Luận văn Nhóm con tựa chuẩn tắc của các nhóm hữu hạn

ợc thì N là p-nhóm con Abel sơ cấp . Chứng minh Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G.Do 1N ≠ là nhóm giải được nên theo hệ quả 1.4.3, N ′ là nhóm con thực sự của N. Vì N ′ là đặc trưng trong N nên theo định lí 1.1.2 ta được N ′ là nhóm con chuẩn tắc của G,do tính tối tiểu của N nên 1N ′ = , suy ra N là nhóm Abel. 14 Với ( ),p Nσ∈ đặt : | }1{ pN x N x∗ ∈ == là p-nhóm con Abel sơ cấp củaN, vì N ∗ là nhóm con đặc trưng của N nên N G∗  . Vậy chỉ có thể là 1N ∗ = hoặc N N∗ = . Theo định lí Cauchy, tồn tại các phần tử của N có cấp là số nguyên tố p, suy ra 1N ∗ ≠ , do đó N N∗ = . Vậy N là p-nhóm con Abel sơ cấp của G. 1.4.6. Định lí Cho G là nhóm giải được. NếuHlà nhóm con tối đại của G thì chỉ số củaH trong G là lũy thừa của một số nguyên tố. Chứng minh Nếu G là nhóm Abel thì H G , do tính tối đại của H nên G H là nhóm đơn và hiển nhiên ta có [ ]:G H là lũy thừa của một số nguyên tố. Do đó, ta chỉ cần chứng minh định lí đối với trường hợp G không là nhóm Abel. Vì G là nhóm giải được nên G′ là nhóm con thực sự của G,vậy G có ít nhất một nhóm con chuẩn tắc, suy ra tồn tại một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G,gọi là N. Hơn nữa, N là nhóm giải được, suy ra N là một p-nhóm Abel sơ cấp, tức là | | kN p= , với p là số nguyên tố nào đó chia hết cấp G. Xét hai trường hợp sau • Trường hợp 1: N không là nhóm con của H, khi đó G NH= . • Vì G NH HN N N H= ≅ ∩ nên G H N H N = ∩ . Suy ra l G N p H H N = = ∩ (với l k≤ ), vậy [ ]:G H là lũy thừa của một số nguyên tố. • Trường hợp 2: N là nhóm con của H, ta chứng minh qui nạp theo cấp G. Ta có H N là nhóm con tối đại của G N . Theo giả thiết qui nạp, : nG H qN N   =  với q là một số nguyên tố nào đó. Mà [ ][ ] [ ]: : :G H H N G N= , suy ra [ ] [ ][ ] : : : : nG N G HG H qN NH N  = = =  . 1.4.7. Định lí ( định lí Burnside)[6] Cho p,q là các số nguyên tố, và a,b là các số nguyên không âm. Nếu G là nhóm có cấp là a bp q thì G là nhóm giải được. 15 1.4.8. Định lí[4, định lí 15.3, trang 53] Cho G là nhóm giải được. Nếu G có một nhóm con tối đại M thỏa 1 g g G M ∈ =  thì G có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N và ( ).GN C N= 1.5. Nhóm lũy linh 1.5.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi là lũy linh nếu G có một dãy bất biến { }i nN thỏa mãn 1 , 0, 1i i i N GZ i nN N +  ⊆ ∀ = −    Khi đó, dãy trên được gọi là dãy tâm của G. Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của G. Nhận xét • Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm 1. • Nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là nhóm Abel. • Nhóm lũy linh là nhóm giải được Chú ý : ( ) [ ]1 1,i i i i iN N Z G N N G N+ +⊆ ⇔ ⊆ 1.5.2. Định lí Nếu G là một p-nhóm hữu hạn thì G là nhóm lũy linh. Chứng minh Do G là p-nhóm nên | | nG p= . Ta chứng minh quy nạp theo n.Với n=1, | |G p= nên G là nhóm Abel, do đó G là nhóm lũy linh. Giả sử G là nhóm lũy linh, m n∀ < . Ta chứng minh G là nhóm lũy linh với | | nG p= . Vì | | | ( ) | [ : ( )]iG Z G G C x= +∑ nên ta có | ( ) |Z G p Xét nhóm thương ( ) G Z G , theo định lí Larrange , ta có | | ( ) | ( ) | GG Z G Z G= nên ) ,( mG p nZ G m= < 16 Theo giả thiết quy nạp, ( ) G Z G là nhóm lũy linh. Do đó tồn tại dãy sau: 0 11 ... ( )m GH H H Z G== ⊆ ⊆ ⊆ . Xét toàn cấu chiếu : ( ) Gp G Z G→ thỏa ( ) ( )p g gZ G= Đặt 11 ( )iiN p H−+ = . Do p là toàn cấu nên ,iN G i∀ Xét dãy 1 101 ... n n GN N N N += ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ = . Ta cần chứng minh 1 i i i N GZN N +  ⊂     Lấy 1, ( ) , ( ) ( )i i Ga N b G p a H p b Z G+∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ mà 1 1 ( ) i i i G H Z GZH H− −    ⊂     Nên ta có 1 1 1 1 1) ( ) ( ) ( ) ( )( Hib ab p a p b p a p bp a − − − − − ∈= Do đó 1 1 1 1 )( iiba p Gab H − − − −∈ = , suy ra 1i i i N GZN N +  ⊂     . Vậy G là nhóm lũy linh. 1.5.3. Định lí(Tính chất của nhóm lũy linh) Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó (i) Nếu H G⊆ thì Hlà nhóm lũy linh. (ii) Nếu H G thì G H là nhóm lũy linh. (iii) Nếu A vàB là hai nhóm lũy linh thì A B× là nhóm lũy linh. Chứng minh Do G là nhóm lũy linh nên G có một dãy tâm như sau 0 11 ... nZ Z Z G= ⊆ ⊆ ⊆ = , trong đó 1 , 0, 1i i i N GZ i nN N +  ⊆ ∀ = −    (i) Do H G⊆ nên 0 11 ... nZ H Z H Z H H= ∩ ⊆ ∩ ⊆ ⊆ ∩ = là một dãy bất biến của H. Lấy 1 ,ia Z H b H+∈ ∩ ∈ , ta có [ ] [ ]1, ,i ia b N G N+∈ ⊆ , mà [ ],a b H∈ nên [ ], ia b N H∈ ∩ . 17 Suy ra [ ]1 ,i iN H H N H+ ∩ ⊆ ∩ , tức là 1 , 0, 1i i i N H HZ i nN H N H + ∩  ⊆ ∀ = − ∩ ∩  . Vậy H là nhóm lũy linh. (ii) Do H G và 1i iN N + nên ta có 1i i N H N H H H +⊆ và iN H GH H . (iii) Khi đó G H có một dãy bất biến sau (iv) 0 11 ... nN H N HN H GH H H H= =   (v) Lấy 1 ,ian N H b G+∈ ∈ , vì 1i i i N GZN N +  ⊆     nên [ ], ia b N∈ (vi) Ta có [ ] 1 1 1 1 1, ( ) . ian b n a b ab n n b nb N H− − − − −= ∈ , suy ra , iN Han b H ∈  . (vii) Do đó 1i ii N H GH HZ N HN H HH +        ⊆         . (viii) Vậy G H là nhóm lũy linh. (ix) Do A, B là hai nhóm lũy linh nên chúng có hai dãy tâm sau (không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng hai dãy này có cùng chiều dài). 0 11 ... nA A A A= ⊆ ⊆ ⊆ = và 0 11 ... nB B B B= ⊆ ⊆ ⊆ = . Ta có i iA B A B× × và 1 1, 0, 1i i i iA B A B i n+ +× ⊆ × ∀ = − Khi đó A B× có một dãy bất biến sau 0 0 1 11 ... n nA B A B A B A B= × ⊆ × ⊆ ⊆ × = × Lấy 1 1, , ,i ix A a A y B b B+ +∈ ∈ ∈ ∈ , vì 1i i i A AZA A +  ⊆     và 1i i i B BZB B +  ⊆     nên [ ] [ ], , ,i ix a A y b B∈ ∈ . Suy ra ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , i ix y a b x y a b x y a b x a xa y b yb A B− − − − − − − −  = = ∈ ×  Do đó [ ]1 1,i i i iA B A B A B+ +× × ⊆ × , tức là 1 1i i i i i i A B A BZA B A B + +×  ×⊆  × ×  Vậy A B× là nhóm lũy linh. 18 1.5.4. Định lí Nếu G là nhóm lũy linh thì mọi nhóm con tối đại của G đều lànhóm con chuẩn tắc. Chứng minh Giả sử M là một nhóm con tối đại của nhóm G,vì G là nhóm lũy linh nên G có một dãy tâm { }i nZ như sau 0 11 ... nZ Z Z G= ⊆ ⊆ ⊆ = , trong đó 1i i i Z GZZ Z +  ⊆     , với 0, 1i n= − . Gọi j là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 1 j j Z M Z M+ ⊂  ⊄ . Khi đó 1 1, ,j j jZ M Z G Z M+ +   ⊆ ⊆ ⊂    , suy ra tồn tại phần tử 1 \jz Z M+∈ sao cho [ ],z M M⊆ . Lấy zy M∈ , ta có 1y z az−= , với a M∈ , suy ra [ ]11 1 ,ya z aza z M M−−− = ∈ ⊆ , do đó y M∈ , từ đây ta được zM M= . Điều này chứngtỏ ( )GM N M⊂ . Mặt khác, M là nhóm con tối đại của G nên phải có ( )GN M G= . Suy ra M G . 1.5.5. Hệ quả Nếu G là nhóm lũy linh thì ( )G G′ ⊆ Φ Chứng minh Lấy M là một nhóm con tối đại của G, theođịnh lí 1.5.4, M là nhóm con chuẩn tắc của G, và do đó G M là nhóm đơn. Điều này chứng tỏ G M là nhóm cyclic cấp nguyên tố, suy ra G M là nhóm Abel. Vì G′ là nhóm con nhỏ nhất của G sao cho G G′ là nhóm Abel nên phải có G M′ ⊆ . Do M là bất kì nên ta có G′ được chứa trong giao tất cả các nhóm con tối đại của G, tức là ( ).G G′ ⊆ Φ Phần bù của một nhóm con chuẩn tắc N của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con A của G thỏa mãn G NA= và 1N A∩ = . Khi đó, ta viết [ ]G N A= 19 1.5.6. Định lí [3, định lí 5.4.10, trang 66] Giả sử A là một nhóm con Abel chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G thỏa điều kiện ( ) 1A G∩Φ = . Khi đó, G=[A]B với B là nhóm con của G. 1.6. Nhóm con Hall 1.6.1. Định nghĩa Cho π là một tập không rỗng các số nguyên tố và π ′ là phần bù của π trong tập tất cả các số nguyên tố. • Một số nguyên dươngn được gọi là một π -số nếu các ước nguyên tố củanthuộc π . • Một phần tử gcủa G được gọi là π -phần tử nếu cấp của glà một π -số. • Một nhóm G được gọi là một π -nhóm nếu mọi phần tử của G đều là π -phần tử. Trường hợp đặc biệt, khi { }pπ = thì π -nhóm chính là p-nhóm. • Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là một π -nhóm con Hall của G nếu H là một π -nhóm và [ ]:G H là một π ′ -số, được kí hiệu là h H G⊆ . Trong một nhóm G hữu hạn bất kì, H là một nhóm con Hall của G nếu và chỉ nếu [ ]( ): , 1G H H = . Hơn nữa, p-nhóm con Sylow của G là một trường hợp đặc biệt của π - nhóm con Hall khi π chỉ chứa một số nguyên tố p. 1.6.2. Định lí[3, Định lí 4.1.4, trang 37-38] Cho G là nhóm. Giả sử G có nhóm con B sao cho B chứa một π -nhóm con Abel N G và [ ]:G B k= là một π ′ − số (i) Nếu N có một phần bù trong B thì N có một phần bù trong G. (ii) Số các lớp liên hợp trên tập các phần bù của N trong G nhỏ hơn hoặc bằng số các lớp liên hợp của các phần bù của N trong G. 1.6.3. Hệ quả Nếu N là một nhóm con Abel chuẩn tắc của một nhóm G sao cho [ ]( ): ,| | 1G N N = thì N có một phần bù trong G và hai phần bù bất kì củaN là liên hợp với nhau. 20 1.6.4. Định lí Nếu N là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì N có một phần bù trong G. Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo |G|. Giả sử N là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G. Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1 N là nhóm lũy linh, khi đó với ( )p Nσ∈ , gọi P là p-nhóm con Sylow của N, suy ra P là p-nhóm con Sylow của G và do đó P G′ . Xét nhóm thương G P′ , ta có ( ): , 1G P PP P P  =′ ′ ′  , áp dụng hệ quả 1.6.3, ta được P P′ có một phần bù trong G P′ . Do đó, tồn tại nhóm con A của G sao cho G=NA. Trường hợp 2Nếu N không là nhóm lũy linh thì ( )N G⊄ Φ . Khi đó , tồn tại một nhóm con A của G sao cho G=NA. Cả hai trường hợp, ta đều có N A A∩  và [ ]( ): , 1A N A N A∩ ∩ = . The giả thiết qui nạp, ta được [ ]A N A C= ∩ , với C G⊆ . Suy ra G=NCvà 1N C N A C∩ ⊆ ∩ ∩ = . Vậy N có một phần bù trong G. 1.6.5. Định lí(Định lí P.Hall) Cho G là một nhóm giải được, π là tập các số nguyên tố chia hết cấp của G và S là một π -nhóm con của G. Khi đó S được chứa trong một π -nhóm con Hall nào đó của G và tất cả các π -nhóm con Hall này của G là liên hợp với nhau. Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo cấp của G.Lấy M là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G,do G là nhóm giải được nên M là một p-nhóm con Abel sơ cấp. Khi đó MS M là π - nhóm con của G M . Theo giả thiết quy nạp, hMS GB M M M⊆ ⊆ trong đó B M là một π - nhóm con Hall của G M chứa MS M . Suy ra MS B G⊆ ⊆ . Xét ba trường hợp sau • Trường hợp 1: p π∈ , khi đó B là một π -nhóm con Hall của G thỏa h S MS B G⊆ ⊆ ⊆ . Giả sử C cũng là một π -nhóm con Hall chuẩn tắc của G chứa S,do đó 21 C M là π -nhóm con Hall của G M nên theo giả thiết quy nạp, ta có B M và C M liên hợp trong G M . Vậy B và C liên hợp trong G. • Trường hợp 2: p π∉ và B G≠ , khi đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại một π -nhóm con Hall H của B chứa S.Ta có [ ]( ): , 1G B B = (do B là { }pπ ∪ -nhóm) suy ra [ ]( ): , 1G B H = . Mà [ ]( ): , 1B H H = ( do H là π -nhóm con Hall H của B) nên [ ] [ ]( ) [ ]( ): . : , : , 1G B B H H G H H= = , do đó H là π -nhóm con Hall của G. Giả sử K là π - nhóm con Hall của G chứa S, khi đó MK M liên hợp với B M trong G M . Suy ra MK liên hợp với B trong G,tức là 1 ,MK g Bg−= với g G∈ . Mặt khác, K là π -nhóm con Hall của MK, theo giả thiết quy nạp, ta có K liên hợp với một π -nhóm con Hall D của B. Vậy H và D liên hợp với nhau trong G. • Trường hợp 3: p π∉ và B G= , khi đó theo định lí 1.6.4 ta có G=MH, trong đó 1M H∩ = và H là một π -nhóm con Hall của G. Áp dụng hệ quả 1.6.3 ta đượchai π - nhóm con Hall bất kì của G là liên hợp, do đó trong trường hợp này ta chỉ cần chỉ ra G có một π -nhóm con Hall chứa S. Giả sử S là một π -nhóm con của G nhưng S không là π - nhóm con Hall. Vì [ ]MS G M H⊆ = nên [ ]( ) ( )MS MH MS M H MS M H MS= ∩ = ∩ = ∩ (vì 1M H∩ = nên ( ) 1M H MS∩ ∩ = ). Từ đây ta có S liên hợp với H MS∩ , tức là tồn tại g MS∈ sao cho ( )1 1S g H MS g g Hg− −= ∩ ⊆ , trong đó 1g Hg− là một π -nhóm con Hall của G. 1.6.6. Bổ đề Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho ( )| |, 1GH H = thì H là nhóm con đặc trưng của G. Chứng minh Giả sử H m= , G nH = theo giả thiết ( , ) 1m n = suy ra | |G mn= . Với ( )Aut Hα ∈ , ta có ( ) \H mα mà ( )H Gα ⊆ phải có ( )H mα = . 22 Dó H là nhóm con chuẩn tắc của G nên . ( )H Hα là nhóm con của G, suy ra . ( ) \H H mnα . Mặt khác, ta có 2| | . | ( ) |. ( ) | ( ) | | ( ) | H H mH H H H H H αα α α = = ∩ ∩ . Từ đây suy ra \ | ( ) | m n H Hα    ∩  , do đó | ( ) |m H Hα= ∩ . Vậy ( )H Hα = , hay H là nhóm con đặc trưng của G. 1.6.7. Định lí Nếu H là nhóm con S-tựa chuẩn tắc Hall của G thì H là cũng nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh Do H là nhóm con S-tựa chuẩn tắc của G nên theo [6], tồn tại dãy chuẩn tắc các nhóm con của G như sau 0 1 ... nH H H H G= =   . Mặt khác, vì H là nhóm con Hall của H nên ta có [ ]( ), : 1H G H = và do đó [ ]( )1, : 1H H H = , áp dụng bổ đề 1.6.6 ta được H là nhóm con đặc trưng của 1H , mà 21H H nên 2H H . Chứng minh tương tự, sau hữu hạn lần, ta được H G . 1.6.8. Định lí [3, định lí 4.4.1, trang 47] Cho Γ là một nhóm hữu hạn các tự đồng cấu của các nhóm Abel N. Giả sử với mọi x N∈ , tồn tại duy nhất phần tử y N∈ sao cho ky x= với k = Γ . Khi đó, mọi nhân tử trực tiếp A của N mà A bất biến bởi Γ đều có một phần bù B sao cho B cũng bất biến với Γ . 1.7. Nhóm p-lũy linh 1.7.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm , P là p-nhóm con Sylow của G. Nhóm G được gọi là nhóm p- lũy linh nếu trong G tồn tại một nhóm con chuẩn tắc N sao cho G=PN và 1P N∩ = . Khi đó N được gọi là p-phần bù chuẩn tắc của G. Nhóm G được gọi là p-lũy linh nếu G có một p′ -nhóm con Hall chuẩn tắc. 1.7.2. Định lí [3, bổ đề 8, trang 265-266] Cho G là một nhóm, p là số nguyên tố cố định, q là số nguyên tố khác p . Khi đó G là p-nhóm lũy linh khi và chỉ khi G không chứa (p,q)- nhóm con K thỏa các điều kiện sau: 23 • K là nhóm không lũy linh tối tiểu ( tức là mọi nhóm con thật sự của K đều là nhóm lũy linh). • Nhóm con dẫn xuất K ′ là p-nhóm con Sylow của K. 1.7.3. Định lí [7, định lí 10.1.8, trang 289] Nếu nhóm G có chứa một p-nhóm con Sylow P, với p là số nguyên tố, thỏa mãn ( )( )GP Z N P⊆ thì G là nhóm p-lũy linh. 24 CHƯƠNG 2 : NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một tính chất mới của các nhóm con củamột nhóm G cũng như các tác động của nó lên cấu trúc của các nhóm hữu hạn, và đối tượng được xét đến ở đây là lớp các nhóm siêu giải được. 2.1. Nhóm siêu giải được Chúng ta đều biết rằng lớp các nhóm Abel là lớp con thực sự của lớp các nhóm lũy linh, mà chính bảnthân lớp các nhóm lũy linh lại là lớp con thực sự của lớp các nhóm giải được. Trong trường hợp hữu hạn, có một lớp thực sự nằm giữa lớp các nhóm lũy linh và lớp các nhóm giải được mà chúng sẽ được định nghĩa ngay sau đây. 2.1.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi là siêu giải được nếu G có mộtdãy bất biến { }niN sao cho 1i i N N + là nhóm cyclic cấp nguyên tố, với 0,1,..., 1i n= − . Khi đó, dãy bất biến trên được gọi là dãy cyclic của G. Có thế kiểm tra được nhóm S3các phép thế bậc 3 là một nhóm siêu giải được nhưng không lũy linh, còn nhóm S4các phép thế bậc 4 là một nhóm giải được nhưng không siêu giải được. 2.1.2. Định lí Một nhóm G là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy bất biến { }i nN sao cho mỗi nhân tử 1i i N N + là nhóm cyclic với i=0,1,...,n-1. Chứng minh Nếu G là nhóm siêu giải được thì hiển nhiên G có một dãy bất biến {Ni}nthỏa điều kiện mỗi nhân tử của nó là nhóm cyclic. Ngược lại giả sử 0 11 ... nN N N G= ⊂ ⊂ ⊂ = (1)là một dãy cyclic của G thỏa 1i i N N + là nhóm cyclic, với 0,1,..., 1i n= − . Ta sẽ chứng minh G là nhóm siêu giải được. Xét 25 11 : i i NA N +≠ = là nhóm cyclic, nếuAcó cấp là một số nguyên tố thì định lí được chứng minh xong. Nếu |A| không là số nguyên tố thì ta cần chỉ ra A có một dãy bất biến mà các nhân tử của nó là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Ta chứng minh qui nạp theo |A|, giả sử điều này đúng với mọi nhóm có cấp nhỏ hơn |A|. • Xét A là một p-nhóm . Chọn 1 a A≠ ∈ thỏa | |a p= , theo giả thiết quy nạp, A a có một dãy cyclic như sau 0 11 ... mA AA Aa a a a= ⊂ ⊂ ⊂ = thỏa 1i i A a A a +           là các nhóm cyclic cấp p, mà 1 1 i i ii A a A AA a + +       ≅       Do đó A có dãy bất biến { }miA thỏa các nhân tử của nó là các nhóm cyclic cấp p. • Xét A không là p-nhóm và p là một ước nguyên tố của |A|. Tiếp theo ta chứng minh qui nạp theo ( )Aσ , tức là giả sử mọi nhómA* có số ước nguyên tố của | A*| nhỏ hơnsố ước nguyên tố của|A|thì nhóm đó có một dãy bất biến thỏa điều kiện trên. Gọi P là một p-nhóm con Sylow của A, do P là một p-nhóm nên P có một dãy cyclic 0 11 ... kP P P P= ⊂ ⊂ ⊂ = thỏa 1i i P P + là nhóm cyclic cấp nguyên tố, mà A P là nhóm có số ước nguyên tố nhỏ hơn A nên A P có cũng một dãy bất biến 0 11 ... sA AA AP P P P= ⊂ ⊂ ⊂ = thỏa 1i i A P A P +          là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Vậy 0 1 11 ... ...k sP P P P A A A= ⊂ ⊂ ⊂ = ⊂ ⊂ ⊂ = là dãy bất biến cần tìm. 2.1.3. Định lí (Tính chất của nhóm siêu giải được) Cho G là nhóm siêu giải được. Khi đó: (i) Nếu H G⊆ thì H là nhóm siêu giải được. (ii) Nếu H G thì G H là nhóm siêu giải được 26 (iii) Nếu H G thì Hlà một số hạng trong dãy bất biến của G có tính chất là mỗi nhóm nhân tử của nó là nhóm cyclic cấp nguyên tố. (iv) Nếu A và B là hai nhóm siêu giải được thì A B× là nhóm siêu giải được. (v) Mọi nhóm con tối đại của một nhóm siêu giải được G đều có chỉ số là nguyên tố trong G. Chứng minh Vì G là nhóm siêu giải được nên G có một dãy bất biến như sau 0 1 11 ... n nN N N N G−= ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = Trong đó 1i i N N + là nhóm cyclic cấp nguyên tố, với 0,1,.., 1i n= − . (i) Với mỗi i, vì iN G nên iN H H∩  . Do đó H có một dãy bất biến như sau 0 11 ... nN H N H N H H= ∩ ⊆ ∩ ⊆ ⊆ ∩ = (*). (ii) Ta có 1 1i iN H N+ +∩ ⊆ , 1i i iN H N N H+∩ = ∩ ∩ và ( )1 1i i i i i N N H N N N + +∩ ⊆ (iii) mà ( )1 1 1 1 i i i i i i i i N N H N H N H N N N H N H + + + + ∩ ∩ ∩≅ =∩ ∩ ∩ (iv) do đó 1i i N H N H + ∩ ∩ hoặc là nhóm 1 hoặc là nhóm cyclic cấp nguyên tố. (v) Vậy nếu giản lượt đi các số hạng trùng lặp trong dãy (*) thì ta thu được một dãy bất biến của H thỏa các nhân tử của nó là nhóm cyclic cấp nguyên tố, hay H là nhóm siêu giải được. (vi) Vì N G nên iH N H với mọi 0, 1i n= − . (vii) Do đó G N có một dãy bất biến như sau (viii) 0 11 ... (**)nN H N HN H GH H H H= ⊆ ⊆ ⊆ = (ix) Với mỗi 0, 1i n∈ − , ta có: (x) 1 1 1 1 1 1 i ii i i i i i i i i i i N NN H N N H N N H N H N N H N N H N + + + + + +     = ≅ ≅∩ ∩     27 (xi) Mà 1i i N N + là nhóm cyclic cấp nguyên tố nên 1i i N H N H + hoăc là nhóm cyclic cấp nguyên tố hoặc là 1. Bằng cách giản lượt đi các số hạng trùng lặp trong dãy (**) thì ta thu được một dãy cycliccủaG H . Do đó G H là nhóm siêu giải được. (xii) Vì H G nên theo (i), H có một dãy cyclic như sau (xiii) 0 11 ... mN H N H N H H= ∩ ⊂ ∩ ⊂ ⊂ ∩ = (xiv) trong đó 1i i N H N H + ∩ ∩ là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Mặt khác, theo (ii) ta có G H là nhóm siêu giải được và 0 11 ... nN H N HN H GH H H H= ⊂ ⊂ ⊂ = là một dãy cyclic của G H thỏa mãn 1i i N H N H + là nhóm cyclic cấp nguyên tố, với 0,1,.., 1i n= − .Khi đó dãy sau 0 1 0 11 ... ...k nN H N H N H H N H N H N H G= ∩ ⊂ ∩ ⊂ ⊂ ∩ = = ⊂ ⊂ ⊂ = . (xv) là dãy cyclic . Vậy H là một số hạng trong một dãy cyclic nào đó của G. (xvi) Giả sử { } { }; ji n mA B lần lượt là hai dãy cyclic của A và B có tính chất thỏa các nhân tử của nó là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Khi đó A B× có một dãy bất biến như sau 0 1 0 11 ... ...n mA A A A A B A B A B A B= ⊂ ⊂ ⊂ = = × ⊂ × ⊂ ⊂ × = × (xvii) Ta có 1 1 j jj j A B B A B B + +× ≅× là nhóm cyclic cấp nguyên tố, với 0,1,.., 1j m= − . (xviii) Vậy A B× là nhóm siêu giải được. (xix) Lấy M là nhóm con tối đại bất kì của G, ta sẽ chứng minh rằng [ ]:G M là số nguyên tố. Xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: M là nhóm con chuẩn tắc của G, theo (iii) M là một số hạng trong dãy cyclic nào đó của G, do M tối đại nên ta có [ ]:G M là một số nguyên tố. Trường hợp 2 : M không chuẩn tắc trong G, khi đó ( )GN M M= . Đặt g g G N M ∈ =  , ta có N G . Mặt khác, do G N là nhóm siêu giải được nên tồn tại nhóm con GH N N sao cho H pN = , với p là một ước nguyên tố của |G|. 28 Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng 1H MN N∩ = . Giả sử 1 H M N N∩ ≠ suy ra N H M M⊂ ∩ ⊆ , do đó ( ) ,g gN H M M g G⊂ ∩ ⊆ ∀ ∈ , mà H M G∩  nên g g G N H M M N ∈ ⊂ ∩ ⊆ =  (vô lý). Vậy 1H MN N∩ = . Vì M N là nhóm tối đại của G N và 1 H M N N∩ = nên ta có .G H M HMN N N N= = . Mặt khác , do H M H∩  và H pN = nên H M N∩ = . Suy ra : :HM H H M H NN = ∩ = . Ta lại có G HM= ( do M là nhóm con tối đại), do đó [ ] [ ] [ ]: : :G M HM M H N p= = = . 2.1.4. Hệ quả Tích trực tiếp hữu hạn các nhóm siêu giải được là một nhóm siêu giải được. 2.1.5. Hệ quả Cho H G , nếu H là nhóm cyclic và G H là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được. Chứng minh Vì G H là nhóm siêu giải được nên G H có một dãy cyclic như sau 0 11 ... nN NN GH H H H= ⊂ ⊂ ⊂ = . Xét dãy bất biến sau của G 11 ... nH N N G⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = Với 0,1,.., 1i n= − ta có 1 1 i i i i N HN N N H + +     ≅      nên 1i i N N + là nhóm cyclic. Hơn nữa 1N H cũng là nhóm cyclic. Vậy G có một dãy bất biến mà các nhân tử của nó là các nhóm cyclic, suy ra G là nhóm siêu giải được. 29 2.1.6. Bổ đề Cho G là một nhóm mà mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số là một số nguyên tố. Nếup là số nguyên tố lớn nhất chia hết | |G thì p-nhóm con Sylow P tương ứng là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh Giả sử P không là nhóm con chuẩn tắc của G, suy ra ( )GN P được chứa trong một nhóm con tối đại M nào đó của G. Theo giả thiết ta có [ ]: ,G M q= trong đó ( ),q G q pσ∈ ≤ . Mà ) )( (G MN NP P= và [ ] [ ][ ]: ( ) : : ( )p G Gn G N P G M M N P= = nên theo định lí Sylow ta có [ ]: 1(mod )G M p≡ , suy ra 1(mod )q p≡ , tức là 1 , *q kp k N= + ∈ và do đó q p> . Điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lớn nhất trong ( )Gσ . Vậy P là nhóm con chuẩn tắc của G. 2.1.7. Định lí Cho G là một nhóm, nếu mọi nhóm con tối đại của G có chỉ số nguyên tố thì G là nhóm siêu giải được. Chứng minh Giả sử G là nhóm thỏa điều kiện mọi nhóm con tối đại M của G đều có chỉ số nguyên tố. Ta sẽ chứng minh G là nhóm siêu giải được bằng phương pháp qui nạp theo cấp của G. Giả sử điều này đúng với mọi nhóm có cấp nhỏ hơn cấp của GGọi P là p-nhóm con Sylow của G, trong đó p là số nguyên tố lớn nhất trong ( )Gσ , áp dụnghệ quả 2.1.6ta có P G . Đặt N là nhóm con chuẩn tắc tối tiều của G chứa trong P. Theo giả thiết qui nạp, G N là nhóm siêu giải được. Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu N là nhóm cyclic, do hệ quả 2.1.5 ta có G là nhóm siêu giải được. Trường hợp 2: Nếu N không là nhóm cyclic thì do P là một p-nhóm nên P là nhóm giải được, do đó N là một nhóm con Abel sơ cấp của P. Khi đó N p> và ( )N Z P⊆ . Giả sử N=P thì phải có ( )N G⊄ Φ . Thật vậy, do N G và [ ]( ): ,| | 1G N N = nên N có một phần bù trong G, tức là tồn tại nhóm con N ∗ của G sao cho .G N N ∗= và 1N N ∗∩ = . Nếu ( )N G⊂ Φ thì N M ∗⊆ , với M ∗ là nhóm con tối đại của G chứa N ∗ , suy ra G NN M∗ ∗= ⊆ 30 . Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của M ∗ , Vậy ( )N G⊄ Φ , suy ra ( ) 1N G∩Φ = ( do tính tối tiểu của N). Khi đó theo định lí 1.5.6, tồn tại nhóm con M1 của G sao cho 1G NM= và 1 1N M∩ = . Gọi M là nhóm con tối đại chứa 1M , khi đó M cũng là một phần bù của N trong G. Thật vậy, ta có M N N∩  ( do N là nhóm Abel) và M N M∩  (do N là nhóm con chuẩn tắc của G), suy ra , ( )GN M N M N⊆ ∩ , vì vậy . ( )GG N M N M N= ⊆ ∩ , do đó M N G∩  . Từ đây ta được 1N M∩ = . Theo giả thiết, ta có [ ]:G M là một số nguyên tố, suy ra N là nhóm cấp nguyên tố, suy ra N là nhóm cyclic (mâu thuẫn), vậy N P≠ . Do GP N N nên P N là một số hạng trong một dãy cyclic nào đó của G N , suy ra tồn tại nhóm con M G thỏa điều kiện N M P⊂ ⊆ và [ ]:M N p= . Điều này chứng tỏ rằng N là nhóm con tối đại của M nên M N x= với x là một phần tử sinh có cấp p của M, suy ra M là nhóm Abel sơ cấp của G. Mặt khác, ta có ( )M NΦ ⊆ , do ( )MΦ là nhóm con đặc trưng của M và M G nên ( )M GΦ  nên theo tính tối tiểu của N, hoặc ( )M NΦ = hoặc ( ) 1MΦ = . • Nếu ( )M NΦ = thì M là nhóm cyclic, suy ra G là nhóm siêu giải được. • Nếu ( ) 1MΦ = thì ( )GP C M⊆ . Thật vậy, giả sử ( )GP C M⊄ , khi đó ( )GP C M G∩  nên ta có ( )( )G GP NC M P    ∩   . Do đó theo tính siêu giải được của ( )( )G G C M P∩ , tồn tại nhóm con P P∗ ⊆ sao cho ( ), : ( )GP G P C M P p∗ ∗ ∩ =  và ( )( )GP C M P y ∗ = ∩ với y là một phần tử cấp p của P∗ . Mặt khác, do M N là nhóm Abel nên ( )M PZN N∗⊆ , từ đây suy ra ,M P N∗  ⊆  , mà ,M P G ∗  nên ta có ,M P G∗    . Mà ( ) { }, , ( ) ,i jGM P N x C M P y x y∗    = ∩ =     . Vì ( )N Z P⊆ nên [ ], , i