Luận văn Nhóm liên hợp đóng

x hxh x h H− − −⇒ = ∈ , 1 ),ix G h Hγ −∀ ∈ ∈ 1x hx H−⇒ ∈ 1( ),ix G h Hγ −∀ ∈ ∈ 1( ) ( )i GG N Hγ −⇒ ≤ vì 1( ) ( )i GG H N H Hγ − ≤ ⇒ > ∎ 12 Làm việc với nhóm lũy linh, ngoài sử dụng định nghĩa dãy tâm trên và dãy tâm dưới, ta cần có thêm công cụ là các tính chất tương đương với lũy linh. Định lý 1.2.9. Cho G hữu hạn, các tính chất sau tương đương: i) G lũy linh ii) Mọi nhóm con Sylow đều chuẩn tắc trong G iii) G là tích trực tiếp của những nhóm con Sylow của nó. Chứng minh. ) )i ii⇒ Cho G lũy linh, P là p-nhóm Sylow của G. Đặt ( )GH N H= theo bổ đề 1.1.3: ( )GN H H= Vì vậy theo định lý 1.2.8 : H = G, tức là ( )GG N P= ⇒ P⊲G ) )ii iii⇒ giả sử 1 21 2| | ... k nn n kG p p p= , với 1 2, , kp p p là các số nguyên tố phân biệt. Khi đó iP là các ip - nhóm con Sylow trong G iP G⇒  1,2 ,i k∀ = Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: 1 2 1 2k kP P P P P P ≅ × × - k=1: điều này hiển nhiên! - Giả sử mệnh đề đúng với 0k k= Ta có: 0 01 2 1,k kN P P P G P G+=   . Khi đó: 1 2 0 01 2 1 2 1 2| | | | | || | | | ... knn n k k kN P P P P P P p p p= × ×× = = Do đó |N| nguyên tố cùng nhau với 0 1| |kP + 0 1 1kN P +⇒ ∩ = 0 0 01 1 1 2 1k k kNP N P P P P+ + +⇒ ≅ × ≅ × ×× . Bổ đề được chứng minh xong. Trở lại với định lý 1.2.9: 13 Mặt khác 1 2 1 2 1 2| | | || | | | | || | | | | |k k kP P P P P P P P P G = = = 1 2 1 2k kG P P P P P P⇒ = ≅ × ×× ) )iii i⇒ Ta chứng minh quy nạp theo lực lượng của G - Nếu |G|=1, hiển nhiên G lũy linh - Nếu |G|>1, giả sử 1 2 kG P P P= × × là tích các pi-nhóm không tầm thường. Làm việc với phép toán theo thành phần ta được 1 2( ) ( ) ( ) ( )kZ G Z P Z P Z P= × ×× Các ( )iZ P không tầm thường nên ( ) 1Z G ≠ Bằng cách xét đồng cấu tự nhiên 1 2: kG P P Pϕ = × ×× ⟶ 1 1 2 2/ ( ) / ( ) / ( )k kP Z P P Z P P Z P× ×× , với ( )ker Z Gϕ = . Ta được: 1 1 2 2/ ( ) / ( ) / ( ) / ( )k kG Z G P Z P P Z P P Z P≅ × ×× . / ( )G Z G là tích trực tiếp của những pi - nhóm cấp nhỏ hơn, do đó theo giả thiết quy nạp / ( )G Z G lũy linh Tức là ( / ( )) 1c G Z Gγ = với c N∈ nào đó. Xét toàn cấu: : / ( )G G Z Gπ → , theo bổ đề 1.2.6: ( ( )) ( / ( )) 1c cG G Z Gπ γ γ= = ( ) ( )c G ker Z Gγ π⇒ ≤ = Do đó: 1( ) [ ( ), ] [ ( ), ] 1c cG G G Z G Gγ γ+ = ≤ = . Suy ra G lũy linh. ∎ Định lý 1.2.10. ( Định lý Schreier) Nhóm đẳng cấu ngoài của một nhóm đơn hữu hạn thì giải được. Xem [6] ∎ 1.3 Một số nhóm quan trọng 14 Định nghĩa 1.3.1. Nhóm G được gọi là T – nhóm nếu mọi nhóm con chuẩn tắc của nhóm con chuẩn tắc của G là chuẩn tắc trong G (tức là: G là T – nhóm và ,M N N G M G⇒   ) Định nghĩa 1.3.2. Một nhóm G được gọi là F.C – nhóm nếu mọi lớp liên hợp của mỗi phần tử trong G là hữu hạn. Định nghĩa 1.3.3. Nhóm G được gọi là nửa đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc abel không tầm thường. Định nghĩa 1.3.4. Nhóm con Frattini của một nhóm G là giao của tất cả các nhóm con tối đại của G. Kí hiệu là ( )Gφ Nếu G không có nhóm con tối đại thì nhóm con Frattini của G bằng G. Sau đây ta xét một số tính chất của nhóm con Frattini: Định lý 1.3.5. Nhóm con Frattini của G là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh. Thật vậy ta sẽ chứng minh giao của tất cả các nhóm con tối đại của G là nhóm con chuẩn tắc của G. Cho M là nhóm con tối đại của G. Khi đó 1g Mg− vẫn là nhóm con tối đại của G. Vì nếu 1g Mg− không tối đại thì nó sẽ được chứa trong một nhóm con thực sự H của G, nhưng khi đó 1M g Mg H G−≤ < < (vô lý với tính tối đại của M). Do đó 1g Mg M− = Cho i i M  là giao tất cả các nhóm con tối đại. Khi đó tính chất của phép liên hợp cho ta: 1 1( )i i i i i i g M g gM g M− −= =    15 Vậy i i M  là nhó con chuẩn tắc. Do đó ( )G Gφ  ∎ Định lý 1.3.6. Nếu G hữu hạn thì ( )Gφ lũy linh. Chứng minh. Ta sẽ dùng định lý 1.2.9 các tính chất tương đương với lũy linh để chứng minh nhóm con Frattini của một nhóm hữu hạn là lũy linh. Lấy P là p – nhóm con Sylow của ( )Gφ Theo bổ đề 1.1.4 ta có: ( ) ( )GG N P Gφ= Nếu ( )GN P G≠ thì sẽ có một nhóm con tối đại thực sự M của G mà : ( )GN P M G≤ < Theo định nghĩa ( )G Mφ ≤ Do đó ( ) ( )GN P G M Gφ ≤ < (mâu thuẫn) Vậy ( )GN P G= P G⇒  ( )P Gφ⇒  Vì vậy theo ) )ii i⇒ định lý 1.2.9 ta được ( )Gφ lũy linh. ∎ Định nghĩa 1.3.7. Một nhóm H của G gọi là có phần bù trong G nếu có một nhóm con không tầm thường K của G sao cho G HK= . Định lý 1.3.8. Một nhóm con chuẩn tắc N của một nhóm G hữu hạn có phần bù nếu và chỉ nếu N không chứa trong nhóm con Frattini của G. Chứng minh. )⇒ giả sử N là nhóm con chuẩn tắc có phần bù là H trong G. Khi đó H được chứa trong nhóm con tối đại M của G. Do G = NH nên G = NM. Nếu ( )N Gφ≤ thì N M≤ (mâu thuẫn). 16 Do đó: N không chứa trong ( )Gφ ( )⇐ giả sử N không chứa trong ( )Gφ . Thì sẽ tồn tại một nhóm con tối đại M của G, mà N không chứa trong M. Do N G , nên ta có G = NM, và do đó N có phần bù trong G. ∎ Định nghĩa 1.3.9. Một nhóm con H của G được gọi là nhóm á chuẩn tắc (subnormal) của G nếu tồn tại dãy: 1 nH H H G=  Như vậy ta thấy rằng mọi nhóm á chuẩn tắc của T- nhóm đều là nhóm con chuẩn tắc. Ta có một tính chất khá thú vị sau về nhóm á chuẩn tắc: Định lý 1.3.10. G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con của G đều là nhóm á chuẩn tắc của G. Chứng minh. ( )⇒ giả sử G lũy linh lớp n, khi đó G có dãy tâm trên 0 1 nZ Z Z G≤ ≤ ≤ = . Nếu H G≤ suy ra 1( ) ( ),i iHZ G HZ G i+ ∀ Thật vậy xét toàn cấu tự nhiên: 1: ( )ip HZ G+ ⟶ 1( ) / ( )i iHZ G Z G+ , ta có 1( ) / ( ) ( / ( ))i i iZ G Z G Z G Z G+ = Dễ dàng suy ra: 1 1( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( )i i i i i iHZ G Z G HZ G Z G HZ G HZ G+ +⇒  . Khi đó: 0 1( ) ( ) ( )nH HZ G HZ G HZ G G= =  Suy ra H là nhóm á chuẩn tắc của G. ( )⇐ giả sử mọi nhóm con của G đều là nhóm á chuẩn tắc của G. Lấy P là p – nhóm con Sylow của G, khi đó tồn tại dãy: 1 nP P P G=  17 Ta sẽ dùng định lý 1.2.9 chứng minh P G : Ta chứng minh quy nạp theo n: - 1n = : theo bổ đề trên (Frattini Argument) ta có: 1 ( ) ( )G GG P N P N P= = (do 1 ( )GP N P⊂ ) P G⇒  - giả sử kP P - ta có ( ) ( )k G GG P N P N P P G= = ⇒  . Vậy theo định lý 1.2.9 thì G lũy linh. ∎ Từ kết quả này hiển nhiên ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.3.11. Mọi nhóm lũy linh là T – nhóm khi và chỉ khi mọi nhóm con đều chuẩn tắc. ∎ Định nghĩa 1.3.12. Nhóm con Fitting là nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con lũy linh chuẩn tắc của nhóm G. Ký hiệu : ( )F G Từ định nghĩa ta có nhận xét: ( )F G là nhóm con lũy linh chuẩn tắc lớn nhất và duy nhất của G. Định lý 1.3.13. Nếu G là T – nhóm và ( )GC C G′= thì C là nhóm Fitting của G (tức là ( ) ( )GF G C G′= ) Chứng minh. Trước hết ta có một nhận xét : nhóm các đẳng cấu của một nhóm cylcic thì abel. Thật vậy: Xét , Aut xϕ φ ∈ xác định bởi ( ) , ( )k lx x x xϕ φ= = với số nguyên k, l nào đó. Dễ thấy ( ) ( )x xϕ φ φ ϕ° = ° nên ϕ φ φ ϕ° = ° . - Ta có C G≤ nên C G′ ′≤ [ , ] [ , ] 1C C G C′ ′⇒ ≤ = 18 Do đó C lũy linh và do đó ( )C F G≤ . - Lấy N là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G. Lấy x N∈ , do định lý 1.3.10 nên x N mà N G x G⇒  (tính chất của T – nhóm) Theo chứng minh của định lý 2.2.5: / ( )GG C x K Aut x≅ ≤ Do đó / ( )GG C x là abel, suy ra ( ) ( )G GG C x x C C G N C′ ′≤ ⇒ ∈ = ⇒ ≤ Do vậy ( ) ( )GC G F G′ = . ∎ 1.4 Biểu diễn chính quy của một nhóm Định nghĩa 1.4.1. Xét tác động trái của G lên chính nó: : GG Sϕ → với : g g G G x gx →  Khi đó ta có 1x x G ker Gϕ ∈ = =  (do { : } 1xG g G gx x= ∈ = = ) Do đó ϕ là đơn cấu, và đồng cấu này được gọi là biểu diễn chính quy (trái) của G Định lý 1.4.2. Cho G hữu hạn, lấy : Gϕ ⟶ GS là biểu diễn chính quy trái của G. Chứng minh rằng nếu có phần tử x G∈ sao cho | | ,| |x n G mn= = thì ( )xϕ là tích của m n – chu trình . Từ đó suy ra: ( )xϕ là hoán vị lẻ nếu và chỉ nếu |x| chẵn, và | | | | G x lẻ. Chứng minh. Do ϕ đơn cấu nên G Imϕ≅ . 19 Vì | |x n= nên ( ) Gx Sσ ϕ= ∈ cũng có cấp n, tức là 2 1{1, , , , }nσ σ σ σ −=  . Ta biết rằng mỗi hoán vị là tích của những chu trình rời nhau. Khi đó tích này được gọi là chu trình khai triển (cylce decomposition). Hơn nữa với mỗi hoán vị thì chu trình khai triển là duy nhất, sai khác thứ tự các chu trình (do rời nhau). Xem [9]. Nếu cho σ tác động vào G thì chu trình khai triển của σ được lấy từ quỹ đạo của G. Ta sẽ chứng minh lực lượng của quỹ đạo của một phần tử bất kỳ của G là n. Lấy y G∈ , ta có : | | ( : ) | |y y nyσ σ σ σ = = , với { : }i iy y yσ σ σ= = Ta có: ( ) ( )i i i iy y x y x y x yσ ϕ ϕ= = = = 1 ( ) 1 ( ) 1i i i ix x xϕ ϕ σ⇔ = ⇔ = ⇔ = = | | 1 y y Gσ⇒ = ∀ ∈ | | | |y ny nσ σ ⇒ = = Mặt khác 1 | | | | k i i G y knσ = = =∑ , mà | |G mn= nên k = m. Tức là có m quỹ đạo, mỗi quỹ đạo có độ dài n, do đó chu trình khai triển của σ gồm m n – chu trình. Hơn nữa: một chu trình có độ dài lẻ là một hoán vị chẵn và một chu trình có độ dài chẵn là một hoán vị lẻ. Do đó ( )xϕ là hoán vị lẻ nếu và chỉ nếu chu trình khai triển của nó gồm số lẻ các chu trình chẵn, tức là n chẵn và m lẻ. ∎ 20 Bổ đề 1.4.3. Nếu G là nhóm, N G≤ ,[ : ]G N p= nguyên tố và K G≤ thì hoặc K N≤ hoặc G KN= và [ : ]K K N p∩ = Chứng minh. giả sử \K N ≠ ∅ , gọi \k K N∈ Ta có: / pG N Z≅ là nhóm cyclic, hơn nữa nó được sinh bởi một phần tử bất kỳ khác đơn vị (do p nguyên tố) hay /G N k= Ta có KN G≤ (do N G ) Lấy g G∈ , ta có agN k N= với a nguyên : an N g k n⇒∃ ∈ = g KN KN G⇒ ∈ ⇒ = Khi đó [ : ] [ : ] [ : ]p G N KN N K K N= = = ∩ . ∎ Áp dụng bổ đề này để chứng minh định lý: Định lý 1.4.4. Cho G hữu hạn, : Gϕ ⟶ GS là biểu diễn chính quy trái. Chứng minh rằng: nếu ( )Gϕ có chứa một hoán vị lẻ thì G có nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2. Chứng minh. Ta có ( ) GG Sϕ ≤ chứa một hoán vị lẻ, do đó ( ) GAGϕ  Mặt khác G GA S có chỉ số 2 [ ( ) : ( )] 2GG A Gϕ ϕ⇒ ∩ = (theo bổ đề trên) Do biểu diễn chính quy trái là đơn cấu nên ta đồng nhất ( )Gϕ = GG S≤ Do đó G có nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 là ( )GA Gϕ∩ . ∎ 1.5 Nhóm tự do và một số tính chất liên quan 21 Địn nghĩa 1.5.1. Nếu X là tập con khác rỗng của nhóm F, khi đó F là nhóm tự do với cở sở X nếu: với mỗi nhóm G và với mỗi ánh xạ :f X G→ , tồn tại duy nhất đồng cấu : F Gϕ → thỏa ( ) ( )x f xϕ = với mọi x X∈ . Ta có một tính chất quan trọng của nhóm tự do: mỗi phần tử của nhóm tự do F được viết một cách duy nhất dưới dạng: 1 21 1 ... s l l l sx x x x= với 10, 0, ,i i i is l x x x X+≥ ≠ ≠ ∈ Định lý 1.5.2. Cho F là nhóm tự do với cơ sở 1{ , , }nX x x=  thì /F F ′ là nhóm abel tự do với cơ sở 1{ , , }nX x F x F′ ′ ′=  . Chứng minh. Ta sẽ dùng tính chất phổ dụng của nhóm tự do để chứng minh /F F ′ là nhóm tự do với cơ sở X’ Xét biểu đồ sau: Trong đó G là nhóm abel bất kỳ, p và p’ là các ánh xạ nhúng π là toàn cấu tự nhiên : xυ ⟼ 'xF : Xγ ⟶G là ánh xạ bất kỳ Do F là nhóm tự do nên tồn tại duy nhất đồng cấu :g F G→ thỏa gp γυ= Xét ánh xạ: ' : / ' ( ) g F F G wF g w →  . Ánh xạ g’ xác định vì G abel nên 'F kerg≤ Khi đó g p γ′ ′ = , thật vậy: do g p g p gpυ π γυ′ ′= = = , mà υ đơn ánh nên g p γ′ ′ = 22 Hơn nữa g’ là duy nhất, vì nếu có g” thỏa "g p γ′ = thì do p’ đơn ánh nên ' "g g≡ . Như vậy F và F/F’ là có cùng hạng. ∎ Định lý 1.5.3. ( Định lý Nielsen – Schreier) Mọi nhóm con của nhóm tự do là tự do. Xem [1] ∎ Bổ đề 1.5.4. Cho F là nhóm tự do, hạng n >1, khi đó với 1 x F≠ ∈ , thì ( )FC x là cyclic. Chứng minh. Ta có ( )FC x F≤ nên ( )FC x là nhóm tự do Đặt 1 2( ) { , , , }F nG C x x x x= =  . Do x giao hoán với chính nó nên x thuộc G. Trường hợp 1: Nếu x là phần tử sinh của G thì nó là phần tử sinh duy nhất, vì nếu có phần tử sinh khác : giả sử là a, thì ta có 1ax xa a xax−= ⇒ = trái với tính tự do của G. Do vậy G x= Trường hợp 2: Nếu x không là phần tử sinh của G, thì x có dạng 1 21 2, , , n i i i nx x x x=  Ta sẽ chứng tỏ rằng G chỉ có một phần tử sinh. Giả sử phần tử đầu tiên 1x là phần tử sinh của G Khi đó giả sử 2x là phần tử sinh của G, ta có 1 2 2 21 2 ni i ixx x x x x=  và 1 22 2 1 2 n i i ix x x x x x=  , rõ ràng do tính duy nhất của biểu diễn mỗi phần tử trong nhóm tự do 2 2xx x x≠ , do đó 2x G∉ (!). Vậy G cylic. ∎ 23 CHƯƠNG II: NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG 2.1 Định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng Định nghĩa 2.1.1. Cho nhóm G và K là nhóm con bất kỳ của G. Ta ký hiệu 1{ | }Kx k xk k K−= ∈ là lớp liên hợp của x trong K. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G, ta nói H là liên hợp đóng nếu H Gx x= x H∀ ∈ Nếu một nhóm G mà mọi nhóm con chuẩn tắc đều liên hợp đóng thì G được gọi là nhóm liên hợp đóng. Ví dụ 2.1.2. Rõ ràng các nhóm đơn và nhóm abel đều là các nhóm liên hợp đóng Nhận xét 2.1.3. Như trong phần mở đầu ta đã chứng tỏ rằng một nhóm liên hợp đóng là T – nhóm. Ngược lại một T – nhóm chưa hẳn là nhóm liên hợp đóng, ví dụ là nhóm 3S . Rõ ràng 3S là T – nhóm (vì nó chỉ có một nhóm chuẩn tắc là 3A ). Tuy nhiên theo kết quả trong phần 3 ta sẽ chỉ ra rằng mọi nhóm đối xứng nS với 3n ≥ không là nhóm liên hợp đóng. ∎ Ta xét vài tính chất tổng quát của nhóm liên hợp đóng: 2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm liên hợp đóng 24 Mệnh đề 2.2.1. Lớp các nhóm liên hợp đóng là đóng đối với phép lấy tích trực tiếp hữu hạn, lấy nhóm con chuẩn tắc và lấy ảnh đồng cấu. Nghĩa là: a. Tích trực tiếp hữu hạn của các nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng. b. Nhóm con chuẩn tắc của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng c. Ảnh đồng cấu của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng. Chứng minh. a. Tích trực tiếp các nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng. Ta chỉ cần chứng minh tích của hai nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng, quy nạp lên ta sẽ được trường hợp hữu hạn của tính chất này. Trước hết ta cần chứng minh bổ đề nhỏ sau: Cho 1 2G G G= × và H G .Giả sử 1 2,A B lần lượt là các nhóm con bất kỳ của 1 2,G G . Đặt 2 2 1{ | : ( , ) }A y G x A x y H= ∈ ∃ ∈ ∈ và 1 1 2{ | : ( , ) }B x G y B x y H= ∈ ∃ ∈ ∈ . Khi đó 2 1,A B lần lượt là các nhóm con chuẩn tắc của 2 1,G G . Chứng minh bổ đề. Ta chứng minh 2 2A G - Hiển nhiên 1 2 2 2 2( , )e e H e A A∈ ⇒ ∈ ⇒ ≠∅ - 1 11 2 2 1 2 1 2 2 ( , ) , , : ( , ) x y H y y A x x A x y H ∈ ∀ ∈ ⇒ ∃ ∈  ∈ 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2( , )( , ) ( , )x y x y H x x y y H − − −⇒ ∈ ⇒ ∈ 11 2 2 2 2y y A A G −⇒ ∈ ⇒ ≤ 25 - 2 2 2 1, : ( , )g G y A x A x y H∀ ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ 1 1 1 2 1 2 2 2( , ) ( , )( , ) ( , )e g x y e g x g yg H − −⇒ = ∈ 1 2 2 2 2 2g yg A A G −⇒ ∈ ⇒  . Hoàn toàn tương tự ta có 1 1B G . Bổ đề được chứng minh xong. Bây giờ giả sử 1 2,G G là các nhóm liên hợp đóng, ta sẽ chứng minh 1 2G G G= × cũng là nhóm liên hợp đóng. Thật vậy, lấy H là nhóm con chuẩn tắc bất kỳ của G. Với mọi ( , )x y H∈ ta sẽ chứng minh rằng ( , ) ( , )H Gx y x y= . - Hiển nhiên ( , ) ( , )H Gx y x y⊂ - Ta phải chứng minh chiều ngược lại ( , ) ( , )G Hx y x y⊂ 1 2( , )g g G∀ ∈ ta chứng minh 1 2 ( , )( , ) ( , )g g Hx y x y∈ Trước hết ta sẽ chứng minh : 1 2( , )( , ) ( , )g e Hx y x y∈ và 1 2( , )( , ) ( , )e g Hx y x y∈ (*) Thật vậy: xét 1{ | : ( , ) }A a G b y a b H= ∈ ∃ ∈ ∈ Theo bổ đề trên ta có 1A G Ta có ( , )x y H x A∈ ⇒ ∈ . Do tính liên hợp đóng của 1G ta có 1 GAx x= 1 1 1 : g hh A x x⇒∃ ∈ = 1: ( , )b y h b H⇒∃ ∈ ∈ 1 1 1( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )h b h hH bx y x y x y x y⇒ = = (do b y∈ ) 1 1 2( , )( , ) ( , )g g ex y x y= = 26 Tương tự, xét 2{ | : ( , ) }B b G a x a b H= ∈ ∃ ∈ ∈ ,theo bổ đề trên ta cũng có 2B G Ta có ( , )x y H y B∈ ⇒ ∈ . Do tính liên hợp đóng của 2G nên ta được 2 G By y= 2 2 2 : g hh B y y⇒∃ ∈ = 2: ( , )a x a h H⇒∃ ∈ ∈ 2 2 2( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )a h h hH ax y x y x y x y⇒ = = (do a x∈ ) 2 1 2( , )( , ) ( , )g e gx y x y= = Áp dụng (*) ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) [( , ) ] [( , ) ]g g g e e g g e e g h h e gx y x y x y x y= = = (với 1 2( , )h h H∈ ) 1 2 1 2 ( , ) ( , )[( , ) ]h h b bx y= với 1 2( , )b b H∈ (do 1 2 ( , )( , ) h hx y H∈ ) 1 1 2 2( , )( , ) ( , )h b h b Hx y x y= ∈ Suy ra H là liên hợp đóng. Do vậy 1 2G G G= × là liên hợp đóng. b. Nhóm con chuẩn tắc của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng Cho G là nhóm liên hợp đóng. Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G. Lấy A là nhóm con chuẩn tắc của H. Khi đó A là nhóm con chuẩn tắc của G Ta có : A G Hx A x x x∀ ∈ = = , do vậy H liên hợp đóng. c. Ảnh đồng cấu của nhóm liên hợp đóng lại là liên hợp đóng. Thật vậy: xét đồng cấu :f X ⟶Y , X liên hợp đóng. Ta chứng minh ( )f X liên hợp đóng Lấy 1( ) ( )B f X A f B X−⇒ =  , nên A là liên hợp đóng. Lấy x B∈ ta chứng minh ( )f X Bx x=  Hiển nhiên ( )B f Xx x⊂ 27  Với g X∈ : do A X nên 1 1 1 1: ( ) ( )a A a f x a g f x g− − − −∃ ∈ = Do dó 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) Bf g xf g f g f x g f a f x a f a xf a x− − − − − −= = = ∈ Vậy ( )f X Bx x= nên ( )f X liên hợp đóng. ∎ Như vậy nhóm thương của một nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng. Nhận xét 2.2.2. Tích nửa trực tiếp của hai nhóm liên hợp đóng có thể không liên hợp đóng. Sau đây là một phản ví dụ: Xét trong 3S : (1 2 3)A = 3S , (1 2)B = 3S≤ Với A, B là các nhóm abel và do đó là các nhóm liên hợp đóng. Mặt khác 3S AB= , 1A B∩ = nên 3S BA=  tuy nhiên 3S lại không là nhóm liên hợp đóng. ∎ Nhận xét 2.2.3. Nhóm con của nhóm liên hợp đóng có thể không liên hợp đóng. Ta sẽ chỉ ra ví dụ cho nhận xét này: • Đầu tiên ta sẽ chỉ ra nhóm 5A là nhóm đơn: Ta sẽ chỉ ra rằng 5A được sinh bởi các 3 – chu trình. Thật vậy, vì mỗi phần tử của 5A đều là tích của một số chẵn các chuyển vị. Vì ( )( ) ( )a c a b a b c= và ( )( ) ( )( )c d a b a d c a b c= do đó, mỗi phần tử của 5A đều là tích hữu hạn của 3 – chu trình. Bây giờ lấy N là nhóm con chuẩn tắc khác đơn vị của 5A . Khi đó N chứa một hoán vị chẵn không tầm thường nên có thể có các khả năng sau: 28 - N chứa 3 – chu trình ( )a b c , nếu ( ' ' ')a b c là 3 – chu trình khác và 5Sπ ∈ là phép thế biến a thành a’, b thành b’, c thành c’, thì khi đó 1( ) ( ' ' ')a b c a b cπ π − = Nếu π là phép thế lẻ, ta thay π bởi ( )e fπ với e, f khác a’, b’, c’ Do tính chuẩn tắc của N trong 5A nên ta có ( )' ' 'a b c N∈ , và do đó 5N A= . - N chứa 5 – chu trình 1 2 3 4 5( )a a a a aπ = , do đó N chứa 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 5' ( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a aπ π −= = Suy ra 1 1 2 4' ( )a a a Nπ π − = ∈ , do đó theo chứng minh trên 5N A= . - N chứa phép thế dạng ( ' ')( )a b a bπ = , khi đó N chứa phép thế 1( ) ( ) ( ' ')( )a c b a c b a b a cπ π − =′ = với , , ', 'c a b a b≠ Do đó ' ( )a b c Nπ π = ∈ , nên theo chứng minh trên 5N A= Như vậy 5A là nhóm đơn, do đó là nhóm liên hợp đóng. • Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng nhóm 4A không là T – nhóm. Thật vậy, xét nhóm con Klein { ,(1 2)(3 4),(13)(2 4),(1 4)(2 3)}K e= của 4A Như vậy mỗi phần tử khác đơn vị của K đều có dạng là tích của 2 chuyển trí. Ta có mỗi phần tử f trong 4S đều có thể phân tích thành tích của các chuyển trí Mặt khác dễ dàng kiểm tra: ( )a b∀ ta có 1( ) ( )a b K a b K− = Từ đó suy ra 1 4 fKf K f S − = ∀ ∈ Do đó K là nhóm con chuẩn tắc của 4A 29 Mặt khác nhóm con (1 2)(3 4) là nhóm con chỉ số 2 của K nên là nhóm con chuẩn tắc của K. Tuy nhiên nhóm (1 2)(3 4) không là nhóm con chuẩn tắc của 4A vì: 1(1 2 3)(1 2)(3 4)(1 2 3) (2 3)(1 4) (1 2)(3 4)− = ∉ Như vậy 4A là nhóm con của 5A nhưng không là T – nhóm, do đó không liên hợp đóng. ∎ Mệnh đề 2.2.4. Mọi nhóm con chuẩn tắc abel của nhóm liên hợp đóng đều nằm trong tâm. Chứng minh. lấy N G Lấy ( ),x Z N g G∈ ∈ 1 1: ( )n N g xg n xn x gx xg x Z G− −⇒ ∃ ∈ = = ⇒ = ⇒ ∈ Mặt khác N abel nên ( ) ( )N Z N Z G= ≤ ∎ Mệnh đề 2.2.5. Cho G là một nhóm, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: 1) G là nhóm liên hợp đóng 2) Với mỗi , ( )GH G G C x H= với mỗi x H∈ 3) Với mỗi H G và với mỗi x G∈ thì : ( )Gf C x ⟶ /G H là toàn cấu tự nhiên. Hơn nữa khi G hữu hạn thì (3) có thể được thay thế bởi (3’): / ( ) / ( )G HG H C x C x≅ Chứng minh. 1) 2)⇒ giả sử G là Nhóm liên hợp đóng và H G : , , : g hg G x H h H x x∀ ∈ ∈ ∃ ∈ = 30 1 1 1 11 ( ) ( )G Gg xg h xh gh x xgh gh C x g C x H − − − −⇒ = ⇒ = − ⇒ ∈ ⇒ ∈ ( )GG C x H⇒ = 2) 1)⇒ giả sử H G và ( )GG C x H= với mỗi x H∈ , , ( ), : g h G HGg G x H z C x h H g zh x x x x∀ ∈ ∈ ∃ ∈ ∈ = ⇒ = ⇒ ⊂ Hiển nhiên H G H Gx x x x⊂ ⇒ = . Do vậy G là liên hợp đóng. 2) 3)⇒ Cho H G giả sử ( )GG C x H= với mỗi x H∈ , ( ), :Gg G z C x h H g zh∀ ∈ ∃ ∈ ∈ = Xét : ( )Gf C x ⟶ /G H với z⟼ zH zhH gH= = . Khi đó f là toàn cấu. 3) 2)⇒ với mỗi , : ( )Gx H f C x∈ ⟶ /G H là toàn cấu tự nhiên. , ( ) : ( ) ( )G G Gg G z C x zH gH g zH C x H G C x H∀ ∈ ∃ ∈ = ⇒ ∈ ⇒ ⇒ ⊂ ( )GG C x H⇒ = Hơn nữa khi G hữu hạn thì 3) 3')⇔ nên 3) có thể được thay thế bởi 3’) Thật vậy: toàn cấu tự nhiên trong 3) cho ta đẳng cấu: ( ) / ( ) /G HC x C x G H≅ (vì { ( ) : } ( )G Hkerf z C x z H C x= ∈ ∈ = ) Mặt khác: với : / ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) /G H G G Gx G G H C x C x C x H C x C x H H∈ ≅ = ∩ ≅ ( )GG C x H⇒ = Theo 2) thì ánh xạ ( )GC x ⟶ /G H là toàn cấu tự nhiên. ∎ 31 Định lý 2.2.6. Cho G là nhóm thỏa ( )G Z G H= × . Khi đó G là liên hợp đóng nếu và chỉ nếu H là liên hợp đóng. Chứng minh. ( )⇐ giả sử G là nhóm thỏa ( )G Z G H= × và H là nhóm liên hợp đóng. Z(G) là nhóm abel nên cũng là nhóm liên hợp đóng. Do đó G là tích của những nhóm liên hợp đóng nên là liên hợp đóng. ( )⇒ giả sử G là liên hợp đóng. Ta có / ( )G Z G H≅ . Vì nhóm thương của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng nên H là liên hợp đóng. ∎ Định lý 2.2.7. Một nhóm hữu hạn G là nửa đơn, liên hợp đóng và hoàn thiện nếu và chỉ nếu: 1 2 rG G G G= × ×× với iG là nhóm đơn không abel. Chứng minh. ( )⇒ Ta sẽ chứng minh quy nạp theo cấp của G. G nửa đơn nên G không có nhóm con chuẩn tắc abel thực sự, do đó Z(G) tầm thường. Theo bổ đề Zorn: G sẽ có nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất gọi là 1G . G liên hợp đóng nên G là T- nhóm,và do tính nhỏ nhất nên 1G là đơn Thật vậy: giả sử có 1 11 K G K G K G≠ ⇒ ⇒ =  Xét ánh xạ: : Gτ ⟶ 1( )Aut G được định nghĩa: ( )( ) gg x xτ = 1G∈ (do 1G G ) Dễ thấy τ là một đồng cấu. 1{ : , }ker g G xg gx x Gτ = ∈ = ∀ ∈ 1( )GC G= 32 Xét đồng cấu τ ′hạn chế trên 1 1( )GG C G : 1 1: ( )GG C Gτ ′ ⟶ 1( )Aut G , g⟼ ( )gτ Nhận thấy : 1( )Gker ker C Gτ τ ′= = Mặt khác: 1( )Im Inn Gτ ′ = , thật vậy: 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Gg g h G C G g g h g h gτ τ τ τ τ′ ′ ′ ′ ′∀ = ∈ ⇔ = = = (vì h kerτ ′∈ ) Vậy 1 1 1 1( ) / ( ) ( )G GG C G C G Inn G≅ Như vậy vì 1G đơn nên theo định lý Schreier 1 1 1( ) ( ) / ( )Out G Aut G Inn G≅ là giải được. Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / (/ ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) )G G G G G C GG G C G K Inn G Aut G Inn G G C G C G ≅ ≅ ≤ (với 1 1/ ( ) ( )GK G C G Aut G= ≤ ) Do nhóm con của nhóm giải được là giải được nên 1 1/ ( )GG G C G giải được. Đặt 1 1( )GH G C G= , nhận thấy [ / , / ] [ , ] / /G H G H G G H G H= = (do G hoàn thiện tức là G=[G,G]) Mà G/H là giải được nên G/H={1} Do vậy 1 1' ( )GG G G C G= = Vì G nửa đơn, mà 1 1( )GG C G∩ là nhóm con chuẩn tắc abel của G nên 1 1 1 1( ) {1} ( )G GG C G G G C G∩ = ⇒ = × . Khi đó: 1| ( ) | | |GC G G< và 1( )GC G là nửa đơn, liên hợp đóng và hoàn thiện Thật vậy: giả sử K là nhóm con chuẩn tắc abel của 1( )GC G , thì K là nhóm con chuẩn tắc abel của G, do G nửa đơn nên K tầm thường. 33 Theo quy nạp ta có: 1 2( )G rC G G G= ×× với , 2iG i∀ ≥ đơn không abel. 1 2 rG G G G⇒ = × ×× với iG đơn không abel. ( )⇐ giả sử 1 2 rG G G G= × × với iG là đơn không abel. iG là nhóm hoàn thiện. Thật vậy: [ , ]i i iG G G≤ do iG đơn nên [ , ]i iG G tầm thường, nếu [ , ] {1}i iG G = thì iG abel (!), nên [ , ]i i iG G G= . iG đơn nên nó liên hợp đóng. Do đó G là hoàn thiện và liên hợp đóng (phép toán theo thành phần). Lấy H là nhóm con chuẩn tắc abel của G 1 2 rH H H H⇒ = × ×× với iH là các nhóm con chuẩn tắc abel của iG với phép toán theo thành phần. {1}iH⇒ = do iG đơn, nên {1}H = . Do vậy G nửa đơn. ∎ Định lý 2.2.8. Cho G là nhóm hữu hạn thỏa ( )G Z G H= × ,với H là nhóm con chuẩn tắc liên hợp đóng của G. Khi đó / ( )G Z G hoàn thiện nếu và chỉ nếu 1 2( ) rG Z G G G G= × × ×× trong đó iG là nhóm con đơn không abel của G. Chứng minh. ( )⇒ giả sử / ( )G Z G hoàn thiện. Mặt khác / ( )G Z G H≅ nên H hoàn thiện nửa đơn và liên hợp đóng. Vì vậy theo định lý 2.2.7 ta có: 1 2 rH G G G= × × × với iG là nhóm đơn không abel. 1 2( ) rG Z G G G G⇒ = × × × × trong đó iG là nhóm đơn không abel. ( )⇐ giả sử 1 2( ) rG Z G G G G= × × × × với iG là nhóm đơn không abel. 34 Ta viết lại ( )G Z G H= × với 1 2 rH G G G= × × × Các iG là nhóm đơn không abel nên hoàn thiện. Do vậy H hoàn thiện / ( )G Z G H⇒ ≅ hoàn thiện. ∎ 2.3 Nhóm liên hợp đóng và các tính chất liên quan đến tính lũy linh và giải được Trong phần trước ta có một kết quả khá thú vị: mọi nhóm lũy linh là T – nhóm nếu và chỉ nếu mọi nhóm con đều chuẩn tắc. Ở phần này vấn đề tương tự được đặt ra là tính liên hợp đóng kết hợp