Luận văn Quan hệ giữa hình học và đại số trong dạy học số phức ở lớp 12

học của nó, phép nhân với phép biến hình, cho phép giải quyết các kiểu nhiệm vụ Tquỹ tích, Tquay, Tynhh và Thàm. C h ư ơ n g 2 34 Chương hai SỐ PHỨC - QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Mở đầu Phân tích trong chương 2 nhằm làm rõ : CH1 : Trong I, hai cách tiếp cận đại số và hình học được trình bày ra sao? Những mong muốn và ràng buộc nào của thể chế đối với O trong hai cách tiếp cận này? Tổ chức toán học nào cho phép thiết lập mối liên hệ giữa chúng? CH2 : Đặc biệt, trong cách tiếp cận hình học, những kiến thức hình học nào đã được thể chế sử dụng để mang lại nghĩa cho khái niệm số phức và các phép toán trên tập số phức, những khái niệm thường được định nghĩa một cách hình thức qua các biểu thức đại số ? Theo cách tiếp cận của thuyết nhân học trong didactic toán thì đây là một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế R(I, O) với O là đối tượng số phức và I là thể chế dạy học toán lớp 12 theo chương trình nâng cao hiện hành. Việc phân tích thể chế để tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi này được dựa trên những kết quả đã đạt được trong chương một. Kể từ năm 2008 đến nay, các trường phổ thông đang sử dụng hai bộ sách giáo khoa toán. Bộ thứ nhất được viết bởi nhóm tác giả do GS Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên. Đây là bộ sách dành cho chương trình nâng cao. Bộ thứ hai dành cho chương trình chuẩn được biên soạn bởi nhóm tác giả do PGS Trần Văn Hạo tổng chủ biên. Điểm khác biệt cơ bản giữa hai bộ sách đó là bộ sách thứ hai không trình bày dạng lượng giác của số phức do yêu cầu tính giảm tải của chương trình. Vì vậy, chúng tôi chỉ chọn phân tích bộ sách thứ nhất. Ngoài ra, chúng tôi còn chọn phân tích sách giáo khoa dùng cho hệ song ngữ Việt – Pháp. Việc phân tích song song hai thể chế sẽ cho phép làm nổi rõ những C h ư ơ n g 2 35 đặc trưng, những điều kiện và ràng buộc của mối quan hệ được hình thành trong từng thể chế đối với đối tượng tri thức được quan tâm. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi quy ước cách kí hiệu như sau : [P] : sách Mathematiques 12 ème. [V] : sách Giải tích 12 nâng cao. 1. Số phức trong chương trình và SGK Giải tích 12 Việt Nam Trước khi phân tích SGK, chúng tôi sẽ xem xét phần chương trình liên quan đến số phức. Điều này được thực hiện thông qua việc tôi tham khảo sách giáo viên giải tích 12 nâng cao và tài liệu hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán. 1.1. Mục đích của dạy học số phức Số phức được trình bày ở chương cuối cùng trong [V]. Thời lượng dành cho chương số phức là 13 tiết trên tổng số 90 tiết của chương trình Giải tích 12 nâng cao (chiếm tỉ lệ : 14,4%). Mục đích đưa số phức vào chương trình hiện hành là nhằm hoàn thiện hệ thống các tập hợp số cho học sinh phổ thông. Với mục đích này thì những yêu cầu mà chương trình đặt ra đối với việc dạy học số phức khá nhẹ nhàng. Học sinh chỉ cần nắm được một số vấn đề cơ bản nhất về số phức. “Kiến thức Giúp học sinh hiểu được : - Dạng đại số, biểu diễn hình học số phức, phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức dưới dạng đại số, môđun của số phức, số phức liên hợp, căn bậc hai của số phức. - Dạng lượng giác, argumen của số phức, phép nhân, chia hai số phức dưới dạng lượng giác, công thức Moa-vrơ. Kĩ năng Giúp học sinh thành thạo các kĩ năng : - Biểu diễn hình học số phức ; - Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức dưới dạng đại số, phép nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác ; - Biết chuyển đổi được dạng đại số của số phức sang dạng lượng giác ; - Biết cách tìm căn bậc hai của số phức dưới dạng đại số và dạng lượng giác và áp dụng để giải phương trình bậc hai ; - Ứng dụng được công thức Moa-vrơ vào một số tính toán lượng giác.” ([18], trang 222) C h ư ơ n g 2 36 - Bên cạnh đó, chương trình đặc biệt nhấn mạnh về biểu diễn hình học của số phức : “Cần chú ý đến việc biểu diễn hình học số phức, đến ý nghĩa hình học của các khái niệm liên quan đến các phép toán về số phức (số phức đối, số phức liên hợp, môđun của số phức, nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác). Điều đó giúp học sinh hiểu rõ ràng hơn về tập hợp số phức và nắm chắc chắn các khái niệm liên quan. Nó còn giúp học sinh thấy được mối liên quan giữa số phức với vectơ, hình học phẳng, lượng giác.” ([21], trang 102). 1.2. Về số phức và các khái niệm liên quan Tương tự giáo trình [A], sự xuất hiện số phức trong [V] gắn liền với việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai. [V] đã trình bày cách xây dựng tập hợp số phức không thực sự chặt chẽ về mặt toán học vì mục tiêu chính của chương trình chỉ là giúp học sinh hiểu được nhu cầu mở rộng tập số thực thành tập số phức. Theo quan điểm trình bày của [V] ta hiểu số phức là phần tử của trường đại số mở rộng của trường số thực thu được bằng cách ghép thêm vào  nghiệm i của phương trình x2 + 1 = 0. Khi đó, số phức được định nghĩa dưới dạng một biểu thức đại số a + ib với a, b là các số thực và i thỏa mãn điều kiện i2 = -1. Khái niệm số phức định nghĩa như vậy chỉ mang tính mô tả, các kí hiệu “+”, “bi”, “i2” cho đến lúc này chưa được định nghĩa. Cách trình bày của [V] khiến người ta hiểu ba ký hiệu trên theo cách đã được thiết lập trong  . Các khái niệm khác như số phức liên hợp, số phức đối và môđun của số phức đều được định nghĩa bằng đại số. “Số phức liên hợp của z = a + bi ( , )a b∈ là a – bi và được kí hiệu bởi z ” ([V], trang 186) “Với mỗi số phức z = a + bi ( , )a b∈ , nếu kí hiệu số phức –a – bi là -z thì ta có z + ( - z) = (- z) + z = 0. Số -z được gọi là số đối của số phức z.” ([V], trang 183). “Môđun của số phức z = a+ bi ( , )a b∈ là số thực không âm 2 2a b+ và được kí hiệu là z .” ([V], trang 187). 1.3. Về các phép toán trên số phức Với định nghĩa số phức, số phức đối dưới dạng đại số, phép cộng và phép trừ C h ư ơ n g 2 37 các số phức được thực hiện tương tự như phép cộng, trừ những đa thức một biến trong số thực. Trước khi định nghĩa phép nhân hai số phức, [V] đã thực hiện phép nhân một cách hình thức hai biểu thức a + bi, a’ + b’i (a, b, a’, b’ ∈ ) và thay i2 = -1. “ 2( )( ' ' ) aa'+bb'i ( ' ' ) aa'-bb'+(ab'+a'b)ia bi a b i ab a b i+ + = + + = ” ([V], trang 185) Ở đây, [V] dựa vào phép nhân các biểu thức đã quen thuộc đối với học sinh để định nghĩa phép nhân hai số phức. Có thể do sự quen thuộc trong tính toán với các biểu thức như thế mà học sinh dễ chấp nhận định nghĩa này. Từ định nghĩa phép cộng và phép nhân số phức chỉ có thể giải thích được dấu cộng và nhân trong biểu thức a + bi chính là phép cộng và phép nhân những số thực. Nghĩa hình học của phép nhân trong mối liên hệ với phép đồng dạng chưa được lý giải. Phép chia số phức được thực hiện nhờ phép nhân và tính chất quen thuộc của phân số “ ' '. . z z z z z z = ”. Tóm lại, trong [V], bốn phép toán cơ bản trên số phức gồm phép cộng, trừ, nhân, và chia đều được tiếp cận trên phương diện đại số. 1.4. Về các dạng biểu diễn số phức và vai trò của chúng Định nghĩa số phức cho thấy mỗi số phức được mô tả gồm hai thành phần là phần thực và phần ảo. Từ đây có thể suy ra mỗi số phức được đặc trưng bởi một bộ gồm hai số thực có thứ tự. Đặc trưng này được thể hiện khá rõ qua định nghĩa hai số phức bằng nhau. “Hai số phức z = a + bi ( , )a b R∈ , z’ = a’ + b’i ( ', 'a b R∈ ) gọi là bằng nhau nếu a = a’, b = b’.” ([V], trang 182). Ta biết rằng giữa tập hợp những cặp số thực có thứ tự (a, b) và tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Đề-các vuông góc có thể xác lập phép tương ứng đơn trị một – một. Do đó, mỗi số phức a + bi có thể đặt tương ứng với một điểm M(a, b) và ngược lại. Phân tích trong chương 1 cho thấy đây chính là cơ sở cho việc thiết lập biểu diễn hình học của số phức. “Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + ib ( , )a b R∈ được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a, b). C h ư ơ n g 2 38 Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a, b) biểu diễn một số phức z = a + ib. Ta còn viết M(a + ib) hay M(z).” ([V], trang 182) Qua việc biểu diễn hình học số phức bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ, [V] đã hình thành ở học sinh hình ảnh trực quan về số phức, số phức đối và số phức liên hợp vốn được định nghĩa hình thức bởi những biểu thức đại số. Ý nghĩa hình học của phép cộng và trừ hai số phức được trình bày tường minh thông qua các phép toán về vectơ. “Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z = a + bi. Ta cũng coi mỗi vectơ u  có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z = a + bi. Khi đó ta nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vectơ OM  biểu diễn số phức đó. Dễ thấy rằng, nếu , 'u u   theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì 'u u+   biểu diễn số phức z + z’ 'u u−   biểu diễn số phức z – z’. ” ([V], trang 184). [V] đã cung cấp một cách biểu diễn khác cho số phức là biểu diễn dưới dạng vectơ. Cơ sở của việc biểu diễn này, như đã trình bày, là sự tương ứng giữa các đối tượng ( , ) ( , ) ( , ).z a ib a b M a b OM a b= + ↔ ↔ ↔  Sự liên kết giữa số phức với vectơ tiếp tục được khẳng định qua ví dụ bên dưới : “Ví dụ 5. Trong mặt phẳng phức, nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M’ biểu diễn số phức z’ ( M khác M’) thì trung điểm P của đoạn MM’ biểu diễn số phức 1 ( ') 2 z z+ . Điểu đó suy ra từ hệ thức 1 ( ') 2 OP OM OM= +    .” ([V], trang 185). Chúng tôi đặc biệt chú ý đến hoạt động H3 – một hoạt động thể hiện ý nghĩa hình học cho phép nhân số thực với số phức. “Nếu vectơ u  biểu diễn số phức z thì vectơ ku  ( k R∈ ) biểu diễn số phức nào? Vì sao?” ([V], trang 185). “ Nếu vectơ u  biểu diễn số phức z thì vectơ ku  (( k R∈ ) biểu diễn số phức kz. Điều đó suy ra từ : nếu z = a + bi ( ,a b R∈ ) thì k.z = ka + kbi, còn tọa độ của u  là (a, b) và tọa độ của k. u  là (ka, kb).” ([18], trang 227). C h ư ơ n g 2 39 Nghĩa hình học của phép nhân số phức chưa được làm rõ. Tuy nhiên, một bài tập đố vui trong [V] đã phác họa lên hình ảnh của số phức tích và cung cấp một cách dựng hình học số phức này thông qua việc dựng hai tam giác đồng dạng. “16. Đố vui. Trong mặt phẳng cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải là hai tam giác đồng dạng không?” ([V], trang 191). Sau khi định nghĩa khái niệm argumen, [V] thực hiện việc chuyển dạng đại số z = a + bi (a, b R∈ ) sang dạng lượng giác (cos i sin )z r ϕ ϕ= + với r là môđun, ϕ là một argumen của số phức z. Kỹ thuật dùng để chuyển đổi giữa hai dạng đại số và lượng giác được trình bày tường minh. Như đã nêu ở chương 1, ưu điểm của dạng lượng giác so với các dạng biểu diễn khác là sự thuận lợi trong việc thực hiện phép nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa bậc cao hay phép khai căn. Để nhân (hoặc chia) hai số phức dưới dạng lượng giác thì ta chỉ cần nhân (hoặc chia) các môđun và lấy tổng (hoặc hiệu) của hai argumen tương ứng của hai số phức đã cho. Phép tính lũy thừa bậc cao và phép khai căn bậc n của số phức được thực hiện nhờ công thức Moivre. Như vậy, khái niệm số phức trong [V] đã được tiếp cận ở cả hai phương diện: - Trên phương diện đại số : các phép tính số học trên tập số phức được thực hiện tương tự như trong số thực với chú ý i2 = -1. - Trên phương diện hình học : người ta gắn số phức với các vectơ, từ đó giải thích được phép cộng, trừ hai số phức là phép cộng, trừ hai vectơ; tích của số phức và số thực là tích của vectơ với số thực. Việc gắn vectơ vào số phức chỉ là bước trung gian để đưa vào dạng lượng giác, công thức Moivre và phép khai căn. Biểu diễn hình học của số phức chưa được khai thác triệt để. Cụ thể, mối liên hệ giữa số phức với các phép biến hình không được đề cập trong [V]. “Nếu muốn, giáo viên cũng có thể nói thêm cho học sinh giỏi chẳng hạn rằng : vậy phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm M biểu diễn số phức z thành điểm M’ biểu diễn số phức z’ = -z là phép đối xứng tâm O (gốc tọa độ). [...] Với học sinh giỏi có thể nói thêm : phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm M biểu diễn số phức z thành điểm M’ biểu diễn số phức z’ = kz ( k là số thực khác 0 cho trước) là phép vị tự tâm O (gốc tọa độ) với hệ số vị tự k.” ([18], trang 227). C h ư ơ n g 2 40 Có lẽ do yêu cầu của chương trình dạy học số phức ở bậc trung học phổ thông nên các tác giả viết SGK đã không trình bày tường minh vấn đề liên quan đến phép biến hình. Tuy vậy, ở một khía cạnh nào đó các tác giả vẫn mong muốn cung cấp những điều này đến học sinh (ít nhất là với đối tượng học sinh giỏi). Điều đó chứng tỏ rằng sự liên hệ giữa phép toán trên số phức với phép biến hình là vấn đề cần được quan tâm. Mặt khác, theo SGV “ý nghĩa hình học của phép nhân (chia) các số phức được thể hiện rõ ràng nhờ dạng lượng giác của chúng” ([18], trang 249). Tham chiếu vào những phân tích ở chương 1, ta thấy rằng chỉ với dạng lượng giác chưa đủ để giải thích nghĩa hình học cho phép nhân hai số phức mà cốt lõi của vấn đề chính là các phép biến hình. Dạng lượng giác được đề cập trong [V] chỉ giúp khai thác phép nhân số phức ở phương diện tính toán, việc mang lại nghĩa trên phương diện hình học cho khái niệm này chưa thực sự được giải quyết. Mọi cố gắng khai thác quan hệ giữa đối tượng số phức với phép biến hình của các tác giả chỉ được thể hiện trong SGV. “Về hình học, số phức giúp khảo sát nhiều điều trong mặt phẳng. Ngay ở bậc trung học phổ thông, dùng số phức cũng có thể diễn tả một số vấn đề của hình học sơ cấp trong mặt phẳng, đặc biệt về các phép dời hình, phép đồng dạng trong mặt phẳng [...]. Dễ thấy phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm M tùy ý biểu diễn số phức z thành điểm M’ biểu diễn số phức z’ sao cho : 1/ z’ = z + β ( β là số phức cho trước) là phép tịnh tiến theo vectơ u  biểu diễnβ . 2/ z’ – z0 = α (z – z0) (α là số phức cho trước, 1α = , z0 là số phức cho trước) là phép quay tâm A (biểu diễn số phức z0) với góc quay là một acgumen của α . Điều đó suy ra từ: 0 0 0' ' .AM z z z z z z AMα= − = − = − =   và khi M khác A, một góc lượng giác tia đầu AM, tia cuối AM’ có số đo là một acgumen của 0 0 'z z z z α − = − . Từ đó suy ra phép biến đổi xác định z’= α z + β ( 1α = ,β là số phức tùy ý cho trước) là một phép tịnh tiến khi α =1 và là một phép quay khi α ≠ 1 (vì khi α ≠ 1 thì z’= α z + β có thể được viết thành z’ – z0 = α (z – z0) với 0 1 z β α = − ). C h ư ơ n g 2 41 3/ z’ – z0 = k(z – z0) ( k thực khác 0, z0 là số phức cho trước) là phép vị tự tâm A (biểu diễn z0) với hệ số vị tự k. Từ đó suy ra phép biến đổi xác định bởi z’ = α z + β (α , β là số phức cho trước, α khác 0) là một phép tịnh tiến khi α = 1, còn khi α ≠ 1, nó là hợp thành của một phép quay (với góc quay là một acgumen của α ) với một phép vị tự cùng tâm (với hệ số vị tự là α ), tức là một phép đồng dạng trong mặt phẳng.” ([18], trang 255). 1.5. Về các tổ chức toán học liên quan số phức Trước hết, ta nhắc lại các KNV cho phép gắn kết số phức với biểu diễn hình học của nó, phép nhân với phép biến hình ở bậc đại học. Đó là KNV : Tquỹ tích, Tquay, Tynhh và Thàm. Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, hai KNV Thàm và Tquay không tồn tại trong [V]. KNV Tquỹ tích “Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức” xuất hiện tường minh trong [V] và nhận được sự ưu tiên của thể chế. Để khẳng định nhận xét này, chúng tôi xin trích dẫn lại bảng thống kê các KNV từ luận văn của tác giả Lê Thị Huyền. Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV liên quan số phức ([10], trang 76) Kiểu nhiệm vụ Số lần xuất hiện trong SGK Số lần xuất hiện trong SBT Biểu diễn số phức trong mặt phẳng 9 0 Xác định số phức 16 14 Chứng minh hệ thức liên quan số phức 18 18 Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức 12 16 Tìm căn bậc hai của số phức 5 3 Giải phương trình 22 19 Tìm dạng lượng giác của số phức 21 8 Tính lũy thừa bậc cao 3 0 Biểu diễn sin ,cosn nϕ ϕ qua sin ,cosϕ ϕ 3 0 Tổng cộng 109 78 C h ư ơ n g 2 42 Từ việc phân tích những KNV trên, tác giả đã chỉ ra rằng : ý nghĩa hình học của số phức chỉ được đề cập qua Tbiểudiễn “Biểu diễn số phức trong mặt phẳng” và Tquỹtích . Nói cách khác, hai KNV Tbiểudiễn và Tquỹtích đã thể hiện sự tương quan giữa dạng đại số với dạng hình học của số phức. Những KNV khác chỉ thiên về dạng đại số và các thao tác tính toán trong đại số. Mặc dù ý tưởng đề tài của chúng tôi xuất phát từ sự tiếp nối các công trình đã có về số phức, điển hình là luận văn của tác giả Lê Thị Huyền5 nhưng mục đích nghiên cứu của hai luận văn là khác nhau. Do đó, để trả lời cho câu hỏi CH1 thì phân tích của tác giả Lê Thị Huyền là chưa đủ. Điều đó dẫn dắt chúng tôi đến với việc xem xét thêm SBT bởi vì hệ thống bài tập trong đó sẽ góp phần làm phong phú và đa dạng cho các bài tập ở SGK. Vì vậy, ở bảng thống kê trên, chúng tôi có bổ sung thêm một cột về số lượng bài tập xuất hiện trong SBT của từng KNV. Quan trọng hơn, chúng tôi đã tìm thấy một vài KNV có chức năng gắn kết giữa Đại số và Hình học. • Txdsp: Xác định số phức z biết điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng phức τ : Kỹ thuật dùng tọa độ điểm - Tìm tọa độ (a, b) của điểm biểu diễn số phức z. - Số phức z = a + bi. θ : Biểu diễn hình học của số phức. « 3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. » ([V], trang 189). Giải. « Giả sử ABCDEF là các đỉnh của lục giác đều. Điểm A biểu diễn số i. Điểm F có tọa độ 3 1(cos ;sin ) ( ; ) 6 6 2 2 π π = nên F biểu diễn số phức 3 1 2 2 i+ . E đối xứng với F qua trục Ox nên E biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− . 5 Luận văn của tác giả Nguyễn Thị Duyên chỉ nêu những tổ chức toán học về số phức trong SGK cơ bản nên chúng tôi không tham khảo luận văn này trong phần phân tích ở chương hai. C h ư ơ n g 2 43 B đối xứng với E qua gốc tọa độ O nên B biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− + . C đối xứng với F qua O nên C biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− − . D đối xứng với A qua O nên D biểu diễn số -i.” ([18], trang 229). Nhận xét : - KNV đơn giản, kỹ thuật giải rõ ràng và dễ sử dụng. Cùng với Tbiểudiễn, các KNV này cho phép khẳng định mối quan hệ hai chiều giữa số phức và điểm. • Tđườngtròn : Chứng minh bốn điểm biểu diễn các số phức cho trước cùng nằm trên một đường tròn Có 5 kỹ thuật giải KNV này. 1τ : Kỹ thuật dùng tích vô hướng hai vectơ. - Tìm các số phức biểu diễn các vectơ tạo bởi bốn điểm đã cho. - Tìm thương của từng cặp số phức vừa tìm được. - Nếu thương là số thuần ảo thì hai vectơ tương ứng vuông góc nhau. 1θ : Biểu diễn hình học số phức, phép toán trên số phức, khái niệm và định lí tứ giác nội tiếp đường tròn, tính chất “Các vectơ , 'u u   theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’. Nếu 0u ≠   thì , 'u u   vuông góc nhau khi và chỉ khi 'z z là số thuần ảo.” “4.9. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số -1 + i, - 1 - i, 2i, 2 - 2i. Tìm các số z1, z2, z3, z4 theo thứ tự biểu diễn các vectơ , , ,AC AD BC BD     . Tính 31 2 4 , zz z z và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào? Giải. AC  biểu diễn số phức z1 = 1 + i, AD  biểu diễn số phức z2 = 3 – 3i. Do 1 2 1 3 3 3 z i i z i + = = − nên . 0AC AD =   BC  biểu diễn số phức z3 = 1 + 3i, BD  biểu diễn số phức z4 = 3 – i. Do 3 4 1 3 3 z i i z i + = = − nên . 0BC BD =   . C h ư ơ n g 2 44 Vậy CD là một đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D ; Tâm đường tròn đó là trung điểm của CD nên nó biểu diễn số 2 (2 2 ) 1 2 i i+ − = .” ([6], trang 190). 2τ : Kỹ thuật dùng argumen. - Tìm những số phức biểu diễn các vectơ tạo bởi bốn điểm đã cho. - Tìm thương của từng cặp số phức vừa tìm được - Tìm argumen của hai số phức thương. - Nếu hai argumen bằng nhau thì hai góc lượng giác tương ứng bằng nhau (hoặc sai khác 2 , )k kπ ∈ 2θ : Biểu diễn hình học số phức, phép toán trên số phức, khái niệm và định lí tứ giác nội tiếp đường tròn, tính chất “M, M’ là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’. Argumen của số phức 'z z là số đo góc lượng giác (OM, OM’) (sai khác 2 , )k kπ ∈ ”. 3τ : Kỹ thuật dự đoán tâm đường tròn. - Biểu diễn các điểm lên mặt phẳng phức. - Dự đoán tâm đường tròn cần tìm. - Kiểm nghiệm tâm cách đều bốn điểm đã cho. 3θ : Biểu diễn hình học số phức, khái niệm và định lí tứ giác nội tiếp đường tròn. 4τ : Kỹ thuật dùng phương trình đường tròn. - Tìm tọa độ của bốn điểm đã cho. - Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ba trong bốn điểm đó. - Chứng minh điểm còn lại nằm trên đường tròn. “4.33. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4 (3 3) , 2 (3 3) ,1 3 ,3i i i i+ + + + + + . Chứng minh bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn. Giải. Chỉ cần chứng minh các góc lượng giác (CA, CB), (DA, DB) có số đo bằng nhau (sai khác , )k kπ ∈ . Ta có CA  biểu diễn số phức 3 3i+ , CB  biểu diễn số phức 1 3i+ nên số đo góc (CA, CB) là một argumen của 1 3 3 3 i i + + cũng là một argumen của C h ư ơ n g 2 45 (1 3 )(3 3 ) 2 3( 3 )i i i+ − = + . Ta có DA  biểu diễn số phức 1 (2 3)i+ + , DB  biểu diễn số phức 1 (2 3)i− + + nên số đo góc (DA, DB) là một argumen của 1 (2 3) 1 (2 3) i i − + + + + cũng là một argumen của [ 1 (2 3) ].[1 (2 3) ] 2( 3 2)( 3 )i i i− + + − + = + + . Rõ ràng số này và số 2 3( 3 )i+ có cùng argumen (sai khác 2 , )k kπ ∈ . Chú ý. Có nhiều cách giải khác, chẳng hạn : 1)Vẽ các điểm A, B, C, D, có thể dự đoán tâm đường tròn cần tìm biểu diễn số 3 + 3i (xét các đường trung trực các đoạn AB, CD), kiểm nghiệm nó cách đều A, B, C, D. 2)Có thể đưa bài toán về bài toán hình học giải tích.” ([6], trang 199). 5τ : Kỹ thuật xác định hình tính của tứ giác có đỉnh là bốn điểm đã cho. - Dựa vào hình tính của tứ giác để tìm tâm của đường tròn. 5θ : Biểu diễn hình học số phức, các khái niệm và tính chất của tứ giác trong hình học phẳng. “4.47. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 + 2i, 1 3 ,1 3 ,1 2i i i+ + + − − .Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn biểu diễn số phức nào. Giải. Vì mỗi cặp số 1 + 2i, 1 – 2i và 1 3 ,1 3i i+ + + − là cặp số phức liên hợp nên hai điểm A, D, hai điểm B, C đối xứng qua Ox ; phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân, do đó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng Ox ; J biểu diễn số thực x sao cho : 1 2 1 3JA JB x i x i= ⇔ − + = − + +   . Từ đó suy ra x = 1” ([6], trang 203). 1 2 3 4 O x 3+ 3 3 1 B A D C y Hình 2.1 C h ư ơ n g 2 46 Nhận xét : - Những bài toán trong KNV này vốn thuộc phạm vi hình học, nay chúng được phát biểu bằng ngôn ngữ số phức. Từ đây dẫn đến sự kết nối số phức với nhiều vấn đề trong hình học : bởi vì mỗi số phức là một điểm trên mặt phẳng nên có thể dẫn bài toán về bài toán của hình học giải tích ; nếu xem mỗi số phức là một vectơ thì ta có thể dùng số phức để diễn đạt lại những tính chất trong hình học (như điều kiện để tích vô hướng của hai vectơ bằng 0). - Yếu tố công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải xuất hiện tường minh trong SBT trong khi đó SGK không đề cập đến. Điều này cho thấy rằng SBT quan tâm nhiều hơn (so với SGK) quan hệ giữa dạng đại số và dạng hình học của số phức. • Trong SBT, dấu vết của Tynhh thể hiện qua hai KNV Tynhh 1 “Chứng minh phép biến đổi trên mặt phẳng phức là phép quay” và Tynhh2 “Sử dụng ý nghĩa hình học của phép nhân để giải bài toán hình học phẳng”. • Tynhh 1 : Chứng minh phép biến đổi trên mặt phẳng phức là phép quay 1τ : Sử dụng các kiến thức về môđun, argumen và định nghĩa phép quay để chứng minh phép biến đổi đã cho là phép quay. 1θ : Biểu diễn hình học số phức, các phép toán trên số phức, khái niệm và ý nghĩa hình học của môđun, argumen số phức, khái niệm phép quay. x y 2 1 O -1 -2 A B C D J 1+ 3 Hình 2.2 C h ư ơ n g 2 47 “4.56. a/ Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức w. Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành điểm biểu diễn số phức z’ sao cho z’ – w = i(z – w) là phép quay tâm A góc quay 2 π ” ([6], trang 186). “Giải. a) M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’. Khi M trùng với A tức z = ω thì 'z ω= nên A biến thành chính nó. Khi M không trùng với A thì ' 'AM z i z AMω ω= − = − =   và một argument của 'z i z ω ω − = − là số đo góc lượng giác (AM, AM’) nên góc này là 2 π . Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay 2 π .” ([6], tran