Luận văn Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa toán học và giải quyết tình huống gợi vấn đề

-x 4) Tbpt : Tìm x để y dương hoặc âm • Tbpt.1 : Dựa vào đồ thị - y > 0 ứng với phần đồ thị phía trên trục hoành. - y < 0 ứng với phần đồ thị phía dưới trục hoành. • Tbpt.2: Dựa vào biểu thức y = ax. - y nhận giá trị dương: Nếu a>0 thì x>0, nếu a<0 thì x<0. - y nhận giá trị âm: Nếu a>0 thì x0. Ví dụ minh họa: Bài 44c/73: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = -0,5x. Bằng đồ thị hãy tìm: Các giá trị của x khi y dương, khi y âm. Bảng 2.2. Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 7 Kiểu nhiệm vụ SGK SBT TC VD – HĐ BT Tgiaitich 0 3 3 6 Ttinh 3 15 18 36 Tve 2 10 10 22 Tbpt 0 1 3 4 Nhận xét Chúng tôi nhận thấy tất cả các bài toán trong bốn kiểu nhiệm vụ trên không có bài toán nào là bài toán thực tế, phần lớn các bài tập đều xoay quanh hai kiểu nhiệm vụ Ttinh và Tve . Học sinh chỉ nghiên cứu các tính chất của hàm số trong nội bộ toán học. Chẳng hạn, đối với kiểu nhiệm vụ Ttinh cho giá trị đầu vào tính giá trị đầu ra và các biến được nêu tường minh, học sinh chỉ việc tính toán trên công thức của một hàm số cho trước.  Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không được đề cập. Tóm lại, qua phân tích các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm, chúng tôi nhận thấy việc phát triển tư duy hàm chỉ dừng lại ở mức độ phát hiện, thiết 27 lập và nghiên cứu những sự tương ứng, sự phụ thuộc của hai đại lượng thông qua các bài toán toán học. Hơn nữa, việc xác định các biến số không tự học sinh phát hiện mà SGK đã làm thay bằng cách cho sẵn. Bên cạnh đó, hoạt động vận dụng sự tương ứng, sự phụ thuộc và vấn đề sử dụng mô hình hóa trong việc phát triển tư duy hàm không được đề cập. Sự thiếu sót này là do những ràng buộc khách quan của tổ chức toán học( như yếu tố công nghệ, lý thuyết còn thiếu). Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi sẽ đi phân tích chương trình và nội dung trình bày ở lớp 9. Vì ở chương trình lớp 9, khái niệm hàm số được trình bày ở mức độ sâu rộng hơn. 2.2.2. Lớp 9 Định nghĩa hàm số trong SGK Toán 9 như sau: “Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số” (SGK, Toán 9, tập một, trang 42) Như vậy, khái niệm hàm số được đưa vào chương trình Toán 9 vẫn giữ nguyên như ở lớp 7. Tuy nhiên, SGK Toán 9 đã bổ sung thêm các thuật ngữ “biến số”, “ tập xác định”, “sự đồng biến”, “sự nghịch biến” của hàm số và đưa ra các định nghĩa tường minh cho các thuật ngữ này thông qua các hoạt động tính toán. Tuy nhiên, đặc trưng biến thiên chỉ được nhắc đến nhằm cho học sinh làm quen với thuật ngữ này. Đặc trưng tương ứng của hàm số vẫn là đặc trưng nổi bật được xem xét. Việc tiếp cận hai khái niệm hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃(𝒂 ≠ 𝟎) và 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐(𝒂 ≠ 𝟎) được hình thành theo con đường quy nạp, đều xuất phát từ sự tương ứng giữa quãng đường đi được và thời gian chuyển động Tiếp tục nghiên cứu SGK để tìm các kiểu nhiệm vụ liên quan đến các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm, chúng tôi thấy có các kiểu nhiệm vụ như sau:  Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng) Tìm biểu thức giải tích của hàm số (Tgiaitich) xuất hiện ở bài tập số 10 trang 48 SGK toán 9 tập một: “Một hình chữ nhật có các kích thước là 20cm và 30cm. Người ta bớt kích thước của hình đó đi x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm). Hãy lập công thức tính y theo x”. Đây là một bài toán trong toán học, SGK nêu sẵn sự tương ứng của hai đại lượng biến là x và y học sinh chỉ cần biết công thức tính chu vi để thiết lập nên công thức.  Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 2 (Nghiên cứu sự tương ứng) 28 1) Ttinh : Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định. 2) Tgiaitich : Xác định biểu thức giải tích của hàm số. 3) Tve : Vẽ đồ thị hàm số (Tve). 4) Tdb-nb : Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Trong 4 kiểu nhiệm vụ trên, 3 kiểu nhiệm vụ đầu tiên kĩ thuật tương tự như ở lớp 7 nhưng các hàm số cho ở lớp 9 tổng quát hơn (hàm bậc nhất và bậc hai). Còn kiểu nhiệm vụ Tdb-nb như sau:  Tdb-nb.1: Dựa vào đồ thị Nếu đồ thị hàm số đi lên (đi xuống) trong khoảng K thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.  Tdb-nb.2: Dựa vào bảng giá trị. Khi x lần lượt nhận các giá trị tăng lên (giảm xuống) thuộc khoảng K mà giá trị tương ứng của hàm số y tăng (giảm) thì hàm số đã cho đồng biến (nghịch biến) trong khoảng K.  Tdb-nb.3: Dựa vào biểu thức giải tích - 1 2 1 2, ,x x K x x   ta có 1 2( ) ( )f x f x hay 1 2( ) ( ) 0f x f x  thì hàm số đồng biến trên K. - 1 2 1 2, ,x x K x x   ta có 1 2( ) ( )f x f x hay 1 2( ) ( ) 0f x f x  thì hàm số nghịch biến trên K. Bảng 2.3. Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 9 Kiểu nhiệm vụ SGK SBT TC VD-HĐ BT Ttinh 10 17 16 43 Tgiaitich 0 28 44 72 Tve 5 18 15 38 Tdb-nb 3 3 2 8 Nhận xét Chúng tôi thấy được hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc phần lớn chỉ diễn ra trong nội bộ toán học. Tập trung nghiên cứu trên 1 số tính chất của hàm như: giá trị của hàm số, sự đồng biến-nghịch biến và đồ thị Đối với kiểu nhiệm vụ Tdb-nb chỉ đánh giá 29 sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào bằng cách cho sẵn biến x từ đó tính được giá trị biến y thông qua công thức.  Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không thấy xuất hiện. Tóm lại So với SGK lớp 7, việc phát triển tư duy hàm trong SGK toán 9 chỉ tập trung ở hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc trong nội bộ toán học. Việc xác định các biến luôn được cho sẵn, vấn đề mô hình hóa thì hoàn toàn vắng mặt. Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ thông qua việc phân tích lời giải một trong các bài toán có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9. Chúng tôi xin trích dẫn ra đây bài tập số 3 trang 30 SGK toán 9 tập 2: “Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là 2F av= (a là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn). a) Tính hằng số a. b) Hỏi khi =10 /v m s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi = 20 /v m s c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N. Hỏi con thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90 /km h hay không?” Với câu a) chỉ cần thay giá trị của F và v đã cho ban đầu vào công thức 2F av= . Suy ra a. Và với a vừa tìm được ta có công thức 230F v= . Để giải quyết câu b) học sinh chỉ việc lần lượt thế = =10& 20v v vào công thức để tìm F . Qua câu c) học sinh chỉ cần nhận xét gió bão có vận tốc =90 / 25 /km h m s sau đó tính ra lực F rồi so sánh với kết quả với áp lực của cánh buồm để kết luận. Phân tích trên cho thấy công việc của học sinh chỉ là làm việc với biểu thức toán học. Các biến số (lực và vận tốc của gió) cũng như mối liên hệ giữa chúng (tỉ lệ thuận) đã được nêu tường minh trong bài toán. Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng tương tự, công việc của học sinh chỉ là giải toán. Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2_ bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến. Cụ thể, chúng tôi không thấy một bài toán nào yêu cầu học sinh phải tự xác định các biến trong tình huống và xác định mối liên hệ giữa chúng. Chúng tôi sẽ tiếp 30 tục phân tích và làm rõ vấn đề này trong chương trình đại số lớp 10- nơi mà khái niệm hàm số được định nghĩa một cách chặt chẽ và đầy đủ. 2.2.3. Lớp 10 Định nghĩa hàm số đã được giới thiệu một cách tổng quát ở lớp 7 và hình thành bằng con đường quy nạp. Và nó được mô tả thông qua tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên. Ở lớp 10, khái niệm hàm số được định nghĩa ngay mà không xuất phát từ các ví dụ. Cụ thể: “Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.” (SGK, Đại số 10 Cơ Bản) Hay “Cho một tập hợp khác rỗng 𝐷 ⊂ R. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f.” (SGK, Đại số 10 Nâng cao, trang 35) Như vậy ở chương trình lớp 10, SGK đã củng cố và bổ sung đầy đủ định nghĩa khái niệm hàm số. Khái niệm hàm số được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp và định nghĩa này làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số. Sau khi định nghĩa, SGK Đại số 10 còn trình bày thêm: “Để chỉ rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn được viết là y = f(x), hay đầy đủ hơn là f: 𝐷 → 𝑅 x y f (x)= ” Ngoài ra, SGK Đại số 10 NC cũng đã định nghĩa biến số độc lập và biến số phụ thuộc: “Trong kí hiệu hàm số y = f(x), ta còn gọi x là biến số độc lập, y là biến số phụ thuộc của hàm số f. Biến số độc lập và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể được kí hiệu bởi hai chữ cái tùy ý khác nhau” Như đã đề cập ở chương 1, việc xác định biến số là hết sức quan trọng trong quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn. Chúng tôi tự hỏi rằng khi gặp một bài toán thực tế cần giải quyết thông qua mô hình hóa hàm số thì liệu học sinh có xác định được đâu là biến độc lập 31 đâu là biến phụ thuộc hay không? Học sinh có thiết lập được mối liên hệ hàm giữa chúng và khai thác mối liên hệ đó để giải quyết bài toán hay không? Trong quyển sách Đại Số 10 Cơ bản, chúng tôi nhận thấy có các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động tư duy hàm như sau:  Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng ): Chúng tôi nhận thấy không có có bài tập nào liên quan đến việc xác định các biến và thiết lập sự tương ứng, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng biến.  Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 2 (Nghiên cứu sự tương ứng): 1) Ttinh : Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định. Về kĩ thuật tính thì vẫn giống như ở lớp 9 nhưng các hàm số ở lớp 10 đa dang hơn. Ngoài các hàm bậc nhất, bậc hai còn xuất hiện thêm hàm trị tuyệt đối, hàm phân nhánh Do đó, đòi hỏi học sinh phải biết xác định giá trị đầu vào để tính giá trị đầu ra thích hợp. Tuy nhiên 2 biến này được cho sẵn trong một công thức, học sinh chỉ việc kiểm tra biến x nằm trong miền xác định nào sau đó thay vào công thức để tính giá trị y. 2) Tgiaitich : Xác định biểu thức giải tích của hàm số. Kiểu nhiệm vụ Tgiaitich cũng tương tự như ở lớp 9 với yêu cầu là xác định hệ số a, b đối với hàm bậc nhất và hệ số a, b, c đối với hàm bậc hai khi cho biết trước một số yếu tố liên quan như: qua 2 điểm, qua 3 điểm, qua 1 điểm và có trục đối xứngTrong đó hai hàm số được cho sẵn bởi công thức học sinh không cần phải xác định các biến. Trong 36 bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, không có bài toán thực tế nào, chỉ có các bài thuần toán học. 3) Tve : Vẽ đồ thị hàm số. Kĩ thuật vẽ đồ thị hàm số bậc nhất ở lớp 10 giống như lớp 9. Tuy nhiên việc vẽ đồ thị hàm số bậc hai và hàm phân nhánh thì phức tạp hơn. 4) Tdb-nb : Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Giống như ở lớp 9 kĩ thuật sử dụng đồ thị vẫn còn được sử dụng xét sự đồng biến, nghịch biến. Tuy nhiên, kĩ thuật sử dụng tỉ số biến thiên được sử dụng nhiều hơn và đối với mỗi hàm (bậc nhất, bậc hai) thì việc xét sự đồng biến, nghịch biến được cho sẵn công thức. 5) Tchan-le: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số.  Tchan-le.1: Dựa vào đồ thị (C) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng: hàm số là hàm số lẻ. 32 - (C) nhận trục Oy là trục đối xứng: hàm số là hàm số chẵn. - (C) không có hai tính chất trên: hàm số không chẵn không lẻ.  Tchan-le.2: Dựa vào biểu thức giải tích - Tìm TXĐ D của hàm số - x D∃ ∈ mà x D− ∉ : hàm số không chẵn không lẻ. - x D∀ ∈ mà x D− ∈ : Tính ( )f x ( ) ( )f x f x  : hàm số là hàm số chẵn. ( ) ( )f x f x   : hàm số là hàm số lẻ. Tồn tại a, b mà ( ) ( )f a f a  và ( ) ( )f b f b  : hàm số không chẵn không lẻ. Bảng 2.2. Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 10 Kiểu nhiệm vụ SGK SBT TC VD-HĐ BT Ttinh 4 7 7 18 Tgiaitich 0 13 23 36 Tve 3 12 21 36 Tdb-nb 0 12 15 27 Tchan-le 1 4 12 17 Nhận xét Từ sự phân tích các kiểu nhiệm vụ và thống kê số lượng bài tập liên quan, chúng tôi nhận thấy các kiểu nhiệm vụ gắn với hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc xoay quanh: việc xác định các giá trị ra khi cho giá trị vào và sự biến thiên của hai giá trị đó trên các bài toán toán học. Không có kiểu nhiệm vụ nào được sử dụng để giải quyết các bài toán thực tế.  Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không thấy xuất hiện. 33 Tóm lại Cũng giống như ở lớp 9, trong SGK Đại số 10 cơ bản, liên quan đến hoạt động phát triển tư duy hàm chỉ có các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc. Hai hoạt động còn lại của tư duy hàm không được đề cập. Hơn nữa, hoạt động phát triển tư duy hàm chỉ diễn ra trong nội bộ toán học, không thấy xuất hiện những bài tập mô hình hóa hướng đến việc phát triển tư duy hàm cho học sinh. Chúng tôi tiếp tục phân tích SGK Đại số 10 nâng cao, các kiểu nhiệm vụ vẫn gắn với hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc. Tuy nhiên, chúng tôi tìm thấy được 4 bài toán có nội dung thực tế trong SGK Đại số 10 nâng cao. Vậy vấn đề mô hình hóa một bài toán thực tiễn để phát triển tư duy hàm có được nhấn mạnh trong các bài toán này hay không? Để làm rõ vấn đề này, chúng tôi chọn phân tích bài 25 trang 54 của SGK Đại số 10 nâng cao Bài 25(trang 54). Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo. Một hành khách thuê xe taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Khi đó y là một hàm số của đối số x, xác định với mọi x≥0. a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [ ]0;10 và khoảng ( )10;+∞ . b) Tính (8), (10)f f và (18)f . c) Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= và lập bảng biến thiên của nó. Khi quãng đường đã đi nhỏ hơn 10km thì tổng số tiền phải trả bằng số kilômét ×6 ngàn Khi quãng đường đã đi lớn hơn 10km thì số tiền phải trả gồm hai khoản: • Khoản 1: Trong 10km phải trả với giá 6 ngàn đồng cho mỗi kilômét nên số tiền phải trả cho 10km đầu là 60 ngàn • Khoản 2: Trong ( )10x − km tiếp theo phải trả với giá 2,5 ngàn/km. Vậy khi 0 10x≤ ≤ thì số tiền phải trả là : = 6y x . Và 10x > thì số tiền phải trả là : ( )= + − = +60 2,5 10 2,5 35y x x Vậy hàm số phải tìm là : 34 6 ,0 10 2,5 35 , 10 x x y x x ≤ ≤ =  + > Qua phân tích các bước trong lời giải bài toán trên, chúng tôi nhận thấy chỉ có mặt bước 3 của quá trình mô hình hóa, việc xác định các biến và thực hiện các bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học không được chú trọng. Các đại lượng biến (chỉ có 2 đại lượng) và mối liên hệ giữa chúng đã được đề cập tường minh trong đề toán. Công việc của học sinh chỉ là xây dựng công thức biểu thị mối liên hệ đó và nghiên cứu hàm số cho bởi công thức đó. Chúng tôi nhận thấy tất cả các bài toán thực tế trong SGK Đại số 10 nâng cao có chung đặc điểm như sau: Dữ liệu bài toán vừa đủ, không thừa, không thiếu. Trong các bài toán này, vấn đề chọn biến để tìm ra được công thức của hàm số thì đề bài đã chọn sẵn, học sinh không có nhiệm vụ chọn biến. Ngoài ra, mỗi bài toán đều có hình vẽ minh họa trong hệ trục tọa độ vuông góc. (Theo Nguyễn Thị Hồng Cúc-2010) Tóm lại, quá trình mô hình hoá đã phần nào được SGK quan tâm. Nhưng thực tế cho thấy nó bị xem nhẹ và không là mục tiêu nhắm đến của chương, chúng chỉ mang nặng tính hình thức. Do vậy, khi gặp một vấn đề thực tế mà các đại lượng biến chưa được xác định trong đề toán: liệu học sinh có xác định được các biến và thiết lập, nghiên cứu được mối liên hệ giữa chúng hay không ? 2.3. Kết luận Qua việc phân tích mối quan hệ thể chế dạy học môn Toán ở phổ thông đối với vấn đề phát triển tư duy hàm cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi đã nêu ở đầu chương và rút ra vài kết luận sau: - Trước khi khái niệm hàm số xuất hiện, việc phát triển tư duy hàm được đề cập ngay từ những lớp đầu tiên ở cấp tiểu học thông qua các bảng số, đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và các bài toán gắn với thực tiễn, vật lý. Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng được đề cập nhiều hơn. Và trong các bài toán thực tế liên quan đến hoạt động phát triển tư duy hàm, các đại lượng đóng vai trò là biến độc lập, biến phụ thuộc luôn được xác định và được đề cập tường minh trong đề toán, cụ thể hơn là mối liên hệ hàm số giữa chúng đã được xác định bởi một công thức ngầm ẩn hoặc tường minh. - Sau khi định nghĩa hàm số xuất hiện, qua phân tích bài tập có liên quan đến các hoạt động phát triển tư duy hàm, chúng tôi nhận thấy không có bài tập nào yêu cầu học sinh xác 35 định hai đại lượng biến vì SGK luôn nêu sẵn. Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu chỉ xoay quanh vấn đề nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc. Đa số các bài toán liên quan đến hoạt động này đều là các bài toán toán học. Hoạt động phát hiện thiết lập và vận dụng sư tương ứng, sự phụ thuộc và vấn đề sử dụng mô hình hóa trong việc phát triển tư duy hàm không được quan tâm. Mặc dù SGK có đưa ra một số bài toán có nội dung thực tế nhưng khi phân tích các bước trong lời giải chỉ tương ứng với bước 3 trong bốn bước giải cần tiến hành để thực hiện mô hình hóa toán học. Công việc của học sinh chỉ là làm việc trong mô hình toán học. Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2_ bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến. Từ nhận định trên dẫn chúng tôi đến với các câu hỏi sau : 1. Khi cho một tình huống mà các biến chưa xác định trong đề toán, học sinh có khả năng phát hiện ra các biến số độc lập và biến số phụ thuộc cũng như mối liên hệ giữa chúng hay không? 2. Học sinh có khả năng vận dụng sự tương ứng thông qua khai thác các hệ thống biểu đạt của hàm số phù hợp để giải quyết bài toán thực tế hay không? Đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi này chính mà là mục đích của thực nghiệm trong chương 3 tiếp theo của luận văn. 36 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM Nghiên cứu chương 2 cho thấy rõ vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh và vấn đề dạy học bằng mô hình hóa để phát triển tư duy hàm cho học sinh chưa được quan tâm đầy đủ. Trong chương 2, chúng tôi cũng đã nghiên cứu các ràng buộc thể chế đối với các kiểu nhiệm vụ gắn với 3 hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm. Kết quả nghiên cứu cho thấy việc phát triển tư duy hàm chỉ dừng lại ở hoạt động nghiên cứu những sự tương ứng được cho sẵn và chủ yếu chỉ thực hiện trong lĩnh vực toán học. Việc phát hiện, thiết lập và vận dụng sự tương ứng chưa được quan tâm. Các bài toán thực tiễn nhắm đến việc phát triển tư duy hàm cho học sinh không được chú trọng. Hơn nữa, các bài toán này cũng chủ yếu chỉ dừng lại ở mức độ làm việc toán học trong mô hình toán học. Trong chương này, chúng tôi xây dựng các câu hỏi nhằm kiểm tra ứng xử của học sinh trong một số hoạt động nhắm đến việc phát triển tư duy hàm. Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng một số bài toán thực tế đỏi hỏi khả năng mô hình hóa toán học ở học sinh và được tổ chức dạy học theo tiến trình dạy học đặt và giải quyết vấn đề. Trong các tình huống này, học sinh thực sự được tham gia vào quá trình mô hình hóa toán học. Qua đó họ được làm việc với các hoạt động phát triển tư duy hàm cũng như nhận thấy được động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu khái niệm hàm số. Một hàm số được tạo thành từ hai loại biến số không đối xứng là biến độc lập và biến phụ thuộc. Chúng tôi giả thuyết rằng nếu học sinh không chiếm lĩnh được khái niệm biến số thì không thể hiểu khái niệm hàm số. Ngược lại, ý tưởng về mối liên hệ hàm sinh ra ý tưởng về biến số. 3.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: 1. Khi cho một tình huống mà các biến chưa xác định trong đề toán, học sinh có khả năng phát hiện ra các biến số độc lập và biến số phụ thuộc cũng như mối liên hệ giữa chúng hay không? 2. Học sinh có khả năng vận dụng sự tương ứng thông qua khai thác các hệ thống biểu đạt của hàm số phù hợp để giải quyết bài toán thực tế hay không? Cụ thể, mục đích thực nghiệm của chúng tôi là: 37 + Thiết lập một số câu hỏi để kiểm tra xem học sinh có xác định được các biến và nhận ra một mối liên hệ hàm số trong một tình huống cho trước hay không? + Kiểm tra xem học sinh có khả năng xây dựng được một đường cong, một bảng số, một biểu thức để mô hình hóa một tình huống bằng một hàm số phù hợp hay không? + Thông qua các bài toán thực tế giúp phát triển tư duy hàm và phát triển khả năng mô hình hóa cho học sinh (thiết lập, nghiên cứu và vận dụng các hàm số để giải quyết các bài toán thực tiễn). 3.2. Thực nghiệm : Tiểu đồ án didactic 3.2.1. Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm này bao gồm 1 câu hỏi và 3 bài toán sau: Câu hỏi Hãy đánh dấu X vào câu trả lời mà em cho là thích hợp. Trong các câu hỏi sau chúng ta xem xét phép chia có dư một số tự nhiên cho 4 Đúng Sai Em không biết Số dư phụ thuộc vào số bị chia Số bị chia là một biến số độc lập Số dư là một biến số phụ thuộc Số bị chia là hàm số của số dư Số dư là hàm số của số bị chia Bài toán 1 Một trụ đèn đường cao 6m, ta quan sát bóng của một người đi trên mặt đất biết người đó cao 1,5m. a) Trong tình huống này, có tồn tại hay không những đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác? Đó là những đại lượng nào? b) Trong tình huống này , chọn hai đại lượng phụ thuộc nhau và mô tả sự phụ thuộc đó bằng 38 những cách khác nhau? Bài toán 2 ( Tham khảo từ Calculus của James Stewart) Quan sát tình huống khi ta bật một vòi nước nóng. a) Có tồn tại hay không những đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác trong tình huống này ? Đó là những đại lượng nào? b) Khi ta bật một vòi nước nóng thì nhiệt độ T của nước phụ thuộc vào khoảng thời gian mà nước đã được chảy. Hãy vẽ đồ thị của T theo thời gian t kể từ khi vòi nước được bật. Bài toán 3 Công ty dịch vụ sửa chữa máy tính AAA ghi mẩu tin: “Bạn cần sự giúp đỡ cho những vấn đề của máy tính? Chúng tôi sẽ ghé thăm nhà của bạn. Bạn chỉ trả 100 nghìn đồng cước phí và 100 nghìn đồng cho mỗi 30 phút dịch vụ sửa chữa.” Công ty dịch vụ sửa chữa máy tính FFF ghi mẩu tin: “Bạn cần sự giúp đỡ cho những vấn đề của máy tính? Chúng tôi sẽ ghé thăm nhà của bạn. Bạn chỉ trả 120 nghìn đồng cho mỗi 30 phút dịch vụ sửa chữa.” Nếu ta cần sửa máy tính, ta nên chọn công ty nào trong số hai công ty trên để số tiền phải trả là ít nhất? Giải thích vì sao? (Biết rằng chất lượng dịch vụ của hai công ty là như nhau). 3.2.2. Dàn dựng kịch bản Tổng thời gian thực nghiệm là 90 phút. Mỗi bài toán được tiến hành theo 3 pha: làm việc cá nhân, làm việc nhóm và làm việc tập thể hoặc 2 pha: làm việc nhóm và làm việc tập thể, theo tiến trình dạy học đặt và giải quyết vấn đề.  Câu hỏi: (5 phút) ♦ GV phát phiếu 1 có in sẵn nội dung câu hỏi. Học sinh làm việc cá nhân. ♦ GV thu lại bài làm cá nhân và cho học sinh tiến hành làm các bài toán.  Bài toán 1: (25 phút) ♦ GV phát phiếu số 2 có in sẵn nội dung bài toán 1. Học sinh làm việc cá nhân. ♦ GV thu lại bài làm cá nhân và cho học sinh làm việc nhóm để nghiên cứu trả lời vào tờ giấy A0. ♦ Sau khi các nhóm thực hiện xong, GV mời một số nhóm trình bày cách làm của nhóm mình. ♦ Các nhóm đánh giá, nhận xét bài trên bảng. Cuối cùng GV nhận xét và đưa ra kết luận. 39  Bài toán 2: (25 phút) ♦ GV phát phiếu số 3 (câu a của bài toán 2). Cho học sinh làm việc nhóm để nghiên cứu trả lời vào tờ giấy A0. ♦ Sau khi các nhóm thực hiện xong. GV phát tiếp phiếu số 4 (câu b của bài toán 2) và yêu cầu học sinh làm việc nhóm. ♦ Sau khi các nhóm làm xong phiếu số 4, GV mời một số nhóm trình bày cách làm của nhóm mình đối với bài toán 2. ♦ Các nhóm đánh giá, nhận xét bài trên bảng. Cuối cùng GV nhận xét và đưa ra kết luận.  Bài toán 3: (25 phút) ♦ GV phát phiếu số 5 có in sẵn nội dung bài toán 3. Học sinh làm việc nhóm để nghiên cứu trả lời vào tờ giấy A0. ♦ Sau khi các nhóm thực hiện xong, GV mời một số nhóm trình bày cách làm của nhóm mình. ♦ Các nhóm đánh giá, nhận xét bài trên bảng. Cuối cùng GV nhận xét và đưa ra kết luận. 3.2.3. Đối tượng thực nghiệm Thực nghiệm này được thực hiện trên học sinh lớp 10 sau khi học sinh đã học hết