Luận văn Nguyên lý so sánh đối với toán tử monge - Ampère phức trong các lớp E (W) và E (W)

}c n n n E C E C E dd u u PSH u= W = Î W - £ £ò . Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg ( ) n C E là hữu hạn nếu E WÐ . Mệnh đề sau cho một số tính chất của dung lượng tương đối. Mệnh đề 1.4.2. )i Nếu 0 ( , )z RWÌ B thì 2( , ) 4 ! ( )n n n n C E n R El-W ³ , ở đó ( ) n El là độ đo Lebesgue của nE Ì WÌ £ . )ii Nếu 1 2 1 2 E EÌ Ì W Ì W thì ( ) ( )1 2 2 1, ,n nC E C EW £ W . )iii ( ) 1 1 , , n j n j j j C E C E ¥¥ = = æ ö ÷ç ÷W £ Wç ÷ç ÷çè ø åU . 11 )iv Nếu 1 2 nE wÌ W Ì WÐ Ð £ thì 1 1 2 2 ( , ) ( , , ) ( , ) n n C E c C EwW £ W W W , ở đó 1 ( , , )c w W W là hằng số. )v Nếu j E Ì W và j E E- thì lim ( ) ( ) n j nj C E C E ® ¥ = . Mệnh đề 1.4.3. Nếu ( )v PSHÎ W và K GÐ thì lim ( { }, ) 0 nj C K v j ® ¥ Ç < - W = . Mệnh đề 1.4.4. Giả sử { } ( ) ( ) j loc v PSH L¥Ì W Ç W là dãy giảm hội tụ điểm trên W tới ( ) ( ) loc v PSH L¥Î WÇ W . Khi đó với mọi K WÐ và 0d > ta có lim ( { }, ) 0 n jj C K v v d ® ¥ Ç > + W = . Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Định lí 1.4.5. Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở nWÌ £ . Khi đó với mọi 0e > tồn tại tập mở G Ì W với ( , ) n C G eW < và v liên tục trên \ GW . Chứng minh. Lấy tập mở bất kì w WÐ . Chỉ cần chứng minh có tập mở G wÌ với ( , ) n C G eW < và v liên tục trên \ Gw . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy { }, , j j j w w wW - WÐ và các tập mở j j G wÌ sao cho ( , ) 2 n j j C G e W < và v liên tục trên mỗi \ j j Gw . Đặt 1 j j G G ¥ = = U . Khi đó G Ì W là tập mở và 1 ( , ) ( , ) n n j j C G C G e ¥ = W £ W <å . 12 và với mọi tập mở U WÐ ta có \ \ j j U G GwÌ với j nào đó. Vậy v liên tục trên \U G . Do đó v liên tục trên \ GW . Đặt 1 { }G v jw= Ç < - , ở đây j được chọn sao cho 1 ( , ) 2n C G e W < (do Mệnh đề 1.4.3). Đặt v =% max{ , }v j- và giả sử { } k v là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục xác định trên lân cận của w giảm tới v%. Do Mệnh đề 1.4.4 với 2, 3,...j = tồn tại ( )k j sao cho với ( ) { } k j G v vw d= Ç > +% , ta có ( , ) 2 j n j C G e-W < . Đặt 1j jj G G ¥ = = U . Khi đó ( , )nC G eW < và trên \ Gw ta có ( ) 0 k j v v d£ - £% . Vậy ( )k j v v® % đều trên \ Gw , do đó v% liên tục trên \ Gw . Nhưng trên \ Gw thì j v j³ - . Vậy v v= %. Do đó v liên tục trên \ Gw . Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor Định lý 1.5.1. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Khi đó { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . (1.1) Chứng minh. Theo giả thiết lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Điều này có nghĩa là với mọi 0e > tồn tại K WÐ sao cho \z K" Î W thì ( ) ( )u z v z e- ³ - . Hơn nữa khi thay u bởi , > 0u d d+ , thì { } { }u v u vd+ < <Z khi 0d ] . Nếu 13 bất đẳng thức (1.1) đúng trên u vd+ < thì cho 0d ] suy ra (1.1) đúng trên { }u v . Vậy { }u v< WÐ . )a Giả sử ,u v là các hàm liên tục. Khi đó { }u v¢W = < là tập mở, ,u v liên tục trên ¢W và u v= trên ¢¶W . Với 0e > , đặt { }max ,u u ve e= + . Từ giả thiết lim inf( ( ) ( )) z u z v z d ® ¶W - ³ suy ra ( ) ( )u z v z d e- > - hay ( ) ( ) ( )u z v z v ze d+ ³ + > với z gần biên ¶W. Vậy ( )u u z e e= + gần ¶W và u v e ] trên ¢W . Theo công thức Stokes ta có ( ) ( )c n c ndd u dd u e ¢ ¢W W =ò ò hay { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u e < < =ò ò . Vì u v e ] nên ( ) ( ) c n c ndd u dd v e ® . Vậy { } { } { } 0 ( ) lim inf ( ) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u ee® < < < £ =ò ò ò . )b Giả sử ,u v tùy ý và w là miền sao cho { }/ 2u v d w£ + WÐ Ð . Tồn tại hai dãy j u và k v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u và v sao cho j k u v³ trên w¶ với mọi ,i k . Có thể coi 1 , 0 j k u v- £ £ . Lấy 0e > và giả sử G Ì W là tập mở sao cho ( ),nC G eW < , ,u v là các hàm liên tục trên \ GW . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v j= trên \F G= W . Ta có 14 { } { } ( ) lim ( ) j c n c n j u v u v dd v dd v ® ¥ < < =ò ò . Nhưng { } { }j ju v u Gj< Ì < È và vì { }ju j< là tập mở nên { } { } { } ( ) ( ) ( ) lim ( ) j j j c n c n c n c n kk Gu v u u v dd v dd v dd v dd v j e ® ¥ < < < £ + £ +ò ò ò ò , vì ( ),nC G eW < và ( ) c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v . Từ { } { }j ju u v Gj< Ì < È và { } { }j j ku v u v< Ì < suy ra { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) j j j k c n c n c n c n k k k k Gu u v u v dd v dd v dd v dd v j e < < < £ + £ +ò ò ò ò . Áp dụng )a vào các hàm liên tục j u và k v ta thu được { } { } ( ) ( ) j k j k c n c n k j u v u v dd v dd u < < =ò ò . Do đó { } { } ( ) lim inf lim inf ( ) 2 j k c n c n jj k u v u v dd v dd u e ® ¥ ® ¥ < < £ +ò ò { } lim sup ( ) 2 j c n jj u v dd u e ® ¥ £ £ +ò . Hơn nữa { } { } ( ) ( ) j j c n c n j j u v u v F dd u dd u e £ £ Ç £ +ò ò 15 và do { }u v F£ Ç là tập compact và { } { }ju v u v£ Ì £ nên ta có { } { } { } lim sup ( ) ( ) ( ) j c n c n c n jj u v F u vu v F dd u dd u dd u ® ¥ £ Ç ££ Ç £ £ò ò ò . Do 0e > tùy ý nên ta được { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < £ £ò ò . Từ đó với mọi 0h > ta có { } { } { } ( ) ( ( )) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u h h h h + < + £ + £ £ + =ò ò ò . Nhưng { } { }u v u vh+ < <Z và { } { }u v u vh+ £ <Z khi 0h ] . Do đó { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . W Hệ quả 1.5.2. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W sao cho u v£ và lim ( ) lim ( ) 0 z z u z v z ® ¶W ® ¶W = = . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )c n c ndd v dd u W W £ò ò . Hệ quả 1.5.3. Cho nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Giả sử ( ) ( )c n c ndd u dd v£ trên W. Khi đó u v£ trên W. 16 1.6. Các lớp năng lượng Cegrell Định nghĩa 1.6.1 0 ( ) ( ) ( ) : lim ( ) 0, ( )c n z PSH L z dd x j j j- ¥ ® Î ¶W W ì üï ïï ïW = Î W Ç W = < + ¥í ý ï ïï ïî þ òE . { 0( ) ( ) :PSH zj -W = Î W " Î WE tồn tại lân cận w của 0 z , 0j j Î E , j j j] trên W sao cho sup ( )c n j j dd j W üïï< + ¥ ý ïïþ ò . { 0( ) ( ) : ( ), ;p j jPSHj j j jW = Î W $ Î WE E ] sup ( ) ( ) , 1p c n j j j dd pj W üïï- < + ¥ ³ ý ïïþ ò  . Định nghĩa 1.6.2 { 0( ) ( ) : { } ( ),j jPSHj j j jW = Î W $ Ì WF E ] , sup ( ) c n j j dd j W üïï< + ¥ ý ïïþ ò . { 0( ) ( ) : ), ;p j ju PSH u u uW = Î W $ Î WF E ] sup [1 ( ) ]( )p c n j j j u dd u W üïï+ - < + ¥ ý ïïþ ò . 17 CHƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP ( )F WT p VÀ ( )E W T p 2.1. Các lớp ( )F WT p và ( )E WT p Cho W là một miền siêu lồi trong n£ , tức là nó là tập mở, liên thông, bị chặn, và tồn tại ( )h PSH -Î W sao cho với mọi 0c < , { }: ( )z h z cÎ W < là tập compact tương đối trong W, trong đó ( )PSH - W là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm, T là dòng dương đóng song chiều ( , )q q trên W. Định nghĩa 2.1.1. Lớp Cegrell đa phức 0 ( )T WE liên kết với T là tập hợp: 0 ( ) ( ) ( ); lim ( ) 0, ( .) .T c q z SuppT PSH L z dd Tj j- ¥ ® ¶WÇ W ì üï ïï ïW = Î W Ç W = Ù < + ¥í ý ï ïï ïî þ òE Sử dụng cách chứng minh tương tự trong [8], ta dễ dàng chứng minh rằng lớp này là một nón lồi và 0 max( , ) ( )Tj y Î WE với mọi ( )PSHy -Î W và 0 ( )Tj Î WE . Trong mục này chúng ta giới thiệu các lớp ( )T p WE và ( )T p WF , tương tự với các lớp Cegrell và sẽ chỉ ra rằng toán tử Monge – Ampère hoàn toàn xác định trên các lớp đó. Định nghĩa 2.1.2. Với mỗi số thực 1p ³ ta định nghĩa ( )T p WE là tập hợp: 0 1 ( ) ( ); ( ) , sup ( )( ) .T T c q p j j j j PSH dd Tj j j j j- W³ ì üï ïï ïW = Î W $ W ' - Ù < + ¥í ý ï ïïþïî òE E ] 18 0 1 ( ) : ( ); ( ) , sup ( ) .T T c q p j j j PSH dd Tj j j j- W³ ì üï ïï ïW = Î W $ W ' Ù < + ¥í ý ï ïï ïî þ òF E ] Dễ dàng kiểm tra được 0 ( ) ( ) ( )T T T p p W Ì W Ì WE F E và sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 1 2 ( ) ( )T T p p W Ì WF F với mọi 2 1 p p£ . Chúng ta nhắc lại kết quả sau thường được dùng để chứng minh một số tính chất của các lớp được định nghĩa ở trên. Định lý 2.1.3 (xem [5]) Giả sử 0 , ( )Tu v Î WE . Nếu 1p ³ thì với 0 s q£ £ ta có ( ) ( ) ( )p c s c q su dd u dd v T- W - Ù Ù £ò ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , p s q s p q p qp c q p c q s p D u dd u T v dd v T + - + + W W £ - Ù - Ùò ò trong đó ( 1)( ) ,1 j q j s D e + -= và ( )( ) 1 , , 1 p s q s p s p D p p + - -= > . Chúng ta bắt đầu bằng việc chỉ ra rằng hai lớp đã được giới thiệu kế thừa một vài tính chất của lớp năng lượng 0 ( ).T WE Định lí 2.1.4. Các lớp ( )T p WE và ( )T p WF là các nón lồi. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng 0 ( )Tu v+ Î WE là đủ với mọi , ( )T p u v Î WE . Cho ( ) j j u và ( ) j j v là hai dãy giảm dần tới u và v tương ứng như trong Định nghĩa 2.1.2. Ta cần đánh giá ( ) ( ( ))p c q j j j j u v dd u v T W - - + Ùò Theo bất đẳng thức Minkowsky, chỉ cần đánh giá các đại lượng: 19 ( ) ( ) ( )p c s q s j j j u dd u ddv T- W - Ù Ùò và ( ) ( ) ( ) .p c s c q s j j j v dd u dd v T- W - Ù Ùò với mọi 0 s q< < . Sử dụng Định lý 2.1.3, ta có thể đánh giá các đại lượng cuối cùng bởi ( ) ( )p c q j j u dd u T W - Ùò và ( ) ( )p c q j j v dd v T W - Ùò . Vì các dãy trên là bị chặn đều theo định nghĩa của ( )T p WE , nên ta suy ra điều cần chứng minh.  Mệnh đề 2.1.5. Cho ( )T p u Î WE (tương ứng ( )T p WF ) và ( )v PSH -Î W , khi đó hàm số max( , ) ( )T p u vw = Î WE (tương ứng ( )T p Î WF ). Chứng minh. Cho ( ) j j u là một dãy giảm tới u như trong Định nghĩa 2.1.2 và lấy max( , ) j j u vw = . Dãy ( ) j w giảm tới w . Ta chỉ cần chứng minh rằng sup ( ) ( ) .p c q j j j dd Tw w W - Ù < + ¥ò Theo Định lý 2.1.3, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )p c q p c q j j j j dd T u dd Tw w w W W - Ù £ - Ùò ò 0, ( ) ( ) ( ) ( ) . p q p q p q p c q p c q p j j j j D u dd u T dd Tw w + + W W æ ö æ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç£ - Ù - Ù÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ò ò 20 Do đó 0, ( ) ( ) ( ) ( ) . p q p c q p c qp j j p j j dd T D u dd u Tw w + W W - Ù £ - Ùò ò Vế phải bị chặn đều vì ( )T p u Î WE , từ đó suy ra điều phải chứng minh.  Kết quả quan trọng của phần này là định lý sau, ở đó khẳng định rằng toán tử Monge – Ampere ( .)c qdd TÙ hoàn toàn xác định trên các lớp ( )T p WE và ( )T p WF . Định lý 2.1.6. Cho ( )T p u Î WE và ( ) j j u là một dãy các hàm đa điều hòa dưới, giảm dần tới u như trong Định lý 2.1.3. Khi đó ( )c q j dd u TÙ hội tụ yếu tới độ đo dương m và giới hạn này không phụ thuộc vào sự lựa chọn dãy ( ) j j u . Đặt ( ) .c qdd u T mÙ = Chứng minh. Lấy 1 0 ( ), sup{ ( ); }u z z Suppc d c£ Î W = ÎD và 0e > . Giả sử( ) j j r là dãy sao cho 1 0 j j r r - < < và ({ / 2}, ).c j j r dist u d< < W Đặt ( ) ( ) ( ), j r j j B u z u z r dVx x= +ò trong đó dV là độ đo Lebesgue trên hình cầu đơn vị B . Khi đó ta có ( ) ( ) . j c q c q r j dd u T dd u Tc c eÙ - Ù <ò B Hàm j r u là đa điều hòa dưới, liên tục trên { / 2} j u s< và j j r u u£ trên W. Đặt max{ ,2 } j j r j u u ud= +% . Khi đó dãy ( ) j j u% giảm dần tới hàm đa điều hòa dưới u% và 0 ( )T j u Î WE% theo Mệnh đề 2.1.5. 21 Hơn nữa, sử dụng kỹ thuật tương tự trong chứng minh trên, ta thu được 1 sup ( ) ( ) .p c q j j j u dd u T ³ W - Ù < + ¥ò % % Định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra sự tồn tại của lim ( ) ( ) .p c q j jj u dd u T ® ¥ W - Ùò % % Cho h là một hàm vét cạn trong 0 ( )T WE . Khi đó ta có ( ) ( ) lim ( ) ( )p c q p c q j jj u dd h T u dd h T ® ¥ W W - Ù = - Ùò ò% % , sup ( ) ( ) ( ) ( ) . p q p q p q p c q p c q o p j j D u dd u T h dd h T + + W W æ ö æ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç£ - Ù - Ù < + ¥÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ò ò% % Theo Dabbek – Elkhadhra [5], dãy các độ đo ( max( , ))c q j dd u k T- Ù% hội tụ yếu với mỗi k . Do đó ta chỉ cần kiểm tra đại lượng sau là đủ: ( ) ( max( , )) . j c q c q r j dd u T dd u k Tc cÙ - - Ùò % Vì j u% liên tục gần Suppc nên ( ) ( ax( , ))c q c q j j dd u T dd m u k Tc cÙ - - Ùò % { } { } ( ) ( )c q c q j j u k u k dd u T dd u Tc c £ - ³ - = Ù + Ùò ò % % % % { } { } ( max( , )) ( max( , ))c q c q j j u k u k dd u k T dd u k Tc c £ - ³ - - - Ù - - Ùò ò % % % % 22 { } { } ( ) ( max( , ))c q c q j j u k u k dd u T dd u k Tc c £ - £ - £ Ù + - Ùò ò % % % % { } sup [( ) ( max( , )) ]p c q c q j jp u k k dd u T dd u k T k c - ³ £ Ù + - Ùò % % % sup ( ) ( ) ( max( , )) ( max( , ))p c q p c q j j jp u dd u T u k dd u k T k c W £ - Ù + - - - Ùò % % % % 1 sup sup ( ) ( ) .p c q m mp m C u dd u T k c ³ W £ - Ùò % %  Định lý 2.1.7. Nếu 1 ( )Tu Î WE thì ( ) .c qu dd u T W Ù > - ¥ò Hơn nữa, nếu ( ), j v PSH -Î W ( ) j j v giảm dần tới u thì ( )c q j j v dd v T W Ùò hội tụ tới ( ) . c qu dd u T W Ùò Chứng minh. Vì 1 ( )Tu Î WE nên tồn tại một dãy 0 ( ) T j j u Ì E sao cho lim jj u u ® + ¥ = và sup ( ) .c q j j j u dd u Ta = - Ù < + ¥ò Ta sẽ chứng minh lim ( ) ( ) .c q c q j jj u dd u T u dd u T ® + ¥ W W Ù = Ùò ò Với mỗi k j³ và 0e > ta có: 23 ( ) ( )c q c q j j j k u dd u T u dd u T W W - Ù £ - Ù =ò ò { } { } ( ) ( ) j j c q c q j k j k u u u dd u T u dd u T e e³ - < - = - Ù + Ùò ò và { } ( ) j c q j k u u dd u T e³ - - Ùò { } max( , )( ) j c q j k u u dd u T e e ³ - = - - Ùò 1 1 1 ax( , )( max( , )) ( ) q q q c q c q j j k k m u dd u T u dd u Te e + + W W æ ö æ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç£ - - - Ù - Ù÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ò ò 1 1 01( ) 0. qq c q q j dd u T ee a + ®+ W æ ö ÷ç ÷ç£ Ù ¾ ¾ ¾®÷ç ÷çè ø ò Theo Định lý 2.1.6 ta nhận được: { } lim sup ( ) ( ) . j c q c q j k j k u u dd u T u dd u T e® + ¥ < - W - Ù £ - Ùò ò Vì j u- là nửa liên tục dưới nên lim inf ( ) ( ) .c q c q j k j k u dd u T u dd u T ® + ¥ W W - Ù ³ - Ùò ò Do đó với mọi j ta có lim ( ) ( ) .c q c q j k jk u dd u T u dd u T ® + ¥ W W Ù = Ùò ò Từ đó suy ra 24 lim ( )c q j jj u dd u T ® + ¥ W Ù ³ò lim lim ( ) ( )c q c q j kj k u dd u T u dd u T ® + ¥ ® + ¥ W W ³ Ù = Ùò ò limsup ( ) limsup lim ( )c q c q k j kjk k u dd u T u dd u T ® ¥® + ¥ ® + ¥ W W ³ Ù = Ùò ò lim ( ) .c q j jj u dd u T ® + ¥ W ³ Ùò Như vậy lim ( ) ( ) .c q c q j jj u dd u T u dd u T ® + ¥ W W Ù = Ùò ò (2.1) Khi ( ) k k v giảm dần tới u thì 1 ( ) T k v Î WE . Điều đó kéo theo max( , )( max( , )) ( ) .c q c q j k j k j j u v dd u v T u dd u T a W W Ù ³ Ù ³ -ò ò (2.2) Hơn nữa, 0 (max( , )) ( )T j k j N u v Î Ì WE và giảm dần tới k v nên theo đẳng thức (2.1), lim max( , )( ax( , )) ( ) .c q c q j k j k k kj u v dd m u v T v dd v T ® + ¥ W W Ù = Ùò ò (2.3) Cho j ® +¥ trong bất đẳng thức (2.2), kết hợp với các đẳng thức (2.1), và (2.3) ta nhận được ( ) ( ) .c q c q k k v dd v T u dd u T W W Ù ³ Ùò ò Như vậy lim inf ( ) ( ) .c q c q k k k v dd v T u dd u T ® ¥ W W Ù ³ Ùò ò (2.4) Tương tự, khi (max( , )) j k k N u v Î giảm dần tới j u thì 25 ( ) lim sup ( ) .c q c q j j k k k u dd u T v dd v T ® + ¥W W Ù ³ Ùò ò Do đó lim sup ( ) ( ) .c q c q k k k v dd v T u dd u T ® + ¥ W W Ù £ Ùò ò (2.5) Từ các bất đẳng thức (2.4) và (2.5) suy ra điều phải chứng minh.  Chú ý 2.1.8. Nếu 1 ( )Tu Î WE và ( ) j j u là dãy giảm tới u như trong Định nghĩa 2.1.2 thì ( )c q j j u dd u T W Ùò giảm tới ( )c qu dd u T W Ùò . 2.2. Các Định lý so sánh Chúng ta nhắc lại hai lớp ( )T WE và ( )T WF đã được giới thiệu trong [8]. Định nghĩa 2.2.1. Ta nói rằng ( )Tu Î WF nếu tồn tại một dãy 0 ( ) ( )T j j u Ì WE giảm dần tới u sao cho sup ( ) .c q j j dd u T W Ù < + ¥ò Một hàm số u sẽ thuộc ( )T WE nếu với mọi z Î W tồn tại một lân cận w của z và một hàm ( )Tv Î WF sao cho u v= trên w . Như là hệ quả, ta có ( ) ( ) ( )T T T p W Ì W Ì WF F E với mỗi 1p ³ . Tuy nhiên ta không biết bất kì mối quan hệ nào giữa ( )T p WE và ( ) T WE . Bổ đề 2.2.2. Cho , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W và U là một tập con mở của W sao cho u v= gần U¶ . Khi đó 26 ( ) ( )c q c q U U dd u T dd v TÙ = Ùò ò Chứng minh. Cho u e và v e là chính quy hóa của u và v theo thứ tự. Chọn U U¢Ð sao cho u v= gần U¢¶ . Nếu 0e > đủ nhỏ, ta có u ve e= gần U¢¶ và nếu lấy ( )Uc ¢Î D với 1c = gần { }u ve e¹ , thì 0 cdd c = trên { }u v e e ¹ . Do đó ta có 1( ) ( )c q c c qdd u T u dd dd u T e e e c c - W W Ù = Ù Ùò ò 1( )c c qv dd dd u T e e c - W = Ù Ùò ( ) .c qdd v T e c W = Ùò Suy ra ( ) ( ) .c q c qdd u T dd v Tc c W W Ù = Ùò ò Từ đó suy ra điều phải chứng minh.  Hệ quả 2.2.3. Cho , ( )Tu v Î WF . Giả sử tồn tại tập con mở U của W sao cho u v= gần U¶ . Khi đó ( ) ( ) .c q c q U U dd u T dd v TÙ = Ùò ò Chứng minh. Cho , ( )Tu v Î WF và 0 ( )Tw Î WE sao cho ( ) 0zw ¹ với mọi z . Khi đó max( , ) j u u jw= và max( , ) j v v jw= thuộc 0 ( )T WE và chúng bằng nhau trên U¶ . Kết luận của hệ quả được suy ra từ bổ đề trên. 27 Mệnh đề 2.2.4. (Xem [8]) Với , ( )Tu v Î WF sao cho u v£ trên W ta có ( ) ( ) .c q c qdd v T dd u T W W Ù £ Ùò ò Chứng minh. Cho ( ) j j u và ( ) j j v theo thứ tự là các dãy giảm đến u và v như trong Định nghĩa 2.2.1. Thay j v bởi max( , ) j j u v ta có thể giả sử j j u v£ với mọi j NÎ . Với 0 ( )Th Î WE và 0e > ta có ( ) ( )c q c q j j h dd v T h dd u T W W - Ù £ - Ùò ò { } ( ) lim sup ( )c q c q j j h h dd u T h dd u T e® + ¥W > - £ - Ù + - Ùò ò ( ) lim sup( ) .c q c q j j h dd u T dd u Te ® + ¥W £ - Ù + Ùò Cho 0e ® ta nhận được ( ) ( ) .c q c qh dd v T h dd u T W W - Ù £ - Ùò ò Cho h giảm dần tới 1- , ta được điều phải chứng minh.  Bổ đề 2.2.5. Cho ( )Tu Î WF . Khi đó tồn tại một dãy 0 ( ) ( ) ( )T j j u CÌ W Ç WE giảm dần tới u . Chứng minh. Sự tồn tại của dãy ( ) j j u được xây dựng tương tự như trong [4, Định lý 2.1]. Vấn đề còn lại là chỉ ra ( .) .c qdd T W Ù < + ¥ò 28 Thật vậy, khi j u u³ theo Mệnh đề 2.2.4 ta có ( ) ( ) .c q c q j dd u T dd u T W W Ù £ Ù < + ¥ò ò  2.3. Tính T C - tựa liên tục Bây giờ chúng ta thiết lập tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới thuộc ( )T WF và ( ) T p WE . Chúng ta cần nhắc lại một vài khái niệm đã cho trong [5] về dung lượng liên kết với T được xác định bởi ( , ) ( ) sup ( ) , ( ,[ 1, 0]) .c q T T K C K C K dd v T v PSH ì üï ïï ïW = = Ù Î W -í ý ï ïï ïî þ ò với mọi tập con compact K của W. Nếu E là một tập con của W, thì ta định nghĩa ( , ) sup{ ( ), T T C E C K KW = là tập con compact của }.E Định nghĩa 2.3.1. Tập conA của W được gọi là T - đa cực nếu ( , ) 0 T C A W = . Định nghĩa 2.3.2. Một hàm đa điều hòa dưới u được gọi là tựa liên tục đối với T C , nếu với mỗi 0e > tồn tại một tập con mở O e sao cho ( , ) T C O e eW < và u là liên tục trên \ O e W . Mệnh đề 2.3.3. Cho ( )Tu Î WF . Khi đó với mỗi 0s > ta có ({ }, ) ( )q c q T s C u s dd u T W £ - W £ Ùò . Nói riêng, tập { }u = - ¥ là T - đa cực. 29 Chứng minh. Cho 0 ( ) ( )T j j u Ì WE là một dãy giảm dần tới u trên W như trong Định nghĩa 2.2.1. Lấy 0, ( ,[ 1, 0])s v PSH> Î W - và K là một tập con compact trong { } j u s£ - . Theo nguyên lý so sánh (cho hàm đa điều hòa dưới bị chặn), ta có 1 1{ } { } 1 ( ) ( ) ( ) j j c q c q c q jq K s u v s u v dd v T dd v T dd u T s- -< < Ù £ Ù £ Ùò ò ò 1 ( )c q jq dd u T s W £ Ùò Điều đó kéo theo 1 ({ }, ) ( )c q T j jq C u s dd u T s W £ - W £ Ùò . Cho j ® ¥ , ta thu được 1 ({ }, ) ( )c q T q C u s dd u T s W £ - W £ Ùò .  Hệ quả 2.3.4. Mỗi ( )Tu Î WF đều là T C - tựa liên tục. Chứng minh. Cho ( )Tu Î WF và 0.e > Đặt ( ) { ; ( ) }uB t z u z t= Î W < , 0t ³ . Theo Mệnh đề 2.3.3, tồn tại 1s e ³ sao cho ( ( ), ) / 2 T u C B s e e- W < . Hàm max( , )u u s e e = - bị chặn trên W nên theo Dabbek – Elkhadhra [5], tồn tại một tập con mở O trong W sao cho ( , ) / 2 T C eW <O và u e liên tục trên \W O . 30 Bằng cách lấy ( ) u B s e e = È -O O , ta suy ra điều phải chứng minh. W Để nghiên cứu tính T C - tựa liên tục trên ( )T p WE , ta sẽ tiến hành như trong trường hợp trước. Mệnh đề 2.3.5. Cho ( )T p u Î WE và 0 ( ) ( )T j j u Ì WE giảm dần tới u trên W như trong Định nghĩa 1. Khi đó với mỗi 0s > ta có 1 ({ 2 }, ) sup ( ) ( )p q p c q T j j j s C u s u dd u T+ ³ W £ - W £ - Ùò . Nói riêng, tập { }u = - ¥ là T - đa cực. Chứng minh. Cho 0, ( ,[ 1, 0])s v PSH> Î W - . Theo nguyên lý so sánh (cho hàm đa điều hòa dưới bị chặn), ta có 1{ 2 } { } { 1 } 1 ( ) ( ) ( ) j j j c q c q c q jq u s u s sv s u v dd v T dd v T dd u T s -£ - < - + < - + Ù £ Ù £ Ùò ò ò 1 ( ) ( )p c q j jp q u dd u T s + W £ - Ùò Điều đó kéo theo 1 1 ({ 2 }, ) sup ( ) ( )p c q T j m mp q m C u s u dd u T s + ³ W £ - W £ - Ùò . Cho j ® ¥ , ta thu được 1 1 ({ 2 }, ) sup ( ) ( )p c q T m mp q m C u s u dd u T s + ³ W £ - W £ - Ùò .  Bằng phương pháp tương tự trong Hệ quả 2.3.4 ta có kết quả sau 31 Hệ quả 2.3.6. Mỗi hàm trong ( )T p WE là T C - tựa liên tục. Bây giờ ta cần phiên bản đầu tiên của nguyên lý so sánh, trong đó một trong những hàm số là không bị chặn. Kết quả này đã được chứng minh trong [5] cho hàm bị chặn. Định lý 2.3.7. Cho ( )Tu Î WF và ( ) ( )v PSH L¥Î W Ç W sao cho lim inf ( ( ) ( )) 0 z SuppT u z v z ® ¶WÇ - ³ . Khi đó { } { } ( ) ( )c q c q u v u v dd v T dd u T < < Ù £ Ùò ò . Chứng minh. Trước tiên ta giả sử u và v liên tục trên lân cận W của SuppT . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử u v< trên W và u v= trên W¶ . Đặt max( , )v u v e e= - , ta có v u e = trên W¶ và { } { } ( ) ( )c q c q u v u v dd v T dd u T e < < Ù = Ùò ò . Vì họ các độ đo ( )c qdd v T e Ù hội tụ yếu đến ( )c qdd u TÙ khi 0e ® , nên { } { } ( ) ( ) .c q c q u v u v dd v T dd u T < < Ù £ Ùò ò Bây giờ xét trường hợp tổng quát. Thay u bởi u d+ nếu cần thiết, ta có thể giả sử lim inf( ) 2u v d- ³ ; Do đó có một tập con mở WO Ð sao cho ( ) ( )u z v z d³ + với mọi \z Î W O . Cho ( ) k k u và ( ) j j v là hai dãy hàm đa điều hòa dưới trơn theo thứ tự giảm dần tới u và v trên một lân cận của O sao cho k j u v³ trên SuppT¶ ÇO với j k³ . Sử dụng lập luận như trên ta thu được 32 { } { } ( ) ( ) k j k j c q c q j k u v u v dd v T dd u T < < Ù = Ùò ò . Với 0e > tồn tại một tập con mở G của W sao cho ( , ) T C G eW < và ,u v là các hàm liên tục trên \ GW . Ta có thể viết v j y= + , trong đó j là hàm liên tục trên W và 0y = trên \ GW . Đặt { }kU u j= < . Khi đó ( ) lim ( )c q c q jj U U dd v T dd v T ® + ¥ Ù £ Ùò ò . Vì { } G k U G u vÈ = < È , nên ta có { } ( ) k c q u v dd v T < Ùò ( ) ( ) c q c q U G dd v T dd v T£ Ù + Ùò ò lim ( ) ( )c q c q jj U G dd v T dd v T ® + ¥ £ Ù + Ùò ò { } lim ( ) ( ) ( ) k j c q c q c q j jj u v G G dd v T dd v T dd v T ® + ¥ < æ ö ÷ç ÷ç ÷£ Ù + Ù + Ùç ÷ç ÷ç ÷è ø ò ò ò { } lim ( ) 2 || | | k j c q q jj u v dd v T ve ¥® + ¥ < £ Ù +ò { } lim ( ) 2 || | | k j c q q kj u r dd u T ve ¥® + ¥ < £ Ù +ò . Bây giờ khi { } { }, { } { } k j k k u v u v u v u v< ¯ £ < - < ta có { } { } ( ) lim ( ) 2 | | | | k c q c q q kk u v u v dd v T dd u T ve ¥® + ¥ < £ Ù £ Ù +ò ò . 33 Từ tính liên tục của u và v trên \ GW suy ra { }\ Gu v£ là tập con đóng của W. Điều này kéo theo { }\ { }\ ( ) lim ( )c q c q kk u v G u v G dd u T dd u T ® + ¥ £ £ Ù ³ Ùò ò . Như vậy { } { }\ ( ) ( )c q c q u v u v G dd u T dd u T < £ Ù ³ Ùò ò { }\ lim ( )c q kk u v G dd u T ® + ¥ £ ³ Ùò { } lim ( ) ( ) k c q c q k kk u v G dd u T dd u T ® + ¥ < æ ö ÷ç ÷ç³ Ù - Ù ÷ç ÷ç ÷÷çè ø ò ò { } lim ( ) | | | | k c q q kk u v dd u T ve ¥® + ¥ < ³ Ù -ò . Do đó { } { } ( ) ( ) 3 | | | |c q c q q u v u v dd v T dd u T ve ¥ < £ Ù £ Ù +ò ò . Cho 0e ® ta thu được { } { } ( ) ( )c q c q u v u v dd v T