Luận văn Tán xạ hai hạt trong điện động lực học lượng tử trong gần đúng một vòng

2 2 2 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) 2 | | (1 cos ) 4 | | sin 2 ( ) ( ) 2 | | (1 cos ) 4 | | cos 2 s p p E t p p p p p p u p p p p p p                             (2.16) Tiết diện tán xạ được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam: 4 4 2 2 2 2 2 | | | | 16 4 e e fi fi cm m md M M d E s              . (2.17) Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.17) cuối cùng ta thu được tiết diện tán xạ cho hai hạt trong hệ khối tâm là:   4 0 int2 4128 dir ex cm ed P P P d E P              (2.18) Luận văn thạc sĩ 25     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 int 2 4 sin 4 2 16 sin 1 2 2 sin 1 2 4 sin 1 2 4 2 16 sin 2 2 sin 2 2 4 e e dir e e e ex m p E m m p P p m E m m p P E P                                                                                    2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 sin sin 1 2 2 e em E m                    dirP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u intP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với cả hai kênh t và kênh u Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11]. 2.1.2. Trong hệ phòng thí nghiệm Hệ Phòng thí nghiệm là hệ quy chiếu trong đó một hạt ban đầu chuyển động còn hạt còn lại đứng yên. Do đó ta có xung lượng của các electron như sau: 1 1 2 ' ' 1 1 ' ' 2 2 2 ( , ) ( ,0) ' ( , ) ' ( , ) e p E p p m p E p p E p     (2.19) Do đó các biến Mandelstam có dạng: 2 2 1 2 1 2 ' 2 2 ' 2 ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 ' 2 2 ' ' 1 2 2 1 1 ( ) 2 2 2 ( ), ( ) 2 2 2 2 2 os , ( ) 2 2 2 ( ), e e e e e e e e s p p m p p m E m t p p m p p m E E p p c u p p m p p m E m                      (2.20) với : Luận văn thạc sĩ 26 2 ' ' 1 1 2 ' 1 ' 1' 1 2 ' 1 ( ) os , ( ) os 2 os , ( ) os e e e e e e e E m E m c E m E m E m c p c p E m E m c                (2.21) Vậy ta thu được kết quả cuối cùng cho các biến Mandelstam:           2 2 2 ' 1 2 ' 1 2 2 ' 1 2 ' 1 2 2 sin cos 4 cos cos e e e e e e e e e e s m E m m E m t E m E m m E m u E m E m                  (2.22) Tiết diện tán xạ được tính theo công thức: 4 ' 2 1 2 2 ' 1 os ( ) os e fi e elab m cd M d E m E m c                . (2.23) Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.23) Ta thu được công thức cuối cùng cho tiết diện tán xạ hai hạt trong hệ phòng thí nghiệm ir ex intd lab d P P P d         (2.24) ở đây       2 2 2 2 ' 4 2 ' 2 14 2 ' 2 2 1 1 2 ' 2 ' 1 1 dir 4 3 ' 2 1 2 (E - ) cos θ -1 16 cos θ + (E - ) ( - E)cos θ + (E+ ) 2 -2 (E+ ) + 2 + + ( - E)cos θ + (E+ ) ( -E)cos θ + (E+ ) P = 8 cos θ + (E - ) e e e e e e e e e e e e e e e e e m m m m m m m m m m m m m m m m m                     2 3 2 2 2 '2 2 ' 2 14 ' 2 ' 2 21 1 1 2 ' 2 ' 1 1 ex 2 2 2 2 2 2 ' 1 8 (E - m ) cos θ -14 cos θ + (E - ) cosθ ( -E)cos θ + (E + ) 2 + + 2 -2 (E + ) - ( - E)cos θ + (E + ) ( -E)cos θ + (E + ) P = 2 (E - ) cos θ -1 ee e e e e e e e e e e e e e e mm m m m m m m m m m m m m m m                    2 4 2 2 2 ' 1 int 3 ' 2 2 2 ' 1 1 2 - 2 (E + ) 6 - 2 (E + ) ( - E)cos θ + (E+ ) P = 2 cosθ E - E - cos θ -1 e e e e e e e e e e e e m m m m m m m m m m m m (2.25) Luận văn thạc sĩ 27 dirP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u intP là tiết diện tán xạ của quá trinh tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11]. 2.2 Tán xạ electron-positon e e e e       Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-positron trong gần đúng bậc thấp nhất. Electron và positron với xung lượng lần lượt là 1p , ' 2p đến và tương tác với nhau, sau đó một electron và positron bay ra với xung lượng lần lượt là ' 1p , 2p . e e e p 1 p ' 2 p ' 1 p 2 e e e e p 1 p ' 1 e p ' 2 p 2 Hình 2.2 a Hình 2.2 b Hình 2.2 Tán xạ electron-positron Sử dụng quy tắc Feynman ta có biên độ tán xạ cho quá trình này: Yếu tố ma trận tương ứng là:                       2 '24 4 1 1 2 22 1 1 2 ' 1 12 22 1 2 1 1 2 . ' ( ) ( ) 4 ' 1 ( ) ' ( ) fi eM m d p i i i i u p u p u p u p p p u p u p u p u p p p                                  (2.26) Ta đưa vào toán tử hình chiếu (Phụ lục B):    ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 ( ) 2 ( ) n np H p p H p p p             22 2 2( ) ; ( ) ( )np m p H p p    (2.27) Luận văn thạc sĩ 28 Ta có thể tính được:     4 ( ) ( ) 2 2 i e i e i i r i i e e p m p m p p m m u p u p                         (2.28) Từ đó ta tính được các thành phần sau:                      ' 2 1 1 1' ' ' 1 1 1 1 , ' '2 ' 1 1' 2 2 1 1 2 2 2 ' 1' 1 1 22 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 e e e e e e e ee e e e e e e p m p m p m u p Tr m m m p m p mp m p m u p u p u p u p Tr Tr m m m m p m u p u p Tr m u p u p u p u p u p                                                                    ' ' 12 2 2 2 2 e e e e e e e p m p m p m m m m                 (2.29) Vậy công thức (2.26) trở thành:           ' ' 2 2 1 14 4 2 2 0 2 1 1 ' ' 1 1 '2 2 1 222 1 1 1 2 1 1 2 . 4 2 2 2 2' 1 2 2 2 2' e ee e fi e e e e e ee e e e e e p m p mp m p m M e d p Tr Tr m m m m p m p mp m p m Tr p p m m m m p p p p p p                                                         (2.30) Sử dụng các biến Mendelstam: ' 2 1 2 ' 2 1 1 2 12 ( ) ( ) ( ) s p p t p p u p p       (2.31) Và ta đặt: Luận văn thạc sĩ 29 '' ir 1 1 2 2 '' ex 1 12 2 '' int 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 8 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 8 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 8 d e e e e e e e e e e e e A Tr p m p m Tr p m p m A Tr p m p m Tr p m p m A Tr p m p m p m p m                                                             (2.32) ở đây irdA là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh t khi hạt hạt ra có xung lượng lần lượt là ' 1p ' 2p trong hình vẽ (2.2a) exA là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh u khi hai hat có xung lượng lần lượt là ' 2p ' 1p trong hình vẽ ( 2.2b) intA là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u Ta thu được biểu thức: 2 4 2 ir ex int0 4 2 2 1 1 1 1 2 | | (4 ) 4 2 dfi e M e A A A m t s st          (2.33) Ta đưa vào tensơ lepton ([11] tr. 124) :   2 02 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 2 4 1 1 2 f i i f f e i e e e f i e f i i f f i e e L u p u p u p u p p m p m Tr m m Tr p p m m Tr p p p p g p p m m                                           (2.34) Ta tính được : Luận văn thạc sĩ 30 '' ' ' 2 2 ir 1 1 1 1 1 1 2 12 2 2 2 ' 2 2 2 ' 4 1 1 1 12 2 '2 ' ' ' ' 2 ex 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 4 + -g (p p -m ) 4 -g (p p -m ) 8 =4 (p ) ( ) 2 2 1 4 -g (-p -m ) 4 + -g (-p p -m ) 8 =4 d e e e e e e A p p p p p p p p p p p m p p m A p p p p p p p p p                                                 ' 2 ' 2 2 4 1 1 1 12 2 ' ' ' '' 2 2 ' ' ' int 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 (p ) ( ) 2 2 1 32 . 32 16 . . . . . . 8 e e e e p p p m p p m A p p p p m m p p p p p p p p p p p p                     (2.35) Ký hiệu trên đã được sử dụng trong tài liệu [11], ở đây chúng ta đã sử dụng: ' '' ' ' ' 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2p ; ;p p p p p p p p p p p   . (2.36) Những tích vô hướng trên có thể được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam: '' 2 1 12 2 '' 2 1 1 2 2 ' ' 2 1 12 2 1 p ( 2 ), 2 1 ( 2 ), 2 1 ( 2 ), 2 e e e p p p u m p p p p t m p p p p s m           (2.37) Bởi vậy: 2 2 2 2 2 ir 2 2 2 2 2 ex 2 2 int ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 2 )( 6 ) d e e e e e e e e A s m u m m t A u m t m m s A u m u m               (2.38) 2.2.1. Trong hệ khối tâm Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không. Do đo ta có xung lượng của electron và positron là: 1 ' 2 1 2 ( , ), ( , ), ' ( , '), ( , '), p E p p E p p E p p E p         (2.39) Luận văn thạc sĩ 31 Do đó, các bất biến mandelstam có các giá trị: ' 2 ' 2 2 2 2 1 2 ' 2 ' 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 | | (1 cos ) 4 | | cos 2 ( ) ( ) 2 | | (1 cos ) 4 | | sin 2 ( ) 4 s p p p p p p t p p p p p p u p p E                             (2.40) Tiết diện tán xạ được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam: 4 4 2 2 2 2 2 | | | | 16 4 e e fi fi cm m md M M d E u              . (2.41) Từ (2.33), (2.38) và (2,41) ta thu được tiết diện tán xạ cho hai hạt trong hệ khối tâm: 4 int 2 4128 dir ex cm d e P P P d E P               (2.42) ở đây:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 int 2 4 sin 4 2 16 sin 1 2 2 sin 1 2 4 sin 1 2 4 2 16 sin 2 2 sin 2 2 4 e e e dir e e e ex m p E m m p P p m E m m p P P                                                                                    2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 sin sin 1 2 2 e eE m E m                    dirP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u intP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u Luận văn thạc sĩ 32 2.2.2. Trong hệ phòng thí nghiệm Hệ Phòng thí nghiệm là hệ quy chiếu trong đó một hạt ban đầu chuyển động còn hạt còn lại đứng yên. Do đó ta có xung lượng của electron và positron lần lượt như sau: 1 1 ' 2 ' ' 1 1 ' 22 2 ( , ) ( ,0) ' ( , ) ( , ) e p E p p m p E p p E p        (2.43) Do đó các biến Mandelstam có dạng: ' '2 2 1 12 2 ' 2 2 ' 2 ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 ' '' 2 2 ' ' 1 1 12 2 ( ) 2 2 2 ( ), ( ) 2 2 2 2 2 os , ( ) 2 2 2 ( ), e e e e e e e e s p p m p p m E m t p p m p p m E E p p c u p p m p p m E m                      (2.44) với : 2 ' ' 1 1 2 ' 1 ' 1' 1 2 ' 1 ( ) os , ( ) os 2 os , ( ) os e e e e e e e E m E m c E m E m E m c p c p E m E m c                (2.45) Vậy ta thu được kết quả cuối cùng cho các biến Mandelstam           2 2 ' 1 2 ' 1 2 2 2 ' 1 2 ' 1 4 cos cos 2 sin cos 2 e e e e e e e e e e m E m s E m E m m E m t E m E m u m E m                  (2.46) Tiết diện tán xạ được tính theo công thức: 4 ' 2 1 2 2 ' 1 os ( ) os e fi e elab m cd M d E m E m c                . (2.47) Từ (2.33), (2.38) và (2.47) ta thu được tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm: ir ex intd lab d P P P d         (2.48) Luận văn thạc sĩ 33 ở đây       2 2 2 2 ' 4 2 ' 2 14 2 ' 2 2 1 1 2 ' 2 ' 1 1 4 3 ' 2 1 2 ( ) cos 1 16 cos ( ) ( )cos ( ) 2 2 ( ) 2 ( )cos ( ) ( )cos ( ) 8 cos ( ) e e e e e e e e e e e e e dir e e m E m m E m e m E E m m m E m m m E E m m E E m P m E m                                           2 3 2 2 2 '2 2 ' 2 14 ' 2 ' 2 21 1 1 2 ' 2 ' 1 1 2 2 2 2 2 2 ' 1 8 ( ) cos 14 cos ( ) cos ( )cos ( ) 2 2 2 ( ) ( )cos ( ) ( )cos ( ) 2 ( ) cos 1 e ee e e e e e e e e e e e ex e e m E mm E m e m E E m m m m E m m E E m m E E m P m E m                                          2 4 2 2 2 ' 0 1 int 3 ' 2 2 2 ' 1 1 2 2 ( ) 6 2 ( ) ( )cos ( ) 2 cos cos 1 e e e e e e e e e e e e m m E m m m E m m E E m P m E m E m               dirP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u intP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11]. Luận văn thạc sĩ 34 CHƢƠNG 3: BỔ CHÍNH MỘT VÒNG CHO TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON Trong chương này chúng tôi nghiên cứu các giản đồ Feynman theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến bậc 4 – kể thêm các bổ chính bậc cao cho quá trình tán xạ electron-electron. Trong mục $3.1 giới thiệu các giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ electron- electron ở gần đúng bậc 4 theo hằng số tương tác điện từ. So với các giản đồ Feynman xét ở chương trước, số lượng giản đồ tăng lên do việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa các hạt, giản đồ phân cực của chân không (chân không vật lý của trường electron-positron) gắn với photon ảo trao đổi giữa các hạt (giản đồ c), các giản đồ còn lại liên quan đến tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ. Trong bản luận văn này chúng tôi chỉ xét các giản đồ (b) và giản đồ (c) và bỏ các giản đồ Feynman còn lại. Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tương tác giữa hai electron, các giản đồ gắn với các đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng của electron, chứ không cho đóng góp vào tương tác hai electron. Mục $3.2 dành cho việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết quả thu được tiết diện tán xạ vi phân (3.26). Nghiên cứu thế năng tương tác tương ứng giữa hai electron khi tính bổ chính một vòng được giới thiệu ở mục $3.3. 3.1 Giản đồ Feynman Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích cho phép chúng ta tính toán các đại lượng với độ chính xác tùy ý. Việc tính đến các đóng góp của các giản đồ bậc cao cho các quá trình vật lý sẽ cho các lượng bổ chính cho các đại lượng quan sát như tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt cơ bản. Các giản đồ Feynman cho tán xạ hai hạt  2 2 được cho bởi tập hợp các giản đồ sau: Luận văn thạc sĩ 35 Hình 3.1 Giản đồ Feynman Giản đồ (a) là giản đồ bậc không ứng với không có sự tương tác nào giữa hai hạt. Giản đồ (b) là giản đồ bậc hai, và giản đồ này là giản đồ có đóng góp chính vào biểu thức tiết diện tán xạ.Giản đồ (c), (d), (e), (f) là giản đồ bậc bốn trong đó có chứa các vòng.Và cứ như thế ta có các giản đồ bậc sáu, bậc tám... Trong số giản đồ đó thì giản đồ bậc hai là giản đồ có đóng góp chính vào biểu thức tiết diện tán xạ, ngoài ra trong chương này ta tính đến đóng góp của giản đồ một vòng giản đồ (c), giản đồ này được gọi là giản đồ có kể đến đóng góp của phân cực chân không bậc hai. Những giản đồ bậc cao có kể đến sự tương tác của hạt với chân không vật lý của trường điện từ và chân không vật lý của trường electron-positron. Trong luận văn này ta bỏ qua các giản đồ Feynman do tương tác của electron-positron với chân không vật lý của trường điện từ. Các giản đồ này sẽ dẫn đến việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của electron-positron và hàm sóng của chúng. Chúng tôi quan tâm tới các giản đồ Feynman liên quan đến tương tác giữa hai electron, khi giản đồ năng lượng riêng của photon-giản đồ (c). + + + + + = + + ..... (a) (b) (c) (d) (e) (f) Luận văn thạc sĩ 36 3.2 Tiết diện tán xạ electron-electron khi tính đến bổ chính một vòng ở đƣờng trong. Trong phần này ta đi tính đóng góp của bổ chính một vòng ở đường trong đến tiết diện tán xạ electron-electron. Quá trình tán xạ được biểu diễn bởi giản đồ Feynman sau: e- e - e - e - q q q + k k Hình 3.2: Bổ chính một vòng trong tán xạ electron-electron Gọi M là tiết diện tán xạ hai hạt chưa có bổ chính, 'M là tiết diện tán xạ khi có bổ chính một vòng và M là đóng góp của phần bổ chính vì vậy ta dễ dàng có được công thức sau khi ta kể đến bổ chính một vòng ở đường trong ([11] tr. 281):            ' 2 *'2 * ** * M M M M M M M M M M MM M M M M M M                (3.1) Do   * 0M M M M      *'2 * 2M MM M M        * *M M M M   Tính M Dựa vào giản đồ Feynman có bổ chính ta có: Luận văn thạc sĩ 37           2 1 1 2 22 2 2 * 2 2 1 12 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R e g M u k u p Aq q Bg C v p v k q i e g M v k v p Aq q Bg C u p u k q i                                              (3.2) Với các hệ số A, B, C là đóng góp của giản đồ phân cực chân không được tính trong phần phụ lục C.2. Dựa vào giản đồ Feynman không có bổ chính ta có:        1 1 2 22 4 * 1 1 2 26 2 2 1 1 4 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 2 R R e e e ig M u k u p v p v k q i e g M M u k u p v p v k q v k v p u p u k Aq q Bg C e p k p k p k p k m k k m p p m q Aq                                                          2 4 2B C  (3.3) Đặt: T=      2 2 21 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) 2e e ep k p k p k p k m k k m p p m     Vây ta được   4 * 2 6 8 ( ) 4 2R e M M Aq B C T q     Tính T: Ta áp dụng         2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 cos cos 2 ( ) ( ) 2 4 4 ; 1 2 e e p k p k E pk p k p k E pk s m k k p p ms s E p k s                (3.4) Luận văn thạc sĩ 38 Ta tính được:    2 24 2 2 4 2 2 2 24 2 2 4 2 cos 2 2 4 1 1 cos ( 2) 2 16 e R e e e e T E pk m s m m ms m s m s                           Tiết diện tán xạ khi tính đến bổ chính một vòng ở đường trong:     * 2 _ 4 2 2 6 1 ( ) 64 81 4 2 64 cm one loop R kd M M d s p e Aq B C T s q                      (3.5) Trong hệ khối tâm: _ _cm cm tree cm one loop d d d d d d                          Ta thu được kết quả cuối cùng cho tiết diện tán xạ vi phân khi tính đến bổ chính một vòng trong hệ khối tâm:     4 4 20 int2 4 2 2 6 81 + 4 2 128 256 R dir ex cm e ed P P P Aq B C T d E P E q                   (3.6) ở đây Luận văn thạc sĩ 39     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 int 2 4 sin 4 2 16 sin 1 2 2 sin 1 2 4 sin 1 2 4 2 16 sin 2 2 sin 2 2 4 e e e dir e e e ex m p E m m p P p m E m m p P P                                                                                    2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 sin sin 1 2 2 e eE m E m                    Với các hệ số trong phần bổ chính được tính trong phụ lục C.2:       2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 1 5 1 1 8 ln 6 18 66 3 1 1 1 4 2 ln 2 22 3 5 17 1 5 4 ln 12 18 124 3 1 1 cos (4 2) 2 R e R e e e e e R e e e e e e e e A e i i i i m B e i m i m i m i m m C e i m i m i m i m m m T E m E m E                                                          4 (3.7) Kết luận: Nhƣ vậy khi xung lƣợng hạt lớn thì thành phần 2( )R q đã đóng góp vào tiết diện tán xạ vi phân một lƣợng bổ chính đáng kể. 3.3 Thế tƣơng tác giữa electron-electon khi tính đến bổ chính một vòng Giờ ta xét sự đóng góp của một vòng vào thế tương tác giữa hai hạt tích điện, cụ thể là giữa electron và electron. Lúc này khi kể đến bổ chính một vòng thì hàm truyền của hạt phôtôn đã thay đổi và trở thành: Luận văn thạc sĩ 40     ' 2 2 2 2 2 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( )4 4 4 4 1 ln ( ) 4 4 43 4 4 4 F F F F R e i q iG q iD q iD q iD q q q g q qg g g e q q g q q g g gm q q gg g                                                                        q q q q q q q q       2 2 3 2 2 2 1 ( ) 4 4 4 1 ( ) R R q Z q g g q                  q q , (3.8) ở đây phần phân kỳ nằm trong 3Z ta đã bỏ vào điện tích tái chuẩn hóa của hạt. Thế giữa hai hạt mang điện có mật độ dòng 3( ) ( )RJ x ze x   ([11] tr. 295) có dạng :           4 ' ' 4 4 2 4 4 2 4 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 iqx F iqx R F iqx R d q V x e D q j q d q e q D q j q d q e q V q                     (3.9) Trong đó ( )V q là thế giữa hai hat ở giản đồ bậc hai Nếu nguồn thế là không thay đổi thì ta có dòng ( ) ( )j x j  x 0 3 0 0( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) iiqyiqyj q dye j y dy e d ye j q jy         qy q Vậy công thức trên trở thành:          3 ' 2 4 3 2 4 ( ) 1 ( ) (0, ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 i R F i R d q V e D j d q e V                 qx qx x q q q q q (3.10) Luận văn thạc sĩ 41 Trong trường hợp tĩnh điện ta có:  3 3 30 00( ) ( ) ( )ii R Rj d ye j y d ye ze ze          qy qyq y Vậy công thức trên trở thành:     3 ' 2 4 ( ) 1 ( ) (0, ) 2 i R R F d q V ze e D       qxx q q Thế hàm phân cực chân không đã tính được ở trên vào công thức ta có:       13 ' 0 4 2 0 24 ( ) 1 1 ln 1 1 2 i R R d q V ze e d m                        2 qx 2 q x q (3.11) Ta sử dụng công thức sau cho những tính toán tiếp:   3 4 1 42 id q e r   qx 2q (3.12) Ta được :       1 3 ' 2 2 0 42 20 2 2 2 1 2 2 0 1 4 1 ( ) 1 8 3 2 1 4 1 1 23 1 exp 1 1 i R R R R d q e V ze dvv v r m v m v v ze m dv r r v v                                                   qx 2 x q 1 (3.13) Đặt 2 1 1 v    2 2 3 1 1 v d vdv             Ta được : Luận văn thạc sĩ 42  ' 2 20 3 1 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 3 3 12 1 1 1 3 2 m rR R m rR R ze d V v v e r ze d e r                                        x (3.14) Ta xét trƣờng hợp 1mr  , ta đặt : 2 2 2 2 2 2 1 22 2 2 1 1 1 1 1m r m r m rI d e d e d e I I                            (3.15) Ta chon điều kiện 1 1 mr   , suy ra 2 1m re   tích phân thứ nhất trở thành :     2 2 2 1 2 1 1 1 1 ln 1 ln 2 1I d                           (3.16) Để tính tích phân thứ 2 ta lấy xấp xỉ 2 1   , tích phân thứ hai trở thành : 2 2 2 2 2 0 ln 2 ln ln 2 ln ln ln 2 m r m r mr u mr u u e I d e mr u e du e mr u du ue due mr                                     (3.38) Ta đưa vào tích phân Euler 0 ln udu ue     , ở đây 0,5772  Vậy tích phân trên trở thành : 2 1 1 ln ln 2 ln ln 2 lnI mr mr             (3.17) Luận văn thạc sĩ 43 Ta tính được :   3 2 22 2 2 14 4 3 1 1 11 1 1 1 2 2 2 3 6 m rJ d e d                  (3.18) Vậy biểu thức của thế giờ trở thành : ' 0 0 2 1 5 ( ) 1 ln 3 6 R RzeV r r mr r        