Luận văn Nghiên cứu didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11

bài tập. *Kiểu nhiệm vụ T11 : ‘‘Tính độ dài đoạn thẳng’’ Bài toán, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 109 26 Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b, c (a, b, c gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật). Giải. (theo sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 109) Từ  AC' =  AB +  AD +  AA' và  AB .  AD =  AB .  AA' =  AD .  AA' = 0. Ta có: 2 AC' = a2 + b2 + c2 hay AC’ = 2 2 2+ +a b c . Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng 2 2 2+ +a b c . Kỹ thuật τ11: - Từ đoạn thẳng cần tính độ dài, ta tạo thành một vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đầu của đoạn thẳng đó. - Phân tích vectơ đó thành tổng các vectơ không cùng phương (các vectơ này dễ tính được độ dài và có mối quan hệ đặc biệt về góc với nhau). - Áp dụng các hằng đẳng thức và một số phép biến đổi để khai triển. - Kết luận. Công nghệ θ11: Hằng đẳng thức, tích vô hướng của hai vectơ và độ dài một vectơ. Chúng tôi ghi nhận sự tồn tại của một số bài tập có thể dùng công cụ vectơ nhưng lại không dùng. Các bài tập này được chúng tôi trình bày trong phần phụ lục. Vậy có những điều kiện hoặc ràng buộc nào để giáo viên, học sinh sử dụng phương pháp vectơ? Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này trong chương 2 của luận văn. 4. Kết luận. Chương 1 nhằm mục đích trả lời các câu hỏi Q1 và Q2. Sách giáo khoa và sách bài tập thể hiện không đủ mục đích đưa vectơ vào để xây dựng mối quan hệ vuông góc và giải một số bài toán nhất định mà các tác giả đã xác định trong sách giáo viên. Điều này được thể hiện qua phần bài học chỉ có duy nhất một định lý mà chứng minh có huy động vectơ và phần bài tập có 13 kiểu nhiệm vụ nhưng phân phối dàn trải (trong đó số lượng bài tập chứng minh sự vuông góc khá ít). Đặc biệt, trong 13 kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật giải bằng công cụ vectơ không phải lúc nào cũng được ưu tiên. Điều này cho thấy có độ lệch giữa ý định của tác giả (thể hiện trong sách giáo viên) với sự thể hiện của sách giáo khoa. Một vấn đề được đặt ra là độ lệch này sẽ biến động thế nào trong tri thức thực dạy. Những điều kiện và ràng buộc nào để giáo viên, học sinh sử dụng phương pháp vectơ? Giáo viên sẽ chấp nhận lời giải vectơ như thế nào? C’ D’ C B ’ B A ’ A 27 Chúng tôi sẽ đi tìm các yếu tố trả lời trong chương 2. 28 Chương 2. Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu sự quan tâm của giáo viên đến vectơ với vai trò công nghệ - lý thuyết và kỹ thuật. Quá trình phân tích chia làm hai phần: - Vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và thực dạy; - Đánh giá của giáo viên đối với lời giải dùng kỹ thuật vectơ. 1. Vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và thực dạy 1.1. Liên quan đến công nghệ - lý thuyết Trong việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tác giả đã không chứng minh mà chỉ phát biểu và xem như là một hoạt động. Ngoài ra, tác giả ít quan tâm đến bài tập 5 nhưng bài tập 5 được ứng dụng rất nhiều và hiệu quả trong một số kiểu nhiệm vụ. Điều này sẽ ảnh hưởng đến thực tế dạy học của giáo viên như thế nào? Chúng tôi đã tham khảo và xin ý kiến của 25 giáo viên để biết giáo viên có quan tâm và cho học sinh giải bài tập 5 đồng thời hướng dẫn học sinh áp dụng bài tập 5 để giải một số bài tập với câu hỏi sau: Câu hỏi 2. Sách Hình học 11 nâng cao lớp 11, trang 91 có bài tập 5 liên quan đến điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một mặt phẳng. Quý thầy, cô có cho học sinh của mình làm bài tập này không? (Vui lòng đánh dấu vào ô tương ứng và chỉ đánh dấu một ô duy nhất) Có và còn cho thêm một số bài tập vận dụng Có nhưng không cho thêm bài tập vận dụng Có, nếu có thời gian cho phép Không Trường hợp khác (vui lòng ghi rõ): .................... Xin quý thầy, cô vui lòng giải thích lý do lựa chọn của mình: Chúng tôi đã thu được kết quả như sau: Sự lựa chọn Số lượng Có và còn cho thêm một số bài tập vận dụng (A) 0 Có nhưng không cho thêm bài tập vận dụng (B) 5 Có, nếu có thời gian cho phép (C) 12 Không (D) 7 29 Trường hợp khác: Học sinh giỏi có và cho thêm bài tập; học sinh bình thường thì không (E) 1 Không có giáo viên nào chọn “Có và còn cho thêm một số bài tập vận dụng”. Điều này thể hiện giáo viên không tạo điều kiện và hướng dẫn cho học sinh biết khả năng vận dụng của bài tập 5 đối với một số bài toán hình học không gian lớp 11. Có 19 giáo viên không cho học sinh làm bài tập 5 và 5 giáo viên cho học sinh làm nhưng chỉ với mục đích hoàn thành các bài tập trong phần bài tập của sách giáo khoa. Vậy 24 giáo viên không chú ý đến vai trò công nghệ - lý thuyết của bài tập 5. Qua những gì đã phân tích trong sách giáo khoa, chúng tôi đã phần nào có thể lý giải cho việc không để ý đến bài tập 5 của 19 giáo viên. Một phần là do cách trình bày bài tập 5 trong sách giáo khoa, sau đó chỉ cho một bài tập nhỏ vận dụng trong sách giáo khoa và có ít bài tập áp dụng bài tập 5 trong sách bài tập. Sự bố trí này của tác giả sách giáo khoa trong tri thức cần dạy đã làm cho bài tập 5 trở thành kém quan trọng. Dẫn đến, trong tri thức soạn giảng của giáo viên cũng cho rằng bài tập này ít vận dụng. Đồng thời, đề thi đại học không có những dạng bài tập này nên giáo viên không quan tâm và không hướng dẫn học sinh. Ngoài ra chúng tôi tổng hợp sự giải thích của giáo viên cho sự lựa chọn này như sau: Sự lựa chọn Lý do A B C D E Tồng cộng Không đủ thời gian 3 1 4 Giảm tải của Bộ 1 1 Khó hoặc khó nên để học sinh tự tìm hiểu thêm 2 3 2 1 8 Không đưa ra lý do 1 2 2 5 Ít phổ biến hoặc ít vận dụng hoặc ít hưng thú 1 1 2 Tùy đối tượng học sinh 1 2 3 Mang tính chất tham khảo 1 1 Không cần thiết ở chương trình phổ thông 1 1 Học sinh ít nắm vững phương pháp vectơ 1 1 Là phần nội dung bài học nhưng không quan trọng 1 1 Không chấp nhận áp dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải các bài tập khác, muốn sử dụng phải chứng minh. 1 1 Tổng cộng 0 5 12 10 1 28 30 Lý do nhiều nhất là bài tập 5 khó nhưng rõ ràng bài tập 5 hoàn toàn không khó vì chỉ áp dụng sự đồng phẳng vừa mới học trong phần bài học. Có 4 giáo viên trả lời không đủ thời gian, 1 giáo viên cho rằng do giảm tải của Bộ và 10 giáo viên chọn “Có, nếu có thời gian cho phép”. Điều này cho ta thấy quỹ thời gian hoặc ràng buộc của chương trình là một tác động đến sự lựa chọn của giáo viên trong việc soạn giảng. Nhưng có còn lý do nào khác? Theo phân phối chương trình, §1 được dạy trong 2 tiết lý thuyết và có 1 tiết luyện tập; nghĩa là vẫn có thời gian để giáo viên giải bài tập tại lớp hoặc hướng dẫn học sinh làm bài tập ở nhà. Trong trường hợp thứ hai, giáo viên sẽ ưu tiên chọn những bài tập mà họ cho là quan trọng để giải tại lớp. Như vậy, cách trả lời “không có thời gian” chứng tỏ giáo viên xem bài tập 5 là kém quan trọng so với những bài tập khác. Vì các kiểu nhiệm vụ T1, T2 xuất hiện nhiều trong hình học không gian lớp 11, sự vắng bóng của bài tập 5 trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy chứng tỏ kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ này sẽ không dựa trên yếu tố công nghệ - lý thuyết của bài tập 5. Đặc biệt, có 5 giáo viên chọn phương án thứ ba hoặc phương án thứ tư nhưng không đưa ra lý do. Điều này cũng có thể chứng tỏ giáo viên cho rằng bài tập 5 không quan trọng, không vận dụng. Như vậy, đa số giáo viên không muốn quan tâm và hướng dẫn cho học sinh biết sự ứng dụng kết quả bài tập 5 trong lời giải của một số bài tập trong sách bài tập nên dẫn đến học sinh cũng không để ý đến vai trò công nghệ - lý thuyết của vectơ. Vậy, giáo viên và học sinh ít quan tâm đến vai trò công nghệ - lý thuyết của công cụ vectơ khi giải các bài toán hình học không gian lớp 11. Dù tác giả quan niệm rằng kiến thức vectơ quan trọng trong hình học không gian, chúng tôi nhận thấy sự sống của vectơ trong chương 3 rất hạn hẹp. Cụ thể, trong cấu trúc sách giáo khoa, tác giả chỉ dùng vectơ để chứng minh một định lý. Về mặt công cụ, vectơ có nhiều tiềm năng công nghệ - lí thuyết nhưng chưa được huy động triệt để trong chứng minh tính chất và lời giải bài tập. Điều này tiếp tục cho thấy độ lệch giữa tri thức cần dạy và tri thức thực dạy liên quan đến vai trò công nghệ - lý thuyết của vectơ. 1.2. Liên quan tới kỹ thuật Chúng tôi ghi nhận đối với một số bài toán đơn giản hay các bài toán bắt buộc phải 31 dùng vectơ thì thể chế mới sử dụng công cụ vectơ để giải. Vậy, giáo viên chỉ huy động công cụ vectơ để giải những dạng toán nào trong hình học không gian? Điều kiện và ràng buộc để học sinh huy động công cụ vectơ trong lời giải của một số bài toán hình học không gian lớp 11? Chúng tôi đã tham khảo và xin ý kiến 25 giáo viên với câu hỏi sau: Câu hỏi 1. Theo quý thầy, cô, trong giảng dạy, giáo viên có thể sử dụng vectơ để giải những loại toán hình học không gian nào ở lớp 11? Kết quả thu được các dạng toán hình học không gian mà giáo viên sẽ sử dụng vectơ để giải bao gồm: Số giáo viên chọn Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 22 Tính góc giữa hai đường thẳng 7 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1 Chứng minh hai đường thẳng song song 1 Tính độ dài đoạn thẳng 1 Chứng minh bốn điểm đồng phẳng 1 Chứng minh ba vectơ trong không gian đồng phẳng 1 Chứng minh tứ giác là hình bình hành 1 Cùng phương 1 Chứng minh các đường thẳng đồng quy 1 Toán chứng minh 1 Bỏ trống 2 Có 22 giáo viên nghĩ đến vectơ đối với bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Theo kinh nghiệm bản thân và hỏi thăm một số giáo viên, chúng tôi đã tìm hiểu lý do của việc lựa chọn này là: - Vectơ chỉ hiệu quả khi chứng minh tính vuông góc là do có tích vô hướng. - Để chứng minh tính vuông góc đó thì giáo viên cố gắng lợi dụng yếu tố vuông góc trong đề bài như: đề bài cho hình hộp chữ nhật; hình lập phương; hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD); . Nhưng những lập luận trên không hoàn toàn đúng vì có những bài toán mà dữ liệu cũng như yêu cầu trong bài không cho thấy có bất kỳ một quan hệ vuông góc nào như các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3 nhưng sử dụng vectơ vẫn hiệu quả và tối ưu. 32 Vì giáo viên chỉ nghĩ đến việc dùng vectơ trong quan hệ vuông góc nên hai kiểu nhiệm vụ T2 và T3 gần như nằm ngoài quan hệ vuông góc (nằm ngoài thể chế). Mối quan hệ kiểu nhiệm vụ T2, T3 đối với vectơ là một điều lạ nên tuyệt đại đa số giáo viên không hề nghĩ đến việc sẽ dùng vectơ để giải quyết kiểu nhiệm vụ T2, T3. Vậy, chúng tôi nhận thấy giáo viên chỉ nghĩ đến vectơ đối với những bài chứng minh vuông góc. Đồng thời, giáo viên chỉ quan tâm đến các dạng bài tập mà kỹ thuật giải có sử dụng công cụ vectơ khi giáo viên đang giảng dạy phần bài học có liên quan đến vectơ (§1 và §2) và phần bài tập áp dụng phần bài học đó, nhưng sau đó giáo viên không quan tâm đến công cụ vectơ để giải các bài toán hình học không gian. Chúng tôi ghi nhận có 2 giáo viên không trả lời (để trống). Điều này chứng tỏ giáo viên chưa sẵn sàng để trả lời câu hỏi. Nói cách khác, lợi ích hay hiệu quả hay phạm vi ứng dụng của vectơ không phải lúc nào cũng được giáo viên đặt ra khi giáo viên đi dạy, điều đó có nghĩa là họ không bao giờ nghĩ tới vectơ để giải các bài toán hình học không gian lớp 11. Có 1 giáo viên trả lời hết sức chung chung là “Toán chứng minh”. Câu trả lời chung chung này không nói lên điều gì hết. Dẫn đến hai việc sau: - Trả lời như vậy nghĩa là không trả lời gì. - Đa số giáo viên từng nghĩ vectơ chỉ có thể giải những bài toán chứng minh do đó sẽ hạn chế những bài toán tính toán, dựng hình, quỹ tích, Không có giáo viên nào liệt kê đủ hết các dạng bài tập hình học không không lớp 11 có sử dụng lời giải vectơ. Đặc biệt dạng toán chứng minh một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một điểm thuộc một mặt phẳng, chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Có đến 10 giáo viên chỉ nêu 1 dạng toán có sử dụng công cụ vectơ để giải. Điều này chứng tỏ giáo viên ít chú ý đến việc sử dụng công cụ vectơ trong các dạng bài tập hình học không gian lớp 11 hay đứng trước một bài toán hình học không gian, giáo viên ít nghĩ đến lời giải vectơ đầu tiên. Trong 13 kiểu nhiệm vụ chúng tôi đã liệt kê từ sách giáo khoa và sách bài tập thì mỗi kiểu nhiệm vụ có số lượng bài tập ít. Mặt khác, chúng tôi xin ý kiến giáo viên liệu giáo viên có cho học sinh làm hết 13 kiểu nhiệm vụ không và những kiểu nhiệm vụ nào giáo viên bỏ qua? Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ mà giáo viên chọn để hướng dẫn cho học sinh: 33 Kiểu nhiệm vụ T 1 T 2 T 3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T1 0 T11 T1 2 T1 3 Giáo viên chọn 0 0 0 8 17 2 5 3 21 21 7 13 14 Trong bảng thống kê trên, chúng tôi ghi nhận đa số giáo viên không hướng dẫn và yêu cầu học sinh làm hết 13 kiểu nhiệm vụ; không để ý đến các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3 với lý do không đủ thời gian, dạng bài tập này không phổ biến hay chương trình không yêu cầu; chỉ tập trung hướng dẫn làm các kiểu nhiệm vụ T5, T9, T10, T12, T13 vì là những dạng toán cơ bản học sinh dể tiếp thu, bổ trợ cho lớp 12; rất ít giáo viên quan tâm đến các kiểu nhiệm vụ T6, T7, T8. Đa số giáo viên không cho học sinh làm hết các bài tập trong sách bài tập vì lý do không đủ thời gian và giảm tải chương trình. Đối với câu hỏi 1, giáo viên phải huy động để trả lời. Nhưng qua câu hỏi 3 thì có sẵn để giáo viên lựa chọn. Mục đích của việc này là để ý xem có giáo viên chỉ nêu ra một dạng toán ở câu hỏi 1 nhưng qua câu hỏi 3 thì giáo viên chọn nhiều hơn. Điều này cho chúng tôi nhận thấy giáo viên biết rất rõ sự ứng dụng của vectơ trong các bài toán hình học không gian nhưng do chương trình và cách trình bày của sách giáo khoa làm giáo viên bỏ quên phương pháp vectơ. Như vậy, khi giáo viên cho học sinh làm một bài tập mà lời giải đúng có thể được học sinh trình bày bằng công cụ vectơ thì giáo viên có cho điểm tối đa không? Qua những gì chúng tôi xin ý kiến giáo viên, chúng tôi nhận thấy 3 trường hợp: giáo viên chấp nhận lời giải bằng phương pháp vectơ nhưng không ưu tiên cách giải này, giáo viên không cho điểm và giáo viên cho điểm thấp. Dẫn đến, học sinh sẽ không nghĩ đến công cụ vectơ để giải nếu đề bài không có kí hiệu vectơ hoặc yêu cầu giải bằng phương pháp vectơ. Chúng tôi sẽ kiểm chứng bằng thực nghiệm được trình bày rõ trong phần 2. Trên thực tế, ý đồ của sách giáo khoa là chỉ đưa vectơ vào để chứng minh định lý cơ bản ngắn hơn. Từ đó, chúng tôi cho rằng giáo viên và học sinh ít huy động công cụ vectơ như là một công cụ kỹ thuật. Dựa vào kinh nghiệm bản thân và xin ý kiến giáo viên, chúng tôi nhận thấy một số giáo viên vẫn biết sự tối ưu của lời giải vectơ nhưng vẫn không chọn với bốn lý do : - Giáo viên nghĩ đã là hình học không gian thì phải vẽ hình. Một số giáo viên đòi hỏi, yêu cầu học sinh phải huy động kiến thức để vẽ hình trong không gian nhưng 34 vectơ lại giúp cho học sinh tránh được vẽ hình. Như vậy, giáo viên muốn ưu tiên hình học tổng hợp. - Nếu giáo viên dạy cả hai phương pháp thì học sinh sẽ bị nhiễu. Họ chọn một trong hai để học sinh không bị nhiễu. Đây là sự lựa chọn sư phạm của giáo viên - Công cụ vectơ làm lời giải ngắn gọn nhưng quá trình tìm ra lời giải bằng vectơ mất nhiều thời gian, tức là vectơ cho phép biến đổi rất nhiều nhưng nó có một nhược điểm là việc biến đổi đó không giúp cho học sinh định hướng là học sinh phải làm gì, phải làm như thế nào? Trong khi đó phương pháp tổng hợp có quy trình giải rõ ràng. - Do thể chế ưu tiên cho kỹ thuật hình học tổng hợp. Nhưng nếu ta bồi dưỡng, dành nhiều thời gian cho học sinh làm các dạng bài tập trên thì học sinh sẽ có kỹ năng. Trong phần bài tập, chúng tôi nhận thấy tác giả sách giáo khoa chỉ muốn học sinh hiểu và biết sử dụng vectơ vào giải một số bài toán hình học không gian ở mức độ giới thiệu (có 13 kiểu nhiệm vụ nhưng mỗi kiểu nhiệm vụ có ít bài tập áp dụng) mà không khai thác hết lợi ích của vectơ sau đó. Đặc biệt, dự định của tác giả muốn đưa vectơ vào xây dựng mối quan hệ vuông góc nhưng số bài tập liên quan đến sự vuông góc chỉ có 8 câu nhỏ và nó không còn xuất hiện về sau. Do số lượng bài tập sử dụng công cụ vectơ vào giải một số bài toán hình học không gian không nhiều và các đề thi Cao đẳng, Đại học cũng không có câu nào tạo điều kiện sử dụng công cụ vectơ để giải nên giáo viên và học sinh ít quan tâm đến vectơ và không tạo thói quen vận dụng vectơ vào giải các bài toán hình học không gian lớp 11. Vậy, vấn đề đặt ra là khi nào vectơ được chấp nhận và không được chấp nhận trong hình học không gian lớp 11, nghĩa là điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ trong giải toán hình học không gian lớp 11 là gì? 1.3. Điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ. Qua những gì đã phân tích và khảo sát ở trên, chúng tôi ghi nhận những điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ trong giải các bài toán hình học không gian lớp 11 như sau: Đa số giáo viên chỉ huy động công cụ vectơ để chứng minh quan hệ vuông góc. Do đó, khi gặp những dạng bài tập liên quan đến vuông góc và trong đề bài phải có ít nhất một vectơ thì học sinh mới quan tâm đến công cụ vectơ để giải. 35 Do thể chế ít quan tâm đến công cụ vectơ và các đề thi học kì, cao đẳng, đại học cũng không tạo điều kiện để những dạng bài tập có thể giải bằng phương pháp vectơ trong hình học không gian lớp 11 xuất hiện. Dẫn đến, giáo viên ít quan tâm đến công cụ vectơ, ít để ý và ít hướng dẫn học sinh làm hết các bài tập trong sách giáo khoa và một số bài tập trong sách bài tập có liên quan đến vectơ. Do đó, học sinh cũng không có kỹ năng và không quan tâm đến công cụ vectơ khi giải các bài toán hình học không gian. 1.4. Kết luận. Qua những gì đã phân tích ở trên, chúng tôi đã đưa ra được bốn kết luận sau: Mục đích của tác giả sách giáo khoa đưa vectơ vào để xây dựng mối quan hệ vuông góc và biết sử dụng vectơ giải một số bài toán nhất định nhưng sự thể hiện trong sách giáo khoa và sách bài tập không đủ với mục đích đó. Điều đó được thể hiện qua phần bài học chỉ hướng dẫn duy nhất một chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và có đến 13 kiểu nhiệm vụ nhưng mỗi kiểu nhiệm vụ có số lượng bài tập ít (trong đó số lượng bài tập chứng minh sự vuông góc cũng ít). Dẫn đến, giáo viên cũng không tạo điều kiện thuận lợi cho vectơ xuất hiện trong các bài toán hình học không gian lớp 11. Vậy, có độ lệch giữa ý đồ của tác giả với sự thể hiện của sách giáo khoa, sách bài tập và thực tế giảng dạy của giáo viên. Khi xin ý kiến giáo viên xem giáo viên nghĩ đến công cụ vectơ để giải những dạng bài tập nào thì kết quả lựa chọn nhiều nhất là chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Điều này chứng tỏ, gần như có một quan hệ mặc định giữa giáo viên với khái niệm vectơ là giáo viên chỉ nghĩ đến quan hệ vuông góc. Do giáo viên và học sinh ít quan tâm đến công cụ vectơ khi giải các bài toán hình học không gian lớp 11 nên để học sinh sử dụng công cụ vectơ giải thì đề bài phải có các kí hiệu vectơ hoặc yêu cầu giải bằng phương pháp vectơ. Như vậy, khi dùng ngôn ngữ biểu đạt là ngôn ngữ tổng hợp thì gần như là giáo viên và học sinh sẽ không nghĩ đến công cụ vectơ. Mặc dù giáo viên vẫn biết công cụ vectơ sẽ làm lời giải của một số bài toán hình học không gian lớp 11 ngắn gọn, đơn giản hơn nhưng giáo viên không huy động dẫn đến học sinh cũng không huy động vectơ giải. Lời giải huy động công cụ vectơ có thể được chấp nhận nhưng không được uư tiên. 36 2. Đánh giá của giáo viên đối với lời giải dùng kỹ thuật vectơ. Để làm rõ hơn những điều vừa phát biểu trong phần kết luận ở trên, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm với hình thức xin ý kiến giáo viên và phát phiếu học tập cho học sinh. 2.1. Giới thiệu thực nghiệm 2.1.1. Mục đích thực nghiệm 2.1.1.1. Thực nghiệm dành cho giáo viên Thông qua phiếu xin ý kiến giáo viên, chúng tôi muốn tìm hiểu xem trong quá trình giảng dạy thì giáo viên - đánh giá và chấp nhận lời giải vectơ đối với một số dạng toán lạ ở mức độ nào; - sẽ ưu tiên phương pháp tổng hợp hay phương pháp vectơ để giải một bài toán hình học không gian lớp 11. 2.1.1.2. Thực nghiệm dành cho học sinh Thông qua bài tập trong phiếu điều tra, chúng tôi muốn biết học sinh - sẽ ưu tiên phương pháp tổng hợp hay phương pháp vectơ trong lời giải của các bài toán hình học không gian lớp 11 mà đề bài cho theo ngôn ngữ tổng hợp; - hiểu, biết và sử dụng công cụ vectơ ở mức độ nào trong một số bài toán hình học không gian lớp 11. 2.1.2. Kế hoạch thực nghiệm 2.1.2.1. Phiếu xin ý kiến giáo viên Chúng tôi nhận thấy giáo viên có ảnh hưởng nhiều đến học sinh nên chúng tôi đã gửi phiếu thăm dò ý kiến đến 25 giáo viên ở các trường trung học khác nhau ở Bình Thuận, Thành phố Hồ Chí Minh để khẳng định và làm rõ việc trong thực tế dạy học lời giải huy động công cụ vectơ có thể được chấp nhận nhưng không được uư tiên. 2.1.2.2. Phiếu điều tra học sinh Chúng tôi đã thực nghiệm đối với 60 học sinh lớp 11 ở trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo, tỉnh Bình Thuận sau khi học xong chương “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian”. Học sinh làm bài cá nhân trên giấy có sẵn đề bài do chúng tôi phát sẵn. Bài làm của học sinh sẽ được thu lại để phân tích (kèm theo giấy nháp). Học sinh làm 2 bài toán trong 30 phút dưới sự giám sát của người làm thực nghiệm. 37 2.2. Phiếu xin ý kiến giáo viên ở trường phổ thông 2.2.1. Phân tích tiên nghiệm Trong phiếu xin ý kiến giáo viên, bài toán được cho kèm theo hai lời giải. Giáo viên được đề nghị cho điểm và nhận xét về lời giải đó; sau đó giáo viên đưa ra sự lựa chọn lời giải ưu tiên. Câu hỏi. Xét bài toán sau: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’D’. Xác định vị trí giao điểm K của đường thẳng B’D và mặt phẳng (CMN). Dưới đây là hai lời giải của hai học sinh: Lời giải 1. Ta có:  DA =  DM +  MA =  DM – 1 2  DC (do M là trung điểm AB )  DD' =  DN +  ND' =  DN – 1 2  DA =  DN – 1 2  DM + 1 2  DC (do N là trung điểm AD) Đặt  DK = n  DB' . Theo qui tắc hình hộp ta có:  DK = n  DB' = n(  DA +  DC +  DD' ) = n(  DM – 1 2  DC +  DC +  DN – 1 2  DM + 1 2  DC ) = n( 3 4  DC +  DN + 1 2  DM ). Vì K ∈ (MNC) nên ta suy ra n.( 3 4 + 1 + 1 2 ) = 1 ⇔ n = 4 9 . Do đó  DK = 4 9  DB' Vậy, K là điểm thuộc đoạn thẳng B’D với KD B'D = 4 9 . Lời giải 2. C’ B’ A’ D C M B A D’ N K \\ \\ \ \ C B A’ D C M B A D N K \\ \\ \ \ I O O F E J H 38 Gọi F là trung điểm của D’C’. Dựng đường thẳng đi qua N song song với A’F và cắt D’C’ tại E, suy ra E là trung điểm D’F và E ∈ (MNC). Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’ và I, H, J, K lần lượt là giao điểm của MC với DB, A’F với B’D’, A’E với B’D’ và DB’ với IJ. Ta có:    ⊂∈⊂∈ ⊂∈⊂∈ )''(''),( )''(),( BBDDDBJMNCNEJ BBDDBDIMNCMCI ⇒ (MNC) ∩ (BDD’B’) = IJ Vì IJ ∩ B’D = {K} nên (MNC) ∩ B’D = {K}. ∆ABC có I là trọng tâm nên BI = 2 3 BO = 2 6 BD ⇒ DI = 4 6 BD. ∆A’D’F có NE // A’F nên ND' A'D' = ED' FD' = JD' HD' = 1 2 ⇒ D’J = 1 2 D’H. ∆A’C’D’ có H là trọng tâm nên D’H = 2 3 D’O’ = 1 3 BD ⇒ D’J = 1 6 BD ⇒ B’J = 5 6 BD. Do ∆KID ∼ ∆KJB’ (góc-góc) nên ta có ID B'J = KD KB' = 4 6 5 6 BD BD = 4 5 . Vậy K là điểm thuộc đoạn thẳng B’D với KD KB' = 4 5 . Xin quý thầy, cô vui lòng cho điểm (theo thang điểm 10) hai lời giải trên và giải thích lý do vào ô tương ứng. Trong thực tế giảng dạy, quý thầy, cô sẽ ưu tiên chọn lời giải nào? ............................ Xin quý thầy, cô vui lòng giải thích lý do: .................................................................... Các biến dạy học và các giá trị được chọn trong bài toán này: Ba: Cách hỏi của đề bài. • GTa1: Tìm giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng. • GTa2: Xác định vị trí giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng. Trong trường hợp này chúng tôi chọn giá trị GTa2. Bb: Tỉ số k (Giả sử IA = k.AB với I là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) cần tìm). • GTb1: k là những số đặc biệt ( 1 2 , 1 3 , 1 4 ). • GTb2: k không là những số đặc biệt (ví dụ: 4 5 , 1 5 , 4 7 , ). Trong trường hợp này chúng tôi chọn giá trị GTb2. Bc: Cách cho dữ liệu trong đề bài. • GTc1: Đề bài cho có vectơ. 39 • GTc2: Đề bài không có vectơ. Trong trường hợp này chúng tôi chọn giá trị GTc2. Lời giải