Luận văn Nguyên lí ánh xạ CO trong không gian đều

β sao cho với mọi 1β β≥ thì ( , ) ( , )V Vx y x yβ β′ ′ = với V W⊇ . Hay ( , )x y Wβ β′ ′ ∈ với mọi 1β β≥ . Do {( , )} ( , )x y x yβ β′ ′ → và [ ], [ ]W x W y lần lượt là lân cận của x, y nên + Tồn tại 2β sao cho với mọi 2β β≥ thì [ ]x W xβ′ ∈ hay ( , )x x Wβ′ ∈ + Tồn tại 3β sao cho với mọi 3β β≥ thì [ ]y W yβ′ ∈ hay ( , )y y Wβ′ ∈ Chọn 0 , 1,2,3i iβ β≥ = . Khi đó, với 0β β≥ ta có: ( , ) , ( , ) , ( , )x x W x y W y y Wβ β β β′ ′ ′ ′∈ ∈ ∈ Vì W đối xứng nên ta được ( , )x y W W W U∈ ° ° ⊂ . Ta gặp mâu thuẫn vì [ ] [ ]U x U y∩ =∅ . Vậy, x=y. • Vì f liên tục nên {( ( ), ( ))} ( ( ), ( ))f x f y f x f yβ β′ ′ → . Lại có x = y nên ( ( ), ( )) .Yf x f y ∈∆ Theo mệnh đề 1.3 thì 0W là một lân cận của Y∆ . Suy ra, β ′∃ sao cho với mọi β β ′≥ thì 0( ( ), ( ))f x f y Wβ β′ ′ ∈ . Mâu thuẫn. 18 Vậy f liên tục đều.  Mệnh đề 1.5 Cho f là một ánh xạ từ tập hợp X vào không gian đều ( , )Y  . Khi đó, tồn tại một cấu trúc đều  trên X để : ( , ) ( , )f X Y→  là liên tục đều. Hơn nữa,  là cấu trúc đều nhỏ nhất trên X có tính chất này. Chứng minh. Gọi β là họ tất cả các tập 1( )F V− với V ∈ . Ta chứng minh β là cơ sở của một cấu trúc đều nào đó trên X. 1. Lấy 1, ( )U U F Vβ −∈ = với V ∈ . Với bất kỳ x X∈ , ta có ( ( ), ( )) Yf x f x ∈∆ nên ( ( ), ( ))f x f x V∈ . Do đó, 1( , ) ( ) x x F V U−∈ = hay X U∆ ⊂ . 2. Lấy 11 2 1 1, , ( )U U U F Vβ −∈ = và 1 2( )F V − với 1 2,V V ∈ . Đặt 11 2 , ( )V V V U F V −= ∩ = thì U β∈ và 1 2U U U⊂ ∩ . Thật vậy, U β∈ do V ∈ . Với ( , )x y U∈ thì ( ( ), ( ))f x f y V∈ . Vì 1 2V V V= ∩ nên 1( ( ), ( ))f x f y V∈ và 2( ( ), ( ))f x f y V∈ . Do đó, 1 2( , )x y U U∈ ∩ hay 1 2U U U⊂ ∩ . 3. Lấy 1, ( )U U F Vβ −∈ = với V ∈ . Đặt 1 1( )W F V− −= thì W β∈ và 1W U −⊂ . Thật vậy, W β∈ do 1V − ∈ . Với ( , )x y W∈ thì 1( ( ), ( ))f x f y V −∈ . Suy ra, ( ( ), ( ))f y f x V∈ hay ( , )y x U∈ . Vậy, 1W U −⊂ . 4. Lấy 1, ( )U U F Vβ −∈ = với V ∈ . Do V ∈ nên tồn tại V ′∈ thoả V V V′ ′° ⊂ . Đặt 1( )W F V− ′= thì W β∈ và W W U° ⊂ . Thật vậy, W β∈ do V ′∈ . Lấy ( , )x y W W∈ ° thì tồn tại z thoả ( , ), ( , )x z z y W∈ . Do đó, ( ( ), ( )), ( ( ), ( ))f x f z f z f y V ′∈ . Suy ra, ( ( ), ( ))f x f y V V V′ ′∈ ° ⊂ . Vậy, ( , ) hay x y U W W U∈ ° ⊂ . Như vậy, theo định lý 1.1 họ β là cơ sở của một cấu trúc đều  trên X . Và theo định nghĩa của β thì f là liên tục đều từ ( , )X  vào ( , )Y  . 19 Gọi ′ là một cấu trúc đều khác trên X thoả : ( , ) ( , )f X Y′ →  là liên tục đều. Lấy U ∈ , khi đó tồn tại W β∈ sao cho W U⊂ (do β là cơ sở của  ). Theo định nghĩa của β thì 1( )W F V−= với V ∈ . Do : ( , ) ( , )f X Y′ →  là liên tục đều nên W ′∈ . Như vậy, tồn tại W ′∈ và W U⊂ nên theo tính chất của cấu trúc đều ′ thì ′⊂  .  Định nghĩa 1.7 Cho không gian đều ( , )X  và Y X⊂ . Một họ các tập con  của Y Y× được gọi là cấu trúc đều liên kết  và Y (hoặc cấu trúc đều liên kết với Y ) nếu  là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho ánh xạ đồng nhất từ ( , )Y  đến ( , )X  là liên tục đều. Khi đó, ta gọi không gian đều ( , )Y  là không gian đều con của ( , )X  . Định nghĩa 1.8 Cho các không gian đều ( , ),X Aα α α ∈ . Khi đó cấu trúc đều tích trên không gian Xα∏ là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho phép chiếu lên mỗi không gian toạ độ là liên tục đều. Họ tất cả các tập {( , ) : ( , ) }x y x y Uα α ∈ với Aα ∈ và U α∈ là tiền cơ sở của cấu trúc đều tích. 1.1.4 Tính đầy đủ Ở phần này chúng ta chỉ giới thiệu một vài khái niệm cơ bản liên quan đến tính đầy đủ của không gian đều như: Lưới Cauchy, lọc, lọc Cauchy... Định nghĩa 1.9 Cho không gian đều ( , )X  , 1. Lưới { }xα gọi là lưới Cauchy nếu: 0 0, : , ( , )V x x Vα αα α α α ′′∀ ∈ ∃ ∀ ≥ ⇒ ∈ 2. Cho lưới { }x Xα ⊂ , ta gọi { : }M xα β β α= ≥ là lọc liên kết với lưới { }xα . 3. Lọc Xµ ⊂ gọi là lọc Cauchy nếu: , :V A A A Vµ∀ ∈ ∃ ∈ × ⊂ . Định nghĩa 1.10 Cho không gian đều ( , )X  . • Lọc µ có giới hạn là x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại A µ∈ sao cho A U⊂ . Kí hiệu là xµ → . 20 • Không gian đều ( , )X  được gọi là đầy đủ nếu mỗi lưới Cauchy đều có giới hạn. Nhận xét 1.2 Nếu không gian đều ( , )X  là đầy đủ thì mọi lọc Cauchy trong X đều có giới hạn. Mệnh đề 1.6 Cho không gian đều ( , )X  . Ta có kết quả sau: 1. Mọi lưới hội tụ là lưới Cauchy. 2. Nếu lưới Cauchy có lưới con hội tụ về a thì nó hội tụ về a. Chứng minh. Xét lưới { } Ax Xα α∈ ⊂ , 1. Giả sử lưới { } Axα α∈ hội tụ về a. Ta chứng minh { }xα là lưới CauChy. Với V ∈ bất kỳ, ta chọn , W W∈ đối xứng thoả W W V° ⊂ . Vì [ ]W a là 1 lân cận của a và lưới x aα → nên tồn tại 0α thoả 0α α∀ ≥ thì [ ]x W aα ∈ . Khi đó, với 0,α α α′ ≥ thì ( , ),( , )a x a x Wα α′ ∈ . Do W đối xứng nên ( , ) x x W Wα α′ ∈ ° hay ( , )x x Vα α′ ∈ . Vậy, { }xα là lưới CauChy. 2. Giả sử rằng { } Axα α∈ là lưới Cauchy, { } Byγ γ∈ là lưới con của lưới { }xα và y aγ → . Lấy U là lân cận bất kỳ của a. Khi đó, : [ ]V a V a Uβ∃ ∈ ∈ ⊂ và [ ]V a là lân cận của a. Chọn , W W∈ đối xứng thoả W W V° ⊂ . Vì { }xα là lưới Cauchy nên 0 0: , ( , )x x Wα αα α α α ′′∃ ∀ ≥ ⇒ ∈ . Ta có, [ ]W a là một lân cận của a và y aγ → nên 1 1: [ ]y W aγγ γ γ∃ ∀ ≥ ⇒ ∈ . Lại có, { }yγ là lưới con của lưới { }xα nên với 0α tồn tại 2γ sao cho 2γ γ∀ ≥ thì ta có 0 àv x yα γα α≥ = . Chọn 0 1 2{ , }maxγ γ γ= . Khi đó, 0γ γ∀ ≥ ta được: 0 [ ] x y y W a α γ γ α α≥ = ∈ Suy ra: ( , )a x Wα ∈ . Do đó, ( , )a x W W Vα ∈ ° ⊂ . Ta được, [ ]x V a Uα ∈ ⊂ . Vậy, lưới { }xα hội tụ về a.  21 1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều 1.2.1 Giả metric và cấu trúc đều sinh bởi giả metric Định nghĩa 1.11 Một hàm thực không âm :d X X× →  thoả với mọi ,x y và z thuộc X, a) d(x,y) = d(y,x) b) ( , ) ( , ) ( , )d x y d y z d x y+ ≥ c) d(x,y) = 0 nếu x=y được gọi là một giả metric trên X. Khi đó, không gian (X,d) gọi là không gian giả metric. Cho không gian giả metric (X,d), với mỗi số thực dương r ta đặt , {( , ) : ( , ) }d rV x y d x y r= < Theo ví dụ 1.3, ta có Định lý 1.7 Họ ,{ : 0}d rV rβ = > là cơ sở của một cấu trúc đều trên X và ta gọi cấu trúc đều này là cấu trúc đều giả metric hoặc cấu trúc đều sinh bởi d. Khi đó, ta gọi tôpô sinh bởi cấu trúc đều này là tôpô giả metric trên X. Định lý 1.8 Cho không gian đều ( , )X  và d là một giả metric trên X. Khi đó, d là liên tục đều trên X X× theo cấu trúc đều tích nếu và chỉ nếu tập hợp ,d rV ∈ với mỗi số thực dương r. Chứng minh. Lấy U ∈ và ( , )u v U∈ , đặt: { ( , ),( , ) : ( , ) }; { ( , ),( , ) : ( , ) } ( ) ( ) A x y u v x u U B x y u v y v U = ∈ = ∈ Khi đó: A và B thuộc vào cấu trúc đều tích và họ các tập { ( , ),( , ) : ( , ) , ( , ) }( )x y u v x u U y v U∈ ∈ là một cơ sở của cấu trúc đều tích. Do đó, nếu d liên tục đều thì với mỗi số dương r, tồn tại U ∈ sao cho: ( , ), ( , ) | ( , ) ( , ) |x u y v U d x y d u v r∈ ⇒ − < 22 Đặc biệt nếu chọn (u,v) = (y,y), ta có: d(x,y) <r nếu ( , )x y U∈ . Vì vậy, , ,hay d r d rU V V⊂ ∈ . Ngược lại, nếu ,d rV ∈ với r>0, với (x,u) và (y,v) thuộc ,d rV ta có ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d x y d x u d u v d y u d u v d x u d x y d y v ≤ + + ≤ + + Suy ra: | ( , ) ( , ) | 2 .d x y d u v r− < Do đó, d liên tục đều trên X X× .  Nhận xét 1.3 Theo định lý 1.7 và 1.8, cấu trúc đều sinh bởi d có thể xem là cấu trúc đều nhỏ nhất làm cho d liên tục đều trên X X× . Khi đó, tôpô giả metric đồng nhất với tôpô sinh bởi  bởi vì , [ ]d rV x là hình cầu mở chứa x và họ các hình cầu này là cơ sở lân cận của x trong cả hai tôpô. 1.2.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều Bổ đề 1.3 (Bổ đề metric hoá) Cho { , }nU n ω∈ là một dãy các tập con của X X× thoả ● 0U X X= × ● ,nU n ω∆ ⊂ ∀ ∈ ● 1 1 1n n n nU U U U+ + +° ° ⊂ với mỗi n Khi đó, tồn tại một hàm thực không âm d xác định trên X X× sao cho: a) ( , ) ( , ) ( , ), à, vd x y d y z d x z x y z+ ≥ ∀ ; b) 1{( , ) : ( , ) 2 } n n nU x y d x y U − −⊂ < ⊂ với mỗi số nguyên dương n. Nếu các nU là đối xứng thì tồn tại một giả metic d thoả điều kiện b). Chứng minh. Xét ánh xạ :f X X× →  định bởi n-1 n n 2 ,(x,y) U U ( , ) 0 ,(x,y) U n f x y − ∈ =  ∈  Với , ,x y X∈ đặt 1 0 ( , ) inf{ ( , )} n i i i d x y f x x + = = ∑ với tất cả dãy hữu hạn 0 1 1, ,..., nx x x + thoả 0x x= và 1ny x += . 23 Khi đó, 0d ≥ và thoả điều kiện a). Vì ( , ) ( , )d x y f x y≤ nên {( , ) : ( , ) 2 }nnU x y d x y −⊂ < . Nếu các nU là đối xứng thì f(x,y) = f(y,x) với mỗi cặp (x,y) và d là một giả metric trong trường hợp này. Ta chứng minh: 0 1 1 0 ( , ) 2 ( , ) n n i i i f x x f x x+ + = ≤ ∑ (*) Dùng qui nạp theo n, hiển nhiên (*) đúng với $n=0$. Giả sử (*) đúng với n>0. Ta quy ước: ● Số 1( , ) s i i i r f x x + = ∑ là độ dài của chuỗi từ r đến s+1, ● Đặt a là độ dài của chuỗi từ 0 đến n+1. Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho chuỗi từ 0 đến k có độ dài không quá 2 a . Khi đó, chuỗi từ k+1 đến n+1 có độ dài không quá 2 a . Ta có, 0 1 1( , ) 2. $,$ ( , ) 2.2 2k k n a af x x a f x x a+ +≤ = ≤ = và 1( , )k kf x x a+ ≤ . Gọi m là số dương nhỏ nhất sao cho 2 m a− ≤ . Ta có, 0 1 1 1( , ), ( , ), ( , )k k k k n mx x x x x x U+ + + ∈ Do đó, 0 1 1( , )n m m m mx x U U U U+ −∈ ° ° ⊂ . Suy ra: 10 1( , ) 2 2 m nf x x a − + ≤ ≤ . Vậy, (*) đúng với mọi 0n ≥ . Nếu ( , ) 2 nd x y −< thì từ (*) ta suy ra 1( , ) 2 nf x y − +< và do đó 1( , ) nx y U −∈ . Vậy, 1{( , ) : ( , ) 2 } n nx y d x y U − −< ⊂ và bổ đề được chứng minh xong.  Định nghĩa 1.12 Không gian đều ( , )X  được gọi là giả metric hoá được nếu có một giả metric d sao cho  là cấu trúc đều sinh bởi d. Định lý 1.9 Một không gian đều ( , )X  là giả metric hoá được nếu và chỉ nếu cấu trúc đều  có một cơ sở đếm được. 24 Chứng minh. Giả sử 0 1, ,..., ,...nV V V là một cơ sở đếm được của  . Chọn 0 1,U U ′∈ , đối xứng và 0 0 1 1,U V U V′⊂ ⊂ . Theo mệnh đề 1.1 tồn tại 1"U ∈ , đối xứng và 1 1 1 0" " "U U U U° ° ⊂ . Đặt 1 1 1"U U U′= ∩ thì 1U đối xứng, 1 1U V⊂ và 1 1 1 0U U U U° ° ⊂ . Tiếp tục quá trình này ta tìm được một họ các nU ∈ thoả • nU đối xứng 1• n n n nU U U U −° ° ⊂ • n nU V⊂ với mỗi số nguyên dương n Khi đó, { }nU là một cơ sở của  . Theo bổ đề 1.3, tồn tại một giả metric d thoả 1{( , ) : ( , ) 2 } n n nU x y d x y U − −⊂ < ⊂ với mỗi số nguyên dương n . Suy ra, họ ,2 { : 1,2,...}ndV n− = là một cơ sở của  . Vậy,  là cấu trúc đều sinh bởi d và không gian đều ( , )X  là giả metric hoá được. Ngược lại, nếu không gian đều ( , )X  là giả metric hoá được thì tồn tại giả metric d sao cho  là cấu trúc đều sinh bởi d. Khi đó, họ 1,{ : 1,2,...}d n V n = là một cơ sở đếm được của  .  Định nghĩa 1.13 Cho P là một họ các giả metric trên X. Khi đó, họ các tập ,rVρ với Pρ ∈ và 0r > là tiền cơ sở của một cấu trúc đều  trên X. Ta gọi cấu trúc đều này là cấu trúc đều sinh bởi họ P. Nhận xét 1.4 Rõ ràng, cấu trúc đều  sinh bởi họ P là cấu trúc đều nhỏ nhất để mỗi Pρ ∈ là liên tục đều trên X X× . Với Pρ ∈ cố định, theo định lý 1.7, họ các tập ,{ , 0}rV rρ > là một cơ sở của cấu trúc đều trong không gian giả metric ( , )X ρ . Giả sử  là một cấu trúc đều khác trên X, theo định lý 1.8 một giả metric ρ là liên tục đều trên X X× theo cấu trúc đều tích ứng với  nếu ,rVρ ∈ với mỗi r>0. Khi đó, ánh xạ đồng nhất từ ( , )X  vào ( , )X ρ là liên tục đều nếu ,rVρ ∈ với mọi r>0. Như vậy, cấu trúc đều  là nhỏ nhất sao cho với mỗi Pρ ∈ , ánh xạ đồng nhất từ X vào ( , )X ρ là liên tục đều. 25 Định lý 1.10 Mỗi cấu trúc đều  trên X được sinh bởi họ các giả metric liên tục đều trên X X× . Chứng minh. Gọi  là cấu trúc đều sinh bởi họ P các giả metric liên tục đều trên X X× theo cấu trúc đều tích. Khi đó, vì ,rVρ ∈ với , 0P rρ ∈ > (định lý 1.8) nên ⊂  . Mặt khác, theo bổ đề 1.3 thì với mỗi U ∈ tồn tại Pρ ∈ sao cho 1, 4 1{( , ) : ( , ) } 4 V x y x y U ρ ρ= < ⊂ Vì  là một cấu trúc đều trên X nên U ∈ . Do đó, ⊂  . Vậy, ≡  .  Cho họ { : }Iαρ α ∈ các giả metric trên X, với Iα ∈ và r > 0 ta đặt : ,( , ) {( , ) : ( , ) }rH r V x y x y rαρ αα ρ= = < Định nghĩa 1.14 Cho không gian đều ( , )X  . 1. Một họ { : }Iαρ α ∈ các giả metric trên X được gọi là họ liên kết với cấu trúc đều  trên X nếu họ các tập { ( , ) : , 0}H r I rα α ∈ > là tiền cơ sở của  . Ta ký hiệu một họ liên kết với  là ( )A  . 2. Một họ { : }Iαρ α ∈ các giả metric trên X được gọi là họ liên kết bổ sung với cấu trúc đều  trên X nếu { : }Iαρ α ∈ là họ liên kết với  và với , Iα β ∈ , tồn tại Iγ ∈ sao cho ( , ) max{ ( , ), ( , )}x y x y x yγ α βρ ρ ρ≥ với mọi ( , )x y X X∈ × . Ta ký hiệu một họ liên kết bổ sung với  là *( )A  . Mệnh đề 1.7 Cho ( , )X  là không gian đều và *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  . Khi đó, họ { ( , ) : , 0}P H r I rα α= ∈ > là một cơ sở của  . Chứng minh. Do *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  nên họ P là một tiền cơ sở của  . Ta chỉ cần chứng minh với mọi 1 2,U U P∈ thì tồn tại U P∈ sao cho 1 2U U U= ∩ . Vì 1 2,U U P∈ nên 11 1 1 1 ( , ) {( , ) : ( , ) }U H r x y X X x y rαα ρ= = ∈ × < 26 22 2 2 2 ( , ) {( , ) : ( , ) }U H r x y X X x y rαα ρ= = ∈ × < Khi đó, 1 21 2 1 2 {( , ) : ( , ) v ( , )à }U U x y X X x y r x y rα αρ ρ∩ = ∈ × < < . Lại có, *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  nên tồn tại 0 Iα ∈ sao cho 0 1 2 ( , ) max{ ( , ), ( , )}x y x y x yα α αρ ρ ρ= với mọi ( , )x y X X∈ × . Đặt 0 1 2min{ , }r r r= và 0 0( , )U H rα= , ta đi chứng minh 1 1U U U= ∩ . Thật vậy, nếu ( , )x y U∈ thì ta có 1 0 0 1 ( , ) ( , )x y x y r rα αρ ρ= < < và 2 0 0 2( , ) ( , )x y x y r rα αρ ρ= < < . Do đó, 1 2( , )x y U U∈ ∩ và ta được 1 2U U U⊂ ∩ . Nếu lấy 1 2( , )x y U U∈ ∩ thì 0 1 1 ( , ) ( , )x y x y rα αρ ρ= < và 0 2 2( , ) ( , )x y x y rα αρ ρ= < nên 0 0( , ) .x y rαρ < Suy ra, 1 2U U U∩ ⊂ . Vậy, họ P là một cơ sở của  .  Mệnh đề 1.8 Cho không gian đều ( , )X  . Khi đó, tồn tại một họ { : }Iαρ α ∈ các giả metric trên X sao cho ( ) { : }A Iαρ α= ∈ và ( )A  có thể mở rộng thành *( )A  bằng cách thêm vào ( )A  các giả metric dạng max{ : 1,2,..., } k k nαρ = với 1 2{ , ,..., }nα α α là một tập con hữu hạn tuỳ ý của tập chỉ số I. Chứng minh. Theo định lý 1.10 thì cấu trúc đều  được sinh bởi một họ các giả metric { : }Iαρ α ∈ liên tục đều trên X X× . Do đó, từ định nghĩa 1.13 ta có ( ) { : }A Iαρ α= ∈ . Và bằng cách thêm vào họ { }αρ này các giả metric dạng max{ : 1,2,..., } k k nαρ = với 1 2{ , ,..., }nα α α là một tập con hữu hạn tuỳ ý của tập chỉ số I thì ta được một họ các giả metric mới liên kết bổ sung với cấu trúc đều  . 27 Chương 2 2 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều Chương 2 sẽ trình bày nội dung nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều và các mở rộng của nó. Phần cuối của chương sẽ giới thiệu về nội dung và chứng minh chi tiết của định lý Caristi - Kirk trong không gian đều. Ngoài ra, các kết quả tương tự trong không gian metric đầy đủ sẽ được trình bày dưới dạng một hệ quả sau mỗi định lý của chương này. Trong chương này ta xét không gian đều ( , )X  và β là cơ sở của cấu trúc đều  . Ta ký hiệu tô pô trên X sinh bởi cấu trúc đều  là τ . 2.1 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ :f X X→ . Một điểm a X∈ được gọi là điểm bất động của f nếu f(a) =a. Định nghĩa 2.2 Cho ánh xạ :f X X→ . Khi đó: a) f gọi là β − không giãn trên X nếu ( , )x y H∈ thì ( ( ), ( ))f x f y H∈ với mọi H β∈ . b) f gọi là β − co trên X nếu với mọi H β∈ thì tồn tại tập hợp K β∈ sao cho ( , )x y H K∈ ° thì kéo theo ( ( ), ( ))f x f y H∈ . c) f gọi là tiệm cận chính qui nếu với mọi x X∈ và H ∈ , tồn tại số nguyên dương 0n sao cho 1 0( ( ), ( )) , n nf x f x H n n+ ∈ ∀ ≥ . Định nghĩa 2.3 Cho *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  và ánh xạ :f X X→ . Khi đó: i) f gọi là *( )A − không giãn trên X, hoặc là không giãn đơn trên X, nếu với mỗi Iα ∈ thì ( ( ), ( )) ( , )f x f y x yα αρ ρ≤ với mọi ( , )x y X X∈ × . 28 ii) f gọi là *( )A − co trên X nếu với mỗi Iα ∈ thì tồn tại một số thực dương ( ) 1r α < sao cho với mọi ( , )x y X X∈ × thì ( ( ), ( )) ( ) ( , )f x f y r x yα αρ α ρ≤ . Đặc biệt, ( ( ), ( )) 0f x f yαρ = nếu ( , ) 0.x yαρ = iii) f gọi là *( )A − tiệm cận chính qui trên X, hoặc là tiệm cận chính qui đơn trên X, nếu với mỗi x X∈ và Iα ∈ thì 1lim ( ( ), ( )) 0n n n f x f xαρ + →∞ = . Nhận xét 2.1 Từ các định nghĩa 2.2 và 2.3 ta có nhận xét: 1. Theo mệnh đề 1.7 ta có, họ { ( , ) : , 0}H r I rα α ∈ > là một cơ sở của  . Ta đặt { ( , ) : , 0}H r I rγ α α= ∈ > . Khi đó, các định nghĩa i) và iii) ở 2.3 sẽ đồng nhất với các định nghĩa a) và c) ở 2.2. Tức là nếu ánh xạ f là không giãn đơn trên X thì f là γ − không giãn trên X và nếu f là tiệm cận chính qui đơn trên X thì f cũng là tiệm cận chính qui trên X. Thật vậy, xét f là một ánh xạ không giãn đơn trên X, lấy ( , )x y H γ∈ ⊂ . Tồn tại Iα ∈ và r>0 sao cho ( , )H H rα= . Khi đó, ( , )x y rαρ < . Vì f là không giãn đơn nên ( ( ), ( )) ( , )f x f y x y rα αρ ρ< < . Suy ra, ( ( ), ( ))f x f y H∈ . Vậy, f là γ − không giãn trên X. Nếu f là tiệm cận chính qui đơn trên X, lấy H ∈ , chọn ( , )H rα γ∈ thoả ( , )H r Hα ⊂ . Với r>0 thì tồn tại 0n sao cho với mọi 0n n≥ ta có 1( ( ), ( ))n nf x f x rαρ + < . Suy ra, 1 0( ), ( )) , n nf x f x H n n+ ∈ ∀ ≥ . Vậy, f là tiệm cận chính qui. 2. Tuy nhiên, định nghĩa ii) ở 2.3 và định nghĩa b) ở 2.2 thì không đồng nhất với nhau. Bổ đề 2.1 Cho không gian đều ( , )X  và *( ) { : }A Iαρ α= ∈ . Nếu f là *( )A − co trên X thì: 1. f là liên tục trên X theo tôpô sinh bởi αρ với mọi Iα ∈ (hay αρ − liên tục). 2. f là liên tục trên X theo tôpô τ (hay τ − liên tục). 29 Chứng minh. Lấy f là ánh xạ *( )A − co trên X. 1. Với Iα ∈ , trong X xét tôpô sinh bởi αρ . Lấy x X∈ và ,rV αρ là lân cận bất kỳ của ( )f x . Đặt ( ) rr r α ′ = với ( )r α là số thực ứng với αρ trong định nghĩa *( )A − co. Chọn ,rV αρ ′ là lân cận của x thì , ,( )r rf V Vα αρ ρ′ ⊂ . Thật vậy, với ,( )rz f V αρ ′∈ ta có: ,( ), rz y y V αα ρρ ′= ∈ . Khi đó: ( ( ), ) ( ( ), ( )) ( ) ( , ) ( )· ( ) rf x z f x f y r x y r r rα α α ρ ρ α ρ α α = ≤ < < Suy ra: ,rz V αρ∈ . Vậy, f là αρ − liên tục. 2. Vì *( ) { : }A Iαρ α= ∈ nên theo mệnh đề 1.7 họ các tập { ( , ) : , 0}H r I rα α ∈ > là một cơ sở của  . Theo chứng minh trên thì ta có f là τ − liên tục. Vậy, nếu f là ánh xạ *( )A − co trên X thì f là τ − liên tục.  Định lý 2.1 (Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều) Cho ( , )X  là một không gian đều, đầy đủ, Hausdorff và *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  . Lấy f là một ánh xạ *( )A − co trên X. Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động a X∈ thoả ( )nf x a→ trong tôpô τ với mọi x X∈ . Chứng minh . Lấy 0x X∈ , đặt 1 0( ) ( ), 1,2,... n n nx f x f x n−= = = và lấy bất kỳ Iα ∈ . Với các số nguyên dương m,n thoả m<n thì ta có: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 ( , ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ( ))) [ ( )] ( , ( )) [ ( )] ( , ) [ ( )] ·[ ( , ) ( , ) ... ( m n m n m m n m m n m m n m m n m x x f x f x f x f f x r x f x r x x r x x x x x α α α α α α α α ρ ρ ρ α ρ α ρ α ρ ρ ρ − − − − − = = ≤ = ≤ + + + , )]n mx − 30 1 0 1 1 0 1 1 0 1 [ ( )] ( , )·[1 ( ) ... ( ( )) ] 1 [ ( )] [ ( )] ( , ) 1 ( ) 1 [ ( )] [ ( )] ( , ) 1 ( ) m n m n m m n m r x x r r rr x x r rr x x r α α α α ρ α α αα ρ α αα ρ α − − − − − ≤ + + + − = − − < − Cho ,m n →∞ ta được: ( , ) 0m nx xαρ → . Do đó, dãy { }nx là dãy Cauchy ứng với giả metric αρ và ta sẽ gọi tắt là dãy αρ −Cauchy. Vì ta lấy α bất kỳ nên dãy { }nx là dãy αρ −Cauchy với mọi Iα ∈ . Với số nguyên dương p, ta đặt { : }p nS x n p= ≥ và K là lọc { : 1,2,...}pS p = . Ta chứng minh K là lọc Cauchy trong ( , )X  . + Lấy bất kỳ V ∈ , vì *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  nên tồn tại Iα ∈ và r > 0 sao cho ( , )H r Vα ⊂ . + Với r>0, vì { }nx là dãy αρ −Cauchy nên tồn tại p sao cho với ,m n p≥ thì ( , ) 2m n rx xαρ < . Do đó, ( , )p pS S H r Vα× ⊂ ⊂ . Vậy, K là lọc Cauchy. Theo giả thiết ( , )X  là đầy đủ nên lọc Cauchy K hội tụ trong tô pô τ về một điểm a X∈ hay -lim pS aτ = . Vì f là *( )A − co trên X nên theo bổ đề 2.1 thì f là τ − liên tục trên X. Do đó, 1( ) ( -lim ) -lim ( ) -limp p pf a f S f S S aτ τ τ += = = =   Vậy, a là một điểm bất động của f. Ta chứng minh a là duy nhất. Giả sử f có một điểm bất động khác là b. Lấy Iα ∈ ta có: ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( , )a b f a f b r a bα α αρ ρ α ρ= ≤ Suy ra: [1 ( )]· ( , ) 0r a bαα ρ− ≤ Vì 0 ( ) 1r α . Suy ra: ( , ) 0,a b Iαρ α= ∀ ∈ . Và do X là Hausdorff nên ta được a =b. 31 Theo chứng minh ở phần trên thì -lim pS aτ = nên theo định nghĩa của pS ta có -lim nx aτ = hay 0( ) nf x a→ với mọi 0x X∈ .  Nhận xét 2.2 Khi {1}I = thì ta thu được Nguyên lí ánh xạ co Banach trong một không gian metric đầy đủ. Hệ quả 2.1 Cho ( , )X  là không gian đều, đầy đủ, Hausdorff. Lấy một ánh xạ :f X X→ sao cho * ,nf n∈  là ánh xạ *( )A − co trên X. Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động trên X. Chứng minh. Ta chứng minh với 2n ≥ . Theo định lý 2.1, nf có duy nhất một điểm bất động a X∈ . Với Iα ∈ , ta có: ( ( ), ) ( ( ( ), ( )) ( ( ( )), ( )) ( ( ), )n n n nf a a f f a f a f f a f a r f a aα α α α αρ ρ ρ ρ= = ≤ Suy ra: ( ( ), ) 0f a aαρ = (vì 0 1rα< < ). Do X là Hausdorff nên ta được f(a)=a. Vậy, a là một điểm bất động của f. Giả sử a' là một điểm bất động khác của f. Ta có: 1 1( ) ( ( )) ( ) ... ( )n n nf a f f a f a f a a− −′ ′ ′ ′ ′= = = = = Suy ra, a' cũng là điểm bất động của nf . Do đó, a'=a.  Mệnh đề 2.1 Cho ( , )X  là không gian đều, đầy đủ, Hausdorff và một ánh xạ :f X X→ . Ta có các kết quả sau: i) Nếu * ,nf n∈  có duy nhất điểm bất động a X∈ thì a cũng là điểm bất động của f. ii) Cho :g X X→ thoả fg=gf và f có duy nhất điểm bất động a. Khi đó, a là một điểm bất động của g. Chứng minh. i) Ta có, ( ) ( ( )) ( ( ))n nf a f f a f f a= = nên f(a) là một điểm bất động của nf . Do đó, ( )f a a= . Hơn nữa, a là điểm bất động duy nhất của f. Thật vậy, nếu b là một điểm bất động khác của f thì b cũng là điểm bất động của nf nên b = a. ii) Ta lại có, g(a) = g(f(a)) = f(g(a)) nên g(a) là một điểm bất động của f. 32 Do đó, g(a) = a.  2.2 Một số mở rộng Bổ đề 2.2 Cho ( , )X  là không gian đều, đầy đủ, Hausdorff với tôpô sinh bởi cấu trúc đều τ và *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  . Lấy { : 1,2,...}nX n = là một dãy các tập đóng khác rỗng, có giao hữu hạn và thoả với mỗi Iα ∈ ( ) sup{ ( , ) : , } 0n nX x y x y Xα αδ ρ= ∈ → khi n →∞ . Khi đó: 1 n n X ∞ = ≠ ∅  và 1 n n X ∞ =  chỉ chứa duy nhất một phần tử. Chứng minh. Đặt 1 n n A X ∞ = =  , ta chứng minh A chỉ chứa một phần tử. Giả sử ,x y A∈ và x y≠ . Vì X là Hausdorff nên ( , ) 0x y rαρ = > với α nào đó. Theo giả thiết ta có, ( ) 0nXαδ → khi n →∞ nên tồn tại một số nguyên dương 0n sao cho ( )nX rαδ < với mọi 0n n≥ . Do đó, 0( , ) ( )nx y X rα αρ δ≤ < . Ta gặp mâu thuẫn vì ( , ) 0x y rαρ = > . Vậy, x = y. Ta chứng minh A khác rỗng. Với mỗi n ta chọn n nx X∈ , ta tìm được một dãy { }nx . Cho 0> và lấy Iα ∈ . Vì ( ) 0nXαδ → nên tồn tại một số nguyên dương 1n sao cho ( ) 2n Xαδ <  với mọi 1n n≥ . Với 1,m n n≥ , ta có: ,m m n nx X x X∈ ∈ . Theo giả thiết thì m nX X∩ ≠∅ nên tồn tại m nz X X∈ ∩ . Khi đó, ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 2m n m n m n x x x z z x X Xα α α α αρ ρ ρ δ δ≤ + ≤ + < + =    Suy ra, dãy { }nx là dãy αρ −Cauchy với mọi Iα ∈ . Với mỗi số nguyên dương p, ta đặt { : }p nS x n p= ≥ và { }p pK S= . Chứng minh tương tự như định lý 2.1 ta được K là lọc Cauchy trong không gian đều ( , )X  , và do ( , )X  đầy đủ nên K hội tụ về một điểm 0x trong tôpô τ . 33 Suy ra: 0- lim -limn pn x S xτ τ→∞ = =  Do đó: 0( , ) 0nx xαρ → với mọi Iα ∈ . Ta đi chứng minh 0x A∈ . Lấy số nguyên dương 2n , chọn G là lân cận mở bất kỳ của 0x trong tôpô τ . Vì *{ } ( )Aαρ =  nên họ { ( , ) : , 0}H Iα α ∈ >  là một cơ sở của  . Do đó, tồn tại r > 0 và Iα ∈ sao cho 0 0( , )[ ]x H r x Gα∈ ⊂ . + Ta có, 0( , ) 0nx xαρ → nên tồn tại số nguyên dương 1N thoả 0( , ) 2n rx xαρ < với mọi 1n N≥ . + Do ( ) 0nXαδ → nên tồn tại số nguyên dương 2N thoả ( ) 2n rXαδ < với mọi 2n N≥ . Đặt 1 2max{ , }N N N= . Theo giả thiết dãy { }nX có giao hữu hạn, ta tìm được 2 N nu X X∈ ∩ . Khi đó: 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 2 2N N N N r ru x u x x x X x x rα α α α αρ ρ ρ δ ρ≤ + ≤ + < + = Do đó, 2n u X G∈ ∩ và điều này kéo theo 2 20 n n x X X∈ = . Vì ta chọn 2n bất kỳ nên 0x A∈ hay A ≠ ∅ .  Định nghĩa 2.4 Cho không gian đều ( , )X  và *{ : } ( )I Aαρ α ∈ =  . Lấy x X∈ , với r > 0 và Iα ∈ , ta đặt: ( , ) ( , )[ ] { : ( , ) ( , )}rS x H r x y X x y H rα α α= = ∈ ∈ Theo định n