Luận văn Nghiên cứu didactic việc dạy học hàm số và phương trình chứa tham số trong môi trường casyopée ở bậc trung học phổ thông

2 2 2 1 1 3 ( 2) 1 0 (2) x x m x x x m m − + = − − ⇔ − − + + = (do x=1 kh ông là ngiệm ) Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm phân biệt, tức là: 2 2 ( 2) 12( 1) 0 8 8 0 4 2 6 4 2 6 m m m m m m ∆ = + − + > ⇔ − − >  < − ⇔  > + d) Hoành độ các giao điểm A và B là nghiệm PT (2). Do đó hoành độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: 53 2 2 6 A B M x x mx + += = . Vì điểm M nằm trên đường thẳng y m x= − nên M My m x= − . Ta khử m để tìm hệ thức giữa xM và yM ta được 6 2 5 2M M M My x x x= − − = − . Vậy điểm M nằm trên đường thẳng y = 5x – 2 Chú ý rằng m chỉ lấy thỏa điều kiện 4 2 6m + Suy ra 61 3 x < − hoặc 61 3 x > + Vậy tập hợp điểm M của đoạn AB là phần đường thẳng y = 5x – 2 với 61 3 x < − hoặc 61 3 x > + Trong môi trường Casyopée giải bài toán như sau: Cách 1: Nhập hai hàm số vào phần mềm và thực hiện lệnh vẽ đồ thị hai hàm số. Tiếp theo ta thực hiện lệnh xác định hai giao điểm và xác định trung điểm hai giao điểm đó. Tiếp theo ta chọn lệnh tạo vết cho trung điểm. Khi ta cho tham số thay đổi giá trị trên thanh trượt thì tọa độ trung điểm sẽ để lại vết trong mặt phẳng và cho ta thấy được hình ảnh của quỹ tích. Cách 2: Nhập hai hàm số vào phần mềm và thực hiện lệnh vẽ đồ thị hai hàm số. Tiếp theo ta thực hiện lệnh xác định hai giao điểm và xác định trung điểm hai giao điểm đó Ta lập tọa độ trung điểm M trong MT truyền thống. Tiếp theo ta thực hiện lệnh vẽ đồ thị PT tham biến của tọa độ trung điểm sẽ cho ta hình ảnh của quỹ tích. Nhận xét: Trong môi trường Casyopée cho phép ta thấy được hình ảnh của quỹ tích nhưng khó lập PT theo hai ẩn x, y của quỹ tích. Tuy nhiên, trong môi trường truyền thống lại cần phương trình theo hai ẩn x, y (không phải là phương trình chứa tham biến) của quỹ tích chứ không phải là minh họa hình ảnh quỹ tích-điều này khó hiện trong MT truyền thống. Ưu điểm của MT này là nhược điểm môi trường kia. Thiết nghĩ, khi giải quyết KNV tìm điểm cố định của họ đường cong có có sự kết hợp MT truyền thống với MT Casyopée sẽ bổ sung cho nhau rất tốt để học nhìn chất bằng hai ngôn ngữ ĐS và ngôn ngữ HH. Điều đó giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán. 54 Ta có thể phát biểu tổng quát bài toán quỹ tích như sau: Cho hàm số ( )my f x= , trong đó, tham số m biến thiên trong tập M. Điểm A được xác định bởi điều kiện (Đ) nào đó, có quan hệ nhất định với đồ thị (Cm) của hàm số đã cho. Hãy tìm quỹ tích của điểm M khi tham số m thay đổi. Kĩ thuật Bước 1. Tồn tại điểm A thỏa mãn điều kiện (Đ) ⇔ 0 0( )m M M M∈ ⊂ . Với điều kiện ấy của m, ta tính được tọa độ điểm A thỏa mãn điều kiện (Đ). Giả sử, điểm A thỏa mãn (Đ) ⇔ A có tọa độ là ( ) ( ) A A x x m y y m =  = , ở đây xem hoành độ x(m) và tung độ y(m) của điểm A có thể xem là hàm số của đối số 0m M∈ . Bước 2. Khử tham số m trong hệ (*) để tìm mối quan hệ giữa x và y ở dạng ( , ) 0F x y = hoặc ( )y g x= . 55 Sau đó ta phải chuyển điều kiện 0m M∈ thành điều kiện đối với x ( hoặc đối với y). thực chất việc làm này là tìm tập giá trị của hàm số ( )x x m= với 0m M∈ . Giả sử ta thu được 0 0m M x D∈ ⇔ ∈ Khi ấy, ta kết luận rằng phương trình của quỹ tích cần tìm là: 0 ( , ) 0F x y x D =  ∈ hoặc 0 ( )y g x x D =  ∈ Nếu ( , ) 0F x y = là phương trình của đường cong (C) nào đó thì quỹ tích là tất cả những điểm thuộc (C) có hoành độ 0x D∈ . - Chú ý: Để khử m trong hệ (*), ta thường đùng phương pháp thế ( rút m từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia), hoặc phương pháp cộng đại số. Nhận xét KNV T5 - Ở bước 1, ta có thể nói phương trình tham số của quỹ tích cần tìm là ( ) ( ) x x m y y m =  = với 0m M∈ (*). Tuy nhiên, phương trình ấy chưa cho một hình ảnh đầy đủ về quỹ tích. Bởi vậy ta cần bước 2. - Trong bài toán này chữ m đóng vai trò tham số biến trung gian trong phương trình tham số của đường thẳng. Điều này là một khó khăn đối với học sinh. KNV này thường xuất hiện sau KNV “tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ( )y f x= cắt đường thẳng ( ) ( , )d y g x m= 2 điểm”. - Tôi chưa thấy lí do tồn tại của KNV này trong SGK và nó có liên quan tới các KNV khác như thế nào. Trong SGK 12 cơ bản không xuất hiện KNV tìm quỹ điểm. - Trong môi trường Casyopée ta có thể cho học sinh quan sát hình thành quỹ tích điểm và cho hình ảnh trực quan về quỹ tích điểm và cho thấy rõ giới hạn của quỹ tích. Trong môi trường Casyopée , khi ta biết được phương trình tham số (tham số có vai trò là biến trung gian) của quỹ tích thì ta có thể dễ dàng xác định được hình ảnh của quỹ tích điểm mà không cần khử biến trung gian như trong môi trường truyền thống. - Nếu lựa chọn biến didactic có phương trình quỹ tích không quen thuộc thì việc 56 khử tham số trở nên rất khó thậm chí là bế tắc trong môi trường truyền thống. Tuy nhiên, trong môi trường Casyopée do vẽ được đồ thị của phương trình tham số mà không cần đưa về hàm số dạng y=f(x) nên có thể khảo sát được hầu hết các quỹ tích khi biết tọa độ điểm theo tham số (phương trình tham số của quỹ tích). Đó là ưu điểm của phần mềm Casyopée. Sau khi khảo sát các KNV chứa tham số, chúng tôi thống kê lại tần số xuất hiện các KNV đó qua bảng sau Thống kê Để cho tiện theo dõi, tôi tóm tắt lại các KNV trước khi trình bày bảng thống kê. T1:“Giải và biện luận” bao gồm : T11: “Giải và biện luận phương trình chứa tham số”. T12 : “Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số”. T13: “Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường”. T2: “Tìm các giá trị tham số” thỏa một điều kiện cho trước bao gồm: T21: “Tìm các trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước”. T22:“Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C): y = f(x) cắt đường thẳng (d): y = g(x,m) tại n (n = 0, 1, 2,3,4 ) điểm thỏa mãn điều kiện cho trước”. T23: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) đơn điệu trên một tập cho trước”. T24: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x0”. T25: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) có n cực trị ( n = 0,1,2,3)”. T26: “Tìm các giá trị tham số để đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau”. Tương ứng với các KNV T2 là KNV T3 “chứng minh” T3:“Chứng minh” T31: “Chứng minh rằng phương trình chứa tham số có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”. T32: “Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C): y = f(x) cắt đường thẳng (d): y = g(x, m) tại n (n = 0, 1, 2,) điểm thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó với các giá trị của tham số m ”. 57 T33: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) đơn điệu trên một tập cho trước thỏa mãn điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”. T34: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x0 thỏa mãn điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”. T35: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) có n cực trị ( n = 0,1,2,3) thỏa mãn điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”. T36: “Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau thỏa mãn điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”. T4: “Xác định các yếu tố cố định của họ đường cong” T5: “Xác định quỹ tích điểm” 58 Bảng thống kê KNV Lớp 10 Lớp 12 Tổng cộng Ghi chú KNV T1" Giải và biện luận" 65 5 70 39,8% T11 58 0 58 T12 5 4 9 T13 2 1 3 KNV T2 "Tìm các giá trị tham số " 52 35 87 49,4% T21 52 3 55 T22 0 14 14 T23 6 6 T24 5 5 T25 3 3 T26 4 4 KNV T3 "Chứng minh" 1 8 9 5,1% T31 1 0 1 T32 2 2 T33 1 1 T34 1 1 T35 1 1 T36 3 3 KNV T4 " Tìm điểm cố định" 7 7 4,0% KNV T5 " Quỹ tích điểm" 3 3 1,7% Tổng cộng 118 58 176 Tỉ lệ 67,0% 33,0% 100% Nhận xét: KNV “Giải và biện luận” và KNV “tìm các giá trị tham số” thống trị (chiếm gần 90%) trong tất cả các KNV chứa tham số trong chủ đề PT và hàm số. Do đó, cách hiểu 59 về nghĩa tham số do hai T1, T2 quyết định. Việc hiểu được tính chất kép: cố định-tự do của tham số và chuyển đổi vai trò tham số thành ẩn số, biến số và ngược lại sẽ giúp cho học sinh hiểu đúng bản chất của các KNV chứa tham số. Điều đó sẽ vận hành kĩ thuật một cách hiệu quả ở hai chủ đề PT và hàm số. KVN T1 , T2, T3 xuất hiện ở lớp 10 và lớp 12 nhưng không có mặt ở lớp 11. KNV T4, T5 chỉ xuất hiện ở lớp 12 với tỉ lệ khá nhỏ (chiếm gần 5%). KNV T4 xuất hiện trong SGK chỉ là công cụ để phục vụ cho kĩ thuật giải quyết KNV khác chứ nó không phải là đối tượng nghiên cứu. Trong ba năm học phổ thông, học sinh lớp 10 thực hiện các KNV chứa tham số chiếm 67%, nhiều hơn lớp 12 (33%). Điều đó cho thấy cách hiểu về tham số đối với học sinh lớp 10 khá ổn định cho đến lớp 12. 60 3. Kết luận chương 2 Liên quan đến tham số trong chủ đề phương trình và hàm số ở THPT Việt Nam. Qua phân tích SGK, SGV ta thấy tham số có đặc điểm sau: Tham số m có tính chất kép: cố định-tự do. Việc phân biệt ẩn số, biến số với tham số dựa vào hình thức phô bài kí hiệu chữ mà xem nhẹ sự phân biệt đó phải dựa vào ngữ nghĩa của kí hiệu chữ. Điều này đã được kiểm chứng trong luận văn của Phạm Hải Dương (2012) qua hợp đồng được phát biểu như sau: “Trong phương trình bậc hai chứa tham số, học sinh có trách nhiệm xem x là ẩn và các chữ khác m, t, klá các tham số.” Về kĩ thuật giải quyết các KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống Để giải quyết các KNV T1 có hai kĩ thuật “ đại số” và “hình học”. Học sinh ưu tiên kĩ thuật đại số. Kĩ thuật hình học được huy động khi đề bài yêu cầu tường minh hoặc bài toán cho trong chủ đề khảo sát hàm số hoặc đồ thị được cho trước hoặc kĩ thuật “đại số” trở nên bế tắt. Đó là kết quả chính đã kiểm chứng trong luận văn Nguyễn Nhật Phương (2012). Khi giải quyết KNV T1 “giải và biện luận” học sinh phải huy động tính cố định và tính tự do của tham số. Hoạt động giải, biến đổi hình thức huy động tính cố định của tham số, hoạt động biện luận huy động tính tự do của tham số. Khi học sinh không quan tâm song song tính cố định và tính tự do mà chúng tôi gọi là tính chất kép :cố định- tự do của tham số thì sẽ gặp khó khăn khi thực hiện KNV T1. Khi học sinh giải quyết các nhiệm vụ trong KNV T2 :“Tìm các giá trị của tham số để PT hoặc hàm số chứa tham số thỏa mãn một điều kiện cho trước” Xét về ý nghĩa của kí hiệu chữ: cùng một kí hiệu chữ nhưng có sự chuyển đổi vai trò từ tham số thành ẩn số. Tức cần lập một PT, hệ PT, bất PT, hệ PT để giải. Sự chuyển đổi vai trò này là một khó khăn chướng ngại đối với học sinh khi bắt đầu làm quen với KNV này. KNV T3: “Chứng minh” thì vẫn dựa trên nền kĩ thuật của KNV T2 và cũng có sự chuyển đổi vai trò kí hiệu chữ tham số thành ẩn số. 61 KNV T4:“Tìm điểm cố định của họ đường cong”, SGK ưu tiên kĩ thuật đại số: chuyển đổi vai trò biến x, y thành tham số và chuyển vai trò tham số m thành ẩn số. Kĩ thuật dự đoán hình học, dự đoán đại số không được SGK đề cập đến. Điểm cố định không là đối tượng nghiên cứu nhưng nó xuất hiện nhằm hỗ trợ kĩ thuật của các KNV khác. KVN T5:“Tìm quỹ tích điểm”. Trong KNV này có sự chuyển đổi vai trò tham số thành biến trung gian của phương trình tham số. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết các KNV có chứa tham số trong chủ đề phương trình, hàm số tương đối nhiều. Những khó khăn liên quan đến kĩ thuật đã có nhiều luận văn cũng như luận án đã nghiên cứu và cho nhiều kết quả rất hay. Do đó, tôi chỉ kế thừa một số kết quả đã được đã có và không đi sâu vào nghiên cứu những loại khó khăn liên quan đến kĩ thuật. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu những khó khăn do kí hiệu chữ gây ra. Dựa vào kết quả nghiên cứu và phân tích ở các phần trên, chúng tôi phát biểu giả thuyết nghiên cứu về những khó khăn do kí hiệu chữ gây ra khi học sinh thực hiện các KNV có chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT Việt Nam. Giả thuyết H1: “Phải chăng tính chất kép: cố định- tự do của tham số là một nguyên nhân gây khó khăn, sai lầm cho học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ có biện luận theo tham số ở bậc THPT Việt Nam”. Giả thuyết H2: “ Phải chăng việc chuyển đổi vai trò trên một kí hiệu chữ (tham số thành ẩn số, biến số và ngược lại) là một khó khăn, chướng ngại cho học sinh khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ chứa tham số trong chủ đề phương trình và chủ đề hàm số bậc THPT Việt Nam”. Giả thuyết H3: “Thể chế không tạo điều kiện nối khớp PT số với PT tham số là một khó khăn cho HS ở thời điểm bắt đầu làm quen với phương trình chứa tham số”. Đây là khó khăn do thể chế gây ra cho học sinh. Qua nghiên cứu kĩ thuật giải quyết các KNVchứa tham số đã nói ở trên trong hai môi trường truyền thống và môi trường Casyopée, chúng tôi đã nêu lên điều kiện nào thì phần mềm Casyopée giải quyết các KNV chứa tham số hoặc hỗ trợ kĩ thuật giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống. 62 Sau đây tôi thống kê và so sánh trong bảng sau: Phạm vi và điều kiện giải được KNV MT truyền thống( MT [a]) MT Casyopée( MT [b]) T1 -Nếu dùng kĩ thuật ĐS thì PT quy được về bậc không quá hai hoặc đưa được về dạng PT tích có bậc không quá 2. Nếu sử dụng kĩ thuật HH thì các hàm số phải nằm trong giới hạn các hàm số đã học ở chương trình. -Nếu sử dụng kĩ thuật HH thì PT hoành độ giao điểm quy được về dạng ( ) ( )f x g m= và hàm số ( )y f x= nằm trong giới hạn các hàm số đã học ở chương trình. - Điều kiện PT rộng hơn MT truyền thống, có thể thực hiện được các PT ngoài chương trình phổ thông. -Điều kiện hàm số rộng hơn MT truyền thống, có thể thực hiện được các hàm số ngoài chương trình phổ thông. -Nếu biện luận trong phạm vi ĐS thì phải chuyển sang phạm vi HH(sự tương giao hai đồ thị hoặc đồ thị với trục ox). Song song với việc chuyển đổi phạm vi là chuyển đổi cách biểu thị. - Phân chia các trường hợp biện luận rơi vào các giá trị “đẹp” của tham số T2 -PT hoặc hệ PT, bPT theo tham số quy được về dạng PT có bậc không quá hai hoặc có thể nhẩm được nghiệm đưa về PT tích có bậc không quá hai. -Tham số chọn lựa tùy ý và chuyển đổi vai trò tham số thành ẩn số. -Dạng PT và hàm số phong phú hơn MT [a]. -Bài toán phải chuyển được về dạng PT chứa tham số để tìm nghiệm theo tham số. - Điều kiện bài toán phải quy được về điều kiện nghiệm của PT tham số để lập PT theo ẩn là tham số để giải. -Nếu dùng đồ thị để giải thì các giá trị tham số cần tìm phải rơi vào các giá trị “ đẹp” T4 - Hệ PT theo x,y phải giải được trong chương trình phổ thông. -Chuyển đổi vai trò của biến số x,y thành tham số và chuyển đổi vai trò tham số thành ẩn số. -Phạm vi hàm số rộng hơn MT truyền thống, có thể thực hiện được các hàm số ngoài chương trình phổ thông. -Tọa độ điểm cố định cần tìm phải “đẹp” T5 - PT tham số của quỹ tích điểm phải đơn giản và khử được biến trung gian. - Chuyển đổi vai trò tham số thành biến trung gian. - Xác định được PT tham số của quỹ tích điểm sẽ cho hình ảnh quỹ tích điểm. Không cần khử biến trung gian nên điều kiện sẽ rộng hơn MT[a] Qua bảng thống kê, có sự so sánh, ta thấy rằng: Phần tính toán hình thức theo tham số thì môi trường Casyopée thể hiện tốt (tính được nghiệm PT chứa tham số chính xác). 63 Tuy nhiên, phần biện luận (định tính) phải dựa vào đồ thị và sự tương giao đồ thị với trục hoành hoặc dựa vào sự tương giao hai đồ thị. Do đó, phân chia các trường hợp biện luận rơi vào các giá trị “đẹp” của tham số thì mới cho ra kết quả giống như kết quả trong môi trường truyền thống. Trong môi trường Casyopée có thể thao tác được các PT, hàm số phức tạp hơn ngoài chương trình phổ thông một cách dễ dàng. Đó là ưu điểm mà môi trường truyền thống không có được. Nhận xét chung phần mềm Casyopée : - Casyopée cho phép tính toán hình thức rất mạnh. - Khi giải quyết các KNV chứa tham số trong MT Casyopée cho phép học sinh hiểu tính chất kép: cố đinh-tự do của tham sô tốt hơn MT truyền thống. - Casyopée chỉ biện luận bài toán chứa tham số ở phạm vi HH. Do đó, các bài toán biện luận trong phạm vi ĐS ở MT truyền thống phải chuyển đổi sang phạm vi HH trong MT Casyopée. Đồng thời với việc chuyển đổi phạm vi ở MT này sang phạm vi ở MT kia là chuyển đổi cách biểu thị ĐS sang cách biểu thị HH và ngược lại khi chuyển đổi bài toán từ MT truyền thống MT Casyopée  MT truyền thống. - Casyopée chỉ cho kết quả biện luận chính xác khi phân chia các trường hợp biện luận theo tham sốcủa bài toán phải rơi vào các giá trị “đẹp” (số nguyên hoặc hữu tỉ đặc biệt- điều này phụ thuộc vào chọn bước nhảy của tham số). - Khi sử dụng Casyopée tham gia vào một hoặc toàn bộ quy trình của kĩ thuật giải quyết các KNV chứa tham số sẽ cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa PT và đồ thị cũng như thấy được phương pháp nghiên cứu PT nhờ vào đồ thị- điều này thể hiện rất “mờ nhạt” trong thể chế Việt Nam. Nói một cách khác là làm giảm bớt sự ngắt quãng giữa PT và đồ thị trong thể chế Việt Nam. Trong nghiên cứu của Didactic, thực nghiệm là khâu quan trọng để kiểm chứng các giả thuyết. Do đó, chúng tôi tiến hành thực nghiệm được trình bày trong chương 3 để kiểm chứng hai giả thuyết H1, H2, H3 đã nói ở trên. 64 Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Mục đích chương này nhằm kiểm chứng những khó khăn của học sinh khi giải quyết các KNV liên quan đến tham số trong chủ đề phương trình và hàm số mà chúng tôi phát biểu thành ba giả thuyết nghiên cứu trong chương 2. Đồng thời chúng tôi so sánh kết quả thực nghiệm giữa môi trường truyền thống với môi trường Casyopée để thấy được ưu điểm mà Casyopée mang lại. Giả thuyết H1: “Phải chăng tính chất kép: cố định- tự do của tham số là một nguyên nhân gây khó khăn, sai lầm cho học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ có biện luận theo tham số ở bậc THPT Việt Nam”. Giả thuyết H2: “Phải chăng việc chuyển đổi vai trò trên một kí hiệu chữ (tham số thành ẩn số, biến số và ngược lại) là một khó khăn, chướng ngại cho học sinh khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ chứa tham số trong chủ đề phương trình và chủ đề hàm số bậc THPT Việt Nam.” Giả thuyết H3: “Thể chế không tạo điều kiện nối khớp PT số với PT tham số là một khó khăn cho HS ở thời điểm bắt đầu làm quen với phương trình chứa tham số”. Đây là khó khăn do thể chế gây ra cho học sinh. 1. Đối tượng và hình thức tổ chức và nội dung thực nghiệm 1.1. Giáo viên Lí do: Trong phần thực nghiệm của chúng tôi có giáo viên THPT tham gia trả lời phiếu khảo sát nhằm làm rõ những gì GV mong đợi ở học sinh khi dạy về chủ đề PT và hàm số chứa tham số. Sở dĩ chúng tôi chọn đối tượng để thực nghiệm là GV là vì GV là một thành phần trong thể chế. GV tham gia vào khâu thứ hai của chuyển hóa sư phạm11 (tri thức cần dạytri thức được dạy). Do đó, sự mong đợi của GV ảnh hưởng nhất định đến mối quan hệ cá nhân (học sinh - tri thức). Hình thức thực nghiệm: 11 Chuyển hóa sư phạm bao gồm hai khâu cơ bản: tri thức bác học tri thức cần dạy (tri thức chương trình) tri thức được dạy. 65 Đối với GV thì chúng tôi phát phiếu thăm dò GV đang trực tiếp giảng dạy. Nội dung: Câu hỏi trong phiếu: Phiếu này không phải với mục đích đánh giá, thăm dò năng lực giáo viên mà chúng tôi đang tiến hành một nghiên cứu về phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT. Vì vậy, quý thầy (cô) không cần ghi tên, địa chỉ và vui lòng cho chúng tôi biết một số ý kiến của mình. Ý kiến của thầy cô sẽ giúp cho chúng tôi nhìn vấn đề một cách đa chiều, khách quan và thấu đáo hơn. Điều đó góp phần cho thành công luận văn của chúng tôi. Xin chân thành cảm ơn thầy cô. Câu a. Nếu trong bài toán “giải và biện luận phương trình” có phân chia các trường hợp tùy theo tham số m nhưng học sinh không phân chia các trường hợp hoặc phân chia không đủ các trường hợp thì hiện tượng đó do những nguyên nhân nào? Câu b.Nếu trong bài toán “tìm các giá trị tham số m để hàm số 4 2( 1) 1y mx m x= − + + có 3 điểm cực trị” mà học sinh gặp khó khăn để lập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình theo m để giải thì hiện tượng đó do những nguyên nhân nào? . Trân trọng cảm ơn quý thầy (cô) rất nhiều. Chúc quý thầy cô nhiều sức khỏe. 1.2 Học sinh Lí do: Tham gia các thực nghiệm của chúng tôi là học sinh lớp 10 và 12 học chương trình Toán nâng cao. Ở lớp 10, học chương trình Toán nâng cao, học sinh tiếp cận khái niệm phương trình chứa tham số và các bài tập về phương trình tham số khá nhiều. Điều đó cho phép chúng tôi tìm hiểu được cách hiểu về tham số của học sinh ở lớp này. Tiếp theo chúng tôi chọn đối tượng học sinh lớp 12 học chương trình Toán nâng cao vì tới thời điểm này học sinh đã học xong chủ đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nên dễ chuyển đổi bài toán từ phạm vi đại số sang phạm vi hình học hoặc ngược lại để tận dụng 66 ưu thế kĩ thuật trong từng phạm vi nhằm giải quyết bài toán. Do đó kĩ thuật giải quyết các KNV cũng phong phú, hiệu quả hơn học sinh lớp 10, 11. Từ những lí do trên, cho phép chúng tôi kiểm tra được cách hiểu về tham số của học sinh lớp 12 và đồng thời đối chiếu, so sánh với cách hiểu về tham số với học sinh lớp 10. Việc khảo sát “cuộc sống” đối tượng tri thức (tham số) tồn tại trong cá nhân (học sinh) trong một thời gian dài từ lớp 10 (bắt đầu tiếp cận) đến lớp 12 cho phép chúng tôi có quan sát được phần nào diễn biến về “cuộc sống” của đối tượng tri thức đó, thấy tính chất nào của đối tượng tri thức được giữ ổn định trong thời gian dài và tính chất nào của đối tượng tri thức có thay đổi (phát triển thêm hoặc mất đi). Chúng tôi xin nhấn mạnh là không thực nghiệm trên đối tượng học sinh cùng lớp ở ban cơ bản vì các KNV trong SGK bộ cơ bản không đề cập nhiều đến nhiệm vụ chứa tham số. Hay nói cách đơn giản là các bài toán có chứa tham số trong SGK Đại số 10 cơ bản và Giải tích 12 cơ bản xuất hiện không nhiều như SGK Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao. Do đó, tôi chọn đối tượng học sinh lớp 12 học chương trình toán nâng cao sẽ tăng tính thuyết phục trong việc kiểm chứng các giả thuyết của chúng tôi. Hình thức: Chúng tôi tiến hành khảo sát thông qua các thực nghiệm B, C và D bằng phiếu làm bài. Trên cùng nội dung thực nghiệm, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trong hai môi trường khác nhau cụ thể là: Nhóm 1 (môi trường truyền thống): Học sinh làm việc trong trong môi trường truyền thống (không dùng công nghệ thông tin). Chúng tôi phát phiếu bài làm cho học sinh và yêu cầu học sinh làm và trả lời câu hỏi thực nghiệm B trong 45 phút, thực nghiệm C và D trong là 75 phút. Mục đích là chúng tôi muốn nắm thông tin cá nhân nên sẽ cho học sinh làm việc cá nhân, không làm việc tập thể. Thực nghiệm B được tiến hành ở lớp 10A1 (43 em) và lớp 10A2 (44 em) ở trường THPT An Ninh với số lượng 87 em. Đối với lớp 12 NC chúng tôi phát câu hỏi thưc nghiệm in trong giấy và yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi của thực nghiệm C, D trong thời gian 75 phút. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm C, D được hai lớp với số lượng 86 em (12A1 có 44 em, lớp 12 A3 có 42 em). 67 Nhóm 2 (môi trường công nghệ thông tin) Chúng tôi tiến hành thực nghiệm C, D ở lớp 12A2 có 43 em. Pha1. Đầu tiên chúng tôi phát phiếu thực nghiệm làm bài cho các em đọc và yêu cầu các em đọc yêu cầu bài toán nhưng không được trả lời. Pha2: Chúng tôi giới thịệu sơ lược một số chức năng tạo tham số của phần mềm Casyopéee cho học sinh nắm. Pha 3. Khi tôi kéo thanh tham số thay đổi giá trị và yêu cầu học sinh quan sát đồ thị 3 23y m m= − + thay đổi. Kết thúc pha quan sát tôi thưc hiện pha kế tiếp. Pha 4. Yêu cầu cho học sinh trả lời câu hỏi trong thực nghiệm C. Pha 5 .Yêu cầu học sinh kết thúc trả lời câu hỏi trong thực nghiệm C và quan sát đồ thị hàm số ( )4 2( 1) 1y x m x m= − + + khi cho giá trị tham số m thay đổi bằng cách trượt con trỏ trên thanh tham số. Pha 6. Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi trong thực nghiệm D. Pha 7. Chúng tôi thu bài làm của học sinh. Qua đó tôi kiểm chứng được giải thuyết H1, H2 Chúng tôi làm hai loại khảo sát trên cùng một bài toán nhưng trên hai môi trường khác nhau. Mục đích nhằm so sánh cách hiểu của học sinh về tham số, trong môi trường truyền thống với môi trường tích hợp công nghệ thông tin đồng thời quan sát vận hành kĩ thuật của học sinh trong hai môi trường. Nội dung: Nội dung thực nghiệm B (dành cho lớp 10) Cho phương trình : 2( 1) 2( 1) 2 0 (1)m x m x m+ − + + = ,với m là tham số. 1. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép và hãy xác định nghiệm kép đó. 2. Trong lớp 10A có 5 bạn đưa ra 5 ý kiến về ý nghĩa chữ m có mặt trong phương trình (1) trong bảng sau. Em hãy đánh dấu chọn một ý kiến mà em thấy đúng nhất. Giải thích sự lựa chọn của em (nếu có). 68 STT Ý kiến về ý nghĩa kí hiệu chữ m trong phương trình (1) Chọn Giải thích B1 Một số cố định B2 Một số có giá trị thay đổi B3 Một số cố định nhưng giá trị tùy ý B4 Hệ số của phương trình (1) B5 Một