Luận văn Phương trình sai phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC NGUYỄN TIẾN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC NGUYỄN TIẾN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ ĐÌNH ĐỊNH Hà Nội - 2015 1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 LỜI CẢM ƠN 2 MỞ ĐẦU 3 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1. Dãy số, hàm lƣới và sai phân 7 1.2. Phƣơng trình sai phân tuyến tính 9 1.3. Một số phƣơng trình sai phân tuyến tính đơn giản 13 1.4. Phƣơng trình sai phân phi tuyến tính và tuyến tính hóa 23 1.5. Một số phƣơng trình sai phân phi tuyến tính thƣờng gặp 24 Chƣơng 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 29 2.1. Giải hệ phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một 29 2.2. Chuyển đổi các đại lƣợng trung bình 31 2.3. Tìm giới hạn của dãy số 33 2.4. Giải các bài toán số học 41 2.5. Giải các bài toán về phƣơng trình hàm 52 2.6. Giải các bài toán về tích phân 56 BÀI TẬP THAM KHẢO 60 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 2 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn này của tác giả đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Lê Đình Định – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội. Lời đầu tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến ngƣời thầy dạy và cũng là ngƣời thầy hƣớng dẫn - Tiến sĩ Lê Đình Định. Thầy đã dành nhiều thời gian để chỉ bảo, hƣớng dẫn tác giả với sự nhiệt tình, chu đáo, sâu sắc, đầy kinh nghiệm trong học tập và trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành bản luận văn này. Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của tất cả mọi ngƣời đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Tác giả 3 LỜI MỞ ĐẦU Rất nhiều hiện tƣợng khoa học kỹ thuật trong thực tiễn mà việc tìm hiểu nó dẫn đến bài toán giải phƣơng trình sai phân. Phƣơng trình sai phân còn là một công cụ giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và các phƣơng trình đại số cấp cao. Sự ra đời của phƣơng trình sai phân cũng xuất phát từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bởi một bên là một đại lƣợng biến thiên liên tục (đƣợc biểu diễn bởi hàm, chẳng hạn f(x) ) với bên còn lại là độ biến thiên của đại lƣợng đó. Đối với các hàm thông thƣờng nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức, ). Còn trong phƣơng trình sai phân mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chƣa đƣợc biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông thƣờng nó sẽ là một họ các phƣơng trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ đƣợc xác định chính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên. Trong các ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm ra công thức của hàm nghiệm. Với giá trị của thực tiễn khi ấy ngƣời ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập. Các phƣơng pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm đƣợc gọi là phân tích định lƣợng. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng xác định đƣợc các giá trị thực, lúc này ngƣời ta lại quan tâm đến các giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực. Việc tìm các giá trị này đƣợc thực hiện thƣờng là bằng phƣơng pháp số với công cụ là máy tính. Phƣơng trình sai phân đƣợc nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy và ứng dụng, vật lí và các ngành kỹ thuật. Toán học thuần túy quan tâm đến việc tìm ra sự tồn tại và duy nhất của hàm nghiệm. Phƣơng trình sai phân đƣợc phân làm nhiều loại, luận văn trình bày nghiên cứu về phƣơng trình sai phân trong đó có chứa các số hạng là đại số và sai phân. Trong mỗi loại phƣơng trình sai phân lại đƣợc chia thành hai dạng tuyến tính và phi tuyến tính. Việc giải các phƣơng trình sai phân tuyến tính có thể thực hiện 4 đƣợc nhƣng đối với phƣơng trình sai phân phi tuyến tính không có công thức chung để giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng. Thay vào đó có thể dùng hàm tuyến tính để xấp xỉ hàm phi tuyến với những điều kiện ràng buộc nhất định. Ở trƣờng trung học phổ thông cũng nhƣ trong các kỳ thi học sinh giỏi toán xuất hiện nhiều bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy hồi, phƣơng trình hàm, . đƣợc cho dƣới dạng một phƣơng trình sai phân hay có sử dụng phƣơng trình sai phân để giải. Chính vì vậy mà nhiệm vụ tìm hiểu những ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong các bài toán phổ thông là một yêu cầu cấp thiết và quan trọng. Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phƣơng trình sai phân có phân loại các dạng phƣơng trình sai phân với sự tổng hợp các phƣơng pháp giải sẽ đóng góp tốt hơn, có hiệu quả cao hơn cho việc định hƣớng nghiên cứu và phát triển tƣ duy cho học sinh. Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng. Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Chƣơng này nhắc lại và xây dựng các kiến thức cơ bản mà nó đƣợc ứng dụng rộng rãi ở chƣơng sau. Phần đầu tiên của kiến thức chuẩn bị nhắc lại các định nghĩa về dãy số, hàm lƣới, sai phân và các tính chất của sai phân. Phần thứ hai của chƣơng trình bày các kiến thức về định nghĩa, phân dạng và các phƣơng pháp giải dẫn đến các công thức nghiệm của phƣơng trình sai phân tuyến tính. Phần thứ ba của chƣơng giới thiệu một số dạng phƣơng trình sai phân tuyến tính đơn giản, thƣờng gặp trong các bài toán phổ thông. Đó là các phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một, hai, ba và các phƣơng pháp giải dẫn đến các công thức nghiệm của phƣơng trình sai phân tuyến tính. 5 Phần thứ tƣ của chƣơng trình bày về phƣơng trình sai phân phi tuyến tính và vấn đề tuyến tính hóa. Đặc biệt trong phần này đã nêu ra đƣợc phƣơng pháp để tuyến tính hóa một số phƣơng trình sai phân dạng phi tuyến tính về dạng tuyến tính giải đƣợc. Nhờ thế mà nó làm phong phú thêm ứng dụng của phƣơng trình sai phân. Phần cuối của chƣơng giới thiệu một số dạng và các ví dụ về phƣơng trình sai phân phi tuyến tính có thể tuyến tính hóa đƣợc. Chƣơng 2: Một số ứng dụng của phƣơng trình sai phân Chƣơng này nêu các ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong giải toán phổ thông. Đặc biệt đã giới thiệu đƣợc một số bài toán trong các kì thi học sinh giỏi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính và phi tuyến tính để giải. Vấn đề tuyến tính hóa cũng đƣợc thâm nhập sâu hơn và đa dạng hơn ở chƣơng này. Phần một của chƣơng đã nêu rõ đƣợc phƣơng pháp giải tổng quát cho hệ hai phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một, bằng việc biến đổi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp hai. Trong phần này cũng đƣa ra một số bài tập có lời giải để học sinh có thể nắm bắt dạng toán và vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải. Phần hai của chƣơng tổng quát đƣợc sáu dạng toán có lời giải về sự chuyển đổi các đại lƣợng trung bình giữa đối số và hàm số nhờ việc biến đổi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp hai. Phần ba của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải một số bài tập về việc tìm giới hạn có liên quan đến dãy số đƣợc biết đến dƣới dạng: số hạng tổng quát; phƣơng trình sai phân hay hệ phƣơng trình sai phân. Phần bốn của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải một số bài toán liên quan đến số học. Phần năm của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải các bài toán về phƣơng trình hàm. Phần cuối của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải một số bài toán liên quan đến tích phân truy hồi. 6 Những kiến thức trình bày trong luận văn này ở phổ thông đƣợc dùng cho các em học sinh ôn luyện tham gia các kì thi học sinh giỏi. Tất nhiên các kiến thức đó đƣợc sắp xếp, trình bày một cách có hệ thống để tiện theo dõi. Ngƣời đọc từ đó có thể nhận xét, đánh giá tổng quan để có thể bổ sung, mở rộng kiến thức hơn nữa nhằm phát huy khả năng sáng tạo, sự say mê khám phá hứa hẹn nhiều kiến thức mới thú vị, bổ ích và thiết thực. 7 ( ) ( ) ( ) * + ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) 8 ( ) * + . ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . * + ( ) . ( ) ( ) ( )( ) ( ) ∑( ) ( ( ) ) 9 ( ) ( ) ) ) ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) 10 ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ̃ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ( ) ̃ . ̃ ( ) ( ) ( ) ( ̃ ) ( ̃ ) ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) 11 * + ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) ( ) ̃ ∑ ∑ ( ) ( ) | | √ ̃ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 12 ̅̅ ̅̅ ( ) ( ) ( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ⃗ ( ) ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∑ ⃗ ⃗ ⃗ 13 ) ) ) ) ̃ ̃ ̃ ̃ ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) 14 ) ( ) ̃ ̃ ( ) ( ), ( ) - ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) ̃ ̃ ̃ ̃ 15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ̃ ̃ [( ) ∏ ] { ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) 16 *(( ) ) ( ) + ( ) * ( ) + ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) ̃ * ( ) + ( ) ̃ ̃ ( ∑ ) ̃ ( . / ) . / . / . / . / . / 17 ( ) ̃ ( ) ( ) ,( ) - , ( ) - ( ) ( )( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) ) ) ) ) 18 ̃ ̃ ̃ ) ̃ ) ̃ ( ) ) ( ) ̃ ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) * + ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 19 ̃ ̃ ̃ ( ) ̃ , ( ) ( ) - , ( ) ( ) - ( ) ( ) { { 20 ̃ ( ) ( ) ( ) ̃ ̃ ( ) ( ) , ( ) ( )- , ( ) ( )- ( ) { { ̃ ( ) ( ) ( ) 21 ) ) ) ) ̃ ̃ ̃ ) ̃ ) ̃ ( ) ) ̃ ( ) ) ( ) ̃ ( ) ( ) 22 ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) 23 ) ) √ ( ) . { . 24 ( ) { ( ) ( ) { . / 0 { { { ( ) ( ) 25 { . / ( ) { { { ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) { . / √ (√ ) ( √ ) (√ ) (√ ) (√ ) ( √ ) √ √ (√ )(√ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )(√ ) √ ( √ ) 26 ( ) ( ) { { { ( ) ( ) { { ( ) ( ) ( ) 27 √ √ √ √ √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ √ √ [ ( √ ) ( √ ) ] * + √ √ √ 28 √ √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) (√ √ ) (√ √ ) ( ) (√ √ ) (√ √ ) * (√ √ ) (√ √ ) + ) ) 29 { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) * + { { { 30 { ( ) ( ) { ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) √ { { √ { ( ) 31 { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) { ( ) ( ) { ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) √ ( ) ( ) ( ( )) [ ( ( )) ( ( ))] ( ( )) ( ) 32 ( ) ( ( )) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) { ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 { (√ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) (√ ) . / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { (√ ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) ( ) ( ) (√ ) (√ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * + ( ) ( ) ( ) * + 34 { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { | | ( ) | | ( ) * + ( ) ( ) ∑ 35 ,( ) - ( ) , ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ∑ ∑( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ∑( ) ∑ ( ) * + * + { ( ) ( ) 36 √ ( ) √ (√ ) , - √ , - (√ ) , - ( ) . .√ / / * + √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( ) √ √ √ ( ) √ * + â ự ã ố * + ƣ ∑ ì * + 37 ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) * + ì ( ) ó ( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ( ) * + ( ) * + √ ì . { √ ( ) (√ ) ( ) (√ ) 38 .(√ ) (√ ) / ( ) .(√ ) (√ ) / . / √ * + * + ∑ ì . ( √ ) ( √ ) √ √ √ ( √ ) √ ( √ ) ∑( ) √ ( √ ) ( √ ) √ ậ ( √ ) * + √ √ ì . * + 39 √ √ √ √ * + √ √ √ ( √ ) ( √ ) [( √ ) ( √ ) ] √ * + ( ) ì { √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ √ √ * + | | ì | | ằ ƣơ á ạ á ọ 40 ( ) * + √ √ √ √ ứ ớ ọ ì √ √ √ ớ √ √ ừ á á ị đầ ) ì ê ớ ọ ) ó √ . / | | | ( ( ) | ậ 41 ( ) * + ) ) ) ƣơ ì đ ƣ ó √ ( √ ) ( √ ) √ √ √ √ √ √ √ [( √ ) ( √ ) ] ó ƣớ ố ) ( √ ) ( √ ) [( √ ) ( √ ) ] ( [( √ ) ( √ ) ] ê ) 42 * + * + ) ) ) ∑ ) . ( ) √ √ √ √ ( ) ( ) ) ) * + * + 43 ) ∑ ) ( ) ( ) ( ) * + * + ( ) * + ) ̃ ( ) ( ) , ế ế ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ê ( ) ( ) ( ) 44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * + ( ) * + ( ) 45 ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) * + ứ ằ ) ) ) √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ) ( ) ( ) 46 * + ∑, - ( ) , - , - (* + * +) (* + * +) (* + * +) ( ) * + √ √ ( ) ( √ ) ( √ )( ) ( ) ( ) ( √ )( ) 47 * + ( ) ó ( ) * + . (∑ ) (∑ ) ( ) ( ) ( √ ) √ √ 48 * + , - ̃ ̃ ( ) ( ) ( ) đƣợ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) , - * + . ) √ ( √ ) ( √ ) . 49 √ *( √ ) ( √ ) + ( ) * + . { ( ) √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( ) ( ớ √ ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) √ * + * + 50 , - , - * + √ √ √ √ ( ) ( ) * + ( ) ∑ . √ / ( ) ( ) ( ) ( ) 51 ∑ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) . √ / * + ( ) ( ) √ ( ) ( ) ó , ( ) - ( ) ( ) , ( ) - ( ) , ( ) - ( ) ứ ỏ à à ệ ủ ƣơ ì , ( ) - ( ) đị é ó , ( ) - ì đề à ố ự ê à ì ể ứ ê ế í ê * + ứ ằ ồ ạ ã ố ê ƣơ * + * + 52 { ( ) ( ) ơ ữ ô ứ á đị đƣợ á ã ố á à á đƣợ ì à ở ầ à đề đƣợ á đị ở ƣơ ì â ệ ƣơ ì â ứ ó ớ ê ầ à á đị á ế ố ố ọ ê đế ã ố đó ƣ ƣớ ố ố ê ố ố í ƣơ ố ậ ƣơ í ế ấ đẳ ứ ố ê ầ ê ệ ả á à á à ẫ ớ ả ƣơ ì â ế í ế í Đ ề à à ủ ố ê ứ ụ ủ ƣơ ì â à ấ đề ế í ó ạ đƣợ ị ẳ đị ò ủ ó ( ) ( ) * + ( ) ( ) ( ) { ( ) ừ ệ ê ó √ 53 ( √ ) ( √ ) (√ ) √ (√ ) √ ớ √ √ √ √ √ ậ [(√ ) ] (√ ) ( √ ) √ ì ậ ồ ạ (√ ) √ √ à ê ụ ê ( ) ( ) ( ) ( √ ) à ầ ì à ( ) đó à ằ ố ̅̅ ̅̅ ̅̅ ∑ ( ) ∑ ( ) Đặ ừ ả ế ớ . . / / đó ặ á ∑ ( ) . / đó ( ) 54 ế ì ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̃( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 55 ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ )( √ ) ( √ )( √ ) ( ) 56 ∫ { ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ * + ( ) ( ) ƣ ậ ( ) ∫ ∫ , ( ) ( ) - ∫ ( ) 57 ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ) ( )( ) ( ) ∫ | ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 58 ) ( ) ( )( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ∑ ( ) ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 59 , - ∫( ) ( ) ∫( ) ( ) í đƣợ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ∫ ( ) 60 . / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 61 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) √ ớ à á ố à ớ 62 ã ( ) ( ) á đ ì á ổ á à ã ( ) ( ) á đ ì √ √ ã ( ) á đ í ã ( ) á đ ì để á ố ạ ủ ã đô ộ á ã ( ) á đ ì ã ( ) á đ ì đ ề ệ ủ để ã ó ô ố ố ạ à ố ê ã ( ) á đ ứ ã ố à ô ị ặ í ớ ∑ 63 ( ) ( ) ( ) ( ) à ( ) ( ) ( ớ ƣớ ) ừ đó ô ứ ổ á ủ ã ố ã á ự á ô ( ) á đ ứ ằ ô ồ ạ ố ự ê để ( ) √ √ ( √ ) ( ) √ ( ) ã ( ) á đ . ì để ( ) à ã ố ê 64 KẾT LUẬN Bản luận văn này nêu đƣợc các phƣơng pháp giải phƣơng trình sai phân tuyến tính và một số dạng phƣơng trình sai phân phi tuyến tính có thể tuyến tính hóa đƣợc. Từ những kiến thức đó đã nêu đƣợc các ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong việc giải các bài toán ở trƣờng trung học phổ thông. Phƣơng pháp tuyến tính hóa cho ta những cách giải độc đáo khác nhau cho các bài toán có dạng đặc th . Tuy nhiên với những bài toán lên quan đến phƣơng trình sai phân thì chúng ta đều có thể khai thác phƣơng pháp tổng quát đã xây dựng đƣợc để giải. Đây cũng là sự thành công về mặt định hƣớng cho phƣơng pháp giải toán. Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, chúng tôi hy vọng luận văn này sẽ giúp ích phần nào cho các thầy, cô giáo và các em học sinh ở nhà trƣờng phổ thông trong việc học tập môn toán. Luận văn này cũng hy vọng đóng góp một phần nhỏ bé vào việc mở rộng ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong việc rèn luyện học sinh giỏi toán ở trung học phổ thông. Cuối cùng tác giả cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Ban lãnh đạo, cùng các thầy cô Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đặc biệt là sự hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình, chu đáo, sâu sắc và đầy kinh nghiệm của Tiến sỹ Lê Đình Định – Giảng viên của nhà trƣờng đã giúp tác giả hoàn thành luận văn này. 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lê Đình Định – Bài tập phương trình sai phân, Nhà xuất bản Giáo dục 2011 2. Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp - Phương trình sai phân và một số ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục 2001 3. Lê Đình Thịnh , Lê Đình Định – Các phương pháp sai phân, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội - 2005