Luận văn Phương trình sóng phi tuyến Kirchhoff - Carrier trong màng tròn đơn vị

3 Chương 0 TỔNG QUAN BÀI TOÁN Kí hiệu, ( ){ }2 21 , : 1x y x yΩ = + < là một màng tròn ñơn vị. Chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn ñơn vị 1Ω : ( ) ( )2 2 21 1, , , ( , ) , 0ttu u u f x y t u x y t Tµ− ∇ ∆ = + ∈Ω < < (0.1) với ñiều kiện biên trên ñường tròn ( ){ }2 2 21 , : 1x y x y∂Ω = ∈ + =ℝ là: ( ) ( ) 1, , 0, , , 0 ,u hu x y t x y t Tν ∂ + = ∈∂Ω ≤ ≤ ∂ (0.2) ñiều kiện ñầu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1, ,0 , , , , , , , ,= = ∈Ωtu x y u x y u x y t u x y x y (0.3) trong ñó ν là véctơ pháp tuyến ñơn vị trên biên 1∂Ω hướng ra ngoài, 0h > là hằng số, 0 1, ,f u u là các hàm cho trước. Chuẩn xét ñến là: ( ) 1 2 2 2 . Ω ∇ = +∫ x yu u u dxdy (0.4) Liên quan ñến bài toán (0.1) (0.4)− , trong [5] tác giả ñã xét bài toán ( ) ( )2 2 2, , , , , , , 0− ∇ ∇ = ∇ ∈Ω < <tt tu B u u u f x t u u u x t T (0.5) 20, , 0 , ∂ + = ∈∂Ω < < ∂ν u hu x t T (0.6) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2,0 , ,0 , .= = ∈Ωtu x u x u x u x x (0.7) Ở ñây, 2Ω là tập bị chặn trong nR với biên 2 ,∂Ω ( ) ( ) 2 2 222 1 , , i n x i u u x t dx u x t dx =Ω Ω ∇ = ∇ =∑∫ ∫ , 4 và ν là véctơ ñơn vị trên 2∂Ω hướng ra ngoài. Trong trường hợp một chiều, phương trình (0.5) là trường hợp tổng quát của phương trình mô tả dao ñộng của dây ñàn hồi (xem [6]) ( ) 2 0 0 , 0, 0 , 0 , 2  ∂  − + = < < < <  ∂  ∫ρ L tt xx Eh uhu P y t dy u x L t T L y (0.8) với u là ñộ võng, ρ là khối lượng riêng, L là chiều dài sợi dây, E là module Young và 0P là lực căng ban ñầu. Trong [3], Carrier ñã thiết lập mô hình dạng: ( )20 1 0 , ,   = +    ∫ L tt xxu P P u y t dy u (0.9) trong ñó 0 1,P P là các hằng số. Cũng trong trường hợp ( )21, 0,1N = Ω = dạng phương trình (0.5) ñược nghiên cứu bởi rất nhiều tác giả. Khi 0f = , ( ) 2 2 ,xB B u x t dx Ω   =       ∫ , bài toán Caychy hoặc hỗn hợp (0.5) – (0.7) ñã ñược nghiên cứu bởi Ebihara, Medeiros, Miranda [4], Pohozaev [17]. Trong [11], tác giả Nguyễn Thành Long nghiên cứu bài toán (0.5) – (0.7) với ( )2, xB t u , ( ), , , ,x tf x t u u u , và trong [12] với ( )22, , xB t u u , ( 2, , , , , ,x tf x t u u u u )2 .xu Ta tìm nghiệm của bài toán ( ) ( )0.1 0.4− ở dạng: ( ) ( ) ( )2 2, , , , .u x y t v x y t v r t= + = Bằng phương pháp tọa ñộ cực, từ (0.4) dẫn tới ( ) 1 2 2 0 2 , . r u rv r t drpi∇ = ∫ Với chú ý, 5 1 , r rr u v v r ∆ = + ( )1,ru v tν ∂ = ∂ trên 2∂Ω , ( ) 0 lim , r r rv r t +→ < ∞ , và ñặt: ( ) ( ) 1 2 2 0 0 , r r v t rv r t dr= ∫ , ( ) ( )2 21 0 ,ru v∇ =µ µ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0, , ,u x y u r u r t u r= =ɶ ɶ , dẫn tới thay vì khảo sát bài toán hai chiều ( ) ( )0.1 0.4− , chúng tôi khảo sát bài toán một chiều: ( ) ( )20 1 , , , 0 1, 0 , − + = < < < <  µtt r rr rv v v v f r t v r t Tr (0.10) ( ) ( ) ( ) 0 lim , , 1, 1, 0, +→ < +∞ + = r r r rv r t v t hv t (0.11) ( ) ( ) ( ) ( )0 1,0 , ,0 ,= =ɶ ɶtv r u r v r u r (0.12) ( ) 1 22 0 0 , .= ∫r rv r v r t dr (0.13) Nội dung của luận văn ñược chia thành các chương như sau: Chương 0, là phần tổng quan giới thiệu về bài toán sẽ khảo sát trong luận văn, nêu các kết quả liên quan ñã có và giới thiệu bố cục luận văn. Chương 1, nêu các kí hiệu, các kết quả chuẩn bị. Chương 2, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cho bài toán (0.10) – (0.13). Chương 3, khảo sát sự hội tụ bậc hai về nghiệm yếu bài toán ( ) ( )0.10 0.13− với ( )20ruµ = 20 0ru+µ . Chương 4, nghiên cứu khai triển tiệm cận của bài toán ( )Pε theo tham số bé 6 Chương 5, chúng tôi trình bày một ví dụ ñể minh họa cụ thể về khai triển tiệm cận của bài toán ( )Pε . Cuối cùng là phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.