Luận văn Phương pháp số giải bài toán ngược phương trình truyền nhiệt có nguồn nhiệt

nghiệm chỉnh hóa) Giả sử i. g0 1( )L  , 10 (0, )L T  và 0 thỏa (H), ii. 1 1ln( ) ln( ) [ , 1 ], 50 50 r Z        ( ) (4 ), 1,2,...,20 ,B r r j j r      iii. (u0, f0) 1 1 2 2 2( ([0,T];L ( )) (0, ; ( )), ( ))C L T H L   là nghiệm chính xác của (1) tương ứng với các dữ liệu chính xác g0, 0 , iv. 1 10, (0, ), ( )L T g L      sao cho 1 10 0(0, ) ( ) , . L T L g g        Khi đó nghiệm chỉnh hóa 0 , ( , ) ( , ) ( , )cos( ) os( ) m n r f x y K m n F m n m x c n y          Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 14 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 được xây dựng từ , g  thỏa 2 2 0 0 ( ), lim ( ). f C R f f trong L            Hơn nữa, nếu 10 ( )f H  thì 1 0 0 lim ( )f f trong H     và tồn tại 0 00,  chỉ phụ thuộc vào 0 0,f  sao cho 2 10 01( ) ( ) 50 . , ln( )L H f f f       0(0, )   . Để chứng minh hai định lý trên, chúng ta cần các kết quả được phát biểu và chứng minh dưới dạng các bổ đề sau 3.3. Các bổ đề. 3.3.1. Bổ đề 1. Giả sử (u, f ) là một nghiệm của hệ (1). Đặt: W(x,y) = cosh(αx)cos(n Với mọi (α,n) , ta có - Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 15 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 = . Chứng minh. Từ W(x,y) = cosh(αx)cos(n , ta có , Và từ - = . Nhân hai vế với W ta có - = . Lấy tích phân trên  của hai vế ta được - = . Dùng tích phân từng phần cùng với điều kiện ux(1,y,t) = ux(0,y,t) = 0 ta có = . Nhân hai vế của phương trình với , ta được . - = . Hay Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 16 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 [ ] = Lấy tích phân 2 vế của phương trình trên theo biến t từ 0 đến T, ta có = . Thay u = g(x,y) ta có điều phải chứng minh. 3.3.2. Bổ đề 2. Nếu đặt G( )(α,β) = (x,y)cosh( cos( với L1 ( và α, β C thì khi đó Với mỗi n Z, G (. , n là một hàm nguyên và ≤ 1 ( ). , z L e z C    . Hơn nữa, nếu L2 và ≠ 0 thì tồn tại một số nguyên n sao cho r ln G(ω)(z,nπ) lim sup -1 r ≥ . Chứng minh. Với mỗi n ( ) đặt (z) = , ta có Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 17 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 (iz) = = (x,y)cosh( cos( (x,y)cos ) cosh = Điều này cho thấy (iz) là hàm nguyên và do đó (z) cũng là hàm nguyên. Ta có , x [0,1], C. Tiếp theo, giả sử 0, ta thấy rằng = ( )n z im d z dz    = (x,y)sin(m ) cos . Mà { sin(m ) cos }m ≥ 1, n ≥ 0 là hệ trực giao trong L 2( ) nên vế phải của phương trình trên không đồng nhất bằng 0. Suy ra, tồn tại một số các giá trị nguyên n để không là hàm hằng. Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 18 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 Khi đó cùng với , ta có với r > 0 và đủ lớn. Bây giờ ta sẽ chứng minh Nếu 0 thì kết quả là hiển nhiên. Xét < 0 và 1 < er. , ta có 0 < ln er = r +ln . Nên 1 ln ( )M r Do đó ln ( ) ln ( ) n r M r  . Hay . Suy ra Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 19 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 sup[ sup[ Mà theo định lý Beurling, ta có . Nên hay hay . Vậy Bổ đề 2 được chứng minh. 3.3.3. Bổ đề 3. Xét D( )( α,n ) = ,với α, . Khi đó Với (α,n) và ta có Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 20 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 Hơn nữa, nếu thỏa điều kiện (H) thì 2 2 2 θ+1 liminf (α - n π ) D(φ)(α,nπ) ] > 0 , 2 2 2(α -n π ) +  với  trong (H) tương ứng với  . Chứng minh. Ta có . Đặt = , ta cần chứng minh . Khi > 0, ta có = Nên Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 21 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 . Đặt ( )  = , và dùng tích phân từng phần, ta có 1( )  = - + ( ) Xét = [-( ) + 0 ( )  ] = = = = 1. Và = [-( + 2 1( )  ] = 2.1 = 2. Do đó theo bất đẳng thức Holder, ta có [ .[ với mọi và đủ lớn. Thật vậy, ta có [ . [ = [ . [ [ dt Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 22 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 = = . = ( khi đủ lớn để ( . Nên 1 22 1 2( ) [ ( ).( ( )) ] .           Do đó = > 0. Vậy > 0. Ta có điều phải chứng minh . 3.3.4. Bổ đề 4. Giả sử i. 1 r Z và Br = { }, ii. là hai hàm biến phức và là hàm chẵn, Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 23 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 iii. là hàm nguyên, iv. và A không phụ thuộc vào z, v. L[Br, = với Br . Khi đó sup z r sup ω(z) - (z) . z Br   Chứng minh. Xét z và j = 1, 2, 20r. Theo bất đẳng thức tam giác ta có = . Đặt  ={z dùng định lý về thặng dư ta có – L = . Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 24 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 (ở đây ta kiểm chứng bằng cách dùng thặng dư tính ra vế phải sẽ bằng vế trái). Do đó, = . / Với   , từ bổ đề 2 ta suy ra Ae45r, = 45r –  r hay và . Mặt khác, ta khẳng định rằng , r = 1, 2 Thật vậy, mệnh đề trên đúng với r = 1, 2, 54 (bằng cách tính toán trực tiếp). Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 25 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 Với r ta xét hàm số V(x) = , với x . Ta có V’(x) = > 0, x , r nên hàm số đồng biến trên Và V’’(x) = - = < 0, x nên hàm V(x) lõm trên . Do đó, áp dụng bất đẳng thức Jensen với r  55, ta có 20 5 4 5 4 2 2 2 1 1 4( 1) 1 1 4( 1) 1 5 2 2 1 2 25 2 2 2 1 1 ( ) ( ( )) 4 ( ) 4 4 [(16 16 16 / 3) (4 2) 1/ 6] 4 [(16 16 16 / 3) (4 2) ] 55 6.55 r kr k j j j j k j k r k j k r k k v z v z r v z r r v k k r k r r r r v k k r k                                 5 2 2 1 2 2 5 2 21 884 32487 4 [(16 ) ] 55 6050 884 32487 16 55 60504 ln[ ] 884 32487 45 16 55 6050 45 4 .( 11,51809713) 46 ln( ). 45 k k r v k k r k k r k k r r                       Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 26 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 Vậy 2 220 2 2 1 ( ) 45 ln 46 ln( ) (45) 45 r j j j r z r z           . Hay 2 220 2 2 1 ( ) 45 ln[ ] 46 ln( ) (45) 45 r j j j r z r z           . Do đó khi r  55, ta có 2 220 46 2 2 1 ( ) 45 [ ] ( ) (45) 45 r j r j j r z e z          . Nên ta có kết quả 2 220r j -46r 2 2 j=1 j (πr) + z 45 - π [ ] ( )e , khi r = 1, 2,... (45) - z 45  Vậy  45 46. 4545 . .( ) 45 45 r rA er e r r     = Ae-r, với mọi r = 1, 2, 3 , Tiếp theo ta có Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 27 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 2 220 2 2 1 2 2 2 2 1 20 1 20 ( )( ( ) ( )) 20 . sup ( ) ( ) . sup . r k j j j k j j k k j j j r j r k j j k z z z z z z z z r z z z z                       Mà 20 2 22 2 2 2 2 . (4 2)(4 3)...(24 ) (4 2)(4 3)...(24 ) : ( ). ( 1)!(20 )! (10 1)!(10 )! r k k k k k k k j k j k jj k j k k j k j k j k k j zz z z z z z z z z z z z z z z z z r r r r r r J r j r j r r                               Và J(1) = 25 6.7...24 24! 3926434512 . 9!10! 5!9!10! e   24 25 2 4 20 ( 1) (24 1)(24 2)...(24 24) 24 . ( ) (4 2)...(4 5).(10 )[(10r+1)...(10r+9)] (10 10) 4 10 J r r r r e J r r r r r           Suy ra J( r + 1) < e25 J(r). Như vậy, bằng quy nạp ta chứng minh được J( r + 1) < e25r , với mọi 1, .r r N  Từ đó, Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 28 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 25 1 20 20 . sup ( ) ( ) . .rj j j r r z z e      Vậy suy ra Bổ đề 4 được chứng minh. 3.3.5. Bổ đề 5. Giả sử i. u0, f0, 0 , g0,  , , , ( )g r B r   như trong định lý 2 và ii.  trong (H) tương ứng với 0 . Khi đó Tồn tại 1 0  và 1 chỉ phụ thuộc vào các dữ liệu chính xác sao cho 1 4 5 0 1 ( )( , ) ( , )( , ) [ln( )] . . , ( (0, ),0 , ).r G f n H g n e n r B                       Chứng minh. Trước hết, ta thấy rằng Nếu ( )B r  thì 4 24 nên với  đủ nhỏ, ta có Do đó, theo Bổ đề 3 thì tồn tại 0( )C  > 0 chỉ phụ thuộc vào 0 cho 2 2 1 0( ( ) ) ( )( , ) ( ).n D n C        Do đó 1 2( 1)0 2 2 1 ( ) ( )( , ) [ln( )] . ( ( ) ) C D n n                 Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 29 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 Vì vậy, 0 0 1 2( 1) 1 2( 1) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) 1 [ln( )] [ln( )] . 2 D n D n D n D n                              Với  ( > 0) đủ nhỏ và theo bổ đề 1 và 2, ta có 2 2 12 2 ( ( ) ) 0 0 0 0 0 0 ( )( ( ) ) 1 4 5 1 2( 1) ( (.,., ))( , ) ( )( , ) ( , )( , ) . ( )( , ) (.,., ) 1 . . .(ln( )) . [ ln( )] 2 n T Ln T G u T n G f n H g n e D n e u T e e                                  Hơn nữa, với  ( > 0 ) đủ nhỏ, ta có 0 0 0 0 0 0 0 0 ( (.,., ))( , ) ( (.,., ))( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( (.,., ))( , ) ( (.,., ))( , ) ( (.,., ))( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ). ( )( , ) ( )( , ) ( (.,., ))( , ) G g T n G g T n H g n H g n D T n D T n G g T n D n D n D n D n D n G g T n G                                                  0 0 ( (.,., ))( , ) ( )( , ). ( )( , ) g T n D n D n         1 10 0( ) (0, ) 1 2( 1) 1 2( 1) 1 2( 1) 1 2( 1) 1 4 5 . . [ ln( )] .2[ln( )] [ln( )] .2[ln( )] 1 [ln( )] . . . 2 L L T e g e e                                   Cuối cùng, ta có 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 5 1 4 5 1 4 5 ( )( , ) ( , )( , ) ( )( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( )( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) 1 1 [ ln( )] . . [ ln( )] . . [ ln( )] . . 2 2 G f n H g n G f n H g n H g n H g n G f n H g n H g n H g n e e e                                                             . Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 30 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tháng 08/2010 Đó là điều phải chứng minh. 3.2.6. Bổ đề 6. Đặt 0 , ( )( , ) ( , ) ( )( , )cos( ) os( ), 1 . M m n M x y K m n G im n m x c n y M Z                Nếu 1( )H  thì 1lim ( ) ( )M M H       và 2 1( ) ( ) 1 ( ) . ( 1) M L HM          Chứng minh. Trước hết, ta có 2 , 0 ( , ) ( , ) ( )( , )cos( ) os( ) ( ). m n x y K m n G im n m x c n y L          Từ ( )( , ) ( , )cos( ) os( )G im n x y m x c n y dxdy         1 . ( , )sin( ) os( ) .x x y m x c n y dxdy m        Hay . ( )( , ) ( , )sin( ) os( ) .xm G im n x y m x c n y dxdy          Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 31 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------