Luận văn Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy

ệc làm thế nào mà S biến đổi trong khoảng thời gian nhỏ nào đó 20 từ thời điểm hiện tại t tới thời điểm t dt trong thời gian gần. Ta viết  dS t đối với sự thay đổi    S t dt S t  trong S , hay lợi tức của S trong khoảng này là     dS t S t . Để dễ cho phân tích kinh tế, ta sẽ chia lợi tức này thành hai phần, một phần hệ thống và một phần ngẫu nhiên.Phần hệ thống có thể được mô hình bởi dt trong đó  là tham số nào đó thể hiện tốc độ trung bình của lợi tức của cổ phiếu.Phần ngẫu nhiên có thể được mô hình bởi  dW t trong đó  dW t biểu diễn phần nhiễu làm cho giá cổ phiếu biến động, và  là tham số thứ hai cho biết nhiễu ảnh hưởng thế nào (do đó  được gọi là độ biến động của cổ phiếu). Kết hợp lại ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên    , 0 0t t tdS S dt dW S    (1.25) Phương trình vi phân này có nghiệm duy nhất   21 20 tt dW tS S e           (1.26) Giá tài sản tS có tốc độ trung bình tức thời của lợi tức  t và độ biến động  t . Cả tốc độ trung bình của lợi tức và độ biến động đều cho phép biến đổi theo thời gian và ngẫu nhiên. Ví dụ này bao gồm tất cả các mô hình dương của một quá trình giá tài sản luôn luôn dương, không có bước nhảy và có xu thế theo chuyển động Brown đơn giản. Mặc dù mô hình là mang xu thế chuyển động Brown, phân bố của  S t không cần là dạng log – chuẩn vì  t và  t có thể biến đổi theo thời gian và ngẫu nhiên. Nếu  và  là hằng số, ta có mô hình chuyển động Brown hình học thông thường  t t tdS S dt dW   và phân bố của tS là log – chuẩn 21   2 1 0 exp 2 t tS S t W              (1.27) 22 Chương 2 Mô hình Black – Scholes và các hạn chế 2.1 Mô hình Black – Scholes Lý thuyết toán tài chính bắt đầu từ năm 1900 khi nhà toán học người Pháp Louis Bachelier, trong luận văn của ông Théorie de la spéculation (Lý thuyết đầu cơ), đề xuất mô hình sau nhằm mô tả giá S của một tài sản tại Paris Bourse: 0t tS S W  trong đó tW là chuyển động Brown. Tuy nhiên, mô hình này có nhiều khiếm khuyết, bao gồm, ví dụ, giá cổ phiếu có thể âm. Một mô hình phù hợp hơn được đề xuất bởi Samuelson vào năm 1965: chuyển động Brown hình học trong đó log – giá tuân theo chuyển động Brown. Vào năm 1973, Black, Scholes và Merton, trong các bài báo nổi tiếng của mình, đã giải thích làm thế nào để định giá một cuộc gọi kiểu châu Âu dựa trên mô hình này. Thật vậy, họ giả sử giá cổ phiếu tuân theo chuyển động Brown hình học và đưa ra một số điều kiện để nhận được công thức định giá quyền chọn: 1. Không có chi phí hay thuế, thương mại diễn ra liên tục theo thời gian và được phép vay và bán khống (thị trường là không có ma sát). 2. Lãi suất ngắn hạn (lãi suất không rủi ro r ) đã biết và là hằng số trong suốt thời gian tính toán. 3. Cổ phiếu không phải trả lãi cổ phần trong suốt thời gian của quyền chọn. 4. Quyền chọn kiểu châu Âu (chỉ có thể thực hiện tại thời điểm đáo hạn). 23 5. Giá cổ phiếu tuân theo chuyển động Brown hình học trong suốt thời gian đưa ra phân phối log – chuẩn đối với giá cổ phiếu giữa hai điểm bất kỳ theo thời gian. 6. Độ biến động là hằng số đối với bất kỳ giá thực thi và kỳ hạn nào. Người ta đã chỉ ra rằng mô hình có thể được sửa đổi dễ dàng khi lãi suất là ngẫu nhiên hay là một hàm của t , khi cổ phiếu trả lãi cổ phần hay khi quyền chọn theo kiểu Mỹ. Nhờ tính đơn giản và tính độc lập của phát minh về việc định giá tài sản tương lai mà công thức Black – Scholes được sử dụng rộng rãi trong thực hành để định giá và bảo hộ các quyền chọn. Trong công thức Black – Scholes, giá cổ phiếu S tuân theo chuyển động Brown hình học, t t t tdS S dt S dW   (2.1) trong đó  và  là các hằng số chưa biết, tW là chuyển động Brown chuẩn. Có thể chỉ ra rằng nghiệm của phương trình vi phân này là 21 2 0 tt W tS S e           (2.2) 2.2 Các hạn chế của mô hình Black – Scholes 2.2.1 Độ biến động nụ cười Mặc dù công thức Black – Scholes là rất mạnh để định giá cổ phiếu và dễ dàng sử dụng, rất nhiều các kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng nó có thể định giá không đúng một cách hệ thống nhiều giá cổ phiếu. Hiện tượng được biết đến nhiều nhất liên quan đến các sai chệch của mô hình Black – Scholes được gọi là độ biến động nụ cười hay hiệu ứng nụ cười bắt nguồn từ các độ biến động tiềm ẩn. 24 Biến động tiềm ẩn là biến động được sử dụng trong mô hình Black – Scholes như giá thị trường được quan sát của quyền chọn bằng giá mô hình   arBS m ketc c  (2.3) Để sử dụng mô hình Black – Scholes, ta mong đợi rằng các biến động tiềm ẩn là đồng nhất vì biến động hằng số là một trong những giả thiết của mô hình Black – Scholes. Tuy nhiên, điều này có vẻ như không xảy ra trong thực tế. Hầu hết các thị trường đều biểu lộ các biến động không là hằng số. Trong một số thị trường, các biến động tiềm ẩn tạo thành một dạng hình chữ U nên được gọi là biến động nụ cười hay hiệu ứng nụ cười. Nói chung, hình dáng của biến động nụ cười là không đối xứng mà là đường cong chữ U thường bị lệch về một phía nhiều hơn. Thông thường, hình dáng nụ cười sẽ rõ ràng hơn đối với các quyền chọn kỳ hạn ngắn và trở nên bẹt/phẳng đối với các quyền chọn kỳ hạn dài. Hình 2.1 Độ biến động nụ cười. Các biến động tiềm ẩn đối với giá cổ phiếu Hiển nhiên, hiện tượng độ biến động nụ cười là không phù hợp với mô hình Black – Scholes. 2.2.2 Tính không đầy đủ của các thị trường Mô hình Black – Scholes giả sử rằng thị trường là đầy đủ, tức là bất kỳ quyền phái sinh nào cũng cho phép một danh mục đầu tư đáp ứng, do đó nó có thể 25 được bảo hộ hoàn toàn. Tuy nhiên, trong khi hầu hết các mô hình ngẫu nhiên sử dụng trong định giá quyền chọn là không chênh lệch thị giá, chỉ một số ít là đầy đủ. Chúng ta đều biết rằng bảo hộ hoàn toàn không thể tồn tại trong thực tế: tất cả các rủi ro không thể bị giới hạn. Thị trường “không ma sát” (không có chi phí, lợi suất thương mại có thể diễn ra liên tục, ) có vẻ như không phải là một khái niệm chặt chẽ trong thực tế nhưng đặc tính này chỉ thể hiện một phần nhỏ của rủi ro mà người ta không chấp nhận với mô hình khuếch tán. Động cơ thúc đẩy việc sử dụng các bước nhảy trong mô hình là các thị trường chứng khoán phá sản và trong suốt một phá sản không có một cơ hội nào để thực hiện một bảo hộ Delta thay đổi liên tục. Hệ quả của điều này là tính không khả thi của bảo hộ hoàn toàn: tại một thời gian cho trước giá chứng khoán có thể tăng nhẹ hoặc giảm nhẹ hoặc rơi giá rất nhiều. Nó không thể được bảo hộ chống lại tất cả rủi ro một cách đồng thời.Tính không khả thi của bảo hộ hoàn toàn có nghĩa là thị trường là không đầy đủ, tức là không phải mọi quyền chọn đều có thể tự đáp ứng bởi một danh mục đầu tư tự tài trợ. Do đó, nó khiến cho việc dùng các mô hình thị trường không đầy đủ có ý nghĩa hơn, trong đó rủi ro của bảo hộ có thể được định lượng hơn là gắn vào các mô hình thị trường đầy đủ trong đó rủi ro của bảo hộ theo định nghĩa bằng không. 26 Chương 3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy 3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên Thực nghiệm chỉ ra rằng phương sai của lợi suất là không dừng. Vì thế mô hình độ biến động hằng số là không đủ để giải thích các hiện tượng và đưa ra tham số dự báo. Do đó cần thiết phải xây dựng các mô hình độ biến động ngẫu nhiên – SV (Stochastic Volatility). Đ ối với mô hình độ biến động ngẫu nhiên, ta thay biến động không đổi  bằng hàm t mô hình hóa phương sai của tS . Hàm phương sai này cũng được mô hình như chuyển động Brown, và dạng của t phụ thuộc vào mô hình độ biến động ngẫu nhiên SV cụ thể mà ta nghiên cứu. , , t t t t t t S t S t t dS S dt S dW d dt dZ          (3.1) trong đó ,S t và ,S t là các phương trình nào đó của  còn tdZ là một quá trình Gauss chuẩn khác tương quan với tdW với nhân tử tương quan hằng số  . Mô hình độ biến động ngẫu nhiên tổng quát này chứa nhiều mô hình nổi tiếng, ta đưa ra ba ví dụ: 1. Heston – Heston (1993) giả sử rằng tY tuân theo quá trình Cox-Ingersoll- Ross (CIR),  t t t tdY Y dt Y dZ     (3.2) và  f y y .  là phương sai dài hạn,  là tốc độ trở về trung bình,  được gọi là độ biến động của độ biến động. tY là dương chặt k 27 hi 22  và không âm khi 20 2   . Mô hình này là rất quan trọng vì nó đưa ra một công thức gần với dạng cho quyền chọn kiểu châu Âu và  có thể là một số khác không. 2. Mô hình độ co giãn phương sai không đổi Mô hình này mô tả mối quan hệ giữa độ biến động và giá, giới thiệu độ biến động ngẫu nhiên: t t t tdS S dt S dW    (3.3) Một cách trực quan, trong một số thị trường độ biến động tăng khi giá tăng (ví dụ các loại hàng hóa), do đó 1  . Trong các thị trường khác, độ biến động có xu hướng tăng khi giá giảm, được mô hình với 1  . Có một vướng mắc nào đó ở đây, là vì mô hình độ co giãn không đổi của phương sai không kết hợp chặt chẽ quá trình độ ngẫu nhiên đối với độ biến động của chính nó cho nên nó không chính xác là mô hình độ biến động ngẫu nhiên. Vì thế người ta gọi mô hình này là mô hình độ biến động địa phương. 3. Mô hình độ biến động ngẫu nhiên an-pha, bêta, rô – hay mô hình SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho volatility model) Mô hình SABR mô tả một diễn tiến đơn F (theo bất kỳ một tài sản nào như một chỉ số, lãi suất, trái phiếu, tiền tệ hoặc cổ phần) với độ biến động ngẫu nhiên  : ,t t t t t t t dF F dW d dZ      (3.4) Giá trị ban đầu 0F và 0 là giá diễn tiến và độ biến động hiện tại, trong khi tW và tZ là hai quá trình Weiner tương quan (tức là các chuyển động Brown) với hệ số tương quan 1 1   . Các tham số hằng số ,  thỏa mãn 0 1, 0    . 4. Mô hình GARCH 28 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Mô hình GARCH là một mô hình phổ biến khác nữa để ước lượng độ biến động ngẫu nhiên. Mô hình giả sử rằng tính ngẫu nhiên của quá trình phương sai khác nhau với phương sai, đối lập với căn bậc hai của phương sai như là trong mô hình Heston. Mô hình chuẩn GARCH(1,1) có dạng sau đối với vi phân phương sai:  t t t td dt v dB       (3.5) 5. Mô hình 3/2 Mô hình 3/2 giống với mô hình Heston, nhưng giả sử rằng tính ngẫu nhiên của quá trình phương sai khác với 3/2t . Dạng của vi phân phương sai là:   3/2t t t t td dt dB       (3.6) Tuy nhiên ý nghĩa của các tham số thì khác với mô hình Heston. Trong mô hình này, cả sự trở về trung bình và độ biến động của các tham số phương sai là các đại lượng ngẫu nhiên được cho tương ứng bởi t và t . 6. Mô hình Chen Trong các mô hình lãi suất, Lin Chen vào năm 1994 đã phát triển mô hình trung bình ngẫu nhiên và độ biến động ngẫu nhiên đầu tiên, được gọi là mô hình Chen. Cụ thể, các động lực của lãi suất tức thời được cho bởi các phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:       , , . t t t t t t t t t t t t t t t t t dr dt r dW d dt dW d dt dW                      (3.7) 3.2 Các quá trình bước nhảy Cuối cùng, một yếu tố quan trọng khác trong các mô hình định giá quyền chọn là mô hình giá cổ phiếu với bước nhảy. Các quá trình bước nhảy (Lévy) đã trở nên ngày càng phổ biến trong toán tài chính vì chúng có thể mô tả thực tế được quan sát của các thị trường tài chính theo cách chính 29 xác hơn là các mô hình khuếch tán cơ bản dựa trên chuyển động Brown. Trong thực tế, ta quan sát các quá trình giá tài sản có bước nhảy và đưa chúng vào tính toán. Hình (2.4) biểu diễn giá chỉ số Standard and Poors vào 7-28 tháng ba năm 2008, là một ví dụ điển hình cho bước nhảy trong giá cổ phiếu. Hình 3.1 Giá Standard and Poors 28/7/2008 Merton vào năm 1976 đã thêm các bước nhảy ngẫu nhiên vào chuyển động Brown hình học. Quá trình ngẫu nhiên đối với giá cổ phiếu là   dS k dt dW dp S       (3.8) trong đó  là số trung bình các bước nhảy trong một khoảng, k là cỡ bước nhảy trung bình, dp là quá trình Poisson tạo thành từ các bước nhảy. Mô hình khuếch tán có bước nhảy rất hữu dụng khi giá tài sản có những thay đổi lớn, vì các mô hình thời gian liên tục không thể nắm bắt được tính chất này. Một số nhà nghiên cứu khác thậm chí đã mô hình giá cổ phiếu như là một quá trình hoàn toàn là quá trình bước nhảy.Họ cũng kết hợp độ biến động ngẫu nhiên và bước nhảy (Bates, 1996). Ta sẽ tập trung vào các quá trình bước nhảy trong các phần tiếp theo. 30 Quá trình bước nhảy thuần túy cơ bản là quá trình Poisson.Tất cả các bước nhảy của quá trình Poisson có cỡ là một.Quá trình Poisson phức hợp giống như quá trình Poisson trừ các bước nhảy là có cỡ ngẫu nhiên. Theo cách mà chuyển động Brown được xây dựng cho các quá trình quỹ đạo liên tục, quá trình Poisson là bước khởi đầu dành cho quá trình bước nhảy. Các biến ngẫu nhiên mũ Ta nói rằng biến dương  là tuân theo phân phối mũ với tham số 0  nếu nó có hàm mật độ xác suất như sau 01 t te    (3.9) và giá trị kỳ vọng của  là   1 E    . Hàm phân phối được cho bởi      0, 1 tt F t t e          (3.10) Phân phối mũ có một tính chất quan trọng được gọi là tính mất trí nhớ:    , 0, |t s T t s T t T s         (3.11) Phân phối Poisson Một biến ngẫu nhiên N được gọi là tuân theo phân phối Poisson với tham số  nếu  , =e ! n n N n n      (3.12) Quá trình Poisson 31 Để xây dựng quá trình Poisson, ta bắt đầu với dãy 1 2, ,...  các biến ngẫu nhiên mũ độc lập, tất cả với cùng trung bình 1  . Ta sẽ xây dựng một mô hình trong đó một biến cố, tra gọi là một “bước nhảy”, xuất hiện theo thời gian. Bước nhảy đầu tiên xuất hiện tại thời gian 1 , bước nhảy thứ hai xuất hiện sau 2 đơn vị thời gian sau bước nhảy thứ nhất, bước nhảy thứ ba xuất hiện 3 đơn vị thời gian sau bước nhảy thứ hai, Các biến ngẫu nhiên k được gọi là các thời gian lặp lại (interarrival times). Các thời gian đến là: 1 n n k k S    (3.13) (tức là nS là thời gian của bước nhảy thứ n ). Quá trình Poisson tN đếm số các bước nhảy xuất hiện tại hoặc trước thời gian t 1 1 nt t T n N     (3.14) Quá trình Poisson do đó được định nghĩa như là quá trình đếm. Các quỹ đạo mẫu tt N là càdlàg. tN có các số gia độc lập, và các số gia này là đồng nhất. tN có tính chất Markov    | , | ,t u t sE f N N u s E f N N t s          . Tuy nhiên, quá trình Poisson không là martingale. Hàm đặc trưng của tN được cho bởi     1 , iu t t t eiuN N u E e e u          (3.15) 32 Hình 3.1 Quá trình Poisson 3.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy Để đạt được các mô hình thực tế hơn, các nhà nghiên cứu đã thêm các bước nhảy vào mô hình Black – Scholes. Merton (1976) đã đề xuất rằng các biến động giá tài sản có thể được mô hình như là quá trình nhảy khuếch tán và quá trình các lợi tức của một tài sản có thể được tách thành ba phần, một phần trượt tuyến tính, một chuyển động Brown biểu diễn các biến động chuẩn, và quá trình Poisson phức hợp sinh ra một thay đổi không chuẩn (nhảy) trong các giá của tài sản theo thông tin. Tầm quan trọng của bước nhảy được xác định bởi sự lấy mẫu từ một biến ngẫu nhiên phân bố độc lập và đồng nhất (iid). Merton đã giả sử rằng các bước nhảy là có phân phối log chuẩn. Trường hợp đặc biệt này làm cho ước lượng và kiểm định giả thiết được dễ dàng và trở thành biểu diễn quan trọng nhất của quá trình nhảy khuếch tán. Hơn nữa, bằng cách thêm các bước nhảy không liên tục vào mô hình Black – Scholes và chọn các tham số thích hợp của quá trình nhảy, các mô hình bước nhảy log chuẩn sinh ra biến động nụ cười hay biến động lệch như được nói đến trong phần 2.1.2. Cụ thể, bằng cách đặt trung bình của quá trình bước nhảy là âm, các độ lệch ngắn hạn sẽ dễ dàng được nắm bắt. 3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn Merton (1976) đã thêm các bước nhảy Poisson vào quá trình chuyển động Brown hình học chuẩn để xấp xỉ sự chuyển động của giá cổ phiếu thỉnh thoảng bị không liên tục 33 t dS dt dW kdq S     (3.16) trong đó dq là đếm Poisson với cường độ  , tức là  1P dq dt  và k là một kéo theo từ phân bố chuẩn, đặt  logy k , loga của cỡ bước nhảy có phân bố chuẩn:     2 22 1 exp 22 y g y            (3.17) trong đó y là loga của cỡ bước nhảy,  là trung bình của phân phối loga cỡ bước nhảy,  là độ lệch chuẩn của phân phối loga cỡ bước nhảy. 3.2.2 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên Bate (1996) đã thêm một phần bước nhảy vào các mô hình độ biến động ngẫu nhiên này để làm cho chúng có tính thực tiễn hơn:                                1 , 0 ; , 0 . s J f v dS t r d S t dt V t S t dW t e S t dN t S S dV t V t dt V t dW t V V               (3.18) trong đó  N t là quá trình Poisson với cường độ không đổi  ,  là tần số của các bước nhảy trên năm, J là biên độ bước nhảy (thường được gọi là cỡ bước nhảy), m là trung bình biên độ bước nhảy. 3.2.3 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên và cường độ nhảy Dựa trên mô hình của Bates, Fang (2000) đề xuất một mô hình với tốc độ cường độ bước nhảy ngẫu nhiên: 34                                           1 , 0 ; , 0 ; , 0 . s J f v dS t r d S t dt V t S t dW t e S t dN t S S dV t V t dt V t dW t V V d t t dt V t dW t                                (3.19) trong đó  là tốc độ trở về trung bình,  là cường độ dài hạn,  là độ biến động của cường độ nhảy, và quá trình Weiner  W t là độc lập với  sW t và  vW t . Đây là một mô hình rất nhiều tham vọng và phức tạp, nhưng nó sẽ bị tránh trong thực hành. Chương 4 Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy Phần này trình bày các ước lượng từ ba quá trình xác định phổ biến trong tài chính: chuyển động hình học Brown, chuyển động hình học Brown cộng thêm một quá trình nhảy, và một biến động ngẫu nhiên cộng thêm một quá trình nhảy. Mục đích là để tìm ra một xấp xỉ thích hợp cho dữ liệu với biểu diễn cụ thể nhất. Số liệu thực nghiệm mà luận văn sử dụng để phân tích là tỉ giá USD/Việt Nam đồng ( và NOK/GBP (Krone Na Uy/ Bảng Anh) ( stability/exchange-rates/). 4.1 Chuyển động hình học Brown Chuyển động hình học Brown là đơn giản nhất và có lẽ là quá trình xác định phổ biến nhất trong các mô hình tài chính. Mô hình Black-Scholes giả định dựa theo giả thiết của chuyển động hình học Brown. Chuyển động hình học Brown khẳng 35 định rằng phần trăm tức thời thay đổi trong tỷ giá có độ lệch hằng số B , và biến động B t B B t dS dt dW S    (4.1) Sai số dW là quá trình Weiner chuẩn. Để ước lượng các tham số của GBM, ta sử dụng phương pháp hợp lý cực đại, để ngắn gọn ta tạm ký hiệu    , ,B B    . Ta thực hiện các biến đổi như sau:     2 2 2 1 ln 2 , 1 ln 2 ln 2 ~ 0, t t t t t t t t t dS dt dW S d S dt dW S t W S t W N t                                                  (4.2) Hàm log – hợp lý được xây dựng như sau:                               21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 , ,..., ... 1 1 exp 22 1 ln ln 2 2 2 1 ln 2 2 2 ~ 0; W t T T T t t T t t T t t t g W e t g W W W g W g W g W W tt W L t t T L t W t W N t Var W t                                                       36 Phần  ln 2 2 T t       không đóng vai trò gì trong việc tìm cực trị nên ta bỏ qua. Ta xét hàm     2 1 1 ln 2 T t t L W t        hay   2 2 1 ln 21 ln , 2 t T t t t S t S L                                 Để cực đại hàm này, ta giải hệ phương trình đạo hàm riêng theo  và  bằng 0, kết quả được 2 1 1 ln 2 T t t t t S T S              ; và   2 2 02 1 2 0 1 ln ln ln1 1 ln ln 1 = t T t t T t t T T t t t S S S S T t T T S S S S t T t T                                      Phân tích số liệu thực nghiệm Áp dụng phân tích thực nghiệm trên số liệu tỷ giá ngoại tệ VND/USD trong 10 năm từ tháng 1 năm 2003 đến tháng 12 năm 2013 bằng phần mềm Stata, ta được các kết quả sau: Ước lượng tỉ giá ngoại tệ Việt Nam đồng/USD 37 Hình 4.1 Chuỗi thời gian của tỷ giá VND/USD Đây là biểu đồ thô về dãy số liệu tỷ giá VND/USD theo thời gian, cho thấy sự biến đổi về tỷ giá, các biến động và các bước nhảy rõ ràng. Hình 4.2 Biểu đồ chuỗi thời gian của lợi suất VND/USD Biểu đồ ở hình 4.2 thể hiện dãy lợi suất theo thời gian, đây là quá trình trở lại trung bình, trong đó sự biến động và các bước nhảy cũng rất rõ. 1 4 0 0 0 1 6 0 0 0 1 8 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 ty g ia 0 500 1000 1500 2000 2500 t -2 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 r 0 500 1000 1500 2000 2500 t 38 Hình 4.3 Biểu đồ mật độ của lợi suất VND/USD so với chuẩn Biểu đồ này cho thấy ước lượng mật độ được so sánh với đường mật độ chuẩn, đường mật độ các giá trị quan sát của lợi suất nhọn hơn rất nhiều so với đường chuẩn. Như vậy dãy số liệu không có phân bố log chuẩn. Các biểu đồ sau cho thấy tự tương quan khác không của dãy lợi suất và dãy lợi suất bình phương: 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 D e n si ty -200 -100 0 100 200 r Kernel density estimate Normal density kernel = epanechnikov, bandwidth = 0.9778 Kernel density estimate 39 Hình 4.4 Biểu đồ về sự tự tương quan Tự tương quan trong các bình phương lợi suất – đọ tin cậy 95% Tự tương quan trong các lợi suất – độ tin cậy 95% 0 .0 0 0 .2 0 0 .4 0 0 .6 0 A u to c o rr e la ti o n s o f r2 0 10 20 30 40 Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands -0 .4 0 -0 .2 0 0 .0 0 A u to c o rr e la ti o n s o f r 0 10 20 30 40 Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands 40 Phân tích dãy số liệu trên Stata, cho ta bảng các tham số đặc trưng của dãy lợi suất như sau (quý vị quan tâm có thể xem thêm Stata Code cho các bảng/ biểu/ phân tích trong phần phụ lục): Bảng 4.1 Ước lượng tham số với moment không điều kiện Mean Variance Skewness Kurtosis Estimate .1211918 9.99492 .7503242 10.62211 Std.Err .0850827 .1923287 .0771408 .1923301 Hệ số Skewness=.75, cho thấy phân phối của lợi suất là bị lệch; hệ số Kurtosis=10.62 lớn, do đó phân phối sẽ rất nhọn, không có gì ngạc nhiên vì điều này đã có thể thấy rất rõ ràng qua đồ thị. Ước lượng các tham số cho quá trình chuyển động Brown hình học được trình bày trong bảng kết quả sau: Bảng 4.2 Ước lượng tham số GBM B B Skewness Kurtosis Estimate .1211918 3.0331502 0 3 Std.Err .0850827 .0187753 4.2 Chuyển động hình học Brown cộng thêm bước nhảy Merton (1976) đã cộng thêm các bước nhảy Poisson vào quá trình chuyển động hình học Brown để xấp xỉ sự biến động của giá cổ phiếu với giả thiết các bước nhảy là hoàn toàn ngẫu nhiên W B B dS dt d kdq S     (4.4) 41 Ở đây dq là quá trình đếm Poisson với cường độ  , tức là P(dq=1)= dt, và k được suy ra từ phân bố chuẩn 2( , ) J Jk N   Quá trình bước nhảy là có kurtosis dương và có thể lệch. Loga lợi suất đối với ngày bất kỳ chứa hai thành phần 1 1 1 2 , 0 ln lnS ... , 1t t t Q x Q S y x k k k Q            (4.5) quá trình chuyển động Brown, x, cộng thêm các kéo theo k1, k2, từ quá trình bước nhảy. Một kéo theo từ quá trình Poisson xác định số các kéo theo từ quá trình bước nhảy, k, mỗi ngày P( = )=( ) ! qe Q q q  (4.6) Ta đã ước lượng các tham số của quá trình bước nhảy phương pháp hợp lý cực đại. Hàm hợp lý cực đại là 2 1 2 22 2 0 0 1 ( ) ( , ) ln[ ]exp( ) ! 2( )2 ( ) qQT t B J t q B JB J e y q l y q qq                    , tổng của các loga của các tổng hàm mũ xác định bởi các xác suất Poisson. Các kết quả là các hàm không tuyến tính của các tham số chưa biết, {Nói chung vô hạn các bước nhảy có thể xuất hiện trong suốt ngày lợi suất. Ta đặt số các bước nhảy lớn nhất trong một ngày là Q, lớn đến 10. Jorian (1988) chứng minh được rằng 10 là đủ.}. Để ước lượng các tham số làm cực đại hàm hợp lý, ta viết chương trình nhập hàm hợp lý và sử dụng gói lệnh ML trong Stata (xem phụ lục về Stata code ước lượng hợp lý cực đại cho VND/USD), kết quả được trình bày trong bảng sau: 42 Bảng 4.3 Các tham số ước lượng quá trình nhảy B B J