Luận văn Tính toán mô phỏng các thông số trường quang tại vùng hội tụ của vật kính có khẩu độ số cao sử dụng trong hệ khắc laser trực tiếp ứng dụng cho chế tạo cấu trúc vật liệu nano

không còn thỏa mãn nữa. Kết quả thu được tương ứng không thể phản ánh chính xác của sự phân bố trường ánh sáng trong vùng lân cận của một tiêu điểm. Trong những năm 1950, Richard và Wolf đã đề xuất một phương trình toán học đầy đủ về phân bố điện từ EM trong khu vực hội tụ của một thấu kính có khẩu độ số cao. Công thức đề xuất xem xét các thuộc tính vector của trường EM và sự dẫn xuất dựa trên phép ước lượng vector Debye. Ý tưởng chính của lý thuyết này có thể được tóm tắt như sau [84,85]: i) Mặt sóng của chùm tia ngay sau khi thoát ra có dạng hình cầu (hình cầu Gaussian) với bán kính ƒ được gọi là tiêu cự của OL. ii) Mỗi tia sáng bị nhiễu xạ được xem như là một sóng phẳng và truyền tới tiêu điểm hình học của thấu kính, được biểu thị bởi sóng vector, k. iii) Cos (θ, n) ≈ 1, trong đó n là vector của khẩu độ nhiễu xạ và θ là góc của hướng lan truyền của tia nhiễu xạ và trục quang học. Theo Richard và Wolf, sự phân bố điện trường tại một điểm bất kỳ p (Hình 2.2) trong vùng tiêu điểm được cho trong tọa độ Cartesian [85,86] bởi: 31 𝐸 = − ⅈ𝑘𝐶 2𝜋 ∬ 𝑇(𝑆) exp[ⅈ𝑘(𝛷(𝑠𝑥, 𝑠𝑦) + 𝑠𝑥𝑥2 + 𝑠𝑦𝑦2 + 𝑠𝑧𝑧2)] ⅆ𝛺𝛺 , (2.4) trong đó: C là hằng số, k = 2πn / λ là số lượng bước sóng, λ là bước sóng của sự cố ánh sáng, n là chiết suất của môi trường nhúng, và Ω là một góc của khẩu độ vật kính. Chỉ bên trong góc Ω này, các tia sáng nhiễu xạ được coi là lan truyền về phía tiêu điểm và đóng góp vào sự hình thành một vùng hội tụ. s = (sx, sy, sz) là một vector không gian hướng về vùng hội tụ O. Φ (sx, sy) là biến dạng sóng đối với phân bố Gaussian trong trường hợp quang sai. Trong tính toán của chúng tôi, nó được coi bằng 0 cho một hệ thống lấy nét không có quang sai, ngoại trừ trường hợp giao dịch với lớp điện môi. T(s) đề cập đến sự phân bố biên độ của ánh sáng ở lối ra của vật kính. Công thực này (2.4) này khá phức tạp, bởi vì nó phụ thuộc vào các tham số khác nhau, chẳng hạn như sự giảm cường độ quang khi qua vật kính và đầu vào của trường vector. Giải thích vật lý của phương trình (2.4) là sự phân bố trường vectơ tại một điểm bất kỳ p (x2, y2, z2) trong vùng hội tụ của một vật kính có khẩu độ số cao là sự chồng chất của tất cả các sóng phẳng được phát ra từ lối ra của ống kính trong góc Ω. Hơn nữa, biên độ của sóng phẳng (s), có quan hệ trực tiếp với thấu kính được sử dụng và chùm tia vector tới. Trong trường hợp chung, thấu kính có dạng hình tròn. Mặt tiền (wi) của chùm nhiễu xạ ở lối ra của khẩu độ khách quan là đối xứng theo trục xung quanh trục quang. Do đó, thuận tiện để thể hiện các vector sóng của bằng cách giới thiệu các tọa độ hình cầu [87,88] 𝑠 = (sin 𝜃 cos 𝜑 , sin 𝜃 sin 𝜑 , cos 𝜃) (2.5) với 0 < θ <α, trong đó α là góc tập trung cực đại của OL (Hình 2.2) và φ là góc phương vị của mặt phẳng đối tượng. Chúng tôi lưu ý rằng, trong một số trường hợp, trong để tính toán phân bố đặc biệt của mặt sóng, chúng tôi cũng sử dụng tọa độ Cartesian để thể hiện vector đơn vị s. Ngoài ra, góc Ω [87] có thể được biểu diễn trong các tọa độ Cartesian và Spherical như sau: ⅆΩ = 𝑑𝑠𝑥 𝑑𝑠𝑦 𝑠2 = sin 𝜃 ⅆ𝜃ⅆ𝜑 (2.6) 32 Trong nghiên cứu của chúng tôi, đối với mặt phẳng ảnh, chúng tôi sử dụng tọa độ Cartesian để thuận tiện thể hiện sự phân bố cường độ tại mặt phẳng (x2y2), (x2z2), (y2z2) của vùng hội tụ. Thay thế công thức (2.5) và (2.6) vào phương trình (2.4), công thức tích phân nhiễu xạ do đó có thể được viết lại như sau [88]: 𝐸(𝑥2,𝑦2,𝑧2) = − ⅈ𝐶 𝜆 ∫ ∫ sin 𝜃A(𝜃, 𝜑)B(𝜃, 𝜑)𝐏(𝜃, 𝜑) 2π 0 𝛼 0 × exp[ikn(z2 cos 𝜃 + 𝑥2 sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝑦2 sin 𝜃 sin 𝜑)]ⅆ𝜃ⅆ𝜑 (2.7) Trong đó: - A (θ, 𝜑) là biên độ của chùm tia tới, đề cập đến chùm tia của chùm laser tới. Ví dụ, trong trường hợp một chùm đồng nhất, A (θ, 𝜑) = 1. Nếu có mặt chắn (pha hoặc thành phần quang học điều chế cường độ) là đặt ở phía trước của OL. - B (θ, 𝜑) là hệ số lọc quang, cho thấy việc bảo tồn năng lượng trước và sau khi mở ống kính. Trong một hệ thống ống kính một mặt phẳng, B (θ, 𝜑) = √cos 𝜃 [5]. - P (θ, 𝜑) cho biết trạng thái phân cực của trường EM trong vùng tiêu điểm. Nó được biểu thị bằng P (θ, 𝜑) = T (θ, 𝜑) P0 (θ, 𝜑), trong đó P0 (θ, 𝜑) là vectơ ma trận liên quan đến sự phân cực của ánh sáng đầu vào và T (θ, 𝜑) là ma trận toán tử ống kính 3 × 3 để chuyển đổi phân cực từ đối tượng thành vùng tiêu điểm. Dạng toán học của sự phân cực của trường đầu vào có thể được biểu diễn dưới dạng: 𝐏0 = [ p𝑥(𝜃, 𝜑) p𝑦(𝜃, 𝜑) p𝑧(𝜃, 𝜑) ] (2.8) Ma trận điều khiển ống kính có thể được tính bằng cách: 𝐓(𝜃, 𝜑) = 𝑅−1𝐶𝑅, (2.9) R = [ cos 𝜑 sin 𝜑 0 − sin 𝜑 cos 𝜑 0 0 0 1 ], C =[ cos 𝜃 0 sin 𝜃 0 1 0 − sin 𝜃 0 cos 𝜃 ] (2.10) trong đó R, C mô tả sự quay của hệ tọa độ quanh trục quang và sự thay đổi phân cực trong suốt quá trình truyền qua thấu kính [88]. Chúng tôi chú ý rằng T (θ, φ) chỉ biểu thị chuyển đổi phân cực của chùm sáng trong trường hợp môi trường đồng nhất. Nếu có bất kỳ lớp điện môi sau ống kính, hệ số Fresnel phải được giới thiệu để đưa vào tài khoản truyền dẫn khác nhau của phân cực khác nhau. 33 Như vậy, bằng cách sử dụng công thức (2.8), (2.9) và (2.10), các trạng thái phân cực của lĩnh vực trong khu vực hội tụ, P (θ, φ), có thể được viết lại như sau: 𝐏(𝜃, 𝜑) = [ 1 + (cos 𝜃 − 1) cos2 𝜑 (cos 𝜃 − 1) cos 𝜑 sin 𝜑 − sin 𝜃 cos 𝜑 (cos 𝜃 − 1) cos 𝜑 sin 𝜑 1 + (cos 𝜃 − 1) sin2 𝜑 − sin 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜃 cos 𝜑 − sin 𝜃 sin 𝜑 cos 𝜃 ] [ p𝑥(𝜃, 𝜑) p𝑦(𝜃, 𝜑) p𝑧(𝜃, 𝜑) ] (2.11) Ảnh hưởng của sự phân cực chùm tia vào sự phân bố cường độ của một vùng hội tụ chặt chẽ về lý thuyết được nghiên cứu. Dựa trên lý thuyết Debye, đối với một chùm ánh sáng tập trung bởi một thấu kính có khẩu đội số cao, chúng tôi có thể thấy rằng sự phân bố trường EM trong vùng hội tụ phụ thuộc vào nhiều các thông số, chẳng hạn như chế độ chùm laser đầu vào, sự phân cực của ánh sáng tới, thấu kính có khẩu đội số cao, vv.. 2.2. Sự dịch chuyển tiêu cự của chùm tia hội tụ khi đặt trong môi trường chiết suất. Trong thực tế, một vấn đề quan trọng liên quan đến ứng dụng kính hiển vi quang học là quang sai, làm suy giảm khả năng của kính hiển vi quang học. Trong phần này, chúng tôi sẽ thảo luận về một trong những tác động quan trọng nhất gây ra bởi phương tiện không khớp khúc xạ chiết suất: quang sai hình cầu. Hình 2.3. Minh họa sơ đồ về sự lan truyền của chùm tia hội tụ chặt chẽ với sự hiện diện của chiết suất khác nhau. n1, n2 lần lượt là các chiết suất của phương tiện thứ nhất và thứ hai. O0 là tiêu điểm trong trường hợp môi trường đồng nhất (n1 = n2) và O1, O2 là tiêu điểm thay đổi gây ra bởi các trường hợp không khớp chiết suất. D là bề mặt giữa hai môi trường chiết suất. d là khoảng cách giữa D và O0. Như minh họa trong Hình 2.3, trong một hệ thống lấy nét chặt, khi ánh sáng được hội tụ qua lớp điện môi D và do khúc xạ thì vùng hội tụ không hội tụ tại tiêu 34 điểm O0. Tùy thuộc vào các giá trị của n1 và n2, điểm lấy nét xuất hiện ở bên trái (O1) hoặc bên phải (O2) của tiêu điểm ban đầu (O0). Joel và cộng sự đã báo cáo rằng, theo phép đo định lượng của sự dịch chuyển này, một hệ thống thấu kính có thể được sử dụng để đo chiết suất của vật liệu. Tuy nhiên, nghiên cứu của họ chủ yếu tập trung vào trường hợp thấu kính có khẩu độ số thấp, trong đó các tính chất vector của ánh sáng bị bỏ qua. Trong trường hợp hệ thống tập trung khẩu độ số cao, các tia sáng hội tụ thường xuyên và việc truyền (hệ số Fresnel) của các phân cực s và p phải được xem xét. So với phân phối của điện từ EM trong môi trường đồng nhất, các điểm bổ sung phải được xem xét thêm: điểm đầu tiên là sự truyền không tương đương của các thành phần di động, và điểm còn lại là quang sai pha (Φ (θ, 𝜑)). Do đó, chúng tôi nên viết lại phương trình chuyển đổi phân cực (phương trình (2.9)) đã được thảo luận trong Phần 2.1. Trong môi trường đầu tiên, n1: P1(θ1,𝜑) = T1(θ1, 𝜑)P0 = R−1CRP0, (2.12) Trong đó P1 đại diện cho phân bố phân cực trong môi trường 1, P0 là phân cực chùm tia tới, R và C mô tả sự quay của hệ tọa độ quanh trục quang (biểu thức (2.10)). Phân bố phân cực trong môi trường thứ hai: P2(θ1,θ2, 𝜑) = T2(θ1,θ2, 𝜑)P1(θ, 𝜑) = T2(θ1,θ2, 𝜑)T1(θ1, 𝜑)P0, (2.13) Trong đó : T2(θ1,θ2, 𝜑) = [L(2)]−1IL(1), (2.14) Và: 𝐼 = [ 𝑡𝑝 0 0 0 𝑡𝑠 0 0 0 𝑡𝑝 ], 𝐿(ⅈ) = [ cos 𝜃ⅈ 0 −sin 𝜃ⅈ 0 1 0 sin 𝜃ⅈ 0 cos 𝜃ⅈ ], (2.15) Mô tả sự quay của hệ tọa độ thành các vectơ phân cực s và p, i = 1,2 đại diện cho các tia sáng trước và sau giao diện D, Ibiểu thị việc truyền giao diện điện môi và ts và tp là các hệ số Fresnel: 𝑡𝑠 = 2 sin 𝜃2 cos 𝜃2 sin(𝜃1+𝜃2) , 𝑡𝑝 = 2 sin 𝜃2 cos 𝜃2 sin(𝜃1+𝜃2)cos (𝜃1−𝜃2) , (2.16) θ1(i = 1) và θ2(i = 2) lần lượt là các góc truyền của tia di chuyển trong môi trường 1 và môi trường 2. Theo luật Snell: n1sinθ1 = n2sinθ2. 35 Ngoài ra, do sự hiện diện của giao diện điện môi, hệ số quang sai cảm ứng được đưa ra là: Φ(θ1,θ2,d) = −d(n1 cosθ1 −n2 cosθ2), (2.17) Trong đó d là khoảng cách giữa giao diện điện môi D và tiêu điểm O0 (Hình 2.3). Sử dụng Φ (θ1, θ2, d) và P2 (θ1,θ2,𝜑), phương trình. (2.7), được viết lại thành: 𝐄(𝑥2,𝑦2,𝑧2) = − ⅈ𝐶 𝜆 ∫ ∫ sin 𝜃1A(𝜃1, 𝜑)B(𝜃1, 𝜑)𝐏2(𝜃1, 𝜑) 2π 0 𝛼 0 × exp[i𝑘0(𝑛2𝑧2 cos 𝜃2 + 𝑛1𝑥2 sin 𝜃1 cos 𝜑 + 𝑛1𝑦2 sin 𝜃1 sin 𝜑) + Φ (𝜃1, 𝜃2, ⅆ)]ⅆ𝜃1ⅆ𝜑 (2.18) Bằng cách sử dụng phương trình này, chúng tôi nghiên cứu phân bố cường độ của chùm tia hội tụ khi đặt trong môi trường có chiết suất. 2.3. Phương pháp tính toán số và mô phỏng dựa trên công cụ matlab. Về nguyên tắc, có một số lượng cực nhỏ các tia nhiễu xạ trong phạm vi của các góc θ (0 ≤ θ ≤ α) và ((0 ≤ φ ≤ 2π), xuất hiện từ khẩu độ ống kính và lan truyền tới vùng tiêu điểm. Tuy nhiên, việc đối phó với một số tia vô cực là không thực tế. Đối với tính toán số, xem xét thời gian cần thiết để tính toán, và độ chính xác dung sai, một lượng giới hạn thích hợp của các tia nhiễu xạ nên được áp dụng. Do đó, đối với tính toán số, chúng tôi giả sử rằng góc θ được giới hạn từ 0 đến α bằng một khoảng cách bằng nhau của Δθ, và do đó, góc phương vị φ được giới hạn từ 0 đến 2π bởi một khoảng cách khoảng bằng nhau của Δφ. Trong chương trình mô phỏng, chúng tôi giả sử rằng θ được giới hạn bởi Nθ bước tuyến tính như: 𝜃1 = 0, 𝜃𝑚 = 𝜃𝑚−1 + ∆𝜃, (1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑁𝜃 , 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛), ∆𝜃 = 𝛼 𝑁𝜃 , và góc phương vị φ được rời rạc hóa bởi Nφ các bước tuyến tính như sau: 𝜑1 = 0, 𝜑𝑛 = 𝜑𝑛−1 + ∆𝜑, (1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁𝜃 , 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛), ∆𝜑 = 2𝜋 𝑁𝜑 , 36 Do đó, công thức tích phân (phương trình (2.7)) có thể được đơn giản hóa bằng cách tổng hợp một số lượng lớn các sóng phẳng. Nó có thể được viết bằng một cách tính toán số như sau: 𝐸(𝑥2ⅈ , 𝑦2𝑗 , 𝑧2𝑘) = = ∑ ∑ sin 𝜃𝑚 𝐴(𝜃𝑚, 𝜑𝑛)𝐵(𝜃𝑚, 𝜑𝑛)𝑃(𝜃𝑚, 𝜑𝑛) 𝑁𝜑 𝑛=1 𝑁𝜃 𝑚=1 × exp [ⅈ𝑘𝑛(𝑧2𝑘 cos 𝜃𝑚 + 𝑥2ⅈ sin 𝜃𝑚 cos 𝜑𝑛 + 𝑦2𝑗 sin 𝜃𝑚 sin 𝜑𝑛)]∆𝜃∆𝜑 (2.19) Bên cạnh đó, tương tự như phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian (FDTD), khu vực quan tâm (mặt phẳng quan sát) được giả thiết là một phân bố lưới 3D (Nx, Ny, Nz) với một khoảng cách nhỏ hơn λ / 10. Trong tính toán mô phỏng của chúng tôi, các tham số này được đặt là Nθ = Nφ = 200, Nx = Ny = Nz = 200, cho một NA cao OL (α ≈ 67,5o), và cho một mô phỏng vùng có kích thước 0,5 μm x 0,5 μm x 0,5 μm. Trong nghiên cứu này, cách tính toán số được lập trình bằng ngôn ngữ C trên phần mềm Matlab. Các chi tiết code lập trình được đính kèm trong Phụ lục A. 2.4. Nghiên cứu cơ bản về phân bố EM trong môi trường hấp thụ. Sóng điện từ truyền từ trung bình đến trung bình với các chiết suất khác và các đặc tính quang học khác nhau đã được nghiên cứu rộng rãi bởi một số tác giả. Điều quan tâm nhất của cả lý thuyết lẫn thực tế là sư phân bố nhiễu xạ ánh sáng trong vùng hội tụ khi ánh sáng được tập trung bởi một thấu kính của kính hiển vi. Những nghiên cứu này đã đóng góp rất nhiều trong lĩnh vực kính hiển vi quang học để thiết kế các ống kính mục tiêu tốt hơn, đặc biệt là những ống kính có khẩu độ cao, cũng như cho hình ảnh quang học có độ phân giải cao. Các tài liệu liên quan đến sóng điện từ được đưa ra từ lý thuyết cơ bản do Peter Debye đề xuất từ đầu thế kỷ 19 cho sự chồng chất của sóng phẳng đồng nhất truyền ra từ mặt phẳng khẩu độ trong một phạm vi định hướng cụ thể [89]. Năm 1959, Wolf [90] là nhà khoa học đầu tiên đã mở rộng tích phân Debye cho khẩu độ cao tập trung các sóng điện từ trong một môi trường đồng nhất. Lý thuyết này của ông là sự thể hiện của phổ góc của sóng phẳng, từ đó thu được công thức tích phân tương tự tích phân Debye. Công trình này đã mở đường cho sự phát triển hơn nữa của sự lan truyền và tiêu cự của một chùm ánh sáng [91–98]. Các tác giả đã đưa ra một giải pháp chính xác 37 của phương trình sóng đồng nhất và chứng minh tính hợp lệ của tích phân Debye mở rộng cho các hệ thống thỏa mãn điều kiện khẩu độ cao. Theo Gasper và cộng sự [92] đã chứng minh một giải pháp hoàn chỉnh cho các vấn đề và thu được xấp xỉ tiệm cận và biểu thức xuất phát cho các trường điện và từ trường. Họ cũng sử dụng cách trình bày của phổ góc của sóng phẳng và coi vấn đề lấy nét cho môi trường đồng nhất là đẳng hướng. Ling và Lee [95] đã điều chỉnh sự tập trung của sóng điện từ thông qua một mặt giao diện. Một điều kiện biên dưới dạng một phân bố hiện tại được sử dụng như là một điểm khởi đầu, và việc biểu diễn phổ góc của sóng phẳng cũng được áp dụng. Theo cách tiếp cận bán hình học, với việc sử dụng phương pháp pha tĩnh, các biểu thức thu được cho các trường điện và từ trường. Tuy nhiên, do về mặt lý thuyết rất phức tạp nên việc sử dụng các công thức này để tính toán trường điện từ gần vùng hội tụ là không thực tế trong hầu hết các trường hợp. Năm 1976, Gasper và cộng sự là nhóm nghiên cứu đầu tiên đã xem xét một sóng điện từ tùy ý khi nó di chuyển qua một bề mặt phẳng. Ji và Hongo [96] đã xử lý các vấn đề khác nhau của một nguồn điểm và một giao diện điện môi hình cầu và sử dụng phương pháp của Maslov để thu được điện trường trong vùng hội tụ. Việc xử lý tổng hợp toàn bộ các lý thuyết khác nhau sau đó được đưa ra bởi Stamnes [99]. Năm 1993, Hell và cộng sự [100] coi vấn đề lấy nét đối với vật liệu chiết suất không đồng nhất bằng cách sử dụng tích phân Fresnel- Kirchho. Họ đã tách ra 2 thành phần là vectơ điện s và các phần phân cực p và cũng đã tính toán hiệu ứng quang sai hình cầu trên sự hình thành hình ảnh cho một kính hiển vi quang đồng tiêu. Tuy nhiên, công thức tích phân mà họ sử dụng được lấy từ định lý của Green, nhưng vần sự liên tục của điện trường. Ngoài thành phần điện trường còn thành phần tiếp tuyến của từ trường, do đó công thức tích phân cuối cùng thu được có thể không chính xác một cách chặt chẽ.Chỉ đến khi Torök et đồng nghiệp [101] đưa ra sự tập trung của sóng điện từ thông qua giao diện phẳng giữa các vật liệu của các chiết suất khác nhau được mô tả đầy đủ bằng trung bình của ma trận chính thức. Họ đã mở rộng lý thuyết của Richards-Wolf về một thấu kính thủy tinh có khẩu độ cao, tập trung ánh sáng thông qua các phương truyền với các chiết suất khác nhau trong khi giới thiệu một lượng đáng kể quang sai. Sau đó, họ đã mở rộng công thức của mình với các chiết suất khác nhau và đề xuất một cách tính xấp xỉ các tích phân và phương pháp tính toán của Debye-Wolf Gần như cùng một lúc, nó cũng được Wiersma và Visser [102] chỉ ra một cách độc lập bằng cách sử dụng phương pháp trong môi trường thứ hai bằng cách sử dụng phương pháp hoàn toàn khác nhau. Họ đã sử dụng một lý thuyết vectơ kéo theo, được gọi là lý thuyết m. Tuy nhiên, hiệu suất của tất cả các tác giả đã nói ở trên, các công thức tính toán đã tốn nhiều thời gian và thường tạo ra sự dao động 38 nhanh bởi các nhiễu xạ có thể gây ra các sai số Để cải thiện điều này, Leutenegger và cộng sự [103] và Lin và cộng sự [104] đưa ra các kỹ thuật tính toán nhanh được đề xuất bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier để có được hiệu suất nhiễu xạ. Phương pháp tính toán được đưa ra bởi Leutenegger và cộng sự nhanh hơn 40 lần so với các phương pháp cổ điển bằng cách tích hợp trực tiếp. Hầu hết các mô hình tính toán nghiên cứu này được thực hiện bằng cách tính xấp xỉ một số giải pháp nghiêm ngặt [92]. Tuy nhiên, các giải pháp chính xác của Maxwell hoặc phương trình sóng cũng đã thu được [105]. Trong số nhiều cách tiếp cận và thảo luận, những phương pháp được đưa ra bởi Torök và công sự [101], bởi Wiersma và Visser [102] và bởi Leutenegger và cộng sự [103] thường được sử dụng vì dễ dàng để tính toán số. Phương trình hoặc phương trình sóng cũng đã được thực hiện. Theo những gì đã tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy rằng, mặc dù ánh sáng chiếu qua một giao diện phẳng giữa các vật liệu có chiết suất khác nhau đã được khảo sát rộng rãi nhưng lại không chú ý đến sóng điện từ tập trung vào một môi trường hấp thụ - đây là các trường hợp thường xảy ra trong thực tế khi ánh sáng được tập trung vào vật liệu nhạy sáng thông qua một môi trường dầu hoặc thủy tinh. Việc nghiên cứu sóng điện từ lan truyền trong môi trường hấp thụ khi ánh sáng bị suy giảm khi đi qua là rất cần thiết. Trong một môi trường hấp thụ, chiết suất không còn được xác định bởi một đại lượng thực duy nhất mà bởi một đại diện phức tạp. Do đó, vectơ sóng không còn là vectơ thực mà được xác định bởi một vectơ phức, được biểu diễn bằng hình elip. Có một số bài báo liên quan đến việc truyền sóng điện từ thông qua các giao diện đơn hoặc đôi giữa môi trường đẳng hướng đồng nhất và phương pháp mất mát bằng cách sử dụng phương pháp dò tia [106-117]. Một phương pháp dò tia phức tạp chung được đề xuất để xác định các chiết suất, vectơ sóng, vectơ tia (hoặc vectơ Poynting) và hướng phân cực của sóng khúc xạ cho hướng ngẫu nhiên của hướng chính và hướng tùy ý của trục chính. Tất cả những lý thuyết này cho phép giải thích những quan sát thử nghiệm trong các trường hợp khác nhau. Trong lĩnh vực chế tạo nano, một ví dụ đắt tiền là khắc bằng laser trực tiếp (DLW) trong đó ánh sáng được tập trung vào một chất quang dẫn. Việc nghiên cứu sóng điện từ tập trung vào một môi trường hấp thụ như vậy rất quan trọng trong DLW bởi vì, khi ánh sáng được tập trung vào các chất quang dẫn, cường độ của điểm lấy nét liên tục bị suy giảm như một hàm của độ sâu từ giao diện (giữa một môi trường trong suốt và lớp cảm quang). Kích thước và hình dạng của thể tích rắn ở vùng tiêu cự hoàn 39 toàn được xác định bởi một ngưỡng (tỷ lệ thuận với mức cường độ đẳng áp ở vùng tiêu cự), tại đó xảy ra đáng kể các phản ứng polyme hóa. Mục đích của chương này là mở rộng cách xử lý của Wolf đối với vấn đề nhiễu xạ trong các trường hợp khi sóng điện từ được tập trung vào một môi trường hấp thụ, để có cái nhìn sâu sắc về vật lý của sự hình thành vùng hội tụ, sau đó được áp dụng cho DLW. 2.4.1. Sự hội tụ của sóng điện từ trong môi trường hấp thụ. Như đã đề cập ở trên, Torök và các đồng nghiệp đã thu được một giải pháp nghiêm ngặt cho sóng điện từ tập trung trong một phương truyền phân tầng không tổn thất[101]. Để thiết lập công thức của sóng không đồng nhất trong môi trường hấp thụ, chúng tôi đã điều chỉnh cách tiếp cận của họ để lấy ra điện từ ngay trước giao diện giữa hai môi trường. Trường trên giao diện tuân theo định luật khúc xạ chung của Snell mà Fedorov và Nakajimawe gần đây đã thu được [118] cho các sóng phẳng xảy ra trên giao diện. Trường được lấy ngay sau khi giao diện được sử dụng làm điều kiện biên cho tập hợp công thức tích phân thứ hai tương ứng với sự chồng chất của sóng phẳng, mô tả trường trong môi trường thứ hai. Theo cách này, bài toán nhiễu xạ được giải theo một cách toán học chặt chẽ và giải pháp là phương trình sóng không thuần nhất. Hình 2.4. Sơ đồ ánh sáng tập trung bởi một ống kính vào một môi trường đơn lẻ. Một nguồn điểm nằm trong không gian tại z = −∞ phát ra một sóng điện từ đơn sắc và kết hợp phân cực tuyến tính. Sau đó, sóng lan truyền xảy ra trên một thấu kính khẩu độ tạo ra sóng hình cầu hội tụ trong không gian hình ảnh. Nguồn gốc O của hệ tọa độ (x, y, z) được đặt ở tiêu điểm Gaussian. Các trường điện và từ được xác định tại điểm P tùy ý trong vùng tiêu cự. 40 2.4.2. Khai triển tích phân Debye – Wolf. Chúng tôi xem xét một hệ thống quang học đối xứng với một trục quang z (như thể hiện trong Hình 2.4). Hệ thống này hình ảnh một nguồn điểm nằm trong không gian tại z = -∞ và phát ra một sóng điện từ đơn sắc và mạch phân cực tuyến tính. Làn sóng này xảy ra khi ống kính tạo ra một làn sóng hình cầu hội tụ trong không gian hình ảnh. Nguồn gốc O của hệ tọa độ (x, y, z) được định vị ở trọng tâm Gaussian. Các trường điện và từ được xác định tại điểm P tùy ý từ một khẩu độ đã được coi là lớn so với bước sóng. Trong Hình 2.4 và những gì sau, s = (sx, sy, sz) là vector đơn vị dọc theo một tia điển hình trong không gian hình ảnh và rP= (x, y, z) là vector vị trí trỏ từ O đến P. Cho Ẽ (P, t) cho thấy trường điện tử phụ thuộc thời gian và �̃�(𝑃, 𝑡) cho biết trường từ trường phụ thuộc thời gian tại P tại thời điểm t, do đó �̃�(𝑃, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝐄(𝑃)exp (−ⅈ𝜔𝑡) (2.12) �̃�(𝑃, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝐇(𝑃)exp (−ⅈ𝜔𝑡) (2.13) Re ở đây là phần thực. Trong một không gian hình ảnh không đồng nhất, các trường điện và điện từ không thời gian có thể được trình bày dưới dạng sự chồng chéo của các sóng phẳng [89], và chúng tôi sử dụng dạng phát triển của Wolf [90]: 𝐸(𝑃) = − ⅈ𝑘 2𝜋 ∬ 𝑎(𝑠𝑥,𝑠𝑦) 𝑠𝑧𝛺 exp(ⅈ𝑘[𝛷(𝑠𝑥 , 𝑠𝑦) + 𝑠. 𝑟𝑃]) ⅆ𝑠𝑥ⅆ𝑠𝑦, (2.14) 𝐻(𝑃) = − ⅈ𝑘 2𝜋 ∬ 𝑏(𝑠𝑥,𝑠𝑦) 𝑠𝑧𝛺 exp(ⅈ𝑘[𝛷(𝑠𝑥 , 𝑠𝑦) + 𝑠. 𝑟𝑃]) ⅆ𝑠𝑥ⅆ𝑠𝑦, (2.15) trong đó Φ (sx, sy) là chức năng sai lệch (mô tả đường đi quang học giữa mặt trước của sóng quang và mặt cầu dọc theo s, a và b là các vectơ sức mạnh điện và từ trường tương ứng của các điện trường và điện từ không bị trật bánh ở lối ra aperture Σ, k là số sóng, và Ω là góc cứng được hình thành bởi tất cả các tia quang học hình học (và do đó đó là một giới hạn cho tất cả các vector vectơ đơn vị). 2.4.3. Khai triển tích phân Debye- Wolf mở rộng. Chúng tôi lưu ý rằng công thức (2.14) và (2.15) biểu diễn của sóng rời khỏi khẩu độ của OL. Ngoài ra, các trường điện và từ không phụ thuộc vào mặt sóng đặc biệt trong góc Ω mà qua đó việc tích hợp được thực hiện. Điều này có thể được chứng minh bằng toán học [119]. Các phương trình (2.14) và (2.15) cũng chỉ ra rằng các yếu tố pha (ngoài chức năng sai lệch) là một yếu tố vô hướng của vectơ s và rp. Kết quả là, hệ số pha thể hiện sự di chuyển đường quang giữa các đầu sóng đi qua điểm P và 41 Gaussian lấy nét O, không giống như tích phân Fresnel-Kirchho, mà hệ số pha tỷ lệ thuận với đường đi đầy đủ từ khẩu độ đến P. Việc xem xét của chúng tôi là, không gian hình ảnh của OL bao gồm vật liệu 1 (lossless) và 2 (lossy) với các chiết suất n1 và ñ2 = n2 + iκ, tương ứng, được tách ra bởi một mặt phẳng phẳng vuông góc với trục quang, như thể hiện trong Hình 2.5. Tâm O được định vị ở trọng tâm Gaussian. Chúng tôi tính lại công thức (2.14) như sau: Trong vật liệu 1 và tại bề mặt (z = -d), điện trường được đưa ra bởi: 𝐸1(𝑥, 𝑦, −ⅆ) = − ⅈ𝑘1 2𝜋 ∬ 𝑤(ⅇ)(𝑠1)𝛺1 exp [ⅈ𝑘1(𝑠1𝑥𝑥 + 𝑠1𝑦𝑦 − 𝑠1𝑧ⅆ)] ⅆ𝑠1𝑥ⅆ𝑠1𝑦, (2.16) trong đó các chỉ số dưới 1 (và 2 trong phần sau) biểu thị các giá trị tương ứng với các vùng trong vật liệu 1 (và 2) tương ứng, vật kính được coi là không có sai lệch (Φ (s1x, s1y) = 0), và 𝐖(ⅇ) = 𝒂(𝑠1𝑥,𝑠1𝑦) 𝑠1𝑧 (2.17) Chúng tôi sẽ không trình bày sự phát sinh của các công thức tương ứng với trường từ, bởi vì, ngoài các vectơ cường độ, pt (2.13) và phương trình (2.14) gần giống nhau. Hình 2.5. Sơ đồ ánh sáng tập trung bởi một thấu kính vào hai phương tiện cách nhau bởi một giao diện phẳng. Để mô tả trường trong vật liệu thứ hai, chúng tôi giả định rằng mỗi thành phần sóng phẳng khúc xạ ở giao diện tuân theo luật của Snell phức tạp, và kết quả là trường 42 được xây dựng như một sự chồng chéo của sóng phẳng. Nếu biên độ của sóng phẳng phát ra khi giao diện được mô tả bởi W(e), thì biên độ của các sóng phẳng truyền qua trong vật liệu thứ hai là một hàm tuyến tính của W(e), tức là T(2) W(e), (2.18) Trong đó toán tử T(2) là một hàm phức tạp của góc tới, và của n1 và ñ2. Các đường truyền trong vật liệu thứ hai ở vùng lân cận gần (z = -d + δ) của bề mặt được cho bởi 𝐸2(𝑥, 𝑦, −ⅆ) = − ⅈ𝑘1 2𝜋 ∬ 𝐓(2)𝐖(ⅇ)(𝑠1)𝛺1 exp [ⅈ𝑘1(𝑠1𝑥𝑥 + 𝑠1𝑦𝑦 − 𝑠1𝑧ⅆ)] ⅆ𝑠1𝑥ⅆ𝑠1𝑦, (2.19) khi δ → 0 Chúng tôi trình bày trường bên trong vật liệu thứ hai một lần nữa như một sự chồng chéo của sóng phẳng. Trong tài liệu thứ hai, vector wavesumber k2 có một biểu diễn vector phức tạp, tức là k2 = k'2 + ik''2, trong đó k'2 và k''2 là các vector thực. Mỗi vector có hướng lan truyền