Luận văn Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

vì: 1: log 0 log logx x x x    1 1 log 0 log 0 x x    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 0 1:log 0 log 0 1 1 1 log 0 log log log . x x x x x x x             Như vậy, ta có:       2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 log Re log Re log 2 2 2 Re i i i f d f d d f              . Đặt     2 0 1 , log Re 2 im R f f d      . Giả sử f có các cực điểm  1,vb v n (mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bậc của nó), và các không điểm  1,a M   trong    ; ,z R n t f là số cực điểm của f trong  z t . Đặt     1 0 , log , RN v v R dt N R f n t f b t    . Như vậy, 1 0 1 1 , log , RM R dt N R n t f f ta                 . Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:       1 1 log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R f f                      1 1 , , , , log 0m R f N R f m R N R f f f                 . Đặt      , , ,T R f m R f N R f  , (1.1) thì     1 , , log 0T R f T R f f        . (1.2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9  ,T R f được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f. 1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng Giả sử    1 ,..., nf z f z là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây: (1)     1 1 , , log l l k k k k m r f z m r f l            . (2)     11 , , l l k k kk m r f z m r f         . (3)   1 1 , , l l k k k k N r f N r f           . (4)   11 , , l l k k kk N r f N r f         . (5)   1 1 , , log l l k k k k T r f T r f l            . (6)   11 , , l l k k kk T r f T r f         . Đặc biệt, với mọi hàm phân hình  f z và mọi a C ta có:    , , log log 2T r f T r f a a    . (1.3) 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất Giả sử  f z là hàm phân hình trong hình tròn  , 0,z R R a  là số phức tùy ý. Khi đó ta có:       1 1 , , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R f a f a                 trong đó  , log log 2a R a   . Chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Thật vậy, từ (1.1) và (1.2) ta có:     1 1 1 , , , , log 0m R N R T R T R f a f a f a f a f a                          . Từ (1.3) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh. (*) Nhận xét : Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ nhất. Hàm đếm 1 ,N R f a       được cho bởi công thức : 1 1 , log M R N R f a a         , trong đó a là các nghiệm của phương trình  f z a trong hình tròn z R . Hàm xấp xỉ   2 0 1 1 1 , log 2 Rei m R d f a f a            . Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là  Reif a nhỏ) thì hàm m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm ‘‘đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình  f z a ’’ và ‘‘độ lớn tập hợp tại đó  f z nhận giá trị gần bằng a’’. Trong khi đó vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a. Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình  f z nhận mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau. 1.3. Định lý cơ bản thứ hai 1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) Giả sử  f z là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn  z r ; 1,..., ; 2qa a q  , là các số phức phân biệt. Khi đó ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11          1 1 , , 2 , q v v m r m r a T r f N r S r       , trong đó  1 0N r  , được cho bởi:      1 1 , 2 , , ' ' N r N r N r f N r f f         ,    1 ' 3 1 , log log2 log ' 0 q v v f q S r m r q f a f             , 1 min 0.v v q a a        ( Để đơn giản ta giả thiết:  ' 0 0,f   ). Để chứng minh bất đẳng thức cơ bản trên ta chứng minh một số bổ đề sau. 1.3.2. Bổ đề 1 Giả sử  g z là hàm phân hình trong hình tròn    , 0 0,z r g   khi đó ta có:       2 0 1 1 1 , , log log 0 2 i N r g N r d g g g re             . Chứng minh.       1 1 1 , , , , , ,N r g N r T r g m r g T r m r g g g                                 1 1 , , , ,T r g T r m r g m r g g                               2 2 0 0 1 1 1 1 log log log 0 2 2 i i g re d d g g re                 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12     2 0 1 1 log log 0 2 ig re d g      . Đặt   1 1q v v F z f a    . 1.3.3. Bổ đề 2 Với các giả thiết của định lý, ta có:     1 1 3 log log log log2. * q q F z q f a            Chứng minh. + Nếu với mọi  , 3 f a q     thì (*) đúng. Thật vậy với mọi  ta có : 1 1 3 1 3 log log qq q q f a f a            .  Vế phải của (*) 0 + Giả sử tồn tại v : 3 vf a q    . Nếu tồn tại  thỏa mãn thì v là duy nhất. Vì nếu ngược lại: ; 3 vf a q    . 3 f a q      2 3 va a q      . (vô lý) Với mọi ; 3 v f a q      , 2 3 3 v vf a a a f a q           . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13  1 3 1 3 1 1 2 2 2 v q q q f af a      . 13 2 2 3 vf a q qf a       .   1 1 1 1q v vv v F z f a f a f a           = 1 1 1 1 1 1 2 2 v v v v f a q f a f a q f af a                   .   1 1 1 1 log log log2 log log log2 q vv F z f a f a f a                     1 1 3 log 1 log log2 q q q f a            1 1 3 log log log2 q q q f a           . (*) Chứng minh định lý: Lấy 2 0 1 2 d     hai vế ta được:   2 2 10 0 1 1 1 3 log log log log 2 2 2 q i qF re d d q f a             .     1 3 , , log log2 q v v q m r F m r a q       .     1 3 , , log log2 q v v q m r a m r F q       . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14   1 1 , ; . . '. ' 1 ' , , , . ' q v v f m r F m r f F f f f f m r m r m r f f f a                              1 1 1 , , , 1 1 , log 0 , . m r T r N r f f f T r f N r f f                                  , , , ' ' ' f f f m r T r N r f f f                        0 , log , ' ' 0 ' ff f T r N r f f f                   0' ' , , , log ' ' 0 ff f f m r N r N r f f f f                      . Từ bổ đề một ta có:         2 0 ' 0' 1 , , log log ' 2 0' i i f re ff f N r N r d f f ff re                   .       1 ' , , log 0 , , f m r F T r f f N r m r f f                   1 0' , log ' 0 q v v ff m r f a f                 2 0 ' 01 log log 2 0' i i f re f d ff re     .         1 3 , , , , log log2 q v v q m r m r a m r m r F q        Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15           2 10 1 ' , , log 0 , , 1 ' 3 log , log log2 2 ' i q i v v f m r T r f f N r m r f f f re f q d m r q f af re                                      2 2 0 0 1 1 log log ' 2 2 i if re d f re d             1 1 , , , , ' ' N r N r f N r N r f f f                   . Vậy:           1 , , 2 , , log 0 q v v m r m r a T r f N r f f                   1 , log ' 0 , , 1 log 0 , , ' log ' 0 ' N r S r f N r N r f f f f N r N r f f f                                       1 1 2 , , 2 , , ' ' 2 , , T r f N r N r f N r f S r f T r f N r S r                 trong đó,      1 1 , 2 , , ' ' N r N r N r f N r f f         . Định lý được chứng minh. (*) Nhận xét: Có thể chỉ ra rằng  1 0N r  . Thật vậy, giả sử b là một cực điểm cấp k của hàm  f z trong đĩa  z r . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Khi đó đại lượng log r b được tính k lần trong tổng  ,N r f . Mặt khác, b là cực điểm cấp  1k  của đạo hàm  'f z . Do đó, đại lượng log r b được tính  1k  lần trong tổng  , 'N r f . Từ đó suy ra:    2 , , ' 0N r f N r f  Từ bất đẳng thức cơ bản ta có Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna. 1.3.4. Định lý Giả sử r là một số thực dương,  f z là hàm phân hình trong  ; 1,..., qa a là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:            1 1 1 , , , q v v q T r f N r a N r N r S r        , trong đó:            1 1 , 2 , , ' . ' log , log . N r N r N r f N r f f S r o T r f r           Chứng minh. Từ bất đẳng thức cơ bản ta có:          1 1 , , 2 , q v v m r m r a T r f N r S r       . Cộng vào hai vế đại lượng     1 , , q v v N r N r a    ta có:                   1 1 , , , , 2 , , , q v v v q v v N r m r m r a N r a T r f N r N r a N r S r                     Từ Định lý cơ bản thứ nhất, ta thấy với mọi 1,2,...,v q ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17        , , , 1v vm r a N r a T r f O   . Từ đó suy ra:              1 1 1 , 2 , , , q v v q T r f T r f N r a N r N r S r         . Tức là:            1 1 1 , , , q v v q T r f N r a N r N r S r        . 1.3.5. Định nghĩa Giả sử  f z là hàm phân hình trên mặt phẳng phức  , a , ta đặt.             , , , lim 1 lim , , m r a N r a a a f T r f T r f     .  , log r N r f b  ; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm, b r ; đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.         , , 1 lim , N r a a a f T r f     .           , , , lim , N r a N r a a a f T r f    .  a được gọi là số khuyết của giá trị a.  a được gọi là chỉ số bội của giá trị a. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết) Giả sử  f z là hàm phân hình trên  , khi đó tập hợp các giá trị a mà   0a  cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có:            2 a a a a a               . Chứng minh. Từ định nghĩa suy ra rằng:      a a a   . Chọn dãy  ,n nr r  sao cho     log ,n nS r O T r f . Từ Định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập hợp gồm q số phức phân biệt 1 2, ,..., qa a a ta có:             1 1 1 , , , log , q n n v n n n v q T r f N r a N r N r O T r f                   1 1 , , 2 , , ' , log , ' q n v n n n n n v N r a N r N r N r f N r O T r f f                       ' 1 1 , , , ' , log , q n v n n n n v N r a N r f N r f N r O T r f f            . Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau:           1 1 1 1 , , , ' , , q n v n n n v q O T r f N r a N r f N r f N r f                . Nếu b là một cực điểm cấp k của hàm  f z trong  nz r thì đại lượng log n r b tham gia k lần trong công thức tính  ,nN r  , đồng thời do b là cực điểm của  'f z cấp  1k  nên đại lượng đó tham gia  1k  lần trong công thức tính  , 'nN r f . Từ đó, suy ra:      , ' , ,n n nN r f N r N r    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Mặt khác, giả sử b là nghiệm bội k của phương trình:   vf z a với v nào đó 1 v q  . Khi đó, đại lượng log n r b tham gia k lần trong công thức tính tổng   1 , q n v v N r a   . Vì b là không điểm cấp  1k  của hàm  'f z nên nó là cực điểm cấp  1k  của hàm 1 'f . Do đó, tham gia  1k  lần vào công thức tính tổng 1 , ' N r f       . Từ đó, ta có:      0 1 1 1 , , , ' ' q q n v n n v v v N r a N r N r a N f f            , với  0 'N f là tổng có dạng log n r b  lấy theo mọi không điểm b của 'f mà không là nghiệm của bất kỳ phương trình   vf z a nào, 1 v q  . Suy ra,     1 1 1 , , , ' q q n v n n v v v N r a N r N r a f           . Ta có:         1 1 1 , , , q n n v n v q O T r f N r a N r           . Chia hai vế cho  ,nT r f ta được:          1 , , 1 1 , , q n v n v n n N r a N r q O T r f T r f      . Cho n ta suy ra:      1 1 1 1 q v v q a            . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Tức là:     1 2 q v v a      . Ta cần chứng minh tồn tại tập hợp các giá trị a sao cho   0a  , cùng lắm là đếm được, đồng thời     2 a a       .      1 1 0 n A a a a a n               . Tập hợp   1 a a n        có không quá 2n phần tử. Suy ra, A cùng lắm là đếm được. Vậy     2 a a       . Định lý được chứng minh. 1.3.7. Định lý Giả sử ,f g là các hàm phân hình khác hằng số sao cho tồn tại 5 điểm 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a để    1 1 ; 1,5j jf a g a j   . Khi đó, f g hoặc ,f g là hằng số. (*) Nhận xét: Số 5 không thể giảm. Ví dụ: 1 2 3 4; ; 0; 1; 1; z zf e g e a a a a       ,    1 1j jf a g a  nhưng f g . Chứng minh. Giả sử tồn tại 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ,      , 1,5j jz f z a z g z a j    . Đặt     1 1 , , , , .j j j j N r N r f a N r N r f a g a                Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Mà 1 , log j r N r f a b        . (b là nghiệm của phương trình  f z a chỉ tính một lần). Theo giả thiết:     jf z a g z a   . Suy ra, 1 1 , , j j N r N r f a g a              . Định lý cơ bản thứ 2, áp dụng cho 1 2 3 4 5; , , , , .f a a a a a                                            1 1 1 5 1 5 1 1 , , , , 1 , 2 , , ' , ' , . 1 4 , , , , 2 , , ' 1 , , , ' , . ' q v v j j j j q T r f N r a N r N r S r N r N r N r f N r f f S r O T r f T r f N r a N r N r N r f N r f S r f N r a N r N r f N r f S r f                                            Xét   5 1 1 , , ' j j N r a N r f         ,   5 1 , j j N r a   chứa các số dạng log r b , trong đó b là một trong các nghiệm của phương trình jf a . Giả sử, b là nghiệm bội k của phương trình jf a với j nào đó. Suy ra, tham gia  1k  lần trong 1 , log ' r N r f b       tham gia một lần.       5 5 0 1 1 1 , , , ' , ' j j j j N r a N r N r a N f f             Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 trong đó  0 'N f là tổng tính theo các nghiệm của ' 0f  mà không là nghiệm của jf a .       5 5 5 1 1 1 1 , , , . ' j j j j j j N r a N r N r a N r f               Xét    , ' ,N r f N r f : Mỗi cực điểm cấp k của f là cực điểm cấp 1k  của 'f . Suy ra:                                     5 1 5 1 5 1 5 1 , ' , , . 4 , , , , , . 3 1 , . * j j j j j j j j N r f N r f N r f T r f N r N r f S r N r T r f S r N r T r f O T r f O T r f N r                       Tương tự với hàm g, ta cũng có:          5 1 3 1 , . **j j O T r g N r    Giả sử 1 f g f g    là hàm phân hình. Theo định lý cơ bản thứ nhất, ta có:           1 , , 1 , , 1 . T r T r f g O f g T r f T r g O            Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Mặt khác:   5 1 1 1 , , j j T r N r N r f g f g                 , ( vì nếu số hạng log r b được tính trong  jN r thì   jf b a với j nào đó. Theo giả thiết,       0 logj r g b a f b g b b      được tính trong 1 ,N r f g       ).         5 1 1 , , , 1 .j j N r T r T r f T r g O f g            Từ (*),(**) suy ra:         5 1 2 , , 3 j j T r f T r g N r S r     . Kết hợp, ta được:       5 5 1 1 2 3 j j j j N r N r S r      . (vô lý) Vậy, suy ra f g . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Chương 2 Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. 2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình. 2.1.1. Định nghĩa Giả sử  f z là hàm phân hình khác hằng số trên C. Ta định nghĩa  ,S r f là một đại lượng xác định thỏa mãn     , ,S r f T r f khi r  ; có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn. Giả sử,      0 1, , ,...a z a z a z là các hàm nhỏ của f, tức là các hàm thỏa mãn:     , ,T r a z S r f khi r  . 2.1.2. Định lý (Milloux) Cho l là một số nguyên, f là hàm phân hình khác hằng số trên  và:         0 l v v v z a z f z   , khi đó:      , , z m r S r f f z       , (1.4) và:        , 1 , ,T r l T r f S r f    (1.5) Chứng minh. Xét trường hợp      lz f z  , chứng minh bằng phép quy nạp với l . Nếu   'z f  thì   ' , , f m r S r f f       . Giả sử, ta có:    , , l f m r S r f f        , với l nào đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Khi đó:           , , , , , l l f m r f m r m r f m r f S r f f          . (*) Nếu  f z có cực điểm tại 0z cấp k, thì    lf z có cực điểm tại 0z cấp k l và  1k l l k   . Do đó:       , 1 ,lN r f l N r f  . (**) Cộng các bất đẳng thức (*), (**) ta được:                        , , , , 1 , , 1 , , . l l l T r f m r f N r f m r f l N r f S r f l T r f S r f          Như vậy trong trường hợp này (1.5) được chứng minh. Ta kết luận rằng               1 , , , , l l l l f m r S r f T r f T r f f           , khi r  , trừ một tập hợp E của r có độ đo hữu hạn. Khi đó:           1 1 , , , , l l l l f f f m r m r m r S r f f ff                      . Vậy định lý được chứng minh cho trường hợp      lz f z  . Trường hợp tổng quát, ta chú ý rằng:                             0 0 0 , , log 1 , , log 1 , 1 , . l v v v vl v v l v z r m r a z f z l f z f z m r a z m r l f S r f O S r f                                 Vậy (1.4) được chứng minh. Hơn nữa ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26        , , , , ,m r m r m r f m r f S r f f          . Nếu  f z có cực điểm cấp p tại 0z và  va z có cực điểm cấp không quá q tại 0z thì  z có cực điểm tại 0z cấp không vượt quá p l q  và  1p l q l p q     khi đó:                0 , 1 , , 1 , , . l v v N r l N r f N r a z l N r f S r f          Vậy:                       , , , , , 1 , , 1 , , . T r m r N r m r f S r f l N r f S r f l T r f S r f             Vậy Định lý được chứng minh. Từ định lý trên ta có một số kết quả sau. 2.1.3. Định lý Giả sử  f z là hàm phân hình khác hằng số trên  và  z (khác hằng số) là hàm cho bởi ở định lý (2.1.2). Khi đó:      0 1 1 1 , , , , , , 1 ' T r f N r f N r N r N r S r f f                     , trong đó 0 1 , ' N r        là hàm đếm các không điểm của  ' z mà không phải là các không điểm của   1z  . Chứng minh. Theo định lý cơ bản thứ hai cho hàm    z f z  tại 3 điểm 0,1, ta có:        1 1 1 , , , 2 , , , 1 m r m r m r T r N r S r                  . (1.6) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Mặt khác, ta có:                     1 1 1 1 2 , , , , , , 1 1 1 , 2 , , ' 1 ' 1 , , , 1 , 1 T r N r m r m r N r N r N r N r N r O T r T r N r O                                                (1.7)      1 1 , , 2 , , ' ' N r N r N r N r           . Ngoài ra, tại một cực điểm của  z cấp l ,  ' z cấp 1l  , các cực điểm này chỉ xuất hiện tại cực điểm của  f z hoặc của  va z . Do đó:                1 , ' , , , , , , . l v v N r N r N r N r f N r a z N r f S r f            Hơn nữa , tại một không điểm của   1z  cấp l ,  ' z có không điểm cấp 1l  , vì vậy: 0 1 1 1 1 , , , , 1 ' 1 ' N r N r N r N r                               . Ta có:        , , ,S r T r T r f    , trừ ra một tập hợp E của r có độ đo hữu hạn. Do vậy,    , ,S r S r f  . Do đó, cùng với (1.6), (1.7) suy ra:       1 1 1 1 , , , , , , , 1 1 1 m r m r m r m r m r N r N r                                        1 , 2 , , ' 1 ' N r N r N r O           Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28             0 1 1 1 , , ' , , , 1 1 ' 1 1 , , , , . 1.8 1 '                                       m r N r N r N r N r O N r f N r N r S r f       Ta có:         1 1 , , , 1 1 1 , , , 1 1 1 , , , , T r f m r N r O f f m r m r N r O f f m r N r S r f f                                                 cùng với (1.8) suy ra:      0 1 1 1 , , , , , , . 1 ' T r f N r f N r N r N r S r f f                     Vậy định lý được chứng minh. 2.1.4. Định lý Giả sử  f z là hàm phân hình và siêu việt trên  . Khi đó:       1 1 2 1 , 2 , 2 , , 1 l T r f N r N r S r f l f l f                        , khi r  . (*) Để chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề sau: 2.1.5. Bổ đề: Nếu       0 1 ; , ' l z f z N r         xác định trong định lý 2.1.3 và    1 2, , ,N r f N r f được ký hiệu là hàm N tương ứng cực điểm đơn và cực điểm bội, mỗi cực điểm chỉ tính duy nhất một lần, thì ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29          2 0 1 1 , , , , , 1 ' lN r f N r f N r N r S r f z z                 . Chứng minh. Ta xét hàm                   1 11 2 2 ' 11 l ll l l l f z z g z zf z          . Khi đó tại một cực điểm đơn 0z của  f z , ta có:     0 1 ; 0 a f z O a z z     . Lấy vi phân hai vế l lần ta được kết quả:                    1 1