Luận văn Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn

các nhóm con tối đại thì ta quy ước ( )G GΦ = . 1.5.2. Mệnh đề. Cho G là một nhóm. Khi đó ( )GΦ char G, và ( )G GΦ  Chứng minh Nếu G không có nhóm con tối đại thì ( )G GΦ = , mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử trong G có ( )i i IM ∈ là họ tất cả các nhóm con tối đại của G . Khi đó với mọi ( )Aut Gϕ∈ , 1( )iMϕ − cũng là nhóm con tối đại của G với mọi i I∈ , do ( )GΦ là giao của tất cả các nhóm con tối đại của G nên ta có 1( ) ( ),iG M i Iϕ −Φ ⊆ ∀ ∈ Suy ra 1 1( ) ( ) ( ( )).i i I G M Gϕ ϕ− − ∈ Φ ⊆ = Φ  Hay ( ( )) ( ), ( )G G Aut Gϕ ϕΦ ⊆ Φ ∀ ∈ . Suy ra ( )G GΦ  . ■ 1.5.3. Định lý Frattini. Nếu G là một nhóm hữu hạn thì ( )GΦ là nhóm con luỹ linh của G. 1.5.4. Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn, N G . Khi đó ( ) ( )N GΦ ≤ Φ . Chứng minh Giả sử ( )NΦ không là nhóm con của ( )GΦ 15 M⇒∃ là nhóm con tối đại của G sao cho M không chứa ( )NΦ (*) Do tính tối đại của M nên ta có ( ) .M N GΦ = ( ) ( ) ( ) ( )( )N N G N M N N N M N N N M N M N ⇒ = ∩ = ∩ Φ = Φ ∩ Φ = Φ ∩ ⇒ ∩ ≤ Nếu N M N∩ = thì ( )N N MΦ ≤ ≤ (mâu thuẫn (*)). Nếu N M N∩ < thì 1N∃ là nhóm con tối đại của N và chứa N M∩ 1 ( )N N N⇒ = Φ Mà 1( )N NΦ ≤ nên N = N1 (vô lý) Vậy ( ) ( )N GΦ ≤ Φ . ■ 1.5.5. Định lý. Cho G là một nhóm. Khi đó ( )GΦ chính là tập tất cả các phần tử không sinh của G . Chứng minh Giả sử xG là phần tử không sinh của G, và M là một nhóm con tối đại bất kỳ của G. Khi đó nếu xM thì ,G M x M  (mâu thuẫn). Do đó xM, với mọi nhóm con tối đại M. Suy ra, ( )x G∈Φ . Ngược lại, lấy ( )z G∈Φ và giả sử rằng ,G z Y . Nếu Y G thì tồn tại nhóm con tối đại M sao cho Y M , nhưng z cũng thuộc M, do đó ,z Y M (mâu thuẫn). Vậy z là phần tử không sinh của G . ∎ 1.5.6. Mệnh đề. Cho nhóm G, H là nhóm con của G, ( )GΦ hữu hạn sinh nếu G = ( )GΦ H thì H = G . 1.6. Nhóm siêu giải được 1.6.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm, dãy các nhóm con chuẩn tắc của G 0 1 2 11 ..... n nG G G G G G−= =     được gọi là một dãy siêu giải được của G nếu 1 /i iG G+ là nhóm cyclic với mọi 0 i n≤ ≤ . 16 G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được. Ví dụ: Mọi nhóm cyclic G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là 1 G 1.6.2. Định lý Mọi nhóm con của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được. Chứng minh Giả sử G là nhóm siêu giải được và H là nhóm con của G. Do G là nhóm siêu giải được nên tồn tại một dãy siêu giải được của G. 0 1 2 11 ...... n nG G G G G G−= =     Xét dãy các nhóm con của H 0 11 ...... nH G H G H G H G H= ∩ ≤ ∩ ≤ ≤ ∩ = ∩ = (*) Ta có 1 ( 0, 1)i iH G H G i n+∩ ∩ ∀ = − do 1i iG G + iH G H∩  ( 0, 1i n∀ = − ) theo 1.1.1.(1) Suy ra (*) là dãy các nhóm con chuẩn tắc của H Mặt khác ta lại có: 1 1 1( ) / ( ) ( ) / (( ) )i i i i iH G H G H G H G G+ + +∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ Theo 1.1.1. (1) ta có 1 1 1( ) / (( ) ) ( ) /i i i i i iH G H G G H G G G+ + +∩ ∩ ∩ ∩ Mà 1 1( ) / /i i i i iH G G G G G+ +∩ ≤ là nhóm cyclic nên 1( ) /i i iH G G G+∩ là nhóm cyclic. Do đó (*) là dãy siêu giải được của H Vậy H là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.3. Định lý Mọi nhóm thương của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được. Chứng minh Giả sử G là nhóm siêu giải được và H G , cần chứng minh G / H là nhóm siêu giải được. Thật vậy Do G là nhóm siêu giải được nên tồn tại một dãy siêu giải được của G. 17 0 1 2 11 ...... n nG G G G G G−= =     Ta có , .i iH G G G H G⇒  và 1i iG H G H+ Suy ra ( ) / / ( 0, )iG H H G H i n∀ = và 1( ) / ( ) / ( 0, 1)i iG H H G H H i n+ ∀ = − Do đó ta có dãy các nhóm con chuẩn tắc của G / H 0 1 1/ ( ) / ( ) / ...... ( ) / ( ) / /n nH H G H H G H H G H H G H H G H−= =    (**) Theo định lý 1.1.2 ta có 1 1 1(( ) / ) / (( ) / ) ( ) / ( ) ( ( )) / ( )i i i i i i iG H H G H H G H G H G G H G H+ + += Theo 1.1.1. (1) có 1 1 1( ( )) / ( ) / ( )i i i i i iG G H G H G G H G+ + +∩ Lại có 1 1 1 1/ ( ) ( / ) / (( ) / )i i i i i i i iG G H G G G G H G G+ + + +∩ ∩ . Do 1 /i iG G+ là nhóm cyclic, suy ra 1 1( / ) / ( / )i i i i iG G G H G G+ +∩ là nhóm cyclic. Suy ra 1(( ) / ) / (( ) / )i iG H H G H H+ là nhóm cyclic. Do đó (**) là dãy siêu giải được của G / H Vậy G / H là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.4. Định lý Nếu mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số trong G là một số nguyên tố thì G là nhóm siêu giải được. 1.6.5. Mệnh đề Cho G là một nhóm hữu hạn, / ( )G GΦ là nhóm siêu giải được. Khi đó G là nhóm siêu giải được. Chứng minh Với mọi M là nhóm con tối đại của G ta có ( )G MΦ ⊂ Mà ( )G GΦ  ( )G M⇒Φ  và / ( )M GΦ là nhóm con tối đại của / ( )G GΦ . Vì / ( )G GΦ là nhóm siêu giải được nên [ / ( ) : / ( )]G G M GΦ Φ là một số nguyên tố. Mà [ : ] [ / ( ) : / ( )]G M G G M G= Φ Φ 18 [ : ]G M⇒ là một số nguyên tố với mọi M là nhóm con tối đại của G. Vậy theo Định lý 1.6.4, ta có G là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.6. Mệnh đề. Nếu G/Z(G) siêu giải được thì G siêu giải được. Chứng minh Do G/Z(G) siêu giải được nên ta có một dãy siêu giải được 1 2 11 .... / ( )n nG G G G G Z G−= =    Khi đó / ( )G G Z G= và 1 1/ /i i i iG G G G+ + (vì 1 1/ ( / ( )) / ( / ( ))i i i iG G G Z G G Z G+ += Xét đồng cấu tự nhiên : / ( )G G Z Gϕ → Đặt 1( )i iG Gϕ −= . Khi đó iG G Xét dãy 1 2( ) ... nZ G G G G G≤ ≤ ≤ ≤ = Do Z(G) là Aben nên 1 ( )Z G≤ có thể làm mịn thành dãy cyclic 0 11 ..... ( )mZ Z Z Z G= ≤ ≤ ≤ = Vậy ta có một dãy siêu giải được 0 1 1 21 .... ( ) .....m nZ Z Z Z G G G G G= ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ ≤ = Do vậy G là siêu giải được. ■ 1.6.7. Định lý Cho H, K là hai nhóm siêu giải được. Khi đó H×K là nhóm siêu giải được. Chứng minh Do H là nhóm siêu giải được nên H có một dãy siêu giải được 0 1 21 .... nH H H H H= =    Do K là nhóm siêu giải được nên K có một dãy siêu giải được 0 1 11 ...... m mK K K K K−= =    Ta có 0( 0, ) 1i i iH H i n H H K H K∀ = ⇒ × = × ×  ( 0, )j jK K j m H K H K∀ = ⇒ × ×  Mà 1 1 1( 1) / ( 1) ( / ) (1/1) / ( 0, 1)i i i i i iH H H H H H i n+ + +× × × ∀ = −  19 1 1 1( ) / ( ) ( / ) ( / ) / ( 0, 1)j j j j j jH K H K H H K K K K j m+ + +× × × ∀ = −  Do 1 1/ , /i i j jH H K K+ + là nhóm cyclic, suy ra 1 1( 1) / ( 1), ( ) / ( )i i j jH H H K H K+ +× × × × là nhóm cyclic. Do đó 0 1 0 11 1 1 1 ...... 1 1 .....n mH H H H H K H K H K H K× = × × × = × = × × × = ×      là một dãy siêu giải được của H K× . Vậy H K× là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.8. Định lý Cho 1 2 3, , ..... nH H H H là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó ta có 1 2 3/ , / , / ,...., / nG H G H G H G H là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi 1/ ( ) n ii G H = ∩ là nhóm siêu giải được. Chứng minh ( )⇒ Xét đồng cấu nhóm 1 2: / / .... / nG G H G H G Hϕ → × × × 1( ,...., )ng gH gH Ta có { }1 1 er / ( ,...., ) 0 n n i i K g G gH gH Hϕ = = ∈ = =  Theo định lý Nơte ta có 1 / er m / ( ) m n i i G K I G H Iϕ ϕ ϕ = ⇒   Theo 1.6.7 thì 1 / n ii G H = × là nhóm siêu giải được Mà 1 Im / n ii G Hϕ = ≤ × nên Imϕ là nhóm siêu giải được. Vậy 1 / ( ) n i i G H =  là nhóm siêu giải được. ( )⇐ Ta có 1 n i j i H H =   với mỗi 0,j n= Suy ra 1 1 / / n n j i i i i H H G H = =    Mà 1 1 ( / ) / ( / ) / n n i j i j i i G H H H G H = =    (theo định lý 1.1.2) 20 Mà 1 / ( ) n i i G H =  là nhóm siêu giải được nên theo định lý 1.6.3 thì 1 1 ( / ) / ( / ) n n i j i i i G H H H = =   là nhóm siêu giải được. Do đó / ( 0, )jG H j n∀ = là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.9. Định lý Giả sử G là một nhóm không siêu giải được nhưng mọi nhóm con thực sự của G là siêu giải được. Khi đó i) G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P với p là số nguyên tố. ii) / ( )P PΦ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của / ( )G PΦ . iii) Nếu 2p ≠ thì exp( )P p= . iv) Nếu P không Aben và 2p = thì exp( ) 4P = v) Nếu P là Aben thì exp( )P p= . 1.7. Nhóm luỹ linh 1.7.1. Định nghĩa dãy tâm trên, dãy tâm dưới. • Dãy 1 2( ) ( ) ....G G Gγ γ= ≥ ≥ , trong đó 1( ) [ ( ), ] ( 0,1, 2...)n nG G G nγ γ+ = ∀ = được gọi là dãy tâm dưới của G. • Dãy 0 1 21 ( ) ( ) ( ) ...Z G Z G Z G= ≤ ≤ ≤ trong đó 1( ) / ( ) ( / ( )) ( 0,1, 2....)n n nZ G Z G Z G Z G n+ = ∀ = gọi là dãy tâm trên của G. Nếu G hữu hạn, số hạng cuối cùng của dãy tâm trên được gọi là siêu tâm (hypercenter) của G. Ký hiệu là ( )Z G∞ 0 ( ( ) ( ))i i Z G Z G ∞ ∞ = =  Nhận xét: Với mọi i∈ , thì i) ( ) ariZ G ch G ii) 1[ ( ), ] ( )i iZ G G Z G+ ≤ 21 1.7.2. Định nghĩa nhóm luỹ linh Nhóm G được gọi là nhóm luỹ linh nếu nó có một dãy tâm, nghĩa là một dãy chuẩn tắc 0 11 ..... nG G G G= =   trong đó 1 / ( / )i i iG G Z G G+ ≤ . Chiều dài của dãy tâm ngắn nhất của G gọi là lớp luỹ linh của G. 1.7.3. Định lý i) Mọi p-nhóm hữu hạn đều luỹ linh. ii) Mọi nhóm con của một nhóm luỹ linh là luỹ linh. iii) Mọi nhóm thương của một nhóm luỹ linh là luỹ linh. iv) Nếu H và K luỹ linh thì H K× luỹ linh. 1.7.4. Định lý Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G luỹ linh nếu và chỉ nếu G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của G. 1.7.5. Định lý Giả sử G là một nhóm không luỹ linh nhưng mọi nhóm con thực sự của G luỹ linh. Khi đó i) G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P (với số nguyên tố p) và .G P Q= , trong đó Q là một q-nhóm con cyclic không chuẩn tắc. (với số nguyên tố q p≠ ) ii) / ( )P PΦ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của / ( )G PΦ iii) Nếu P không Aben và p > 2 thì số mũ của P là p, nếu P không Aben và p = 2 thì số mũ của P là 4. iv) Nếu P là Aben thì số mũ của P là p. v) ( ) ( ) ( )Z G P Q= Φ ×Φ . 1.8. Nhóm con pronormal Một nhóm con H của G được gọi là pronormal trong G nếu H và Hg liên hợp trong 22 , gH H với g G∀ ∈ , có nghĩa là với g G∀ ∈ tồn tại , gu H H∈ sao cho g uH H= Ví dụ: Mọi nhóm con chuẩn tắc đều pronormal. Mọi nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn đều pronormal. 1.9. Nhóm con Fitting 1.9.1. Định nghĩa. Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của một nhóm G được gọi là nhóm con Fitting của G, ký hiệu là F(G). 1.9.2. Nhận xét: Nếu G là hữu hạn thì i) F(G) là luỹ linh. ii) F(G) là nhóm con tối đại chuẩn tắc luỹ linh duy nhất của G. 1.9.3. Định lý Cho G là một nhóm, khi đó i) ( ) ( )G F GΦ ≤ ii) ( / ( )) ( ) / ( )F G G F G GΦ = Φ iii) F(G)= { ( / ) /GC H K∩ H/K là một hạng tử chính của G} Chứng minh i) Ta chứng minh ( )GΦ là nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của G. Ta có ( )G GΦ  theo mệnh đề 1.5.2 Gọi P là một p-nhóm con Sylow của ( )GΦ . Khi đó theo bổ đề Frattini 1.2.3 ta có ( ). ( )GG G N P= Φ . Mà ( )GΦ là tập các phần tử không sinh của G nên G=NG(P). Suy ra ( )P G P G⇒ Φ  Suy ra ( )GΦ là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó Vậy ( ) ( ).G F GΦ ≤ 23 ii) • F(G) là nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của G ( ) / ( )F G G⇒ Φ là nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của / ( )G GΦ ( ) / ( ) ( / ( ))F G G F G G⇒ Φ ≤ Φ • Đặt / ( ) ( / ( )) / ( )N G F G G G GΦ ≤ Φ Φ Gọi P là p-nhóm con Sylow của N ( ) / ( )P G G⇒ Φ Φ là p-nhóm con Sylow của / ( )N GΦ . / ( )N GΦ là nhóm lũy linh ( )P G⇒ Φ char N. Mà N G nên ( )P G GΦ  (theo 1.4.2. iv) P⇒ là p-nhóm con Sylow của ( )P GΦ . Theo Định lý 1.2.4 ta có ( ) ( ) ( ) ( )G GG G PN P G N P= Φ = Φ . Mà ( )GΦ là tập các phần tử không sinh của G nên G = NG(P) P G P N⇒ ⇒  N⇒ là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó (Định lý 1.2.5) N⇒ là nhóm lũy linh (Định lý 1.7.4) ( )N F G⇒ ≤ ( / ( )) / ( ) ( ) / ( )F G G N G F G G⇒ Φ = Φ ≤ Φ . Vậy ( / ( )) ( ) / ( )F G G F G GΦ = Φ . ■ 1.10. Nhóm con Fitting suy rộng 1.10.1. Định nghĩa tự đẳng cấu trong, hạng tử chính của G • Giả sử G là một nhóm, với mỗi g G∈ ta định nghĩa ánh xạ:  1 :g G G x g xg− →  Dễ dàng chứng minh được g là một tự đẳng cấu của G. Các tự đẳng cấu g gọi là các tự đẳng cấu trong của G. Ký hiệu là InnG Đặc biệt nếu H G≤ thì  { } { }1 1( ) ( ) / /g H g h h H g hg h H g Hg− −= ∈ = ∈ = 24 • Một dãy chính của một nhóm hữu hạn G là một dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 11 .... nG G G G= =   sao cho không có nhóm con chuẩn tắc nào bị chứa giữa iG và 1iG + . (ie. Không tồn tại nhóm con chuẩn tắc A nào của G sao cho 1 ( 1, 2,...., 1)i iG A G i n+< < ∀ = − Khi đó, nhóm thương 1 /i iG G+ được gọi là hạng tử chính của G. (định nghĩa này tương đương 1 /i iG G+ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của / iG G ) 1.10.2. Bổ đề Giả sử có (1) 0 1 .... 1nG G G G= > > > = trong đó iG G và 1 /i iG G− hoặc là Aben hoặc là tích trực tiếp của những nhóm đơn không Aben (i=1, 2,., n). Nếu x G∈ và x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên 1 /i iG G− với mỗi i=1, 2,, n, khi đó x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của G. 1.10.3. Định nghĩa Một nhóm G được gọi là tựa luỹ linh nếu với bất kỳ hạng tử chính τ của G, mỗi tự đẳng cấu của τ cảm sinh bởi một phần tử của G là tự đẳng cấu trong. 1.10.4. Bổ đề i) Nếu G là tựa luỹ linh và H G thì H và G/H là tựa luỹ linh. ii) Một nhóm con á chuẩn tắc của nhóm tựa luỹ linh là tựa luỹ linh. iii) Nếu G/H và G/K là tựa luỹ linh thì / ( )G H K∩ là tựa luỹ linh. iv) Tích trực tiếp của các nhóm tựa luỹ linh là nhóm tựa luỹ linh. 25 1.10.5. Định nghĩa nhóm nửa đơn (semisimple) Một nhóm G được gọi là nhóm nửa đơn nếu G là tích trực tiếp của những nhóm đơn không Aben. 1.10.6. Định lý Nhóm G là tựa luỹ linh khi và chỉ khi / ( )G Z G∞ là nửa đơn. 1.10.7. Định nghĩa nhóm con Fitting suy rộng Cho G là một nhóm, nhóm con Fitting suy rộng *( )F G là tập hợp tất cả những phần tử x của G, những phần tử cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của G. Nhận xét: *( ) ar .F G ch G 1.10.8. Định lý *( )F G là tựa luỹ linh và mỗi nhóm con á chuẩn tắc tựa luỹ linh của G đều chứa trong *( )F G . Chứng minh Xét một dãy cơ bản của G có dạng * 0 1 1..... ( ) .... 1m m m nG G G G F G G G− += > > > = > > > = Do 1 /i iG G− là tích trực tiếp của những nhóm đơn đẳng cấu. Nếu *( )x F G∈ , thì x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên 1 /i iG G− với mỗi i = m+1, ., n. Do đó theo bổ đề 1.10.2 thì x sẽ cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của *( )F G . Do đó *( )F G là tựa luỹ linh. Giả sử H là một nhóm con á chuẩn tắc tựa luỹ linh của G. Cần chứng minh *( )H F G≤ . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo :G H Thật vậy: • Nếu H G= thì G là tựa luỹ linh vì *( )F G G H= ≥ . 26 • Nếu H < G khi đó K G∃  sao cho H K . Theo giả thiết quy nạp H M≤ với *( )M F K= . Vì *( ) arF K ch K suy ra arM ch K , M G . Suy ra M là tựa luỹ linh, cần chứng minh *( )M F G≤ . Giả sử 0 1 .... 1nG G G G= > > > = là một dãy chính của G, trong đó lG M= và giả sử rằng x M∈ . Khi đó x cảm sinh tự đẳng cấu đồng nhất lên 1 /i iG G− với 1 .i l≤ ≤ Mà 1 /i iG G− là tích trực tiếp của những hạng tử chính của K ( 1,...., )i l n= + . Vì *( )x M F K∈ = nên x cảm sinh tự đẳng cấu trong lên mỗi hạng tử 1 /i iG G− Vì thế x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của G. Do đó *( )x F G∈ và suy ra *( )M F G≤ . ■ 1.10.9. Định lý Cho G là một nhóm và M là một nhóm con của G i) Nếu M G thì * *( ) ( ).F M F G≤ ii) * * *( ( )) ( ) ( )F F G F G F G= ≥ ; nếu *( )F G là giải được thì *( ) ( ).F G F G= iii) Nếu H G thì * *( ) ( ).F H H F G= ∩ iv) Nếu ( )K Z G≤ thì * *( / ) ( ) /F G K F G K= . Chứng minh (i) Chứng minh tương tự ý 2 của định lý 1.10.8 (ii) Ta có * * *( ( )) ( )F F G F G≤ Vì *( )F G là tựa luỹ linh theo định lý 1.10.8 nên * * *( ) ( ( )).F G F F G≤ Suy ra * * *( ( )) ( ).F F G F G= (iii) *( )F H là nhóm con chuẩn tắc tựa luỹ linh của G, ta có * *( ) ( ).F H H F G≤ ∩ Vì * *( ) ( )H F G F G∩ ≤ nên *( )H F G∩ là nhóm con chuẩn tắc tựa luỹ linh của H, tức là * *( ) ( )H F G F H∩ ≤ 27 Do đó * *( ) ( )F H H F G= ∩ (iv) Ký hiệu *( / ) /F G K L K= . Xét một dãy cơ bản của G có dạng sau: 0 1 1.... .... 1m m m nG G G G K G G− += > > > = > > > = Theo định nghĩa nhóm con Fitting suy rộng ta có ,x K x xK∀ ∈ = cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên nhân tử cơ bản 1 1/ ( / ) / ( / )i i i iG G G K G K− −= với mỗi i=1, 2,, m. Vì ( )K Z G≤ theo giả thiết nên tự đẳng cấu cảm sinh bởi x lên nhân tử cơ bản 1 /i iG G− của G là tự đẳng cấu đồng nhất với i = m+1, .,n. Vì thế x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên hạng tử chính 1 /i iG G− của G với mọi i = 1,2,., n. Do đó theo bổ đề 1.10.2 thì x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của G. Do đó *( ).x F G∈ Suy ra *( )L F G≤ Theo (4) có * * *( ) ( ) ( )F L L F G L F G L= ∩ ≤ ⇒ ≤ . Do đó có *( )L F G= Vậy * *( / ) ( ) / .F G K F G K= ■ 1.11. H –nhóm con Một nhóm con K của G được gọi là một H –nhóm con của G nếu ( )g GK N K K∩ ≤ với g G∀ ∈ . 1.12. Lớp bão hoà F Một lớp F của các nhóm hữu hạn là một formation nếu nó thoả hai điều kiện sau đây: i) Nếu G∈F và N G thì /G N ∈F. ii) Nếu / ( 1, 2)iG N i = ∈ F thì 1 2/G N N∩ ∈F. Nếu thêm điều kiện 28 iii) / ( )G GΦ ∈F thì G∈F, khi đó F được gọi là lớp formation bão hoà. Một ví dụ của lớp formation bão hoà là lớp tất cả những nhóm siêu giải được, thường được ký hiệu là U. Thật vậy: i) Nếu G∈U và N G thì /G N ∈ U (theo định lý 1.6.3 nhóm thương của một nhóm siêu giải được là siêu giải được). ii) Nếu / ( 1,2)iG N i = ∈U thì khi đó 1 2/G N N∩ ∈U (theo định lý 1.6.8) iii) Nếu G /Φ(G) là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được. Với mọi M là nhóm con tối đại của G ta có ( )G MΦ ⊂ Mà ( )G GΦ  Suy ra ( )G MΦ  và / ( )M GΦ là nhóm con tối đại của / ( )G GΦ Vì / ( )G GΦ là nhóm siêu giải được nên [ / ( ) : / ( )]G G M GΦ Φ là một số nguyên tố. Mà [ : ] [ / ( ) : / ( )]G M G G M G= Φ Φ [ : ]G M⇒ là một số nguyên tố với mọi M là nhóm con tối đại của G. Vậy theo Định lý 1.6.4 ta có G là nhóm siêu giải được. ■ 29 Chương 2: NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN Chương này sẽ trình bày định nghĩa, tính chất đặc trưng của nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn G. Trên cơ sở giả sử một số nhóm con có cấp nguyên tố là chuẩn tắc yếu trong G, chúng ta sẽ thu được sự mô tả mới về tính siêu giải được và tính luỹ linh của nhóm hữu hạn G. 2.1. Định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn. 2.1.1. Định nghĩa. Một nhóm con H của nhóm G được gọi là chuẩn tắc yếu trong G nếu ( )g GH N H≤ thì ( )Gg N H∈ . 2.1.2. Nhận xét • Dễ dàng chứng minh được rằng mọi H –nhóm con là chuẩn tắc yếu trong G nhưng điều ngược lại không đúng. Thật vậy Giả sử K là H –nhóm con của G tức là ta có ( ) .g GK N K K g G∩ ≤ ∀ ∈ Giả sử có ( )g GK N K≤ cần chứng minh ( )Gg N K∈ tức chứng minh .gK K= Do ( )g GK N K≤ nên ( ) g g GK N K K∩ = suy ra .gK K≤ Từ đó suy ra .gK K= ■ Điều ngược lại không đúng, ta có thể xét một ví dụ sau: Xét 4G S= và (1,2,3,4)H = . Khi đó ta có ( ) (1,2,3,4), (1,3)GN H = Với phần tử g=(1,2,3), (1, 4, 2,3)gH = ta có ( ) (1,2)(3,4)g GH N H∩ = ≤ H Do đó H không phải là H –nhóm con của G. Nhưng ( )GN H có duy nhất một nhóm con cyclic cấp 4. Bởi vậy nếu ( )g GH N H≤ khi đó gH H= và H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G. 30 • Dễ dàng chứng minh được rằng mọi nhóm con pronormal là chuẩn tắc yếu trong G. Thật vậy Giả sử H là nhóm con pronormal của G, cần chứng minh H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G. Giả sử ( )g GH N H≤ , ta có ( )GH N H≤ ( hơn nữa ( ) )GH N H Suy ra , ( )g GH H N H ≤ . Do đó , gx H H∃ ∈ sao cho x gH H = (1) Mặt khác có ( ) (2)xGx N H H H∈ ⇒ = Từ (1) và (2) suy ra gH H= ( )Gg N H⇒ ∈ ■ 2.2. Một số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn. 2.2.1. Tính chất Cho G là một nhóm hữu hạn, N, H, và K là các nhóm con của G (1) Nếu H K G≤ ≤ và H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G thì H là chuẩn tắc yếu trong K. (2) Nếu N G và N H thì H là chuẩn tắc yếu trong G khi và chỉ khi H/N là chuẩn tắc yếu trong G/N. (3) Với H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G. Nếu ( )GH K N H≤ ≤ thì ( ) ( ).G GN K N H≤ (4) Nếu H K G≤ và H là chuẩn tắc yếu trong G thì .H K Chứng minh (1) Giả sử ( )k KH N H≤ cần chứng minh ( ).Kk N H∈ Thật vậy: Lấy k K∈ do ( )k KH N H≤ và ( ) ( ) ( ) k K G GN H N H H N H≤ ⇒ ≤ Do H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G nên suy ra ( ) ( ) ( ) ( )G G KG k K k N H k K N H k N H k N H ∈ ∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒ ⇒ ∈ ∈ 31 (2) ( )⇒ Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G Giả sử /( / ) ( / ) gN G NH N N H N≤ với , /g G gN G N∈ ∈ ta cần chứng minh / ( / ).G NgN N H N∈ Thật vậy: Ta có / ( / ) ( ) /G N GN H N N H N= vì / ( / ) ( ) ( / ) / ( / ) ( / )gNG NgN N H N g G H N H N gN H N H N gN∈ ∈ ⇔ = ⇔ = ( ) ( ) /G GgH Hg g N H gN N H N⇔ = ⇔ ∈ ⇔ ∈ Từ điều giả sử /( / ) ( / ) / ( ) /gN gG N GH N N H N H N N H N≤ ⇒ ≤ Do đó ( )g GH N H≤ , vì H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G nên /( ) ( ) / ( / )G G G Ng N H gN N H N N H N∈ ⇒ ∈ = . Do vậy H / N là chuẩn tắc yếu trong G/N. ( )⇐ Giả sử rằng H / N là chuẩn tắc yếu trong G / N và ( )g GH N H≤ với g G∈ Suy ra // ( ) / ( / ) ( / )g gNG G NH N N H N H N N H N≤ ⇒ ≤ . Vì H / N là chuẩn tắc yếu trong G / N nên / ( / ) ( ) / ( )G N G GgN N H N N H N g N H∈ = ⇒ ∈ . Do vậy H là chuẩn tắc yếu trong G. (3) Lấy ( )Gg N K∈ tức là ta có K g=K Theo giả thiết ( )GH K N H≤ ≤ , suy ra ( ) ( ) g g g G GH K K N H H N H≤ = ≤ ⇒ ≤ Do H là chuẩn tắc yếu trong G nên ( ) ( ) ( )G G Gg N H N K N H∈ ⇒ ≤ . (4) Do H là nhóm con á chuẩn tắc của K nên tồn tại một dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 1 2 3 ...... nH H H H H H K= =     Nếu n=1 thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh là H K Do đó ta có thể giả sử rằng n > 1, khi đó ta có 1n nH H K H− =  32 Do 1n nH H−  nên với nx H∈ ta có 1 1n nxH H x− −= , hay 1 1( ) ( )G n n G nx N H H N H− −∈ ⇒ ≤ Mặt khác 1n nH H−  , nên theo (3) ta có 1( ) ( )G n GN H N H− ≤ . Từ đó suy ra 1( ) ( ) ( )n G n G GK H N H N H K N H−= ≤ ≤ ⇒ ≤ có nghĩa là với g K∀ ∈ ta có ( ) gGg N H H H Hg gH H K∈ ⇒ = ⇒ = ⇒  . ■ 2.2.2. Tính chất. Nếu N G , P là p-nhóm con chuẩn tắc yếu của G và ( , ) 1N p = thì PN là chuẩn tắc yếu trong G và PN/N là chuẩn tắc yếu trong G/N. Chứng minh • Chứng minh PN là chuẩn tắc yếu trong G Theo giả thiết P là chuẩn tắc yếu trong G và N G nên theo 2.1.(2) thì PN là chuẩn tắc yếu trong GN G= . • Chứng minh PN / N là chuẩn tắc yếu trong G / N . Giả sử /( / ) ( / ) ( , / ) gN G NPN N N PN N g G gN G N≤ ∈ ∈ Hay ( ) ( ) ( )g GPN N PN g G≤ ∈ cần chứng minh ( )Gg N PN∈ . Thật vậy: Vì N G và ( , ) 1N P = nên P là p-nhóm con Sylow của PN. Vì ( ) ( )G GN P N PN≤ nên ( ) ( )G GN PN N P N= . Nếu ( ) ( ) ( )g GPN N PN g G≤ ∈ thì ( )g GP N P N≤ . Do đó ( ),Gm N P n N∃ ∈ ∈ sao cho .( ( )) ( ( )) ( ( ))g m n nG G GP N P N P do m N P≤ = ∈ , suy ra 1 ( )gn GP N P − ≤ . Vì P là chuẩn tắc yếu trong G nên 1 ( ) ( ). ( ).G G Ggn N P g N P N hay g N PN− ∈ ⇒ ∈ ∈ ■ 33 2.2.3. Tính chất. Giả sử G là một nhóm và P là p-nhóm con chuẩn tắc của G chứa trong ( )Z G∞ . Khi đó ( ) ( ) p GC P O G≥ trong đó: { }( ) /GC P g G gh hg h P= ∈ = ∀ ∈ và {( ) / ( , ) 1 / /pO G x G x p H G G H==∩  là p-nhóm } Xem [17, Bổ đề 2.8] 2.3. Các định lý quan trọng về nhóm con chuẩn tắc yếu. 2.3.1. Định lý. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho G/H là siêu giải được. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong G. Khi đó G là siêu giải được. Chứng minh Giả sử kết quả trên là sai tức G không phải là nhóm siêu giải được, ta xem xét một phản ví dụ với cặp (G, H) trong trường hợp G H+ là bé nhất. Khi đó chúng ta có (1) Mỗi nhóm con thực sự của G là siêu giải được. Giả sử K là một nhóm con thực sự của G, khi đó theo định lý 1.1.1 (1) ta có / ( ) /K K H KH H∩  và / /KH H G H≤ . Do G/H là nhóm siêu giải được, mà mọi nhóm con của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được (theo định lý 1.6.2) nên / ( )K K H∩ là nhóm siêu giải được. Theo giả thiết mọi nhóm con cyclic của H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong G, mà K H H∩ ≤ (theo định lý 1.1.1 (1)) suy ra mọi nhóm con cyclic của K H∩ có cấp 4 hoặc cấp nguyên tố là chuẩn tắc yếu trong G. Do K H K G∩ < nên theo tính chất 2.3.1 (1) ta có mọi nhóm con cyclic của K H∩ có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong K. Do đó ( , )K K H∩ thoả mãn điều kiện của định lý. Suy ra K là nhóm siêu giải được vì nếu K không siêu giải được thì khi đó tồn tại một nhóm con thực sự 34 của nhóm không siêu giải được G (tức có cấp nhỏ hơn G) mà thoả mãn điều kiện của định lý, điều này mâu thuẫn với tính tối tiểu của việc chọn G. Do vậy G là nhóm không siêu giải được nhưng mọi nhóm con thực sự của G lại là nhóm siêu giải được. Theo định lý 1.6.9, khi đó sẽ tồn tại một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P của G sao cho G=P.M, trong đó M là nhóm con siêu giải được tối đại của G, / ( )P PΦ là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của / ( )G PΦ . Hơn nữa, số mũ của P là p nếu p > 2, và số mũ của P lớn nhất là 4 nếu p = 2