Luận văn Tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện trong dạy học Toán 11

π xx sin 2 15cos −=      − π 40 Do đó: ( ) 01sin2cossin21sin32cos10 =−+⇔+=+⇔ xxxxx 2 sin 0 sin 2sin 0 21 6sin 2 5 2 6 x k x x x x k x x k π π π π π   = =   ⇔ − = ⇔ ⇔ = +  =    = +  ( )Zk ∈ Vì [ ]π2;0∈x , nên: + Với nghiệm πkx = , ta có: 0 0 [0;2 ] 1 [0;2 ] 2 2 [0;2 ] 3 3 [0;2 ] 1 [0;2 ] k x k x k x k x k x π π π π π π π π π = ⇒ = ∈ = ⇒ = ∈ = ⇒ = ∈ = ⇒ = ∉ = − ⇒ = − ∉ Do đó trường hợp này ta có các nghiệm: π== xx ,0 và π2=x . + Với nghiệm ππ 2 6 kx += , ta có: 0 [0;2 ] 6 131 [0;2 ] 6 111 [0;2 ] 6 k x k x k x π π π π π π = ⇒ = ∈ = ⇒ = ∉ − = − ⇒ = ∉ Do đó trường hợp này ta có nghiệm: 6 π =x . + Với nghiệm ππ 2 6 5 kx += , ta có: 50 [0;2 ] 6 171 [0;2 ] 6 71 [0;2 ] 6 k x k x k x π π π π π π = ⇒ = ∈ = ⇒ = ∉ − = − ⇒ = ∉ Do đó trường hợp này ta có nghiệm: 6 5π =x . 1.4. Kết luận chương Khi xây dựng “công thức nghiệm” các PTLG cơ bản, SGKNC11 sử dụng ngôn ngữ 41 ĐTLG. Nhưng sau khi có “công thức nghiệm”, ĐTLG hay đồ thị không còn thấy xuất hiện trong việc giải các PTLG cơ bản. Chúng tôi dự đoán rằng, đối với HS, sau khi học xong bài PTLG cơ bản, HS chỉ nhớ đến “công thức nghiệm” của các phương trình. Đối với các ĐTLG có ĐK thì ĐTLG lại đóng vai trò quan trọng trong công đoạn cuối là lấy nghiệm PTLG, mặt khác đồ thị hàm số không được sử dụng để giải PTLG. Theo phân tích lý thuyết từ SGK, các PTLG cơ bản luôn gắn liền với hình ảnh ĐTLG. Vì vậy có thể nói ĐTLG chi phối sâu sắc đến các kiến thức lượng giác, đặc biệt là việc lấy nghiệm của PTLG có ĐK. Sau khi tiến hành phân tích các tổ chức toán học, chúng tôi dự đoán có sự tồn tại của hai quy tắc hợp đồng sau đối với HS: R1: Khi giải PTLG, HS không sử dụng đồ thị mà chỉ sử dụng các phép biến đổi đại số đưa PTLG đã cho về các dạng PTLG cơ bản.. R2: HS không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện xác định đối với phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với hàm số tang ( hoặc cotang). . 42 CHƯƠNG 2: MÔI TRƯỜNG SINH THÁI LƯỢNG GIÁC CỦA VIỆC CHỌN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG DẠY HỌC TOÁN 11 Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng làm sáng tỏ “môi trường ảnh hưởng” của một số kiến thức toán học về lượng giác liên quan đến việc tìm nghiệm PTLG có ĐK, đặc biệt là kiến thức nào được sử dụng nhiều nhất trong quá trình HS tiến hành so sánh nghiệm của PTLG có được với ĐKXĐ của bài toán. Những lựa chọn sư phạm nào được GV ưu tiên hơn trong việc giảng dạy tìm nghiệm của PTLG có ĐK, những quy tắc hợp đồng nào được hình thành ở HS do các môi trường này. Từ đó trả lời câu hỏi: Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở THPT, những kiến thức toán học về lượng giác nào ảnh hưởng đến qua trình chọn nghiệm PTLG có điều kiện của HS? Cách trình bày các kiến thức này trong SGK ? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với các kiến thức trên trong việc chọn nghiệm của PTLG có điều kiện? Như ta đã biết, LG là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong ngành vật lý, thiên văn, hàng hải... Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Pháp, Úc, lượng giác luôn được giảng dạy theo thứ tự: lượng giác “trong tam giác”, lượng giác “trong đường tròn” và lượng giác “trong hàm số”. Ở Việt Nam, không nằm ngoài xu hướng giảng dạy của các nước trên thế giới, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự như thế. Cụ thể: lượng giác “trong tam giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11. Như thế, chúng tôi thấy rõ có một trình tự để dạy lượng giác (theo ba giai đoạn) ở bậc trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT) tại Việt Nam. Và nhiệm vụ giải PTLG có ĐK được gặp ở giai đoạn 3, nên chắc chắn các kiến thức ở các giai đoạn trước có ảnh hưởng sâu sắc, chi phối đến kỹ thuật giải các bài toán PTLG có ĐK ở cả GV và HS, đặc biệt là trong việc so sánh nghiệm với ĐK bài toán. Dựa vào phân tích chương I làm nền tảng, chúng tôi xin phân tích các kiến thức lượng giác là môi trường sinh thái của việc tìm nghiệm các PTLG có ĐK thuộc kiểu nhiệm vụ TGPT-ĐB-ĐK. Trình tự trình bày các phần của chúng tôi cũng chính là trình tự đưa các kiến thức này trong SGK. 43 2.1. Lý thuyết về góc cung lượng giác Được đưa vào bài đầu tiên của chương 6 SGKNC10, Góc Lượng giác và công thức Lượng giác được nhấn mạnh : “Mỗi góc cung lượng giác đều tương ứng với một số thực duy nhất và với một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác”[SGKNC10, tr.193] Để giúp HS thấy được ý nghĩa sâu sắc hơn của tỉ số lượng giác đã học ở lớp 9, Góc cung LG được SGK xây dựng trong mối liên quan chặt chẽ với góc hình học: “Cung tròn có số đo bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian, viết tắt là 1 rad. Góc ở tâm chắn cung 1 radian gọi là góc có số đo 1 radian” và nhấn mạnh “Với hệ thống đơn vị radian, việc khảo sát các hàm số lượng giác và nhiều công thức tính toán sẽ được đơn giản hơn” [SGKNC10, tr.185]. Rõ ràng, khái niệm góc cung LG đã được gắn chặt với việc quay quanh một điểm, nói cách khác là HS làm quen với góc cung LG thông qua các đường tròn. Để xác định được giá trị của góc, HS cần phải chú ý đến chiều (+) và chiều (-) đã được quy ước. Do vậy HS phải hiểu rằng, với một cặp tia Ou, Ov có thể biểu diễn nhiều góc LG khác nhau. HS cũng phải làm quen với việc góc có giá trị âm chứ không như góc hình học đã học, cũng như cung LG được xây dựng trên đường tròn định hướng. SGKNC10 đã dùng "chuyển động quay tròn theo một chiều" để mô tả, giới thiệu khái niệm góc (cung) lượng giác một cách trực giác. Sự lựa chọn sư phạm này của các tác giả SGK10 được khẳng định, thể hiện thông qua SGVCB10 như sau: “Khái niệm góc, cung lượng giác khó có thể định nghĩa chính xác ở cấp THPT ... Trong việc giới thiệu góc lượng giác (Ou; Ov) và số đo của nó, ta dùng trực giác: tia quay (luôn cùng chiều) từ Ou đến trùng với Ov. Hiện tượng cơ học này học sinh thường gặp ... Chính số đo, độ dài cung tròn là cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo cung lượng giác”... [SGVCB, tr.244]. [SGKNC10, tr.189] còn khẳng định: “Trên đường tròn định hướng, mỗi cung LG được xác định bởi mút đầu, mút cuối và số đo của nó. Với cung có hai mút đầu, cuối đó có số đo α thì mọi cung LG có chung điểm đầu và mút cuối có số đo dạng 02 ( ) 360k k Z hay kα π α+ ∈ + ; mỗi cung ứng với một giá trị của k”. Tới đây SGK đã trình bày về giá trị của một góc LG thông qua ngôn ngữ đường tròn, gắn chặt cung hình học và cung LG trong một mối quan hệ chặt chẽ, nhất là hình ảnh liên 44 quan số đo góc cung LG luôn gắn chặt với đường tròn định hướng thông qua việc biễu diễn chúng lên đường tròn. [SGVCB10, tr.162] có nói rằng: “Trong tiết này, HS biết cách biểu diễn trên đường tròn lượng giác một cung có số đo α cho trước, xác định đúng điểm đầu và điểm cuối bằng cách biểu diễn α thành bội của 2π cộng với một số trong khoảng [ ; ]π π− (số này duy nhất)”. Kiến thức này chi phối trực tiếp đến việc HS chọn phương án ĐTLG (KT4) để tìm nghiệm PTLG có ĐK .Trong hệ thống bài tập, phần biểu diễn cung lượng giác lên đường tròn cũng chiếm tỉ lệ lớn. 2.2. Đường tròn lượng giác Các tri thức LG “trong đường tròn” được trình bày theo trình tự sau: Đường tròn đơn vị Đường tròn định hướng ĐTLG. Trong đó, ĐTLG được trình bày nhiều nhất và cũng là hình ảnh quan trọng liên quan đến lượng giác trong thể chế 10 và 11 như sau: + Trong SGVCB10, chương 6 - Góc lượng giác và công thức lượng giác đã đưa ra mục tiêu về kỹ năng của chương là: “ Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số thực α , từ đó xác định sin ,cos , tan ,cotα α α α (dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng số) và mối liên quan giữa chúng" và "Trong chương này, học sinh được cung cấp các khái niệm về đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác (mở rộng khái niệm cung và góc hình học) chuẩn bị cho việc xây dựng các hàm số lượng giác lớp 11” . Trước khi đưa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác, SGKNC10 đưa vào định nghĩa ĐTLG. Còn ở thể chế 11 lại nói rằng: “Nắm được đường tròn lượng giác thì dễ dàng hiểu được định nghĩa các hàm số lượng giác, hệ thức liên quan, giải phương trình lượng giác cơ bản và biểu diễn các nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác” [SGVNC11, tr.48] Như vậy, ĐTLG có vai trò quan trọng - đơn giản hoá trong việc đưa vào khái niệm hàm số lượng giác ở lớp 11, là “công cụ đắc lực giúp cho học sinh nhớ các công thức một cách thông minh”. Hay nói các khác, ĐTLG có ảnh hưởng lớn đến HS khi tiếp cận góc cung lượng giác. Cụ thể là tác giả SGK đã đưa vào tính chất “tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác” để giới thiệu về khái niệm Góc cung lượng giác như sau: 45 “ Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α gọi là điểm xác định bởi số α (hay bởi cung α , hay bởi góc α ).Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo α . Ta nhận xét ngay rằng: Ứng với mỗi số thực α có một điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực. Các số thực đó có dạng 2kα π+ , k∈ ℤ” .[SGKNC10, tr.193]. Nhận xét: - SGKNC10 chuẩn bị tri thức cho việc đưa vào hàm số lượng giác thông qua tính chất “tương ứng giữa số thực và điểm trên ĐTLG”. - Sau khi định nghĩa ĐTLG, tác giả giới thiệu H1 mà theo chúng tôi, nó có ý nghĩa rất quan trọng. H1: Hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giáctại A, hình dung At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như hình vẽ: điểm M1 trên trục At có tọa độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giácthỏa mãn số đo cung AM = α Hỏi: a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác? b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A' trên đường tròn lượng giác(A' là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tùy ý trong số các điểm đó cách nhau bao nhiêu ? [SGKNC10, tr.193] Một chú ý về hoạt động trong này trong SGVNC10 như sau: “Về thực chất, hoạt động này mô tả một ánh xạ từ tập số thực trên trục số lên tập các điểm trên đường tròn, đồng thời cũng chuẩn bị cho việc nêu khái niệm hàm số lượng giác biến số thực sau này”. [SGVNC10, tr.159] Để định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác, chúng ta có thể dùng nhiều phương pháp như phương pháp vectơ, ĐTLG, phương pháp giải tích, phương pháp tiên đề .....Nếu trong SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000 chọn phương pháp vectơ để định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác và việc chọn ĐTLG để định nghĩa chỉ được nêu thành một nhận xét thì SGK sau này, trong đó có SGKNC10, lại sử dụng nhiều cách định nghĩa dùng ĐTLG. 46 “ Phương pháp định nghĩa dùng đường tròn lượng giác trực quan dễ hiểu, biểu diễn đồng thời các cung cùng với giá trị lượng giác của nó. Từ đó, dễ dàng cho việc khảo sát hàm số lượng giác sau này (...) Ở đây, nên cho học sinh thấy được dù góc lượng giác được mở rộng như thế nào thì giá trị lượng giác sẽ tương ứng được biểu diễn trên trục của nó; thấy được mối quan hệ biện chứng giữa các giá trị lượng giác của góc (cung) và ý nghĩa các trục lượng giác”.[SGVNC10, tr.160] Theo chúng tôi, việc lựa chọn cách định nghĩa giá trị lượng giác của góc(cung) bằng ĐTLG của tác giả SGK xuất phát từ các lý do: - Một mặt, mô tả trực quan về cung (góc) lượng giác; mặt khác, nhấn mạnh ý nghĩa của việc xác định vị trí của điểm trên ĐTLG nhờ số thực. - Phù hợp với yêu cầu giảm tải trong việc biên soạn chương trình và SGK, giảm tính hàn lâm, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn. - Định nghĩa ĐTLG là một trong các yếu tố công nghệ giải thích cho các kỹ thuật chứng minh các tính chất của hàm số lượng giác và biểu diễn nghiệm của PTLG sau này ở thể chế 11. Sau định nghĩa ĐTLG cùng tính chất tương ứng giữa số thực và điểm trên ĐTLG, hệ tọa độ vuông góc gắn với ĐTLG được đưa vào SGKNC10. Đặc biệt, chúng tôi thấy: “ngầm ẩn” trong lời khuyên về việc dạy hệ tọa độ vuông góc gắn với ĐTLG được trình bày dưới đây là một sự chuẩn bị tri thức cho việc giới thiệu hàm số lượng giác ở lớp 11. Các định nghĩa sin, côsin, tang và côtang cùng các tính chất và ý nghĩa hình học của chúng lần lượt được trình bày trong SGKNC10 bằng cách sử dụng tọa độ của điểm trên ĐTLG. Nhận xét: Như vậy chúng ta càng khẳng định chắc chắn rằng: ĐTLG là con đường mà thể chế lựa chọn để đưa các tri thức lượng giác đến với HS, thông qua hình ảnh minh họa trực quan, thể chế mong muốn HS có thể nắm rõ các khái niệm mới theo con đường thực tế, đồng thời là nền tảng cho chương trình 11. 2.3. Biểu diễn một cung lượng giác, một góc lượng giác trên ĐTLG Đây là một kiểu nhiệm vụ tồn tại trong thể chế toán 10. Kiểu nhiệm vụ Txđ-đtllg: Xác định điểm cuối của cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác hay một họ góc lượng giác trên ĐTLG khi biết số đo của góc (cung) đó. Kỹ thuật τxđ-đtlg: Dùng tính chất giá trị lượng giác của góc để minh họa trên ĐTLG. 47 Đây cũng là dạng bài tập xuất hiện trong SGKNC10 và SGKCB10 ở bài Góc và Cung lượng giác. Để làm tốt dạng bài tập này, HS cần nắm vững định nghĩa Góc và Cung lượng giác cũng như số đo của chúng, nắm rõ các quy tắc chiều của ĐTLG cũng như các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt. Đặc biệt HS phải nắm rõ quy tắc: Khi biểu diễn một cung (góc) lượng giác bao giờ cũng chọn điểm đầu A, điểm cuối M tuỳ thuộc vào độ lớn và dấu của cung (góc) để ta biểu diễn cho đúng. + 2 ,x k kα π= + ∈ được biểu diễn trên ĐTLG bởi một điểm. + ,x k kα π= + ∈ được biểu diễn trên ĐTLG bởi hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. + 2 , , , 3kx k n n n πα= + ∈ ≥ được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn. M O B' B A' A Nhận xét: Đây là bài tập mang mục đích thực hành, giúp HS cũng cố lại các kiến thức góc cung LG đã học thông qua ĐTLG. Đây cũng chính là KT4 trong kỹ thuật lấy nghiệm của nhiệm vụ TGPT-ĐB-ĐK. Qua đây chúng tôi càng có cơ sở khẳng định rằng: KT4 sẽ được HS ưu tiên khi giải quyết TGPT-ĐB-ĐK . 2.4. Một số công thức, tính chất đặc biệt của góc lượng giác Để giải quyết tốt KT1, KT2 trong việc lấy nghiệm PTLG có ĐK, HS cần nắm rõ cách sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác, mối quan hệ giá trị lượng giác của các 48 góc cung đặc biệtđể có thể đưa ĐKXĐ và PTLG cơ bản nhận được sau khi giải về đúng ý đồ của từng kỹ thuật đã trình bày ở trên. Trong đó đặc biệt là các công thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1sin cos 1 1 tan 1 cot cos sin sin2 2sin cos cos2 2cos 1 1 2sin x x x x x x x x x x x x + = + = + = = = − = − Đặc biệt ở KT3, HS phải nắm rõ các tính chất như sin( 2 ) sinx k xπ+ = hay giá trị lượng giác của các góc cung đặc biệt để thay vào rút gọn, kiểm tra ĐKXĐ của nghiệm vừa nhận được. 2.5. Nghiệm của phương trình lượng giác Nghiệm của PTLG cơ bản như phân tích ở chương I cũng được xây dựng dựa trên hình ảnh trực quan của ĐTLG. Cụ thể là: 2 sin sin , 2 x k x k x k α π α π α π = + = ⇔ ∈ = − +  cos cos 2 ,x x k kα α π= ⇔ = ± + ∈ tan tan ,x x k kα α π= ⇔ = + ∈ cot cot ,x x k kα α π= ⇔ = + ∈ . SGVNC11 chú ý GV: “PTLG thường có vô số nghiệm (do tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác). Do đó, chỉ cần biết một nghiệm của PTLG, ta sẽ biết được mọi nghiệm của nó nhờ vào “công thức nghiệm”” [SGVNC11, tr.31]. Tuy nhiên, do tính chất của hàm số lượng giác mà HS đã được học, thì khi biểu diễn những họ nghiệm này lên các ĐTLG ta sẽ được một số điểm hữu hạn. Vì tính chất này, chỉ cần biết một nghiệm của PTLG, ta sẽ biết được mọi nghiệm của nó nhờ vào “công thức nghiệm” thuộc. Từ đó, chúng tôi càng khẳng định rằng: HS và GV sẽ ưu tiên KT4. SGVNC11 cũng nhấn mạnh rằng : “ Khái niệm Số họ nghiệm của một PTLG là một khái niệm mơ hồ. Vì khi cần thiết ta có thể tách một họ nghiệm nào đó thành nhiều họ nghiệm khác nhau hoặc có thể ghép nhiều họ nghiệm lại thành một họ nghiệm. Do vậy nên tránh đề cập đến số họ nghiệm của PTLG. Nhưng lưu ý, một số trường hợp vẫn phải 49 tách một thành nhiều họ nghiệm (chẳng hạn để xét các điều kiện mà nghiệm phải thỏa mãn) hoặc gộp nhiều họ nghiệm thành một họ nghiệm (để đơn giản kết quả bài toán)” [SGVNC11, tr.34]. Điều này chứng tỏ rằng, việc lấy nghiệm PTLG có ĐK vẫn được thể chế tường minh nhắc đến và lưu ý cho GV nắm rõ các yêu cầu, lưu ý liên quan đến “họ nghiệm”. 2.6. Tính chất của hàm số lượng giác Một trong những mục tiêu về kiến thức quan trọng mà học sinh phải đạt được sau khi học chương Hàm số lượng giác và PTLG là: “Biết cách dựa vào chuyển động của điểm trên đường tròn lượng giác và trên các trục sin, trục cosin, trục tang, trục cotang để khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác tương ứng rồi thể hiện sự biến thiên đó lên đồ thị”.[SGVNC11, tr.17] Hay SGKNC11 có chú ý: “Học sinh cần chú ý tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác và phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản”[SGKNC11, tr.3] . Qua đó, chúng ta thấy được rằng ngôn ngữ “ĐTLG” được thể chế Việt Nam ưu tiên chọn lựa, là “con đường trực quan” giới thiệu khái niệm hàm số lượng giác. SGKNC11 đã xây dựng định nghĩa các hàm số lượng giác dựa vào ý nghĩa hình học của giá trị lượng giác đã được giới thiệu ở thể chế 10. Chú ý rằng hàm số lượng giác được trình bày ở đây là hàm số lượng giác của biến số thực và có số đo radian chứ không phải số đo độ của góc(cung) lượng giác. Về tính chất của hàm số lượng giác, SGK chỉ nêu tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn. + Tính chẵn lẻ: SGK chỉ giới thiệu về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác và không chứng minh vì tính chẵn lẻ HS đã được học ở đại số 10. + Tính tuần hoàn: tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác ảnh hưởng trực tiếp đến các kỹ thuật lấy nghiệm mà chúng tôi đã trình bày ở trên, bởi vì để biểu diễn cung góc LG lên ĐTLG thì ta phải biết được chu kì tuần hoàn của cung góc LG đó. Mặt khác, tính chất này lần đầu tiên xuất hiện trong thể chế, nên SGKNC11 đã trình bày định nghĩa tường minh, thông qua việc sử dụng tính chất của giá trị lượng giác của góc (cung) đã được giới thiệu ở lớp 10 để chứng minh sự tồn tại chu kỳ của các hàm số lượng giác, cụ thể: Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số k2π thỏa mãn sin( 2 ) sinx k xπ+ = với 50 mọi x. Ngược lại, có thể chứng minh số T sao cho sin( ) sinx T x+ = với mọi x phải có dạng 2T k π= , k là một số nguyên. Rõ ràng, trong các số dạng 2 ( )k kπ ∈ , số dương nhỏ nhất là 2π . Vậy đối với hàm số y = sinx, số 2T π= là số dương nhỏ nhất thoả mãn: sin( ) sinx T x+ = với mọi x. Hàm số y = cosx cũng có tính chất tương tự. Ta nói hai hàm số đó là những hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π . [SGKNC11, tr.4-5] Từ “tuần hoàn” được SGK giải thích khá đơn giản bằng cách sử dụng ví dụ cụ thể để HS tự hình thành cách hiểu của mình: “Đối với hàm số y=sinx có chu kì tuần hoàn là 2π , khi ta biết giá trị của nó trên một đoạn có độ dài 2π thì ta tính được giá trị của chúng tại mọi x ( Cứ mỗi khi biến số được cỗng thêm 2π thì giá trị hàm số lại trở về như cũ; điều này giải thích từ tuần hoàn) . ”[SGKNC11, tr.5]. Rõ ràng, tính tuần hoàn vẫn được thể chế lựa chọn cách hiểu trực quan, cụ thể để giới thiệu đến HS. [] (Cứ mỗi khi biến số được cộng thêm 2π thì giá trị của hàm số đó lại trở về như cũ; điều này giải thích từ “tuần hoàn”).” [SGKNC11, tr.4] Như vậy, cũng giống như xét tính chẵn-lẻ, tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác cơ bản được xây dựng dựa trên những lập luận đại số. Yếu tố lý thuyết giải thích cho tính chất ( )sin 2 sinx k xπ+ = được nêu trong SGKNC10 cũng là sự biểu diễn các giá trị lượng giác trên ĐTLG. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác (cụ thể là y = sinx): Cũng theo mục đích chung của SGK là “giảm tính hàn lâm, tăng tính trực quan thực tế”, sự biến thiên của hàm số lượng giác được trình bày dựa trên ĐTLG bằng cách: “ Sách giáo khoa trình bày việc khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx nhờ theo dõi chuyển động của điểm K (hình chiếu trên trục sin của điểm M, (OA,OM) = x); điều đó giúp học sinh dễ hình dung sự biến thiên một cách trực quan hơn” . [SGVNC11, tr.18]. Phần đồ thị cũng được trình bày sơ lược thông qua việc vẽ đồ thị trên một đoạn và dùng tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn để hoàn thành . Đây cũng là lựa chọn của thể chế, như chúng tôi phân tích ở trên. Theo tinh thần giảm tính lý thuyết kinh viện, tăng tính thực hành, góp phần đổi mới phương pháp, nếu [SGVCB11, tr. 21] cho rằng: 51 “ vì tác giả SGK đã định nghĩa hàm số lượng giác dựa trên đường tròn lượng giác, ngoài ra không còn kiến thức nào khác, nên một cách tự nhiên là sử dụng đường tròn lượng giác để khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác”. Thì SGVNC11 nêu: “Tận dụng tối đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác một cách trực quan để khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác, giải các phương trình lượng giác cơ bản”.[SGVNC11, tr.10]. Nhận xét: Tính chất tuần hoàn cũng là một công cụ đắc lực khi HS dùng KT4, cũng như hình ảnh ĐTLG xuất hiện khá nhiều trong phần tính chất hàm số lượng giác, được xem là con đường thích hợp nhất mà thể chế lựa chọn. 2.7. Kết luận chương Từ những kết quả phân tích ở trên, chúng tôi đưa ra kết luận sau: - Việc phân tích chương trình, SGK Đại số và Giải tích 11 cho phép chúng tôi khẳng định một lần nữa: Thể chế ở trường phổ thông ưu tiên dùng phương pháp trực quan để khảo sát hàm số lượng giác, cụ thể là ĐTLG. Đây cũng là “con đường” để thế chế đưa các kiến thức về LG cũng như tính chất hàm số lượng giác và nghiệm PTLG cơ bản. - ĐTLG luôn gắn liền với các khái niệm LG và hàm số LG, nhất là liên quan trực tiếp tới các kiểu nhiệm vụ Txđ-đtllg ( là một bước của KT4 ).  Sau khi phân tích thể chế ở phía trên, chúng tôi nhận thấy rằng: có thể KT4 là kỹ thuật được thể chế, GV và HS có thể sử dụng nhiều nhất. Điều này cũng phù hợp với yêu cầu của thể chế ở chương này đã trình bày ở phía trên. Tuy nhiên, kỹ thuật này có hạn chế: chỉ áp dụng cho những PTLG có nghiệm và ĐK là những góc cung quen thuộc và đơn giản, thuận lợi cho việc biểu diễn trên ĐTLG. Nhưng vấn đề này không ảnh hưởng đến dự đoán của chúng tôi, vì theo thể chế, các dạng bài tập PTLG ở thể chế 11 không quá phức tạp, chỉ dừng ở mức độ vừa phải và không mang tính đánh đố. Do đó chúng tôi càng khẳng định KT4 sẽ được thể chế ưu tiên. Từ đó, dẫn đến hợp đồng R3: “Để xác định nghiệm thuộc tập xác định của PTLG có điều kiện chứa ẩn ở căn thức và mẫu (thuộc kiểu nhiệm vụ TGPT-ĐB- ĐK), HS sẽ sử dụng đường tròn lượng giác”. Từ những kết quả nghiên cứu ở trên, chúng tôi tiếp tục có cơ sở cho các khẳng định của mình, dẫn đến giả thuyết nghiên cứu sau:  Giả thuyết H1: Tồn tại bốn quy tắc hợp đồng sau 52  R1: Khi giải PTLG, HS không sử dụng đồ thị mà chỉ sử dụng các phép biến đổi đại số đưa PTLG đã cho về các dạng PTLG cơ bản.  R2: HS không có nhiệm vụ kiểm tra điều kiện xác định đối với phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với hàm số tang ( hoặc cotang).  R3: Để xác định nghiệm thuộc tập xác định của PTLG có điều kiện chứa ẩn ở căn thức và mẫu (thuộc kiểu nhiệm vụ TGPT-ĐB-ĐK), HS sẽ sử dụng đường tròn lượng giác. Mặt khác, theo chúng tôi dự đoán, vì HS chịu sự chi phối của hợp đồng R3 (nếu có) thì HS sẽ sử dụng KT4, muốn vậy trước tiên HS luôn đặt ĐKXĐ và tiến hành giải ĐK. Vì thế, chúng tôi dự đoán thêm một hợp đồng là:  R4: Khi gặp PTLG có điều kiện thuộc kiểu nhiệm vụ TGPT-ĐB-ĐK , HS có nhiệm vụ đặt điều kiện xác định và giải các điều kiện ấy. 53 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM  Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm trên HS dưới đây nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu H1.  Hình thức thực nghiệm - Thực nghiệm được tiến hành với 70 HS lớp 11 THPT Thường Tân (Bình Dương), 32 HS trường THPT Tân Phước (Tiền Giang) và 17 HS trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Vũng Tàu) sau khi học xong chương hàm số và PTLG. Thực nghiệm được tổ chức dưới dạng giải các bài toán như hình thức kiểm tra viết. HS làm bài cá nhân trên tờ giấy làm bài và giấy nháp mà chúng tôi phát sẵn. Bài làm và giấy nháp của HS sẽ được thu lại để phân tích. - Tổng thời gian dành cho 2 bài toán thực nghiệm là 80 phút, chia làm ba pha + Pha 1 (20 phút): HS giải bài toán 1, + Pha 2 (10 phút): HS giải bài toán 2, + Pha 3 (40 phút) : HS giải bài toán 3. Ba pha được diễn ra trong 2 tiết liền của một buổi, với 70 phút làm bài thực nghiệm và 20 phút còn lại là thời gian phát đề, hướng dẫn HS và thu bài giữa các pha. Để thuận lợi trong quá trình t