Luận văn Phương trình sóng carrier phi tuyến với điều kiện biên Robin – Neumann thuần nhất

4 Chương 1 MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm thông dụng Ta đặt các ký hiệu ( ) ( )0,1 , 0, , 0TQ T TΩ = = Ω× > và cũng bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: ( ) ( ) ( ) (,, , , p mC L H W′′′ ′′′ )pΩ Ω Ω Ω . Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau: ( ) ( ) ( ) ( ), , ,2, , p p m p m p mL L W W H W H′′′ ′′′Ω = Ω = Ω = Ω = . Có thể xem trong [1]. Ta định nghĩa là không gian Hilbert với tích vô hướng ( )2 2L L= Ω ( ) ( )1 2 0 , , u v u x v x dx u v L= ∫ , ∈ . (1.1) Ký hiệu . để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là ( ) 1 1 2 2 0 , , u u u u x dx u ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ = = ∈∫ 2L . (1.2) Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp 1 { }1 2 : xH v L v L= ∈ ∈ 2 , (1.3) không gian này cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng 1, , ,x xHu v u v u v= + . (1.4) Kí hiệu 1. H để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghĩa là ( )1 1 12 2 2 1, , xH Hu u v u u u= = + H∈ . (1.5) Đặt ( ) ( ){ }1 0,1 : 1 0V v H v= ∈ = , (1.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 , 0 0 x xa u v u x v x dx u v u v V= + ∀∫ , , ∈ . (1.7) 5 Khi đó là một không gian con đóng của và trên V thì ba chuẩn V 1H ( )1 , , ,xH Vu u u a u u= là tương đương. Chúng ta có các bổ đề sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng V↪ [ ]( )0 0,1C là compact và với mọi , ta có v V∈ ( )0 0,1 xCv v⎡ ⎤⎣ ⎦ Vv≤ ≤ , (1.8) 1 1 2 x 1H Vv v v v≤ ≤ ≤ H . (1.9) Bổ đề 1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng ( ).,.a được định nghĩa trong (1.7) là ánh xạ liên tục trên V và bức trên V . TV× ức là, i) ( ), ,V Va u v u v u v V,≤ ∀ ∈ , (1.10) ii) ( ) 2, ,Va u u u u V= ∀ ∈ . (1.11) Chứng minh bổ đề 1.1 và bổ đề 1.2 khá dễ dàng mà chứng minh của nó có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [1], [2]. Bổ đề 1.3. Đồng nhất với 2L ( )2 2L L ′≡ (đối ngẫu của ). Khi đó ta có ↪ ↪V , (1.12) 2L V ( )2 2L L ′≡ ′ với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật. Chứng minh bổ đề 1.3 có thể xem trong [2]. Chú thích 1.1. Từ bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng .,. trong còn để chỉ cặp tích đối ngẫu 2L ,.,. V V′ giữa V và V ′ . Chuẩn trong được ký hiệu bởi 2L . . Ta cũng ký hiệu . X để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X. Bổ đề 1.4. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert { }jw của bao gồm các hàm riêng 2L jw tương ứng với giá trị riêng jλ sao cho 6 1 20 ... ..., lim ,j jjλ λ λ λ→∞< ≤ ≤ ≤ = +∞ (1.13) ( ), , , , 1,2,...j j ja w v w v v V jλ= ∀ ∈ ∀ = (1.14) Hơn nữa, dãy j j w λ ⎧ ⎫⎪⎨⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪⎬ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vô hướng . Mặt khác, ( ).,.a jw cũng thỏa mãn bài toán giá trị biên ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 0 1 j j j j j j j w w x w w w w V C λ ∞ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ −Δ = ∈Ω ∇ − = = ∈ ∩ Ω 0 . (1.15) Chứng minh bổ đề 1.4 có thể tìm thấy trong [20, Định lý 7.7, tr. 87] với , còn V , được định nghĩa bởi (1.6), (1.7). 2H L= ( ).,.a 1.2. Không gian hàm ( )0, ; , 1pL T X p≤ ≤ ∞ Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là . X . Ta ký hiệu , là không gian các lớp tương đương chứa hàm ( )0, ;pL T X 1 p≤ ≤ ∞ ( ): 0,u T X→ đo được sao cho ( ) 0 , 1 T p X u t dt p< ∞ ≤ < ∞∫ , hay ( ) ( )0 : , . . 0, , X M u t M a e t T∃ > ≤ ∈ với p = ∞ . Ta trang bị cho ( )0, ; , 1pL T X p≤ ≤ ∞ , chuẩn như sau ( ) ( ) 1 0, ; 0 , 1p T pp L T X X u u t dt ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ p= ≤ < ∞∫ , và ( ) ( ) ( ) ( ){ }0, ; ssup inf 0 : , . . 0, , .pL T X X Xu es u t M u t M a e t T p= = > < ∈ = ∞ Khi đó ta có các bổ đề dưới đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong [6]. Bổ đề 1.5. ([6]) ( )0, ; , 1pL T X p≤ ≤ ∞ , là không gian Banach. 7 Bổ đề 1.6. ([6]) Gọi X ′ là đối ngẫu của X. Khi đó, với , 1 1 pp p p ′ = <− < ∞ thì ( )0, ;pL T X′ ′ là đối ngẫu của ( )0, ;pL T X . Hơn nữa, nếu X là không gian phản xạ thì (0, ;p )L T X cũng phản xạ. Bổ đề 1.7. ([6]) ( )( ) (1 0, ; 0, ;L T X L T X∞′ )′= . Hơn nữa, các không gian ( ) ( )1 0, ; , 0, ;L T X L T X∞ ′ không phản xạ. Chú thích 1.2. Nếu ( )pX L= Ω thì ( ) ( )( )0, ; 0, .p pL T X L T= ×Ω 1.3. Bổ đề về tính compact của Lions Cho các không gian Banach 0 1, , X X X với 0X ↪ X ↪ 1X sao cho: i) 0 , 1X X phản xạ, (1.16) ii) X ↪ 1X là phép nhúng liên tục, 0X ↪ X là phép nhúng compact. (1.17) Ta định nghĩa ( ) ( ) (0 100, 0, ; : 0, ; ,p pdvW T v L T X v L T Xdt⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭= ∈ = ∈ )1 0,1. (1.18) trong đó 0 , 1 , iT p i< < ∞ ≤ ≤ ∞ = Trang bị trên ( )0,W T một chuẩn như sau ( ) ( ) (0 10 10, 0, ; 0, ;p pW T L T X L T Xv v v )′= + . (1.19) Khi đó, là một không gian Banach. (0,W T ) Hiển nhiên ↪( )0,W T ( )0 00, ;pL T X . Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact Bổ đề 1.8. (Bổ đề về tính compact của Lions [6]). Với giả thiết (1.16), (1.17) và nếu 1 thì phép nhúng, ip i<< ∞ = 0,1 ( )0,W T ↪ ( )0 0, ;pL T X là compact. Bổ đề 1.9. ([6, tr. 12]). Cho Q là mở bị chặn của , N\ g , ( )pmg L Q∈ , , thỏa 1 q< < ∞ 8 i) ( )pm L Qg ≤ C g g trong đó C là hằng số độc lập với m, ii) hầu hết trong Q. mg → Khi đó mg → trong ( )pL Q yếu. 1.4. Một số kết quả khác Bất đẳng thức Gronwall. Giả sử [ ]: 0,f T → \ là hàm khả tích, không âm trên [ ]0,T và thỏa mãn bất đẳng thức ( ) ( )1 2 , 0, , t o f t C C f s ds t T⎡ ⎤⎣ ⎦≤ + ∀ ∈∫ trong đó là các hằng số không âm. 1 , C C2 Khi đó ( ) 21 , 0, .C tf t C e t T⎡ ⎤⎣ ⎦≤ ∀ ∈ Ta ký hiệu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, , , , t u x xxu t u t u t u t u t u t u t u t u t= = = ∇ =  )Δ để lần lượt chỉ ( ) ( ) ( )22, , , , ,u uu x t x t x tt t ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ , ( ), u x t x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∂ ∂ , ( ) 2 2 , u x t x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∂ ∂ .