Luận văn Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT

, ®©y ®­îc coi lµ néi dung quan träng, c¬ b¶n nÒn t¶ng vµ khã cña Gi¶i tÝch To¸n häc ë THPT , v× vËy khi häc vÒ néi dung nµy chÝnh lµ qu¸ tr×nh biÕn ®æi vÒ chÊt trong nhËn thøc ®èi víi häc sinh. Nh÷ng kÕt luËn trªn ®©y, lµ c¬ së cho viÖc ®Þnh h­íng, thiÕt kÕ x©y dùng 5 ph­¬ng thøc s­ ph¹m thÝch hîp, ®Ó d¹y häc kh¸i niÖm vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh nh»m n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc To¸n nãi chung vµ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng ë tr­êng THPT. ch­¬ng 2 c¸ch tiÕp cËn kh¸i niÖm GIíI H¹N Vµ VIÖC PH¸T HUY TÝNH tÝCH cùc NHËN THøc Cña HäC SINH TRONG D¹Y HäC chñ ®Ò GiíI H¹N ë THPT 2.1. c¸ch tiÕp cËn kh¸i niÖm GIíI H¹N ë THPT Thùc tÕ trong ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë THPT c¸c kh¸i niÖm ''Giíi h¹n vÒ d·y sè vµ hµm sè, hµm sè liªn tôc'' ®­îc tr×nh bµy theo c¸c c¸ch tiÕp cËn kh«ng gièng nhau cña mçi tµi liÖu riªng biÖt. XÐt trong c¸c bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 cña c¸c nhãm t¸c gi¶ ta sÏ thÊy râ h¬n ®iÒu ®ã. 2.1.1. C¸c c¸ch tiÕp cËn kh¸i niÖm “giíi h¹n d·y sè” 2.1.1.1. C¸ch 1: Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1995 theo ng«n ng÷ '','' Con ®­êng ®i tíi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè lµ qui n¹p, tõ viÖc m« t¶: ''Khi n cµng lín th× cµng bÐ vµ bÐ bao nhiªu còng ®­îc'', ®­îc chuyÓn qua ng«n ng÷ ", " b»ng c¸ch chän miÒn gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó tiÕn tíi kh¸i qu¸t hãa cho mäi : ''ta nãi r»ng d·y sè thùc (; n = 1,2,3,…) cã giíi h¹n lµ L (LR), khi n + nÕu víi mäi sè d­¬ng cho tr­íc (nhá tuú ý) tån t¹i mét sè tù nhiªn sao cho víi mäi n > th× <. KÝ hiÖu = L''. §Þnh nghÜa nµy kh¸ r¾c rèi, cÊu tróc c©u th× phøc t¹p, h¬n n÷a ®©y lµ lÇn ®Çu tiªn häc sinh tiÕp cËn víi ký hiÖu cña Hy L¹p lµ . Häc sinh kh¸ th× th¾c m¾c t¹i sao nãi lµ ''víi mäi sè d­¬ng cho tr­íc'' cßn sö dông côm tõ ''nhá bao nhiªu tïy ý '' ®Ó lµm g× ? Thùc ra, nÕu kh«ng cã lêi gi¶i thÝch ®ã c¸c em sÏ Ýt chó träng ®Õn tÝnh chÊt '' v« cïng bÐ '', ( ®©y lµ ®Æc tr­ng cña Gi¶i tÝch) mµ c¸c em chØ nghÜ ®Õn gi¸ trÞ cè ®Þnh , th× t­ duy l¹i theo kiÓu ''tÜnh t¹i'', ''rêi r¹c’', ''h÷u h¹n'' cña §¹i sè. Lêi gi¶i thÝch nµy h­íng vµo kiÓu t­ duy ''biÕn thiªn'', ''liªn tôc'', ''v« h¹n'' cña lÜnh vùc Gi¶i tÝch. 2.1.1.2. C¸ch 2: Cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, 1999 theo ng«n ng÷ ”m« t¶” Kh¸i niÖm giíi h¹n d·y sè ®­îc ®Þnh nghÜa d­íi d¹ng “m« t¶” b»ng ng«n ng÷ th«ng th­êng, ®­a vµo tõng b­íc ®Ó gi¶m nhÑ møc ®é trõu t­îng cña nã. +) B­íc1: §Þnh nghÜa ''Giíi h¹n 0 cña d·y sè” lµ: ''d·y sè (; n = 1,2,3,…) gäi lµ dÇn vÒ 0 hay cã giíi h¹n 0 khi n +, (nÕu cµng nhá khi n cµng lín) tøc lµ cã thÓ nhá bao nhiªu tïy ý, miÔn lµ chän ®­îc n ®ñ lín. KÝ hiÖu = 0 hoÆc 0 khi n +''. §Þnh nghÜa nµy ch­a ®¶m b¶o tÝnh chÝnh x¸c cña mét ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm, nh­ng v× tÝnh chÊt “m« t¶” nªn häc sinh kh«ng bÞ cho¸ng, v× vËy gióp häc sinh b­íc ®Çu h×nh thµnh kh¸i niÖm Giíi h¹n 0 cña d·y sè. Tuy nhiªn víi c¸ch ®Þnh nghÜa nµy, häc sinh kh«ng thÓ dïng ®Þnh nghÜa ®Ó chøng minh mét d·y cã Giíi h¹n 0 vµ lµm c¸c bµi to¸n vÒ chøng minh Giíi h¹n b»ng ®Þnh nghÜa, mµ häc sinh chØ cã mçi mét con ®­êng lµ c«ng nhËn tÊt c¶ c¸c Giíi h¹n c¬ b¶n, còng nh­ c¸c ®Þnh lý vÒ Giíi h¹n. +) B­íc 2: §Þnh nghÜa “ Giíi h¹n L 0 cña d·y sè ” lµ ''ta nãi r»ng d·y sè thùc (; n = 1,2,3,…) cã giíi h¹n lµ L (LR), khi n + nÕu víi mäi sè d­¬ng cho tr­íc (nhá tuú ý) tån t¹i mét sè tù nhiªn , sao cho víi mäi n > th× <. KÝ hiÖu = L''. Qua sù ph©n tÝch trªn ta thÊy cÇn cã sù thèng nhÊt gi÷a c¸c quan ®iÓm ®Ó häc sinh lÜnh héi ®­îc c¸c kh¸i niÖm, ngoµi ra ®¶m b¶o tÝnh võa søc, tÝnh l«gic ®óng ®¾n, tõ ®ã gióp häc sinh cã sù nhËn thøc râ rµng vµ s©u s¾c h¬n. ChÝnh v× vËy, mµ ch­¬ng tr×nh c¶i c¸ch SGK lÇn nµy ®· qu¸n triÖt tinh thÇn ®ã, cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh, ®ã lµ c¸ch 3: 2.1.1.3. C¸ch 3 : Cña nhãm t¸c gi¶ §oµn Quúnh chñ biªn, 2004 Tr­íc hÕt, th«ng qua vÝ dô cô thÓ ®iÓn h×nh, b»ng viÖc tæ chøc cho häc sinh biÓu diÔn d·y sè vµ nhËn xÐt kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®Õn täa ®é 0. Qua thao t¸c s­ ph¹m, gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh lµm sao nªu bËt lªn ®­îc mÆt logic cña kh¸i niÖm Giíi h¹n 0, mét c¸ch trùc quan nhÊt, lóc nµy c¶ ba mÆt ''trùc gi¸c sè '' , ''trùc gi¸c h×nh häc'' vµ ''suy luËn'' ®Òu ®­îc ®Ò cËp nh»m h×nh thµnh ë häc sinh biÓu t­îng ban ®Çu vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n 0 cña d·y sè. Tuy nhiªn, mÆt ''suy luËn'' chØ ®­îc ®Ò cËp cã møc ®é. VËy muèn ®i ®Õn kh¸i niÖm Giíi h¹n 0, häc sinh l¹i cÇn hiÓu ®­îc mÖnh ®Ò tæng qu¸t '' nhá h¬n mét sè d­¬ng bÊt kú, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i''. Sau ®ã th«ng b¸o r»ng víi ®Æc tr­ng nµy d·y () ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n 0 khi n +. MÖnh ®Ò nªu trªn chØ dõng ë møc ®é '' nhá h¬n ...'', chø ch­a ph¶i lµ ''nhá h¬n ...''. Tuy nhiªn, víi d·y sè nµy, häc sinh cã thÓ cã quan niÖm sai lÖch r»ng: ''nÕu d·y () cã giíi h¹n lµ 0, th× ph¶i lµ d·y ®¬n ®iÖu vµ dÇn tíi 0 chØ tõ mét phÝa, thËm chÝ () ph¶i d­¬ng''. Nh­ng d·y () cã thÓ lµ d·y kh«ng ®¬n ®iÖu vµ cã thÓ dÇn vÒ 0 tõ bªn tr¸i hay tõ bªn ph¶i, hoÆc tõ c¶ hai phÝa. Môc ®Ých chñ yÕu vÉn lµ gióp häc sinh hiÓu mét c¸ch trùc gi¸c kh¸i niÖm Giíi h¹n 0, do ®ã m« t¶ ®Æc tr­ng cña d·y sè nµy trªn c¶ hai ph­¬ng diÖn ''trùc gi¸c sè'' vµ ''trùc gi¸c h×nh häc''. §Ó kh¾c phôc khuyÕt ®iÓm nµy vµ còng cè biÓu t­îng ban ®Çu vÒ Giíi h¹n 0, nªn xÐt vÝ dô d·y ®an dÊu: VÝ dô 5: Chøng minh d·y sè cã giíi h¹n 0 XÐt : = 0 < (nh­ng ë ®©y kh«ng dïng kÝ hiÖu nµy mµ gäi lµ “ nhá h¬n mét sè d­¬ng bÊt kú", kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i). §ång thêi hîp thøc hãa tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y sè ®· cho lµ: ''H¬n n÷a ng­êi ta chøng minh ®­îc r»ng cã thÓ nhá h¬n mét sè d­¬ng bÊt kú, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i''. Côm tõ ''nhá h¬n mét sè d­¬ng bÊt kú, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i'' cã thÓ cßn m¬ hå ®èi víi häc sinh, v× thÕ ta ph¶i cho cô thÓ hai gi¸ trÞ sè d­¬ng lµ: nÕu sè d­¬ng lµ 0,1 tøc th× tõ sè h¹ng thø 101 trë ®i; víi sè d­¬ng lµ 0, tøcth× tõ sè h¹ng thø 1 001 trë ®i. ViÖc tr×nh bµy hçn hîp ''trùc gi¸c - suy luËn'' nh­ vËy cho phÐp ®¶m b¶o ®­îc c¶ tÝnh s­ ph¹m vµ tÝnh chÆt chÏ To¸n häc trong viÖc kh¼ng ®Þnh tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y sè ®· cho. Giíi h¹n L0 ®­îc ®Þnh nghÜa qua kh¸i niÖm Giíi h¹n 0 vµ theo con ®­êng suy diÔn (nghÜa lµ ph¸t biÓu ngay ®Þnh nghÜa, sau ®ã tr×nh bµy vÝ dô cñng cè ). VÊn ®Ò lµ ®­a vµo kh¸i niÖm Giíi h¹n qua “m« t¶” mµ kh«ng tr×nh bµy ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c, nªn khã cã thÓ lét t¶ ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm, trªn tinh thÇn ®ã trong SGK míi, kh¸i niÖm Giíi h¹n 0 vµ Giíi h¹n + ®­îc ®­a vµo theo con ®­êng qui n¹p. Cô thÓ qua c¸c ho¹t ®éng vµ vÝ dô, kh¸i niÖm ®­îc “m« t¶” nhê vµo c¸c ghi nhËn "trùc gi¸c sè" vµ ''trùc gi¸c h×nh häc" víi “ suy luËn”. Cßn c¸c kh¸i niÖm Giíi h¹n L0 vµ Giíi h¹n - ®­îc ®Þnh nghÜa qua c¸c Giíi h¹n 0 vµ Giíi h¹n +. Ngoµi ra, SGK cßn cho mét sè kÕt qu¶ cña giíi h¹n c¬ b¶n ®Æc biÖt, ®Ó häc sinh sö dông kÕt qu¶ ®ã lµm c¬ së chøng minh nh÷ng bµi to¸n vÒ giíi h¹n (mµ theo nh­ c¸ch 2, cña b­íc 1 lµ ®èi víi lo¹i to¸n nµy ta kh«ng cã c¸ch gi¶i, mµ chØ cã c¸ch lµ c«ng nhËn c¸c kÕt qu¶ vµ ®Þnh lý vÒ giíi h¹n). 2.1.2. C¸c c¸ch tiÕp cËn ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ” giíi h¹n hµm sè” ë Phæ th«ng trong c¸c bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 kh¸i niÖm Giíi h¹n hµm sè ®­îc c¸c t¸c gi¶ tr×nh bµy theo hai ng«n ng÷ kh¸c nhau lµ: ''d·y'' vµ '', ''. 2.1.2.1. C¸ch 1: Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1996 theo ng«n ng÷ '','' §Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n cña hµm sè theo ng«n ng÷ '','' lµ: '' Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) dÇn tíi L khi x dÇn tíi a (hoÆc cã giíi h¹n L khi x a) nÕu mäi sè d­¬ng cho tr­íc (nhá bao nhiªu tïy ý), ta cã thÓ t×m ®­îc mét sè d­¬ng sao cho khi 0 << th× <. KÝ hiÖu = L". C¸ch ph¸t biÓu nµy ®¶m b¶o vÒ tÝnh chÝnh x¸c vµ tæng qu¸t, tuy nhiªn l¹i kh«ng ®¶m b¶o vÒ tÝnh võa søc ®èi víi häc sinh v× ng«n ng÷ kh¸ trõu t­îng vµ khã tiÕp thu. NhÊt lµ ®èi víi lo¹i bµi tËp dïng ®Þnh nghÜa ®Ó chøng minh giíi h¹n cña hµm sè häc sinh ph¶i cã b­íc dù ®o¸n kÕt qu¶ råi ¸p dông ®Þnh nghÜa ®Ó chøng minh vµ viÖc t×m sè theo qu¶ lµ kh«ng hÒ ®¬n gi¶n. 2.1.2.2. C¸ch 2: Cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn vµ mét sè SGK cña c¸c nhãm t¸c gi¶ kh¸c theo ng«n ng÷ ''d·y'' Tr×nh bµy theo ng«n ng÷ ''d·y'' c¸c c¸ch ph¸t biÓu cã thÓ kh¸c nhau nh­ng nh×n chung ®Òu c¬ b¶n ®¶m b¶o tÝnh chÝnh x¸c vÒ khoa häc vµ còng kh«ng kÐm phÇn trõu t­îng h¬n so víi ng«n ng÷ '',''. Tuy nhiªn nã dùa trªn kh¸i niÖm d·y sè ®· ®­îc ®Þnh nghÜa tr­íc ®ã cïng víi sù “m« t¶” ®· lµm cho häc sinh dÔ tiÕp nhËn h¬n, bëi tÝnh kÕ thõa cña nhËn thøc. Tøc tõ kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè cã thÓ chuyÓn qua Giíi h¹n hµm sè b»ng c¸ch chän ®Þnh nghÜa qua Giíi h¹n d·y sè. Cô thÓ ®Þnh nghÜa ''Giíi h¹n hµm sè'' trong SGK cã thÓ ph¸t biÓu ë c¸c d¹ng sau: a) D¹ng 1: f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp hîp sè thùc D bÊt kú, trong qu¸ tr×nh xa chØ yªu cÇu xa, víi xD mµ kh«ng yªu cÇu x a (nghÜa lµ cã thÓ x = a hoÆc x a). D¹ng nµy ®­îc tr×nh bµy SGK §¹i sè & Gi¶i tÝch líp 11 (1996) cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, cã thÓ ph¸t biÓu nh­ sau: ” Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) dÇn tíi L khi x dÇn tíi a (hoÆc f(x) cã giíi h¹n b»ng L khi x dÇn ®Õn a) nÕu víi mäi d·y sè (xn) D vµ (xn) a th× d·y c¸c gi¸ trÞ t­¬ng øng (f(xn))L. Ta viÕt f(x) = L hay f(xn) L khi xa”. b) D¹ng 2: f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp hîp sè thùc D bÊt kú, trong qu¸ tr×nh xa chØ yªu cÇu víi x D vµ yªu cÇu x a. D¹ng nµy ®­îc tr×nh bµy trong SGK chØnh hîp nhÊt n¨m 2000 cña nhãm t¸c gi¶ TrÇn V¨n H¹o & Ng« Thóc Lanh chñ biªn, cã thÓ ph¸t biÓu nh­ sau: ''Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) dÇn tíi L khi x dÇn tíi a (hoÆc f(x) cã giíi h¹n b»ng L khi x dÇn tíi a) nÕu mäi d·y sè (xn) D víi (xn) a vµ (xn) a th× d·y c¸c gi¸ trÞ t­¬ng øng (f(xn )) L. Ta viÕt f(x) = L hay f(xn) L khi xa”. c) D¹ng 3: f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm a trõ ®iÓm a vµ trong qu¸ tr×nh xa yªu cÇu x a. D¹ng nµy ®Þnh nghÜa b»ng ng«n ng÷ d·y ®­îc tr×nh bµy trong SGK Gi¶i tÝch 12 ban khoa häc kü thuËt (1995) cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, cã thÓ ph¸t biÓu nh­ sau: "Gi¶ sö a ( c ; b ), (-< cb <+) vµ hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp hîp (c;b)\{a}. Ta nãi r»ng hµm sè cã giíi h¹n lµ L khi x dÇn ®Õn a vµ viÕt: f(x) = L hay f(x) L khi x a, nÕu víi mäi d·y sè thùc bÊt kú (xn)(c;b) \ {a} sao cho x= a ta ®Òu cã f(xn) = L”. *) VËy cã thÓ chØ ra sù kh¸c nhau vÒ ®Þnh nghÜa cña giíi h¹n hµm sè cña c¸c d¹ng nªu trªn nh­ sau: + Thø nhÊt: Trong vÊn ®Ò chän d·y (xn) a. Ta thÊy, ë d¹ng 1 kh«ng yªu cÇu d·y (xn) a nh­ng ë d¹ng 2 vµ d¹ng 3 yªu cÇu d·y (xn) a, ta thÊy ®©y lµ ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt bëi v× ta cã thÓ minh chøng râ nÐt qua ph¶n vÝ dô sau: VÝ dô 6: XÐt NÕu xn0 vµ kh«ng yªu cÇu xn0, ta chän d·y : th× . Nh­ng víi n lÎ th× 1 vµ víi n ch½n th× 0 , do ®ã kh«ng tån t¹i. Nh­ng nÕu ta yªu cÇu: xn 0 vµ xn0, th× dÔ thÊy tån t¹i: f(x). VÝ dô 7 : Cho hµm sè Ta chän d·y (xn) cã d¹ng : Do > 0 nªn +1= 1. Vµ nªn = 0 V× un 0 ; vn 0 mµ nªn kh«ng tån t¹i: f(x) Nh­ng nÕu ta yªu cÇu: xn 0 vµ xn0, th× dÔ thÊy tån t¹i: f(x). Khi häc sinh lµm viÖc víi vÝ dô nµy, c¸c em dÔ ph©n biÖt ®­îc sù kh¸c nhau gi÷a hai kh¸i niÖm: f(x) vµ gi¸ trÞ f(0) cña hµm sè. MÆt kh¸c, ®a sè bµi to¸n t×m giíi h¹n lim f(x) khi x dÇn tíi a b»ng ®Þnh nghÜa ®Òu r¬i vµo tr­êng hîp f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x =a khi ®ã víi mäi d·y (xn) tho¶ m·n: (xn) D, (xn) a lµ ®Ó f(xn) x¸c ®Þnh trªn D. + Thø hai: Cã sù kh¸c nhau ®èi víi møc ®é yªu cÇu cña hµm y = f(x) cã giíi h¹n khi x a. §ã lµ, vÒ tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè f(x), (SGK chØnh lÝ hîp nhÊt n¨m 2000) ë d¹ng 2, ®· tr×nh bµy lµ kh«ng chØ râ yªu cÇu cña f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm a. Nh­ng ë d¹ng 3, l¹i yªu cÇu f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña a vµ cã thÓ kh«ng x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm a, ta minh chøng qua vÝ dô sau: VÝ dô 8: TÝnh : T×m giíi h¹n cña hµm sè f(x) = khi x -2 .Ta thÊy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè nµy lµ D = . Theo d¹ng ba th× cÇn mét l©n cËn cña -2, nh­ng ë ®©y f(x) l¹i kh«ng x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn cña -2. Do ®ã kh«ng thÓ tån t¹i giíi h¹n cña f(x) khi x -2. Ng­îc l¹i, theo nh­ ë d¹ng hai kh«ng yªu cÇu l©n cËn cho nªn ta chän d·y bÊt kú (xn) -2+ vµ (xn) -2 th× ta cã ngay giíi h¹n f(x) = 0. Víi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm nh­ ë d¹ng ba, häc sinh chØ cã c©u tr¶ lêi lµ ®óng trong tr­êng hîp hµm sè x¸c ®Þnh trong kho¶ng chøa ®iÓm a, cßn tr­êng hîp hµm sè x¸c ®Þnh trong ®o¹n cã ®Çu mót ®iÓm a th× kh«ng gi¶i ®­îc. Tuy nhiªn trong ®Þnh nghÜa ë d¹ng 2, khiÕn cho häc sinh ®ång nhÊt ngo¹i diªn cña kh¸i niÖm t¹i mét ®iÓm cña hµm sè víi ngo¹i diªn kh¸i niÖm mét phÝa cña hµm sè t¹i a. Thùc tÕ th× giíi h¹n mét phÝa chØ lµ mét phÇn trong kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè, cã nghÜa lµ cã ngo¹i diªn nhá h¬n. Do ®ã ®Ó ph©n biÖt ngäai diªn cña hai kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè vµ giíi h¹n mét phÝa, cÇn cho häc sinh xÐt c¸c vÝ dô cô thÓ d­íi d¹ng bµi tËp . VÝ dô 9: XÐt: f(x) = Lóc ®ã, th× f(x) kh«ng tån t¹i, nh­ng f(x) cã giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i tøc lµ: f(x) vµ f(x) ®Òu tån t¹i. §iÒu quan träng l­u ý, khi d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n lµ lµm sao cho häc sinh hiÓu râ b¶n chÊt, lÜnh héi ®­îc néi dung vµ ý nghÜa cña kh¸i niÖm, n¾m ®­îc tinh thÇn c¬ b¶n ®Ó tõ ®ã cã kü n¨ng vËn dông vµo gi¶i to¸n. NÕu d¹y phÇn lý thuyÕt qu¸ trõu t­îng th× häc sinh kh«ng nh÷ng kh«ng n¾m ®­îc kiÕn thøc mµ cßn khã cã thÓ häc tèt ®­îc nh÷ng néi dung cßn l¹i cña Gi¶i tÝch. 2.1.3. C¸c c¸ch ®Þnh nghÜa sù liªn tôc - gi¸n ®o¹n hµm sè t¹i mét ®iÓm Cã nhiÒu ®iÓm kh¸c nhau vÒ ®Þnh nghÜa ''hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm'' ë trong c¸c bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 cña c¸c nhãm t¸c gi¶ trªn, tõ ®ã cã nhiÒu quan ®iÓm vÒ ''®iÓm gi¸n ®o¹n''. Ta nh×n nhËn ®iÓm kh¸c nhau ®ã: 2.1.3.1 . C¸ch1 : Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1995 §èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 (chØnh lý hîp nhÊt 2000) l¹i ®­a ra ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm nh­ sau: ''Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (c; b). Hµm sè f(x) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm a ( c ; b ) nÕu f(x) = f(a)''. NÕu t¹i ®iÓm x = a, hµm sè kh«ng liªn tôc th× nã ®­îc gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a. Theo s¸ch nµy, hµm sè f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a nÕu x¶y ra mét trong hai ®iÒu kiÖn: i) Kh«ng tån t¹i f(x); ii) Tån t¹i f(x) nh­ng (x) f(a). Nh­ vËy, nÕu t¹i ®iÓm x = a hµm sè kh«ng x¸c ®Þnh th× ta kh«ng xÐt tÝnh liªn tôc còng nh­ tÝnh gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm ®ã. §iÒu nµy còng ®­îc kh¼ng ®Þnh trong h­íng dÉn gi¶ng d¹y to¸n 11 lµ: " Ta kh«ng ®Æt vÊn ®Ò xÐt tÝnh liªn tôc hay gi¸n ®o¹n cña c¸c ®iÓm kh«ng thuéc tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ". Nh­ng ®Õn phÇn bµi tËp, ngay tõ bµi tËp 1 ®· ®­a ra yªu cÇu: xÐt xem c¸c hµm sè sau ®©y cã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm cña x kh«ng ? nÕu chóng kh«ng liªn tôc th× chØ ra c¸c ®iÓm kh«ng liªn tôc ®ã ? trong ®ã cã xÐt hµm sè y=; c©u tr¶ lêi ®­îc cho trong s¸ch bµi tËp §¹i sè- Gi¶i tÝch 11 lµ: Hµm nµy kh«ng liªn tôc t¹i x=0; x=2. Râ rµng hai gi¸ trÞ 0 vµ 2, kh«ng thuéc tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho. Nh­ vËy, theo h­íng dÉn trªn th× ta kh«ng xÐt tÝnh liªn tôc hay gi¸n ®o¹n cña hµm sè t¹i 2 ®iÓm nµy. C©u tr¶ lêi nh­ vËy lµ cã m©u thuÉn gi÷a phÇn lý thuyÕt vµ phÇn bµi tËp. 2.1.3.2 . C¸ch 2 : Cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, 1996 §èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Ban khoa häc tù nhiªn (1996) vµ SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 (1996), ®­a ra ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm : '' Hµm sè y = f (x) gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x = a nÕu : i) f(x) x¸c ®Þnh t¹i x = a ; ii) f(x) = f(a)''. C¸ch ph¸t biÓu nµy cã ­u ®iÓm lµ lµm râ c¸c thuéc tÝnh b¶n chÊt cña kh¸i niÖm hµm sè liÖn tôc t¹i mét ®iÓm, nh­ng qu¸ dµi dßng. Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = a th× gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a. Nh­ vËy theo s¸ch nµy, hµm sè f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a nÕu x¶y ra Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn sau : i) f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x=a; ii) Kh«ng tån t¹i f(x) ; iii) Tån t¹i f(x) nh­ng f(x) f(a). 2.1.3.3. C¸ch 3 : Cña nhãm t¸c gi¶ TrÇn V¨n H¹o & Ng« Thóc Lanh chñ biªn 2000 §èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm t­¬ng tù nh­ SGK chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000. ''Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (c;b). Hµm sè f(x) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm a(c;b) nÕu f(x) = f(a)''. Hµm sè f(x) kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = a th× gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a, tuy nhiªn sau ®ã s¸ch ®· ®­a ra chó ý: " Nh­ vËy mét hµm sè f(x) lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x = a nÕu vµ chØ nÕu 3 ®iÒu kiÖn sau ®­îc tháa m·n ®ång thêi: i) f(x) x¸c ®Þnh t¹i x=a; ii) f(x) tån t¹i; iii) f(x) = f(a). Mét hµm sè lµ gi¸n ®o¹n t¹i x = a khi vµ chØ khi mét trong ba ®iÒu kiÖn kh«ng ®­îc tháa m·n ". VËy l¹i cã sù kh«ng thèng nhÊt trong ®Þnh nghÜa vÒ c¸c kh¸i niÖm liªn tôc - gi¸n ®o¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm. Qua ph©n tÝch trªn ta thÊy, cã nh÷ng quan ®iÓm vµ sù kh«ng thèng nhÊt vÒ c¸c kh¸i niÖm chñ ®Ò Giíi h¹n, do ®ã sÏ khã kh¨n cho häc sinh trong hiÓu vµ n¾m v÷ng kiÕn thøc, dÉn tíi khã kh¨n vµ sai lÇm trong øng dông vµo bµi tËp. 2.1.4. VÒ viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè vµ hµm sè 2.1.4.1. Mét sè vÊn ®Ò vÒ giíi h¹n v« cùc cña d·y sè Ta biÕt: Kh«ng cã kh¸i niÖm ''sè d­¬ng v« cùc: +'', ''sè ©m v« cùc: -'',''sè v« cùc: '', mµ chØ lµ qui ­íc ký hiÖu: +, -, ®­îc sö dông trong lý thuyÕt Giíi h¹n. + Nh­ SGK bËc Phæ th«ng ë nhiÒu n­íc trªn thÕ giíi vµ trong khu vùc, ng­êi ta dïng hai kÝ hiÖu +vµ -. NÕu vËy, cã sù kh¸c biÖt víi SGK ë PTTH cña n­íc ta lµ chØ sö dông cã kÝ hiÖu lµ ®Ó viÕt Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè. +Thùc tÕ, trong viÖc kh¶o s¸t hµm sè ë líp 12 ta chØ xÐt tÝnh chÊt hµm sè lµ + hay - kh«ng xÐt chung chung ë v« cùc . + H¬n n÷a, ngay c¶ bËc §¹i häc khi xÐt tËp hîp sè thùc R më réng còng chØ bæ sung hai phÇn tö lµ + vµ - mµ kh«ng sö dông kÝ hiÖu , tøc lµ: = R. V× vËy, nªn khi xÐt giíi h¹n v« cùc cña d·y sè nãi riªng, chñ ®Ò Giíi h¹n nãi chung ph¶i xÐt cô thÓ chØ râ rµng, giíi h¹n + hay giíi h¹n - tøc lµ un = + hoÆc un = - . Do R lµ mét tËp hîp s¾p thø tù nªn kh«ng thÓ kÕt luËn chung chung giíi h¹n lµ hay viÕtun= . Cho nªn, víi c¸ch nh×n nhËn nµy th× ph¶n ¸nh ®óng b¶n chÊt tÝnh giíi h¹n v« cùc cña d·y sè, khi xÐt trªn tËp hîp s¾p thø tù cña sè thùc R, nÕu nh­ vËy th×: VÝ dô 10: XÐt vµ víi q > 1. Nh­ng cßn c¸c giíi h¹n d·y sè vµ víi q < - 1 kh«ng cã giíi h¹n, tøc : VÝ dô 11 : XÐt vµ víi q < 1 ®Òu kh«ng tån t¹i. Còng cã mét sè quan ®iÓm coi r»ng t­¬ng tù nh­ nh­ sè tù nhiªn +7 vµ +9 ®­îc viÕt cho gän lµ 7 vµ 9 nªn còng cã thÓ xem kÝ hiÖu ®­îc dïng ®Ó chØ +, nh­ vËy viÖc dïng kÝ hiÖu ®Ó chØ ®¹i l­îng v« cïng lín nh­ vËy cã thÓ g©y nhÇm lÉn. 2.1.4.2. Më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè + Më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè ra v« cùc ( f(x) ); giíi h¹n t¹i v« cùc (x ) ®Ó øng dông kh¶o s¸t nh­ t×m tiÖm cËn cña hµm sè. Nh­ SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 ( cña §oµn Quúnh ) ®· ph©n biÖt c¸c giíi h¹n t¹i vµ t¹i , còng nh­ c¸c giíi h¹n vµ . §iÒu ®ã dÉn ®Õn nh÷ng kh¸c biÖt ë Gi¶i tÝch 12 (SGK chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000) khi xÐt tiÖm cËn. Ch¼ng h¹n, khi xÐt tiÖm cËn ngang (SGK chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000) th­êng chØ ph¶i t×m mét giíi h¹n , nay ta ph¶i xÐt c¶ hai giíi h¹n vµ. §å thÞ hµm sè cã tiÖm cËn ngang nÕu chØ cÇn mét trong hai giíi h¹n ®ã lµ tån t¹i vµ h÷u h¹n. Cô thÓ, gi¶ sö hai giíi h¹n ®ã lÇn l­ît lµ y1 vµ y2 th× khi y1 y2, th× ®å thÞ hµm sè sÏ cã hai tiÖm cËn ngang lµ y = y1 vµ y =y2; cßn khi y1 = y2 ®å thÞ cã mét tiÖm cËn ngang y = y1. §iÒu nµy còng x¶y ra t­¬ng tù ®èi víi tiÖm cËn xiªn. Còng nh­ vËy, khi xÐt tiÖm cËn ®øng, ph¶i xÐt tÊt c¶ c¸c ®iÓm x0 sao cho mét trong c¸c giíi h¹n vµ lµ +hoÆc -. + Më réng kh¸i niÖm giíi h¹n mét phÝa lµ giíi h¹n tr¸i (x a- ) vµ giíi h¹n ph¶i (x a+ ) lµ c¬ së ®Ó xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè. V× vËy, cÇn ph¶i xÐt ®Õn kh¸i niÖm giíi h¹n tr¸i vµ ph¶i cña hµm sè t¹i mét ®iÓm VÝ dô 12: TÝnh: Ta cã tËp x¸c ®Þnh D = [ 1; + ). Nªn x ph¶i lÊy c¸c gi¸ trÞ lín h¬n hoÆc b»ng 1, râ rµng x kh«ng thÓ dÇn ®Õn 1 tõ phÝa bªn tr¸i, tøc kh«ng cã, mµ chØ cã = 0. a) Mèi quan hÖ gi÷a giíi h¹n mét phÝa vµ giíi h¹n t¹i mét ®iÓm cña hµm sè: = L == L VÝ dô 13: TÝnh: Lóc nµy ta ph¶i ph©n biÖt ra: = - vµ = + , vËy: giíi h¹n nµy kh«ng tån t¹i. ë vÝ dô nµy th× ta thÊy: + §iÓm a = 0 lµ ®iÓm “gi¸p ranh” cho nªn khi x , tøc lµ c¸c d·y xn mang gi¸ trÞ ©m; cßn khi x tøc lµ c¸c d·y xn mang gi¸ trÞ d­¬ng; + §iÓm a 0 c¸c d·y xn a, (a 0) th× ta thÊy r»ng dï cho x a+ hay x a- th× c¸c d·y xn kh«ng ®æi dÊu. Tãm l¹i, trong nhiÒu tr­êng hîp cÇn ph©n biÖt: giíi h¹n hµm sè khi x a hoÆc c¶ hai phÝa cña x a+ hay x a-. Mèi quan hÖ gi÷a giíi h¹n mét phÝa vµ giíi h¹n t¹i v« cùc cña hµm sè f(x): = L == L C¸i gèc: x a vµ f(x) L lµ h÷u h¹n nh­ng sau ®ã më réng ra x vµ f(x) , ch¼ng h¹n: = L = = L Më réng nh­ vËy lµ ch­a hîp lý ®iÒu nµy kh«ng ph¶n ¸nh ®óng b¶n chÊt v×: - ; + n»m ë hai cùc cã kho¶ng c¸ch rÊt xa nhau, nh­ng mµ trong khi ®ã a+; a- chØ lµ mét sù gÇn gòi gi÷a hai phÝa t¹i mét ®iÓm cña x a, thÕ th× ch¼ng lÏ l¹i xem r»ng lóc nµy -; + l¹i lµ gÇn gòi nhau, kh«ng lÏ xem x còng nh­ lµ xa. VÝ dô14: Ta cã: = nh­ng kh«mg thÓ nãi giíi h¹n mét c¸ch chung chung r»ng: kh«ng tån t¹i (!). Hay nãi tãm l¹i, kh«ng chÊp nhËn = L mµ ph¶i ph©n biÖt ra râ rµng = L hoÆc = L . 2.1.4.3. Mét sè vÊn ®Ò khi d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè §Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm, t¹i v« cùc vµ giíi h¹n v« cùc cña hµm sè ®Òu ®­îc ®Þnh nghÜa th«ng qua Giíi h¹n cña d·y sè, nªn kh¸i niÖm Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè (ë ®©y coi vai trß cña n lµ x tøc:) ®­îc xem nh­ lµ mét trong nh÷ng tr­êng hîp më réng kh¸i niÖm Giíi h¹n cña hµm sè, cßn c¸c tr­êng hîp më réng cßn l¹i nh­ x(-, a+, a-) hoµn toµn t­¬ng tù, nªn khi ®· n¾m v÷ng b¶n chÊt vÒ Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè, th× sÏ lµ b­íc ®Öm ®Ó häc tèt vÒ Giíi h¹n v« cùc cña hµm sè. ChÝnh v× vËy, khi d¹y häc vÒ c¸c kh¸i niÖm Giíi h¹n nãi chung, kh¸i niÖm Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè nãi riªng, ta quan t©m ®Õn c¸c vÊn ®Ò: a) Khi d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n cña d·y sè Ta ph¶i ®Þnh nghÜa ph©n biÖt râ rµng giíi h¹n d­¬ng v« cùc(+) vµ ©m v« cùc (-) chø kh«ng ®Þnh nghÜa giíi h¹n v« cùc () ë d¹ng chung chung, : +) ''D·y sè un ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n + khi n dÇn tíi d­¬ng v« cùc nÕu víi mçi sè d­¬ng M tån t¹i sè nguyªn d­¬ng n0 sao cho : un > M , n > n0 . KÝ hiÖu : un = +''. +) ''D·y sè un ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n - khi n dÇn tíi d­¬ng v« cùc nÕu víi mçi sè d­¬ng M tån t¹i sè nguyªn d­¬ng n0 sao cho: un n0 , KÝ hiÖu : (un ) = -''. +) HoÆc ®Ó ®¬n gi¶n vµ lµm râ mèi quan hÖ gi÷a hai kh¸i niÖm () ta xem ®Þnh nghÜa d·y sè un cã giíi h¹n - th«ng qua + nh­ sau: ''D·y sè un ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n - nÕu (-un ) = +”. b) VÒ kÝ hiÖu: +, - cã thÓ xem nh­ lµ Giíi h¹n cña d·y sè XÐt vÝ dô 15: = 0; = +; = - . Qua vÝ dô 15 nµy ta thÊy, víi ''mét sè thùc rÊt lín'' lµ nãi ®Õn mét sè cô thÓ ë “tr¹ng th¸i tÜnh t¹i, cè ®Þnh''. Cßn b¶n chÊt cña + vµ - kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè thùc cô thÓ rÊt lín nµo ®ã, mµ ®óng ra nãi ®Õn l©n cËn cña + tøc lµ kho¶ng (a, +) vµ l©n cËn cña - lµ kho¶ng (-; a ) víi R, do ®ã kh«ng thÓ thùc hiÖn c¸c qui t¾c hay phÐp to¸n ®¹i sè trªn chóng, nh­ng kÕt qu¶ giíi h¹n (nÕu cã) cña d·y sè un cã thÓ lµ: Giíi h¹n h÷u h¹n (0, h»ng sè L0 ) hoÆc Giíi h¹n v« cùc (), nªn ta cã thÓ xem kÝ hiÖu + vµ - nh­ lµ giíi h¹n cña d·y sè. Thùc ra, cã thÓ ®Þnh nghÜa ®­îc c¸c giíi h¹n v« cùc + vµ -, nh­ng ®Þnh nghÜa nµy kh¸c h¼n vÒ b¶n chÊt so víi ®Þnh nghÜa cña giíi h¹n h÷u h¹n. Nh­ vËy, khi thùc hµnh trong gi¶i to¸n häc sinh dÔ bÞ lÉn lén, gi÷a hai kh¸i niÖm ''giíi h¹n h÷u h¹n'' vµ ''giíi h¹n v« h¹n v« cùc'', trong viÖc biÕn ®æi c¸c phÐp to¸n vÒ giíi h¹n vµ dÉn ®Õn sai lÇm trong kÝ hiÖu nh­: = ? ; (+) - (+) = 0 ? ; 0 . = 0 ?... c) Kh«ng ph¶i mäi d·y sè ®Òu cã giíi h¹n h÷u h¹n hoÆc v« cùc () VÝ dô 16: D·y sè un = (-1)n kh«ng cã giíi h¹n h÷u h¹n vµ giíi h¹n v« cùc. VÝ dô 17 : XÐt vµ víi q < 1 ®Òu kh«ng tån t¹i giíi h¹n d) Khi t×m giíi h¹n cña d·y sè Ta sÏ gÆp mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt, mµ khi ®ã c¸c qui t¾c th«ng th­êng vµ c¸c ®Þnh lý vÒ giíi h¹n h÷u h¹n kh«ng cho phÐp x¸c ®Þnh ®­îc giíi h¹n cña c¸c d·y sè lµ cã hay kh«ng vµ nÕu cã th× b»ng bao nhiªu ®Êy chÝnh lµ c¸c d¹ng v« ®Þnh cña d·y sè . VÝ dô 18: XÐt d¹ng v« ®Þnh : , víi = = 0 , cô thÓ: +)Víi:un=,vn =mµ()= 0,() =0,nh­ng:=()= 0. +)Víi:un=,vn =, mµun =vn = 0 , nh­ng = 1 = 1 . +)Víi:un =,vn =, mµun= 0, vn=0 nh­ng=n = +. +)Víi: un=,vn = -, mµun=vn=0, nh­ng=(-n) =-. +)Víi:un=,vn =;un =vn=0,th×= (-1)n kh«ng tån t¹i. Qua vÝ dô 18 nµy, th× kÕt qu¶ cña d¹ng v« ®Þnh cã thÓ b»ng: 0, h»ng sè L0, hay ( ), hoÆc kh«ng tån t¹i. VËy c¸c tr­êng hîp tæng qu¸t vÒ d¹ng v« ®Þnh (; ; - ; ) cô thÓ : *)D¹ng v« ®Þnh () lµ : , víi = = 0. *)D¹ng()lµ:,víi==+hoÆc==- *)Víi(-)lµ:;==+hoÆc==- *)D¹ng(0.) lµ:, víi = 0 vµ= +hoÆc= - T­¬ng øng víi tõng d¹ng v« ®Þnh nµy th× ®· cã tõng lo¹i ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i, ®­îc tr×nh bµy râ ë vÝ dô vµ bµi tËp cã trong SGK vµ c¸c s¸ch tham kh¶o . e) Khi thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n vÒ giíi h¹n v« cùc cña d·y sè Lóc nµy kh«ng ¸p dông ®­îc c¸c ®Þnh vÒ giíi h¹n h÷u h¹n cña d·y sè ®Ó t×m giíi h¹n c¸c d·y sè nµy, nh­ng SGK th× kh«ng h­íng dÉn c¸ch thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n vÒ giíi h¹n v« cùc, mµ chØ cã ®Þnh lý: ” nÕu th× . Ng­îc l¹i, nÕu th× ” VÝ dô19: TÝnh (?) Cã ph¶i tö sè dÇn tíi 9 vµ mÉu sè dÇn vÒ 0, nªn ph©n thøc dÇn vÒ ? (?) Dùa