Luận văn Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ

Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 8 Chương I: ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG §1.1 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN Các hệ thống luôn luôn có mục đích để tồn tại. Các trạng thái của hệ thống không ngừng biến đổi và luôn đặc trưng cho hệ thống. Một hệ thống muốn hoạt động tốt phải có đủ độ tin cậy và mang tính ổn định. Nhất thiết phải duy trì một chế độ kiểm soát sự diễn biến trạng thái của hệ thống mà tiến hành công việc đó cần phải có điều khiển. 1.1.1 Các đối tượng cần kiểm soát và điều khiển Một trong những khái niệm quan trọng của lý thuyết hệ thống là kiểm soát và điều khiển. Cần phải kiểm soát những chuẩn mực, quy chế, luật và kỹ thuật cũng như các đối tượng trạng thái của hệ thống. 1.1.1.1 Kiểm soát hệ thống: Thông qua các chuẩn mực, quy chế, luật,… bên trong hệ thống nhằm duy trì sự tiến hóa các trạng thái của hệ thống nhằm đảm bảo tính ổn định, độ tin cậy và đảm bảo chất lượng (đầu ra) của hệ thống được gọi là kiểm soát nội hệ. Ngoài ra do mỗi hệ thống luôn chịu tác động từ bên ngoài nên để tăng giảm – tiết chế các điều kiện nội tại của hệ thống buộc phải có sự can thiệp – điều khiển bên ngoài hệ thống. 1.1.1.2 Điều khiển hệ thống: Có thể can thiệp vào quá trình diễn biến trạng thái hệ thống để có chất lượng đầu ra của hệ thống như ý muốn. Tương tự sự kiểm soát nói trên, chúng ta có 02 khả năng điều khiển một hệ thống, đó là điều khiển nội hệ và điều khiển từ bên ngoài. (Xem [8], trang19-143). Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 9 1.1.1.3 Quy trình xây dựng một bài toán điều khiển hệ thống: Để xây dựng một bài toán điều khiển, nhất thiết phải tiến hành các bước sau: a. Chọn mô hình hệ thống: Theo tác giả[Phư …] thì chúng ta thường gặp các mô hình trạng thái của hệ thống như: rời rạc, liên tục, tuyên tính, phi tuyến, vi phân, bất đẳng thức,… b. Xem xét dữ liệu: Một hệ thống thường có những dữ liệu đầu vào đầu ra, chúng bị ràng buộc theo những tiêu chuẩn nhất định. c. Xác lập điều khiển: Phải xác lập các điều khiển mà dưới tác động của chúng hệ đạt được mục đích. Những điều khiển như vậy có tên gọi là điều khiển chấp nhận được. 1.1.2. Phân loại các bài toán điều khiển Quá trình xây dựng lớp bài toán điều khiển hệ thống, ví dụ các lớp điều khiển được, điều khiển tối ưu và ổn định hóa điều khiển tối ưu. 1.1.2.1 Bài toán điều khiển được: Cặp trạng thái 0 1(x ,x ) được gọi là cặp điều khiển được, nếu sau khoảng thời gian 1t tìm được một điều khiển mu(t) U R∈ ⊆ sao cho: 0 0 1 0 1x(0,x ,u) x ,x(t ,x ,u) x= = . Hệ thống được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu hai trạng thái bất kỳ 0 1(x ,x ) nào cũng tìm được 1t để cặp trạng thái đó điều khiển được. Hệ thống được gọi là đạt được hoàn toàn nếu hai trạng thái 1(0,x ) luôn tìm được 1t để cặp trạng thái đó điều khiển được. Hệ thống được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 nếu hai trạng thái bất kỳ 1(x ,0) nào cũng tìm được 1t 0> để cặp trạng thái đó điều khiển được. Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 10 1.1.2.2 Bài toán điều khiển tối ưu: Mỗi một Hệ thống tồn tại luôn kèm theo một hoặc nhiều mục đích. Các đại lượng đầu vào, đầu ra đặc trưng cho hệ. Bài toán điều khiển hệ thống để đầu ra có chất lượng tốt nhất được gọi là điều khiển tối ưu. a. Hàm mục tiêu: Trong bài toán điều khiển tối ưu thì hàm mục tiêu thể hiện chất lượng đầu ra của hệ thống. Hàm mục tiêu có thể phụ thuộc vào các biến trạng thái của hệ thống lẫn vectơ điều khiển như dạng I(x,u) hoặc chỉ phụ thuộc vào vectơ điều khiển như dạng I(u). Hàm mục tiêu với chất lượng tốt nhất là khi nó đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong phạm vi cục bộ hoặc toàn cục của hệ thống. b. Vectơ điều khiển tối ưu: Một hệ thống có đầu ra đạt chất lượng cao bởi điều khiển u*(t) , nghĩa là I(x *(t),u *(t)) maxI(x(t),u(t))= hoặc I(x *(t),u *(t)) minI(x(t),u(t))= , khi đó u*(t)được gọi là điều khiển tối ưu. (Trường hợp hàm mục tiêu chỉ phụ thuôc vectơ điều khiển thì I(u*(t)) maxI(u(t))= hoặc I(u*(t)) min I(u(t))= ). 1.1.2.3 Bài toán ổn định hóa điều khiển tối ưu: Là bài toán bao gồm: a/ Giải bài toán tối ưu hệ vi phân n p dx f (t, x(t),u(t)) dt x(t) R ,u(t) R I(u) max  =  ∈ ∈  →   . b/ Giải bài toán tìm hàm điều khiển ngược khi hệ thống là tối ưu có nghiệm ổn định. Như vậy một bài toán điều khiển hệ thống có thể có 3 lớp bài toán vừa nêu. Trong luận văn này, tác giả chỉ hạn chế ở bài toán thứ hai: Bài toán điều khiển tối ưu bó dạng mờ. Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 11 1.1.3. Một vài dạng bài toán điều khiển tối ưu Trong bài toán điều khiển tối ưu thì hàm mục tiêu thể hiện chất lượng đầu ra của hệ thống vì thế có thể phân loại các bài toán theo dạng của hàm mục tiêu I. 1.1.3.1 Điều khiển hệ tuyến tính liên tục Một hệ tuyến tính liên tục có điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân dx(t) A(t)x(t) B(t)u(t) dt = + trong đó nRtxRt ∈∈ + )(, hàm vectơ trạng thái mRUtu ⊆∈)( là vectơ điều khiển; A(t), B(t) là các ma trận thực phụ thuộc t. Lớp hàm vectơ u(t) khả tích địa phương và nhận giá trị trong Rm Nghiệm của hệ có thể viết dưới dạng ( ) o t o o o o t x t , x , u X(t, t )x X(t, s)B(s)u(s)ds= + ∫ với ),( ottX - ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính dx(t) A(t)x(t) dt = 1.1.3.2 Điều khiển hệ phi tuyến ( ) n o o dx f t, x(t), u(t) dt x(t ) x , x(t) R , t R +  =   = ∈ ∈ với ( )f t, x(t), u(t) là hàm vectơ phi tuyến đảm bảo hệ có nghiệm dưới dạng tích phân ( ) ( ) o t o o o t x t, t , x x f s, x(s), u(s) ds= + ∫ Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 12 1.1.3.3 Điều khiển các hệ rời rạc dừng Xét hệ rời rạc tuyến tính k 1 k kx Ax Bu+ = + trong đó xk – vectơ trạng thái thứ k uk – vectơ điều khiển thứ k A – Ma trận vuông khả nghịch cấp n× n B – Ma trận n× m chiều Hệ luôn có nghiệm 1 o o 2 1 1 k k 1 k 1 x Ax Bu x Ax Bu x Ax Bu − −  = +  = +  = +  hay k 1 k k 1 k k i 1 k o o k o i i 0 x A x A Bu ... Bu A x A Bu − − − − = = + + + == +∑ Ma trận điều khiển mở rộng là [ ]BAABBC kk 1,...,, −= Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 13 §1.2 BÀI TOÁN TỐI ƯU 1.2.1 Hàm mục tiêu và mô hình bài toán Hàm mục tiêu là đối tượng mô tả chất lượng đầu ra của hệ thống Một hàm mục tiêu có thể phụ thuộc cả biến trạng thái lẫn vectơ điều khiển I(x, u) hoặc chỉ phụ thuộc vectơ điều khiển I(u). Đại lượng tốt nhất có thể là cực đại của hàm mục tiêu max I(x, u), hoặc có thể là cực tiểu của hàm mục tiêu min I(x, u) Một hệ thống có thể được mô tả bởi các mô hình rời rạc tổng quát hoặc cụ thể. Hệ tổng quát dạng vi phân với một hàm mục tiêu sẽ cho mô hình bài toán điều khiển tối ưu ( ) ( ) hoặc max I) n m o 0 dx f t, x(t), u(t) dt x t x , x(t) R , u R I(x, u) min I (  =  = ∈ ∈  →   1.2.2 Điều khiển tối ưu hệ vi phân Vectơ điều khiển u*(t) thỏa mãn I(u*(t)) = max I ( hoặc min I) được gọi là điều khiển tối ưu. 1.2.3 Nguyên lý cực đại Pontriagin Một trong những vấn đề cốt lõi của bài toán điều khiển tối ưu là nguyên lý cực đại Pontriagin: Nếu quá trình đạt được sự tối ưu thì nó phải thỏa mãn một biểu thức cực đại. Chúng ta xét một hệ thống có dạng vi phân sau Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 14 ( ) [ ]     ∈= =∈= cho sao Uuxx TIttutxf dt tdx o)0( ;0,)(),()( ( ) ( ) max)(,)( 0 →+= ∫ T o TxdtuxFuI ϕ Nguyên lý cực đại Pontriagin dựa trên một hàm Hamilton H(p,x,u), nRp ∈ có dạng H(p,x,u) = (p,f(x,u)) thỏa mãn        ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ i i i i x H t p p H dt x ******* Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 15 §1.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐẶC BIỆT 1.3.1 Tối ưu tác động nhanh [ ]      ∈∈= ∈+= m n RtuRtxxx TtBuAx dt dx )(,)(,)0( ;0, 0 sao cho min)( 0 →== ∫ tdtuI t Bài toán điều khiển tối ưu để thời gian nhanh nhất Theo nguyên lý cực đại Pontriagin ( ) BupAxpuxpH ,,,, += Hệ thống điều khiển hoàn toán nghĩa là [ ] nBAABBrank n =−1,...,, và ( ) Ω∈tx compact trong Rn, ( ) 0≠= λtp 1.3.2 Tối ưu đẳng chu Xét một hệ thống có dạng vi phân ( ) [ ] ( )         →= ∈∈= ∈= ∫ min,)( )(,)(,)0( ,0,, 0 0 0 T mn dtuxFuI RtuRtxxx Ttuxf dt dx và một vectơ 0≠β cho trước sao cho ( ) kmn RRRuxg →×:, thỏa mãn ( ) β=∫T dtuxg0 , Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 16 1.3.3 Tối ưu hệ rời rạc Các mô hình hệ thống dưới dạng rời rạc và kèm theo hàm mục tiêu ( )( )         →= ⊂∈∈ += ∑ − = + min,,)( ,, 1 0 0 1 N k kk m k n k kkk uxkFuI RUuRxx BuAxx hoặc ( ) ( )( )         →= ∈∈ += ∑ − = − + min,,)( ,...,,,, 1 0 1100 1 N k kk km k kn k kkkkk uxkFuI RuuuuRxx ubxAx *******