Luận văn Phương pháp hiệu chỉnh browder - Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại j - đơn điệu (Chuyên ngành: Toán ứng dụng)

ó chuẩn khả vi Gateaux đều nếu giới hạn trên là đều đối với x ∈ S1(0). Định nghĩa 1.11. Cho X là không gian Banach phản xạ, X∗ là không gian liên hợp của nó và A : X → 2X∗. Tập các cặp (x, f) ∈ X ×X∗ thỏa mãn f ∈ Ax được gọi là đồ thị của toán tử A và ký hiệu là grA. Định nghĩa 1.12. Không gian X được gọi là lồi chặt nếu hình cầu đơn vị trong X là lồi chặt, tức là ||x+ y|| < 2 ∀x, y ∈ X thỏa mãn ||x|| = ||y|| = 1, x 6= y. Khái niệm và một số tính chất của giới hạn Banach được đưa ra sau đây. Định nghĩa 1.13. Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và cho (a1, a2, ...) ∈ l∞. Khi đó µ được gọi là giới hạn Banach nếu nó thỏa mãn ||µ|| = µk(1) = 1 và µk(ak+1) = µk(ak) cho mỗi (a1, a2, ...) ∈ l∞. Ở đây µk(ak) được viết thay cho µ((a1, a2, ...)). Định lý 1.1. (Vài tính chất của giới hạn Banach) 1. lim infk→∞ ak ≤ µk(ak) ≤ lim supk→∞ ak ∀(a1, a2, ...) ∈ l∞. 2. Nếu a = (a1, a2, ...) ∈ l∞, b = (b1, b2, ...) ∈ l∞ và ak → c (tương ứng ak − bk → 0) khi k → ∞ thì µk(ak) = µ(a) = c (tương ứng µk(ak) = µk(bk)). Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov được đề xuất vào năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân bởi Browder [7]. Trong đó sử dụng toán tửM : X → X∗ có tính chất h-liên tục và đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Một số kết quả thu được như sau: Định nghĩa 1.14. Không gian Banach phản xạ X được gọi là hoàn thiện được nếu tồn tại một ánh xạ đơn điệu, h-liên tục M từ X vào X∗ sao cho 〈u,Mu〉 > 0 cho u 6= 0, đưa tập bị chặn của X vào tập bị chặn của X∗, và là ánh xạ bức (tức là 〈u,Mu〉 ||u|| → +∞ khi u→ +∞), thỏa mãn: 14 1. Cho u1 ∈ X, w1 ∈ X∗, 〈u− u1,Mu− w1〉 → +∞ khi ||u|| → +∞. 2. Nếu {uj} là dãy bị chặn trong X, u ∈ X và 〈uj−u,Muj−Mu〉 → 0, thì uj → u ∈ X. Định lý 1.2. Cho X là không gian Banach phản xạ, hoàn thiện được với M là ánh xạ đơn điệu tương ứng với tính cải tiến được. Cho T là toán tử đơn điệu, h-liên tục từ X vào X∗, f là hàm lồi nửa liên tục dưới từ X vào (−∞,+∞] với f 6= +∞. Cho w và v0 là phần tử bất kỳ của X∗. Giả sử rằng Aw là tập tất cả nghiệm u0 của bất đẳng thức 〈v − u0, Tu0 − w〉 ≥ f(u0)− f(v), v ∈ X, thì Aw là khác rỗng. Khi đó : 1. Nếu cho mỗi  > 0, ta đặt T = T + M, bất đẳng thức biến phân phi tuyến 〈v − u, Tu − w〉 ≥ f(u)− f(v), v ∈ X, có duy nhất một nghiệm u, trong đó w = w + v0. 2. Khi → 0, u → u0 ∈ Aw. Trong tập Aw, u0 là nghiệm duy nhất thỏa mãn bất đẳng thức biến phân 〈v − u0,Mu0 − v0〉 ≥ 0, v ∈ Aw. Dựa vào đó Alber [3] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình (1.1) trên cơ sở phương trình sau A(x) + αJs(x− x0) = fδ, (1.3) trong đó A là toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach phản xạ X vào X∗, ở đây X∗ là lồi chặt và X có tính chất ES, x0 là phần tử bất kì trong X giúp ta tìm nghiệm theo ý muốn. Ta có một số kết quả sau đây Định lý 1.3. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗, phương trình (1.3) có duy nhất nghiệm xδα. Nếu α, δ α → 0, thì {xδα} hội tụ đến phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn ||x0 − x0|| = min x∈S0 ||x− x0||. 15 Trong trường hợp tổng quát, khi cả toán tử và vế phải đều biết xấp xỉ, tức là, thay cho A ta chỉ biết xấp xỉ Ah thỏa mãn ||Ah(x)− A(x)|| ≤ hg(||x||) và cũng đơn điệu, h-liên tục, ở đây g(t) là hàm giới nội. Ta có kết quả sau Định lý 1.4. Với mỗi α > 0, h > 0 và fδ ∈ X∗ phương trình hiệu chỉnh Ah(x) + αJ s(x− x0) = fδ có duy nhất nghiệm xηα, η = (h, δ). Nếu α, δ α , h α → 0, thì {xηα} → x0. 1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu Định nghĩa 1.15. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu ∃ j(x1 − x2) ∈ J(x1 − x2) sao cho 〈Ax1 − Ax2, j(x1 − x2)〉 ≥ 0 ∀x1, x2 ∈ D(A). Toán tử A được gọi là J-đơn điệu chặt nếu đẳng thức trên xảy ra khi x1 = x2. Ngoài ra ta còn định nghĩa khác cho toán tử J-đơn điệu như sau Định nghĩa 1.16. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu ||x1 − x2|| ≤ ||x1 − x2 + λ(Ax1 − Ax2)|| ∀λ > 0, ∀x1, x2 ∈ D(A). Định nghĩa 1.17. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là bức nếu 〈Ax, Jx〉 ≥ c(||x||)||x||, ở đây c(t)→ +∞ khi t→ +∞. Định nghĩa 1.18. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là J-đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị toán tử J-đơn điệu khác. 16 Định lý 1.5. Cho A : X → X là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục với D(A) = X thì A là J-đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.19. Toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 thỏa mãn 〈Ax1 − Ax2, J(x1 − x2)〉 ≥ γ(||x1 − x2||), trong đó x1, x2 ∈ D(A). Toán tử A là J-đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ct2, với c > 0. Định nghĩa 1.20. Một toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là m-J- đơn điệu nếu R(A+ αI) = X với mọi α > 0, trong đó I là toán tử đơn vị trong X. Định lý 1.6. Nếu toán tử A là m-J-đơn điệu thì nó là toán tử J-đơn điệu cực đại. Ta xét phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu. Định lý 1.7. Giả sử rằng X và X∗ là các không gian Banach lồi chặt và X có tính chất xấp xỉ, toán tử A : X → X là J-đơn điệu và demi-liên tục với miền xác định D(A) = X, ánh xạ đối ngẫu J : X → X∗ là liên tục và liên tục yếu theo dãy, tồn tại r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn ||x|| = r, 〈Ax− f, Jx〉 ≥ 0. Khi đó phương trình Ax = f có ít nhất một nghiệm x¯ với ||x¯|| ≤ r. Định nghĩa 1.21. Một điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu nếu bất đẳng thức 〈y − f, J(x− x0)〉 ≥ 0 ∀y ∈ Ax thỏa mãn với mọi x ∈ D(A). 17 Định lý 1.8. Giả sử rằng X và X∗ là các không gian Banach lồi đều, X có tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J là liên tục yếu theo dãy, toán tử A : X → 2X là J-đơn điệu với miền xác định D(A) = X và tồn tại r > 0 sao cho với mỗi x mà ||x|| = r, tồn tại y ∈ Ax thỏa mãn 〈y − f, Jx〉 ≥ 0. Khi đó phương trình (1.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng x¯ với ||x¯|| ≤ r. Chú ý 1.1. Nếu toán tử A trong định lý 1.8 là J-đơn điệu chặt, thì phương trình toán tử tương ứng có duy nhất nghiệm. Chương sau chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov cho phương trình phi tuyến với toán tử loại J-đơn điệu. 18 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Chương này gồm hai mục. Mục 2.1 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy và khi nó không có tính chất này. Trong mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Các kết quả được tham khảo từ các tài liệu [4], [8] - [11] và [14]. 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu Trong không gian Banach X có tính chất xấp xỉ, A : X → X là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗ là liên tục và liên tục yếu theo dãy trong X. Ta xét phương trình Ax = f (2.1) với f ∈ X. Giả sử tập nghiệm S là khác rỗng và ta chỉ biết xấp xỉ (Ah, fδ) của (A, f), trong đó Ah : X → X cũng là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục với mọi h > 0, D(Ah) = D(A) = X và fδ ∈ X với mọi δ > 0. Ta giả thiết rằng ||fδ − f || ≤ δ (2.2) và ||Ax− Ahx|| ≤ g(||x||)h ∀x ∈ X, (2.3) 19 ở đây g(t) là hàm không âm liên tục với mọi t ≥ 0. Khi đó ta có phương trình hiệu chỉnh như sau Ahx+ αx = fδ. (2.4) Từ tính J-đơn điệu của toán tử Ah ta có 〈Ahx+ αx, Jx〉 = 〈Ahx− Ah(θX) + Ah(θX) + αx, Jx〉 = 〈Ahx− Ah(θX), J(x− θX)〉+ 〈Ah(θX), Jx〉+ 〈αx, Jx〉 ≥ α||x||2 − ||Ah(θX)|| ||x|| = ||x||(α||x|| − ||Ah(θX)||). (2.5) Do đó, toán tử T = Ah + αI là bức nên theo định lý 1.7 phương trình (2.4) có một nghiệm xδ,hα , với mọi α > 0. Nó cũng là nghiệm duy nhất vì T là J-đơn điệu mạnh (xem chú ý 1.1). Như vậy, Ahx δ,h α + αx δ,h α = fδ (2.6) Định lý sau chỉ ra sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh. Định lý 2.1. Nếu điều kiện δ + h α → 0 khi α → 0 được thỏa mãn thì xδ,hα → x¯∗ ∈ S, trong đó x¯∗ là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn bất phương trình 〈x¯∗, J(x¯∗ − x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S. (2.7) Chứng minh Giả sử tồn tại x¯∗∗ ∈ S thỏa mãn x¯∗∗ 6= x¯∗ và 〈x¯∗∗, J(x¯∗∗ − x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S. (2.8) Thay x∗ bởi x¯∗∗ và x¯∗ lần lượt trong (2.7) và (2.8) rồi cộng hai bất đẳng thức lại, ta được ||x¯∗ − x¯∗∗||2 = 〈x¯∗ − x¯∗∗, J(x¯∗ − x¯∗∗)〉 ≤ 0. Điều này dẫn đến x¯∗ = x¯∗∗. Như vậy x¯∗ là duy nhất. Lấy x∗ ∈ S bất kỳ. Từ (2.1) và (2.6) ta có 〈Ahxδ,hα − Ax∗, J(xδ,hα − x∗)〉+ α〈xδ,hα − x∗, J(xδ,hα − x∗)〉 = 〈fδ − f, J(xδ,hα − x∗)〉 − α〈x∗, J(xδ,hα − x∗)〉 (2.9) 20 Vì toán tử Ah là J-đơn điệu và (2.3) nên ta có 〈Ahxδ,hα − Ax∗, J(xδ,hα − x∗)〉 = 〈Ahxδ,hα − Ahx∗, J(xδ,hα − x∗)〉 + 〈Ahx∗ − Ax∗, J(xδ,hα − x∗)〉 ≥ −hg(||x∗||) ||xδ,hα − x∗||. Mặt khác α〈xδ,hα − x∗, J(xδ,hα − x∗)〉 = α||xδ,hα − x∗||2; 〈fδ − f, J(xδ,hα − x∗)〉 ≤ δ||xδ,hα − x∗||; và −α〈x∗, J(xδ,hα − x∗)〉 ≤ α||x∗|| ||xδ,hα − x∗||. Do vậy, ta suy ra ||xδ,hα − x∗|| ≤ δ α + h α g(||x∗||) + ||x∗|| ∀x∗ ∈ S, hoặc ||xδ,hα || ≤ δ α + h α g(||x∗||) + 2||x∗|| ∀x∗ ∈ S. (2.10) Do vậy dãy {xδ,hα } là bị chặn nên có một dãy con hội tụ yếu tới x¯. Không mất tổng quát ta coi xδ,hα ⇀ x¯ ∈ X khi α → 0. Cũng từ tính J-đơn điệu của Ah và (2.6) ta được 〈Ahx−Ahxδ,hα , J(x−xδ,hα )〉 = 〈Ahx+αxδ,hα − fδ, J(x−xδ,hα )〉 ≥ 0 ∀x ∈ X. Vì J là liên tục yếu theo dãy nên cho α→ 0 trong giới hạn trên thì 〈Ax− f, J(x− x¯)〉 ≥ 0 ∀x ∈ X. (2.11) Theo định lý 1.5 toán tử A là J-đơn điệu cực đại, thì từ (2.11) ta suy ra f = Ax¯ nên x¯ ∈ S. Trong (2.9) thay x∗ bởi x¯ ta suy ra ước lượng sau ||xδ,hα − x¯||2 ≤ δ α ||xδ,hα − x¯||+ h α g(||x¯||)||xδ,hα − x¯|| − 〈x¯, J(xδ,hα − x¯)〉. 21 Do dãy {xδ,hα } bị chặn và hội tụ yếu tới x¯ ∈ S, từ bất phương trình trên ta suy ra {xδ,hα } hội tụ mạnh tới x¯ khi α→ 0. Từ (2.9) ta có 〈Ahxδ,hα − Ax∗, J(xδ,hα − x∗)〉+ α〈xδ,hα , J(xδ,hα − x∗)〉 = 〈fδ − f, J(xδ,hα − x∗)〉 ⇒ −hg(||x∗||)||xδ,hα − x∗||+ α〈xδ,hα , J(xδ,hα − x∗)〉 ≤ δ||xδ,hα − x∗|| ⇔ 〈xδ,hα , J(xδ,hα − x∗)〉 ≤ ( δ α + h α g(||x∗||) ) ||xδ,hα − x∗|| ∀x∗ ∈ S. Cho α→ 0 ta được 〈x¯, J(x¯− x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S, do đó x¯ = x¯∗. Vậy dãy {xδ,hα } hội tụ mạnh tới x¯∗. 2 Hệ quả 2.1. Cho phương trình hiệu chỉnh Ahx+ α(x− x+) = fδ, trong đó x+ ∈ X là một phần tử cố định, δ + h α → 0 khi α→ 0 thì nghiệm của nó hội tụ mạnh tới nghiệm x¯∗ ∈ S thỏa mãn bất phương trình 〈x¯∗ − x+, J(x¯∗ − x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S. Bây giờ ta xét bài toán trên khi thêm điều kiện X là không gian Banach phản xạ lồi chặt và có tính xấp xỉ, không gian liên hợp của nó X∗ cũng lồi chặt. Gọi xδα là nghiệm của phương trình A(x) + αx = fδ; (2.12) và xα là nghiệm của phương trình A(x) + αx = f. (2.13) Theo [4] ta biết rằng xδ,hα , x δ α và xα tồn tại và duy nhất. Bổ đề 2.1. Giả sử A : D(A) = X → X là J-đơn điệu và khả vi Frechet trong X và L = A′(h), h ∈ X, và α là số thực dương. Khi đó ||(αI + L)−1|| ≤ 1 α ; ||(αI + L)−1L|| ≤ 2. 22 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ được đưa ra trong định lý sau. Định lý 2.2. Cho J : X → X∗ là liên tục yếu theo dãy và A : D(A)→ X là toán tử J-đơn điệu với D(A) = X. Khi đó {xα} hội tụ tới x¯∗ là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức 〈x¯∗, J(x¯∗ − x∗)〉 ≤ 0 ∀x∗ ∈ S. Ngoài ra nếu A thỏa mãn các điều kiện sau: 1. A là khả vi Frechet trong X, và tồn tại một số dương K0, để với bất kỳ v ∈ X, x ∈ B¯r(x¯∗), trong đó r = ||x¯∗||, tồn tại một phần tử k(x, x¯∗, v) ∈ X và ||k(x, x¯∗, v)|| ≤ K0||v|| ||x− x¯∗|| sao cho (A′(x)− A′(x¯∗))v = A′(x¯∗)k(x, x¯∗, v); 2. Tồn tại ω ∈ X thỏa mãn x¯∗ = A′(x¯∗)ω. Khi đó, nếu α = O(δ1/2 + h1/2), ta có ||xδ,hα − x¯∗|| ≤ O(δ1/2 + h1/2) khi δ → 0, h→ 0. Chứng minh Để chứng minh dãy {xα} hội tụ tới x¯∗ ta chứng minh tương tự như trong định lý 2.1. Bây giờ ta sẽ ước lượng cho ||xα− x¯∗||. Ký hiệu xt = x¯∗+ t(xα− x¯∗), 0 ≤ t ≤ 1 thì ||xt − x¯∗|| ≤ ||xα − x¯∗|| ≤ ||x¯∗||. Vì vậy xt ∈ B¯r(x¯∗) và A(xα)− A(x¯∗) = A′(x¯∗)(xα − x¯∗) + ∫ 1 0 (A′(xt)− A′(x¯∗))(xα − x¯∗)dt = A′(x¯∗)(xα − x¯∗) + ∫ 1 0 A′(x¯∗)k(xt, x¯∗, xα − x¯∗)dt Từ (2.13) và A(x¯∗) = f , ta có (αI + A′(x¯∗))(xα − x¯∗) = −αx¯∗ − ∫ 1 0 A′(x¯∗)k(xt, x¯∗, xα − x¯∗)dt (2.14) Theo bổ đề 2.1, ta biết rằng ||(αI + A′(x¯∗))−1A′(x¯∗)|| ≤ 2. Từ hai giả thiết của định lý và (2.14) ta có xα−x¯∗ = −α(αI+A′(x¯∗))−1A′(x¯∗)ω− ∫ 1 0 (αI+A′(x¯∗))−1A′(x¯∗)k(xt, x¯∗, xα−x¯∗)dt. 23 Do ∣∣∣∣∣∣ ∫ 1 0 (αI + A′(x¯∗))−1A′(x¯∗)k(xt, x¯∗, xα − x¯∗)dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ 2 ∫ 1 0 K0||xα − x¯∗|| ||xt − x¯∗||dt = K0||xα − x¯∗||2, nên ||xα − x¯∗|| ≤ 2||ω||α +K0||xα − x¯∗||2. Vì vậy ||xα − x¯∗||(1−K0||xα − x¯∗||) ≤ 2||ω||α. Mặt khác, do xα → x¯∗ khi α→ 0, từ bất đẳng thức trên ta suy ra ||xα − x¯∗|| ≤ O(α). (2.15) Tiếp theo ta sẽ ước lượng cho ||xδα − xα||. Vì xδα và xα lần lượt là nghiệm của (2.12) và (2.13), ta có A(xδα)− A(xα) + α(xδα − xα) = fδ − f, do A có tính J-đơn điệu nên ta suy ra α||xδα−xα||2 ≤ 〈fδ− f, J(xδα−xα)〉 ≤ ||fδ− f || ||xδα−xα|| ≤ δ||xδα−xα||. Vì vậy ||xδα − xα|| ≤ δ α ≤ O(δ1/2). (2.16) Ngoài ra, do xδ,hα và x δ α lần lượt là nghiệm của (2.4) và (2.12), ta có Ah(x δ,h α )− A(xδα) + α(xδ,hα − xδα) = 0. Do đó, α||xδ,hα − xδα||2 + 〈Ah(xδ,hα )−Ah(xδα) +Ah(xδα)−A(xδα), J(xδ,hα − xδα)〉 = 0. Vì Ah có tính J-đơn điệu nên α||xδ,hα − xδα||2 ≤ 〈−Ah(xδα) + A(xδα), J(xδ,hα − xδα)〉 ≤ ||xδ,hα − xδα||.h.g(||xδα||). 24 Vì ||xδα − x¯∗|| ≤ ||xδα − xα|| + ||xα − x¯∗|| ≤ δ α + ||xα − x¯∗|| và {xα} là bị chặn, nên {xδα} là bị chặn khi α = O(δ1/2 + h1/2) (δ → 0, h → 0). Vậy g(||xδα||) bị chặn. Do vậy, tồn tại một số dương M > 0 để g(||xδα||) ≤ M. Nên ||xδ,hα − xδα|| ≤ Mh α ≤ O(h1/2). (2.17) Từ (2.15), (2.16) và (2.17) ta suy ra kết luận của định lý. 2 Tiếp theo ta xét phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1) trong không gian Banach thực phản xạ X có tính xấp xỉ, với không gian liên hợp X∗ lồi chặt. Nếu A không có thêm tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc đều thì nói chung (2.1) là bài toán đặt không chỉnh. Ta xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng như sau Ah(x) + α(x− x+) = fδ, ||fδ − f || ≤ δ → 0. (2.18) Ở đây A là m-J-đơn điệu trong X, Ah cũng có tính chất m-J-đơn điệu và thỏa mãn điều kiện xấp xỉ ||A(x)− Ah(x)|| ≤ hg(||x||), (2.19) hàm g(t) là bị chặn, liện tục và không âm, x+ là một phần tử thuộc X đóng vai trò là tiêu chuẩn lựa chọn. Bằng cách chọn x+ ta có thể chọn được nghiệm ta muốn xấp xỉ. Vì Ah là m-J-đơn điệu nên phương trình (2.18) có nghiệm duy nhất, ký hiệu là xδ,hα . Hơn nữa, trong [2] Alber đã chứng minh xδ,hα → x0, là nghiệm duy nhất của (2.1), khi (δ+ h)/α, α→ 0, J là liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh. Do lớp không gian Banach vô hạn chiều có tính liên tuc yếu của J là rất nhỏ (chỉ lp). Ở phần này ta sẽ chỉ ra sự hội tụ của xδ,hα mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J và điều kiện duy nhất nghiệm của (2.1). Trước tiên ta giả sử tồn tại hằng số τ > 0 để với x ∈ X thì ||A(x)− A(x0)− J∗A′(x0)∗J(x− x0)|| ≤ τ ||A(x)− A(x0)||, (2.20) 25 trong đó J∗ là ánh xạ đối ngẫu của X∗, và x0 là một nghiệm của (2.1). Ta có kết quả về sự hội tụ của xδ,hα như sau Định lý 2.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn 1. A là khả vi Frechet tại x0 và thỏa mãn giả thiết (2.20); 2. Tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho A′(x0)z = x+ − x0, 3. Tham số α được chọn để α ∼ (δ + h)µ, 0 < µ < 1. Thì với 0 < δ + h < 1, ta có ||xδ,hα − x0|| = O((δ + h)θ), θ = min{1− µ, µ/2}. Chứng minh Từ (2.1), (2.18), (2.19), tính J-đơn điệu của Ah và điều kiện thứ hai của định lý, ta suy ra ||xδ,hα − x0||2 = 〈xδ,hα − x0, J(xδ,hα − x0)〉 = 〈xδ,hα − x+, J(xδ,hα − x0)〉+ 〈x+ − x0, J(xδ,hα − x0)〉 = 1 α 〈fδ − Ah(xδ,hα ), J(xδ,hα − x0)〉+ 〈A′(x0)z, J(xδ,hα − x0)〉 = 1 α 〈fδ − Ax0, J(xδ,hα − x0)〉+ 1 α 〈Ax0 − Ahx0, J(xδ,hα − x0)〉 + 1 α 〈Ahx0 − Ah(xδ,hα ), J(xδ,hα − x0)〉+ 〈z, A′(x0)∗J(xδ,hα − x0)〉 ≤ 1 α [δ + hg(||x0||)] ||xδ,hα − x0||+ 〈z, A′(x0)∗J(xδ,hα − x0)〉. (2.21) Như vậy, {xδ,hα } là bị chặn. Từ 〈z, A′(x0)∗J(xδ,hα − x0)〉 ≤ ||z||.||A′(x0)∗J(xδ,hα − x0)||, và bởi (2.20), ta có ||A′(x0)∗J(xδ,hα − x0)|| = ||J∗A′(x0)∗J(xδ,hα − x0)|| ≤ (τ + 1)||A(xδ,hα )− f || ≤ (τ + 1)[||A(xδ,hα )− Ah(xδ,hα )||+ ||Ah(xδ,hα )− fδ|| + ||fδ − f || ] ≤ (τ + 1)[α||xδ,hα − x+||+ δ + hg(||xδ,hα ||)]. 26 Do đó từ (2.21) ta suy ra ||xδ,hα − x0||2 ≤ 1 α [δ + hg(||x0||)] ||xδ,hα − x0|| + (τ + 1)||z|| [α||xδ,hα − x+||+ δ + hg(||xδ,hα ||)]. Vì α ∼ (δ + h)µ, 0 < µ < 1, và g(t) là bị chặn, từ bất phương trình cuối ta thu được ||xδ,hα − x0||2 ≤ C1(δ + h)1−µ||xδ,hα − x0||+ C2(δ + h)µ, 0 < δ + h < 1, trong đó Ci là các hằng số dương. Ta sử dụng kết quả sau a, b, c ≥ 0 p > q, ap ≤ baq + c⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) ta được ||xδ,hα − x0|| = O((δ + h)θ), θ = min{1− µ, µ/2}. Định lý được chứng minh. 2 Xét phương trình toán tử (2.1), với A là ánh xạ m-J-đơn điệu, f ∈ X, trong đó X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux đều và giả sử tập nghiệm của nó là S khác rỗng. Nếu X là trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị, ta sẽ kí hiệu nó bởi j. Ta xét phương trình hiệu chỉnh sau: A(x) + α(x− x+) = fδ, (2.22) ở đây α > 0 là tham số hiệu chỉnh, x+ ∈ X là một phần tử dự đoán và fδ ∈ X bất kỳ với ||fδ − f || ≤ δ → 0. Trong [2] Abel đã chỉ ra rằng hàm ρ(α) = α||xδα − x+||, với xδα là nghiệm của (2.22), liên tục và đơn điệu không giảm và nếu A liên tục tại x+ thì lim α→0 ρ(α) = 0, lim α→+∞ ρ(α) = ||Ax + − fδ||. Sau đó cũng chính ông đã chỉ ra nếu ||Ax+− fδ|| > Kδp, K > 2, 0 < p ≤ 1, thì tồn tại ít nhất một giá trị α¯ = α(δ) thỏa mãn ||A(xδα(δ))−fδ|| = Kδp và (K − 1)δp/α(δ) ≤ 2||y0 − x+||. Do đó khi 0 < p < 1 ta có δ/α(δ) ≤ 2||y0 − x+||δ1−p/(K − 1)→ 0, δ → 0. 27 Như vậy, nếu J là liên tục và liên tục yếu theo dãy thì xδα(δ) → y∗ ∈ S. Ở phần trước, ta đã chỉ ra điều kiện để nghiệm hiệu chỉnh hội tụ tới nghiệm của bài toán mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J. Trong phần tới, cũng không cần tính chất liên tục yếu theo dãy của J và điều kiện (2.20), ta sẽ chỉ ra sự hội tụ mạnh của thuật toán (2.22) và đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Cho phần tử cố định f ∈ X, ta xác định ánh xạ u = Tf(x) bởi Af(u) + u = x,Af(.) = A(.)− f, cho mỗi x ∈ X. Khi đó Tf có các tính chất sau: • D(Tf) = X; • Tf là ánh xạ không giãn; • Fix(Tf) = S. Bổ đề 2.2. Giả sử C là một tập con lồi của không gian Banach X có chuẩn khả vi Gateaux đều. Cho {xk} là một tập con bị chặn của X, z là một phần tử thuộc C và cho µ là một giới hạn Banach. Khi đó µk||xk − z||2 = min u∈C µk||xk − u||2 nếu và chỉ nếu µk〈u− z, j(xk − z)〉 ≤ 0 cho mọi u ∈ C. Các định lý 2.4 - 2.7 chỉ ra sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Định lý 2.4. Cho X là một không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là một ánh xạ m-J-đơn điệu trên X. Khi đó, với mỗi α > 0 và f ∈ X, phương trình A(x) + α(x− x+) = f, (2.23) có nghiệm duy nhất xα. Hơn thế nếu có thêm tập nghiệm của (1.1) là S 6= ∅ thì dãy {xα} hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X, là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : 〈y∗ − x+, j(y∗ − y)〉 ≤ 0 ∀y ∈ S. (2.24) 28 Ngoài ra ta còn có ||xδα−xα|| ≤ δ/α, ở đây xδα là nghiệm duy nhất phương trình (2.22), ∀α > 0 và fδ ∈ X. Chứng minh Do A là toán tử m-J-đơn điệu nên phương trình (2.23) luôn có nghiệm, ký hiệu là xα, α > 0. Mặt khác, vì ánh xạ A + α(I − x+) là J-đơn điệu α-mạnh nên nghiệm này là duy nhất. Lập luận tương tự ta cũng có xδα là nghiệm duy nhất của (2.22). Từ (2.23) ta có 〈A(xα)− A(y), j(xα − y)〉+ α〈xα − x+, j(xα − y)〉 = 0 ∀y ∈ S, do đó 〈xα − y + y − x+, j(xα − y)〉 ≤ 0 ∀y ∈ S hay ||xα − y||2 ≤ 〈x+ − y, j(xα − y)〉 ∀y ∈ S. (2.25) Từ đó, ||xα − y|| ≤ ||x+ − y||, điều này dẫn đến dãy {xα} bị chặn. Cũng từ (2.23) ta thu được ||A(xα)− f || = α||xα − x+|| ≤ α[||xα − y||+ ||x+ − y||] ≤ 2α||x+ − y|| suy ra lim α→0 ||A(xα)− f || = 0. (2.26) Tiếp theo, ta xét ánh xạ T f := I − Af . Rõ ràng, y ∈ S nếu và chỉ nếu y ∈ Fix(T f). Hơn thế, ta có 2I − Tf = I + I − T f = I + Af , do đó A := (2I − Tf)−1 = (I +Af)−1 = Tf , là ánh xạ không giãn đơn trị. Vì vậy, Fix(A) = Fix(Tf) = S. Từ xδα − T fxδα = (2I − T f)xδα − xδα = A(xδα)− f và A(2I − T f)xδα = xδα, 29 ta suy ra ||xδα−Axδα|| = ||A(2I−T f)xδα−Axδα|| ≤ ||(2I−T f)xδα−xδα|| = ||A(xδα)−f ||. Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.26) suy ra ||xα−Axα|| → 0 khi α→ 0. Cho {xk} là một dãy con bất kỳ của {xα} với αk → 0 khi k → ∞. Xét phiếm hàm ϕ(x) = µk||xk − x||2 ∀x ∈ X. Ta nhận thấy ϕ(x) → ∞ khi ||x|| → ∞, trong đó ϕ là phiếm hàm lồi và liên tục. Khi đó, nếu X là phản xạ, tồn tại y˜ ∈ X thỏa mãn ϕ(y˜) = minx∈X ϕ(x). Do vậy, tập C∗ := {u ∈ X : ϕ(u) = min x∈X ϕ(x)} 6= ∅. Dễ thấy C∗ là tập con bị chặn, đóng và lồi trên X. Mặt khác, từ ||xk − Axk|| → 0, ta có ϕ(Ay˜) = µk||xk −Ay˜||2 = µk||Axk −Ay˜||2 ≤ µk||xk − y˜||2 = ϕ(y˜), suy ra AC∗ ⊂ C∗, tức là C∗ là bất biến dưới A. Ta sẽ chỉ ra C∗ chứa một điểm cố định của A. Thật vậy, vì X là không gian Banach lồi chặt và phản xạ, tập con lồi đóng bất kỳ trong X là tập Chebyshev [xem 12]. Cho y ∈ Fix(A), khi đó tồn tại duy nhất y˜ ∈ C∗ để ||y − y˜|| = inf x∈C∗ ||y − x||. Do y = Ay và Ay˜ ∈ C∗, ta có ||y −Ay˜|| = ||Ay −Ay˜|| ≤ ||y − y˜||, nên Ay˜ = y˜. Do vậy, tồn tại một điểm y˜ ∈ Fix(A) ∩ C∗ = S ∩ C∗. Từ bổ đề 2.2, ta biết y˜ là điểm cực tiểu của ϕ(x) trên X nếu và chỉ nếu µk〈x− y˜, j(xk − y˜)〉 ≤ 0 ∀x ∈ X. (2.27) Thay y = y˜ trong (2.25) và lấy x = x+ trong (2.27), ta thu được µk||xk − y˜||2 = 0. Do vậy, tồn tại một dãy con {xki} của {xk} hội tụ mạnh tới y˜ khi i → ∞. Từ (2.25) và tính chất liên tục yếu* theo chuẩn của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j trong tập con bị chặn của X, ta được 〈y − x+, j(y˜ − y)〉 ≤ 0 ∀y ∈ S. (2.28) 30 Vì y và y˜ đều thuộc Fix(A) là tập con đóng và lồi, thay y trong (2.28) bằng sy + (1− s)y˜ với s ∈ (0, 1), và lưu ý j(s(y˜ − y)) = sj(y˜ − y), s > 0, chia cho s và để s→ 0, ta được 〈y˜ − x+, j(y˜ − y)〉 ≤ 0 ∀y ∈ S. Do tính duy nhất của y∗ trong (2.24) nên y˜ = y∗ . Vì vậy, tất cả lưới {xα} hội tụ mạnh tới y∗ khi α→ 0. Kết hợp (2.22) và (2.23), ta có 〈A(xδα)− Axα, j(xδα − xα)〉+ α||xδα − xα||2 = 〈fδ − f, j(xδα − xα)〉, suy ra ||xδα − xα|| ≤ δ/α. 2 Định lý 2.5. Cho X là không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là toán tử m-J-đơn điệu trong X. Cho f và fδ là các phần tử trong X sao cho ||fδ − f || ≤ δ → 0. Khi đó, 1. nếu có thêm tập nghiệm của (2.1) là S 6= ∅ và tham số α được chọn để δ/α → 0 khi α → 0 thì {xδα} hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X, là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : 〈y∗ − x+, j(y∗ − y)〉 ≤ 0,∀y ∈ S; 2. ngoài ra với các số dương bất kỳ αi và δi với i = 1, 2, ta có ||xδ1α1 − xδ2α2|| ≤ (M1 + ||x+||) |α1 − α2| α1 + δ1 + δ2 α1 trong đó M1 là hằng số dương. Chứng minh 1., chứng minh tương tự như trong định lý 2.4. 2., Cho xδiαi là nghiệm của (2.22) với α = αi và δ = δi cho i = 1, 2. Thì 〈A(xδ1α1)− A(xδ2α2), j(xδ1α1 − xδ2α2)〉+ α1〈xδ1α1 − x+, j(xδ1α1 − xδ2α2)〉 −α2〈xδ2α2 − x+, j(xδ1α1 − xδ2α2)〉 = 〈fδ1 − fδ2, j(xδ1α1 − xδ2α2)〉, 31 do A là m-J-đơn điệu nên α1〈xδ1α1 − xδ2α2, j(xδ1α1 − xδ2α2)〉+ (α1 − α2)〈xδ2α2 − x+, j(xδ1α1 − xδ2α2)〉 ≤ 〈fδ1 − fδ2, j(xδ1α1 − xδ2α2)〉, từ đó α1||xδ1α1−xδ2α2||2 ≤ (M1+ ||x+||)|α1−α2| ||xδ1α1−xδ2α2||+(δ1+δ2)||xδ1α1−xδ2α2||, ở đây ta chọn M1 sao cho ||xδ2α2|| ≤M1. Do vậy, ||xδ1α1 − xδ2α2|| ≤ (M1 + ||x+||) |α1 − α2| α1 + δ1 + δ2 α1 . 2 Định lý 2.6. Cho X, A và f như trong định lý 2.4 sao cho S 6= ∅. Giả sử rằng tồn tại một phần tử v ∈ X để x+− y∗ = A′(y∗)v và đạo hàm Frechet A′(.) là liên tục Lipchitz địa phương trong hình cầu Br(y∗) = {x ∈ X : ||x− y∗|| ≤ ||x+ − y∗||}. Khi đó, với mỗi α > 0, ta có ||xα − y∗|| ≤ 2(2L||v||2 + ||v||)α. Chứng minh Đặt F = A′(y∗), Rα = α(F + αI)−1 và B = FRα, thì αF − αB = αF − αFRα = αF (I −Rα) = αF [(F + αI)− αI](F + αI)−1 = FB. Đặt zα = xα − y∗, ta được A(xα)− A(y∗ +Bv) + α(zα −Bv) = A(y∗)− A(y∗ +Bv) + α(zα −Bv)− α(xα − x+) = A(y∗)− A(y∗ +Bv) + α(x+ − y∗)− αBv = A(y∗)− A(y∗ +Bv) + αF (v)− αBv = A(y∗)− A(y∗ +Bv) + FBv, 32 Sử dụng tính liên tục Lipchitz của A′(.) và bổ đề 2.1, ta có α||zα −Bv||2 ≤ 〈Axα − A(y∗ +Bv) + α(zα −Bv), j(zα −Bv)〉 ⇔ α||zα −Bv||2 ≤ 〈A(y∗)− A(y∗ +Bv) + FBv, j(zα −Bv)〉 ⇔ ||zα −Bv|| ≤ 1 α ||A(y∗)− A(y∗ +Bv) + A′(y∗)Bv|| ⇔ ||zα −Bv|| ≤ 1 α ||A′(y∗)− A′(y¯∗)||.||Bv||, y¯∗ ∈ Br(y∗) ⇔ ||zα −Bv|| ≤ L α .||Bv||2 ⇔ ||zα −Bv|| ≤ L α .||αF (F + αI)−1||2.||v||2 ⇔ ||zα −Bv|| ≤ 4Lα.||v||2 Mặt khác ||Bv|| ≤ 2α||v||, do đó ||zα|| = ||xα − y∗|| ≤ ||zα −Bv||+ ||Bv|| ≤ 2(2L||v||2 + ||v||)α. 2 Định lý 2.7. Cho X, A và f như trong định lý 2.6. Giả sử rằng tồn tại một phần tử v ∈ X để x+ − y∗ = A′(y∗)v và một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: 1. A′(.) liên tục Lipchitz như trong định lý 2.6. 2. Tồn tại hằng số k0 > 0 sao cho k0||x+ − y∗|| < 1 và (A′(x)−A′(y∗))ω = A′(y∗)k(x, y∗, ω), ||k(x, y∗, ω)|| ≤ k0||ω|| ||x−y∗||, ∀x, ω ∈ Br˜(y∗), ở đây r˜ > r + δ/α. Khi đó, nếu α được chọn sao cho α = O( √ δ), thì ||xδα − y∗|| ≤ O( √ δ). Chứng minh Nếu điều kiện trong định lý 2.6 được thỏa mãn thì cùng với kết quả của định lý 2.4 ta thu được ||xδα − y∗|| ≤ ||xδα − xα||+ ||xα − y∗|| ≤ δ α + 2(2L||v||2 + ||v||)α. 33 Do vậy, nếu chọn α = O( √ δ) thì ||xδα − y∗|| ≤ O( √ δ). Bây giờ ta