Luận văn Phương pháp hiệu chỉnh browder - Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại j - đơn điệu

giải quyết bài toán trong trường hợp phi tuyến, khi A : X → X∗ là toán tử đơn điệu, trong [7] Browder đã đề xuất một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bằng cách sử dụng một toán tử có tính chất h-liên tục và đơn điệu mạnh. Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] đã sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh bài toán. Để tìm nghiệm cho bài toán (1), chúng tôi xem xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng A(x) + α(x− x+) = fδ, (2) 3 trong đó A : X → X là toán tử loại J-đơn điệu trong không gian Banach X có tính chất xấp xỉ. Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh thì (2) có nghiệm duy nhất xδα hội tụ tới x0 là nghiệm của (1). Ta cũng chỉ ra được sự hội tụ này khi J không có tính liên tục yếu theo dãy nhưng được bổ sung thêm hai điều kiện ||A(x)− A(x0)− J∗A′(x0)∗J(x− x0)|| ≤ τ ||A(x)− A(x0)||, (3) trong đó x ∈ X, τ > 0, J∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X∗, x0 là nghiệm của (1) và tồn tại z ∈ X sao cho A′(x0)z = x+ − x0. (4) Cuối cùng, khi J không liên tục yếu theo dãy và không thỏa mãn hai điều kiện (3), (4) ta vẫn chỉ ra được sự hội tụ của phương pháp này. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn điệu và một số khái niệm cơ bản dùng trong toàn bộ luận văn. Chương 2 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu và phương pháp lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh trên. Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn! 4 Chương 1 Khái niệm cơ bản Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày khái niệm và một số ví dụ về không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và thuật toán hiệu chỉnh. Trong mục 1.3, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích hàm có liên quan tới luận văn và phương trình với toán tử loại J-đơn điệu. Các kiến thức được tham khảo từ các tài liệu [1], [4] và [7]. 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Dãy {xn} ⊂ (X, d) được gọi là dãy cơ bản nếu ∀ > 0 ∃ N = N(),∀ m,n ≥ N ⇒ d(xm, xn) < . (X, d) được gọi là không gian metric đủ, nếu mọi dãy cơ bản có giới hạn trong X. Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian tuyến tính. Ta nói X là không gian tuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số, gọi là chuẩn của x (kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau: a) Xác định dương: ∀x ∈ X, ||x|| ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0; b) Thuần nhất dương: ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R thì ||λx|| = |λ|.||x||; c) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X thì ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||. 5 Định nghĩa 1.3. Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ. 1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Cho phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) trong đó A : (X, d)→ (Y, ρ)., X, Y là các không gian mêtric. Phương trình (1.1) là đặt chỉnh nếu: • Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x(f) ∈ X của (1.1); • Nghiệm này là duy nhất; • Nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (f, A). Bài toán (1.1) được gọi là đặt không chỉnh nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, tức là, • Phương trình (1.1) không có nghiệm; • Phương trình (1.1) có nhiều hơn một nghiệm; • Phương trình (1.1) có nghiệm x = x(f) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện bài toán. 1.2.2 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ||fδ− f || ≤ δ → 0. Bài toán đặt ra cần xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc tham số nào đó tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ hội tụ tới nghiệm x0. Định nghĩa 1.4. Toán tử R(fδ, α) phụ thuộc tham số α, tác động từ không gian Banach Y vào không gian Banach X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.1), nếu: 6 • Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(fδ, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ, f) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1); • Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho ∀ > 0 tồn tại δ() ≤ δ1: ∀fδ ∈ Y, ρY (fδ, f) ≤ δ ≤ δ1 → ρX(xα, x0) ≤ , ở đây xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ)). 1.3 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 1.3.1 Một số khái niệm Cho X là không gian Banach thực và X∗ là không gian đối ngẫu của nó. Ký hiệu 〈x, x∗〉 là giá trị của hàm x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X. Định nghĩa 1.5. Một ánh xạ Js : X → 2X∗, s ≥ 2 xác định như sau Js(x) = {x∗ ∈ X∗ : 〈x, x∗〉 = ||x∗||s−1||x|| = ||x||s} được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát. Với s = 2 ta gọi nó là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ký hiệu là J. Mệnh đề 1.1. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó 1. J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) ∀λ ∈ R; 2. J là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt. Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì J = I là toán tử đơn vị trong X. Định nghĩa 1.6. Một toán tử A : X → 2X∗ là đơn điệu nếu ∀x, y ∈ D(A), 〈x− y, f − g〉 ≥ 0 ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay. Định nghĩa 1.7. Toán tử A : X → Y , trong đó X, Y là các không gian Banach, được gọi là • h-liên tục tại x0 ∈ D(A) nếu A(x0 + tnx) ⇀ A(x0) khi tn → 0 với mọi vectơ x thỏa mãn x0 + tnx ∈ D(A) và 0 ≤ tn ≤ t(x0); 7 • demi-liên tục tại x0 ∈ D(A) nếu cho dãy bất kì {xn} ⊂ D(A) thỏa mãn xn → x0 thì Axn ⇀ Ax; • liên tục yếu theo dãy tại điểm x0 ∈ D(A) nếu cho dãy bất kỳ {xn} ∈ D(A) sao cho xn ⇀ x0 thì Axn ⇀ Ax0. Định nghĩa 1.8. Không gian Banach X gọi là có tính chất ES nếu X là không gian phản xạ và mọi dãy {xn}, xn ∈ X hội tụ yếu trong X tới x và ||xn|| → ||x|| thì xn → x. Định nghĩa 1.9. Không gian Banach X được gọi là có tính chất xấp xỉ nếu tồn tại một họ các không gian con hữu hạn chiều {Xn} được sắp thứ tự bao hàm, họ các phép chiếu tương ứng Pn : X → Xn thỏa mãn ||Pn|| = 1 với mọi n > 0 và ⋃ Xn là trù mật trong X. Định nghĩa 1.10. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Cho S1(0) := {x ∈ E : ||x|| = 1}. Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gateaux (hay trơn) nếu giới hạn lim t→0 ||x+ ty|| − ||x|| t tồn tại cho mỗi x, y ∈ S1(0). Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gateaux đều nếu giới hạn trên là đều đối với x ∈ S1(0). Định nghĩa 1.11. Cho X là không gian Banach phản xạ, X∗ là không gian liên hợp của nó và A : X → 2X∗. Tập các cặp (x, f) ∈ X ×X∗ thỏa mãn f ∈ Ax được gọi là đồ thị của toán tử A và ký hiệu là grA. Định nghĩa 1.12. Không gian X được gọi là lồi chặt nếu hình cầu đơn vị trong X là lồi chặt, tức là ||x+ y|| < 2 ∀x, y ∈ X thỏa mãn ||x|| = ||y|| = 1, x 6= y. Khái niệm và một số tính chất của giới hạn Banach được đưa ra sau đây. Định nghĩa 1.13. Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và cho (a1, a2, ...) ∈ l∞. Khi đó µ được gọi là giới hạn Banach nếu nó thỏa mãn ||µ|| = µk(1) = 1 và µk(ak+1) = µk(ak) cho mỗi (a1, a2, ...) ∈ l∞. Ở đây µk(ak) được viết thay cho µ((a1, a2, ...)). 8 Định lý 1.1. (Vài tính chất của giới hạn Banach) 1. lim infk→∞ ak ≤ µk(ak) ≤ lim supk→∞ ak ∀(a1, a2, ...) ∈ l∞. 2. Nếu a = (a1, a2, ...) ∈ l∞, b = (b1, b2, ...) ∈ l∞ và ak → c (tương ứng ak − bk → 0) khi k → ∞ thì µk(ak) = µ(a) = c (tương ứng µk(ak) = µk(bk)). Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov được đề xuất vào năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân bởi Browder [7]. Trong đó sử dụng toán tửM : X → X∗ có tính chất h-liên tục và đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Dựa vào đó Alber [3] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình (1.1) trên cơ sở phương trình sau A(x) + αJs(x− x0) = fδ, (1.2) trong đó A là toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach phản xạ X vào X∗, ở đây X∗ là lồi chặt và X có tính chất ES, x0 là phần tử bất kì trong X giúp ta tìm nghiệm theo ý muốn. Ta có một số kết quả sau đây Định lý 1.2. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗, phương trình (1.3) có duy nhất nghiệm xδα. Nếu α, δ α → 0, thì {xδα} hội tụ đến phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn ||x0 − x0|| = min x∈S0 ||x− x0||. Trong trường hợp tổng quát, khi cả toán tử và vế phải đều biết xấp xỉ, tức là, thay cho A ta chỉ biết xấp xỉ Ah thỏa mãn ||Ah(x)− A(x)|| ≤ hg(||x||) và cũng đơn điệu, h-liên tục, ở đây g(t) là hàm giới nội. Ta có kết quả sau Định lý 1.3. Với mỗi α > 0, h > 0 và fδ ∈ X∗ phương trình hiệu chỉnh Ah(x) + αJ s(x− x0) = fδ có duy nhất nghiệm xηα, η = (h, δ). Nếu α, δ α , h α → 0, thì {xηα} → x0. 9 1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu Định nghĩa 1.14. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu ∃ j(x1 − x2) ∈ J(x1 − x2) sao cho 〈Ax1 − Ax2, j(x1 − x2)〉 ≥ 0 ∀x1, x2 ∈ D(A). Toán tử A được gọi là J-đơn điệu chặt nếu đẳng thức trên xảy ra khi x1 = x2. Ngoài ra ta còn định nghĩa khác cho toán tử J-đơn điệu như sau Định nghĩa 1.15. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu ||x1 − x2|| ≤ ||x1 − x2 + λ(Ax1 − Ax2)|| ∀λ > 0, ∀x1, x2 ∈ D(A). Định nghĩa 1.16. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là bức nếu 〈Ax, Jx〉 ≥ c(||x||)||x||, ở đây c(t)→ +∞ khi t→ +∞. Định nghĩa 1.17. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là J-đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị toán tử J-đơn điệu khác. Định lý 1.4. Cho A : X → X là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục với D(A) = X thì A là J-đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.18. Toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 thỏa mãn 〈Ax1 − Ax2, J(x1 − x2)〉 ≥ γ(||x1 − x2||), trong đó x1, x2 ∈ D(A). Toán tử A là J-đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ct2, với c > 0. Định nghĩa 1.19. Một toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là m-J- đơn điệu nếu R(A+ αI) = X với mọi α > 0, trong đó I là toán tử đơn vị trong X. 10 Định lý 1.5. Nếu toán tử A là m-J-đơn điệu thì nó là toán tử J-đơn điệu cực đại. Ta xét phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu. Định lý 1.6. Giả sử rằng X và X∗ là các không gian Banach lồi chặt và X có tính chất xấp xỉ, toán tử A : X → X là J-đơn điệu và demi-liên tục với miền xác định D(A) = X, ánh xạ đối ngẫu J : X → X∗ là liên tục và liên tục yếu theo dãy, tồn tại r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn ||x|| = r, 〈Ax− f, Jx〉 ≥ 0. Khi đó phương trình Ax = f có ít nhất một nghiệm x¯ với ||x¯|| ≤ r. Định nghĩa 1.20. Một điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu nếu bất đẳng thức 〈y − f, J(x− x0)〉 ≥ 0 ∀y ∈ Ax thỏa mãn với mọi x ∈ D(A). Định lý 1.7. Giả sử rằng X và X∗ là các không gian Banach lồi đều, X có tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J là liên tục yếu theo dãy, toán tử A : X → 2X là J-đơn điệu với miền xác định D(A) = X và tồn tại r > 0 sao cho với mỗi x mà ||x|| = r, tồn tại y ∈ Ax thỏa mãn 〈y − f, Jx〉 ≥ 0. Khi đó phương trình (1.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng x¯ với ||x¯|| ≤ r. Chú ý 1.1. Nếu toán tử A trong định lý 1.7 là J-đơn điệu chặt, thì phương trình toán tử tương ứng có duy nhất nghiệm. Chương sau chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov cho phương trình phi tuyến với toán tử loại J-đơn điệu. 11 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Chương này gồm hai mục. Mục 2.1 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy và khi nó không có tính chất này. Trong mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Các kết quả được tham khảo từ các tài liệu [4], [8] - [11] và [14]. 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu Trong không gian Banach X có tính chất xấp xỉ, A : X → X là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗ là liên tục và liên tục yếu theo dãy trong X. Ta xét phương trình Ax = f (2.1) với f ∈ X. Giả sử tập nghiệm S là khác rỗng và ta chỉ biết xấp xỉ (Ah, fδ) của (A, f), trong đó Ah : X → X cũng là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục với mọi h > 0, D(Ah) = D(A) = X và fδ ∈ X với mọi δ > 0. Ta giả thiết rằng ||fδ − f || ≤ δ (2.2) và ||Ax− Ahx|| ≤ g(||x||)h ∀x ∈ X, (2.3) 12 ở đây g(t) là hàm không âm liên tục với mọi t ≥ 0. Khi đó ta có phương trình hiệu chỉnh như sau Ahx+ αx = fδ. (2.4) Từ tính J-đơn điệu của toán tử Ah ta có 〈Ahx+ αx, Jx〉 = 〈Ahx− Ah(θX) + Ah(θX) + αx, Jx〉 = 〈Ahx− Ah(θX), J(x− θX)〉+ 〈Ah(θX), Jx〉+ 〈αx, Jx〉 ≥ α||x||2 − ||Ah(θX)|| ||x|| = ||x||(α||x|| − ||Ah(θX)||). (2.5) Do đó, toán tử T = Ah + αI là bức nên theo định lý 1.7 phương trình (2.4) có một nghiệm xδ,hα , với mọi α > 0. Nó cũng là nghiệm duy nhất vì T là J-đơn điệu mạnh (xem chú ý 1.1). Như vậy, Ahx δ,h α + αx δ,h α = fδ (2.6) Định lý sau chỉ ra sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh. Định lý 2.1. Nếu điều kiện δ + h α → 0 khi α → 0 được thỏa mãn thì xδ,hα → x¯∗ ∈ S, trong đó x¯∗ là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn bất phương trình 〈x¯∗, J(x¯∗ − x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S. (2.7) Hệ quả 2.1. Cho phương trình hiệu chỉnh Ahx+ α(x− x+) = fδ, trong đó x+ ∈ X là một phần tử cố định, δ + h α → 0 khi α→ 0 thì nghiệm của nó hội tụ mạnh tới nghiệm x¯∗ ∈ S thỏa mãn bất phương trình 〈x¯∗ − x+, J(x¯∗ − x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S. Bây giờ ta xét bài toán trên khi thêm điều kiện X là không gian Banach phản xạ lồi chặt và có tính xấp xỉ, không gian liên hợp của nó X∗ cũng lồi chặt. Gọi xδα là nghiệm của phương trình A(x) + αx = fδ; (2.8) 13 và xα là nghiệm của phương trình A(x) + αx = f. (2.9) Theo [4] ta biết rằng xδ,hα , x δ α và xα tồn tại và duy nhất. Bổ đề 2.1. Giả sử A : D(A) = X → X là J-đơn điệu và khả vi Frechet trong X và L = A′(h), h ∈ X, và α là số thực dương. Khi đó ||(αI + L)−1|| ≤ 1 α ; ||(αI + L)−1L|| ≤ 2. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ được đưa ra trong định lý sau. Định lý 2.2. Cho J : X → X∗ là liên tục yếu theo dãy và A : D(A)→ X là toán tử J-đơn điệu với D(A) = X. Khi đó {xα} hội tụ tới x¯∗ là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức 〈x¯∗, J(x¯∗ − x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S. Ngoài ra nếu A thỏa mãn các điều kiện sau: 1. A là khả vi Frechet trong X, và tồn tại một số dương K0, để với bất kỳ v ∈ X, x ∈ B¯r(x¯∗), trong đó r = ||x¯∗||, tồn tại một phần tử k(x, x¯∗, v) ∈ X và ||k(x, x¯∗, v)|| ≤ K0||v|| ||x− x¯∗|| sao cho (A′(x)− A′(x¯∗))v = A′(x¯∗)k(x, x¯∗, v); 2. Tồn tại ω ∈ X thỏa mãn x¯∗ = A′(x¯∗)ω. Khi đó, nếu α = O(δ1/2 + h1/2), ta có ||xδ,hα − x¯∗|| ≤ O(δ1/2 + h1/2) khi δ → 0, h→ 0. Tiếp theo ta xét phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1) trong không gian Banach thực phản xạ X có tính xấp xỉ, với không gian liên hợp X∗ lồi chặt. Nếu A không có thêm tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc đều thì nói chung (2.1) là bài toán đặt không chỉnh. Ta xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng như sau Ah(x) + α(x− x+) = fδ, ||fδ − f || ≤ δ → 0. (2.10) 14 Ở đây A là m-J-đơn điệu trong X, Ah cũng có tính chất m-J-đơn điệu và thỏa mãn điều kiện xấp xỉ ||A(x)− Ah(x)|| ≤ hg(||x||), (2.11) hàm g(t) là bị chặn, liện tục và không âm, x+ là một phần tử thuộc X đóng vai trò là tiêu chuẩn lựa chọn. Bằng cách chọn x+ ta có thể chọn được nghiệm ta muốn xấp xỉ. Vì Ah là m-J-đơn điệu nên phương trình (2.10) có nghiệm duy nhất, ký hiệu là xδ,hα . Hơn nữa, trong [2] Alber đã chứng minh xδ,hα → x0, là nghiệm duy nhất của (2.1), khi (δ+ h)/α, α→ 0, J là liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh. Do lớp không gian Banach vô hạn chiều có tính liên tuc yếu của J là rất nhỏ (chỉ lp). Ở phần này ta sẽ chỉ ra sự hội tụ của xδ,hα mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J và điều kiện duy nhất nghiệm của (2.1). Trước tiên ta giả sử tồn tại hằng số τ > 0 để với x ∈ X thì ||A(x)− A(x0)− J∗A′(x0)∗J(x− x0)|| ≤ τ ||A(x)− A(x0)||, (2.12) trong đó J∗ là ánh xạ đối ngẫu của X∗, và x0 là một nghiệm của (2.1). Ta có kết quả về sự hội tụ của xδ,hα như sau Định lý 2.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn 1. A là khả vi Frechet tại x0 và thỏa mãn giả thiết (2.12); 2. Tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho A′(x0)z = x+ − x0, 3. Tham số α được chọn để α ∼ (δ + h)µ, 0 < µ < 1. Thì với 0 < δ + h < 1, ta có ||xδ,hα − x0|| = O((δ + h)θ), θ = min{1− µ, µ/2}. Xét phương trình toán tử (2.1), với A là ánh xạ m-J-đơn điệu, f ∈ X, trong đó X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả 15 vi Gateaux đều và giả sử tập nghiệm của nó là S khác rỗng. Nếu X là trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị, ta sẽ kí hiệu nó bởi j. Ta xét phương trình hiệu chỉnh sau: A(x) + α(x− x+) = fδ, (2.13) ở đây α > 0 là tham số hiệu chỉnh, x+ ∈ X là một phần tử dự đoán và fδ ∈ X bất kỳ với ||fδ − f || ≤ δ → 0. Trong [2] Abel đã chỉ ra rằng hàm ρ(α) = α||xδα − x+||, với xδα là nghiệm của (2.13), liên tục và đơn điệu không giảm và nếu A liên tục tại x+ thì lim α→0 ρ(α) = 0, lim α→+∞ ρ(α) = ||Ax + − fδ||. Sau đó cũng chính ông đã chỉ ra nếu ||Ax+− fδ|| > Kδp, K > 2, 0 < p ≤ 1, thì tồn tại ít nhất một giá trị α¯ = α(δ) thỏa mãn ||A(xδα(δ))−fδ|| = Kδp và (K − 1)δp/α(δ) ≤ 2||y0 − x+||. Do đó khi 0 < p < 1 ta có δ/α(δ) ≤ 2||y0 − x+||δ1−p/(K − 1)→ 0, δ → 0. Như vậy, nếu J là liên tục và liên tục yếu theo dãy thì xδα(δ) → y∗ ∈ S. Ở phần trước, ta đã chỉ ra điều kiện để nghiệm hiệu chỉnh hội tụ tới nghiệm của bài toán mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J. Trong phần tới, cũng không cần tính chất liên tục yếu theo dãy của J và điều kiện (2.12), ta sẽ chỉ ra sự hội tụ mạnh của thuật toán (2.13) và đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Cho phần tử cố định f ∈ X, ta xác định ánh xạ u = Tf(x) bởi Af(u) + u = x,Af(.) = A(.)− f, cho mỗi x ∈ X. Khi đó Tf có các tính chất sau: • D(Tf) = X; • Tf là ánh xạ không giãn; • Fix(Tf) = S. 16 Bổ đề 2.2. Giả sử C là một tập con lồi của không gian Banach X có chuẩn khả vi Gateaux đều. Cho {xk} là một tập con bị chặn của X, z là một phần tử thuộc C và cho µ là một giới hạn Banach. Khi đó µk||xk − z||2 = min u∈C µk||xk − u||2 nếu và chỉ nếu µk〈u− z, j(xk − z)〉 ≤ 0 cho mọi u ∈ C. Các định lý 2.4 - 2.7 chỉ ra sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Định lý 2.4. Cho X là một không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là một ánh xạ m-J-đơn điệu trên X. Khi đó, với mỗi α > 0 và f ∈ X, phương trình A(x) + α(x− x+) = f, (2.14) có nghiệm duy nhất xα. Hơn thế nếu có thêm tập nghiệm của (1.1) là S 6= ∅ thì dãy {xα} hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X, là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : 〈y∗ − x+, j(y∗ − y)〉 ≤ 0 ∀y ∈ S. (2.15) Ngoài ra ta còn có ||xδα−xα|| ≤ δ/α, ở đây xδα là nghiệm duy nhất phương trình (2.13), ∀α > 0 và fδ ∈ X. Định lý 2.5. Cho X là không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là toán tử m-J-đơn điệu trong X. Cho f và fδ là các phần tử trong X sao cho ||fδ − f || ≤ δ → 0. Khi đó, 1. nếu có thêm tập nghiệm của (2.1) là S 6= ∅ và tham số α được chọn để δ/α → 0 khi α → 0 thì {xδα} hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X, là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : 〈y∗ − x+, j(y∗ − y)〉 ≤ 0,∀y ∈ S; 17 2. ngoài ra với các số dương bất kỳ αi và δi với i = 1, 2, ta có ||xδ1α1 − xδ2α2|| ≤ (M1 + ||x+||) |α1 − α2| α1 + δ1 + δ2 α1 trong đó M1 là hằng số dương. Định lý 2.6. Cho X, A và f như trong định lý 2.4 sao cho S 6= ∅. Giả sử rằng tồn tại một phần tử v ∈ X để x+− y∗ = A′(y∗)v và đạo hàm Frechet A′(.) là liên tục Lipchitz địa phương trong hình cầu Br(y∗) = {x ∈ X : ||x− y∗|| ≤ ||x+ − y∗||}. Khi đó, với mỗi α > 0, ta có ||xα − y∗|| ≤ 2(2L||v||2 + ||v||)α. Định lý 2.7. Cho X, A và f như trong định lý 2.6. Giả sử rằng tồn tại một phần tử v ∈ X để x+ − y∗ = A′(y∗)v và hoặc điều kiện trong định lý 2.6 thỏa mãn hoặc tồn tại hằng số k0 > 0 sao cho k0||x+ − y∗|| < 1 và (A′(x)− A′(y∗))ω = A′(y∗)k(x, y∗, ω), ||k(x, y∗, ω)|| ≤ k0||ω|| ||x− y∗||, ∀x, ω ∈ Br˜(y∗), ở đây r˜ > r+ δ/α. Nếu α được chọn sao cho α = O( √ δ), thì ||xδα − y∗|| ≤ O( √ δ). Trong [13] Ryazantseva đã xem xét thuật toán điểm gần kề kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng: ck(A(xk+1) + αkxk+1 − fk) + xk+1 = xk, x0 ∈ X, và chỉ ra dãy {xk} sinh bởi phương trình này hội tụ mạnh tới một nghiệm của phương trình (2.1) chỉ khi J có tính chất liên tục và liên tục yếu theo dãy, dãy {xk} bị chặn và một số điều kiện cho ck và αk. . Ta sẽ chỉ tính bị chặn của dãy {xk} sinh ra bởi phương trình tổng quát hơn như sau: ck(A(xk+1) + αkxk+1 − fk) + xk+1 − xk = γk(xk − xk−1) (2.16) mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J. 18 Bổ đề 2.3. Cho {ak}, {bk}, và {ck} là ba dãy số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau: 1. ak+1 ≤ (1− bk)ak + bkck, bk < 1; 2. ∑∞ n=0 bk = +∞, limk→+∞ ck = 0. Khi đó limk→+∞ ak = 0. Định lý sau chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện ràng buộc cho ck, αk và γk. Định lý 2.8. Cho X, A, f như trong định lý 2.5 sao cho S 6= ∅ và fk ∈ X thỏa mãn ||fk − f || ≤ δk, k → ∞. Giả sử rằng các tham số ck, αk, và γk thỏa mãn các điều kiện sau: 1. C0 > ck > c0 > 0, γk ≥ 0, C0 và c0 là các hằng số dương, 2. ∑∞ k=1 τk = +∞, τk = αkck/(1 + αkck),∑∞ k=1 γkτk −1||xk − xk−1|| < +∞, 3. αk > 0, limk→+∞ αk = 0, và limk→+∞Dk/τk = 0, trong đó Dk = M1 |αk − αk+1| αk + δk + δk+1 αk . Khi đó, dãy {xk} xác định bởi phương trình (2.16) hội tụ mạnh tới y∗ là nghiệm của (2.15), khi k → +∞. 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich Trong phần này chúng ta tìm nghiệm cho phương trình phi tuyến không chỉnh (2.1) với A là toán tử m-J-đơn điệu, dựa vào phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich. Ta luôn giả sử rằng tập nghiệm của (2.1), ký hiệu là S khác rỗng, và thay cho f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ thỏa mãn ||fδ − f || ≤ δ → 0. (2.17) Nếu như A không có tính chất J-đơn điệu đều hoặc mạnh thì phương trình (2.1) nói chung là không chỉnh. Để giải bài toán (2.1), ta dùng các phương 19 pháp ổn định như phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (2.13) đã trình bày ở phần trước. Tuy nhiên khi A là toán tử phi tuyến thì bài toán này cũng là phi tuyến, do đó khó giải quyết trong thực tế. Để khắc phục điều này, một phương pháp ổn định khác là phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich trong không gian Hilbert H được Bukushinskii [5] đưa ra như sau: z0 ∈ H, A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αnzn+1 = fδ. (2.18) Sau đó Bakushinskii và Smirnova [6] đã tìm ra sự hội tụ của (2.18) với quy tắc dừng hậu nghiệm : ||A(zN)− fδ||2 ≤ τδ < ||A(zn)− fδ||2, 0 ≤ n < N = N(δ), (2.19) với điều kiện ||A′(x)|| ≤ 1 ∀x ∈ H và A′ là liên tục L-Lipchitz, ở đây τ > 1 là một số cố định. Phương pháp (2.18) đã được Abel và Ryazantseva [4] mở rộng từ không gian Hilbert vào không gian Banach với dạng sau: z0 ∈ X, A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αnJs(zn+1) = fδ, chỉ với điều kiện ||A′′(x)|| ≤ ϕ(||x||), (2.20) trong đó ϕ(t) là hàm không âm, không giảm với mọi t ≥ 0, A là ánh xạ đơn điệu từ X vào X∗. Ta biết rằng nếu A là khả vi Gateaux và J-đơn điệu thì A′(z)(.) cũng là ánh xạ J-đơn điệu cho mỗi z cố định thuộc X. Hơn nữa, A′(z)(.)là tuyến tính và liên tục, do vậy nó là liên tục yếu. Từ đó, phương trình z0 ∈ X, A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αn(zn+1 − x+) = fδ (2.21) có nghiệm duy nhất zn+1, cho mỗi số nguyên n ≥ 0, với αn, δ > 0. Để giải bài toán (2.1) với điều kiện (2.17), chúng ta sẽ chứng minh định lý hội tụ mạnh cho phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich (2.21) với quy tắc dừng hậu nghiệm (2.19) và điều kiện (2.20) mà không có điều kiện nhiễu vế phải, tức là ta xem xét phương pháp lặp sau: x0 ∈ X, A(xn) + A′(xn)(xn+1 − xn) + αn(xn+1 − x+) = f. (2.22) 20 Định lý dưới đây sẽ chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy {xn}. Định lý 2.9. Cho X là không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là một ánh xạ m-J-đơn điệu, khả vi Frechet hai lần trên X với điều kiện (2.20). Giả sử rằng dãy {αn}, số thực d và điểm ban đầu x0 thỏa mãn các điều kiện sau: 1. {αn} là dãy đơn điệu giảm với 0 0 thỏa mãn αn+1 ≥ σαn với mọi n = 0, 1, ...; 2. ϕ0||x0 − xα0|| 2σα0 ≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d+ γ), trong đó số dương γ được tìm từ giới hạn 2σα0 ϕ0 ≤ γ, d ≥ 2||x∗ − x+||+ ||x+||, (2.23) ở đây x∗ là nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: x∗ ∈ S : 〈x∗ − x+, J(x∗ − y)〉 ≤ 0 ∀y ∈ S, (2.24) và xα0 là nghiệm của phương trình A(x) + αn(x− x+) = f, (2.25) với n = 0; 3. αn − αn+1 α2n ≤ q − q 2 c1 , c1 = ϕ0d 2σ2 . Khi đó limn→+∞ ||xn − x∗|| = 0. Định lý 2.10. Cho X, A, và αn như trong định lý 2.9 với toán tử A liên tục L-Lipchitz và điều kiện thứ nhất được thỏa mãn. Cho τ > 1 trong (2.19) được chọn sao cho ϕ˜||z0 − xα0|| 2σα0 ≤ q, 0 < q < 1− 3dL τ˜σ , ϕ˜ = ϕ0 + 2L 2/τ˜ , τ˜ = ( √ τ − 1)2, (2.26) 21 ở đây d được xác định như trong định lý 2.9, số dương γ được lấy từ giới hạn (2.23) với ϕ0 được thay bởi ϕ˜, và αn − αn+1 α2n + d τ˜ ≤ 2Lσ ϕ˜τ˜ q. (2.27) Khi đó 1. Cho n = 0, 1, ....., N(δ), ϕ˜||zn − xαn|| 2σαn ≤ q, (2.28) ở đây zn là nghiệm của (2.21) và N(δ) được chọn bởi (2.19). 2. Dãy {N(δ)} là chấp nhận được, tức là, lim δ→0 ||zN(δ) − y|| = 0, trong đó y ∈ S. Nếu N(δ)→∞ khi δ → 0, thì y = x∗. 22 Kết luận Sau một thời gian làm việc dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường