Luận văn Nguyên lý so sánh đối với toán tử monge - Ampère phức trong các lớp cegrell

hông của n£ . Giả sử jj E E= U , trong đó j E Ì W với 1,2,...j = . Nếu * , 0 j E u W º với mỗi j thì * , 0 E u W º . Chứng minh. Chọn ( ) j v PSHÎ W sao cho 0 j v < và j j E v = - ¥ . Lấy điểm ( )1\ ({- })jja v -Î W ¥U . Bằng cách mở rộng mỗi hàm jv bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết ( ) 2 j j v a -> - . Khi đó ( ) j j v v PSH= Î Wå , 0v < và E v = - ¥ . Suy ra * , 0 E u W º . Mệnh đề 1.2.8. Cho W là tập con siêu lồi của n£ và K là một tập con compact của W. Giả thiết rằng { } j W là một dãy tăng những tập con mở của W 9 sao cho 1 j j ¥ = W= WU và 1K Ì W . Khi đó , ,lim ( ) ( ), j K Kj u z u z z W W® ¥ = Î W. Chứng minh. Lấy điểm 0 z Î W. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng 0 1 { }K zÈ Ì W . Giả sử 0r < là một hàm vét cạn đối với W sao cho 1r < - trên K . Lấy (0,1)e Î sao cho 0 ( )zr e< - . Khi đó tồn tại 0 j Î ¥ sao cho tập mở 1(( , ))w r e-= - ¥ - là tập compact tương đối trong 0 j W . Lấy 0 ( ) j u PSHÎ W sao cho 0u £ trên 0 j W và 1u £ - trên K . Khi đó max { ( ) , ( )}, ( ) ( ), \ u z z z v z z z e r w r w ìï - Îï= í ï Î Wïî xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1 K v £ - và 0v £ . Như vậy 0 , 0 ( ) ( ) K v z u z W £ . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ 0 , j K u W , nên ta có 0 , 0 , 0 ( ) ( ) j K K u z u ze W W - £ Do đó ta có , 0 , 0 , 0 ( ) ( ) ( ) j j K K K u z u z u ze W W W - £ £ với mọi 0 j j³ và e nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức Giả sử nWÌ £ và ( )u PSHÎ W . Nếu 2( )u CÎ W thì toán tử: 2 1 , ( ) : ( ) ... ( ) 4 !detc n c c n j kn j k n u dd u dd u dd u n dV z z £ £ é ù ¶ê ú= Ù Ù = ê ú¶ ¶ê úë û 144444442 444444443 , với dV là yếu tố thể tích trong nC gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này 10 có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact 0 ( )C W trên W 0 ( ) ( )c nC dd uj j W W ' òa . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy 1 { } ( ) m m u PSH C ¥ > Ì W Ç sao cho m u u] và {( ) }c n m dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là: 0 lim ( ) , ( )c n mm dd u d Cj j m j W W = " Î Wò ò . Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy { } m u như trên, ta ký hiệu: ( )c ndd u m= và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère. Mệnh đề 1.3.1. Giả sử ( ),p p Cy ¥Î là ( , )p p - dạng lớp C ¥ trên tập mở nWÌ £ và T là ( , )q q - dòng với 1p q n+ = - . Khi đó ( ) ( ) c n c c cdd T dd T d d T d Ty y y yÙ - Ù = Ù - Ù . Mệnh đề 1.3.2. Giả sử { } j m là dãy các độ đo Radon trên tập mở nWÌ ¡ hội tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó )a Nếu G Ì W là tập mở thì ( ) lim inf ( ) jj G Gm m ® ¥ £ . )b Nếu K Ì W là tập compact thì ( ) lim sup ( ) jj K Km m ® ¥ ³ . )c Nếu E compact tương đối trong W sao cho ( ) 0Em ¶ = thì 11 ( ) lim ( ) jj E Em m ® ¥ = . Chứng minh. )a Ta có { }( ) sup ( ) :G K K Gm m= Ð . Giả sử K GÐ là tập compact. Lấy 0 ( )C Gj Î , 0 1j£ £ và 1j = trên K . Khi đó ( ) ( ) lim ( ) lim inf ( ) j jj j K Gm m j m j m ® ¥ ® ¥ £ = £ . Từ đó ( ) lim inf ( ) jj G Gm m ® ¥ £ . )b Ta có { }0( ) ( ) : , ,K inf V V K V V Vm m= É Ì W = . Giả sử V là một lân cận mở của K và ( )0C Vj Î , 0 1j£ £ và 1j = trên K . Khi đó ( ) ( ) lim ( ) lim sup ( ) j jj j V Km m j m j m ® ¥ ® ¥ ³ = ³ . Từ đó ( ) lim sup ( ) jj K Km m ® ¥ ³ . )c Viết E IntE E= È ¶ . Khi đó ( ) (int ) lim inf (int ) lim inf ( ) j jj j E E E Em m m m ® ¥ ® ¥ = £ £ . Mặt khác ( ) lim sup ( ) lim sup ( ) j jj j E E Em m m ® ¥ ® ¥ ³ ³ . Từ đó ( ) lim sup ( ) jj E Em m ® ¥ ³ Þ ( ) lim ( ) jj E Em m ® ¥ = . W 12 Mệnh đề 1.3.3. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( ) loc u v PSH L¥Î WÇ W sao cho , 0u v £ trên W và lim ( ) 0 z u z ® ¶W = . Giả sử T là ( 1, 1)n n- - - dòng dương, đóng trên W. Khi đó c cvdd u T udd v T W W Ù £ Ùò ò . Đặc biệt, nếu lim ( ) 0 z v z ® ¶W = thì c cvdd u T udd v T W W Ù = Ùò ò . 1.4. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor Định lý 1.4.1. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Khi đó { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . (1.1) Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ , nghĩa là với mọi 0e > tồn tại K WÐ sao cho \z K" Î W thì ( ) ( )u z v z e- ³ - . Hơn nữa khi thay u bởi , > 0u d d+ thì { } { }u v u vd+ < <Z khi 0d ] . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên { }u vd+ < thì cho 0d ] suy ra (1.1) đúng trên { }u v< . Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z d ® ¶W - ³ > . Vậy { }u v< WÐ . )a Giả sử ,u v là các hàm liên tục. Khi đó { }u v¢W = < là tập mở, ,u v liên tục trên ¢W và u v= trên ¢¶W . Với 0e > , đặt max{ , }u u v e e= + . Từ giả thiết lim inf( ( ) ( )) z u z v z d ® ¶W - ³ suy ra ( ) ( )u z v z d e- > - hay 13 ( ) ( ) ( )u z v z v ze d+ ³ + > với z gần biên ¶W. Vậy ( )u u z e e= + gần biên ¶W và u v e ] trên ¢W . Theo công thức Stokes ta có ( ) ( ) c n c ndd u dd u e ¢ ¢W W =ò ò , hay { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u e < < =ò ò . Vì u v e ] nên ( ) ( )c n c ndd u dd v e ® . Vậy ta có { } { } { } 0 ( ) lim inf ( ) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u ee® < < < £ =ò ò ò . )b Giả sử ,u v tùy ý và w là miền sao cho { }/ 2u v d w£ + WÐ Ð . Tồn tại hai dãy j u và k v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u và v sao cho j k u v³ trên w¶ với mọi ,i k . Có thể coi 1 , 0 j k u v- £ £ . Lấy 0e > và giả sử G Ì W là tập mở sao cho ( , ) n C G eW < , ,u v là các hàm liên tục trên \ GW . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v j= trên \F G= W . Ta có { } { } ( ) lim ( ) j c n c n j u v u v dd v dd v ® ¥ < < =ò ò . Nhưng { } { } j j u v u Gj< Ì < È và vì { } j u j< là tập mở nên { } { } { } ( ) ( ) ( ) lim ( ) j j j c n c n c n c n kk Gu v u u v dd v dd v dd v dd v j e ® ¥ < < < £ + £ +ò ò ò ò , vì ( , ) n C G eW < và ( )c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v . 14 Từ { } { } j j u u v Gj< Ì < È và { } { } j j k u v u v< Ì < suy ra { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) j j j k c n c n c n c n k k k k Gu u v u v dd v dd v dd v dd v j e < < < £ + £ +ò ò ò ò . Áp dụng )a vào các hàm liên tục j u và k v ta thu được { } { } ( ) ( ) j k j k c n c n k j u v u v dd v dd u < < =ò ò . Do đó { } { } ( ) lim inf lim inf ( ) 2 j j c n c n jj k u v u v dd v dd u e ® ¥ ® ¥ < < £ +ò ò { } lim sup ( ) 2 j c n jj u v dd u e ® ¥ £ £ +ò . Hơn nữa { } { } ( ) ( ) j j c n c n j j u v u v F dd u dd u e £ £ Ç £ +ò ò và do { }u v F£ Ç là tập compact và { } { } j u v u v£ Ì £ nên ta có { } { } { } lim sup ( ) ( ) ( ) j c n c n c n jj u v F u vu v F dd u dd u dd u ® ¥ £ Ç ££ Ç £ £ò ò ò . Do 0e > tùy ý nên ta được { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < £ £ò ò . Từ đó với mọi 0h > ta có 15 { } { } { } ( ) ( ( )) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u h h h h + < + £ + £ £ + =ò ò ò . Nhưng { } { }u v u vh+ < <Z và { } { }u v u vh+ £ <Z khi 0h ] . Do đó { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . W Hệ quả 1.4.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử W là miền bị chặn trong n£ và , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ , ( ) ( ) c n c ndd u dd v£ trên W. Khi đó u v³ trên W. Chứng minh. Đặt 2 ( )z z My = - , với M được chọn đủ lớn sao cho 0y < trên W. Giả sử { }u v sao cho { }u v ey< + ¹ Æ và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.4.1 ta có { } { } ( ) ( ( ))c n c n u v u v dd u dd v ey ey ey < + < + ³ +ò ò { } { } ( ) ( )c n n c n u v u v dd v dd ey ey e y < + < + ³ +ò ò { } { }( )( ) 4 !c n n n n u v dd v n u v ey e l ey < + ³ + < +ò { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u ey ey< + < + > ³ò ò và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u v£ trên W. W 16 Hệ quả 1.4.3. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ và { } ( ) 0c n u v dd u < =ò . Khi đó u v³ trên W. Chứng minh. Tương tự như Hệ quả 1.4.2. Giả sử { }u v< ¹ Æ. Khi đó có 0e > sao cho { }u v ey< + ¹ Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú ý rằng do 0y < nên { } { }u v u vey< + Ì < . Khi đó như chứng minh của Hệ quả 1.4.2 ta sẽ gặp mâu thuẫn: { } { } 0 ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u ey< < + = ³ò ò { } { }( )( ) 4 ! 0c n n n n u v dd v n u v ey e l ey < + ³ + ò . W 17 Chương 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chương này trình bày nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp Cegrell. Kết quả chính của chương là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing. Đó là tổng quát hóa Bổ đề 5.4 trong [3] và Bổ đề 3.4 trong [7]. 2.1. Các lớp Cegrell (xem [3] và [4]) Ký hiệu W là miền siêu lồi bị chặn trong n £ . - W( )PSH là lớp các hàm đa điều hòa dưới âm trên W. Ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1.1. ( )0 0( ) ( ) ( ) : lim ( ) 0, n c z PSH L z ddj j j- ¥ ® ¶W W ì üï ïï ï= W = Î W Ç W = < + ¥í ý ï ïï ïî þ òE E , { 0( ) ( ) : zj -= W = Î W " Î WE E P SH tồn tại lân cận w của 0 z , 0j j Î E , j ]j j trên W sao cho sup ( ) c n j j dd j W üïï< + ¥ ý ïïþ ò {( ) ( ) : ( ) ( ) 0a a c nu dd u E= W = Î W =E E E với mọi E là tập đa cực trong }W . Trong [4], Cegrell đã chứng minh rằng { }( ) ( ), , ( ) :K KPSH K trên KÐj j j j -= W = Î W " W $ Î W =E E F . 18 Định nghĩa 2.1.2. ( )0 1 ( ) ( ) : ( ) , sup n c j j j PSH dd]j j j j- ³ W ì üï ïï ï= W = Î W $ W ' < + ¥í ý ï ïï ïî þ òF F E . 2.2. Sự hội tụ theo dung lượng Định nghĩa. 2.2.1. n C - Dung lượng theo nghĩa Bedford và Taylor của E đối với W được xác định bởi ( ) ( , ) sup ( ) : ( ), 1 0c n n n E C E C E dd u u PSH u ì üï ïï ï= W = Î W - £ £í ý ï ïï ïî þ ò . với mọi tập hợp Borel E trong W. Trong [2], Bedford và Taylor đã chứng minh * , ( ) ( ) n c n E E C E dd h W = ò , ở đó * ,E h W là chính qui hóa trên của hàm cực trị tương đối ,E h W đối với E , tức là {, ( ) sup ( ) : ( ), 1Eh z u z u PSH u - W = Î W £ - trên }E . Các khái niệm sau được tham khảo trong [9]. Định nghĩa 2.2.2. Dãy hàm j u trên W được gọi là hội tụ tới một hàm u theo n C - dung lượng trên E Ì W nếu với mọi 0d > , ta có: { }( ): ( ) ( ) 0n jC z E u z u z dÎ - > ® khi .j ® ¥ 19 Định nghĩa 2.2.3. Họ các độ đo dương { }am trên W được gọi là liên tục tuyệt đối đều đối với n C - dung lượng trong E Ì W nếu với mỗi 0e > tồn tại 0d > sao cho với mỗi tập con Borel F EÌ với ( ) n C F d< thì ( )F a m e< xảy ra với mọi a . Ta viết n C a m = trong E đều đối với a . Định nghĩa 2.2.4. Cho { } 1,..., ( , ) j j j p A w n = = là tập con hữu hạn của ¡ +W´ . Hàm Green đa phức (theo Lelong) với các cực trong A được xác định bởi : { }( )( ) sup ( ) : Ag A z u z u= Î L , trong đó { }( ) : ( ) log 0 (1) , 1,..., .A j j ju PSH u z z khi z j pn w w -= Î W - - £ ® =L Đặt { } 1,..., 1 ˆ( ) , . p n j j j p j A An n w = = = =å Định nghĩa 2.2.5. lim ( ) ( ) z u z v z a ® ¶W é ù- ³ê úë û nếu với mỗi 0e > đều tồn tại một tập compact K trong W sao cho ( ) ( )u z v z a e- ³ - với ( ) { }\z K uÎ W Ç > - ¥ và ( )v z = - ¥ với ( ) { }\z K uÎ W Ç = - ¥ . Định lý 2.3.6. (Nguyên lý so sánh của Xing ([9]). Cho n£WÌ là một tập con mở, bị chặn và , ( )u v PSH L¥Î Ç W thỏa mãn: lim ( ) ( ) 0 z u z v z ® ¶W é ù- ³ê úë û . Khi đó với 1r ³ và mọi ( ) j PSHw Î W với 0 1, 1,2,..., j j nw£ £ = ta có { } { } 1 12 1 ( ) ... ( )( ) ( !) n c c c n n u v u v v u dd dd r dd v n w w w < < - Ù Ù + -ò ò 20 { } 1 ( )( ) .c n u v r dd uw < £ -ò 2.3. Một vài định lý hội tụ Để nghiên cứu sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo n C - dung lượng, ta cần một số bổ đề sau: Bổ đề 2.3.1. Cho , ( )u v PSH L¥Î Ç W sao cho u v£ trên W và lim ( ) ( ) 0 z u z v z ® ¶W é ù- =ê úë û . Khi đó 1 ( ) (1 )( ) , k k c cv u dd T k v u dd u Tw w - W W - Ù £ - - Ùò ò với mọi ( ), 0 1PSHw wÎ W £ £ với mọi dòng dương, đóng T . Chứng minh. Trước tiên, ta giả sử , ( )u v PSH L¥Î Ç W , u v£ trên W và u v= trên \ KW , K Ð W. Áp dụng công thức Stokes ta có: ( ) ( ) ( 1)k c k cv u dd T v u dd Tw w W W - Ù = - - Ùò ò ( 1) ( )c kdd v u Tw W = - - Ùò ( 1) (1 ) ( ) ( )ck k d v u d v u Tw W = - - - - Ù - Ùò 1(1 )( ) ( )k ck v u dd u v Tw - W + - - - Ùò 1 (1 )( ) ( ) k ck v u dd u v Tw - W £ - - - Ùò 21 1 (1 )( ) . k ck v u dd u Tw - W £ - - Ùò Trong trường hợp tổng quát, với mỗi 0e > , đặt max( , )v u v e e= - . Khi đó v vZ e trên , v u e W ³ trên W và v u e = trên \ KW với K Ð W. Do đó 1( ) (1 )( ) .k c k cv u dd T k v u dd u T e e w w - W W - Ù £ - - Ùò ò Vì 0 v u v uZ e £ - - khi 0]e , nên cho 0]e , ta nhận được 1( ) (1 )( ) .k c k cv u dd T k v u dd u Tw w - W W - Ù £ - - Ùò ò W Bổ đề 2.3.2. Cho , ( )u v PSH L¥Î Ç W sao cho u v£ trên W và lim ( ) ( ) 0 z u z v z ® ¶W é ù- =ê úë û . Khi đó với 1 ,k n£ £ ta có: 1 1 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! ( )( ) ... , k c c c k c c n k n c k c c k n v u dd dd r dd v dd dd k r dd u dd dd w w w w w w w w + W W + W - Ù Ù + - Ù Ù Ù £ - Ù Ù Ù ò ò ò với mọi 1 1 ,..., ( ), 0 1, 1,..., ; ,..., k j k n PSH j kw w w w w + Î W £ £ " = Î E và với mọi 1.r ³ Chứng minh. Để đơn giản, ta đặt 1 ... .c c k n T dd ddw w + = Ù Ù Giả sử , ( )u v PSH L¥Î Ç W , u v£ trên W và u v= trên \ KW , K Ð W Áp dụng Bổ đề 2.3.1 ta nhận được 1 ( ) ...k c c n v u dd ddw w W - Ù Ù £ò 1 1 1 ( ) ...k c c c k k v u dd dd dd u Tw w- - W £ - Ù Ù Ù Ùò 22 1 1 ! ( ) ( )c c kk v u dd dd u Tw - W £ - Ù Ùò 1 1 1 0 ! ( ) ( ) ( ) k c c i c k i i k v u dd dd u dd v Tw - - - =W é ù ê ú£ - Ù Ù Ù ê ú ë û åò 1 1 1 0 ! ( ) ( ) ( ) ( ) k c c i c k i i k r dd v u dd u dd v Tw - - - =W é ù ê ú= - - Ù Ù Ù ê ú ë û åò 1 1 1 0 ! ( ) ( ) ( ) ( ) k c c i c k i i k r dd v u dd u dd v Tw - - - =W é ù ê ú= - - Ù Ù Ù ê ú ë û åò 1 ! ( ) ( ) ( ) .c k c kk r dd u dd v Tw W é ù= - - Ùê úë ûò Trong trường hợp tổng quát, với mỗi 0e > đặt max( , )v u v e e= - . Khi đó v vZ e trên W, v u e ³ trên W và v u e = trên \ KW với K Ð W. Do đó ( )1 1 1 ( ) ... ( ) ! k k c c c n v u dd dd r dd v T k e e w w w W W - Ù Ù + - Ùò ò 1 ( )( ) .c kr dd u Tw W £ - Ùò Vì 0 v u v uZ e £ - - , ( )c kdd v T e Ù hội tụ yếu đến ( )c kdd v TÙ khi 0]e và 1 r w- nửa liên tục dưới , nên cho 0]e ta nhận được ( ) ( )( )1 1 1 ... ! kk c c c n v u dd dd r dd v T k w w w W W - Ù Ù + - Ùò ò ( )( )1 . k cr dd v Tw W £ - Ùò W Mệnh đề 2.3.3. 23 )a Cho ,u v Î F sao cho u v< trên W. Khi đó với 1 ,k n£ £ 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! k k c c c c c n k n v u dd dd r dd v dd dd k w w w w w + W W - Ù Ù + - Ù Ù Ùò ò 1 1 ( )( ) ... ,c k c c k n r dd u dd ddw w w + W £ - Ù Ù Ùò với mọi 1 ( ), 0 1, 1,..., ; ,..., j j k n PSH j kw w w w + Î W £ £ = Î F và mọi 1.r ³ )b Cho ,u v Î E sao cho u v£ trên W và u v= trên \ KW với K Ð W nào đó. Khi đó với 1 ,k n£ £ ta có: 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! k c c c k c c n k n v u dd dd r dd v dd dd k w w w w w + W W - Ù Ù + - Ù Ù Ùò ò 1 1 ( )( ) ... ,c k c c k n r dd u dd ddw w w + W £ - Ù Ù Ùò với mọi 1 ( ), 0 1, 1,..., ; ,..., j j k n PSH j kw w w w + Î W £ £ = Î E và với mọi 1.r ³ Chứng minh. )a Cho 0 , j u Î E j u u] và 0 , j v Î E j v v] như trong định nghĩa của lớp F . Bằng cách thay j v bởi max( , ) j j u v , ta có thể giả sử j j u v£ với 1.j ³ Theo Bổ đề 2.3.2 ta có: 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! k c c c k c c j t n j k n v u dd dd r dd v dd dd k w w w w w + W W - Ù Ù + - Ù Ù Ùò ò 1 1 ( )( ) ...c k c c t k n r dd u dd ddw w w + W £ - Ù Ù Ùò (2.1) với 1.t j³ ³ Theo Mệnh đề 5.1 trong [4], cho t ® ¥ trong bất đẳng thức (2.1) ta được 24 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! k c c c k c c j n j k n v u dd dd r dd v dd dd k w w w w w + W W - Ù Ù + - Ù Ù Ùò ò 1 1 ( )( ) ...c k c c k n r dd u dd ddw w w + W £ - Ù Ù Ùò với 1.j ³ Lại theo Mệnh đề 5.1 trong [4], cho j ® ¥ ta có điều phải chứng minh. )b Cho , WG là các tập con mở sao cho WK GÐ Ð Ð .W. Theo chú ý sau Định nghĩa 4.6 trong [4] ta có thể chọn một hàm v%Î F sao cho v v%³ và v v%= trên W. Đặt : ê , ê \ . u tr n G u v tr n G % % ìïï= í ï Wïî Vì u v v%= = trên W \ K nên ta có ( ).u PSH% -Î W Dễ thấy ,u u v%% %Î £F và u u%= trên W. Theo )a ta có : 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! k c c c k c c n k n v u dd dd r dd v dd dd k w w w w w + W W - Ù Ù + - Ù Ù Ùò ò% %% 1 1 ( )( ) ... .c k c c k n r dd u dd ddw w w + W £ - Ù Ù Ùò % Vì u v= %% trên \ GW nên ta có 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! k c c c k c c n k n W W v u dd dd r dd v dd dd k w w w w w + - Ù Ù + - Ù Ù Ùò ò% %% 1 1 ( )( ) ... .c k c c k n W r dd u dd ddw w w + £ - Ù Ù Ùò % Do ,u u v v%%= = trên W và u v= trên \ ,KW nên ta nhận được 25 1 1 1 1 ( ) ... ( )( ) ... ! k c c c k c c n k n v u dd dd r dd v dd dd k w w w w w + W W - Ù Ù + - Ù Ù Ùò ò 1 1 ( )( ) ... .c k c c k n r dd u dd ddw w w + W £ - Ù Ù Ùò Mệnh đề 2.3.4. Cho ,u v Î F sao cho u v£ trên W. Khi đó: 1 1 1 ( ) ... ( ) ( ) ( ) ! n c c c n c n n v u dd dd dd u dd v n w w w W W é ù- Ù Ù £ - -ê úë ûò ò với mọi ( ), 1 0, 1,2,..., . j j PSH j nw wÎ W - £ £ = Chứng minh. Mệnh đề được suy ra từ Mệnh đề 2.3.3 với , 1k n r= = và với j w được thay thế bằng 1 j w + . W Định lý 2.3.5. Cho , j u u Î F sao cho j u u£ với 1.j ³ Giả sử 1 sup ( )c n j j dd w ³ W < + ¥ò và ( ) ( ) 0 c n c n j E dd u dd u- ® khi j ® ¥ với mọi .E Ð W Khi đó j u u® theo n C - dung lượng trên mỗi E Ð W khi .j ® ¥ Chứng minh. Cho ТW W và 0.d > Đặt: { } { }: :j j jA z u u z u ud d¢ ¢= Î W - ³ = Î W - ³ Ta chứng minh ( ) 0 n j C A ® khi .j ® ¥ Do tính tựa liên tục của u và j u , với 0e > cho trước, tồn tại tập mở G Ì W sao cho ( )nC G e< và \j G u W , \ G u W liên tục. Ta có: { }: ,j j jA B z G u u d= È Î - ³ trong đó { }\ :j jB z G u u d¢= Î W - ³ là các tập hợp compact trong W và 26 lim ( ) lim ( ) n j n jj j C A C B ® ¥ ® ¥ £ + e . Ta sẽ chứng minh lim ( ) 0 n jj C B ® ¥ = . Thật vậy, theo Mệnh đề 2.3.4 ta có: *( ) ( ) j j c n n j B B C B dd h= ò *1 ( ) ( ) j j n c n j Bn B u u dd h d £ -ò *! ( ) ( ) ( ) j c n c n B jn n h dd u dd u d W é ù£ - -ê úë ûò \ ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c n c n c n c n j jn K K n dd u dd u h dd u dd u d ¢W W ì üï ïï ïï ïé ù£ - + - +í ýê úë ûï ïï ïï ïî þ ò 1 \ ! ( ) ( ) sup sup ( ) ( ) .c n c n c n c n j jn K j K n dd u dd u h dd u dd u d ¢W ³ W W W ì üé ùï ïï ïï ïê ú£ - + +í ýê úï ïï ê úïë ûï ïî þ ò ò Vì lim ( ) 0 z h z d ¢W® W = nên tồn tại K Ð W sao cho: \ 1 ! sup sup ( ) ( ) .c n c n jn K j n h dd u dd u e d ¢W W ³ W W é ù ê ú+ <ê ú ê úë û ò ò Theo giả thiết ! ( ) ( )c n c n jn K n dd u dd u e d - < với 0 j j> . Do vậy ( ) 2 n j C B e< với 0 .j j> Vậy lim ( ) 0 n jj C B ® ¥ = và định lý được chứng minh. W Mệnh đề 2.3.6. Cho ( ) j g A là hàm Green đa cực trên W sao cho: 27 { }1ˆ , ..., j j j j p A w w= ® ¶W và 1 1 1 sup ( ) sup ( ) .j p j n j kk j j An n = ³ ³ = < + ¥å Khi đó ( ) 0 j g A ® khi j ® ¥ theo n C - dung lượng. Chứng minh. Theo giả thiết, ta có: 1 1 sup( ( )) ( ) sup ( )c n j j j j dd g A An ³ ³ W = < + ¥ và ( ( ) 0c n j K dd g A ® khi j ® ¥ với .K Ð W Theo Định lý 2.3.5 ta có ( ) 0 j g A ® khi j ® ¥ theo nC - Dung lượng. Phần này kết thúc với tiêu chuẩn về tính đa cực. Định lý 2.3.7. Cho j u Î F sao cho 1 sup ( )c n j j dd u ³ W < + ¥ò . Khi đó tồn tại một hằng số 0A > sao cho: *) ( lim ) , jj i u ® ¥ Î F { }*) : ( lim ) ( ) ,n j nj A ii C z u z t t® ¥ æ ö ÷ç Î W < - £÷çè ø { }) : lim ( )jjiii z u z® ¥Î W = - ¥ là tập đa cực. Chứng minh. )i Với mỗi 1,j ³ đặt { }1sup , ,... .j j jv u u += Theo [6], * j v Î F và * 1 1 sup ( ) sup ( ) .c n c n j j j j dd v dd u ³ ³ W W £ < + ¥ò ò 28 Theo [4] ta có * j v v] Î F .. )ii Theo Mệnh đề 3.1 trong [6] ta có: { } { }*: ( lim ) ( ) : ( )n j njC z u z t C z v z t® ¥ æ ö ÷ç Î W < - = Î W < -÷çè ø 2 ( ) , n c n n n dd v A t t W£ = ò trong đó 2 ( ) .n c nA dd v W = ò )iii Theo [2] ta có: { }: lim ( ) : * ( ) 0n j n j C z u z C z v z ® ¥ ì üï ïï ïÎ W = - ¥ = Î W = - ¥ =í ý ï ïï ïî þ . W 2.4. Một vài tính chất của các lớp Cegrell và ứng dụng Bổ đề 2.4.1. Cho m là độ đo Borel trên W và :f ¡W® là hàm đo được trên .W Khi đó các khẳng định sau là tương đương : ) ( ) 0i Em = với mọi tập hợp Borel { }0 ,E fÌ ¹ ) 0 E ii fdm =ò với mọi tập hợp Borel E trong W. Chứng minh. ) )i iiÞ Suy ra từ { } { }\ 0 0 0. E E f E f fd fd fdm m m = Ç = = + =ò ò ò ) )ii iÞ Ta chỉ cần chứng minh 0m = trên mỗi { }0 .X fd d= > > Theo Định lý phân hoạch Hahn, tồn tại các tập con đo được X d + và X d - của X d sao cho ,X X X X X d d d d d + - + -= È Ç = Æ và 0m ³ trên X d + , 0m£ trên X d - . Ta có: 29 ( ) 0, X X fd d m d d m + + £ =ò và ( ) 0. X X fd d m d d m - - ³ =ò Từ đó ( ) ( ) 0X X d d m m+ -= = . Do đó, ta có 0m = trên X d . W Định lý 2.4.2. Cho 1 1 , , ..., n u u u - Î E , ( )v PSH -Î W và 1 1 ... .c c n T dd u dd u - = Ù Ù Khi đó { } { } max( , )c c u v u v dd u v T dd u T > > Ù = Ù . Chứng minh. )a Trước tiên, ta chứng minh với 0v aº < . Theo chú ý sau Định nghĩa 4.6 trong [4], không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 1 1 , , ..., n u u u - Î F . Sử dụng Định lý 2.1 trong [4], ta có thể tìm được 0 0 ( ), ; ( ), , 1,..., 1.j j j j k k k u C u u u C u u k nÎ Ç W Î Ç W = -E E] ] Vì { }ju a> mở nên ta có: { } { } max( , ) j j c j c j j ju a u a dd u a T dd u T > > Ù = Ù . Do đó, từ { } { }ju a u a> Ì > suy ra { } { } max( , )c j c j j ju a u a dd u a T dd u T > > Ù = Ù , trong đó 1 1 ...c j c j j n T dd u dd u - = Ù Ù . Theo Hệ quả 5.2 trong [4], ta có: 30 max( , 0) max( , ) max( , 0) max( , )c j c j u a dd u a T u a dd u a T- Ù ® - Ù , max( , 0) max( , 0)c j c j u a dd u T u a dd u T- Ù ® - Ù . Do đó, max( , 0) max( , ) 0 c cu a dd u a T dd u Té ù- Ù - Ù =ê úë û . Sử dụng Bổ đề 2.4.1, ta có: max( , ) c cdd u a T dd u TÙ = Ù trên { }u a> )b Giả sử S ( )v P H -Î W . Vì { } { } a Q u v u a v -Î > = È > > , nên ta chỉ cần chứng minh: max( , ) c cdd u v T dd u TÙ = Ù trên { }u a v> > với mọi a Q -Î . Vì max( , )u v Î E nên theo )a ta có: { } { }max( , ) max( , ) max( , ) max(max( , ), )c c u v a u v a dd u v T dd u v a T > > Ù = Ù (2.2) { }max( , ) max( , , )c u v a dd u v a T > = Ù (2.3) { } { } max( , )c c u a u a dd u T dd u a T > > Ù = Ù . (2.4) Vì max( , , ) ax( , )u v a m u a= trên tập hợp mở { }a v> ta có { } { } max( , , ) max( , )c c a v a v dd u v a T dd u a T > > Ù = Ù . Vì { } { } { } { }, , max( , )u a v u a a v u v a> > Ì > > > và (2.2), (2.3),(2.4) nên { } { } max( , )c c u a v u a v dd u a T dd u T > > > > Ù = Ù . 31 Mệnh đề 2.4.3. )a Cho ,u v Î E sao cho { }( ) ( ) 0c ndd u u v= = - ¥ = . Khi đó ( ) ( ) ( max( , )) 1 ( ) 1 ( )c n c n c n u v u v dd u v dd u dd v > < ³ + trong đó 1 E là hàm đặc trưng của E . )b Cho m là độ đo dương triệt tiêu trên mọi tập hợp con đa cực của W. Giả sử ,u v Î E sao cho ( ) , ( ) c n c ndd u dd vm m³ ³ . Khi đó ( max( , ))c ndd u v m³ . Chứng minh. )a Với mỗi 0e > , đặt { } { }\A u v u ve e= = - = = - ¥ . Vì A Ae d fÇ = với e d¹ nên tồn tại 0 i ]e sao cho ( ) ( ) 0 j c ndd u A e = với 1j ³ . Mặt khác, vì { }( ) ( ) 0c ndd u u v= = - ¥ = nên ta có { }( ) ( ) 0c n jdd u u v e= - = với 1j ³ . Theo Địn