Luận văn Tính chất thứ tự của một số không gian hàm

∈ . Định nghĩa . A là chuẩn trên [ ]( ), ,HL a b K . Khi đó [ ]( ), ,HL a b K là nón của [ ]( ), ,HL a b E và thứ tự từng điểm hầu khắp nơi của [ ]( ), ,HL a b E sinh bởi [ ]( ), ,HL a b K . Chứng minh: [ ]( ) [ ]( ), , 0 , ,HL a b K do HL a b Kφ≠ ∈ . [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )( ) { } [ ]( ) [ ]( ) , , , , , , . , , , , 0 . , , , , , 0. HL a b K HL a b K HL a b K HL a b K HL a b K HL a b K HL a b Kλ λ + ⊂ ∩ − = ⊂ ∀ ≥ Ta chứng minh [ ]( ), ,HL a b K là đóng. Giả sử ( )nu là dãy trong [ ]( ), ,HL a b K hội tụ tới [ ]( ), ,u HL a b E∈ , nghĩa là 0n Au u khi n− → →∞ . Suy ra ( ) ( ) [ ] [ ], , , d d K K n c c u s ds u s ds c d a b khi n→ ∀ ⊂ →∞∫ ∫ . ( )* Vì ( ) 0nu s ≥ với mọi n và với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ nên ( ) 0 d K n c u s ds ≥∫ . Do đó ( ) d K n c u s ds K∈∫ với mọi n và [ ] [ ], ,c d a b⊂ . Vì K là đóng nên từ ( )* suy ra ( ) d K c u s ds K∈∫ với mọi n và [ ] [ ], ,c d a b⊂ . Do đó ( )u t K∈ với hầu khắp nơi [ ],t a b∈ . Vậy [ ]( ), ,u HL a b K∈ . Hơn nữa, nếu [ ]( ), , ,u v HL a b K∈ thì ( ) ( )u t v t≤ với hầu khắp nơi [ ],t a b∈ khi và chỉ khi [ ]( ), ,v u HL a b K− ∈ . Vậy [ ]( ), ,HL a b K suy ra thứ tự từng điểm hầu khắp nơi [ ]( ), ,HL a b E .  Định lý 2.1.7 Cho E là không gian Banach có thứ tự và K là nón thứ tự của E. a) Nếu K là nón chuẩn thì [ ]( ), ,HL a b K là nón chuẩn. b) Nếu K là nón chính qui thì [ ]( ), ,HL a b K là nón chính qui. Chứng minh: a) Giả sử K là nón chuẩn, với mọi [ ]( ), , ,u v HL a b K∈ và u v≤ . Khi đó 19 ( ) ( )0 u s v s≤ ≤ với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Suy ra nếu I là khoảng con đóng của [ ],a b , thì ( ) ( )0 .K K I I u s ds v s ds≤ ≤∫ ∫ Vì K là nón chuẩn nên tồn tại 1N ≥ sao cho ( ) ( )K K I I u s ds N v s ds≤∫ ∫ với mọi khoảng con đóng I của [ ],a b . Do đó, ta có ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] sup : , , sup : , , . d K A c d K A c u u s ds c d a b N v s ds c d a b N v   = ⊂ ≤       ⊂ =     ∫ ∫ Vậy [ ]( ), ,HL a b K là nón chuẩn. b) Giả sử ( ) 1n nu ∞ = là dãy tăng trong [ ]( ), ,HL a b K và có cận trên u+ trong [ ]( ), ,HL a b K . Do đó ( ) ( ) ( )10 n nu s u s u s+ +≤ ≤ ≤ với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Vì K là nón chính qui nên tồn tại hàm khả tích HL [ ]: ,u a b E→ sao cho ( ) ( )lim nnu s u s→∞= với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Khi đó ( ) ( ) ( )10 n nu s u s u s+≤ ≤ ≤ với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Suy ra [ ]( ), ,nu u HL a b K− ∈ với mọi n∈ . Suy ra nếu I là khoảng con đóng của [ ],a b thì ( ) ( )( )n I u s u s ds K− ∈∫ . Nếu [ ],c d là khoảng con đóng của [ ],a b thì 20 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 . d c d b K K K K n n c a c d b K n a u s u s ds u s u s ds u s u s ds   ≤ − ≤ + + −    = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Do K là nón chuẩn nên: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ], , , , d b K K n n c a u s u s ds N u s u s ds n c d a b− ≤ − ∀ ∈ ∀ ⊂∫ ∫  . Suy ra: ( ) ( )( ) [ ] [ ] ( ) ( )( ) sup : , , . d K n nA c b K n a u u u s u s ds c d a b N u s u s ds   − = − ⊂     ≤ − ∫ ∫ Vì ( ) ( )( ) 0 b K n a u s u s ds− →∫ nên 0n Au u− → khi n→∞ . Vậy [ ]( ), ,HL a b K là nón chính qui.  Các kết quả ở mục 2.2 sau đây được tham khảo trong [1, tr.421-428] và [3, tr.469- 477]. 2.2. Tính chất thứ tự của một xích 2.2.1. Xích trong không gian ( ),pL EΩ Bổ đề 2.2.1 Nếu ( )0 µ< Ω < ∞ thì ( ) ( ) ( )1, , ,pL E L E L E∞ Ω ⊂ Ω ⊂ Ω với mọi ( )1,p∈ ∞ và lim pp x x ∞ →∞ = với mọi ( ),x L E∞∈ Ω . (1) Hơn nữa, nếu E là không gian Banach có thứ tự và nếu nón của E là chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui) thì mỗi xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong ( ),L E∞ Ω có cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất trong ( ),L E∞ Ω . Chứng minh: 21 Cho ( ),x L E∞∈ Ω . Vì ( )x t x ∞≤ với hầu khắp nơi t∈Ω nên ( ) 1 p p x xµ ∞ ≤ Ω ( )2 với mọi [ )1,p∈ ∞ , do đó ( ) ( ), ,pL E L E∞ Ω ⊂ Ω . Theo định nghĩa của chuẩn x ∞ thì với mọi 0ε > , có tập con B ⊂Ω với ( ) 0Bµ > sao cho ( )x t x ε∞≥ − với mọi t B∈ . Do đó ( ) ( ) 1 p p B x xµ ε ∞ − ≤ (3) Từ (2) và (3) suy ra với mọi 0ε > liminf limsup p pp p x x x xε ∞ ∞→∞ →∞ − ≤ ≤ ≤ , suy ra (1). Chọn vectơ đơn vị e E∈ và ( )y t e≡ trong bất đẳng thức Holder , ta có với mọi ( ), , 1 ,px L E p∈ Ω < < ∞ ( ) 1 1 q p x xµ≤ Ω do đó ( ) ( )1, ,pL E L EΩ ⊂ Ω . Giả sử E là không gian Banach có thứ tự với nón thứ tự K là chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui). Cho C là xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong ( ),L E∞ Ω và cho [ )1,p∈ ∞ . Theo chứng minh trên thì C là xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong ( ),pL EΩ . Do K là nón chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui) nên theo mệnh đề 2.1.3 thì ( ),pL KΩ là nón chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui). Suy ra C có cận trên bé nhất *x trong ( ),pL EΩ và có dãy tăng ( ) 0n nx ∞ = trong C hội tụ tới *x trong ( ),pL EΩ . Theo bổ đề 2.1.1 ( ) 0n nx ∞ = có dãy con hội tụ từng 22 điểm hầu khắp nơi trong Ω tới *x . Vì dãy ( )( ) 0n nx t ∞ = tăng với hầu khắp nơi t∈Ω nên giả sử ( ) 0n nx ∞ = hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trong Ω tới *x . Hơn nữa, tồn tại M > 0 sao cho ( )nx t M≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . Do đó ( ) ( ) ( )* lim supn nn n x t x t x t →∞ = = và ( )*x t M≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . Suy ra ( )* ,x L E∞∈ Ω và * supx C= trong ( ),L E∞ Ω . Sự tồn tại inf C suy ra từ chứng minh trên vì ( )inf supC C= − − .  Mệnh đề 2.2.2 Nếu ( ), ,A µΩ là không gian độ đo σ -hữu hạn và E là không gian Banach có thứ thự với nón chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui) thì mỗi xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) của ( ),L E∞ Ω có cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất trong ( ),L E∞ Ω . Chứng minh: Vì Ω là σ -hữu hạn nên 0 n n A ∞ = Ω =  với 1n nA A +⊂ và ( ) ,nA nµ < ∞ ∀ ∈ . Cho C là xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong ( ),L K∞ Ω . Chọn M > 0 sao cho ( )x t M≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi x C∈ . Tập { }| | : ,n nC A x A x C n= ∈ ∀ ∈ là xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong ( ),nL A K∞ . Theo bổ đề 2.2.1 suy ra tồn tại ( )sup |n nx C A= trong ( ),nL A K∞ và ( ) 0nx t = với \ nt A∈Ω . Ta thu được dãy những hàmµ -đo được :nx KΩ→ . Dãy này tăng vì 1n nA A +⊂ , bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) và ( )nx t M≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi n∈ . Do đó tồn tại ( ) ( ) ( )* lim supn nn n x t x t x t →∞ ∈ = =  ( )1 23 với hầu khắp nơi t∈Ω . Theo định nghĩa tồn tại t∈Ω sao cho ( )* 0x t = . Ta thu được hàm µ -đo được * :x KΩ→ thỏa ( )*x t M≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . Vậy ( )* ,x L K∞∈ Ω . Nếu x C∈ thì | n nx A x≤ , do đó ( ) ( ) ( )*nx t x t x t≤ ≤ với hầu khắp nơi nt A∈ và với mọi n∈ . Vậy *x x≤ với mọi x C∈ , do đó *x là cận trên của C . Nếu ( ),y L K∞∈ Ω là cận trên khác của C thì ( ) ( )x t y t≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi x C∈ . Do đó | |n nx A y A≤ với mọi n∈ và x C∈ , khi đó ( ) ( )nx t y t≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi n∈ . Điều này và (1) suy ra *x y≤ , do đó * supx C= trong ( ),L K∞ Ω . Nếu C là xích trong ( ),L E∞ Ω và 0x C∈ thì { }0 0 0| ,C x x x C x x= − ∈ ≤ là xích trong ( ),L K∞ Ω , do đó tồn tại 0supC trong ( ),L K∞ Ω . Nhưng 0 0supx C+ là cận trên nhỏ nhất của C trong ( ),L E∞ Ω . Chứng minh trên suy ra tồn tại ( )inf supC C= − − trong ( ),L E∞ Ω .  Bồ đề 2.2.3 Cho E là không gian Banach có thứ tự với nón K. Một xích C của ( ),B EΩ có cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất trong các trường hợp sau: a) C bị chặn thứ tự và K là chính qui. b) C bị chặn và K là hoàn toàn chính qui. c) C bị chặn và E là phản xạ. Chứng minh: a) Cho C là xích bị chặn thứ tự trong ( ),B EΩ , và cho ( ), ,a b B E∈ Ω thỏa mãn ( ) ( ) ( )a w x w b w≤ ≤ với mọi x C∈ và w∈Ω . Nếu K là chính qui thì tồn tại 24 ( ) ( ) ( ) ( )inf , sup x C x C y w x w z w x w ∈ ∈ = = (a) với mọi w∈Ω và ( ) ( ) ( ) ( )a w y w z w b w≤ ≤ ≤ với mọi w∈Ω . Điều này và tính chuẩn của K suy ra ( ), ,y z B E∈ Ω . Theo (a) thì inf , supy C z C= = . b) Cho C là xích bị chặn trong ( ),B EΩ . Khi đó tồn tại số 0M > sao cho ( ) , , .x w M x C w≤ ∀ ∈ ∈Ω (b) Nếu K là hoàn toàn chính qui thì tồn tại ánh xạ , :y z EΩ→ được định nghĩa bởi (a) và với mọi w∈Ω cố định, tồn tại dãy giảm ( )ny và dãy tăng ( )nz trong C sao cho ( ) ( )ny w y w→ và ( ) ( )nz w z w→ . Theo (b) thì ( ), ,y z B E∈ Ω . Từ (a) suy ra inf , supy C z C= = . c) Cho C là xích bị chặn trong ( ),B EΩ và cho M > 0 thỏa mãn (b). Nếu E là phản xạ thì tồn tại ánh xạ , :y z EΩ→ được định nghĩa bởi (a) và với mỗi w∈Ω cố định tồn tại dãy giảm ( )ny và dãy tăng ( )nz trong C sao cho ( )ny w hội tụ yếu tới ( )y w và ( )nz w hội tụ yếu tới ( )z w . Theo (b) ta có: ( ) ( )liminf nny w y w M→∞≤ ≤ và ( ) ( )liminf nnz w z w M→∞≤ ≤ . Vậy ( ), ,y z B E∈ Ω và theo (a) suy ra inf , supy C z C= = .  Bồ đề 2.2.4 Cho C là tập con được sắp thứ tự tốt của không gian định chuẩn có thứ tự E và giả sử mỗi dãy tăng của C có giới hạn yếu (tương ứng mạnh) trong E. Khi đó C chứa dãy tăng mà hội tụ yếu (tương ứng mạnh) tới supC. Bồ đề 2.2.5 25 Cho không gian Banach có thứ tự E mà mỗi dãy tăng và bị chặn có giới hạn yếu và [ )1,p∈ ∞ , giả sử C là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt của ( ),pL EΩ . Nếu ( )µ Ω < ∞ thì C chứa dãy tăng hội tụ yếu từng điểm hầu khắp nơi tới supC. Chứng minh: Cho C là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt của ( ),pL EΩ . Vì ( )µ Ω < ∞ nên ( ),pL EΩ liên tục được nhúng trong ( )1 ,L EΩ , do đó C là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt trong ( )1 ,L EΩ . Nếu ,u v C∈ và u v≤ thì u v Ω Ω ≤∫ ∫ . Vậy v C v Ω ∈       ∫ là tập con bị chặn và được sắp thứ tự tốt của E mà những dãy tăng và bị chặn thì có giới hạn yếu . Theo bổ đề 30 có dãy tăng ( ) 1n nu ∞ = trong C sao cho lim sup supw n nn n v C u u v →∞ ∈Ω Ω Ω = =∫ ∫ ∫ (1) Hơn nữa, với hầu khắp nơi t∈Ω dãy ( )( ) 1n nu t ∞ = tăng và bị chặn, do đó tồn tại ( ) ( ) ( )lim supw n nn n u t u t u t →∞ = = (2) với hầu khắp nơi t∈Ω . Hàm u là đo được và ( ) ( )liminf pp nn u t u t →∞ ≤ < ∞ với hầu khắp nơi t∈Ω . Theo bổ đề Fatou, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )liminf liminf p p p n nn n u t d t u t d t u t d tµ µ µ →∞ →∞ Ω Ω Ω ≤ ≤ < ∞∫ ∫ ∫ . Suy ra ( ) ( ),pt u t L∈ Ω  , do đó ( ),pu L E∈ Ω . Ta chứng minh u là cận trên của C . Cho w C∈ . Trước tiên giả sử nu w≤ với mọi n∈ . Theo ( )2 thì u w≤ . Theo ( )1 và ( )2 thì sup sup .n v C n w v u u ∈Ω Ω Ω Ω ≤ = ≤∫ ∫ ∫ ∫ ( )3 Nếu A là tập con đo được của Ω thì A A u w≤∫ ∫ và \ \A A u w Ω Ω ≤∫ ∫ . 26 Nếu A A u w<∫ ∫ thì \ \A A A A u u u w w w Ω Ω Ω Ω = + < + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ mâu thẫn với ( )3 .Vậy A A u w=∫ ∫ với mỗi tập con đo được A của Ω , do đó w u= . Chứng minh trên chứng minh là w u= , với mỗi w C∈ và nu w≤ với mọi n∈ . Nếu nw u≤ với mọi n∈ thì theo ( )2 w u≤ . Vậy w u≤ với mọi w C∈ . Ta chứng minh supu C= . Cho ( ),pv L E∈ Ω là cận trên của C . Khi đó ( ) ( )nu t v t≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi n∈ . Kết quả này và (2) suy ra ( ) ( ) ( )sup n n u t u t v t= ≤ với hầu khắp nơi t∈Ω , tức là u v≤ . Vậy sup .u C=  Kế tiếp xét trường hợp p = ∞ . Bồ đề 2.2.6 Cho E là không gian Banach có thứ tự mà mỗi dãy tăng và bị chặn có giới hạn yếu . Nếu ( )µ Ω < ∞ thì mỗi xích C bị chặn và được sắp thứ tự tốt của ( ),L E∞ Ω chứa dãy tăng mà hội tụ yếu từng điểm hầu khắp nơi tới supC . Chứng minh: Nếu ( ),u L E∞∈ Ω thì ( )u t u ∞≤ với hầu khắp nơi t∈Ω , suy ra ( )1u uµ ∞≤ Ω . Do đó ( ),L E ∞ Ω là liên tục được nhúng trong ( )1 ,L EΩ . Cho C là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt của ( ),L E∞ Ω thì C cũng là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt của ( )1 ,L EΩ . Nếu ( ) 1n nu ∞ = là dãy tăng trong C thì có M > 0 sao cho với mọi n∈ ( )n nu t u M∞≤ ≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . 27 Do đó ( ) 1n nu ∞ = cũng bị chặn từng điểm hầu khắp nơi. Theo bổ đề 2.2.5 C có cận trên bé nhất u trong ( )1 ,L EΩ và có dãy tăng ( ) 1n nu ∞ = trong C hội tụ yếu từng điểm hầu khắp nơi trong Ω tới u . Suy ra ( ) ( )liminf nnu t u t M→∞≤ ≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . Vậy ( ),u L E∞∈ Ω và supu C= trong ( ),L E∞ Ω .  Kết quả kế tiếp là mở rộng của bổ đề 2.2.5 trong trường hợp µ là σ -hữu hạn. Mệnh đề 2.2.7 Cho ( ), ,A µΩ là không gian độ đo σ -hữu hạn và E là không gian Banach có thứ tự mà mỗi dãy tăng và bị chặn có giới hạn yếu. Giả sử C là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt trong ( ),pL EΩ , 1 p≤ < ∞ . Khi đó C chứa dãy tăng mà hội tụ yếu từng điểm hầu khắp nơi tới supC. Chứng minh: Vì Ω là σ -hữu hạn nên ( )1 0 , ,n n n n n µ ∞ + = Ω = Ω Ω ⊂Ω Ω <∞  , với mọi n∈ . Cho C là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt trong ( ),pL EΩ , 1 p≤ < ∞ . { }| | :n nC u u CΩ = Ω ∈ là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt trong ( ),p nL EΩ với mọi n∈ . Theo bổ đề 2.2.5, tồn tại ( )sup |n nv C= Ω trong ( ),p nL EΩ . Kí hiệu minu C= và định nghĩa ( ) ( ), \n nv t u t t= ∀ ∈Ω Ω , ta thu được dãy những hàm µ -đo được :nv EΩ→ . Dãy này tăng vì 1n n+Ω ⊂ Ω . Nó cũng là bị chặn từng điểm hầu khắp nơi , do đó tồn tại ( ) ( ) ( )* lim supw n nn n u t v t v t →∞ ∈ = =  với hầu khắp nơi t∈Ω . Theo định nghĩa tồn tại t∈Ω để ( )* 0u t = . Hàm u∗ là đo được và ( ) ( )liminf p p nn u t v t∗ →∞ ≤ < ∞ với hầu khắp nơi t∈Ω . Theo bổ đề Fatou, ta có: 28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )liminf liminf p p p n nn n u t d t v t d t v t d tµ µ µ∗ →∞ →∞ Ω Ω Ω ≤ ≤ < ∞∫ ∫ ∫ . Suy ra ( ) ( ),pt u t L∗ ∈ Ω  , do đó ( ),pu L E∗ ∈ Ω . Theo bổ đề 2.2.5 với mọi n∈ tồn tại dãy tăng ( ) 0 n k k u ∞ = của C và tập có độ đo không n nZ ⊂Ω sao cho ( ) ( ) ( )lim sup , \w n nn k k n nk k v t u t u t t Z →∞ ∈ = = ∀ ∈Ω  . Kí hiệu { }max : 0 ,jn nu u j n n= ≤ ≤ ∈ , ta thu được dãy tăng ( )nu của C thỏa ( ) ( ) ( )* ,nk nu t u t u t≤ ≤ với mọi 0,...,k n= và \n nt Z∈Ω . Hơn nữa, ( )( ) 0n nu t ∞ = là dãy tăng và bị chặn với mọi \t Z∈Ω , với 0 n n Z Z ∞ = =  , do đó tồn tại ( ) ( ) ( )lim supw n nn n u t u t u t →∞ ∈ = =  với mọi \t Z∈Ω . Tuy nhiên, theo định nghĩa của u và nv suy ra ( ) ( ) ( )* , \n n nv t u t u t t Z≤ ≤ ∀ ∈Ω . Vậy ( ) ( ) ( ) ( )* *limw nnu t v t u t u t→∞= ≤ ≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . Do đó *u u= và ( )nu t hội tụ yếu tới ( )*u t với hầu khắp nơi t∈Ω . Ta chứng minh * supu C= . Nếu w C∈ thì | n nw vΩ ≤ , khi đó ( ) ( ) ( )*nw t v t u t≤ ≤ với hầu khắp nơi nt∈Ω và với mọi n∈ . Do đó *w u≤ với mọi w C∈ nên *u là cận trên của C. Nếu ( ),pv L E∈ Ω là cận trên khác của C thì ( ) ( )w t v t≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi w C∈ . Khi đó | |n nw vΩ ≤ Ω với mọi n∈ và w C∈ , do đó 29 ( ) ( )nv t v t≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi n∈ . Kết quả này và định nghĩa của *u suy ra *u v≤ , do đó * supu C= trong ( ),pL EΩ .  2.2.2. Xích của những hàm khả tích Bochner địa phương Ta nói tập con khác rỗng Ω của không gian m là nửa compact nếu Ω là hợp đếm được của những tập con compact của m . Một ánh xạ đo được mạnh u từ tập nửa compact tới không gian Banach E được gọi là khả tích Bochner địa phương trên Ω và kí hiệu ( )1 ,locu L E∈ Ω , nếu u khả tích Bochner trên mỗi tập con compact K của Ω . Kế tiếp, ta nghiên cứu những xích trong không gian có thứ tự từng điểm hầu khắp nơi ( )1 ,locL EΩ , với E là không gian Banach có thứ tự. Bồ đề 2.2.8 Giả sử C là tập con khác rỗng của ( ),pL EΩ , 1 p≤ < ∞ , với Ω là không gian độ đo và E là không gian Banach có thứ tự với nón chính qui. Nếu C là được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi và nếu tồn tại hàm ( ),pu L E± ∈ Ω sao cho ( ) ( ) ( )u t u t u t− +≤ ≤ với mọi u C∈ và với hầu khắp nơi t∈Ω thì C chứa dãy tăng mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới supC. Áp dụng bổ đề 2.2.8 ta thu được mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.9 Cho Ω là tập con nửa compact của m . Giả sử C là tập con khác rỗng của ( )1 ,locL EΩ , E là không gian Banach có thứ tự với nón chính qui và tồn tại hàm ( )1 ,locu L E± ∈ Ω sao cho ,C u u− +⊂ , tức là ( ) ( ) ( )u t u t u t− +≤ ≤ với mọi u C∈ và với hầu khắp nơi t∈Ω . (1) Nếu C là được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì nó chứa dãy tăng mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới supC. Chứng minh: 30 Giả sử C là được sắp thứ tự tốt và thỏa (1). Chọn dãy những tập con compact ,n nΩ ∈ của Ω sao cho 1 0 , ,n n n n n ∞ + = Ω = Ω Ω ⊂Ω ∀ ∈  . Giả sử với mọi n∈ , { }| :n nC u u C= Ω ∈ là xích được sắp thứ tự tốt và bị chặn thứ tự trong ( )1 ,nL EΩ , thứ tự từng điểm hầu khắp nơi. Theo bổ đề 2.2.8 với mọi n∈ tồn tại supn nv C= trong ( )1 ,nL EΩ và tồn tại dãy tăng ( ) 0 k n k u ∞ = của C và tập có độ đo không n nZ ⊂Ω sao cho ( ) ( ) ( )lim sup , \k kn n n n nk k v t u t u t t Z →∞ ∈ = = ∀ ∈Ω  (2) Kí hiệu minu C= và định nghĩa ( ) ( )nv t u t= , \ nt∀ ∈Ω Ω , ta thu được dãy những hàm đo được mạnh :nv EΩ→ . Dãy ( )nv là dãy tăng vì 1,n n n+Ω ⊂ Ω ∀ ∈ . Nó cũng là bị chặn thứ tự từng điểm hầu khắp nơi bởi (1) và (2), do đó tồn tại ( ) ( ) ( )* lim supn nn n u t v t v t →∞ ∈ = =  ( )3 với hầu khắp nơi t∈Ω . Theo định nghĩa tồn tại t∈Ω sao cho ( )* 0u t = , ta thu được hàm đo được mạnh * :u EΩ→ . Kí hiệu { }max : 0 ,nn ju u j n n= ≤ ≤ ∈ , ta thu được dãy tăng ( )nu của C thỏa mãn ( ) ( ) ( )*kn nu t u t u t≤ ≤ với mọi n0,..., à t \ nk n v Z= ∈Ω . Hơn nữa, theo (1) những tập nZ có thể chọn sao cho ( )( ) 0n nu t ∞ = là dãy tăng và bị chặn thứ tự với mọi 0 \ , n n t Z Z Z ∞ = ∈Ω =  . Do đó tồn tại ( ) ( ) ( )lim supn nn n u t u t u t →∞ ∈ = =  với mọi \t Z∈Ω . Theo định nghĩa của nv và u suy ra 31 ( ) ( ) ( )* , \n n nv t u t u t t Z≤ ≤ ∀ ∈Ω . Vậy ( ) ( ) ( ) ( )* *lim nnu t v t u t u t→∞= ≤ ≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . Suy ra *u u= và ( ) ( )*nu t u t→ với hầu khắp nơi t∈Ω . Vì ( )nu là dãy của C nên theo (1) ta có ( ) ( ) ( )*u t u t u t− +≤ ≤ với hầu khắp nơi t∈Ω . Kết quả này và tính đo được mạnh của *u suy ra ( )* 1 ,locu L E∈ Ω . Ta chứng minh * supu C= . Nếu w C∈ thì | n nw vΩ ≤ , khi đó ( ) ( ) ( )*nw t v t u t≤ ≤ với hầu khắp nơi nt∈Ω và với mọi n∈ . Do đó *w u≤ với mọi w C∈ nên *u là cận trên của C. Nếu ( )1 ,locv L E∈ Ω là cận trên khác của C thì ( ) ( )w t v t≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi w C∈ . Khi đó | |n nw vΩ ≤ Ω với mọi n∈ và w C∈ , do đó ( ) ( )nv t v t≤ với hầu khắp nơi t∈Ω và với mọi n∈ . Kết quả này và định nghĩa của *u suy ra *u v≤ , do đó * supu C= trong ( )1 ,locL EΩ .  Vì mỗi dãy tăng của ( )1 ,locL EΩ là được sắp thứ tự tốt và mỗi dãy giảm của ( )1 ,locL EΩ là đảo được sắp thứ tự tốt nên theo mệnh đề 2.2.9 và đối ngẫu của nó, ta thu được kết quả sau: Hệ quả 2.2.10 Giả sử ( )nu là dãy của ( )1 ,locL EΩ mà nón của E là chính qui và tồn tại hàm ( )1 ,locw L E± ∈ Ω sao cho ,nu w w− +∈ với mọi n. a) Nếu ( )nu là dãy tăng thì nó hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới sup n n u u∗ = trong ( )1 ,locL EΩ và ,u w w∗ − +∈ . 32 b) Nếu ( )nu là dãy giảm thì nó hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới * inf nnu u= trong ( )1 ,locL EΩ và * ,u w w− +∈ . 2.2.3 Xích của những hàm khả tích HL và khả tích HL địa phương Trước tiên ta nghiên cứu những không gian có thứ tự từng điểm hầu khắp nơi [ ]( ), ,HL a b E của những hàm khả tích HL từ [ ],a b tới không gian Banach có thứ tự E với nón chính qui. Mệnh đề 2.2.11 Cho C là tập khác rỗng của những hàm đo được mạnh từ [ ],a b tới không gian Banach có thứ tự E với nón chính qui. Giả sử tồn tại [ ]( ), ,u HL a b E± ∈ sao cho ( ) ( ) ( )u s u s u s− +≤ ≤ với mọi u C∈ và với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Khi đó ta có kết quả sau: a) [ ]( ), ,u HL a b E∈ với mọi u C∈ . b) Nếu C là được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì C chứa dãy tăng mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới supC trong [ ]( ), ,HL a b E . c) Nếu C là đảo được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì C chứa dãy giảm mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới infC trong [ ]( ), ,HL a b E . Chứng minh: a) Giả sử u là hàm đo được mạnh và tồn tại [ ]( ), ,u HL a b E± ∈ sao cho ( ) ( ) ( )u s u s u s− +≤ ≤ với mọi u C∈ và với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Khi đó u u+ −− là khả tích HL, u u−− là đo được mạnh và ( ) ( ) ( ) ( )0 u s u s u s u s− + −≤ − ≤ − với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Khi đó u u−− là khả tích HL, do đó ( )u u u u− −= + − là khả tích HL. Vậy [ ]( ), ,u HL a b E∈ với mọi u C∈ . b) Theo giả thiết C là xích bị chặn thứ tự và được sắp thứ tự tốt trong không gian định chuẩn [ ]( )( ), , , . AHL a b E , có thứ tự sinh bởi nón chính qui [ ]( ), ,HL a b K . Do 33 đó mỗi dãy tăng của C hội tụ trong [ ]( )( ), , , . AHL a b E . Theo bổ đề 2.2.4 thì C chứa dãy tăng ( )nu hội tụ tới supC trong [ ]( )( ), , , . AHL a b E . Theo giả thiết suy ra với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ , ( )( ) 0n nu s ∞ = là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên trong E. Vì nón của E là chính qui nên tồn tại ( ) ( )lim nnu s u s→∞= với hầu khắp nơi [ ],s a b∈ . Vậy ( )nu hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới supC. c) Chứng minh c) tương tự như b).  Ta nói hàm u từ khoảng thực J tới không gian Banach E là khả tích HL địa phương trên J, nếu u là khả tích HL trên mỗi con compact của J, tập những hàm đó kí hiệu là ( ),locHL J E . Trong mệnh đề kế tiếp thì khoảng J có thể không bị chặn, mở hoặc nửa mở. Mệnh đề 2.2.12 Cho C là tập khác rỗng của những hàm đo được mạnh từ khoảng thực J tới không gian Banach có thứ tự E với nón chính qui. Giả sử tồn tại ( ),locu HL J E± ∈ sao cho ( ) ( ) ( )u s u s u s− +≤ ≤ với mọi u C∈ và với hầu khắp nơi s J∈ . Khi đó ta có: a) ( ),locu HL J E∈ với mọi u C∈ . b) Nếu C là được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì C chứa dãy tăng mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới supC trong ( ),locHL J E . c) Nếu C là đảo được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì C chứa dãy giảm mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới inf C trong ( ),locHL J E . Chứng minh: a) Theo định nghĩa của ( ),locHL J E và áp dụng mệnh đề 2.2.11. b) Giả sử C là được sắp thứ tự tốt . Chọn dãy những tập con compact nJ của J, n∈ sao cho 0 n n J J ∞ = =  và 1n nJ J +⊂ với mọi n∈ . Với mọi n∈ , { }| :n nC u J u C= ∈ là 34 xích được sắp thứ tự tốt và bị chặn thứ tự trong ( ),nHL J E với thứ tự từng điểm hầu khắp nơi. Theo mệnh đề 2.2.11 với mọi n∈ tồn tại supn nv C= trong ( ),nHL J E và tồn tại dãy tăng ( ) 0 k n k u ∞ = của C và tập có độ đo không n nZ J⊂ sao cho ( ) ( ) ( )lim sup , \k kn n n n nk k v t u t u t t J Z →∞ ∈ = = ∀ ∈  . Định nghĩa ( ) ( ), \n nv t u t t J J−= ∀ ∈ , ta thu được dãy của những hàm đo được mạnh :nv J E→ . Dãy ( )nv là dãy tăng vì 1n nJ J +⊂ với mọi n∈ . Theo giả thiết dãy ( )nv cũng là bị chặn thứ tự từng điểm, do đó tồn tại ( ) ( ) ( )* lim supn nn n u t v t v t →∞ ∈ = =  với hầu khắp nơi [ ],t a b∈ . Theo định nghĩa tồn tại t J∈ sao cho ( )* 0u t = , ta thu được hàm đo được mạnh * :u J E→ . Kí hiệu { }max : 0 ,kn nu u k n n= ≤ ≤ ∈ , ta thu được dãy tăng ( )nu của C thỏa mãn ( ) ( ) ( )* n, 0,..., à t J \kn n nu t u t u t k n v Z≤ ≤ ∀ = ∈ . Mặt khác, những tập nZ có thể chọn sao cho ( )( ) 0n nu t ∞ = là dãy tăng và bị chặn thứ tự với mọi [ ] 0 , \ , n n t a b Z Z Z ∞ = ∈ =  . Do đó tồn tại ( ) ( ) ( ) [ ]lim sup , , \n nn nu t u t u t t a b Z→∞ ∈= = ∀ ∈ . Theo định nghĩa của nv và u suy ra ( ) ( ) ( )* n, t J \n nv t u t u t Z≤ ≤ ∀ ∈ . Do đó ( ) ( ) ( ) ( )* *lim nnu t v t u t u t→∞= ≤ ≤ 35 với hầu khắp nơi [ ],t a b∈ . Suy ra ( ) ( )* *nà u uu u v t t= → với hầu khắp nơi t J∈ . Vì ( ) 0n nu ∞ = là dãy của C, nó thuộc đoạn thứ tự ,u u− + của ( ),locHL J E . Suy ra [ )( )* , ,locu HL a b E∈ . Ta chứng minh * supu C= . Nếu w C∈ thì | n nw J C∈ , do đó | supn n nw J C v≤ = , vì vậy ( ) ( ) ( )*nw t v t u t≤ ≤ với hầu khắp nơi nt J∈ và với mọi n∈ . Do đó *w u≤ với mọi w C∈ , vì vậy *u là cận trên của C. Nếu [ )( ), ,locv HL a b E∈ là cận trên khác của C thì ( ) ( )w t v t≤ với hầu khắp nơi nt J∈ và với mọi n∈ . Do đó | |n nw J v J≤ với mọi n∈ và w C∈ , do đó ( ) ( )nv t v t≤ với hầu khắp nơi nt J∈ và với mọi n∈ . Kết quả này và định nghĩa của *u suy ra *u v≤ . Vậy *u = supC. c) Chứng minh c) tương tự như b).  Các kết quả ở mục 2.3 sau đây được tham khảo trong [1, tr.433-435]. 2.3. Tính chất của những đoạn và quả cầu có thứ tự trong những không gian hàm có thứ tự Trước tiên ta xét sự tồn tại của cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất của những xích trong những không gian hàm có thứ tự mà giá trị trong không gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón chính qui. Mệnh đề 2.3.1 Cho E là không gian Banach có thứ tự với nón thứ tự chính qui và giả sử ,u u là đoạn thứ tự trong những không gian hàm có thứ tự từng điểm