Luận văn Sự tồn tại nghiệm của phương trình monge - Ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng

)MPSH W trùng với tập các hàm điều hòa trên W. Mệnh đề sau nói về các cách nhận biết một hàm là đa điều hoà dưới cực đại. 12 Mệnh đề 1.2.2. Giả sử nWÌ £ là tập mở và ( )u PSHÎ W . Khi đó các khẳng định sau là tương đương. ( )i Với mọi tập mở, compact tương đối G WÐ và mọi hàm ( )v PSH GÎ , nếu lim sup( ( ) ( )) 0 z u z v z x® - ³ với mọi Gx Î ¶ thì u v³ trên G . ( )ii Nếu ( )v PSHÎ W và với 0e > tồn tại tập compact K Ì W sao cho u v e- ³ trên \ KW thì u v³ trên W. ( )iii Nếu ( )v PSHÎ W , G là tập mở, compact tương đối trong W và u v³ trên G¶ thì u v³ trên G . ( )iv Nếu ( )v PSHÎ W , G là tập mở, compact tương đối trong W và với mỗi Gx Î ¶ , lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z x® - ³ thì u v³ trên G . ( )v u là hàm cực đại. Chứng minh. ( ) ( )i iiÞ . Giả sử ( )v PSHÎ W thỏa mãn giả thiết của ( )ii và giả sử a Î W sao cho ( ) ( ) 0u a v a h- = < . Đặt { : ( ) ( ) } 2 E z u z v z h = Î W < + Theo giả thiết có compact K Ì W sao cho với mọi \z KÎ W thì ( )u z ³ ( ) 2 v z h + . Vậy E KÌ và do đó E là tập compact trong W. Tồn tại tập mở, compact tương đối G Ì W chứa E . Trên G¶ lim inf( ( )) 0 2z G u v h ® ¶ - + ³ 13 Bởi giả thiết ( )i , 2 u v h ³ + trên G và ta gặp mâu thuẫn vì a E GÎ Ì mà ( ) ( ) ( ) 2 u a v a v a h h= + < + . ( ) ( )ii iiiÞ . Giả sử ( )v PSHÎ W , G là tập mở, compact tương đối trong W và u v³ trên G¶ . Đặt ax( ( ), ( )) , ( ) ( ) , \ m u z v z z G u z u z z G ìï Îï= í ï Î Wïî % Mệnh đề 1.1.6. cho ( )u PSHÎ W% . Với 0e > , lấy K G= là tập compact trong W và với \ , ( ) ( ) 0z K u z u z eÎ W - = > -% . Do đó bởi giả thiết u u³ % trên G . ( ) ( )iii ivÞ . Giả sử ( )v PSHÎ W và G WÐ sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 G z u z v z x' ® - ³ đúng cho mọi Gx Î ¶ . Khi đó lim sup ( ) ( ) G z v z u x x ' ® £ . Đặt ax( ( ), ( )) , ( ) ( ) , \ m u z v z z G u z u z z G ìï Îï= í ï Î Wïî % Khi đó theo mệnh đề 1.1.6, ta có ( )u PSHÎ W% . Dễ thấy trên G¶ thì u u= %. Vậy u u³ % trên W và do đó u v³ trên G ( ) ( )iv vÞ . Giả sử G Ì W là tập mở, compact tương đối và v là hàm nửa liên tục trên trên G và v u£ trên G¶ . Do tính compact tương đối của trong G W, ta có thể coi u là liên tục trên G và v u£ trên G¶ . Thật vậy nếu trái lại ta xét họ u u e e c= * ( ) ( )C PSH e e ¥Î W Ç W với G e W É . Nếu ta chứng tỏ trên G , v u e £ thì v u£ 14 trên G vì trên G ta có 0 lim u u ee® = . Từ giả thiết v u£ trên G¶ nên lim sup ( ) ( ) G x y v x u y ' ® £ với y GÎ ¶ . Do đó hàm ax{ , } t ren t ren \ m u v G u u G ìïï= í ï Wïî % là đa điều hoà dưới trên W. Ta thấy lim inf( ) 0 G z u u x' ® - ³% với mọi Gx Î ¶ . Thật vậy nếu không có 0h < và dãy { } G, n n z z xÌ ® mà ( ) ( ) 0 n n u z u z h- £ <% với mọi n . Từ đó ( ) ( ) n n u z u z h£ +% Cho n ® ¥ ta có ( ) ax( ( ), ( )) ( ) ( )u m u v u ux x x h x h x£ + = + < và gặp mâu thuẫn. Vậy từ giả thiết u u³ % trên G và chứng minh ( ) ( )iv vÞ hoàn thành. ( ) ( )v iÞ . Giả sử G WÐ , ( )v PSH GÎ và lim inf( )( ) 0 G z u v z x' ® - ³ với mọi Gx Î ¶ . Lại có thể coi u liên tục trên W. Khi đó xét ( ), ( ) lim sup ( ), G t z v z z G v z v t z G ' ® ìï Îïï= í Î ¶ïïïî % Khi đó ( )v PSH GÎ% và nửa liên tục trên trên G . Mặt khác từ lim inf( ( ) ( )) 0 G z u z v z x' ® - ³ kéo theo ( ) ( )u vx x³ % tại mọi Gx Î ¶ . Từ đó suy ra u u³ % trên G và vậy thì u v³ trên G . W Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và ( )f L¥Î ¶W . Ta kí hiệu ( , )U fW là lớp các hàm đa điều hòa dưới ( )v PSHÎ W sao cho v f* ¶W £ , ở đó ( ) lim sup ( ) z v z v w w* W' ® = 15 với mọi z Î W. Với z Î W, ta xác định , ( ) ( ) sup{ ( ) : ( , )} f u z u z v z v U f W = = Î W Hàm , f U W gọi là bao Perron – Bremermann của f trong W. Định lý 1.2.3. Giả sử W là miền bị chặn và ( )f CÎ ¶W sao cho u u f* * = = trên ¶W, ở đó , f u u W = . Khi đó , f u u W = là hàm liên tục trong W. Chứng minh. Từ u f* = trên ¶W nên , ( , ) f u U f* W Î W . Vậy , ,f f u u* W W = và do đó , f u W là nửa liên tục trên trên W. Vậy chỉ cần chứng minh , f u u W = là nửa liên tục dưới trên W. Cố định 0 z Î W và 0e > . Do với mọi ,w Î ¶W . lim inf ( ) lim sup ( ) ( ) z z u z u z f w w w ® ® = = nên lim ( ) ( ) z u z f w w ® = . Từ đó do ¶W là compact suy ra có 0d > sao cho , , . ( ) ( )z z u z fw w d w e" Î W " Î ¶W £ Ü - < (1.1) Lấy z Î W% với 0 2 z z d - <% và đặt 0 ( )z zW= W- -% %. Xác định hàm 0 ax{ ( ), ( ) 2 }, ( ) ( ), \ m u z u z z z z v z u z z eìï + + - Î WÇWï= í ï Î W Wïî %% % Dùng (1.1) ta chứng tỏ v u= trên một lân cận của WǶW% trong W và do đó hàm ( )v PSHÎ W . Nếu \z Î W W% thì rõ ràng ( ) ( )v z u z= . Lấy y Î WǶW% và xét z Î WÇ ¶W% với 2 z y d - < . Khi đó 0 ( )z y z z d- + - <% và 0 y z z+ - Î ¶W% . Vậy theo (1.1) 0 ( ) ( )u z f y z z e- + - <% 16 hay 0 ( ) ( )u z f y z z e> + - -% . Mặt khác do 0 z z z+ - Î W% và 0 0 ( ) 2 z z z y z z z y d + - - + - = - <% % nên 0 0 ( ) ( )u z z z f y z z e+ - < + - +% % Từ đó 0 ( ) ( ) 2u z u z z z e> + - -% Như vậy cho y thay đổi trên WÇW% ta được một lân cận của WÇW% trong W sao cho 0 ( ) ( ) 2u z u z z z e> + - -% . Vậy v u= trên lân cận đó. Hơn nữa nếu z Î WÇW% và w Î ¶W sao cho 2 z d w- £ thì 0 z z z w d+ - - <% và lại từ (1.1), ta có 0 ( ) 2 ( ) ( )u z z z f u ze w e+ - - £ - £% Do đó ( ) ( )v z u z£ nếu ( , ) 2 d z d ¶W £ và như vậy v u£ trên W. Ta có: 0 ( ) ( ) ( ) 2 .u z v z u z e³ ³ -% % Như vậy u nửa liên tục dưới trên W và định lý được chứng minh. W Sau đây là một số tính chất của các hàm đa điều hòa dưới cực đại. Mệnh đề 1.2.4. Giả sử W là một miền trong n£ . Khi đó ( )i Giới hạn của dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W hoặc bằng - ¥ hoặc là hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W. ( )ii Nếu ( )u MPSHÎ W thì với mọi G WÐ tồn tại một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W hội tụ giảm tới u trên G . 17 Chứng minh. ( )i Giả sử { } ( ) j u MPSHÎ W và j u u¯ trên W. Giả sử u không đồng nhất - ¥ trên W. Lấy G WÐ là tập mở, compact tương đối trong W. Giả sử v là hàm nửa liên tục trên G và ( )v PSH GÎ , v u£ trên G¶ . Khi đó j v u£ trên G¶ và do đó j v u£ trên G . ( )ii Do G WÐ nên có thể chọn dãy hàm đa điều hòa dưới liên tục j v trên một lân cận của G giảm tới u . Đặt , j G j G f u u ¶ = . Khi đó theo định lý 1.2.3. { } j u là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục trên G và sử dụng định lý dán có thể chứng minh chúng đạt cực đại trên G . Từ ( )i suy ra j u u¯ . W 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hoà dưới trên miền nWÌ £ . Nếu 2( )u CÎ W thì toán tử: ( ) ( ) ( ) 2 1 , : ... 4 !det n c c c n j k j k nn u dd u dd u dd u n dV z z £ £ é ù ¶ê ú= Ù Ù = ê ú ¶ ¶ê úë û 1444444442 444444443 , với dV là yếu tố thể tích trong nC gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact 0 ( )C W trên W ( ) ( )0 n cC dd uj j W W ' òa . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy { } ( ) 1m m u C ¥ > Ì W ÇP HS sao cho m u u] và ( ){ } n c m dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là: 18 ( ) ( )0lim , n c mm dd u d Cj j m j W W = " Î Wò ò . Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy { }mu như trên, ta ký hiệu: ( )c ndd u m= và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère. Mệnh đề 1.3.1. Nếu ( ),p p Cy ¥Î là ( ),p p -dạng lớp C ¥ trên tập mở nWÌ £ và T là ( ),q q -dòng với 1p q n+ = - thì ( ) ( ) n c c c cdd T dd T d d T d Ty y y yÙ - Ù = Ù - Ù . Mệnh đề 1.3.2. Giả sử { }jm là dãy các độ đo Radon trên tập mở nWÌ ¡ hội tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó a) Nếu G Ì W là tập mở thì ( ) ( )lim inf jjG Gm m® ¥£ . b) Nếu K Ì W là tập compact thì ( ) ( )lim sup jjK Km m® ¥³ . c) Nếu E compact tương đối trong W sao cho ( ) 0Em ¶ = thì ( ) ( )lim jjE Em m® ¥= . Chứng minh. a) Ta có ( ) ( ){ }sup :G K K Gm m= Ð . Giả sử K GÐ là tập compact. Lấy ( )0C Gj Î , 0 1j£ £ và 1j = trên K . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )lim lim inf j jj jK Gm m j m j m® ¥ ® ¥£ = £ . Từ đó ( ) ( )lim inf jjG Gm m® ¥£ . 19 b) Ta có ( ) ( ){ }0: , ,V= VK inf V V K Vm m= É Ì W . Giả sử V là một lân cận mở của K và ( )0C Vj Î , 0 1j£ £ và 1j = trên K . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )lim lim supj jj jV Km m j m j m® ¥ ® ¥³ = ³ . Từ đó ( ) ( )lim sup jjK Km m® ¥³ . c) Viết E IntE E= È ¶ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )int lim inf int lim inf j jj jE E E Em m m m® ¥ ® ¥= £ £ . Mặt khác ( ) ( ) ( )lim sup lim supj jj jE E Em m m® ¥ ® ¥³ ³ . Từ đó ( ) ( )lim sup jjE Em m® ¥³ Þ ( ) ( )lim jjE Em m® ¥= . W Mệnh đề 1.3.3. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và ( ), ( ) locu v L ¥Î W Ç WP SH sao cho , 0u v £ trên W và ( )lim 0 z u z ® ¶W = . Giả sử T là ( )1, 1n n- - -dòng dương, đóng trên W. Khi đó c cvdd u T udd v T W W Ù £ Ùò ò . Đặc biệt, nếu ( )lim 0 z v z ® ¶W = thì c cvdd u T udd v T W W Ù = Ùò ò . 1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor. Định lý 1.4.1. (Nguyên lý so sánh) Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v L¥Î WÇ WPSH sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Khi đó 20 { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . (1.2) Chứng minh. Theo giả thiết có lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Tức là với mọi 0e > tồn tại K WÐ sao cho \z K" Î W thì ( ) ( )u z v z e- ³ - . Hơn nữa khi thay u bởi , > 0u d d+ , thì { } { }u v u vd+ < <Z khi 0d ] . Nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên u vd+ < thì cho 0d ] suy ra (1.2) đúng trên { }u v . Vậy { }u v< WÐ . )a Giả sử ,u v là các hàm liên tục. Khi đó { }u v¢W = < là tập mở, ,u v liên tục trên ¢W và u v= trên ¢¶W . Với 0e > , đặt { }max ,u u ve e= + . Từ giả thiết lim inf( ( ) ( )) z u z v z d ® ¶W - ³ suy ra ( ) ( )u z v z d e- > - hay ( ) ( ) ( )u z v z v ze d+ ³ + > với z gần biên ¶W. Vậy ( )u u z e e= + gần biên ¶W và u v e ] trên ¢W . Theo công thức Stokes ta có ( ) ( )c n c ndd u dd u e ¢ ¢W W =ò ò hay { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u e < < =ò ò . Vì u v e ] nên ( ) ( )c n c ndd u dd v e ® . Vậy 21 { } { } { } 0 ( ) lim inf ( ) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u ee® < < < £ =ò ò ò . )b Giả sử ,u v tùy ý và w là miền sao cho { }/ 2u v d w£ + WÐ Ð . Tồn tại hai dãy j u và k v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u và v sao cho j k u v³ trên w¶ với mọi ,i k . Có thể coi 1 , 0 j k u v- £ £ . Lấy 0e > và giả sử G Ì W là tập mở sao cho ( ),nC G eW < , ,u v là các hàm liên tục trên \ GW . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v j= trên \F G= W . Ta có { } { } ( ) lim ( ) j c n c n j u v u v dd v dd v ® ¥ < < =ò ò . Nhưng { } { }j ju v u Gj< Ì < È và vì { }ju j< là tập mở nên { } { } { } ( ) ( ) ( ) lim ( ) j j j c n c n c n c n kk Gu v u u v dd v dd v dd v dd v j e ® ¥ < < < £ + £ +ò ò ò ò , vì ( ),nC G eW < và ( ) c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v . Từ { } { }j ju u v Gj< Ì < È và { } { }j j ku v u v< Ì < suy ra { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) j j j k c n c n c n c n k k k k Gu u v u v dd v dd v dd v dd v j e < < < £ + £ +ò ò ò ò . Áp dụng )a vào các hàm liên tục j u và k v ta thu được { } { } ( ) ( ) j k j k c n c n k j u v u v dd v dd u < < =ò ò . 22 Do đó { } { } ( ) lim inf lim inf ( ) 2 j j c n c n jj k u v u v dd v dd u e ® ¥ ® ¥ < < £ +ò ò { } lim sup ( ) 2 j c n jj u v dd u e ® ¥ £ £ +ò . Hơn nữa { } { } ( ) ( ) j j c n c n j j u v u v F dd u dd u e £ £ Ç £ +ò ò và do { }u v F£ Ç là tập compact và { } { }ju v u v£ Ì £ nên ta có { } { } { } lim sup ( ) ( ) ( ) j c n c n c n jj u v F u vu v F dd u dd u dd u ® ¥ £ Ç ££ Ç £ £ò ò ò . Do 0e > tùy ý nên ta được { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < £ £ò ò . Từ đó với mọi 0h > ta có { } { } { } ( ) ( ( )) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u h h h h + < + £ + £ £ + =ò ò ò . Nhưng { } { }u v u vh+ < <Z và { } { }u v u vh+ £ <Z khi 0h ] . Do đó { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . W Hệ quả 1.4.2. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v L¥Î WÇ WPSH sao cho u v£ và lim ( ) lim ( ) 0 z z u z v z ® ¶W ® ¶W = = . Khi đó 23 ( ) ( ) ( ) ( )c n c ndd v dd u W W £ò ò . Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại suy ra 0u < trên W (nếu ngược lại thì 0u v= = và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu 1l > thì u ul < trên W. Vậy u vl < trên W. Từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c n c n n c ndd v dd u dd ul l W W W £ =ò ò ò . Cho 1l ] ta được điều cần chứng minh. W Hệ quả 1.4.3. (Nguyên lý so sánh). Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v L¥Î WÇ WPSH sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Giả sử ( ) ( )c n c ndd u dd v£ trên W. Khi đó u v£ trên W. Chứng minh. Đặt 2 ( )z z My = - , với M được chọn đủ lớn sao cho 0y < trên W. Giả sử { }u v sao cho { }u v ey< + khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.5.1 ta có { } { } ( ) ( ( ))c n c n u v u v dd u dd v ey ey ey < + < + ³ +ò ò { } { } ( ) ( )c n n c n u v u v dd v dd ey ey e y < + < + ³ +ò ò { } { }( )( ) 4 !c n n n n u v dd v n u v ey e l ey < + ³ + < +ò { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u ey ey< + < + > ³ò ò và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u v£ trên W. W 24 Hệ quả 1.4.4. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v L¥Î WÇ WPSH sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - = và ( ) ( )c n c ndd u dd v= . Khi đó u v= . Hệ quả 1.4.5. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v L¥Î WÇ WPSH sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ và { } ( ) 0c n u v dd u < =ò . Khi đó u v³ trên W. Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.4.3. Giả sử { }u v< ¹ Æ. Khi đó có 0e > sao cho { }u v ey< + ¹ Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú ý rằng do 0y < nên { } { }u v u vey< + Ì < . Khi đó như chứng minh của Hệ quả 1.4.3 ta có { } { } 0 ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u ey< < + = ³ò ò { } { }( )( ) 4 ! 0c n n n n u v dd v n u v ey e l ey < + ³ + ò và ta gặp mâu thuẫn. W 25 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG 2.1. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong £ n Cho nWÌ là một miền siêu lồi bị chặn, tức là tập con mở liên thông, bị chặn trong n sao cho tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm r sao cho { ; ( ) } , 0.z z c crÎ W Ð r gọi là hàm vét cạn. Sau đây chúng ta nhắc lại một vài lớp năng lượng Cegrell trong n£ (xem [8], [9]). Định nghĩa 2.1.1. 0 ( ) ( ) ( ) : lim ( ) 0, ( )c n z u PSH L u z dd u x ¥ ® Î ¶W W ì üï ïï ïW = Î W Ç W = < + ¥í ý ï ïï ïî þ òE . { 0( ) ( ) : { } ( ),j ju PSH u u uW = Î W $ Ì WF E ] sup ( ) c n j j dd u W üïï< + ¥ ý ïïþ ò . {( ) ( ) : ( )a c nu dd uW = Î WF F triệt tiêu trên các tập đa cực của }W . { 0( ) ( ) :u PSH zW = Î W " Î WE tồn tại lân cận 0 0 , z z V z VÎ Ì W, 0j u Î E , j u u] trên W sao cho sup ( ) c n j j dd u W üïï< + ¥ ý ïïþ ò . U.Cegrell [9] đã chỉ ra rằng toán tử ( )c ndd × được xác định trên ( )WE , liên tục dưới các giới hạn giảm và lớp ( )WE là ổn định dưới phép toán max có nghĩa là nếu ( )u Î WE và ( )v PSH -Î W thì max( , ) ( ). ( )u v Î W WE E là lớp lớn nhất có các tính chất đó (Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 4.5 [9]). 26 Giả sử j W WÐ là một dãy tăng của các miền giả lồi chặt sao cho . j j W= È W Giả sử ( )u Î WE là một hàm đa điều hòa dưới và đặt sup{ ( ); j u PSH uj j W = Î W £ trên \ } j W W . Khi đó ta có ( ) j u W Î WE và j u W là một dãy tăng. Giả sử : (lim ) j j u u * W = . Khi đó do các tính chất của ( )WE suy ra ( )u Î WE . Chú ý rằng định nghĩa của u là độc lập với việc chọn dãy j W và nó là hàm cực đại, nghĩa là ( ) 0 c ndd u = . u là hàm đa điều hòa dưới cực đại nhỏ nhất trên u . Đặt ( ) : { ( ); 0}.u uW = Î W =N E Trong thực tế, lớp này là tương tự của các thế vị đối với các hàm điều hòa dưới. Định nghĩa 2.1.2. Giả sử :c - -®R R là một hàm không giảm. Ta ký hiệu ( ) c WE là tập hợp tất cả các hàm ( )u PSHÎ W sao cho tồn tại một dãy 0 ( ) j u Î WE giảm đến u trong W và thỏa mãn sup ( )( ) .c j j j u dd uc WÎ - < ¥ò Như vậy 0 ( ) ( ) : ( ), & sup ( )( ) .c j j j j j u PSH u u u u dd u c c WÎ ì üï ïï ïW = Î W $ Î W - < ¥í ý ï ïï ïî þ òE E Nói riêng, với hàm ( )u c Î WE túy ý, các toán tử Monge-Ampère phức ( ) c ndd u được xác định tốt. Hơn nữa, nếu ( ) 0tc - thì ( ) { ( ); ( )( ) }.c nu u dd u c c W W = Î W - < + ¥òE N Định nghĩa 2.1.3. Cho K Ì W là một tập con Borel, dung lượng Monge-Ampère của K đối với W được định nghĩa là 27 { }( ) : sup ( ) ; ( ), 1 0 .c n K Cap K dd u u PSH u W = Î W - £ £ò Dung lượng Monge-Ampère đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi E.Bedford và A.Taylor trong [2]. Định nghĩa 2.1.4. Giả sử :c - -® là một hàm không giảm. Khi đó ˆ ( ) c WE được định nghĩa là { }( ){ } 0 ˆ ( ) ( ) / ( ) .nPSH t t Cap t dt c j c j + ¥ - W ¢W = Î W - < - < + ¥òE Bổ đề 2.1.5. Cho 0 ( )j Î WE . Khi đó với mọi 0s > và 0t > ta có: ( ) ( ) ( ) ( )n c n n s t Cap s t dd s Cap s j j j j W W < - < - - £ £ < -ò Nói riêng, 0 0 ( ) lim ( ) sup ( )c n n n s s dd s Cap s s Cap sj j j W W W > = £ - = < -ò ] . Các lớp ( ) c WE và ˆ ( ) c WE có mối quan hệ mật thiết với nhau: Mệnh đề 2.1.6. Các lớp ˆ ( ) c WE là lồi và ổn định theo nghĩa nếu ˆ ( ) c j Î WE và ( )y -Î WPSH thì ˆax( , ) ( )m c j y Î WE . Hơn nữa luôn có ˆ ( ) ( ) c c W Ì WE E , trong khi ˆ ˆ( ) ( ) c c W Ì WE E , ở đó ˆ ( ) (2 )t tc c= . Chứng minh. Tính lồi của ˆ ( ) c WE được suy ra từ khẳng định sau: nếu ˆ, ( ) c j y Î WE và 0 1a£ £ thì { (1 ) } { } { }a a t t tj y j y+ - < - Ì < - È < - . Tính ổn định là hiển nhiên. 28 Giả sử ˆ ( ) c j Î WE . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0j £ và (0) 0c = . Đặt ax( , ) j m jj j= - . Theo Bổ đề 2.1.5 ta có 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )c n c n j j j j dd t dd t dtc j j c j j + ¥ W ¢- = - < -ò òo 0 ( ) ( )t Cap t dtc j + ¥ W ¢£ - < - < + ¥ò . Suy ra ( ) c j Î WE Þ ˆ ( ) ( ) c c W Ì WE E . Bao hàm thức còn lại được chứng minh tương tự, sử dụng bất đẳng thức thứ hai trong Bổ đề 2.1.5. Chú ý rằng ˆ ˆ( ) ( ) c c W Ì WE E , khi ˆ ( ) (2 )t tc c= , suy ra bằng cách áp dụng các bất đẳng thức của Bổ đề 2.1.5 với t s= . W Khi ( ) ( )pt tc = - - ta có ˆ ( ) ( ) c c W = WE E . Như vậy ta nhận được đặc trưng của các lớp U. Cegrell ( )p WE theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của các tập mức dưới. 2.2. Sự tồn tại nghiệm trong lớp ( ) c WE Định lý 2.2.1. Giả sử :c - -® là một hàm lồi tăng. )( .c - ¥ = - ¥ Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (1) tồn tại duy nhất một hàm ( ) c j Î WE sao cho ( ) c nddm j= ; (2) tồn tại một hằng số 1 0C > sao cho 1 ( ) ,u d Cc m W - £ò với mọi 0( )u Î WE (2.1) (3) tồn tại một hằng số 2 0C > sao cho ( ) 1 2 0 ( ) max 1, ( ) , ( ) nc nu d C u dd u uc m c W W æ ö ÷ç ÷ç- £ - " Î W÷ç ÷ç ÷çè ø ò ò E (2.2) 29 (4) tồn tại một hàm bị chặn địa phương :F + +® sao cho lim sup ( ) / 1 t F t t ® +¥ < và 0 ( ) ( ( )), ( ),u d F E u u c c m W - £ " Î Wò E (2.3) trong đó { }0 0( ) (: ;) ( )( ) 1c nu u dd uc W W = Î W - £òEE và ( ) : ( )( )c nE u u dd u c c W = -ò ký hiệu là c -năng lượng của u . Các chứng minh (1) (3) (4)Û Û có thể tìm thấy trong [4]. Các chứng minh (1) (2)Û đã được chứng minh trong [6]. Chứng minh. Ta bắt đầu bằng chứng minh (1) (2)Þ . Giả sử u , ( ) c j Î WE . Chú ý rằng với 0s > tùy ý ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 s s u s u j j< - Ì < - È < - . Từ đó ta có 0 ( ) ( )( ) ( ) ( )c n c n u s u dd s dd dsc j c j ¥ W < - ¢- = - -ò ò ò 2 2 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s c n c n u s dd ds s dd ds j j c j c j ¥ ¥ < - < - ¢ ¢£ - + -ò ò ò ò 0 ( ) 0 ( ) 2 ( 2 ) ( ) 2 ( 2 ) ( ) .c n c n u s s s dd ds s dd ds j j c j c j ¥ ¥ < - < - ¢ ¢£ - + -ò ò ò ò (2.4) Tính lồi của c kéo theo ( 2 ) ( ), 0s M s sc c¢ ¢- £ - " > . (2.5) Theo nguyên lý so sánh điều đó kéo theo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .c n c n c n u s u s u s dd dd u dd u j j j < - < - < - £ £ò ò ò (2.6) với mọi 0s > . Từ (2.4), (2.5) và (2.6) suy ra tồn tại một hằng số C độc lập với u sao cho 30 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ,c n c n c nu dd C u dd u ddc j c c j j W W W - £ - + - < + ¥ò ò ò 0 ( ).u" Î WE Đặt ( )1 1 ( )( )c nC C ddc j j W = + -ò ta nhận được ước lượng (2.1), Bây giờ, Ta chứng minh (3)Þ (4). Giả sử 0 ( ),y Î WE theo trên ta có ( ) : ( ) ) .( c nE dd c y c y y W = -ò Nếu 0 ( ),y Î WE nghĩa là 1( )E c y £ , thì 1 ( )d Cc y m W - £ò . Nếu 1( )E c y > . Hàm y được xác định bởi 01/ : ( ) ( ) nE c y y y = Î WE . Thật vậy, từ tính đơn điệu của c , ta có 1 1 1 ( )( ) ( )( ) 1 ( )( ) ( ) c n c n n n dd dd EE E cc c y y c c y y yy yW W - £ - =ò ò . Từ (2.1) và tính lồi của c suy ra ( ) 1 1 11 ( ) ( ) . ( ) ( ) n n n d E d C E E c c c y c y m y c m y yW W - £ - £ Îò ò . Từ đó ta nhận được (2.2) với ( )2 1max 1, .C C= Đối với chứng minh (3) (4),Þ ta xét 1 2 ax( ) m 1, ).( n F t C t= 31 (4) (1).Þ Điều đó suy ra từ [6] rằng lớp ( ) c WE đặc trưng các tập đa cực. Khi đó, khẳng định (2.3) kéo theo m triệt tiêu trên các tập đa cực. Từ [9] điều này suy ra tồn tại 0 ( )u Î WE và 1 ( )c n loc f L dd uÎ sao cho ( ) . c nf dd um = Xét = min( )(, )c j nf j dd um . Đó là một độ đo hữu hạn bị chặn trên bởi độ đo Monge-Ampère phức của một hàm bị chặn. Do đó, từ [11] suy ra tồn tại 0 ( ) j j Î WE sao cho: min( , )) )( ( cc n n j f jd ddd uj = . Theo nguyên lý so sánh j j là một dãy giảm. Đặt lim j j j j ® ¥ = . Từ (2.3) suy ra ( )( ) ( )( ) n n c c j j j j dd F ddc j j c j j W W æ ö ÷ç- £ - ÷ç ÷çè øò ò . Do đó: sup ( )( ) n c j j j ddc j j W - < ¥ò . Suy ra 0 sup ( ) ({ })n j j t t Cap t dtc j + ¥ W ¢- < - < + ¥ò , Điều này kéo theo 0 ( ) ({ })nt t Cap t dtc j + ¥ W ¢- < - < + ¥ò . Khi đó j º/ - ¥ và do đó ( ) c j Î WE . Bây giờ do tính liên tục của toán tử Monge-Ampère phức cùng các dãy giảm, ta kết luận rằng ( )ncdd j m= . Tính duy nhất của j suy ra từ nguyên lý so sánh. 32 2.3. Sự tồn tại nghiệm trong lớp ( )f c E Giả sử :c - -® là một hàm không giảm và ( ) f Î WM là một hàm đa điều hòa dưới cực đại. Định nghĩa 2.3.1. ( )f c E (tương ứng ( )fN , ( )fF , ( ) a fN , ( )a fF ) là lớp các hàm đa điều hòa dưới u sao cho tồn tại một hàm ( ) c j Î WE (tương ứng ( )WN , ( )WF , ( )a WN , ( )a WF ) thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ), .z f z u z f z zj + £ £ " Î W Định lý 2.3.2. ([10]) Giả sử f là hàm cực đại bị chặn, ( )au fÎ N và ( )v Î WE sao cho v f e£ - . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) .c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò Hệ quả 2.3.3. Giả sử ( )au fÎ N và ( )v Î WE sao cho v f£ và ( ) ( )c n c ndd u dd v£ . Khi đó .u v³ Đặc biệt, nếu ( ) ( )c n c ndd u dd v= với , ( )au v fÎ N thì u v= . Bổ đề sau đây cho một ước lượng độ lớn của tập mức dưới theo nghĩa của khối lượng Monge-Ampère, sẽ sử dụng về sau. Bổ đề 2.3.4. Giả sử :c - -® là một hàm không giảm sao cho 0c º/ và ( )f c j Î E . Khi đó với mọi 0s > và 0t > , ta có ( ) ( ) ( ) n n c s f t Cap s t f dd j j j W < - + < - - + £ ò . (2.7) Chứng minh. Cố định , 0s t > . Lấy { }K f s tjÌ < - - là tập compact con. Khi đó * * { } ( ) ( ) ( )c n c n K K f s t Cap K dd u dd u j W W < - - = =ò ò 33 * { } { } 1 ( ) ( ) , K n c c K nf s tu v dd u dd v tj j *< - - < = £ò ò ở đó * K u là hàm cực trị tương đối của compact K và * K f s uv t- += . Khi đó từ Định lý 2.3.2 suy ra { } { ax( , )} 1 1 ( ) ( max( , ))c n c n n nv m v dd v dd v t tj j j j < < =ò ò { max( , )} { } 1 1 ( ) ( ) K c n c n n nv f s tu dd dd t tj j j j j < < - + £ =ò ò { } 1 ( ) .c n n f s dd t j j < - £ ò Lấy supremum theo K ta được bất đẳng thức cần chứng minh □ Mệnh đề 2.3.5. Giả sử :c - -®