Luận văn Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên annuli gồm 2n + 3 siêu phẳng

nh nghÜa 1.11. §­êng cong chØnh h×nh f : ∆ −→ Pn(C) ®­îc gäi lµ suy biÕn tuyÕn tÝnh nÕu ¶nh cña f chøa trong mét ®a t¹p tuyÕn tÝnh thùc sù nµo ®ã cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn(C). Cho f = (f0 : · · · : fn) : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh, trong ®ã f0, . . . , fn lµ c¸c hµm chØnh h×nh kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung trong ∆. Víi 1 < r < R0, hµm ®Æc tr­ng Tf(r) cña f ®­îc ®Þnh nghÜa bëi Tf(r) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖dθ, trong ®ã ‖f(z)‖ = max{|f0(z)|, . . . , |fn(z)|}. Kh¸i niÖm nµy lµ ®éc lËp víi mäi c¸ch chän biÓu diÔn tèi gi¶n cña f , sai kh¸c mét h»ng sè. Cho H lµ mét siªu ph¼ng trong Pn(C), tøc lµ H = {(z0 : z1 : · · · : zn) : L(z0, . . . , zn) = 0}, trong ®ã L(z0, . . . , zn) = n∑ j=0 ajzj 10 lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh H , trong ®ã aj ∈ C, j = 0, . . . , n, lµ c¸c h»ng sè. Vect¬ kh¸c kh«ng a = (a0, . . . , an) ®­îc gäi lµ vect¬ liªn kÕt víi H . Ta viÕt (H, f) = (a, f) = n∑ j=0 ajfj. Cho 1 < r < R0. Gi¶ sö (a, f) 6≡ 0, hµm xÊp xØ cña f liªn kÕt víi H ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau mf(r,H) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖ |(a, f)(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖ |(a, f)(r−1eiθ)|dθ, kh¸i niÖm nµy lµ ®éc lËp víi mäi c¸ch chän biÓu diÔn tèi gi¶n cña f , sai kh¸c mét h»ng sè. Cho 1 < r < R0, ta tiÕp tôc gi¶ thiÕt (a, f) 6≡ 0, kÝ hiÖu n1,f(r,H) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cña (a, f) trong ∆1,r, kÓ c¶ béi vµ n2,f(r,H) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm (a, f) trong ∆2,r kÓ c¶ béi. §Æt N1,f(r,H) = N1,f(r, L) = 1∫ r−1 n1,f(t,H) t dt; N2,f(r,H) = N2,f(r, L) = r∫ 1 n2,f(t,H) t dt. Hµm ®Õm (kÓ c¶ béi) cña hµm f liªn kÕt víi siªu ph¼ng H ®Þnh nghÜa bëi Nf(r,H) = N1,f(r,H) +N2,f(r,H). Víi mét sè nguyªn d­¬ng δ, kÝ hiÖu nδ1,f(r,H) vµ n δ 2,f(r,H) lÇn l­ît lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cña (a, f) trong ∆1,r vµ trong ∆2,r t­¬ng øng, trong ®ã mçi kh«ng ®iÓm cã béi lín h¬n δ ®­îc ®Õm δ lÇn. §Æt N δ1,f(r,H) = N δ 1,f(r, L) = 1∫ r−1 nδ1,f(t,H) t dt; 11 N δ2,f(r,H) = N δ 2,f(r, L) = r∫ 1 nδ2,f(t,H) t dt. Hµm ®Õm béi c¾t côt bëi δ cña hµm f ®Þnh nghÜa bëi N δf (r,H) = N δ 1,f(r,H) +N δ 2,f(r,H). Víi k lµ mét sè nguyªn d­¬ng, kÝ hiÖu n1,f(r,H,6 k) vµ n2,f(r,H,6 k) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cã béi 6 k cña (f,H) lÇn l­ît trong ∆1,r vµ ∆2,r, kÓ c¶ béi. Ta còng kÝ hiÖu n1,f(r,H,> k) vµ n2,f(r,H,> k) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cã béi lín h¬n k cña (f,H) lÇn l­ît trong ∆1,r vµ ∆2,r, kÓ c¶ béi. KÝ hiÖu N1,f,6k(r,H) = N1,f,6k(r, a) = 1∫ r−1 n1,f(r,H,6 k) t dt; N2,f,6k(r,H) = N2,f,6k(r, a) = r∫ 1 n2,f(r,H,6 k) t dt; Nf,6k(r,H) = N1,f,6k(r,H) +N2,f,6k(r,H); N1,f,>k(r,H) = N1,f,>k(r, a) = 1∫ r−1 n1,f(r,H,> k) t dt; N2,f,>k(r,H) = N2,f,>k(r, a) = r∫ 1 n2,f(r,H,> k) t dt; Nf,>k(r,H) = N1,f,>k(r,H) +N2,f,>k(r,H). MÖnh ®Ò 1.12 ([6]). Cho f = (f0 : · · · : fn) : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh, trong ®ã f0, . . . , fn lµ c¸c hµm chØnh h×nh kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung trong ∆ vµ H lµ mét siªu ph¼ng trong Pn(C). Khi ®ã víi mçi sè thùc d­¬ng r > 0, víi c¸c sè nguyªn d­¬ng k, δ ta cã 1) Nf(r,H) = Nf,6k(r,H) +Nf,>k(r,H); 2) N δf (r,H) = N δ f,6k(r,H) +N δ f,>k(r,H); 12 3) N δf (r,H) 6 Nf(r,H); 4) N 1f (r,H) 6 N δf (r,H) 6 δN 1f (r,H); 5) N 1f,6k(r,H) 6 N δf,6k(r,H) 6 δN 1f,6k(r,H); 6) N 1f,>k(r,H) 6 N δf,>k(r,H) 6 δN1f,>k(r,H). 1.1.3 §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt §Þnh lý 1.13 ([7]). Cho H lµ mét siªu ph¼ng trong Pn(C) vµ f = (f0 : · · · : fn) : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh mµ ¶nh kh«ng chøa trong H . Khi ®ã, víi mçi 1 < r < R0 ta cã Tf(r) = mf(r,H) +Nf(r,H) +O(1). Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa c¸c hµm Tf(r), Nf(r,H), mf(r,H) vµ tõ MÖnh ®Ò 1.1 ta cã Nf(r,H) +mf(r,H) = = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖ |(a, f)(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖ |(a, f)(r−1eiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log |(a, f)(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log |(a, f)(r−1eiθ)|dθ +O(1). Do ®ã Nf(r,H) +mf(r,H) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖ |(a, f)(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖ |(a, f)(r−1eiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log |(a, f)(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log |(a, f)(r−1eiθ)|dθ +O(1) 13 = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖dθ +O(1). §iÒu nµy kÐo theo Nf(r,H) +mf(r,H) = Tf(r) +O(1). §Þnh lý ®­îc chøng minh. 1.2 §Þnh lý c¬ b¶n thø hai 1.2.1 Mét sè mÖnh ®Ò chuÈn bÞ Cho f = (f0 : · · · : fn) : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh, ®Þnh thøc Wronskian cña f ®­îc ®Þnh nghÜa bëi W = W (f) = W (f0, . . . , fn) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f0(z) f1(z) · fn(z) f ′0(z) f ′ 1(z) · f ′n(z) . . . . . . . . . . . . f (n) 0 (z) f (n) 1 (z) · f (n)n (z) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Bæ ®Ò sau lµ mét tÝnh chÊt quan träng cña Wronskian th­êng sö dông trong lý thuyÕt ph©n bè gi¸ trÞ. Bæ ®Ò 1.14. Cho n+1 d¹ng tuyÕn tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh L0, . . . , Ln trong Pn(C). Víi mçi j = 0, . . . , n, ®Æt Fj = Lj(f0, . . . , fn). Khi ®ã W (F0, . . . , Fn) = C.W (f0, . . . , fn), trong ®ã C 6= 0 lµ mét h»ng sè chØ phô thuéc vµo c¸c hÖ sè cña Lj, j = 0, . . . , n, kh«ng phô thuéc vµo f0, . . . , fn. KÝ hiÖu L = L(f) = L(f0, . . . , fn) := ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 . . . 1 f ′0/f0 . . . f ′ n/fn . . . . . . . . . f (n) 0 /f0 . . . f (n) n /fn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . 14 Khi ®ã L(f) = W (f0, . . . , fn) f0 . . . fn . Ta kÝ hiÖu NW (r, 0) lµ hµm ®Õm c¸c kh«ng ®iÓm cña W (f0, . . . , fn) trong ∆r, tøc lµ NW (r, 0) = N0(r, 1 W ) +O(1). Gäi L0, . . . , Ln lµ c¸c d¹ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña z0, . . . , zn. §èi víi j = 0, . . . , n, ®Æt Fj(z) = Lj(f(z)). Theo Bæ ®Ò 1.14, tån t¹i h»ng sè C 6= 0 sao cho |W (F0, . . . , Fn)| = C|W (f0, . . . , fn)|. Ta nh¾c l¹i r»ng c¸c siªu ph¼ng H1, . . . , Hq, q > n, trong Pn(C) ®­îc gäi lµ ë vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu víi mçi c¸ch chän c¸c chØ sè ph©n biÖt i1, . . . , in+1 ∈ {1, . . . , q}, n+1⋂ k=1 supp(Hik) = ∅, ®iÒu nµy t­¬ng ®­¬ng víi Hi1, . . . , Hin+1 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. MÖnh ®Ò 1.15 ([7]). Cho f = (f0 : · · · : fn) : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµ H1, . . . , Hq lµ c¸c siªu ph¼ng Pn(C) ë vÞ trÝ tæng qu¸t. Khi ®ã ta cã ‖ 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi + 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi 6 (n+ 1)Tf(r)−NW (r, 0) +Of(r), trong ®ã Of(r) = O(log r + log Tf(r)) if R0 = +∞O(log 1 R0 − r + log Tf(r)) if R0 < +∞, ë ®©y maximum ®­îc lÊy trªn tÊt c¶ c¸c tËp conK cña {1, . . . , q} sao cho aj, j ∈ K, lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 15 Chøng minh. Ta chøng minh cho tr­êng hîp R0 = +∞, tr­êng hîp R0 < +∞ ®­îc chøng minh t­¬ng tù. §Çu tiªn ta chøng minh ‖ 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi + 1 2pi 2pi∫ 0 log |W (f)(reiθ)|dθ (1.1) 6 (n+ 1) 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖dθ +O(log r + log Tf(r)), ®óng víi mäi r ∈ (1, R0). §Æt K ⊂ {1, . . . , q} sao cho aj, j ∈ K, lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta gi¶ sö r»ng q > n + 1 vµ #K = n + 1. §Æt T lµ mét tËp tÊt c¶ c¸c ®¬n x¹ µ : {0, 1, . . . , n} −→ {1, . . . , q}. Khi ®ã #T < +∞ vµ ta cã 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi = 2pi∫ 0 max µ∈T n∑ j=0 log ‖f(reiθ)‖ |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi = 2pi∫ 0 max µ∈T n∑ j=0 log ‖f(reiθ)‖ |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi = 2pi∫ 0 max µ∈T { log n∏ j=0 ‖f(reiθ)‖ |(aµ(j), f)(reiθ)| } dθ 2pi = 2pi∫ 0 max µ∈T { log ‖f(reiθ)‖n+1∏n j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| } dθ 2pi = 2pi∫ 0 log { max µ∈T ‖f(reiθ)‖n+1 n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| } dθ 2pi +O(1) 6 2pi∫ 0 log ∑ µ∈T ‖f(reiθ)‖n+1 n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi +O(1) 16 = 2pi∫ 0 log ∑ µ∈T |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(reiθ)| n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi + 2pi∫ 0 log ∑ µ∈T ‖f(reiθ)‖n+1 |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(reiθ)| dθ 2pi +O(1). Theo tÝnh chÊt cña Wronskian, ta cã |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))| = C|W (f0, . . . , fn)|, trong ®ã C 6= 0 lµ mét h»ng sè. Bëi vËy ta cã 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi (1.2) 6 2pi∫ 0 log ∑ µ∈T |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(reiθ)| n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi + 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖n+1 |W (f0, . . . , fn)(reiθ)| dθ 2pi +O(1). Ta cã W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(re iθ) n∏ j=0 (aµ(j), f)(reiθ) (1.3) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 · 1 (aµ(0), f) ′ (aµ(0), f) (aµ(1), f) ′ (aµ(1), f) · (aµ(n), f) ′ (aµ(n), f) . . . . . . . . . . . . (aµ(0), f) (n) (aµ(0), f) (aµ(1), f) (n) (aµ(1), f) · (aµ(n), f) (n) (aµ(n), f) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (reiθ). 17 Ta thÊy r»ng ‖ m ( r, (aµ(j), f) (k) (aµ(j), f) ) 6 m0 ( r, (aµ(j), f) (k) (aµ(j), f) ) (1.4) = m0 ( r, (aµ(j), f) (k) (aµ(j), f)(k−1) (aµ(j), f) (k−1) (aµ(j), f)(k−2) . . . (aµ(j), f) ′ (aµ(j), f) ) 6 k∑ l=1 m0 ( r, (aµ(j), f) (l) (aµ(j), f)(l−1) ) . Theo MÖnh ®Ò 1.6, ta cã m0(r, (aµ(j), f) ′ (aµ(j), f) ) = O(log r + log T0(r, (aµ(j), f)). (1.5) Tõ ®Þnh nghÜa c¸c hµm T0(r, (aµ(j), f) ′), N(aµ(j), f)′ = 0 vµ (1.5), ta cã T0(r, (aµ(j), f) ′) = m0(r, (aµ(j), f)′) (1.6) = m0(r, (aµ(j), f) ′ (aµ(j), f) .(aµ(j), f)) 6 m0(r, (aµ(j), f)) +O(log r + log T0(r, (aµ(j), f)) = T0(r, (aµ(j), f)) +O(log r + log T0(r, (aµ(j), f)). T­¬ng tù, ta sö dông MÖnh ®Ò 1.6 mét lÇn n÷a, kÕt hîp víi (1.6) ta cã T0(r, (aµ(j), f) ′′) = m0(r, (aµ(j), f)′′) (1.7) = m0(r, (aµ(j), f) ′′ (aµ(j), f)′ .(aµ(j), f) ′) 6 m0(r, (aµ(j), f)′) +O(log r + log T0(r, (aµ(j), f)′) = T0(r, (aµ(j), f)) +O(log r + log T0(r, (aµ(j), f)). LËp luËn nh­ (1.7) vµ sö dông quy n¹p ta thu ®­îc bÊt ®¼ng thøc T0(r, (aµ(j), f) (l)) 6 T0(r, (aµ(j), f)) +O(log r + log T0(r, (aµ(j), f)) (1.8) ®óng víi mäi l ∈ N∗. Ngoµi ra theo MÖnh ®Ò 1.6, ta còng cã bÊt ®¼ng thøc m0(r, (aµ(j), f) (l+1) (aµ(j), f)(l) ) = O(log r + log T0(r, (aµ(j), f) (l))), (1.9) 18 ®óng víi mäi l ∈ N. KÕt hîp (1.10), (1.8) vµ (1.9), ta cã víi mçi k ∈ {1, . . . , n} vµ j ∈ {0, . . . , n}, ‖ m ( r, (aµ(j), f) (k) (aµ(j), f) ) 6 O(log r + log T0(r, (aµ(j), f)). (1.10) Theo ®Þnh nghÜa cña T0(r, ft), Tf(r), ta cã víi mçi t ∈ {0, . . . , n}, T0(r, ft) +O(1) = m0(r, ft) = m(r, ft) +m( 1 r , ft) 6 O ( 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖dθ ) +O(1) = O(Tf(r)) +O(1), vµ T0(r, (aµ(j), f)) 6 n∑ t=0 T0(r, ft) +O(1). Khi ®ã, tõ (1.10) ta cã, ‖ m ( r, (aµ(j), f) (k) (aµ(j), f) ) 6 O(log r + log Tf(r)). Nh­ vËy, víi mçi µ ∈ T , ta cã ‖ 2pi∫ 0 log+ |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(reiθ)| n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi 6 O(log r + log Tf(r)). §iÒu ®ã kÐo theo ‖ 2pi∫ 0 log ∑ µ∈T |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(reiθ)| n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi (1.11) 6 2pi∫ 0 log+ ∑ µ∈T |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(reiθ)| n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi 6 ∑ µ∈T 2pi∫ 0 log+ |W ((aµ(0), f), . . . , (aµ(n), f))(reiθ)| n∏ j=0 |(aµ(j), f)(reiθ)| dθ 2pi +O(1) 6 O(log r + log Tf(r)). 19 Ta thu ®­îc bÊt ®¼ng thøc (1.1) tõ (1.2) vµ (1.11). T­¬ng tù ta cã ‖ 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi + 1 2pi 2pi∫ 0 log |W (f)(r−1eiθ)|dθ (1.12) 6 (n+ 1) 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖dθ +O(log r + log Tf(r)) ®óng víi mçi r ∈ (1, R0). KÕt hîp (1.1) vµ (1.12) ta thu ®­îc ‖ 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi + 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi 6 (n+ 1) ( 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖dθ ) − 1 2pi ( 2pi∫ 0 log |W (f)(reiθ)|dθ + 2pi∫ 0 log |W (f)(r−1eiθ)|dθ ) +O(log r + log Tf(r)). Tõ NW (r, 0) = 1 2pi 2pi∫ 0 log |W (f)(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log |W (f)(r−1eiθ)|dθ +O(1), ta cã kÕt luËn cña mÖnh ®Ò. MÖnh ®Ò 1.16 ([7]). Cho f = (f0 : · · · : fn) : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµ H1, . . . , Hq lµ c¸c siªu ph¼ng trong Pn(C) ë vÞ trÝ tæng qu¸t. Gäi aj lµ vect¬ liªn kÕt víi Hj 20 víi mçi j = 1, . . . , q. Khi ®ã q∑ j=1 mf(r,Hj) 6 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi + 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi +O(1). Chøng minh. Gäi aj = (a (j) 0 , . . . , a (j) n ) lµ vect¬ liªn kÕt víiHj, 1 6 j 6 q vµ gäi T lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®¬n ¸nh µ : {0, 1, . . . , n} −→ {1, . . . , q}. Theo gi¶ thiÕt ta cã H1, . . . , Hq ë vÞ trÝ tæng qu¸t, khi ®ã víi mçi µ ∈ T , c¸c vect¬ aµ(0), . . . , aµ(n) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Gäi µ ∈ T , ta cã (f, aµ(t)) = a µ(t) 0 f0 + · · ·+ aµ(t)n fn, t = 0, 1, . . . , n. (1.13) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1.13), ta cã ft = b µ(t) 0 (a µ(t) 0 , f) + · · ·+ bµ(t)n (aµ(t)n , f), t = 0, 1, . . . , n, trong ®ã ( b µ(t) j )n t,j=0 lµ ma trËn ng­îc cña ( a µ(t) j )n t,j=0 . Khi ®ã tån t¹i mét h»ng sè kh¸c kh«ng Cµ tháa m·n ‖f(z)‖ 6 Cµ max 06t6n |(aµ(t), f)(z)|. §Æt C = max µ∈T Cµ. Khi ®ã víi mçi µ ∈ T , ta cã ‖f(z)‖ 6 C max 06t6n |(aµ(t), f)(z)|. Víi mçi z ∈ ∆r, tån t¹i mét ¸nh x¹ µ ∈ T sao cho 0 < |(aµ(0), f)(z)| 6 |(aµ(1), f)(z)| 6 . . . . 6 |(aµ(n), f)(z)| 6 |(aj, f)(z)|, víi j /∈ {µ(0), . . . , µ(n)}. Nh­ vËy q∏ j=1 ‖f(z)‖ |(aj, f)(z)| 6 C q−n−1 max µ∈T n∏ t=0 ‖f(z)‖ |(aµ(t), f)(z)| . 21 Ta cã q∑ j=1 mf(r,Hj) = q∑ j=1 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi + q∑ j=1 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi = 1 2pi 2pi∫ 0 log q∏ j=1 ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi + 1 2pi 2pi∫ 0 log q∏ j=1 ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi 6 1 2pi 2pi∫ 0 log max µ∈T n∏ t=0 ‖f(reiθ)‖ |(aµ(t), f)(reiθ)| dθ 2pi + 1 2pi 2pi∫ 0 log max µ∈T n∏ t=0 ‖f(r−1eiθ)‖ |(aµ(t), f)(r−1eiθ)| dθ 2pi +O(1) = 1 2pi 2pi∫ 0 max µ∈T log n∏ t=0 ‖f(reiθ)‖ |(aµ(t), f)(reiθ)| dθ 2pi + 1 2pi 2pi∫ 0 max µ∈T log n∏ t=0 ‖f(r−1eiθ)‖ |(aµ(t), f)(r−1eiθ)| dθ 2pi +O(1) = 1 2pi 2pi∫ 0 max µ∈T n∑ t=0 log ‖f(reiθ)‖ |(aµ(t), f)(reiθ)| dθ 2pi + 1 2pi 2pi∫ 0 max µ∈T n∑ t=0 log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aµ(t), f)(r−1eiθ)| dθ 2pi +O(1). Bëi vËy ta thu ®­îc q∑ j=1 mf(r,Hj) 6 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi + 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi +O(1). §iÒu nµy kÐo theo kÕt luËn cña mÖnh ®Ò. 22 1.2.2 §Þnh lý c¬ b¶n thø hai N¨m 2013, H. T. Ph­¬ng vµ N. V. Th×n ®· chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y, th­êng ®­îc gäi ®Þnh lý c¬ b¶n thø hai cho ®­êng cong chØnh h×nh trªn Annuli. §Þnh lý 1.17 ([7]). Cho f = (f0 : · · · : fn) : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµH1, . . . , Hq lµ c¸c siªu ph¼ng trong Pn(C) ë vÞ trÝ tæng qu¸t. Khi ®ã ta cã ‖ (q − n− 1)Tf(r) 6 q∑ j=1 Nnf (r,Hj) +Of(r), trong ®ã Of(r) = O(log r + log Tf(r)) if R0 = +∞O(log 1 R0 − r + log Tf(r)) if R0 < +∞. Chøng minh. Ta chøng minh cho tr­êng hîp R0 = +∞, tr­êng hîp R0 < +∞ ta chøng minh t­¬ng tù. Theo MÖnh ®Ò 1.15 vµ MÖnh ®Ò 1.16 ta cã ‖ q∑ j=1 mf(r,Hj) 6 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(reiθ)‖ |(aj, f)(reiθ)| dθ 2pi (1.14) + 2pi∫ 0 max K ∑ j∈K log ‖f(r−1eiθ)‖ |(aj, f)(r−1eiθ)| dθ 2pi +O(1) 6 (n+ 1)Tf(r)−NW (r, 0) +O(log r + log Tf(r)). Theo §Þnh lý 1.13, ta cã Tf(r) = Nf(r,Hj) +mf(r,Hj) +O(1) víi mçi j ∈ {1, . . . , q}. Do ®ã tõ (1.14), ta cã ‖ (q − n− 1)Tf(r) 6 q∑ j=1 Nf(r,Hj)−NW (r, 0) +O(log r + log Tf(r)). (1.15) 23 Víi z0 ∈ ∆r, ta gi¶ sö r»ng (aj, f) triÖt tiªu t¹i z0 víi 1 6 j 6 q1, (aj, f) kh«ng triÖt tiªu t¹i z0 víi j > q1. Khi ®ã tån t¹i mét sè nguyªn d­¬ng kj vµ mét hµm chØnh h×nh gj kh«ng triÖt tiªu t¹i trong l©n cËn U cña z0 sao cho (aj, f)(z) = (z − z0)kjgj(z), for j = 1, . . . , q, trong ®ã kj = 0 víi q1 n víi 1 6 j 6 q0 vµ 1 6 kj < n víi q0 < j 6 q1. Theo tÝnh chÊt cña Wronskian, ta cã W (f) = C.W ((aµ(0), f), . . . ., (aµ(n), f)) = q0∏ j=1 (z − z0)kj−nh(z), trong ®ã h(z) lµ mét hµm chØnh h×nh trªn U . Khi ®ãW (f) triÖt tiªu t¹i z0 víi bËc Ýt nhÊt q0∑ j=1 (kj − n) = q0∑ j=1 kj − q0n. Theo ®Þnh nghÜa cña Nf(r,H), NW (r, 0) vµ N n f (r,H), ta cã q∑ j=1 Nf(r,Hj)−NW (r, 0) = ( q∑ j=1 N1,f(r,Hj)−N1(r, 1 W ) ) + ( q∑ j=1 N2,f(r,Hj)−N2(r, 1 W ) ) +O(1) 6 q∑ j=1 Nn1,f(r,Hj) + q∑ j=1 Nn2,f(r,Hj) +O(1) = q∑ j=1 Nnf (r,Hj) +O(1). Nh­ vËy, tõ (1.15), ta cã ‖ (q − n− 1)Tf(r) 6 q∑ j=1 Nnf (r,Hj) +O(log r + log Tf(r)). Chøng minh cña ®Þnh lý ®­îc hoµn tÊt. 24 Ch­¬ng 2 §Þnh lý duy nhÊt cho ®­êng cong chØnh h×nh gåm 2n+3 siªu ph¼ng 2.1 Më ®Çu vÒ vÊn ®Ò duy nhÊt cho ®­êng cong chØnh h×nh trªn Annuli Trong phÇn nµy chóng t«i chøng minh l¹i mét sè kÕt qu¶ vÒ vÊn ®Ò duy nhÊt cho ®­êng cong chØnh h×nh trªn Annuli, trong ®ã sè siªu ph¼ng x¸c ®Þnh t­¬ng tù nh­ kÕt qu¶ cña Fujimoto cho tr­êng hîp ®­êng cong chØnh h×nh trªn C. 2.1.1 Kh¸i niÖm vµ bæ ®Ò Cho ®­êng cong chØnh h×nh f : ∆ −→ Pn(C) vµ mét biÓu diÔn tèi gi¶n (f0, . . . , fn) cña f . GäiH lµ mét siªu ph¼ng trong Pn(C) vµ L lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi c¸c hÖ sè lÊy trong C, x¸c ®Þnh H , ta kÝ hiÖu Ef(H) := {z ∈ C | H ◦ f(z) = 0 kh«ng kÓ béi}; Ef(H) := {(z,m) ∈ C× N | H ◦ f(z) = 0 vµ ordH◦f(z) = m}. Víi hä c¸c siªu ph¼ng H = {H1, . . . , Hq} trong Pn(C), ta ®Þnh nghÜa Ef(H) := ⋃ H∈H Ef(H) vµ Ef(H) := ⋃ H∈H Ef(H). MÖnh ®Ò 2.1 ([8]). Cho f : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh H1, . . . , Hq lµ mét hä c¸c siªu ph¼ng ë vÞ trÝ 25 tæng qu¸t trong Pn(C). Khi ®ã, víi mçi sè k nguyªn d­¬ng, ta cã ‖ q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1) k Tf(r) 6 q∑ j=1 Nnf,6k(r,Hj) +Of(r). Chøng minh. §Æt H = {H1, . . . , Hq}, khi ®ã ta cã Hj ∈ H, theo MÖnh ®Ò 1.1 ta cã Nnf (r,Hj) = N n f,6k(r,Hj) +N n f,>k(r,Hj) (1.1) = k k + 1 Nnf,6k(r,Hj) + 1 k + 1 Nnf,6k(r,Hj) +N n f,>k(r,Hj). Ta thÊy 1 k + 1 Nnf,6k(r,Hj) +N n f,>k(r,Hj) 6 n k + 1 N 1f,6k(r,Hj) + nN 1 f,>k(r,Hj) 6 n k + 1 Nf,6k(r,Hj) + n k + 1 Nf,>k(r,Hj) 6 n k + 1 Nf(r,Hj), nªn tõ (1.1) vµ §Þnh lý 1.13, ta cã Nnf (r,Hj) 6 k k + 1 Nnf,6k(r,Hj) + n k + 1 Tf(r) +O(1). §iÒu nµy kÐo theo q∑ j=1 Nnf (r,Hj) 6 k k + 1 q∑ j=1 Nnf,6k(r,Hj) + qn k + 1 Tf(r) +O(1). (1.2) MÆt kh¸c, theo §Þnh lý 1.17, ta cã ‖ (q − n− 1)Tf(r) 6 q∑ j=1 Nnf (r,Hj) +Of(r). (1.3) KÕt hîp (1.2) vµ (1.3) ta cã( q − qn k + 1 − n− 1 ) Tf(r) 6 k k + 1 q∑ j=1 Nnf,6k(r,Hj) +Of(r). §iÒu nµy suy ra kÕt luËn cña mÖnh ®Ò. 26 MÖnh ®Ò 2.2 ([8]). Cho f = (f0 : · · · : fn), g = (g0 : · · · : gn) : ∆ −→ Pn(C) lµ c¸c ¸nh x¹ chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh. Khi ®ã víi mçi i 6= j ∈ {0, . . . , n} tháa m·n h = figj − fjgi 6≡ 0 ta cã N0(r, 1 h ) 6 Tf(r) + Tg(r) +O(1). Chøng minh. Tõ MÖnh ®Ò 2.1 ta cã N0(r, 1 h ) = 1 2pi 2pi∫ 0 log |h(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log |h(r−1eiθ)|dθ +O(1). (1.4) Ngoµi ra, víi mçi z ∈ ∆ ta cã log |h(z)| = log |(figj − fjgi)(z)| 6 log max{|fi(z)gj(z)|, |fj(z)gi(z)|}+ log 2 = max{log |fi(z)gj(z)|, log |fj(z)gi(z)|}+ log 2 = max{log |fi(z)|+ log |gj(z)|, log |fj(z)|+ log |gi(z)|}+ log 2 6 max{log |fi(z)|, log |fj(z)|}+ max{log |gi(z)|, log |gj(z)|} + log 2 = log max{|fi(z)|, |fj(z)|}+ log max{|gi(z)|, |gj(z)|}+ log 2 6 log ‖f(z)‖+ log ‖g(z)‖+ log 2. Do ®ã 1 2pi 2pi∫ 0 log |h(reiθ)|dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log |h(r−1eiθ)|dθ 6 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(reiθ)‖dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖f(r−1eiθ)‖dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖g(reiθ)‖dθ + 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖g(r−1eiθ)‖dθ +O(1). = Tf(r) + Tg(r) +O(1). 27 Tõ (1.4), ta cã chøng minh cña mÖnh ®Ò. 2.1.2 Mét sè ®Þnh lý duy nhÊt N¨m 1975, H. Fujimoto ([3]) ®· chøng minh §Þnh lý 2.3. ChoH = {H1, . . . , H3n+2} lµ mét hä gåm 3n+ 2 siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t trong Pn(C) vµ f, g : Cm −→ Pn(C) lµ mét ¸nh x¹ chØnh h×nh tháa m·n f(Cm) 6⊂ H vµ g(Cm) 6⊂ H víi mäi H ∈ H. NÕu Ef(Hj) = Eg(Hj) víi mäi Hj ∈ H th× f ≡ g. §Þnh lý 2.3 cho mét ®iÒu kiÖn ®ñ gåm 3n+ 2 siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t trong x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ chØnh h×nh. GÇn ®©y, nhiÒu nhµ to¸n häc ®· nghiªn cøu hai vÊn ®Ò sau: t×m c¸c tÝnh chÊt cña tËp duy nhÊt cho c¸c ¸nh x¹ ph©n chØnh h×nh vµ t×m tËp duy nhÊt cã sè phÇn tö Ýt nhÊt cã thÓ. §èi víi ®­êng cong chØnh h×nh trªn Annuli, n¨m 2013, N. V. Phuong ([8]) ®· chøng minh hai ®Þnh lý sau: §Þnh lý 2.4. Cho H = {H1, . . . , Hq} lµ mét hä gåm q > 2n2 +n+ 2 siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t vµ f, g : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh tháa m·n (a) f(z) = g(z) víi mäi z ∈ Ef(H) ∪ Eg(H), (b) log 1 R0 − r = O(Tf(r)), log 1 R0 − r = O(Tg(r)) khi r −→ R0 nÕu R0 < +∞. Khi ®ã f ≡ g. Chøng minh. Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö f 6≡ g, khi ®ã tån t¹i hai chØ sè i1, i2 ∈ {0, . . . , n}, i1 6= i2 sao cho fi1gi2 6≡ fi2gi1. Gäi k lµ mét sè nguyªn d­¬ng ®ñ lín, ta sÏ chän sau. Víi mçi Hj ∈ H, víi mçi 28 sè thùc d­¬ng r ®ñ lín, theo MÖnh ®Ò 2.1 ta cã (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))Tf(r) (1.5) 6k q∑ j=1 Nnf,6k(r,Hj) +Of(r) 6nk q∑ j=1 N 1f,6k(r,Hj) +Of(r). Gi¶ sö z0 ∈ ∆r lµ mét kh«ng ®iÓm cña (f,Hj) víi béi kh«ng lín h¬n k th× z0 ∈ Ef(H) ∪ Eg(H). §iÒu nµy kÐo theo g(z0) = f(z0), so fi1(z0)gi2(z0) = fi2(z0)gi1(z0), tøc lµ z0 lµ mét kh«ng ®iÓm cña hµm h = fi1gi2 − fi2gi1. Chó ý r»ng, theo gi¶ thiÕt hä H ë vÞ trÝ tæng qu¸t nªn tån t¹i nhiÒu nhÊt n siªu ph¼ng Hj thuéc H tháa m·n (f,Hj)(z0) = 0. §iÒu nµy kÐo theo q∑ j=1 N 1f,6k(r,Hj) 6 nN0(r, 1 h ), Tõ ®ã, theo MÖnh ®Ò 2.2, (1.5) trë thµnh (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))Tf(r) (1.6) 6 n2kN0(r, 1 h ) +Of(r) 6 n2k(Tf(r) + Tg(r)) +Of(r). T­¬ng tù cho ¸nh x¹ g ta cã (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))Tg(r) (1.7) 6 n2k(Tf(r) + Tg(r)) +Of(r). KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc (1.6) vµ (1.7), ta cã (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))(Tf(r) + Tg(r)) 6 2n2k(Tf(r) + Tg(r)) +Of(r) +Og(r). 29 §iÒu nµy kÐo theo q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1)− 2n2k 6 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) ®óng víi mäi sè thùc r ®ñ lín. Cho r −→ R0 ta cã q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1)− 2n2k 6 lim inf r−→R0 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) < +∞. §iÒu nµy t­¬ng ®­¬ng víi k(q − n− 1− 2n2) + (q − qn− n− 1) 6 lim inf r−→R0 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) . (1.8) NÕu ra chän k > (qn+ k0 + n+ 1− q) q − n− 1− 2n2 , trong ®ã k0 = lim inf r−→R0 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) , th× tõ gi¶ thiÕt q > 2n2 + n + 2 ta cã mÉu thuÉn. Nh­ vËy figj ≡ fjgi víi mçi i 6= j ∈ {0, . . . , n}, tøc lµ f ≡ g. §iÒu nµy kÐo theo kÕt luËn cña §Þnh lý 2.4. §Þnh lý 2.5. Cho H = {H1, . . . , Hq} lµ mét hä gåm 3n + 2 siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t vµ f, g : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh tháa m·n (a) f(z) = g(z) víi mäi z ∈ Ef(H) ∪ Eg(H), (b) Ef(Hi) ∩ Ef(Hj) = ∅ vµ Eg(Hi) ∩ Eg(Hj) = ∅ víi mäi i 6= j ∈ {1, . . . , q}, (c) log 1 R0 − r = O(Tf(r)), log 1 R0 − r = O(Tg(r)) khi r −→ R0 nÕu R0 < +∞. Khi ®ã f ≡ g. Chøng minh. Ta còng chøng minh §Þnh lý 2.5 b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö f 6≡ g, khi ®ã tån t¹i hai chØ sè i1, i2 ∈ {0, . . . , n}, i1 6= i2 sao cho fi1gi2 6≡ fi2gi1. Gäi k lµ mét sè nguyªn d­¬ng ta sÏ chän sau. Víi c¸c 30 gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 2.5, t­¬ng tù nh­ chøng minh cña §Þnh lý 2.4, theo MÖnh ®Ò 2.1 ta cã (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))Tf(r) (1.9) 6nk q∑ j=1 N 1f,6k(r,Hj) +Of(r), víi mçi Hj ∈ H, víi mäi sè thùc d­¬ng r tháa m·n MÖnh ®Ò 2.1. Tõ gi¶ thiÕt ta cã Ef(Hi) ∩ Ef(Hj) = ∅ víi mçi cÆp i 6= j ∈ {1, . . . , q}. LËp luËn gièng nh­ trong chøng minh cña §Þnh lý 2.4, ta cã q∑ j=1 N 1f,6k(r,Hj) 6 N0(r, 1 h ) 6 Tf(r) + Tg(r) +Of(r). trong ®ã h = fi1gi2 − fi2gi1. §iÒu nµy kÐo theo (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))Tf(r) (1.10) 6 nk(Tf(r) + Tg(r)) +Of(r). T­¬ng tù cho ¸nh x¹ g ta cã (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))Tg(r) (1.11) 6 nk(Tf(r) + Tg(r)) +Og(r). KÕt hîp (1.10) vµ (1.11), ta cã (q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1))(Tf(r) + Tg(r)) 6 2nk(Tf(r) + Tg(r)) +Of(r) + Sr(r). KÐo theo q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1)− 2nk 6 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) 31 ®óng víi mäi sè thùc r. Cho r −→ R0 ta cã q(k + 1− n)− (n+ 1)(k + 1)− 2nk 6 lim inf r−→R0 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) < +∞. §iÒu nµy t­¬ng ®­¬ng víi k(q − 3n− 1) + (q − qn− n− 1) 6 lim inf r−→R0 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) . (1.12) NÕu ta chän k > (qn+ k0 + n+ 1− q) q − 3n− 1 , trong ®ã k0 = lim inf r−→R0 Of(r) +Og(r) Tf(r) + Tg(r) , th× tõ gi¶ thiÕt r»ng q > 3n + 2 ta sÏ cã m©u thuÉn. Tõ figj ≡ fjgi víi mäi i 6= j ∈ {0, . . . , n}, tøc lµ f ≡ g. §Þnh lý 2.5 ®­îc chøng minh. Chó ý. §Þnh lý 2.4 vµ §Þnh lý 2.5 lµ c¸c ®Þnh lý duy nhÊt cho ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh trªn Annuli, nã cho mét ®iÒu kiÖn ®¹i sè ®Ó hai ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh lµ trïng nhau. Cã thÓ thÊy, trong §Þnh lý 2.5, sè c¸c siªu ph¼ng lµ 3n + 2 trïng víi kÕt qu¶ cña Fujimoto. 2.2 §Þnh lý duy nhÊt gåm 2n + 3 siªu ph¼ng 2.2.1 Mét sè mÖnh ®Ò MÖnh ®Ò 2.6 ([6]). Cho f : ∆ −→ Pn(C) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµ H1, H2 lµ c¸c siªu ph¼ng ph©n biÖt. Khi ®ã ta cã T0 ( r, (f,H1) (f,H2) ) 6 Tf(r) +O(1). (1.13) víi mäi r thá