.2) Trong trƣờng hợp vật liệu đồng nhất hàm f cũng có thể diễn tả theo các bất biến của ten xơ ứng suất. Đối với mô hình dẻo lý tƣởng, thành phần biến dạng gồm: e p ij ij ij    (1.3) Trong đó: e ij : Theo định luật Hooke hay mô hình đàn hồi phi tuyến khác bất kỳ p ij : Theo định luật chảy dẻo Hình 1.1 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu ứng xử đàn-dẻo lý tƣởng 1.1.2 Luật chảy dẻo kết hợp. Do mặt chảy dẻo f và hàm thế năng dẻo g không trùng nhau trong quá trình xảy ra biến dạng dẻo của đất nền (Mặt chảy dẻo f là hàm phụ thuộc vào  ; Thế năng dẻo g là hàm phụ thuộc vào góc giản nỡ  ). Vì vậy, để có mối liên hệ đơn giản giữa vectơ biến dạng dẻo và mặt chảy dẻo ta giả định mặt chảy dẻo f trùng với e ij p ij     hàm thế năng dẻo g, qui luật chảy dẻo kết hợp. Khi đó, gia số biến dạng dẻo có thể tính nhƣ sau: p ij ij f d      (1.4) Mối liên hệ giữa vectơ gia số biến dạng dẻo và mặt chảy dẻo f đƣợc tính theo luật chảy dẻo nhƣ sau: Hình 1. 2 Sự minh họa hình học của luật chảy dẻo kết hợp Ứng xử của vật liệu là đàn hồi khi trạng thái ứng suất ij thỏa   0ijf   , nhƣ hình biểu diễn Hình 1.2. Khi chảy dẻo xảy ra, trạng thái ứng suất ij nằm trên mặt chảy dẻo và thỏa điều kiện   0ijf   . Nhƣ vậy, nếu biết đƣợc hàm chảy dẻo sẽ tìm đƣợc thành phần gia số biến dạng dẻo theo luật chảy kết hợp và khi đó gia số biến dạng dẻo sẽ vuông góc với mặt chảy dẻo. 1.1.3 Hàm chảy dẻo Morh-Coulomb Thông thƣờng, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thu đƣợc từ kết quả cắt trực tiếp hoặc thí nghiệm 3 trục. Dễ dàng nhận thấy rằng quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thật của đất bao gồm cả tăng và giảm bền không theo ứng xử chảy dẻo lý tƣởng. Tuy nhiên, trong phân tích giới hạn, để dễ dàng thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, mô hình dẻo lý tƣởng Morh đƣợc áp dụng. p ij ij f d      ij Đàn hồi   0ijf   Ứng xử thật của đất Ứng xử đàn dẻo lý tƣởng Hình 1. 3 Ứng xử thật của đất và ứng xử đàn dẻo lý tƣởng Tiêu chuẩn điểm nhƣợng cũng là tiêu chuẩn bền của Mohr - Coulomb đƣợc sử dụng rất rộng rải trong Cơ học đất, nó phù hợp với trạng thái làm việc có thoát nƣớc của đất. Dạng đƣợc dùng thông dụng nhất là: ' ' 's tg c   . Mọi điểm thuộc vòng tròn Morh ứng suất đƣợc xem là ứng xử đàn hồi và khi chạm đƣờng bao chống cắt biến dạng dẻo xảy ra và ứng xử là dẻo lý tƣởng. C OO' cu Hình 1.4 Mô hình Morh và sức chống cắt thoát nƣớc của đất. υcu cU c cUc T c U c τ τ σ1 cUc σ cUc σ c U c σ3 c c Ω σ σ ε ε Phƣơng gia số biến dạng dẻo cho hai trƣờng hợp: đất thoát nƣớc và đất không thoát nƣớc đƣợc thể hiện qua Hình vẽ 1.5 C C cu a) b) Hình 1.5 Phƣơng của vectơ gia số biến dạng dẻo trên hệ trục   cho hai trƣờng hợp: a) đất không thoát nƣớc và b) đất thoát nƣớc. 1.2 LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH GIỚI HẠN Căn cứ từ hai định lý cận do Drucker đề xuất năm 1950: “Một vật thể đàn hồi – dẻo thuần túy hoặc chịu phân bố ứng suất tránh bị phá hủy hoặc sẽ bị phá hủy nếu điều kiện khả dĩ động xuất hiện” hoặc hiểu theo định lý cận dƣới và định lý cận trên, đƣợc sử dụng để phân tích bài toán tải giới hạn. Đây là một lý thuyết dẻo thƣờng áp dụng để tính toán, tiên liệu giá trị gần đúng của tải phá hủy trong kết cấu xây dựng. Việc phân tích giới hạn nhằm xác định trạng thái của cấu kiện khi sụp đổ và cơ chế phá hủy của nó ứng với trạng thái đó. Để giải một bài toán phân tích giới hạn ta có thể tiếp cận từ 2 trƣờng: trƣờng ứng suất (áp dụng định lý cận dƣới) và trƣờng biến bạng, hay chuyển vị (áp dụng định lý cận trên) và nghiệm cho nhƣ Hình vẽ 1.6. Bài toán phân tích giới hạn sẽ chuyển thành bài toán tối ƣu hóa. Nếu tiếp cận từ cận dƣới ta cần tìm cực đại   và ngƣợc lại nếu tiếp cận từ cận trên ta cần tìm cực tiểu   . Đƣờng bao Morh-Coulumb p ij p ij      P phaù huûy Lôøi giaûi caän treân söû duïng tröôøng chuyeån vò Lôøi giaûi caän döôùi söû duïng tröôøng öùng suaát Hình 1.6 Nghiệm của lời giải cận trên và cận dƣới cho bài toán phân tích giới hạn Ta có thể tóm tắt quy trình giải bài toán phân tích giới hạn nhƣ sau:     Cận trên Trƣờng chuyển vị Cận dƣới Trƣờng ứng suất 0 0 min ( ( )) ( ) . ( ) 1 p ext u ext D W trên biên St W L             u u u u u u Bài toán tối ƣu cận trên max . Ω . . ên T t L f trong St n g tr                    Nghiệm số Bài toán tối ƣu cận dƣới Chƣơng trình tối ƣu hóa -Tuyến tính, không tuyến tính - Hình nón Hình 1.7 Sơ đồ phân tích giới hạn Với điều kiện biên chuyển vị và điều kiện biên lực thể hiện nhƣ hình dƣới: Hình 1. 8 Điều kiện biên lực và chuyển vị Trong luận văn này, dùng lý thuyết cho lời giải cận trên (trƣờng biến dạng) sẽ đƣợc trình để giải quyết một số vấn đề trong địa xây dựng liên quan đến tải phá hủy, mặt trƣợt và độ ổn định của bài toán mái dốc. Với nguyên lý biến phân là nền tảng của lý thuyết phân tích giới hạn. Trong các trƣờng khả dĩ động và tốc độ biến dạng dẻo tƣơng thích, trƣờng thực sẽ là trƣờng làm phiếm hàm năng lƣợng đạt giá trị cực tiểu. Một trong ứng dụng quan trọng của nguyên lý biến phân là tìm đƣợc trƣờng khả dĩ động và khả dĩ tĩnh thực, bằng cách tìm phiếm hàm năng lƣợng và cho hàm năng lƣợng đạt giá trị cực tiểu. 1.2.1 Định lý cận dƣới Trong điều kiện đàn hồi và dẻo thuần túy thì “Sự phá hủy sẽ không xảy ra khi tất cả các điểm trong vật thể và trên mặt biên đều không vƣợt ngƣỡng dẻo”, hay nói một cách đơn giản là tất cả các điểm trong vật thể chƣa vƣợt điều kiện cân bằng Mohr – Coulomb hoặc Tresca. Bất kỳ trƣờng ứng suất nào thỏa điều kiện cân bằng cận dƣới đƣợc xem là trƣờng ứng suất khả dĩ tĩnh. f u g t f: Lực bề mặt g: Lực thể tích t : Điều kiện biên lực u : Điều kiện biên chuyển vị 1.2.2 Định lý cận trên. Ta xem vật thể cứng-dẻo tuyệt đối trong miền 2¡ với biên  ,với lực thể tích g và lực trên biên t. Điều kiện biên ràng buộc về chuyển vị u  đƣợc thiết lập, u t   U , u t   I . Theo lý thuyết cận trên, kết cấu bị sụp đổ khi và chỉ khi tồn tại trƣờng khả dĩ động u U , sao cho: ij ij ext i, j (u)d W (u)     (1.5) Hay p ext D ( (u)) W (u)  (1.6) Với p p D ( (u)) d ( )d      (1.7) t T T ext t W (u) g ud t ud       (1.8) yy u xx xy ε ε             (1.9) 0 x 0 y y x                      (1.10) 0 u ext U {u : u u x ,W (u) 0}     (1.11) Gọi  là hệ số tải trọng sụp đổ của lực thể tích g và lực trên biên t gây ra, khi đó trƣờng chuyển vị khả dĩ động u U 0 p ext ext D ( (u)) W (u) W (u)    (1.12) Với 0 ext W (u) là công của lực thể tích g0 và lực trên biên t0 không nhân với hệ số tải trọng (tĩnh tải). Do vậy cận trên có thể tìm đƣợc thông qua bài toán tối ƣu: 0 p ext min D ( (u)) - W (u)=    (1.13) Với những ràng buộc: u 0, u (u) 1 u F     & & (1.14) Nhƣ vậy, phân tích giới hạn bằng định lý cận trên có thể hiểu nhƣ sau: “Với bất kỳ biến dạng dẻo tƣơng thích, sự phá hủy xảy ra khi gia số công ngoại lực tác động lên vật thể bằng hoặc lớn hơn gia số nội năng phân tán” hiểu một cách đơn giản là tải và tác động lên mẫu đất gây ra công mà khung hạt vẫn còn hấp thụ đƣợc với một chuyển vị (hoặc biến dạng) tắt dần. Tất cả những trƣờng biến dạng thỏa định lý cận trên đƣợc xem là trƣờng biến dạng khả dĩ động. SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TỪ LỜI GIẢI CẬN TRÊN ĐƢỢC TIẾN HÀNH TRONG LUẬN VĂN Mô hình  Điều kiện biên.  Dạng hình học.  Tính chất và vị trí lực. Bài toán tối ƣu  min ( ) oextD W   &  Chuyển vị trên biên.  Công ngoại bằng 1.  Liên hệ giữa chuyển vị nút và biến dạng. Rời rạc hóa phân tử  ES-FEM-T3 Ràng buộc Mosek Hệ số tải trọng phá hủy. Cơ cấu trƣợt. 1.3. PHƢƠNG PHÁP SỐ VÀ CÁCH TÍNH NĂNG LƢỢNG TIÊU TÁN DẺO CHO PHẦN TỬ Hai phƣơng pháp số đƣợc dùng trong luận văn này: phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác (finite element method) (FEM) và phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (edge-based smoothed finite element method) (ES-FEM), sẽ đƣợc tóm tắt ngắn gọn. Mà chủ yếu là thiết lập trƣờng biến dạng thông qua chuyển vị nút, từ đó bài toán tối ƣu đƣợc thiết lập để xác định trƣờng biến dạng dẻo ứng với trạng thái sụp đổ của nền đất. Trong đó phƣơng pháp FEM đƣợc nhiều tác giả áp dụng, mà đặc biệt cần kể đến là S.W.Sloan và đồng nghiệp. Do vậy trong phần ví dụ số, chỉ một số bài toán dùng phƣơng pháp FEM để xấp xỉ trƣờng chuyển vị và so sánh với kết quả đạt đƣợc khi dùng ES-FEM . 1.3.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn: Trong phần này, cách xác định chuyển vị nút cũng nhƣ trƣờng biến dạng sẽ đƣợc tóm tắt: xét phần tử tam giác đƣợc sử dụng nhƣ Hình 1.9 y x O 1 3 2 (x1,y1) (x3,y3) (x2,y2) Hình 1.9 Tọa độ phần tử tam giác. Và chuyển vị của điểm trong miền tam giác đƣợc nội suy thông qua chuyển vị nút theo công thức sau: 3 1 3 1 i i i i i i u N u v N v            (1.15) Với ( , )i iu v là chuyển vị nút theo phƣơng x và y. iN là hàm xấp xỉ tuyến tính dựa trên tọa độ nút ( , )i ix y nhƣ sau:       1 2 3 3 2 23 32 2 3 1 1 3 31 31 3 1 2 2 1 12 21 / 2 / 2 / 2 N x y x y y x x y A N x y x y y x x y A N x y x y y x x y A                   (1.16) Với: 32 3 2 13 1 3 21 2 1 x x x x x x x x x         và 23 2 3 31 3 1 12 1 2 y y y y y y y y y         (1.17)      1 3 2 3 3 2 3 12A x x y y x x y y      (1.18) với A là diện tích tam giác. Ta có ma trận biến dạng: Sử dụng trực tiếp hệ tọa độ tự nhiên Oxy nhƣ hình vẽ 3.1. 0 0d u x v B y u v y x                     (1.19) Đối với bài toán 2D: [ ]{ } xx yy d xy B d                (1.20) Với 31 2 1 2 3 1 2 31 2 3 3 6 0 0 0 0 0 0d x bb b B c c c c c cb b b         (1.21) Chuyển vị nút: 1 2 3 4 5 6 1 6x u u u d u u u                      (1.22) Biến dạng đƣợc tính toán thông qua chuyển vị nút và ma trận biến dạng Bd. Nhƣ vậy ta sẽ xấp xỉ đƣợc trƣờng biến dạng thông qua chuyển vị nút. Trong bài toán phân tích giới hạn từ cận trên, trƣờng biến dạng đƣợc thiết lập là ẩn số của bài toán tối ƣu hóa, thông qua bài toán tối ƣu hóa trƣờng biến dạng ứng với cơ chế phá hủy sẽ đƣợc xác định. 1.3.2 Năng lƣợng tiêu tán dẻo phần tử sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Theo Martin [11], năng lƣợng tiêu tán dẻo của phần tử i có thể viết lại theo công thức sau:   2 2( ) cos i i ii i i xx yy xyD A      & (1.23) Với: iA là diện tích của phần tử i.  : là góc ma sát trong của đất khi phá hoại. i xx , i yy , i xy : là thành phần biến dạng của phần tử i. Nhƣ vậy năng lƣợng tiêu tán dẻo phần tử i đƣợc thiết lập dựa trên thành phần biến dạng của phần tử và thông số nội tại của đất là góc ma sát trong và lực dính C. Tuy nhiên, ứng với mỗi trƣờng biến dạng ta sẽ thu đƣợc năng lƣợng tiêu tán dẻo. Trƣờng biến dạng ứng với cơ chế phá hủy sẽ đƣợc tìm thông qua bài toán tối ƣu sẽ đƣợc trình bày Chƣơng 4. 1.3.3. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh ( ES-FEM) Trong phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM, ta chia miền  thành những miền "trơn" k  con, đƣợc định nghĩa : edN k 1 U và i j   với i j , trong đó ed N là tổng số cạnh của các phần tử. Các thành phần biến dạng tại một điểm xc bất kỳ thu đƣợc nhƣ sau: k c c (x ) (x) (x - x )d      % (1.24) Trong đó: là hàm làm trơn, thỏa mãn điều kiện sau: k d 1     Trong trƣờng hợp đơn giản nhất, hàm làm trơn  đƣợc định nghĩa nhƣ sau: (k) k c k 1/ A ,x (x x ) 0,x       (1.25) Trong đó: k (k)A d    là diện tích của hàm trơn. Đối với phần tử tam giác ba nút, miền trơn k  dựa trên cạnh k đƣợc tạo ra bằng cách kết nối hai đầu nút của cạnh chung với hai trọng tâm của phần tử tam giác đang xét và phần tử tam giác kề bên nhƣ Hình 1.10 Hình 1.10 Miền trơn k  dựa trên cạnh Biến dạng trung bình trên miền trơn k  của phần tử tam giác 3 nút đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ( k ) e k N (k) i i m m m m(k) i 1 1 (x)d B d A       %% (1.26) Trong đó: ( k ) e k N (k) i i 1 1 A d A 3      : là diện tích của miền k Với : (k ) e N : Số phần tử có chung cạnh k ( (k) e N 1 cho cạnh biên, và (k) e N 2 cho cạnh chung giữa hai phần tử) i A : là diện tích của phần tử thứ i có chung cạnh k. Biến dạng trung bình trên miền trơn k  ~ (h) k k1 k1 k2 k2 k k B d B d B d   % % % (1.27) Ma trận tính biến dạng và chuyển vị i~ kjB : kj kj~ ~ 1,x n,x i kj kj~ ~ ~ kj 1,y n,y kj kj kj kj~ ~ ~ ~ 1,y 1,x n,y n,x N 0 ...N 0 B 0 N ...0 N N N ...N N                (1.28) Với: kj kj~ i I, I(k) A N N (x)n (x)d 3A     Ñ (1.29) Trong đó kj~ I,N  là các ma trận hàm dạng trơn. 1.3.4 Năng lƣợng tiêu tán dẻo phần tử sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh. Theo Martin [11], năng lƣợng tiêu tán dẻo cho miền đƣợc làm trơn dựa trên cạnh có thể viết lại theo công thức sau:   2 2( ) cos i i ii i i xx yy xyD A      & (1.23) Với iA :là diện tích của miền trơn k dựa trên cạnh .  :là góc ma sát trong của đất khi phá hoại. i xx , i yy , i xy : là thành phần biến dạng trong miền k . Nhƣ vậy năng lƣợng tiêu tán dẻo miền trơn k  dựa trên cạnh đƣợc thiết lập dựa trên thành phần biến dạng của miền trơn k  và thông số nội tại của đất là góc ma sát trong  và lực dính C. Tuy nhiên, ứng với mỗi trƣờng biến dạng ta sẽ thu đƣợc năng lƣợng tiêu tán dẻo khác nhau. Trƣờng biến dạng ứng với cơ chế phá hủy sẽ đƣợc tìm thông qua bài toán tối ƣu sẽ đƣợc trình bày Chƣơng 4. 1.3.5 Một số nhận xét về 2 phƣơng pháp số FEM-T3 và ES-FEM-T3 Về cơ bản việc chia lƣới của phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM-T3) cũng dựa trên phần tử tam giác nhƣ phƣơng pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác (FEM-T3 ) thông thƣờng. Tuy nhiên, trong phƣơng pháp ES- FEM-T3, ta lần nữa rời rạc miền quan tâm thành miền trơn dựa trên cạnh thông qua trọng tâm của 2 tam giác liền kề. FEM-T3 ES-FEM-T3 Dùng biến dạng tƣơng thích dựa trên phần tử tam giác. Dùng trƣờng biến dạng trơn k  dựa trên cạnh. Kết nối ma trận trên phần tử tam giác nhƣ Kết nối ma trận trên miền làm trơn k  dựa trên cạnh Dựa trên kết quả số của G.R.Liu (2009) và một số tác giả khác cho thấy Phƣơng pháp ES-FEM cho kết quả chính xác hơn phƣơng pháp FEM. Khi sử dụng phần tử tam giác, thậm chí ngay cả khi phần tử tứ giác. Chính vì điều này, cả 2 phƣơng pháp số sẽ đƣợc sử dụng, trong luận văn này, để so sánh về tính chính xác và cũng nhƣ độ ổn định của phƣơng pháp số khi giải các bài toán địa kỹ thuật bằng lý thuyết phân tích giới hạn sử dụng định lý cận trên. 1 3 2 2 1 3 4 k CHƢƠNG 2. CHƢƠNG TRÌNH NÓN VÀ CÁCH THIẾT LẬP BÀI TOÁN TỐI ƢU HÓA TỪ LỜI GIẢI CẬN TRÊN Lý thuyết tối ƣu là một lĩnh vực kinh điển của toán học, nó có nhiều ảnh hƣởng đến lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế xã hội, đặc biệt là lĩnh vực kỹ thuật xây dựng. Những năm gần đây, kỹ thuật tối ƣu đã đạt nhiều thành tựu đáng kể, mà đặc biệt cần kể đến là chƣơng trình hàm lồi. Điều này tạo ra một lợi thế lớn khi giải quyết bài toán phân tích gới hạn. Nhƣ đã trình bày ở trên, bài toán phân tích giới hạn sẽ đƣợc đƣa về bài toán tối ƣu bằng cách tiếp cận lời giải phân tích giới hạn từ cận trên là cực tiểu năng lƣợng tiêu tán dẻo với các ràng buộc chuyển vị trên biên và các liên hệ giữa thành phần biến dạng và chuyển vị. Tính năng ƣu việt khi đƣa bài toán tối ƣu đƣợc đƣa về dạng nón bậc hai trở thành bài toán phân tích giới hạn có số biến lớn (số biến lên tới hàng triệu) sẽ đƣợc giải quyết rất nhanh thông qua chƣơng trình tối ƣu Mosek. 2.1 ĐỊNH NGHĨA Chƣơng trình hình nón có thể viết dƣới dạng toán học nhƣ sau: Cực tiểu hàm: Tc x (2.1) Ràng buộc : Ax b với x  , Với  là không gian hình nón. Không gian nón đƣợc biểu thị dƣới dạng toán học 2 2z x y  có thể minh họa qua Hình vẽ 2.1. z yO x Hình 2.1 Không gian hình nón 2.2 CÁC DẠNG HÌNH NÓN. Dạng toán học của một số hình nón có thể biểu diễn nhƣ sau: Dạng nón không âm: { / 0, 1 }n n iR x R x i : n        (2.2) Dạng nón bậc hai không xoay đƣợc: 2 2 1 2 2 R | n n n q i n L i L x x x x               (2.3) Dạng nón bậc hai xoay đƣợc: 2 22 1 2 3 1 2 3 R | , , 0 L n n n q i n i L x x x x x x x                (2.4) 2.3 SỬ DỤNG CHƢƠNG TRÌNH NÓN CHO BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG Năng lƣợng tiêu tán dẻo cho phần tử i:   2 2( ) cos i i ii i i xx yy xyD A      & (2.5) Bài toán phân tích giới hạn đƣợc đƣa về bài toán tối ƣu hóa nhƣ sau: 0min( ( ) )extD W    & (2.6) Ràng buộc: 0 1 ê ê extW u u tr nbi n    Theo hiện tƣợng vật lý học, mọi cấu kiện bị sụp đổ khi và chỉ khi nội tại không còn khả năng hấp thu năng lƣợng do công ngoài sinh ra. Ứng với mỗi trƣờng biến dạng dẻo sẽ thiết lập đƣợc năng lƣợng tiêu tán dẻo cho toàn miền. Thông qua bài toán tối ƣu, trƣờng biến dạng dẻo ứng với cơ chế sụp đổ sẽ đƣợc xác định. 2.4 THIẾT LẬP BÀI TOÁN TỐI ƢU 2.4.1 Thiết lập bài toán tối ƣu khi dùng phƣơng pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác ba nút: Năng lƣợng tiêu tán dẻo phần tử thứ i:   2 2( ) cos i i ii i i xx yy xyD A      & (2.7) Đặt: 2 2( - )i i ii xx yy xyt     (2.8) Ta có: 2 2( - )i i i i( p ) i i i xx yy xyD Ac cos( )     & cos( )i i i iAc t (2.9) Bài toán tối ƣu hóa trở thành: 1 min cos nel o i i i i ext i A c t W     (2.10) Với nel: là tổng số phần tử trong miền cần quan tâm. Ràng buộc: 2 2 0 ê ê 1 ( ) ext i i i i xx yy xy u tr n bi n W t            Với:  , ,i i ixx yy xy   là biến dạng của phần tử thứ i. Bài toán tối ƣu đƣợc thiết lập nhƣ sau: Cực tiểu năng lƣợng tiêu tán dẻo: min[ ]TA X (2.11) Ràng buộc : [ ]eqA X b Với X là biến X =[u1 u2 u2xnode t1.tnel m1 n1.mnel nnel] Với: - Số biến chuyển vị nút là 2x node (node: tổng số nút trong miền hình học của bài toán phân tích). - Số biến đặt thêm it là nel (nel: tổng số tam giác trong miền hình học của bài toán phân tích). - Thành phần biến dạng -i i ixx yym   và i i xyn  trong miền tam giác thứ i. Chuyển vị nút Biến đặt thêm để đƣa ràng buộc về dạng hình nón bậc 2 Thành phần biến dạng eq[A ] là ma trận đƣợc thiết lập từ các điều kiện sau: - Điều kiện biên về chuyển vị. - Công ngoại bằng một. - Điều kiện về biến dạng thể tích. - Ràng buộc bởi cách đƣa ẩn phụ t vào bài toán. 2.4.2 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn dựa trên cạnh (ES-FEM-T3) Năng lƣợng tiêu tán mềm đƣợc làm trơn dựa trên cạnh 1-2:   2 2( ) cos i i ii i i xx yy xyD A      & (2.12) Với Ai là diện tích k nhƣ hình 2.2. υi : là góc ma sát trong của vùng diện tích k . Để đƣa về bài toán tối ƣu có thể áp dụng chƣơng trình hình nón, ta đặt thêm ẩn phụ tƣơng tự mục [2.4.1] Đặt 2( )i i i ixx yy xyt      Hình 2.2 Diện tích miền trơn k dựa trên cạnh Khi đó bài toán tối ƣu đƣợc biểu thị: 1 min cos ned o i i i ext i A t W     (2.13) Với ned là tổng số cạnh trong miền hình học khi áp dụng bài toán phân tích giới hạn. Bài toán tối ƣu đƣợc thiết lập nhƣ sau: Cực tiểu năng lƣợng tiêu tán dẻo: min[ ]TA X (2.14) Ràng buộc : [ ]eqA X b Với X là biến X =[u1 u2 u2xnode t1.tned m1 n1.mned nned] Với: - Số biến chuyển vị nút là 2x node (node: tổng số nút trong miền hình học của bài toán phân tích). - Số biến đặt thêm it là ned (ned: tổng số cạnh trong miền hình học của bài toán phân tích). - -i i ixx yym   và i i xyn  trong miền i eq[A ] là ma trận đƣợc thiết lập từ các điều kiện sau: - Điều kiện biên chuyển vị. - Công ngoại bằng một. - Điều kiện về biến dạng thể tích. - Ràng buộc bởi cách đƣa ẩn phụ it vào bài toán: 2( )i i i ixx yy xyt      Chuyển vị nút Biến đặt thêm để đƣa ràng buộc về dạng hình nón bậc 2 Thành phần biến dạng CHƢƠNG 3. VÍ DỤ TÍNH TOÁN 3.1 ĐẶC ĐIỂM ĐỊA CHẤT CÔNG TRÌNH Theo kết quả khảo sát địa chất khu vực dự án do Viện Kỹ thuật Biển thực hiện tháng 4/2012 với 5 hố khoan, mỗi hố sâu 30m, kết hợp các tài liệu đã có trong vùng, chúng tôi nhận thấy khu vực khảo sát (tính đến độ sâu 30,0m) nền đất tại đây đƣợc cấu tạo bởi 04 lớp đất chính và 2 lớp thấu kính đƣợc thể hiện rõ trên hình trụ hố khoan và mặt cắt địa chất: Khoaûng caùch HK (m) Kyù hieäu hoá khoan Cao ñoä hoá khoan (m) 0.0 HK1 +2.09 Lôùp ñaát ph?: ÑP KYÙ HIEÄU ÑÒA CHAÁT & LÔÙP ÑAÁT Ð?t ph? cát pha, s?n s?i, l?n r? cây th?c v?t. 4.8 TK1 -28.0 -2.0 -4.0 -6.0 -8.0 -10.0 -12.0 -14.0 -16.0 -18.0 -20.0 -22.0 -26.0 -24.0 Cao ñoâï (m) 2 0.0 163.5 m HK3 TK2 Lôùp soá 1: 1 Sét màu xám nâu, nâu d?, tr?ng thái d?o ch?y d?n d?o c?ng. +2.09 -28.0 -30.0 1.60.49 3.9-3.41 1.5-4.91 8.8-13.71 14.2-27.91 0.0+2.0 0.0+3.53 HK2 272.8 m 1.50.5 4.3-3.8 15.7-19.5 4.1-23.5 4.4-28.0 1.52.03 23.7-21.67 4.8-26.47 Thaáu kính 1: Cát l?n b?i màu xám den, tr?ng thái r?t r?i. Lôùp soá 2: B?i l?n sét màu xám nâu den, tr?ng thái ch?y d?n d?o ch?y. Thaáu kính 2: Sét màu xám xanh, tr?ng thái d?o c?ng d?n n?a c?ng. Ranh gi?i các l?p -28.0: Cao d? (m) 4.8: Chi?u dày (m) +2.0 +3.53 1 2 ÑP ÑP TK1 2 TK2 TK2 3 3 3 4 Lôùp soá 3: Cát l?n b?i màu xám nâu xanh, tr?ng thái r?i. Lôùp soá 4: Cát pha màu xám nâu, tr?ng thái d?o. 2.0 4.0 1 Hình 3.1 Mặt cắt ngang địa chất dọc bờ sông Sở Thƣợng Khoaûng caùch HK (m) Kyù hieäu hoá khoan Cao ñoä hoá khoan (m) HK3 -2.0 -4.0 -6.0 -8.0 -10.0 -12.0 -14.0 -16.0 -18.0 -20.0 -22.0 -26.0 -24.0 Cao ñoâï (m) 0.0 940.3 HK5 +3.53 -28.0 372.2 -25.83 0.0+4.17 0.0+3.7 0.83.37 24.2-20.83 5.0 1.02.7 24.2-21.5 4.8-26.3 HK4 0.0+3.53 1.52.03 23.7-21.67 4.8-26.47 +4.17 +3.7 2.0 4.0 2 ÑP 3 ÑP 2 3 4 4 Hình 3. 2 Mặt cắt ngang địa chất bờ sông Tiền 3.1.1. Lớp đất phủ: Đất phủ cát pha, sạn sỏi, gạch đá, lẫn rễ cây thực vật. Lớp này bắt gặp từ mặt đất hiện hữu tại các hố đến độ sâu HK1 = 1,6m; HK2 = 1,5m; HK3 = 1,5m; HK4 = 0,8m; HK5 = 1,0m. Thành phần chính cát pha, sạn sỏi, gạch đá, lẫn rễ cây thực vật. Do đây là lớp đất phủ, nên chúng tôi không tiến hành lấy mẫu đất nguyên dạng thí nghiệm mà chỉ mô tả hiện trƣờng. 3.1.2 Lớp đất số 1: Sét màu xám nâu, nâu đỏ, trạng thái dẻo chảy đến dẻo cứng. Bắt gặp dƣới lớp đất phủ tại 02 hố khoan (HK1, HK2). Thành phần chính là sét màu xám nâu, nâu đỏ, trạng thái dẻo chảy đến dẻo cứng, chiều dày lớp thay đổi từ 3,9m (HK1) đến 4,3m (HK2). Sức kháng xuyên động chuỳ tiêu chuẩn (SPT) N= 2 ÷ 12. Các chỉ tiêu cơ lý đặc trƣng chủ yếu của lớp số 1 nhƣ sau: - Độ ẩm tự nhiên : W = 42,2% - Dung trọng tự nhiên : tn = 1,728 g/cm 3 - Dung trọng khô : k = 1,219 g/cm 3 - Lực dính đơn vị : C = 0,276 kG/cm2 - Góc ma sát trong : υ = 9050’ 3.1.3.Thấu kính 1: Cát lẫn bụi màu xám đen, trạng thái rất rời. Chỉ bắt gặp lớp này tại hố khoan HK1 dƣới lớp số 1, thành phần chính cát lẫn bụi màu xám đen, trạng thái rất rời, chiều dày lớp là 1,5m. - Sức kháng xuyên động chu