Luận văn Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach

ta chứng minh ( )110 0; ( )B f f G B−− ⊂ . Với ( )110 0;f B f f −−∈ , ta có 10 0f f f f−= nên 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0( ) 1e f f f f f f f f f f f f− − − − −− = − = − ≤ − < , vì vậy 1 0f f − khả nghịch và phần tử khả nghịch đó là ( ) ( )11 10 0 0 1 k k f f f f ∞−− − = = −∑ . Từ đó suy ra 21 f khả nghịch và 1 1 10 0 0 0 ( ) k k f f f f f ∞ − − − =  = − ∑ , vậy ( )f G B∈ . Từ đó ta có ( )G B là tập mở trong B . Chứng minh ánh xạ liên tục. Lấy bất kỳ 0 ( )f G B∈ , và dãy ( )n nf hội tụ về 0f , khi n đủ lớn thì 11 0 0nf f f −−− < . Ta có 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 kk n n n n k k f f f f f f f f f f ∞ ∞ →∞− − − − − − = =   − ≤ − ≤ − →   ∑ ∑ .■ Chứng minh bổ đề 2.1.14 Đầu tiên ta chứng minh I đóng. Áp dụng kết quả bổ đề 2.1.15 trên, do I là iđêan cực đại nên I không chứa phần tử khả nghịch, ta có \ ( )I B G B⊂ , mà ( )G B mở nên \ ( )B G B đóng. Do vậy \ ( )I I B G B⊂ ⊂ , ta lại có I B≠ do ( )e G B∈ . Mà I là iđêan cực đại nên I I= , hay I đóng. Theo kết quả đại số thì nếu I là iđêan cực đại của B thì B I là một trường, do đó nó đẳng cấu với trường số phức theo bổ đề 2.1.13 .■ Định lý 2.1.16 Ký hiệu: BM là tập tất cả dạng tuyến tính nhân từ B vào  . B∆ là tập các iđêan cực đại của B . Khi đó, ánh xạ : B BA M →∆ xác định bởi ( ) : kerA m m= là một song ánh. Kết quả của định lý này ta cho ta sự tương ứng một một giữa không gian các iđêan cực đại với không gian các dạng tuyến tính nhân, do đó BM còn được gọi là không gian các iđêan cực đại của đại số Banach B . Chứng minh Trước hết ta chứng minh với mỗi Bm M∈ thì ker m là một iđêan cực đại, tức là chứng minh ker B m là một trường, nghĩa là phần tử kerf m+ khả nghịch trong 22 ker B m với mọi kerf m∉ . Ta có, với kerf m∉ thì ( ) 0m f λ= ≠ . Đặt 1g e λ = . Khi đó, ( )( ) ( ) ( ) ( )m em fg m f m g m eλ λ = = = . Suy ra kerfg e m− ∈ . Vì vậy ker kerfg m e m+ = + , dẫn đến ( )( )ker ker ker kerf m g m fg m e m+ + = + = + . Do đó phần tử kerf m+ là khả nghịch, phần tử nghịch đảo của nó là kerg m+ . Từ đây suy ra ánh xạ A xác định. Chứng minh A đơn ánh. Thật vậy, giả sử 1 2, Bm m M∈ sao cho 1 2( ) ( )A m A m= , tức là 1 2ker kerm m= . Ta cần chứng minh 1 2m m= . Giả sử ngược lại, 1 2m m≠ , khi đó có 1 2: ( ) ( )f B m f m f∈ ≠ . Đặt 1( )f m fλ = , ta cũng có 1( )f fm eλ λ= , suy ra ff eλ− ∈ 1ker m 2ker m= . Từ đó 2 ( ) 0m f eλ− = , hay 2 1( ) ( )m f m fλ= = , tới đây ta gặp mâu thuẫn với giả sử bên trên. Vậy 1 2m m= , hay A đơn ánh. Chứng minh A toàn ánh. Giả sử BJ ∈∆ , khi đó ta có J là iđêan cực đại nên B J là một trường nên nó đẳng cấu với trường số phức  . Ta cần chỉ ra có một đồng cấu phức A sao cho kerJ A= . Gọi : BB Jπ → là phép chiếu tự nhiên, ta có π là một đồng cấu liên tục và kerJ π= . Gọi A là đẳng cấu từ B J lên  , khi đó A π  là đồng cấu phức và ( )kerJ A π=   . Đặt A A π=   thì A là đồng cấu cần tìm.■ Định lý 2.1.17 Cho I là một iđêan thật sự của B , khi đó có một phần tử Bm M∈ sao cho ( ) 0,m f f I= ∀ ∈ . Chứng minh Ta có iđêan thực sự không chứa đơn vị e , vì nếu chứa e thì nó trùng với B . Do B chứa đơn vị, theo bổ đề Zorn mỗi iđêan thực sự đều được chứa trong một iđêan cực đại. Ta lại có mỗi iđêan cực đại thì được đồng nhất tương ứng với một dạng tuyến tính nhân. Vì vậy có Bm M∈ sao cho ( ) 0,m f f I= ∀ ∈ .■ 23 Từ đây ta suy ra được một đại số Banach giao hoán có đơn vị B thì luôn tồn tại ít nhất một dạng tuyến tính nhân đi từ B → . Thật vậy, nếu tất cả các phần tử của đại số Banach B là khả nghịch, thì khi đó B sẽ đẳng cấu với trường số phức  , rõ ràng phép đẳng cấu đó chính là một dạng tuyến tính nhân. Trường hợp còn lại sẽ tồn tại một phần tử không khả nghịch, giả sử là b B∈ , hiển nhiên ta có bB là một iđêan thực sự chứa b , áp dụng kết quả trên sẽ có phần tử Bm M∈ .■ Ta chứng minh phần còn lại của định lý 2.1.9 Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại { }( ) ( ) :B Bf f m m Mσ ∧⊂ ∈ . Thật vậy, lấy ( )B fλ σ∈ suy ra f eλ− không khả nghịch, đặt J f eλ= − là iđêan sinh bởi f eλ− , ta có J B≠ . Theo định lý 2.1.17 có Bm M∈ sao cho m triệt tiêu trên J , dẫn đến ( ) 0m f eλ− = hay ( )m f λ= . Suy ra { }( ) : Bf m m Mλ ∧∈ ∈ . Vậy ta có bao hàm thức ngược lại. Tiếp theo ta chứng minh công thức về bán kính phổ ii) Lấy ( ) 1 sup Bz f z R σ∈ > , thì ( ) 1e fλ −− tồn tại khi Rλ ≤ , áp dụng (2.1.11) ta có ( ) 1 0supn n R R f e f k λ λ − = ≤ − = hay 11 0 nn nR f k≤ , lấy giới hạn trên hai vế ta có 1 lim 1n n n R f →∞ ≤ , do cách lấy 1 R nên ta có 1 ( ) lim sup B n n n z f f z σ→∞ ∈ ≤ . (2.1.12) Từ (2.1.1) và (2.1.12) ta có: 1 1 ( ) sup ( ) sup ( ) lim lim sup sup ( ) B B B B n nn n nnm M m M z f m M f m m f f f z f m σ ∧ ∧ →∞→∞∈ ∈ ∈ ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ = Vậy đẳng thức phải xảy ra, hay nói cách khác ta có 1 sup ( ) lim B n n nm M f m f ∧ →∞∈ = .■ 24 Hệ quả 2.1.18 Cho B là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Khi đó phép biến đổi Gelfand :G B f f B ∧ ∧ ∋ → ∈ là phép đẳng cự khi và chỉ khi 22 ,f f f B= ∀ ∈ . Chứng minh Giả sử G là phép đẳng cự, khi đó f B∀ ∈ ta có 222 2 22 sup ( ) sup ( ) sup ( ) B B B B m M m M m MM f f f m f m f m f ∧ ∧ ∧ ∧ ∈ ∈ ∈   = = = = =    . Ngược lại, giả sử 22 ,f f f B= ∀ ∈ . Bằng qui nạp ta chứng minh được 22 , 1nnf f n= ∀ ≥ . Lại áp dụng định lý 2.1.9 ta được 1 2 2n nf f= . Lấy lim hai vế ta có: 1 1 2 2lim lim ( ) B n nn n Bn n M f f f r f f ∧ →+∞ →+∞ = = = = . Vậy G là phép đẳng cự.■ Ví dụ Cho X là không gian tôpô compact Hausdorff. Khi đó, không gian ( )C XM đồng phôi với X . Chứng minh Với mỗi x X∈ , ta xây dựng ánh xạ : ( )xm C X → xác định bởi ( ) ( ), ( )xm f f x f C X= ∀ ∈ . Ta kiểm tra được xm là một đồng cấu phức với mỗi x X∈ . Ta chứng minh rằng với ( )C Xm M∈ thì tồn tại duy nhất x X∈ sao cho xm m= . Sự tồn tại, giả sử ngược lại là xm m≠ với mọi x X∈ . Khi đó với mọi x X∈ tồn tại hàm ( )g C X∈ sao cho ( ) ( ) ( )xm g m g g x≠ = . Đặt ( )xf g m g= − , ta có ( )xf C X∈ . Khi đó ( ) 0xf x ≠ . Ta lại có xf là hàm liên tục nên tồn tại lân cận xU của x sao cho 0xf ≠ trên xU . Suy ra 2 0xf > trên xU . Mặt khác, ta có ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0xm f m g m g m g m g= − = − = nên 2( )xm f ( ) ( ) ( ) 0x x x xm f f m f m f= = = . Mặt 25 khác, họ { }x x XU ∈ là một phủ mở của X compact nên có phủ con hữu hạn, suy ra tồn tại 1,..., nx x X∈ sao cho 1 i n x i X U = =  . Đặt 1 2 ...xh f= + 2 ... nx f+ ta có ( )h C X∈ và 0h > trên X . Từ đó suy ra h khả nghịch nên ( ) 0m h ≠ với mọi ( )C Xm M∈ . Nhưng ta lại có 1 22 ( ) ( ... ) nx x m h m f f= + + 1 2 ( )xm f= + 2 ... ( ) 0 nx m f+ = . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy xm m= . Sự duy nhất, giả sử có 1 2,x x X∈ sao cho 1 2x xm m m= = . Ta chứng minh 1 2x x= , thật vậy từ 1 2( ) ( ), ( )f x f x f C X= ∀ ∈ , ta chọn hàm f thích hợp ta có được 1 2x x= . Tiếp theo, ta xét ánh xạ ( ): C XX MΦ → được xác định bởi ( ) xx mΦ = . Theo chứng minh bước trên ta suy ra được Φ là một song ánh. Ta chứng minh Φ liên tục, nghĩa là lấy bất kỳ x X∈ , { }x Xα α ⊂ mà x xα → thì ( ) ( )x xαΦ →Φ . Thật vậy, với mọi ( )f C X∈ , thì f liên tục nên ( ) ( )f x f xα → , mà điều này có nghĩa là ( ) ( ), ( )x xm f m f f C Xα → ∀ ∈ . Do đó, x xm mα → trong ( )C XM hay ( ) ( )x xαΦ →Φ . Vậy Φ liên tục. Ta lại có ( ), C XX M là các không gian compact Hausdoff nên Φ là phép đồng phôi.■ Ví dụ Xét { }1 : ,n n nn n l a a a +∞ +∞ =−∞ =−∞   = ∈ < +∞    ∑ , trên 1l xét chuẩn 1,n n a a a l +∞ =−∞ = ∀ ∈∑ . 1l với chuẩn này là một không gian Banach. Trên 1l ta định nghĩa phép nhân là tích { }n nc a b c +∞ =−∞ = ∗ = , được xác định bởi ,n n k k k c a b n +∞ − =−∞ = ∀ ∈∑  . Với phép nhân này 1l trở thành một đại số Banach giao hoán. Ký hiệu 1n lε ∈ là dãy mà tọa độ thứ n là 1, các tọa độ còn lại là 0. Khi đó 0ε là phần tử đơn vị của 1l . Với mọi phần tử { } 1na a l= ∈ , ta có thể viết lại dưới dạng n n n a a ε +∞ =−∞ = ∑ . 26 Ta có n k n kε ε ε +∗ = với ,n k−∞ < < +∞ , đặc biệt nε khả nghịch và phần tử khả nghịch được cho bởi 1( )n nε ε − −= . Mặt khác 1( ) n nε ε= với n−∞ < < +∞ . Suy ra 1nn n a a ε +∞ =−∞ = ∑ . Do đó 1l được sinh bởi hai phần tử 1 1,ε ε− . Ta chỉ ra rằng không gian các iđêan cực đại 1l M của 1l được đồng nhất với hình tròn đơn vị { }: 1λ λΓ = ∈ = trong mặt phẳng phức. Thật vậy, với mỗi λ∈Γ ta xét ánh xạ 1:m lλ → được xác định bởi { } 1( ) ,nn n n m a a a a lλ λ +∞ =−∞ = ∀ = ∈∑ . Ta kiểm tra được mλ là phiếm hàm tuyến tính. Ta cần kiểm tra mλ bảo toàn phép nhân. Với mọi 1,a b l∈ , ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n n nn n k k n n n n k n n m a b c a b a b m a m bλ λ λλ λ λ λ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ − =−∞ =−∞ =−∞ =−∞ =−∞ ∗ = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . Vậy mλ là một đồng cấu phức của 1l , do đó 1lm Mλ ∈ . Với mỗi dạng tuyến tính nhân 1l m M∈ ta chứng minh rằng tồn tại λ∈Γ sao cho m mλ= . Thật vậy, giả sử 1lm M∈ . Khi đó từ 1 1( ) 1m ε ε≤ = và 1 1 1 ( ) ( ) m m ε ε − = ≤ 1 1ε−≤ = , suy ra được 1( ) 1m ε = . Do đó 1( )m ε λ= ∈Γ . Ta lại có 1nn n a a ε +∞ =−∞ = ∑ nên 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n m a m a a m a m a m aλε ε ε λ +∞ +∞ +∞ +∞ =−∞ =−∞ =−∞ =−∞ = = = = =∑ ∑ ∑ ∑ . Vậy m mλ= , nên ta có thể đồng nhất 1l M với Γ . Tiếp theo ta đưa ra ví dụ về phép biến đổi Gelfand của phần tử 1a l∈ là a ∧ được xác định bởi ( ) :i inn n a e a eϕ ϕ +∞∧ =−∞ = ∑ . Suy ra đại số 1l ∧ các phép biến đổi Gelfand của đại số 1l có thể đồng nhất với ( )S Γ , tập các hàm liên tục trên Γ có chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối. Ta chứng minh được nếu ( )f S∈ Γ thỏa mãn ( ) 0,if e ϕ ϕ≠ ∀ thì 1 ( )S f ∈ Γ . Thật vậy, ta chọn được 1a l∈ sao cho f a ∧ = . Khi đó rõ ràng là a không nằm trong một iđêan thực sự nào của 1l , thật vậy, giả sử ngược lại khi đó sẽ 27 tồn tại một dạng tuyến tính nhât 1:h l → sao cho ( ) 0h a = . Theo kết quả phía trên có ie ϕλ = ∈Γ sao cho 0 ( )i inn n h e a eϕ ϕ +∞ =−∞ = = ∑ ( ) ( )i ia e f eϕ ϕ ∧ = = . Tới đây ta gặp mâu thuẫn vì ( ) 0,if e ϕ ϕ≠ ∀ . Vậy a không nằm trong một iđêan thực sự nào của 1l . Suy ra 1a al∈ nên a phải khả nghịch trong 1l , khi đó 1 1a f ∧ − = . 2.2. Đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử Ta nói rằng đại số Banach giao hoán có đơn vị B được sinh bởi các phần tử 1,..., nf f B∈ nếu bao đóng của đại số con nhỏ nhất của B mà chứa 1,..., nf f thì trùng với B . Nói một cách khác, tập những phần tử dạng 1( ,..., )nP f f , với P là đa thức với hệ số phức ( 1( ,..., )nP f f a f α α=∑ , với 0f e= ) sẽ trù mật trong B . Đại số B được gọi là hữu hạn sinh nếu tập sinh của nó là hữu hạn. Định lý 2.2.1 Nếu đại số Banach giao hoán có đơn vị B được sinh bởi một phần tử b , nghĩa là tập các đa thức với biến b trù mật trong B . Khi đó ánh xạ : ( )B Bb M bσ ∧ → ⊂  xác định bởi ( ) ( )b m m b ∧ = là phép đồng phôi. Chứng minh Theo định lý 2.1.9 ta có b ∧ là toàn ánh liên tục từ ( )B BM bσ→ . Ta thấy rằng , ( )B BM bσ là các không gian compact Hausdorff, vì vậy ta chỉ cần chứng minh ánh xạ b ∧ là một đơn ánh thì khi đó ta sẽ có một phép đồng phôi. Giả sử 1 2( ) ( )b m b m ∧ ∧ = hay 1 2( ) ( )m b m b= ta chứng minh 1 2m m= . Thật vậy, với mọi phần tử a B∈ , do đại số B được sinh bởi một phần tử b nên có một dãy các đa thức 0 ( ) n k n k k P b c b = =∑ hội tụ về a B∈ . Ta lại có 1 2( ) ( )n nm P m P= , sử dụng tính chất liên tục của 1 2,m m cho n →+∞ ta thu được 1 2( ) ( ),m a m a a B= ∀ ∈ . Vậy 1 2m m= , hay nói cách khác b ∧ là một đơn ánh.■ 28 Cho B là đại số Banach giao hoán có đơn vị, BM là không gian các iđêan cực đại của B . Giả sử chuỗi 1 ( ) ii i F z a z +∞ = =∑ có bán kính hội tụ là 0δ > và xét b B∈ mà b δ ∧ ∞ < . Do 1 lim nnnb b ∧ →+∞ ∞ = nên có số tự nhiên N sao cho nếu n N> thì 1 n nb δ< . Vì vậy chuỗi 1 i i i a b +∞ = ∑ hội tụ. Mặt khác B là không gian Banach nên mỗi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ, dẫn đến chuỗi 1 i i i a b +∞ = ∑ hội tụ tới phần tử thuộc B mà ta ký hiệu là ( )F b B∈ . Một cách tương tự, giả sử rằng chuỗi 11 1( ,..., ) ... mm mG z z c z z αα α=∑ 1 1 1( ,..., ) ... mm mc z z ααα α=∑ hội tụ đều và tuyệt đối trên các tập compact con của đa đĩa { }(0; ) :n jP z zδ δ= ∈ < và xét 1,..., nb b B∈ sao cho , 1,...,ib i nδ ∧ ∞ < = . Lý luận như trên có số tự nhiên N sao cho nếu n N> thì 1 , 1,...,n nib i mδ< = . Vì vậy chuỗi 1 1 1( ,..., ) ... nn nc b b ααα α∑ hội tụ. Vì vậy chuỗi 11 1( ,..., ) ... nn nc b bααα α∑ hội tụ tới một phần tử thuộc B , ký hiệu 1( ,..., )nG b b B∈ . Ta xem , F G như là các hàm "chỉnh hình trừu tượng" trên đại số Banach B , ta có tính chất Bm M∈ thì ( ( )) ( ( ))m F b F m b= và 1 1( ( ,..., )) ( ( ),..., ( ))n nm G b b G m b m b= . Thay vì xét phổ của một phần tử, ta xét phổ của nhiều phần tử và khái niệm phổ nối xuất hiện. Định nghĩa 2.2.2 Cho 1,..., nf f B∈ , phổ nối 1( ,..., )B nf fσ của 1,..., nf f được định nghĩa là tập tất cả các giá trị 1( ,..., ) n nλ λ λ= ∈ sao cho iđêan sinh bởi 1 1( ),..., ( )n nf e f eλ λ− − khác với B . 29 Chú ý, trường hợp 1n = thì định nghĩa này trùng với định nghĩa phổ của một phần tử. Từ đây định lý 2.1.9 được mở rộng như sau. Định lý 2.2.3 Cho 1,..., nf f B∈ , bất kỳ. Khi đó, ( )1 1,..., ( ),..., ( ) :B n n Bf f f m f m m Mσ ∧ ∧  = ∈      . Chứng minh Nếu ( )1,...,B nf fλ σ∈ theo định lý 2.1.17 có Bm M∈ sao cho ( ) 0, 1,...,j jm f e j nλ− = = hay ( )j jm f λ= . Suy ra 1( ),..., ( ) :n Bf m f m m Mλ ∧ ∧  ∈ ∈      . Vậy ( )1 1,..., ( ),..., ( ) :B n n Bf f f m f m m Mσ ∧ ∧  ⊂ ∈      . Nếu ( )1,...,B nf fλ σ∉ theo định nghĩa phổ nối có , 1,...,jg B j n∈ = sao cho 1 ( ) n j j j j g f e eλ = − =∑ . Vì vậy , Bm M∀ ∈ ta có: 1 ( )( ( ) ) 1 n jj j j g m f m λ ∧ ∧ = − =∑ , chứng tỏ có một j sao cho ( ) 0jjf m λ ∧ − ≠    , dẫn đến ( )1 1( ),..., ( ) ,..., ,n n Bf m f m m Mλ λ ∧ ∧  ≠ ∀ ∈    . Suy ra 1( ),..., ( ) :n Bf m f m m Mλ ∧ ∧  ∉ ∈      Vậy ( )1 1,..., ( ),..., ( ) :B n n Bf f f m f m m Mσ ∧ ∧  ⊃ ∈      .■ Bổ đề 2.2.4 1 1( ,..., ) ( ,..., )n n B nf fλ λ λ σ∋ = ∈ khi và chỉ khi phương trình 1 ( ) n i i i i g e f eλ = − =∑ không có nghiệm trong B . Chứng minh Giả sử 1 1( ,..., ) ( ,..., )n B nf fλ λ λ σ= ∈ , theo định lý 2.1.17 có Bm M∈ sao cho 1 1( ,..., ) ( ),..., ( )n nf m f mλ λ λ ∧ ∧ = =     ( ), 1,...,i im f i nλ⇔ = ∀ = . 30 Nếu phương trình 1 ( ) n i i i i g e f eλ = − =∑ (2.2.4) có nghiệm, tức là tồn tại các , 1,...,ig B i n∈ ∀ = sao cho đẳng thức (2.2.4) xảy ra, thì 1 1 ( ) ( ) n i i i i m e m g e fλ =   = = −    ∑ ( ) 1 ( ) ( ) 0 n i i i i m g m fλ = = − =∑ điều này mâu thuẫn. Vậy phương trình không có nghiệm trong B . Ngược lại, giả sử phương trình 1 ( ) n i i i i g e f eλ = − =∑ không có nghiệm trong B nhưng 1 1( ,..., ) ( ,..., )n B nf fλ λ λ σ= ∉ . Khi đó tồn tại ,1j j nλ ≤ ≤ sao cho ( ) ( ),j j j Bf m m f m Mλ ∧ ∧ ≠ = ∀ ∈ . Suy ra ( ) ( ) ( ) 0,j j j j Bm e f e f m m Mλ λ− = − ≠ ∀ ∈ , nên j je fλ − khả nghịch. Dẫn đến có jg B∈ sao cho ( )j j je f g eλ − = . Vì vậy phương trình 1 ( ) n i i i i g e f eλ = − =∑ có nghiệm ( ) 1 0, ,i j j i j g e f i jλ − ≠=  − = (điều này mâu thuẫn với giả thiết). Vậy 1 1( ,..., ) ( ,..., )n B nf fλ λ λ σ= ∈ .■ Cho K là tập compact con của n . Gọi ( )P K là đại số các hàm được xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức n biến 1,..., nz z . Khi đó ( )P K được sinh bởi các phần tử 1,...,z nz . Ta nhắc lại tập lồi đa thức, đa diện đa thức. Định nghĩa 2.2.5 Cho K là tập compact của n , bao lồi đa thức của K là tập K , được xác định bởi { }{ }: ( ) sup (w) , w ,nK z P z P K P= ∈ ≤ ∈ ∀  , ở đây P là đa thức. Tập K được gọi là tập lồi đa thức nếu K K=  . 31 Định lý 2.2.6 Cho K là tập compact lồi đa thức và Ω là một lân cận của K . Khi đó tồn tại những đa thức 1,..., mP P thỏa mãn { }: ( ) 1, 1,...,n jK z P z j m L⊂ ∈ ≤ = = ⊂ Ω . L được gọi là một đa diện đa thức, và rõ ràng rằng nó là một tập lồi đa thức. Xem chứng minh trong [11]. Mệnh đề 2.2.7 Nếu { }n np là dãy các đa thức hội tụ đều trên K thì { }n np cũng hội tụ đều trên K . Chứng minh Theo giả thiết, với mỗi 0ε > thì tồn tại số tự nhiên N sao cho nếu , n m N> thì ( ) ( ) ,n mp w p w w Kε− < ∀ ∈ . Ta lại có n mp p− là đa thức nên ta có ( ) ( )n mp z p z− ≤ { }sup ( ) ( ) : ,n mp w p w w K z Kε≤ − ∈ ≤ ∀ ∈  . Vậy { }n np hội tụ đều trên K .■ Mệnh đề 2.2.8 Nếu ( )f P K∈ thì tồn tại một hàm F liên tục trên K thỏa mãn KF f= . Chứng minh Với mỗi z K∈  , ta định nghĩa ( ) : lim ( )nnF z p z→+∞= , ở đây { }n np là dãy các đa thức hội tụ đều đến hàm f trên K . Ta chứng minh quy tắc xác định trên là ánh xạ, tức là không phụ thuộc vào việc chọn dãy đa thức { }n np . Thật vậy, giả sử { }n nq là dãy các đa thức hội tụ đều đến hàm f trên K . Khi đó ta có dãy các đa thức 1 1, ,..., , ,...n np q p q cũng hội tụ đều đến hàm f trên K . Theo mệnh đề 2.2.7 dãy này cũng hội tụ đều trên K . Vì vậy mỗi dãy con phải hội tụ đến cùng một giới hạn. Vậy lim nn q F→+∞ = , hay hàm F xác định. Theo cách xác định trên rõ ràng hàm F liên tục trên K thỏa mãn KF f= .■ Định lý 2.2.9 Gọi ( )P KM là không gian các iđêan cực đại của ( )P K , 1,..., np p là các phép chiếu trong n , nghĩa là ( ) , 1,...,i ip z z i n= = . Khi đó, ánh xạ ( ): n P KMΦ → xác định 32 bởi 1( ) ( ( ),..., ( ))nm m p m pΦ = là phép đồng phôi từ ( )P KM lên K thỏa mãn điều kiện nếu q là đa thức n biến, thì ( )( ) ( ( )), P Km q q m m M= Φ ∀ ∈ . Chứng minh Kiểm tra sự xác định của ánh xạ Φ . Với q là đa thức n biến, ta có 1 1 ( )( ) ( ( ,..., )) ( ( ),..., ( )) ( ( )),n n P Km q m q p p q m p m p q m m M= = = Φ ∀ ∈ nên ( ( )) ( )q m m qΦ = ≤ q . Vì vậy ( )( ) , P Km K m MΦ ∈ ∀ ∈ nên ánh xạ Φ xác định từ ( )P KM vào K . Chứng minh Φ đơn ánh. Thật vậy, bởi vì tập các đa thức trù mật trong ( )P K nên nếu 1 2( ) ( )m mΦ = Φ thì 1 2( ) ( )m q m q= với mọi đa thức q . Vì vậy 1 2m m= . Vậy Φ đơn ánh. Chứng minh Φ toàn ánh . Thật vậy, lấy 1( ,..., )nz z K∈  , với mỗi đa thức q ta định nghĩa 1( ) : ( ,..., )nq q z zθ = . Khi đó, rõ ràng θ là phiếm hàm tuyến tính trên tập các đa thức, hơn nữa θ bị chặn vì { }1( ) ( ,..., ) sup ( ) :nq q z z q w w K qθ = ≤ ∈ = . Từ đó tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính bị chặn của θ là θ trên ( )P K . Do θ tuyến tính nhân nên θ cũng vậy. Rõ ràng ta có θ không đồng nhất không và vì vậy ( )P KMθ ∈ . Ta lại có 1 1( ) ( ( ),..., ( )) ( ,..., )n np p z zθ θ θΦ = = . Vậy Φ toàn ánh . Ngoài ra, ta có Φ liên tục, song ánh từ không gian compact ( )P KM lên K là không gian Hausdorff nên Φ là đồng phôi.■ Hệ quả 2.2.10 i) Nếu ( )f P K∈ và F là hàm mở rộng liên tục của f lên K thì ( )( ( )) ( ), P KF m m f m MΦ = ∀ ∈ . ii) Nếu ( ) ( )P K C K= thì K K= . Chứng minh i) Lấy { }n np là dãy các đa thức sao cho ( ) lim ( ),nnf w p w w K→+∞= ∀ ∈ . Khi đó ( ) lim ( ),nnF z p z z K→+∞= ∀ ∈  (2.2.8). Do đó với mọi ( )P Km M∈ thì 33 ( ) ( lim )nnm f m p→+∞= lim ( ) lim ( ( ))n nn nm p p m→+∞ →+∞= = Φ . Nhưng ( )m KΦ ∈  nên ( ( )) ( )F m m fΦ = (do (2.2.8)). ii) Ta đã chứng minh được không gian các iđêan cực đại của ( )C K là ( )C KM K≡ . Theo kết quả trên thì ( )C KM K≡  . Vậy ta có K K= .■ Ta có thể miêu tả dễ dàng không gian iđêan cực đại của đại số Banach giao hoán hữu hạn sinh, cụ thể là nó đồng phôi với tập phổ nối của những phần tử sinh. Đây chính là sự mở rộng của định lý 2.2.1. Định lý 2.2.11 Cho đại số Banach B được sinh bởi 1,..., nf f . Khi đó, i) Ánh xạ 1 1 : ( ,..., ) ( ) : ( ),..., ( ) n B B n n M f f m m f m f m ϕ σ ϕ ∧ ∧ → ⊂  =       là phép đồng phôi. ii) Tập 1( ,..., )B nK f fσ= là tập compact lồi đa thức. iii) Nếu f B∈ thì 1f ϕ ∧ − ° được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K . Chứng minh i) Theo định nghĩa tôpô trên BM ta có ϕ liên tục. Do BM compact Hausforff nên 1( ,..., )B nf fσ compact, vì vậy ta chỉ cần chứng minh ϕ song ánh thì khi đó ϕ là phép đồng phôi. Hiển nhiên, theo cách xác định ánh xạ ϕ và định lý 2.2.3 ta có ϕ là toàn ánh. Chứng minh ϕ là đơn ánh. Thật vậy, với Bm M∈ , ta có ( )1 1( ,..., ) ( ( ),..., ( ))n nm P f f P f m f m ∧ ∧ = với mọi đa thức P . Với 1 2, Bm m M∈ mà 1 2( ) ( )m mϕ ϕ= . Ta chứng minh 1 2m m= . Với mọi f B∈ , do tính trù mật của tập đa thức dạng 1( ,..., )nP f f nên có dãy các đa 34 thức 1 0 ( ,..., ) k k nP f f c f α α α α = = = ∑ hội tụ về f B∈ . Khi đó từ 1 2( ) ( )m mϕ ϕ= . Suy ra ( ) ( )1 1 2 1( ,..., ) ( ,..., )k n k nm P f f m P f f= , mà 1 2, m m liên tục, cho k →+∞ ta được 1 2( ) ( ),m f m f f B= ∀ ∈ . Vậy ϕ đơn ánh. ii) Ta có K là compact. Đặt { }{ }: ( ) sup (w) , w ,nK z P z P K P= ∈ ≤ ∈ ∀  . P là đa thức. Ta chứng minh K K= , hiển nhiên ta có K K⊂  . Lấy z K∈  , 1( ,..., )nz z z= , ta chỉ ra rằng ánh xạ m biến j jf z→ , 1 1( ,..., ) ( ,..., )n nP f f P z z→ có thể mở rộng thành dạng tuyến tính nhân trên B . Ta có m là đồng cấu từ B vào  . Ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục của ánh xạ này. Với mọi đa thức P , thì ( )1 1 1 1( ,..., ) sup ( ,..., ) sup ( ,..., ) ( ,..., ) B n n n n K m M P z z P m P f f P f f ζ ζ ζ ∈ ∈ ≤ = ≤ . Từ đó suy ra m liên tục, hay Bm M∈ . Vậy ( )1( ),..., ( )nz m f m f K= ∈ hay K K⊃  . iii) Chứng minh f B∈ , thì 1f ϕ ∧ − ° được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K . Thật vậy, do các đa thức dạng 1( ,..., )nP f f trù mật trong B nên từ sơ đồ 1 1( ,..., ) f B n BK f f M ϕσ ∧ − = → →  ta có thể nói rằng không gian các iđêan cực đại của ( )P K ( là không gian con đóng của ( )C K các hàm liên tục được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K ) là K , tức là ta có thể đồng nhất ( )P KM K≡  . Tức là ta có 1 ( )f P Kϕ ∧ − ° ∈ , do đó 1f ϕ ∧ − ° được xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K .■ 35 Chương 3. HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Các kết quả quan trọng nhất của Chương 3 là các định lý 3.1.1, 3.1.2. Các định lý này chỉ ra sự tác động của các hàm chỉnh hình nhiều biến lên không gian các biến đổi Gelfand (mục 3.1). Mục 3.2 trình bày một ''định lý hàm ẩn '' cho không gian Banach (định lý 3.2.1) như là một ứng dụng của định lý 3.1.2. Định lý 3.2.1 còn được sử dụng để chính minh định lý lũy đẳng Shilov (định lý 3.2.5). Mục này cũng trình bày một điều kiện để một phần tử trong đại số Banach có căn bậc n (định lý 3.2.6). Mục 3.3 giới thiệu về biên Shilov, các hệ quả của định lý lũy đẳng Shilov. Đặc biệt mục này cũng chỉ ra rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các điều kiện địa phương (định lý 3.3.8). 3.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động trên không gian các phép biến đổi Gelfand Định lý 3.1.1 Cho 1,..., nf f B∈ và hàm ϕ chỉnh hình trên lân cận của 1( ,..., ) nB nf fσ ⊂  . Khi đó, tồn tại hữu hạn những phần tử 1,...,n Nf f B+ ∈ và một hàm Φ chỉnh hình trên lân cận của đa đĩa { }: , 1,...,N j jD z z f j N= ∈ ≤ = thỏa mãn 1 1( ),..., ( ) ( ),..., ( ) ,n N Bf m f m f m f m m Mϕ ∧ ∧ ∧ ∧   = Φ ∈        . Trước khi đưa ra chứng minh của định lý 3.1.1 ta nêu ra ứng dụng của định lý này. Định lý 3.1.2 (định lý Arens – Calderón – Shilov) Cho 1,..., nf f B∈ và hàm ϕ chỉnh hình trên lân cận của 1( ,..., ) nB nf fσ ⊂  . Khi đó, có phần tử g B∈ thỏa mãn 1( ) ( ),..., ( ) ,n Bg m f m f m m Mϕ ∧ ∧ ∧ = ∀ ∈    . Chứng minh Chọn 1,...,n Nf f B+ ∈ theo định lý 3.1.1, khi đó có hàm Φ chỉnh hình trên lân cận của đa đĩa { }: , 1,...,N j jD z z f j N= ∈ ≤ = thỏa mãn 1 1( ),..., ( ) ( ),..., ( ) ,n N Bf m f m f m f m m Mϕ ∧ ∧ ∧ ∧   = Φ ∀ ∈        . 36 Do Φ chỉnh hình trên lân cận của đa đĩa D nên ( ) ,z a z a Rα αα α α α Φ = < +∞∑ ∑ , với 1( ,..., )Nz z z= , ( )1 ,..., NR f f= Ta có chuỗi a f αα α ∑ tồn tại và hội tụ trong B . Đặt g a f αα α =∑ . Khi đó, 1 1,..., ,...,N ng a f f f f f α α α ϕ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧   = = Φ =        ∑ .■ Để chứng minh định lý 3.1.1 ta cần các bổ đề bổ trợ sau. Bổ đề 3.1.3 Cho Ω là tập mở trong n chứa ( )1,...,B nf fσ . Khi đó, tồn tại một đại số con đóng hữu hạn sinh 'B của B sao cho '1,..., nf f B∈ và ( )' 1,..., nB f fσ ⊂ Ω . Chứng minh Gọi 0B là đại số con đóng của B sinh bởi các phần tử 1,..., nf f B∈ và ( ) 00 1 ,...,B nf fσ σ= . Nếu 0σ ⊂ Ω thì chọn 0'B B= . Nếu 0σ ⊄ Ω , lấy ( )1 0,..., \nλ λ λ σ= ∈ Ω , khi đó ( )1,...,B nf fλ σ∉ , theo bổ đề 2.2.4 sẽ tồn tại 1,..., ng g B∈ sao cho 1 ( ) n i i i i e g e fλ = = −∑ . Ký hiệu 1B là đại số con đóng của B sinh bởi 1 1,..., , ,...,n nf f g g B∈ . Ta có