Luận văn Nguyên lý dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

2.3.1. Điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng ....................................... 21 2.3.2. Đạo hàm cấp hai của hàm số 𝐽(𝑡) ..................................................... 21 2.3.3. Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phiếm hàm năng lượng .............. 22 2.3.4. Sự tồn tại cực điểm toàn cục của phiếm hàm năng lượng ................ 22 2.4. Nghiệm yếu của bài toán biên đối với một lớp phương trình elipptic á tuyến tính cấp hai. Nguyên lí Dirichlet .......................................................... 23 2.4.1. Phương trình Euler - Lagrange .......................................................... 23 2.4.2. Nghiệm yếu của bài toán (2.16) và (2.17) ......................................... 23 2.4.3. Nguyên lý Dirichlet ........................................................................... 23 2.4.4. Ví dụ .................................................................................................. 25 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 29 1 MỞ ĐẦU Từ lâu trong lĩnh vực Giải tích điều hòa, nhà toán học Dirichlet đã chỉ ra một nguyên lý biến phân quan trọng, đó là: nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Laplace chính là cực tiểu của phiếm hàm năng lượng. Nguyên lý này hiện nay được gọi là Nguyên lý Dirichlet. Nhằm mở rộng phạm vi của nguyên lý biến phân này, khi tìm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng được sinh bởi một hàm được gọi là hàm Lagrange của hệ vật chất nào đó trong miền hữu hạn của không gian nhiều chiều, Euler và Lagrange đã nhận được điều kiện cần cho cực tiểu, đó là hàm cực tiểu của phiếm hàm cần phải thỏa mãn một phương trình đạo nhàm riêng á tuyến tính cấp hai, mà bây giờ được mang tên các ông: Phương trình Euler-Lagrange. Luận văn trình bày nguyên lý Dirichlet mô tả mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm năng lượng và nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Euler-Lagrange, một lớp quan trọng trong số các phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Nội dung luận văn gồm 29 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống phép tính vi phân trong không gian banach, các không gian hàm , đạo hàm frechet cấp một , đạo hàm frechet cấp hai, điều kiện đủ của cực trị. Chương 2: Áp dụng kiến thức chuẩn bị vào chương 2 để kháo sát bài toán cực tiểu của phiếm hàm năng lượng và trình bày nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Luận văn được viết chủ yếu bởi tài liệu tham khảo [1] và [3]. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số khái niệm 1.1.1. Không gian 𝑳𝒎(Ω) Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền giới nội với biên 𝜕Ω. Giả sử m ≥ 1. Không gian 𝐿𝑚(Ω) bao gồm các hàm 𝑢(𝑥) sao cho |𝑢(𝑥)| 𝑚 ∈ 𝐿𝑚(Ω) . Tức là 𝐿𝑚(Ω) = {𝑢(𝑥), ∫ |𝑢(𝑥)| 𝑚𝑑𝑥 < +∞ Ω } . Đại lượng ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω) = ‖𝑢‖𝑚,Ω = ∫ (|𝑢(𝑥)| 𝑚𝑑𝑥) 1 𝑚 Ω (1.1) là chuẩn của hàm 𝑢(𝑥). Nhân xét: + Lm(Ω) là không gian Banach. + Khi m = 2, không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) = ∫ 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥Ω . + Khi m = ∞, không gian L∞(Ω) gồm các hàm bị chặn đều trong miền Ω với chuẩn sau ‖𝑢‖𝐿∞(Ω) = sup ( ) x vrai u x  1.1.2. Bất đẳng thức Holder Định lý 1.1. Bất đẳng thức Holder Giả sử 𝑢 ∈ 𝐿𝑚(Ω), v ∈ 𝐿𝑚′(Ω) 3 Khi đó ( ) ( )u x v x dx   ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖ v ‖𝐿𝑚′(Ω) với 1 𝑚 + 1 𝑚′ = 1 Chứng minh. Trước tiên ta đi chứng minh bất đẳng thức cơ bản 𝑋𝑌 ≤ 𝑋𝑚 𝑚 + 𝑌𝑚 ′ 𝑚′ , 𝑋 ≥ 0, 𝑌 ≥ 0. (1.2) Thật vậy , xét hàm 𝑋𝑌 − 𝑋𝑚 𝑚 của biến X trên [0; ∞). Hàm này chỉ đạt giá trị lớn nhất tại điểm 𝑋 = 𝑌 1 𝑚−1 và giá trị lớn nhất đó bằng 𝑌𝑚 ′ 𝑚′ . Do đó 𝑋𝑌 − 𝑋𝑚 𝑚 ≤ 𝑌𝑚 ′ 𝑚′ . Vậy (1.2) được chứng minh. Đặt 𝑋 = |𝑢| ∫ (|𝑢(𝑥)|𝑚𝑑𝑥) −1 𝑚 Ω , 𝑌 = |𝑣| ∫ (|𝑣(𝑥)|𝑚 ′ 𝑑𝑥) −1 𝑚′ Ω . Từ (1.2) ta có |𝑢||𝑣| ∫(|𝑢(𝑥)|𝑚𝑑𝑥) −1 𝑚 Ω ∫ (|𝑣(𝑥)|𝑚 ′ 𝑑𝑥) −1 𝑚′ Ω ≤ 1 𝑚 |𝑢|𝑚 ∫ ∫ (|𝑢(𝑥)|𝑚𝑑𝑥)−1Ω + 1 𝑚′Ω 𝑣𝑚 ∫ (|𝑣(𝑥)|𝑚 ′ 𝑑𝑥) −1 Ω . Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức ta nhận được ( ) ( )u x v x dx   ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖𝑣‖𝐿𝑚′(Ω). □ Chú ý: Bất đẳng thức Horder suy rộng 4 Giả sử 𝑢𝑖 ∈ 𝐿𝑚𝑖(Ω), 𝑖 = 1, , 𝑘. Khi đó bất đẳng thức Holder suy rộng được định nghĩa bởi công thức |∫ 𝑢1(𝑥) 𝑢2(𝑥) 𝑢𝑘(𝑥)𝑑𝑥| ≤ ‖𝑢1‖𝐿𝑚1 (Ω)‖𝑢2‖𝐿𝑚2 (Ω) ‖𝑢𝑘‖𝐿𝑚𝑘 (Ω), với 1 𝑚1 + 1 𝑚2 + ⋯ + 1 𝑚𝑘 = 1, 𝑚𝑖 > 1. 1.1.3. Không gian 𝑾𝒎 𝟏 (Ω) Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền giới nội với biến 𝜕Ω. Giả sử m ≥ 1. Không gian Wm 1 (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚(Ω) và được định nghĩa bởi công thức sau : 𝑊𝑚 1(Ω) = {𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚(Ω); 𝑢𝑥𝑖(𝑥) ∈ 𝐿𝑚(Ω)| với 𝑖 = 1, 𝑛 ̅̅ ̅̅ ̅ }. Chuẩn 𝑢(𝑥) ∊ 𝑊𝑚 1(Ω) được xác định bới công thức: ‖𝑢‖𝑊𝑚1 (Ω) = ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω) + ∑ ‖𝑢𝑥𝑖‖𝐿𝑚(Ω) 𝑛 𝑖=1 . (1.3) 1.1.4. Định lý nhúng Định lý 1.2. Các phép nhúng sau đây là liên tục a) 𝑊𝑚 1(Ω) 𝐿𝑞(Ω), nếu 𝑚 ≤ 𝑛, trong đó 𝑞 = (𝑛−1)𝑚 𝑛−𝑚 𝑣à 𝑞 > 1 𝑙à bất kỳ khi 𝑚 = 𝑛. b) 𝑊𝑚 1(Ω) 𝐶(Ω̅), nếu 𝑚 > 𝑛. 1.1.5. Định lý vết Định lý 1.3. Hạn chế của hàm 𝑢(𝑥) trên biên Ω xác định các toán tử vết liên tục sau đây Ω 𝜕Ω 5 𝑎) 𝑊𝑚 1(Ω) 𝐿𝑞(𝜕Ω) nếu 𝑚 ≤ 𝑛, trong đó 𝑞 = (𝑛−1)𝑚 𝑛−𝑚 𝑣à 𝑞 > 1 𝑙à bất kỳ khi 𝑚 = 𝑛. 𝑏) 𝑊𝑚 1(Ω) 𝐶(𝜕Ω), nếu 𝑚 > 𝑛. 1.1.6. Công thức tích phân từng phần Giả sử 𝑣𝑥 là pháp tuyến ngoài đơn vị tại 𝑥 ∊ 𝜕Ω, trong đó 𝑣𝑥 = (𝑣1(𝑥), 𝑣2(𝑥), , 𝑣𝑛(𝑥) 𝑥 Định lý 1.4. Giả sử 𝑓(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑊𝑚′ 1 (Ω) với 1 𝑚 + 1 𝑚′ = 1. Ta có công thức tích phân từng phần sau đây   𝑓𝑥𝑖(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = −   𝑓(𝑥)𝑔𝑥𝑖(𝑥) + ( ) ( )f x g x   𝑣𝑖(𝑥)𝑑𝑆, (1.4) trong đó dS là phần tử diện tích trên 𝜕Ω. 1.1.7. Bất đẳng thức Cauchy suy rộng Ta có các bất đẳng thức Cauchy suy rộng sau đây: |𝑎𝑏| ≤ 1 𝑝 |𝑎|𝑝 + 1 𝑞 |𝑏|𝑞 (1.5) với 𝑝 > 1, 𝑝 > 1, 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1, |𝑎1𝑎2 𝑎𝑘| ≤ 1 𝑝1 |𝑎1| 𝑝1 + 1 𝑝2 |𝑎2| 𝑝2 + ⋯ + 1 𝑝𝑘 |𝑎𝑘| 𝑝𝑘 , (1.6) với 1 𝑝1 + 1 𝑝2 + ⋯ + 1 𝑝𝑘 = 1, 𝑝𝑖 > 1, |𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘| 𝑝 ≤ 𝑘𝑝−1[|𝑎1| 𝑝 + |𝑎2| 𝑝 + ⋯ + |𝑎𝑘| 𝑝], 𝑝 ≥ 1. (1.7) Ω 𝜕Ω xv 6 1.2. Đạo hàm Frechet cấp một Cho X là không gian Banach trên ℝ, 𝑈𝑋 là tập mở . Xét phiếm hàm sau: 𝑓: 𝑈X → . Giả sử 𝑥𝑜 ∊ 𝑈 là một điểm cố định 1.2.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet Cho 𝒙𝒐 ∊ 𝐔. Khi đó tồn tại 𝜹 > 𝟎: 𝒙𝒐 + 𝒉 ∈ 𝑼, với mọi ∀𝒉 ∈ 𝑿 ta có ‖𝒉‖𝑿 < 𝜹 Định nghĩa 1.3. Ta nói 𝑓(𝑥) là khả vi Frechet tại 𝑥𝑜 nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục 𝐹 từ 𝑋 vào , 𝐹 ∈ 𝐿 (𝑋, ), sao cho lim ℎ→0 𝑓(𝑥𝑜+ℎ)−𝑓(𝑥𝑜)−𝐹(ℎ) ‖ℎ‖𝑋 = 0. (1.8) Ta ký hiệu 𝐹 = 𝑓′(𝑥𝑜). Nhận xét: Tương tự, nếu 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑋 → 𝑌 là một ánh xạ vào không gian Banach Y, thì đạo hàm Frechet 𝑓′(𝑥𝑜) ∈ 𝐿(𝑋, 𝑌) được định nghĩa giống như trên. 1.2.2. Các ví dụ 1) 𝑋 = ℝ, 𝑓(𝑥) là hàm số thông thường. Ta có 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥𝑜) + 𝑓′(𝑥𝑜)ℎ + 𝛼(𝑥𝑜, ℎ). (1.9) 𝑥�̇� 𝑈 7 Do đó 𝑓′(𝑥𝑜) là đạo hàm thông thường nhận giá trị thực, đồng thời nó sinh ra ánh xa sau 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) = 𝑓′(𝑥𝑜)ℎ, với mọi ∀ℎ ∈ ℝ. 2) 𝑋 = ℝ𝑛, 𝑓(𝑥) là hàm số nhiều biến 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ. Kí hiệu :𝑥𝑜 = (𝑥1 𝑜, 𝑥2 𝑜, 𝑥3 𝑜, , 𝑥𝑛 𝑜), ℎ = (ℎ1, ℎ2, ℎ𝑛). Giả sử 𝑓(𝑥) có các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả các biến tại 𝑥𝑜. Khi đó ta có 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥𝑜) + ∑ 𝜕𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ℎ𝑖 + 𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ), (1.10) trong đó 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝛼(𝑥𝑜 , ℎ) |ℎ| = 0. Khi đó, từ (1.8) và (1.10) suy ra 𝑓(𝑥𝑜) là khả vi Frechet tại 𝑥𝑜 và 𝑓′(𝑥𝑜) là vecto grandient 𝑓′(𝑥𝑜) = ( 𝜕𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥1 , , 𝜕𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑛 ) , đồng thời nó sinh ra ánh xạ 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) = ∑ 𝜕𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑖 ℎ𝑖 𝑛 𝑖=1 . (1.11) 3) 𝑋 = 𝐿2(0,1) 𝐿2(0,1) = {𝑢(𝑥); ∫ |𝑢(𝑥)| 2𝑑𝑥 < +∞ 1 0 }. Xét phiếm hàm sau 𝑓: 𝐿2(0,1) → ℝ, 𝑓(𝑢) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑢2(𝑥)𝑑𝑥, 1 0 (1.12) trong đó 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿∞(0,1) là hàm số bị chặn cố định nào đó. 8 Khi đó 𝑓′(𝑢)(ℎ) = 2 ∫ 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 1 0 . Thật vậy, từ (1.12) ta có 𝑓(𝑢 + ℎ) = ∫ 𝑔(𝑥)[𝑢(𝑥) + ℎ(𝑥)]2𝑑𝑥 1 0 = ∫ 𝑔(𝑥) 1 0 [𝑢2(𝑥) + 2𝑢(𝑥)ℎ(𝑥) + ℎ2(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥) 1 0 𝑢2(𝑥)𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)ℎ2(𝑥)𝑑𝑥 1 0 1 0 = 𝑓(𝑢) + 𝐹(ℎ) + 𝛼(𝑢, ℎ), trong đó 𝐹(ℎ) = 2 ∫ 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 1 0 , (1.13) 𝛼(𝑢, ℎ) = ∫ 𝑔(𝑥)ℎ2(𝑥)𝑑𝑥 1 0 . Ta có 𝐹(ℎ) là phiếm hàm tuyến tính, liên tục 𝐹(ℎ1 + ℎ2) = 𝐹(ℎ1) + 𝐹(ℎ2), 𝐹( ℎ) =  𝐹(ℎ), |𝐹(ℎ)| ≤ 2‖𝑔(𝑥)‖𝐿∞(0,1)‖𝑢‖𝐿2(0,1)‖ℎ‖𝐿2(0,1). Mặt khác |𝛼(𝑢, ℎ)| = |∫ 𝑔(𝑥)ℎ2(𝑥)𝑑𝑥 1 0 | ≤ ‖𝑔‖𝐿∞(0,1)‖ℎ‖𝐿2(0,1) 2 . Do đó |𝛼(𝑢, ℎ)| ‖ℎ‖ ≤ ‖𝑔‖𝐿∞‖ℎ‖ → 0. 9 1.2.3. Các tính chất a) Đạo hàm của một tổng Tổng của hai phiếm hàm được định nghĩa bởi công thức sau: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). Định lý 1.5. Giả sử 𝑓 và 𝑔 là các phiếm hàm khả vi Frechet tại 𝑥𝑜. Khi đó 𝑓 + 𝑔 cũng khả vi Frechet tại 𝑥𝑜 và (𝑓 + 𝑔)′(𝑥𝑜)(ℎ) = 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) + 𝑔′(𝑥𝑜)(ℎ). b) Đạo hàm của tích với một số Tích của một phiếm hàm 𝑓 với số 𝜆 ∊ ℝ được xác định bởi công thức (𝜆𝑓)(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥). Định lý 1.6. Giả sử 𝑓 và 𝑔 là các phiếm hàm khả vi Frechet tại 𝑥o. Khi đó tích 𝑓. 𝑔 cũng khả vi Frechet tại 𝑥𝑜 và (𝜆𝑓)′(𝑥𝑜)(ℎ) = 𝜆𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ). c) Đạo hàm của tích các phiếm hàm Tích của hai phiếm hàm f và g được định nghĩa bởi công thức sau: (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). Định lý 1.7. Giả sử 𝑓 và 𝑔 là các phiếm hàm khả vi Frechet tại 𝑥𝑜. Khi đó tích 𝑓. 𝑔 cũng khả vi Frechet tại 𝑥𝑜 và (𝑓. 𝑔)′(𝑥𝑜) = 𝑓′(𝑥𝑜)𝑔(𝑥𝑜) + 𝑓(𝑥𝑜)𝑔′(𝑥𝑜), tức là (𝑓. 𝑔)′(𝑥𝑜)(ℎ) = 𝑓′(𝑥𝑜)(𝑔(𝑥𝑜)ℎ) + 𝑓(𝑥𝑜)(𝑔′(𝑥𝑜)ℎ). 1.3. Đạo hàm Frechet cấp hai Xét phiếm hàm 10 𝑓: 𝑈 𝑋 → ℝ, ta có 𝑓′(𝑥𝑜): 𝑋 → 𝐿(𝑋, ℝ) = 𝑋′ 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai Ta có 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥𝑜) + 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) + 𝛼1(𝑥 𝑜, ℎ), trong đó 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝛼1(𝑥 𝑜,ℎ) |ℎ| = 0. Giả sử 𝑓′(𝑥) xác định tại mọi điểm 𝑥 ∈ 𝑈. Ta có 𝑓′: 𝑈 𝑋 → 𝐿(𝑋, 𝑅), 𝑓′: 𝑈 𝑋 → 𝑋′. Với mỗi ℎ ∈ 𝑋 cố định thì 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ): 𝑈 ⊂ 𝑋 → ℝ. Giả sử đạo hàm Frechet cấp một 𝐺(ℎ) ∈ 𝑋′ của 𝑓′(𝑥)(ℎ) tại 𝑥𝑜 tồn tại, tức là 𝑓′(𝑥𝑜 + 𝑘)(ℎ) = 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) + 𝐺(ℎ, 𝑘) + 𝛼2(𝑥 𝑜, ℎ, 𝑘), trong đó 𝐺(ℎ, 𝜆1𝑘′ + 𝜆2𝑘′′) = 𝜆1𝐺(ℎ, 𝑘′) + 𝜆2𝐺(ℎ, 𝑘 ′′), |𝐺(ℎ, 𝑘)| ≤ 𝐶‖ℎ‖𝑥‖𝑘‖𝑥. Do đó 𝑙𝑖𝑚 ‖𝑘‖𝑋→0 |𝛼2(𝑥 𝑜,ℎ,𝑘)| ‖𝑘‖𝑋 = 0. 11 Định nghĩa 1.4. Ký hiệu 𝐺 = 𝑓′′(𝑥𝑜) (∈ 𝐿𝑜(𝑋 × 𝑋, ℝ )), khi đó ta có đạo hàm Frechet cấp 2 của 𝑓 tại 𝑥𝑜 là dạng song tuyến tính sau trên 𝑋 × 𝑋 f ′′(xo)(h, k) = G(h, k). 1.3.2. Các ví dụ Trong mục này ta sẽ tính đạo hàm frechet cấp hai của các phiến hàm trong các ví dụ của mục 1.2.2. 1) 𝑋 = ℝ, 𝑓(𝑥) là hàm số thông thường. Khi đó 𝑓′′(𝑥𝑜) là đạo hàm cấp hai thông thường và nó sinh ra ánh xạ song tuyến tính sau 𝑓′′(𝑥𝑜)(ℎ, 𝑘) = 𝑓′′(𝑥𝑜)ℎ. 𝑘 , ∀ℎ, 𝑘 ∈ ℝ. 2) 𝑋 = ℝ𝑛, 𝑓(𝑥) là hàm số nhiều biến thông thường. 𝑓′(𝑥𝑜 + 𝑔)ℎ (1.11)  ∑ 𝜕𝑓(𝑥𝑜 + 𝑔) 𝜕𝑥𝑖 ℎ𝑖 𝑛 𝑖=1 (1.10)  ∑ [ 𝜕𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑖 + ∑ 𝜕2𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 𝑔𝑗 + 𝛼𝑖(𝑥 𝑜, 𝑔, ℎ) 𝑛 𝑗=1 ] ℎ𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑓′(𝑥𝑜)ℎ + ∑ 𝜕2𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 ℎ𝑖𝑔𝑗 + �̃�(𝑥 𝑜, 𝑔, ℎ)𝑛𝑖,𝑗=1 . Do đó 𝑓′′(𝑥𝑜)(ℎ, 𝑔) = ∑ 𝜕2𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 ℎ𝑖𝑔𝑗 𝑛 𝑖,𝑗=1 , và 𝑓′′(𝑥𝑜) được xác định bởi ma trận Hessian 𝐷2𝑓(𝑥𝑜) = [ 𝜕2𝑓(𝑥𝑜) 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 ] 𝑛×𝑛 . 3) 𝑋 = 𝐿2(0,1) Ta xét 12 𝑓(𝑢) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑢2 1 0 (𝑥) với 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿∞(0,1), 𝑓′(𝑢)ℎ = 2 ∫ 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 1 0 . Vì vậy 𝑓′(𝑢 + 𝑘)(ℎ) (1.13)  2 ∫ 𝑔(𝑥)[𝑢(𝑥) + 𝑘(𝑥)]ℎ(𝑥)𝑑𝑥 1 0 , 𝑓′(𝑢 + 𝑘)(ℎ) = 𝑓′(𝑥)(ℎ) + 2 ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑘(𝑥)𝑑𝑥 1 0 . Do đó 𝑓′′(𝑢)(ℎ, 𝑘) = 2 ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑘(𝑥)𝑑𝑥 1 0 . 1.3.3. Vi phân cấp hai của phiếm hàm Định nghĩa 1.5. Giả sử f(x) là khả vi cấp hai tại 𝑥𝑜 ∈ 𝑈. Khi đó dạng toàn phương sau trên X f ′′(xo)(h, h) được gọi là vi phân cấp hai của 𝑓 tại 𝑥𝑜. 1.3.4. Phân tích Taylor của phiếm hàm Định lý 1.8.([𝟐]) Giả sử 𝑓 là khả vi cấp hai tai 𝑥𝑜 ∈ 𝑈𝑋. Khi đó trong lân cận của 𝑥𝑜 ta có 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥𝑜) + 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) + 1 2 𝑓′′(𝑥𝑜)(ℎ, ℎ) + 𝛼(𝑥𝑜, ℎ) , (1.14) trong đó lim ℎ→0 |𝛼(𝑥𝑜, ℎ)| ‖ℎ‖2 = 0. Định lý 1.9. ([𝟐]) Giả sử f(x) là khả vi liên tục Frechet hai lần trên tập lồi 𝑈 ⊂ 𝑋. Khi đó ∀𝑥, 𝑥𝑜 ∈ 𝑈, ∃𝜆 ∈ (0,1) sao cho f(x) = f(xo) + f ′(xo)(x − xo) + 1 2 f′′(λxo + (1 − λ)x)(x − x𝑜, x − xo). (1.15) 13 1.4. Điểm dừng của phiếm hàm 1.4.1. Khái niệm Định nghĩa 1.6. Cho 𝑓: 𝑈 𝑋 → ℝ. Giả sử f khả vi Frechet tại 𝑥𝑜. Điểm 𝑥𝑜 được gọi là điểm dừng của phiếm hàm f nếu 𝑓′(𝑥𝑜) = 0, tức là 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) = 0, ∀ℎ ∈ 𝑋. 1.4.2. Điều kiện cần đối với cực trị của phiếm hàm Định nghĩa 1.7. a) Điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝑈 được gọi là điểm cực trị địa phương của phiếm hàm 𝑓(𝑥) nếu ∃𝛿 > 0, sao cho 𝑓(𝑥𝑜) ≤ 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ), ∀ℎ: ‖ℎ‖𝑋 < 𝛿. b) Điểm cực đại địa phương được định nghĩa tương tự. Định lý 1.10. Giả sử 𝑥𝑜 là điểm cực trị địa phương của phiếm hàm 𝑓. Khi đó nếu 𝑓(𝑥) là khả vi Frechet tại 𝑥𝑜 thì 𝑓′(𝑥𝑜) = 0. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh 𝑓′(𝑥𝑜) = 0. Từ định nghĩa đạo hàm ta có. 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) − 𝑓(𝑥𝑜) − 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) = 𝛼(𝑥𝑜, ℎ), 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 |𝛼(𝑥0, ℎ)|𝑅 ‖ℎ‖𝑋 = 0. Do đó ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, ∀‖ℎ‖𝑥 < 𝛿: |𝛼(𝑥 0, ℎ)| < 𝜀‖ℎ‖𝑋. Giả sử điều ngược lại 𝑓′(𝑥𝑜) ≠ 0. Khi đó ∃ℎ ≠ 0, sao cho 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) ≠ 0, và 𝛾 > 0 sao cho 14 |𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ)| ≥ 𝛾‖ℎ‖. Giả sử 𝑥𝑜 là điểm cực tiểu địa phương, tức là 𝑓(𝑥𝑜 + 𝑡ℎ) ≥ 𝑓(𝑥𝑜), ∀𝑡 ∈ [−𝛿, 𝛿]. Khi đó 𝑓(𝑥𝑜 + 𝑡ℎ) − 𝑓(𝑥𝑜) − 𝑓′(𝑥𝑜)(𝑡ℎ) = 𝛼(𝑥𝑜, 𝑡ℎ). Ta lại có thể chọn 𝑡 ∈ [−𝛿, 𝛿] sao cho 𝑡 ≠ 0 và 𝑓(𝑥𝑜 + 𝑡ℎ) − 𝑓(𝑥𝑜) ≥ 0, 𝑓′(𝑥𝑜)(𝑡ℎ) ≥ 𝛾|𝑡|‖ℎ‖. Do đó 𝛼|𝑡|‖ℎ‖ ≤ |𝑡|‖ℎ‖𝜀, trong đó ε > 0 nhỏ tùy ý. Vô lý. Vậy 𝑓′(𝑥𝑜) = 0. □ 1.5. Điều kiện đủ của cực trị Cho 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑋 → ℝ Giả sử 𝑥𝑜 ∈ 𝑈 là điểm dừng của phiếm hàm 𝑓, tức là: 𝑓′(𝑥𝑜) = 0. 1.5.1. Điều kiện đủ của cực tiểu địa phương Định lý 1.11. Giả sử 𝑥𝑜 là điểm dừng của phiếm hàm tại 𝑥𝑜 và tồn tại 𝛽 > 0, sao cho 𝑓′′(𝑥𝑜)(ℎ, ℎ) ≥ 𝛽‖ℎ‖𝑋 2 . (1.16) Khi đó 𝑥𝑜 là điểm cực tiểu địa phương của phiếm hàm 𝑓. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh tồn tại 𝛿 > 0 sao cho 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) ≥ 𝑓(𝑥𝑜), với mọi ‖ℎ‖ ≤ 𝛿. 15 Thật vậy, từ Định lý 1.8 suy ra 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥𝑜) + 𝑓′(𝑥𝑜)(ℎ) + 1 2 𝑓′′(𝑥𝑜)(ℎ, ℎ) + 𝛼(𝑥𝑜, ℎ), (1.17) trong đó 𝑙𝑖𝑚 ‖ℎ‖𝑥→0 |𝛼(𝑥0,ℎ)| ‖ℎ‖𝑋 2 = 0. Khi đó với mọi 𝜀 > 0, tồn tại 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, với mọi ℎ ∈ 𝑋, ‖ℎ‖𝑥 < 𝛿 ta có |𝛼(𝑥0, ℎ)| < 𝜀‖ℎ‖2, (1.18) ta chọn 𝜀 = 𝛽 2 . Từ (1.16) và (1.18) ta có 1 2 𝑓′′(𝑥𝑜)(ℎ, ℎ) + 𝛼(𝑥𝑜, ℎ) ≥ ( 𝛽 2 − 𝛽 2 ) ‖ℎ‖2 = 0, nên từ (1.17) suy ra điều phải chứng minh. □ 1.5.2. Điều kiện đủ của cực tiểu toàn cục Định lý 1.12. Giả sử phiếm hàm 𝑓(𝑥) xác định và khả vi hai lần trên tập lồi 𝑈 của không gian Banach 𝑋 và (𝑓′′(𝑥))(ℎ, ℎ) ≥ 0,với mọi 𝑥 ∈ 𝑈, ℎ ∈ 𝑋. (1.19) Khi đó nếu 𝑥𝑜 ∈ 𝑈 là cực tiểu địa phương thì nó sẽ là cực tiểu toàn cục. Chứng minh. Xét hàm 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑡ℎ): ℝ → ℝ. Ta có 𝑔′(𝑡) = 𝑓′(𝑥𝑜 + 𝑡ℎ)(ℎ), (1.20) 𝑔′′(𝑡) = 𝑓′′(𝑥𝑜 + 𝑡ℎ)(ℎ, ℎ). (1.21) 16 Do đó 𝑥𝑜 là cực trên địa phương của 𝑓(𝑥) nên nó là điểm dừng và 𝑓′(𝑥𝑜) = 0, vì vậy 𝑡𝑜 = 0 là điểm dừng của 𝑔(𝑡). Từ (1.19) và (1.21) suy ra 𝑔(𝑡) là hàm lồi theo t trên ℝ. Do đó 𝑡𝑜 = 0 là cực tiểu toàn cục của 𝑔(𝑡) và 𝑥 𝑜 là cực tiểu toàn cục của 𝑓(𝑥). □ 17 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE. NGUYÊN LÍ DIRICHLET. 2.1. Phiếm hàm năng lượng 2.1.1. Phiếm hàm năng lượng sinh bởi hàm Lagrange Định nghĩa 2.1. Xét phiếm hàm: 𝐼(𝑢) =   𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝑑𝑥, trong đó 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝): Ω ̅ × 𝑅 × 𝑅𝑛 →ℝ được gọi là hàm Lagrange của (2n+1) biến 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛), 𝑧 và 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, , 𝑝𝑛), 𝐷𝑢(𝑥) = (𝑢𝑥1(𝑥), , 𝑢𝑥𝑛(𝑥)) là véctơ gradient. Phiếm hàm 𝐼(𝑢) được gọi là phiếm hàm năng lượng được sinh bởi hàm Lagrange 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝). 2.1.2. Điều kiện của hàm Lagrange Ta giả thiết về độ tăng của 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) như sau: 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≥ 𝜗|𝑝|𝑚 + 𝜓1(𝑥), 𝜗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 > 0, (2.1) 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓2(𝑥) + |𝑢| 𝑞 + |𝑝|𝑚] , (2.2) trong đó 𝜓1(𝑥), 𝜓2(𝑥) ∈ 𝐿1(Ω), 𝑚 > 1 và 𝑞 = { 𝑚𝑛 𝑛−𝑚 , nếu 1 < 𝑚 < 𝑛 bất kì > 1, nếu 𝑚 ≥ 𝑛 . (2.3) 2.1.3. Miền xác định của phiếm hàm năng lượng Mệnh đề 2.1. Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn các điều kiện (2.1) và (2.2). Khi đó phiếm hàm 𝐼(𝑢) xác định trên không gian 𝑊𝑚 1(Ω). Chứng minh. 18 Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω). Ta chứng minh 𝐼(𝑢) là xác định. Thật vậy 𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥)) ≥ 𝜗|𝐷𝑢(𝑥)|𝑚 + 𝜓(𝑥), ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝑑𝑥 ≥ 𝜗   |𝐷𝑢(𝑥)| 𝑚𝑑𝑥 +   𝜓2(𝑥)𝑑𝑥 > (−∞) + (−∞) > −∞ Mặt khác, từ (2.2) ta có 𝐹 = (𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢) ≤ { 𝜇[𝜓2(𝑥) + |𝑢| 𝑞 + |𝐷𝑢|𝑚], 1 < 𝑚 ≤ 𝑛 𝜇[𝜓(𝑥) + |𝐷𝑢|𝑚], 𝑚 > 𝑛 Theo định lý nhúng thì 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑞(Ω). Mặt khác 𝜓(𝑥) ∈ 𝐿1(Ω), do đó ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝑑𝑥 < +∞ Vì vậy phiếm hàm 𝐼(𝑢) xác định trên 𝑊𝑚 1(Ω). 2.2. Phương trình Euler-Lagrange Ta sẽ mô tả điểm dừng của phiếm hàm năng lượng sau 𝐼(𝑢) =   𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥)𝑑𝑥, trong đó hàm 𝑢(𝑥) nhận giá trị 𝑔(𝑥) được cho trước trên biên 𝜕Ω. 𝑢|𝜕Ω = 𝑔(𝑥). Ký hiệu 𝑀 = {𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω); 𝑢|𝜕Ω = 𝑔(𝑥)}. Ta có nhận xét: Giả sử 𝜂(𝑥) ∈ 0 1 Wm (Ω). Khi đó, với mọi 𝑢(𝑥) ∈ 𝑀, ∀𝜂(𝑥) ∈ 0 1 Wm (Ω) với 𝑡 ∈ 𝑅, ta có 𝑢(𝑥) + 𝑡𝜂(𝑥) ∈ 𝑀. 19 Định lý 2.1. Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω) là cực tiểu địa phương của 𝐼(𝑢). Khi đó 𝑢(𝑥) là nghiệm của phương trình Euler –Lagrange sau đây: − ∑ 𝜕 𝜕𝑥𝑖 ( 𝜕𝐹(𝑥,𝑢(𝑥),𝐷𝑢(𝑥)) 𝜕𝑝𝑖 ) + 𝜕𝐹(𝑥,𝑢(𝑥),𝐷𝑢(𝑥)) 𝜕𝑧 = 0𝑛𝑖=1 . (2.4) Chứng minh. Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑀 là cực tiểu địa phương của 𝐼(𝑢). Khi đó 𝑡 = 0 là cực tiểu địa phương của hàm số sau đây: 𝐽(𝑡) = 𝐼(𝑢 + 𝑡𝜂) trong đó 𝜂(x) là hàm bất kì thuộc 0 1 Wm (Ω). Bổ đề 2.1. Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑝) thỏa mãn các điều kiện (2.1) và (2.2) và |𝑝|𝑚−1 𝐹𝑢(𝑥, 𝑢, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓3(𝑥) + |𝑢| 𝑞−1 + |𝑝| 𝑚(𝑞−1) 𝑞 ], (2.5) 𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓4(𝑥) + |𝑢| 𝑞(𝑚−1) 𝑚 + |𝑝|𝑚−1]. (2.6) Trong đó 𝜓3(𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−1 (Ω), 𝜓4(𝑥) ∈ 𝐿 𝑚 𝑚−1 (Ω). Với 𝜇 > 0 𝑚 > 1 𝑣à 𝑞 > 1 và xác định bởi (2.3). Khi đó ta có công thức sau 𝑑 𝑑𝑡 𝐽(𝑡) = ∫[𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂𝑥𝑖 + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑢 + 𝜂𝑡, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂]𝑑𝑥. (2.7) Chứng minh Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau |𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂𝑥𝑖| ≤ 𝑐 [|𝜓2| 𝑚 𝑚−1 + |𝑢|𝑞 + |𝜂|𝑞 + |∇𝑢| 𝑚 + |∇𝜂| 𝑚 ]. (2.8) Thật vậy: Áp dụng bất đẳng Cauchy và (2.6) ta có 20 |𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂𝑥𝑖| (1.5)  𝑚−1 𝑚 |𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂𝑥𝑖| 𝑚 𝑚−1 + 1 𝑚 |𝜂𝑥𝑖| 𝑚 (2.6)  𝑚−1 𝑚 𝜇 [𝜓4(𝑥) + |𝑢 + 𝑡𝜂| 𝑞(𝑚−1) 𝑚 + |𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥| 𝑚−1] 𝑚 𝑚−1 + 1 𝑚 |𝜂𝑥𝑖| 𝑚 ≤ 𝑚−1 𝑚 𝜇 [𝜓4(𝑥) + [|𝑢| + 𝑡|𝜂|] 𝑞(𝑚−1) 𝑚 + [|𝑢𝑥| + 𝑡|𝜂𝑥|] 𝑚−1] 𝑚 𝑚−1 + 1 𝑚 |𝜂𝑥𝑖| 𝑚 (1.6)  𝑚−1 𝑚 𝜇 [𝜓4(𝑥) + 2 𝑞(𝑚−1) 𝑚 −1 [|𝑢| 𝑞(𝑚−1) 𝑚 + (𝑡|𝜂|) 𝑞(𝑚−1) 𝑚 ] + 2𝑚−1[|𝑢𝑥| 𝑚−1 + 𝑡|𝜂𝑥| 𝑚−1]] + 1 𝑚 |𝜂𝑥𝑖| 𝑚 . Áp dụng bất đẳng thức (1.6) đối với số hạng thứ nhất của biểu thức trên ta nhận được (2.8). Tiếp theo ta chứng minh tương tự được bất đẳng thức sau |𝐹𝑧𝜂| ≤ 𝑐 [|𝜓3| 𝑞 𝑞−1 + |𝑢|𝑞 + |𝜂|𝑞 + |∇𝑢| 𝑚 + |∇𝜂| 𝑚 ]. (2.9) Do 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω), từ Định lý nhúng và (2.8), (2.9) suy ra đạo hàm 𝑑𝐼(𝑢+𝑡𝜂) 𝑑𝑡 thực sự tồn tại và bằng tích phân ở vế phải của (2.7) Khi đó hàm 𝐼(𝑢 + 𝑡𝜂) có cực tiểu địa phương tại 𝑡 = 0 và 𝑑𝐼(𝑢+𝑡𝜂) 𝑑𝑡 | 𝑡=0 = ∫ [𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥)𝜂𝑥𝑖 + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥)𝜂]𝑑𝑥 = 0Ω . (2.10) Ta áp dụng công thức tích phân từng phần đối với n số hạng đầu tiên ở vế phải của (2.10) với 𝜂(𝑥) ∈ 0 1 Wm (Ω) và nhận được ∫ 𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥)𝜂𝑥𝑖𝑑𝑥 = − ∫ 𝜕 𝜕𝑥𝑖 [ 𝜕𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥) 𝜕𝑝𝑖 ] ΩΩ 𝜂(𝑥)𝑑𝑥. Từ (2.10) suy ra 21 ∫ [− ∑ 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝐹(𝑥,𝑢,𝑢𝑥) 𝜕𝑝𝑖 ) + 𝜕𝐹(𝑥,𝑢,𝑢𝑥) 𝜕𝑧 𝑛 𝑖=1 ]Ω 𝜂(𝑥)𝑑𝑥 = 0. Do 𝜂(𝑥) ∈ 0 1 Wm (Ω) là bất kỳ nên ta suy ra phương trình (2.4). □ 2.3. Sự tồn tại cực tiểu toàn cục của phiếm hàm năng lượng 2.3.1. Điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng Ta nhận thấy hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω) là cực tiểu địa phương (cực tiểu toàn cục) của 𝐼(𝑢), khi và chỉ khi điểm t = 0 là điểm cực tiểu địa phương (cực tiểu toàn cục) của hàm số: 𝐽(𝑡) = 𝐼(𝑢 + 𝑡𝜂), trong đó 𝜂(𝑥) ∈ 0 1 Wm (Ω) là bất kì và cố định. 2.3.2. Đạo hàm cấp hai của hàm số 𝑱(𝒕) Bổ đề 2.2. Giả sử hàm 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn thêm các điều kiện sau: |𝐹𝑧𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓5(𝑥) + |𝑧| 𝛼1 + |𝑝|𝛼2] , (2.11) |𝐹𝑝𝑘𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓6(𝑥) + |𝑧| 𝛽1 + |𝑝|𝛽2], (2.12) |𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘(𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓7(𝑥) + |𝑧| 𝛾1 + |𝑝|𝛾2], (2.13) trong đó: 𝜓5(𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−2 (Ω), 𝜓6(𝑥) ∈ 𝐿 𝑚𝑞 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 (Ω), 𝜓7(𝑥) ∈ 𝐿 𝑚 𝑚−2 (Ω), 𝛼1 = 𝑞 − 2, 𝛼2 = 𝑚(𝑞−2) 𝑞 , 𝛽1 = 𝑚𝑞2 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 , 𝛽2 = 𝑚2𝑞 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 , 𝛾1 = 𝑞(𝑚−2) 𝑚 , 𝛾2 = 𝑚 − 2. Khi đó ta có công thức sau 22 𝑑2 𝑑𝑡2 I(u + tη) = d dt [∑ 𝐽𝑗( 𝑛 𝑗=1 𝑢 + 𝑡𝜂) + 𝐽𝑜(𝑢 + 𝑡𝜂)] = ∑ ∫[∑ 𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂𝑥𝑘𝜂𝑥𝑗 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑗=1 + 𝐹𝑝𝑘𝑢(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂𝑥𝑗𝜂]𝑑𝑥 + ∫[∑ 𝐹𝑢𝑝𝑘(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂𝑥𝑘𝜂 + 𝑛 𝑘=1 𝐹𝑢𝑢(𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥)𝜂 2]𝑑𝑥 . (2.14) Chứng minh. Việc chứng minh Bổ đề được suy ra từ việc áp dụng công thức(2.7) của Bổ đề 2.1. 2.3.3. Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phiếm hàm năng lượng Định lý 2.2. (Định lý 6.5 [1]) Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn điều kiện (2.1) và là hàm lồi theo 𝑝 ∈ ℝ𝑛 khi x, z cố định. Khi đó phiếm hàm I(u) có ít nhất một cực tiểu địa phương 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω) 2.3.4. Sự tồn tại cực điểm toàn cục của phiếm hàm năng lượng Định lý 2.3. (Định lý 6.6 [1]) Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω) là điểm dừng của 𝐼(𝑢), 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn các điều kiện (2.1), (2.2), (2.5), (2.6) và điều kiện sau: ∑ 𝐹𝑝𝑖𝑝𝑗(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝜉𝑖𝜉𝑗 + 2𝜉0 ∑ 𝐹𝑝𝑗𝑧(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝜉𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖,𝑗=1 +𝐹𝑧𝑧(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝜉0 2 ≥ 𝛽(𝑥) ∑ 𝜉𝑗 2𝑛 𝑗=1 , ( 2.15) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝛽(𝑥) ≠ 0, 𝛽(𝑥) ≥ 0, với mọi 𝜉 ∈ ℝ𝑛, 𝜉0 ∈ ℝ𝑛,và 𝑥 ∈ Ω̅. Khi đó u(x) là cực tiểu toàn cục của I(u). 23 2.4. Nghiệm yếu của bài toán biên đối với một lớp phương trình elipptic á tuyến tính cấp hai. Nguyên lí Dirichlet 2.4.1. Phương trình Euler - Lagrange Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑝) là hàm Lagrange xác định trên Ω̅ × ℝ × Ω𝑛. Xét phương trình á tuyến sau đây: − ∑ (𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝑥𝑖 + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢𝑖 )) = 0, 𝑥 ∈ Ω. (2.16) Xét bài toán biên Dirichlet 𝑢|∂Ω = 𝑔(𝑥), (2.17) trong đó 𝑔(𝑥) là hàm số cho trước thuộc 𝑊𝑚 1(Ω), 𝑚 > 1. 2.4.2. Nghiệm yếu của bài toán (2.16) và (2.17) Định nghĩa 2.2. Hàm số 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (2.16), (2.17) nếu 1) 𝑢(𝑥) − 𝑔(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω), 2) ∫[∑ 𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝐷𝑖𝑖 𝜂 + 𝐹𝑢(𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝜂]𝑑𝑥 = 0 , (2.18) ∀𝜂 ∈ 0 1 Wm (Ω) . 2.4.3. Nguyên lý Dirichlet Nguyên lí Dirichlet sau đây khẳng định sự tương đương của bài toán Dirichlet (2.16), (2.17) với bài toán tìm cực tiểu địa phương của phiếm hàm năng lượng 𝐼(𝑢). Định lý 2.4. (Nguyên lý Dirichlet) Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑝) thỏa mãn các điều kiện sau: 1) 𝜗|𝑝|𝑚 + 𝜓1(𝑥) ≤ 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓2(𝑥) + |𝑢| 𝑞 + |𝑝|𝑚]; 2) 𝐹𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓3(𝑥) + |𝑧| 𝑞−1 + |𝑝| 𝑚(𝑞−1) 𝑞 ]; 3) 𝐹𝑝𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓4(𝑥) + |𝑧| 𝑞(𝑚−1) 𝑚 + |𝑝|𝑚−1]; 24 4) |𝐹𝑧𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓5(𝑥) + |𝑧| 𝛼1 + |𝑝|𝛼2]; 5) |𝐹𝑝𝑘𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓6(𝑥) + |𝑧| 𝛽1 + |𝑝|𝛽2]; 6) |𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘(𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓7(𝑥) + |𝑧| 𝛾1 + |𝑝|𝛾2]; 7) Điều kiện (2.14) đối với mọi hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚 1(Ω) là điểm dừng của 𝐼(𝑢). Trong đó 𝑚 > 1, 𝜇 > 0, 𝜗 > 0, 𝜓3(𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−1 (Ω), 𝜓4(𝑥) ∈ 𝐿 𝑚 𝑚−1 (Ω), 𝜓5(𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−2 (Ω), 𝜓6(𝑥) ∈ 𝐿 𝑚 1−