Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

a được viết dưới dạng bảng Butcher (Butcher table) Hai phương pháp Runge-Kutta quan trọng thường hay được sử dụng là phương pháp Runge-Kutta bậc hai và phương pháp Runge-Kutta bậc bốn. 1.2.2.3. Công thức lặp của phương pháp Runge-Kutta bậc hai Giả thiết rằng ta đã biết giá trị của tại là . Phương pháp Runge-Kutta hiển hai nấc cấp hai sử dụng điểm để xấp xỉ giá trị của tại điểm tiếp theo bằng công thức (1.10) trong đó Khái niệm -nấc (-stage) thể hiện rằng số lần tính các giá trị của hàm (tại các điểm khác nhau trong công thức Runge-Kutta) là . Để tìm các phương pháp Runge-Kutta bậc hai, ta làm như sau (xem [2]). Khai triển Taylor hàm theo phương trình (1.1) và theo công thức (1.10) rồi so sánh, ta đi đến kết luận: Các hệ số trong phương pháp Runge-Kutta cấp hai phải thoả mãn hệ phương trình . Đây là một hệ ba phương trình (phi tuyến) bốn ẩn. Ta có thể chọn một hệ số, thí dụ, tự do. Khi ấy các hệ số còn lại biểu diễn qua bởi các công thức: , , . Chọn , thì và . Khi ấy ta có một phương pháp Runge-Kutta cấp hai cho phép tính dựa trên công thức: . Công thức này được gọi là phương pháp Runge-Kutta đơn giản (Simple Runge-Kutta Method) hoặc phương pháp tiếp tuyến cải tiến (Impoved Tangent Method), vì nó trùng với phương pháp Euler cải tiến. Nếu chọn thì , và . Khi ấy ta có công thức . Phương pháp tính theo công thức trên được gọi là phương pháp Euler-Cauchy. 1.2.3. Phương pháp cổ điển đa bước Phương pháp cổ điển -bước cho bài toán (1.1) có dạng (xem, [3], [4]-[7]) . (1.11) Phương pháp một tựa tương ứng với nó là . (1.12) Đối với phương pháp này ta giả thiết rằng các giá trị xuất phát đã được tính tương đối chính xác. Nếu và thì phương pháp là phương pháp hiển. Nếu và thì ta có phương pháp ẩn. 1.3. Mô hình thử và ổn định của phương pháp số 1.3.1. Mô hình thử Để phân tích hiệu quả của các phương pháp, ta thường thử chúng trên mô hình G. Dahlquist (gọi là phương trình thử hay mô hình thử) , (1.13) trong đó là một hằng số (thực hoặc phức). Nghiệm của phương trình này là . Ta thường viết , trong đó và tương ứng là các phần thực và phần ảo của . Tương ứng với phương trình (1.13), xét phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất , , trong đó cho trước và nói chung là một số phức. Nghiệm của phương trình này là . Ta thấy rằng nghiệm này bị chặn khi và chỉ khi . Giả sử bước cố định. Khi ấy giá trị của nghiệm chính xác tại các điểm sẽ là , trong đó . Nếu nghiệm chính xác bị chặn thì . Điều này chỉ có thể xảy ra nếu . Điều này có nghĩa là, trên mặt phẳng với trục hoành và trục tung , miền ổn định của nghiệm chính xác phải là nửa mặt phẳng mở bên trái. Phương pháp một bước được gọi là ổn định tuyệt đối nếu và ổn định tương đối nếu . Nếu là thuần ảo và thì ổn định tuyệt đối được gọi là ổn định tuần hoàn (P-ổn định). Khi miền ổn định của phương trình sai phân đồng nhất với miền ổn định của phương trình vi phân, lược đồ sai phân hữu hạn được gọi là ổn định - A. Phương trình thử thường được sử dụng như một mô hình để dự đoán tính ổn định của phương pháp số giải hệ dạng tổng quát (1.1)-(1.2). Để thuận tiện, ta cũng có thể đưa ra các khái niệm ổn định tương tự như sau. Kí hiệu , mọi phương pháp Runge-Kutta (1.8)-(1.9) đều có thể viết dưới dạng , trong đó được gọi là hàm ổn định. Định nghĩa 3.1 Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức mà được gọi là miền ổn định của phương pháp (1.8)-(1.9). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi là ổn định-A, còn nếu ngoài ra thì phương pháp được gọi là ổn định-L(hay còn gọi là ổn định tiệm cận). 1.3.2. Sự ổn định của phương pháp Euler Phương pháp Euler áp dụng cho phương trình thử (3.1) có dạng . Nghiệm của phương trình sai phân tương ứng là , trong đó . Phương pháp số là ổn định nếu . Xét các trường hợp sau 1) là số thực. Khi ấy , hay . 2) là thuần ảo (, trong đó là số thực khác 0). Khi ấy . Chứng tỏ phương pháp là không ổn định nếu là thuần ảo. 3) là số phức (). Khi ấy , nghĩa là nằm trong hình tròn đơn vị tâm là (Hình1.5). Hình tròn này tiếp xúc với trục ảo. Imlh Relh -1 O -1 Hình 1.5 Như vậy, chỉ có một phần rất nhỏ (hình tròn bán kính bằng 1) của nửa mặt phẳng trái là miền ổn định của phương pháp Euler. Với mọi giá trị khác của trong nửa mặt phẳng trái và bên ngoài hình tròn này, nghiệm số sẽ bị phóng đại (blow-up) khi nghiệm chính xác triệt tiêu (decays). Phương pháp số này được gọi là ổn định có điều kiện. Để nhận được nghiệm số ổn định, bước phải được chọn sao cho nằm trong hình tròn. Nếu là số thực âm thì từ điều kiện suy ra . Nếu là thực và nghiệm số không ổn định thì , nghĩa là là một số âm và có trị tuyệt đối lớn hơn 1. Vì nên nghiệm số sẽ đổi dấu qua mỗi bước. Sự thay đổi của nghiệm số mô tả khá rõ tính không ổn định. Tương tự, ta có thể xét tính ổn định của các phương pháp Euler cải tiến. Ta đi đến kết luận sau. Phương pháp Euler ẩn là ổn định-L và hội tụ cấp một; Phương pháp hình thang là ổn định-A và hội tụ cấp hai, còn phương pháp Euler hiển không phải là ổn định-A và hội tụ cấp 1. Hàm ổn định của các phương pháp này tương ứng là , và . 1.3.3. Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta 1.3.3.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử (1.13). Ta có ; và . Để phương pháp ổn định thì , trong đó . Trường hợp 1. là số thực. Khi ấy hay . Trường hơp 2. thuần ảo, . Khi ấy . Phương pháp không ổn định. Trường hợp 3. là số phức. Khi ấy là số phức. Đặt và tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai theo các giá trị của . Nhận xét rằng với mọi giá trị của . Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6. 1.3.3.2. Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn Xét phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình thử (1.13). Ta có ; ; ; Và . Để phương pháp ổn định thì , trong đó . Trường hợp 1. là số thực. Khi ấy . Trường hơp 2. thuần ảo, . Khi ấy . Trường hợp 3. là số phức. Đặt và tìm nghiệm phức của phương trình bậc bốn theo các giá trị của . Nhận xét rằng với mọi giá trị của . Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6. Hình 1.6 1.3.4. Sự ổn định của phương pháp đa bước Áp dụng các phương pháp (1.11) và (1.12) cho bài toán (1.13) ta được . (1.14) Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính trên có dạng . (1.15) Định nghĩa 3.2 Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức mà với mọi nghiệm của (1.15) và đối với các nghiệm bội được gọi là miền ổn định của phương pháp (1.14). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi là ổn định-A. Nhận xét Với mọi phương pháp cổ điển miền ổn định chứa gốc tọa độ của mặt phẳng phức. Tương ứng với bậc của phương pháp ta đã biết những điều sau (xem [11]): 1) Bậc của các phương pháp Runge-Kutta -nấc cho phương trình (1.13)-(1.15) không vượt quá (chắn Butcher). 2) là cấp chính xác, là số bước của phương pháp (1.11).Nếu phương pháp ổn định thì không vượt quá khi chẵn và khi lẻ (chắn Dahlquist thứ nhất). 3) Phương pháp (1.11) ổn định – A không thể có cấp chính xác vượt quá 2 (chắn Dahlquist thứ hai). Trong Chương sau ta sẽ trình bày phương pháp do Bulatov đề nghị cải tiến được những hạn chế nêu trên. 1.3.5. Sự ổn định của phương pháp sai phân hữu hạn Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc hai , trong đó là hằng số và đủ lớn so với 1. Phương trình có nghiệm là , trong đó và là các hằng số bất kì được xác định bởi điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên tương ứng. Nếu và thì nghiệm bị chặn. Đại lượng là nghịch biến khi và đồng biến khi . Xấp xỉ sai phân trung tâm cho hệ là . Phương trình sai phân này có nghiệm là . Nếu đại lượng nên là nghịch biến. Khi thì nếu . Đây chính là điều kiện ổn định cho hệ sai phân. CHƯƠNG 2 Về một phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp một Chương này trình bày một phương pháp mới do Bulatov đề xuất giải số bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp một (xem [9]-[11]) tốt hơn các phương pháp cổ điển. Phương pháp mới là một họ phương pháp một bước, bậc hai, trong đó có phương pháp là L-ổn định. Nội dung của Chương gồm hai mục. Trong 2.1 chúng tôi trình bày phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một. Phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một được trình bày trong 2.2. Để làm sáng tỏ phương pháp, chúng tôi đã thực hiện các tính toán chi tiết (phân tích các hàm nhiều biến dưới dạng chuỗi Taylor,...) mà trong [9]-[11] trình bày không tường minh. 2.1. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một 2.1.1. Phương pháp tổng quát Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu , (2.2) trong đó là các hàm vectơ - chiều, hàm xác định trên hình hộp chữ nhật vô tận. Để giải bài toán (2.1)-(2.2), ta bắt đầu đi từ phương phápq- và phương pháp một tựa của nó (hai phương pháp này đều có cấp chính xác bằng một): (2.3) và (1.4) với là các hằng số tùy ý, . Mỗi công thức truy hồi (2.3) (hoặc (2.4)) cho một dãy các giá trị xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân (2.1)-(2.2). Dưới đây ta cố gắng kết hợp hai phương pháp (2.3) và (2.4) để được một phương pháp số mới giải hệ phương trình vi phân (2.1)-(2.2). Khai triển Taylor tại điểm ta được: và trong đó . Các phương pháp (2.3)-(2.4) được tuyến tính hóa như sau , (2.3’) . (2.4’) Viết lại hai công thức trên thành một hệ phương trình đại số tuyến tính có ẩn là (kí hiệu là ma trận đơn vị cấp ): . (2.5) Nhận thấy rằng hệ (2.5) nói chung không có nghiệm theo nghĩa cổ điển vì số phương trình nhiều hơn số ẩn, tức là hệ (2.3) và (2.4) nói chung không có nghiệm trùng nhau. Để giải hệ phương trình đại số (2.5) ta nhân hai vế của hệ này với ma trận cấp , trong đó là hằng số tùy ý. Khi ấy (2.5) trở thành: (2.6) Theo [11]lược đồ sai phân (2.6) là ổn định với mọi bộ hệ số và có bậc hội tụ tối thiểu là bậc một. Ta có ba tham số tự do, vì vậy có thể chọn được bộ ba số sao cho họ lược đồ sai phân (2.6) hội tụ cấp hai. Khai triển Taylor theo tại điểm ta được: Thay vào (2.6) ta được hay hay Đẳng thức trên đúng với mọi . So sánh hệ số hai vế ta được: Hệ số của : . Do (phương trình (1.1)) nên hệ thức trên đúng với mọi . Hệ số của : Từ phương trình (1.1) ta có: và . Do đó hệ số của viết lại thành: hay . Như vậy, hệ số của bằng 0 khi và chỉ khi ta có . (2.7) Như vậy nếu chọn thỏa mãn (2.7) thì ta được công thức (2.6) có cấp hai, bởi vì lúc này công thức (2.6) có sai số địa phương bậc . Ta đi đến định lý sau. Định lý 1.1 Nếu thì ta có đánh giá , trong đó tìm được theo công thức (2.6). Định lý này được chứng minh nhờ nhận xét là sai số địa phương có bậc ba, và ma trận chuyển sang bước tiếp theo có chuẩn là với . 2.1.2. Phương trình thử Áp dụng công thức (2.6) cho phương trình thử . (2.8) Ta có do đó và . Khi đó (1.6) được viết lại thành: hay (2.9) Đặt và nhận xét rằng, với phương trình thử, ma trận là một số, ta được công thức , trong đó . Để (2.6) là ổn định-L thì , suy ra trong bậc của tử thức phải nhỏ hơn bậc của mẫu thức, tức là ta phải chọn thỏa mãn (2.10) Chú ý rằng khi thì điều kiện (2.7) cho . Khi ấy 2.1.3. Trường hợp đặc biệt Nếu chọn thì công thức (2.6) trở thành (2.11) Hàm ổn định của (2.11) cho phương trình thử là có . Như vậy (2.11) là công thức có tính chất ổn định-L. Trường hợp đặc biệt này đã được xét độc lập trong [9]. Công thức (2.11) trùng với một phương pháp Runge-Kutta, đó là phương pháp Lobatto III C với bảng Butcher 0 ½ -1/2 1 ½ ½ ½ ½ Tuy nhiên, trong trường hợp tuyến tính, khi ma trận phụ thuộc vào , thì các phương pháp (2.11) và phương pháp Lobatto cho các kết quả khác nhau. Nhận xét Khi thực hiện phương pháp Lobatto III C cho bài toán (1.1)-(1.2), tại mỗi bước ta cần giải hệ phương trình phi tuyến cấp . Những hệ này thường được giải theo phương pháp Newton cải tiến, trong đó gần đúng ban đầu được chọn bởi giá trị đã tính được ở bước trước. Để thực hiện được phương pháp, ta cần phải đưa ra tiêu chuẩn chọn số bước lặp. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính cấp đòi hỏi khoảng phép toán số học và phép nhân ma trận đòi hỏi phép toán. Như vậy, để thực hiện phương pháp (2.6), ta cần phép toán, còn để thực hiện phương pháp (1.11) ta chỉ cần phép toán. Bởi vì chúng ta đã thực hiện tuyến tính hóa trong -phương pháp, nên lược đồ (2.6) không thể có bậc hội tụ vượt quá 2. Điều này có thể được cải tiến đáng kể khi hệ (2.1) là hệ phương trình tuyến tính. 2.1.4. Thử nghiệm số Ví dụ 1.1 Hệ phương trình có nghiệm chính xác là Dùng phương pháp của công thức (2.6) để giải số phương trình trên. Gọi -là chuẩn Euclid của sai số tại với bước lưới . Mã nguồn và Chương trình tính toán trên MATLAB được cho trong phần Phụ lục. Kết quả tính toán được cho trong bảng dưới đây. 2.2. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một Xét trường hợp khi hàm , tức là khi (1.1) trở thành hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.12) trong đó là ma trận cỡ , là hàm vectơ chiều có các phần tử khả vi liên tục đến bậc hai (thuộc lớp). 2.2.1. Phương pháp một bước 2.2.1.1. Phương pháp một bước Để giải (2.12), ta cũng bắt đầu đi từ phương pháp-q và phương án một tựa của nó (hai phương pháp này đều có cấp chính xác bằng một): và , trong đó . Hai công thức này có thể viết gộp lại thành một hệ phương trình đại số tuyến tính có ẩn là : . (2.13) Nhận thấy rằng hệ (2.13) nói chung không có nghiệm theo nghĩa cổ điển. Để giải (2.13) ta nhân cả hai vế của (2.13) với ma trận cấp . Khi đó (2.13) trở thành: (2.14) Bổ đề 2.1 Công thức (2.14) ổn định với mọi bộ và có bậc hội tụ tối thiểu là một. Chứng minh Do ma trận đứng trước là không suy biến nên (2.14) có thể viết dưới dạng , trong đó Vì các phần tử của và thuộc lớp nên có thể chứng minh được rằng với mọi . Từ đây ta có tính chất ổn định của phương pháp (2.14). Để chứng minh tính hội tụ ta nhận xét rằng, sai số địa phương của phương pháp (2.14) có bậc với mọi giá trị của . Bổ đề được chứng minh. Nhận xét Hệ (2.14) chứa ba hệ số tự do , ta tìm để công thức (2.14) đạt được độ chính xác cao hơn. Viết lại hệ (2.14) như sau: (2.15) Khai triển Taylor tại điểm ta được: Thay vào (2.15) ta được: hay Hệ thức trên đúng với mọi . So sánh hệ số của trong hai vế ta được Hệ số của : . Hệ số của : hay . Hệ số của : Từ hệ phương trình (hệ (2.1)) ta suy ra (2.16) Hệ số của được viết lại như sau: Suy ra hệ số của bằng 0 khi (2.7) được thỏa mãn. Hệ số của : Từ (2.16) suy ra (2.16’) nên hệ số của được viết lại như sau Với điều kiện (2.16) thì hệ số của được viết lại như sau Hệ số của bằng 0 khi Suy ra nếu chọn thì sai số địa phương của (2.14) là bậc bốn. Vậy (2.14) chính xác bậc ba và có dạng (2.17) 2.2.1.2. Phương trình thử Áp dụng công thức (2.17) cho phương trình thử: . Ta có Khi đó (2.17) được viết lại thành: . Suy ra hay với ta có , trong đó Kiểm tra điều kiện ta thấy chứa cả nửa trái mặt phẳng phức. Điều này có nghĩa là công thức (2.14) là phương pháp một bước, một nấc, có chứa phương pháp là ổn định -A và chính xác bậc ba. Nhận xét rằng, nếu các tham số được chọn thỏa mãn điều kiện (2.7) thì ta có lược đồ sai phân chính xác cấp hai. Đặc biệt, chọn thì (2.14) trở thành: Û. Đây chính là phương pháp hình thang. Có thể kiểm tra được rằng, phương pháp (2.14) cho phương trình thử và phương pháp Runge-Kutta với bảng Butcher 0 ½ -1/2 2/3 1/6 ½ ¼ ¾ cho cùng một kết quả. Tuy nhiên, với là ma trận phụ thuộc vào thì kết quả tính toán theo phương pháp Runge-Kutta với bảng trên và theo phương pháp (2.14) là khác nhau. Nghĩa là chúng là những phương pháp khác biệt. Nhận xét Để thực hiện phương pháp (2.3) cần phép toán số học ( phép toán cần cho nhân ma trận và phép toán giải hệ phương trình tuyến tính). Để thực hiện phương pháp Runge-Kutta hai nấc cần phép toán và phép toán cho phương pháp đường chéo hiển. Như vậy, trong trường hợp tổng quát, phương pháp hai nấc 0 1/2 ½ với có cấp chính xác bậc ba, đòi hỏi số phép toán số học ít hơn phương pháp (2.14). Tuy nhiên, nếu có thể tính ma trận một cách giải tích (dễ dàng làm được khi các phần tử của là các đa thức và ghi vào ô nhớ, thì phương pháp (2.14) có lợi thế hơn so với phương pháp Runge-Kutta hai nấc: Phương pháp (2.14) chỉ cần phép toán số học. Thử nghiệm số Ví dụ 2.1 Phương trình có nghiệm chính xác là Dùng phương pháp của (2.6) để giải số phương trình trên. Gọi -là chuẩn Euclid của sai số tại . Các tính toán được thực hiện trên MATLAB. Mã nguồn và Chương trình được cho trong phần Phụ lục. Kết quả tính toán được cho trong bảng dưới đây. 2.2.2. Phương pháp đa bước Mục này trình bày cách xây dựng các lược đồ sai phân đa bước không cổ điển giải số hệ (2.12) do Bulatov đề xuất (xem [11]). Phương pháp này cho phép xây dựng các lược đồ sai phân với ưu thể hơn các phương pháp cổ điển. Thí dụ, từ phương pháp này có thể xây dựng được các lược đồ sai phân cấp ba hoặc cấp bốn, tương ứng hai hoặc ba bước là ổn định - A. Để giải bài toán (2.12) theo phương pháp đa bước ta bắt đầu đi từ phương pháp khác nhau có cùng bước theo công thức sau: . (2.18) Ở đây chỉ số là chỉ số của phương pháp. Trong các lược đồ (2.18) có thể có các lược đồ ổn định cũng có thể có các lược đồ không ổn định. Viết lại (2.18) thành hệ phương trình đại số tuyến tính có ẩn là như sau: . (2.19) Hệ (2.19) nói chung không có nghiệm theo nghĩa cổ điển. Để giải (2.19) ta nhân cả hai vế của nó với ma trận: (2.20) cấp , trong đó là những hằng số tùy ý. Sau khi nhân với ma trận , hệ (2.19) trở thành: , (2.21) trong đó Vì mỗi lược đồ trong (2.19) có cấp chính xác nên lược đồ (2.21)cũng có cấp chính xác với mọi . Phương pháp chung để xây dựng và khảo sát công thức (2.21) dùng để giải số bài toán (2.12) là: 1. Bắt đầu đi từ công thức (2.18). 2. Xây dựng công thức dạng (2.21) 3. Phân tích (2.21) thành chuỗi Taylor và chọn các hệ số sao cho lược đồ (2.21) có bậc , trong đó , ngoài ra còn tham số tự do. 4. Chọn tham số còn lại để được lược đồ ổn định và trong trường hợp lý tưởng, là ổn định - A. Nhận xét Nếu nhân hai vế của hệ (2.19) với ma trận (2.20a) cấp , trong đó là các hằng số tùy ý, thì một lần nữa ta lại nhận được một lược đồ sai phân bước cổ điển có dạng: . Khác biệt cơ bản của phương pháp do Bulatov đề xuất là xác định bởi công thức (2.20) phụ thuộc vào và , trong khi đó phương pháp cổ điển (2.20a) không phụ thuộc vào và . Dưới đây sẽ minh họa phương pháp nêu trên qua các lược đồ cụ thể. Lược đồ 2.1 Xây dựng lược đồ hai bước chính xác bậc ba giải bài toán (2.12) Để giải phương trình (2.12) bằng phương pháp hai bước, trước hết ta xây dựng một lược đồ sai phân hai bước bậc hai như sau. Theo khai triển Taylor tại ta có: ; Suy ra hay Theo khai triển Taylor tại ta có: Suy ra Theo khai triển Taylor tại ta có: Suy ra Từ (a), (b), (c) ta có một lược đồ sai phân hai bước cấp hai như sau: (2.22) Đưa công thức (2.22) về dạng công thức (2.21) hay . (2.22a) Nhân hai vế của hệ phương trình trên với ma trận ta được: (2.23) hay (2.23’) Khai triển Taylor tại ta được: Thay vào (2.23’) ta được . Chú ý rằng ta chỉ cần đến khai triển của nên các biểu thức chứa được đưa vào công thức do đó không có trong công thức dưới đây, khi ấy công thức (2.23’) được viết lại như sau Hệ số của : . Hệ thức này luôn đúng với mọi . Hệ số của : Hệ thức này luôn đúng với mọi . Hệ số của : Do (2.16) nên hệ số của là . Hệ thức này luôn đúng với mọi . Hệ số của : Do (2.16) nên hệ số của bằng Do (2.16’) nên suy ra hệ số của bằng 0 khi . (2.24) Với điều kiện (2.24) thì lược đồ (2.23) là họ lược đồ sai phân hai bước chính xác bậc ba, tuy nhiên nó chứa cả các phương pháp ổn định và các phương pháp không ổn định. Áp dụng lược đồ (2.23) cho phương trình ổn định ta được: Phương trình sai phân này có phương trình đặc trưng tương ứng là Phương trình này có nghiệm . Lược đồ (2.23) ổn định khi phương trình đặc trưng có nghiệm thoả mãn tức là . Bất phương trình này tương đương với . (2.25) Đặc biệt, nếu chọn thì lược đồ (2.23) được viết lại như sau: ( 2.26) Áp dụng lược đồ (2.26) cho phương trình thử ta được . Phương trình đặc trưng tương ứng là với . Hình 2.1 Miền ổn định của hệ sai phân với được mô tả trên Hình 2.1 (miền gạch là miền không ổn định. Như vậy phương pháp này là ổn định - A. Nhận xét Nếu nhân hai vế của (2.22a) với ma trận thì ta thu được phương pháp Milne . Lược đồ 2. 2 Trong lược đồ này ta xây dựng một phương pháp ba bước chính xác bậc bốn giải bài toán (2.12). Đầu tiên ta xây dựng một lược đồ sai phân ba bước chính xác bậc ba như sau. Theo khai triển Taylor tại ta có: ; ; . Suy ra (a) Khai triển Taylor tại ta có: ; ; . Suy ra . (b) Theo khai triển Taylor tại ta có: ; ; . Suy ra . (c) Theo khai triển Taylor tại ta có: ; ; . Suy ra . (d) Từ (a), ( b), (c), (d) ta có một lược đồ sai phân ba bước chính xác bậc ba như sau: (2.27) Đưa (2.27) về dạng (2.21) hay Nhân hai vế của hệ phương trình trên với ma trận: ta được (2.28) Theo khai triển Taylor tại ta có: Thay vào (2.28) ta được Hệ số của : Hệ thức này luôn đúng với mọi . Hệ số của : Hệ thức này luôn đúng với mọi . Hệ số của : Do (2.16) nên hệ số của bằng 0. Hệ số của : Do (2.16) và (2.16’) nên hệ số của được viết lại như sau Hệ số của : Do (2.16) và (2.16’) nên hệ số của được viết lại như sau Từ (2.16’) ta có thể viết tiếp biểu thức trên như sau: Hệ số của là . Suy ra hệ số của bằng 0 khi . (2.29) Với điều kiện (2.29) thì lược đồ (2.28) là lược đồ ba bước chính xác bậcbốn, tuy nhiên nó chứa cả những lược đồ ổn định và các lược đồ không ổn định. Áp dụng lược đồ (2.29) với cho phương trình thử , ta được Phương trình đặc trưng tương ứng là Imz với . Miền ổn định của phương pháp được mô tả trên Hình 2.2. (miền gạch là miền không ổn định). Do đó phương pháp là ổn định - A, hai hoặc ba bước tương ứng bậc ba hoặc bậc bốn. Hình 2.2 CHƯƠNG 3 Về một phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp hai Tương tự như trong trường hợp hệ hệ phương trình vi phân cấp một đã trình bày trong Chương 2, trong Chương này chúng tôi trình bày một phương pháp không cổ điển do M. V. Bulatov và G. V. Berghe đề xuất giải hệ phương trình vi phân cấp hai (xem [4], 2009). Một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp hai đã được trình bày trong [5], Chương 3.10 (trang 461-474); trong [7], Chương 2.12 (trang 114-120; v.v.,... Hiện nay phương pháp đa bước cũng như các biến thể một cột (one leg versions) của nó đã được nghiên cứu nhiều và đã được áp dụng để giải hệ phương trình vi phân cấp hai tuyến tính và phi tuyến. Phương pháp bước bậc cao thường được xây dựng dưới dạng tổ hợp tuyến tín của một số phương pháp bước bậc thấp hơn. Nội dung cơ bản của phương pháp do Bulatov đề xuất dựa trên việc xây dựng ma trận tổ hợp theo ma trận ban đầu , bước lưới và các tham số. Tổ hợp này cho phép xây dựng một họ các lược đồ sai phân hai bước ổn định - P bậc bốn. 3.1. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 3.1.1. Phương pháp cổ điển Cho phương trình trong đó là ma trận cấp là một hàm vectơ chiều. Các phần tử của ma trận và vectơ là những hàm số đủ trơn. Xây dựng lưới điểm đều trên đoạn [0,1]. Kí hiệu là giá trị xấp xỉ của . Phương pháp tuyến tính bước cổ điển có dạng: . Nếu và thì công thức trên được gọi là công thức đối xứng. Chúng ta đã biết rằng công thức bước có cấp chính xác không vượt quá nếu là số chẵn và không vượt quá nếu là số lẻ (xem [5]. Định lý 10.4, trang 468). Khi công thức trên chính là công thức Numerov chính xác bậc bốn: . 3.1.2. Lược đồ sai phân mới Ký hiệu các toán tử vi phân Xét lược đồ sai phân hai bước giải bài toán (1.1): hay (3.2) Khai triển Taylor tại điểm ta được: Theo (1.1) ta có Suy ra Thay vào (1.2) ta được hay , tức là Như vậy công thức (3.2) là ổn định và có bậc thấp nhất là bậc một nếu điều kiện sau thỏa mãn: . (3.3) Tương tự lược đồ (3.2), xét phương pháp một tựa của nó (one leg variant): . (3.4) Để công thức (3.4) là ổn định và có bậc thấp nhất là bậc một thì các hệ số phải thỏa mãn điều kiện tương tự như điều kiện (3.3), nghĩa là . (3.5) Đặt (các giá trị này thay đổi theo từng bước) Với điều kiện (3.5) ta có: Công thức (3.4) được viết lại thành hay (3.6) Từ (3.2) và (3.6) ta có hệ phương trình như sau: , (3.7) trong đó là ma trận đơn vị cấp , . Hệ (3.7) có số phương trình nhiều hơn số ẩn nên ta không thể tìm nghiệm của hệ (3.7) theo nghĩa cổ điển. Để giải hệ (3.7) ta nhân hai vế của nó với ma trận chữ nhật cỡ với là hệ số tùy ý. Bằng cách này ta thu được một công thức sai phân hai bước có dạng: , (3.8) trong đó Khi điều kiện (3.3) và (3.5) được thỏa mãn thì công thức (3.2) và (3.6) có cấp chính xác là một, cho nên (3.8) cũng có cấp chính xác là một với mọi giá trị của tham số thoả mãn điều kiện (3.3), (3.5) và với mọi giá trị của . Điều đó có nghĩa là (3.8) có tất cả năm tham số tự do, chúng quyết định cấp chính xác của côn