Luận văn Về tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng

ho :G →Q B và :F →B C là các hàm tử trong đó F phản biến, khớp trái sao cho P là nội xạ trong Q suy ra GP là F – không tuần hoàn phải. Với A là môđun trong Q , có một dãy phổ góc phần tư thứ nhất sao cho ( ) ( )( ) ( )( )2, p qp q npE R F R G A L FG A= ⇒ • Phức Koszul Cho là A vành Noether, I là Iđêan của A, 1 2, ,..., na a a là các phần tử sinh của A. Kí hiệu F là A – môđun tự do nA với mọi 1,2,...,i n= , kí hiệu ie là phần tử có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần khác đều bằng 0, u là số nguyên dương, phức koszul của A tương ứng vói dãy 1 2, ,..., u u u na a a , kí hiệu ( )uK a có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 00 ... ... 0 u k d au u u u n k k K a K a K a K a − → → → → → → → trong đó ( ) ( ) ( )0, 0,..., , 0 k k u n u k K a F A k n K a= = = =∧ ∧ Với mọi *,1k k n∈ ≤ ≤¥ , kí hiệu: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1 ,..., 1 1 2 ...kk n i i k i i i k nτ = ∈ ≤ < < < ≤¥ Khi đó, với ( ),i k nτ∈ : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )¶ ( )11 1 1 ... 1 ... ... k hu u i i k i h i i h i kk h d a e e a e e e e− = ∧ ∧ = − ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∑ Ở đây kí hiệu ( ) ¶ i he chỉ thành phần ( )i he bị triệt tiêu. Dỉ nhiên ( ) 0u kK a = với { }\ 0,1,...,k n∈¢ Mệnh đề 1.5.14. Lấy , ,u v u v∈ ≤¥ . Khi đó có ánh xạ dây chuyền: ( ) ( )( ) ( ) ( ):v v u vu u k k K a K aϕ ϕ ∈= →¢ của phức các A – môđun và các A – đông cấu sao cho ( )vu nϕ là ánh xạ đồng nhất của n F∧ , ( )0vuϕ là tự đồng cấu của A xác định bằng cách lấy tích với ( )1 2, ,..., v u na a a − , và với ( )1,..., 1, ,k n i k nτ= − ∈ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 1... ... ... v u v u i i k j j j n k i i kk e e a a a e eϕ − −∧ ∧ = ∧ ∧ Với ( ),j n k nτ∈ − sao cho { } ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,..., 1 ,..., , 1 ,...,n i i k j j n k= − Mệnh đề 1.5.15. Hai hàm tử ( )( )0 : lim , _ , _unu H K aδ ∈uuuuur¥ và αΓ từ phạm trù các A – môđun vào chính nó là tương đương tự nhiên. Tổng quác hơn, có một đẳng cấu duy nhất: ( ) ( )( )( ) ( ): lim , _ , _i u in i Ii iu iH K a Hδ −∈ ∈∈ ∈ →uuuuur¥ ¥¥ ¥ Hệ quả, và mỗi u∈¥ và mỗi A – môđun thì: ( ) ( )( )lim ,i uI n iuH M H K a M−∈≅ uuuuur¥ Chương 2 Tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng § 1. Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng Phần đầu chương 2 nói về môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được Herzog đưa ra năm 1974. Đó là sự mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của Grothendieck. Nó có một số thính chất như tính triệt tiêu, tính hữu hạn sinh, xác định tính hữu hạn, Cho R là vành Noether có đơn vị là 1 0≠ , I là một iđêan của R, M và N là các R – môđun. Khi đó, với mọi số tự nhiên i, ( ) ( ), lim / , n i i n I RH M N Ext M I M N→≅ gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của môđun N tương ứng với M. Ta có ( ) ( ),i iI IH N H R N= với N là R – môđun. Tác giả giới thiệu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Mệnh đề 2.1.1. ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0, , ,I I IH M N H Hom M N Hom M H N≅ ≅ Chứng minh. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 , lim / , lim / , lim , / , , lim / , , n n n n n n I R n n I H M N Ext M I M N Hom M I M N Hom M Hom R I N Hom M Hom R I N Hom M H N → → → → ≅ ≅ ≅  ≅ ≅    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 , lim / , lim / , , , n n n n I I H M N Hom M I M N Hom R I Hom M N H Hom M N → → ≅ ≅ ≅  Nếu I, J là các iđêan của R thì ( )( ) ( )I J I JM M+Γ Γ = Γ với mọi R – môđun M. Tiếp theo, ta sẽ khái quát đối với môđun đối đồng điều địa phương suy rộng như sau: Mệnh đề 2.1.2. Cho I, J là các iđêan của R. Khi đó ta có ( ) ( )( ) ( )( ), , ,I J I J J IM N M N M N+Γ = Γ Γ = Γ Γ với mọi R – môđun M, N. Chứng minh Từ mệnh đề 2.1.1, ta có Do đó ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ), , , ,I J R I J R I J I JM N Hom M N Hom M M M N+ +Γ = Γ = Γ Γ = Γ Γ Tương tự, ta có ( ) ( )( ), ,I J J IM N M N+Γ = Γ Γ .  Mệnh đề 2.1.3. Cho M là R – môđun hữu hạn sinh, N là R – môđun bất kì, là J • phép giải nội xạ của N. Khi đó với mọi 0i ≥ , ta có Chứng minh. ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 0 , lim / , , , n i i n i I I i I H M N H Hom M I M J H H Hom M J H Hom M H J • • → •  = =    = ( ) ( )( ), ,I R JM N Hom M NΓ = Γ ( ) ( )( )( ) ( )( )( )0 0, , ,i i iI I IH M N H H Hom M J H Hom M H J• •≅ ≅  Mệnh đề 2.1.4. Cho I, J là các iđêan của R, N là R – môđun J – xoắn, M là R – môđun bất kì. Khi đó ( ) ( ), , i 0i iI J IH M N H M N+ = ∀ ≥ Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh ( ) ( ) i 0i iI J IH N H N+ = ∀ ≥ Lấy E• là phép giải nội xạ của N, trong đó các thành phần đều là các R – môđun J – xoắn 0 10 ...N E E→ → → → (*) Áp dụng hàm tử ( )JΓ − , ta có ( ) 0 10 ...J N E E→Γ → → → Áp dụng tiếp hàm tử , ta có Như vậy ta có ( ) ( ) 0i iI J IH N H N i+ = ∀ ≥ Theo mệnh đề 2.1.3, với mọi 0i ≥ ta có  Mệnh đề 2.1.5. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì. Khi đó i. Nếu ( ) 0I NΓ = hay N là I – không xoắn thì ( ), 0I M NΓ = ii. Nếu ( ) ( )1 0I IN H NΓ = = thì Chứng minh. i. Theo mệnh đề 2.1.1, ta có suy ra điều phải chứng minh. ii. Ta có khớp 0 0N J L→ → → → với J là môđun nội xạ. Áp dụng hàm tử và ( ),I MΓ − vào ta có và ( ) ( ) ( ) ( )10 , , , , 0I I I IM N M J M L H M N→Γ →Γ →Γ → → là các dãy khớp. ( )IΓ − ( ) 0 10 ...I J N E E+→ Γ → → → ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )0 0, , , ,i i i iI J R I J R I IH M N H Hom M H E H Hom M H E H M N• •+ += = = ( ) ( )1, , 0I IM N H M NΓ = = ( ) ( )( ), ,I R JM N Hom M NΓ = Γ ( )IΓ − ( ) ( ) ( ) ( )10 0I I I IN J L H N→Γ →Γ →Γ → → Theo giả thiết suy ra và do đó ( ),I M JΓ = . Từ dãy khớp thứ hai suy ra điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.1.6. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì sao cho chứa một phần tử N chính quy. Khi đó ( ), 0I M NΓ = . Chứng minh. Vì chứa một phần tử N chính quy nên ( ), 0Hom M N = do đó theo mệnh đề 2.1.1, ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.7. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh. Đặt ( )J I ann M= + . Khi đó ( ) ( ), , , 0i iI JH M N H M N i≅ ≥ Chứng minh. Ta có Do đó i iJ M J N= với mọi 0i ≥ Như vậy từ định nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.8. Cho M, N là các R – môđun trong đó M hữu hạn sinh. Khi đó ( )( ) ( ),iR ISupp H M N V I⊂ Và ( )( ) ( ) ( ),iR I R RSupp H M N Supp M Supp N⊂ I Chứng minh Ta có ( ) ( ), , P i i R R P PP P Ext M N Ext M N≅ với mọi 0i ≥ Với ( )P Spec R∈ , do tích tenxơ giao hoán với giới hạn thuận nên ta có: Do đó ta có điều phải chứng minh  ( ) ( )I IJ LΓ ≅ Γ ( )( ) ( )( ) ( ), , ,R J R J IHom M J Hom M L M LΓ ≅ Γ = Γ ( )ann M ( )ann M ( )( )JM I ann M M IM= + = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , lim / , lim / , lim / , , n n P P n i i n n I P R RP i n i R P P P P IR P P H M N R Ext M I M N Hom M I M N Ext M I R M N H M N → → → ≅ ⊗ ≅ ≅ ≅ Mệnh đề 2.1.9. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì. i. ( ),iIH M N là I – xoắn với mọi giá trị i. ii. Nếu N là I – xoắn thì Chứng minh i. Do mỗi phần từ của ( ),iIH M N đều bị linh hoá bởi một luỹ thừa nào đó của I. ii. Nếu N là một môđun I – xoắn thì ta có một phép giải nội xạ J • của N mà các thành phần đều là các môđun I – xoắn. Theo mệnh đề 2.1.3 ta có ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ), , , ,i i i iI I RH M N H Hom M J H Hom M J Ext M N• •= Γ = = Hệ quả 2.1.10. Cho N là R – môđun I – xoắn. i. M là R – môđun xạ ảnh thì ( ), 0iIH M N = với mọi 0i > ii. ( )Pd M n= thì ( ), 0iIH M N = với mọi 0i > iii. ( )Id M n= thì ( ), 0iIH M N = với mọi 0i > Bổ đề 2.1.11. Cho R là vành Noether giao hoán, M, N là các R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó ( ),nExt M N hữu hạn sinh với 0n ≥ Chứng minh Giả sử 1 2, ,..., kM x x x= , , ( )00 0: , i id F M d e x→ = , 0 0K kerd= (với ie là một phần tử trong cơ sở của) nên ta có dãy khớp 0 00 0K F M→ → → → Mà 0 0K F⊂ nên 0K hữu hạn sinh (do R là vành Noether) Vì thế ta có dãy khớp trong đó 1F là R – môđun tự do với cơ sở có hữu hạn phần tử. Tiếp tục quá trình, ta xây dựng được một phép giải tự do của M trong đó là các R – môđun tự do với cơ sở có hữu hạn. Áp dụng ( ),Hom N− vào phép giải tự do phía trên ( ) ( ), ,i iI RH M N Ext M N≅ 0 k F R= ⊕ 1 1 00 0K F K→ → → → 1 1 0... ... 0n nF F F F M−→ → → → → → → nF ( ) ( )0 10 , , ...Hom F N Hom F N→ → → Vì nF là tự do và có cơ sở hữu hạn nên ( ),nHom F N N= ⊕ (tổng hữu hạn) với mọi . Do đó hữu hạn sinh ta có với 0n ≥ Hệ quả 2.1.12. Nếu M, N là các R – môđun hữu hạn sinh và N là I – xoắn. Khi đó là hữu hạn. Thêm nữa ( ),iIH M N là I – cofinite với mọi Chứng minh Do N là I – xoắn nên ( ) ( ), ,i nI RH M N Ext M N≅ với mọi 0i ≥ (mệnh đề 2.1.9 ). Vậy ( ),iIH M N hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ . Do đó ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.13. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun và t là một số nguyên dương. Khi đó: Chứng minh Ta có dãy phổ Grothendieck Tồn tại một lọc hữu hạn sao cho , 1 , 1/ , /p q p p q p p q i t i i t i tE H H E H Hθ θ θ θ+ + + − +∞ ∞= = với mọi i t≤ Vì thế ta có dãy khớp Với 0i = ta có Với 2i ≥ , ta xét dãy khớp Vì 0, 0, 1 , 21 1ker / t t i t i i i iE d imd − + − − −= và với mọi 0,j < do đó , , , , 2 2 3ker ... , i t i i t i i t i i t i t t td E E E i t − − − − + + + ∞≅ ≅ ≅ ≅ ≤ 0n ≥ ( ),nExt M N ( )( ),iIAss H M N 0i ≥ ( )( ) ( )( )( ) 0 , , t i i t i R I R R I i Ass H M N Ass Ext M H N− = ⊆U ( )( ) ( ),2 , ,p q p q p qI IpE Ext M H N H M N += ⇒ ( )1 1 00 ... ,t t t t t t tIH H H H H M Nθ θ θ θ+= ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = 1 ,0 0i t i t i t iH H Eθ θ+ −∞→ → → → ( )1 0,0 , 0t t tIH H M N Eθ ∞→ → → → 0,0, 0, , 10 ker t idt t i t i i i id E E − +→ → → , 0i jiE = Mà Như vậy với mọi ta có: suy ra Vậy ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.14. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh và I là iđêan thoả ( )( )iII ann H N⊂ với mọi i t≤ với t là một số nguyên dương bất kì. Khi đó ( )( ),tIAss H M N là hữu hạn. Chứng minh Ta có ( )( )iII ann H N⊂ với mọi i t≤ Do đó ( )iIH N hữu hạn sinh. Suy ra ( )( ),i t iR IExt M H N− hữu hạn sinh (do ( )iIH N là I – xoắn) Như vậy hữu hạn.  Với M, N là các R – môđun, ta có ( )( ) ( ),iRSupp Ext M N Supp M⊂ ( )Supp NI với mọi 0i ≥ . Do đó nếu N là R – môđun Artin thì ( ),iRExt M N cũng là Artin với mọi 0i ≥ . Từ nhận xét này ta có mệnh đề sau: , , , , 2 2 2ker ker , i t i i t i i t i i t i tE d d E i t − − − − ∞ +≅ ⊂ ⊂ ∀ ≤ i t≤ 1 ,0 0i t i t i t iH H Eθ θ+ −∞→ → → → ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1 0, 1, 1 2 0, 1, 1 2 0, ,0 , ... ... t t t I t t t t t t t t Ass H M N Ass E Ass H Ass E Ass E Ass H Ass E Ass E Ass H Ass E Ass E θ θ θ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ ∞ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ U U U U U U U ( )( )( ) 0 , t i t i R R I i Ass Ext M H N− = ⊆U ( )( ) ( )( )( ) 0 , , t t i t i I R R I i Ass H M N Ass Ext M H N− = ⊆U Mệnh đề 2.1.15. Cho M, N là các R – môđun và t là một số tự nhiên. Nếu ( )iIH N là Artin với mọi i t≤ thì ( ),iIH M N là Artin với mọi i t≤ . Chứng minh Ta có dãy phổ Grothendieck ( )( ) ( ),2 , ,p q p q p qI IpE Ext M H N H M N += ⇒ Tồn tại một lọc hữu hạn sao cho với mọi i t≤ Vì thế ta có dãy khớp 1 ,0 0i t i t i t iH H Eθ θ+ −∞→ → → → Nhưng , ,2 p q p qE E∞ ⊂ do đó ,p qE∞ là Artin và t i tHθ − là Artin với mọi i t≤ . Vì khớp nên ( ),iIH M N là Artin với mọi i t≤ .  Ta có các mệnh đề về tính triệt tiêu của như sau: 1. Giả sử iđêan I sinh bởi n phần tử. Khi đó, với mọi R – môđun M, ta có ( ) 0iIH M = với mọi i n> . 2. Định lí triệt tiêu của Grothendieck: Cho M là một R – môđun. Khi đó ( ) 0iIH M = với mọi dimi M> . 3. Cho M là một R – môđun, ta có ( ) 0iIH M = với mọi ( )i ara I> với ( )ara I là hạng số học của idean I được định nghĩa như sau: ( ) { }1 1 2min ,..., , ...n nara I n b b R b R b R b R I= ∈ ∃ ∈ + + + =¥ Bây giờ, ta sử dụng các của dãy phổ Grothendieck và các kết quả trên để đưa ra một số kết quả về tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng như sau: Mệnh đề 2.1.16. Cho M và N là hai R – môđun hữu hạn sinh thoả pdM < ∞ . Khi đó ta có kết quả sau: i. Giả sử dim N + . ii. Giả sử iđêan I sinh bởi t phần tử. Khi đó ( ), 0iIH M N = với mọi i pdM t> + ( )1 1 00 ... ,t t t t t t tIH H H H H M Nθ θ θ θ+= ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = , 1 , 1/ , /p q p p q p p q i t i i t i tE H H E H Hθ θ θ θ+ + + − +∞ ∞= = ( )1 0,0 , 0t i iIH H M N Eθ ∞→ → → → iii. ( ), 0iIH M N = với mọi ( )i pdM ara I> + Chứng minh Ta có dãy phổ Grothendieck ( )( ) ( ),2 , ,p q p q p qI IpE Ext M H N H M N += ⇒ Ta có ( )( ) ( ),2 , ,j i j j i j iR I IjE Ext M H N H M N − −= ⇒ Nếu ,2 0 j i jE − = thì ( ), 0iIH M N = Do đó nếu i thoả một trong ba điều kiện phía trên thì ta được ( ), 0iIH M N = . Vậy ta có điều phải chứng minh.  Hệ quả 2.1.17. Cho M và N là hai R – môđun hữu hạn sinh thoả pdM < ∞ . Khi đó ta có kết quả sau: i. Giả sử dim N < ∞ . Khi đó ( ) ( )( )dim dim, ,pdM N pdM NI R IH M N Ext M H N+ ≅ . ii. Giả sử I sinh bởi t phần tử. Khi đó ( ) ( )( ), ,pdM t pdM tI R IH M N Ext M H N+ ≅ iii. ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,pdM ara I ara IpdMI R IH M N Ext M H N+ ≅ Mệnh đề 2.1.18. Cho M và N là hai R – môđun hữu hạn sinh và *t∈¥ . Nếu ( ) 0iIH N = với mọi 0 i t≤ < thì: i. ( ), 0iIH M N = với mọi 0 i t≤ < . ii. ( ) ( )( ), ,t tI IH M N Hom M H N≅ iii. ( ) ( )( )/ , / ,i tR R IExt R I N Hom R I H N≅ Chứng minh i. Ta chứng minh qui nạp theo t. Khi 1t = , ta có ( ) 0iIH N = nên ( ) ( )( )0 0, , 0I IH M N Hom M H N≅ = Khi 1t > . Ta có dãy khớp ( )0 0N E N L→ → → → với ( )E N là bao nội xạ của môđun N, ( ) /L E N N≅ Từ dãy khớp trên ta có các đẳng cấu sau: ( ) ( ) ( ) ( )1 1, , ,i i i iI I I IH N H L H M N H M L− −≅ ≅ với mọi 0i > Theo giả thiết ta suy ra ( ) 0iIH L = với 0 1i t≤ < − Ta sẽ chứng minh ( )0 0IH L = . Giả sử ( )( ) 0I E NΓ ≠ , do ( )E N là mở rộng cốt yếu của N và ( )( ) ( )I E N E NΓ ⊂ nên ( )( ) 0I E N NΓ ≠I sr ( ) 0I NΓ ≠ mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy ( )( ) 0I E NΓ = . Do đó ( ) ( )0 1 0I IH L H N≅ = Như vậy ta có ( ) 0iIH L = với 0 1i t≤ < − . Theo giả thiết qui nạp ta có ( ), 0iH M L = với 0 1i t≤ < − . Suy ra ( ), 0iH M N = với 0 1i t≤ < − Vậy ta có điều phải chứng minh.  ii. Ta chứng minh qui nạp theo t Khi 1t = , do ( ) 0I NΓ = nên ta có dãy khớp ( ) ( )10 0I IN D N H N→ → → → cảm sinh dãy khớp ( ) ( )( )0 , ,I I IM N M D N→Γ →Γ → ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1, , ,I I I I IM H N H M N H M D N→Γ → → Suy ra ( )( ) ( )( )10I I I ID N H D NΓ = = Theo mệnh đề 2.1.5 thì ( )( ) ( )( )1, , 0I I I IM D N H M D NΓ = = Như vậy, từ dãy khớp bên trên ta có ( ) ( )( )1 1, ,I I IH M N M H N≅ Γ mà ( )( ) ( )( )1 1, ,I I R IM H N Hom M H NΓ ≅ . Vậy ta chứng minh được đối với trường hợp 1t = . Khi 1t > . Trong chứng minh ở phần 1 của mệnh đề này ta có ( ) 0iIH L = với 0 1i t≤ < − . Áp dụng giả thiết qui nạp theo t ta có ( ) ( )( )1 1, ,t tI R IH M L Hom M H L− −≅ Như vậy ta được ( ) ( )( ), ,t tI R IH M N Hom M H N≅ iii. Áp dụng hàm tử ( )/ ,Hom R I − vào dãy khớp ( )0 0N E N L→ → → → ta được các đẳng cấu ( ) ( )1/ , / ,i iR RExt R I L Ext R I N+≅ Theo giả thiết ta có ( ) 0iIH L = với mọi 0 2i t≤ ≤ − . Áp dụng giả thiết qui nạp ta được ( ) ( )( )1 1/ , / ,t tR R IExt R I L Hom R I H N− −≅ Do dó ( ) ( )( )/ , / ,t tR R IExt R I L Hom R I H N≅  Hệ quả 2.1.19. Giả sử ( ),R m là vành địa phương và M, N là hai R – môđun hữu hạn sinh và ( )t depth N= , thì ( ), 0tmH M N ≠ Chứng minh Ta có ( ) ( ){ }inf / , 0iRdepth N i Ext R m N= ≠ Theo mệnh đề 2.1.18 thì ( ) ( )( )/ , / ,i tR R mExt R m N Hom R m H N≅ do đó ( ) 0tmH N ≠ và ( )ann M không chứa bất kì phần tử ( ) tmH N − chính qui nên ( )( ), 0tR mHom M H N ≠ . Như vậy ( ), 0tmH M N ≠ .  Mệnh đề 2.1.20. Cho M, N là hai R – môđun hữu hạn sinh và t là một số tự nhiên. Nếu ( ), / 0tIH M R P = với thì ( ), 0tIH M N = Chứng minh Lấy một lọc hữu hạn các môđun con của N 0 10 ... kN N N N= ⊂ ⊂ ⊂ = thoả điều kiện ta có với mỗi 1 i k≤ ≤ ta có 1/ /i i iN N R P− ≅ với ( )iP Supp N∈ Do đó ta có dãy khớp ngắn 10 / 0i i iN N R P−→ → → → cảm sinh dãy khớp ( ) ( ) ( )1... , , , / ...t t tI i I i I iH M N H M N H M R P−→ → → → Như vậy ta có ( ) ( ) ( )1 0, , ... , 0t t tI I k IH M N H M N H M N−≅ ≅ ≅ = Hệ quả 2.1.21. Cho M, N, L là các R – môđun hữu hạn sinh và t là một số tự nhiên, ( ) ( )Supp L Supp N⊂ . Nếu ( ), / 0tIH M R P = với ( )P Supp N∈ thì ( ), 0tIH M N = . Chứng minh Do ( ) ( )Supp L Supp N⊂ nên ( ), / 0iIH M R P = với mọi ( )P Supp L∈ . Từ mệnh đề 2.1.20 ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tương tự thì ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.1.22. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh và t là một số tự nhiên. Nếu ( ), / 0tIH M R P = với ( )P Supp N∈ thì ( ), / 0tIH M R J = với ( )V J ⊂ ( )Supp N Mệnh đề 2.1.23. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh, t là một số tự nhiên. pdM t≤ . Nếu ( ), / 0tIH M R P = với ( )P Supp N∈ thì ( ){ }sup , 0iIi H M N t≠ < Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.21 ta có ( ), 0tIH M N = . Ta chứng minh ( ), 0iIH M N = với 1i t≥ + . Để làm điều này ta chứng minh ( )1 , / 0tIH M R P+ = với ( )P Supp N∈ . Giả sử ( )1 , / 0tIH M R P+ ≠ , khi đó có ( )1 , / , 0tIy H M R P y+∈ ≠ . Do ( )1 , / 0tIH M R P+ ≠ nên I P⊄ . Thật vậy, nếu I P⊂ thì /R P là I – xoắn nên ( ) ( )1 1, / , / 0t tI RH M R P Ext M R P+ +≅ = vì pdM t≤ . Vì I P⊄ và ( )1 , /tIH M R P+ là I – xoắn nên tồn tại \ : 0x I P xy∈ = Ta có dãy khớp sau: ( )0 / / / 0 x R P R P R P xR→ → → + → cảm sinh dãy khớp ( )( ) ( ) ( )1 1, / , / , / x t t t I I IH M R P xR H M R P H M R P + ++ → → Vì ( ) ( )V P xR Supp N+ ⊂ nên ( )( ), / 0tIH M R P xR+ = (theo hệ quả 2.1.22) suy ra ( ) ( )1 1, / , / x t t I IH M R P H M R P + +→ là đơn cấu. Mà 0xy = nên 0y = (mâu thuẫn). Vậy ( )1 , / 0tIH M R P+ = với ( )P Supp N∈ . Áp dụng mệnh đề 2.1.2. và chứng minh qui nạp theo t thì ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.1.24. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh. Nếu ( ), /tIH M R P là R – môđun hữu hạn sinh với mọi ( )P Supp N∈ thì ( ),tIH M N là R – môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. Tương tự như mệnh đề 2.1.20, ta có một lọc hữu hạn các môđun con của N 0 10 ... kN N N N= ⊂ ⊂ ⊂ = thoả điều kiện ta có với mỗi 1 i k≤ ≤ ta có 1/ /i i iN N R P− ≅ với ( )iP Supp N∈ Do đó ta có dãy khớp ngắn 10 / 0i i iN N R P−→ → → → cảm sinh dãy khớp ( ) ( ) ( )1... , , , / ...t t tI i I i I iH M N H M N H M R P−→ → → → Theo giả thiết và qui nạp theo i ta có ( ),tI iH M N hữu hạn sinh do đó ( ),tIH M N là R – môđun hữu hạn sinh. Do tính hữu hạn của ( ),tIH M N nên ta có hệ quả về Ass và tính I - cofinite như sau: Hệ quả 2.1.25. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh. Nếu ( ), /tIH M R P là R – môđun hữu hạn sinh với mọi ( )P Supp N∈ thì ( )( ),tIAss H M N là tập hữu hạn và ( ),tIH M N là I – cofinite Mệnh đề 2.1.26. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh. Nếu ( ), /tIH M R P là R – môđun Artin với mọi ( )P Supp N∈ thì ( ),tIH M N là R – môđun Artin. Chứng minh Tương tự như mệnh đề 2.1.20, ta có một lọc hữu hạn các môđun con của N 0 10 ... kN N N N= ⊂ ⊂ ⊂ = thoả điều kiện ta có với mỗi 1 i k≤ ≤ ta có 1/ /i i iN N R P− ≅ với ( )iP Supp N∈ Do đó ta có dãy khớp ngắn 10 / 0i i iN N R P−→ → → → cảm sinh dãy khớp ( ) ( ) ( )1... , , , / ...t t tI i I i I iH M N H M N H M R P−→ → → → Theo giả thiết và qui nạp theo i ta có ( ),tI iH M N Artin do đó ( ),tIH M N là R – môđun Artin. Hệ quả 2.2.27. Cho M, N, L là các , R – môđun hữu hạn sinh, ( )Supp L ⊂ ( )Supp N . Nếu ( ), /tIH M R P là R – môđun Artin với mọi ( )P Supp N∈ thì ( ),tIH M L là R – môđun Artin. Mệnh đề 2.1.28. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh, t là một số tự nhiên. pdM t≤ . Nếu ( ), /tIH M R P là R – môđun Artin với mọi thì ( ),iIH M N là Artin với mọi i t≥ . Chứng minh ( )P Supp N∈ Theo mệnh đề 2.1.26, ( ),tIH M N là Artin. Ta sẽ chứng minh ( )1 ,tIH M N+ là Artin, để làm điều đó ta sử dụng mệnh đề 2.1.26, tức là ta cần chứng minh ( )1 , /tIH M R P+ là Artin với . Lấy ( )P Supp N∈ , giả sử , khi đó I P⊄ . Thật vậy, nếu I P⊂ thì /R P là I – xoắn nên ( ) ( )1 1, / , / 0t tI RH M R P Ext M R P+ +≅ = vì pdM t≤ . Lấy \x I P∈ . Ta có dãy khớp sau: ( )0 / / / 0 x R P R P R P xR→ → → + → cảm sinh dãy khớp ( )( ) ( ) ( )1 1... , / , / , / ... x t t t I I IH M R P xR H M R P H M R P + +→ + → → → Ta có: ( )( ) ( )/Supp R P xR Supp N+ ⊂ Theo hệ quả 2.1.27, ( )( ), /tIH M R P xR+ là Artin. Khi đó ( )1 , /0 : tIH M R P x+ là Artin và ta cũng có . Suy ra ( )1 , /tIH M R P+ là Artin. Như vậy ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.29. Cho t là số nguyên không âm sao cho ( ),tIH M N là R – môđun hữu hạn sinh với mọi i t< . Khi đó, ( )( )/ , ,tR IHom R I H M N là R – môđun hữu hạn sinh. Chứng minh Nếu 0t = , ta có ( ) ( )( )0 , ,I I RH M N Hom M N= Γ là hữu hạn sinh do đó là R – môđun hữu hạn sinh. Nếu 1t ≥ . Xét dãy khớp ( ) ( )0 / 0I IN N N N→Γ → → Γ → cảm sinh dãy khớp ( )( ) ( ) ( )( )... , , , / ... f g t t t I I I I IH M N H M N H M N N→ Γ → → Γ → Do ( )I NΓ là I – xoắn và hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 2.1.9 và mệnh đề 2.1.11, ta có ( )( ),iI IH M NΓ hữu hạn sinh do đó và imf cũng hữu hạn sinh. Như vậy ta có hai dãy khớp sau: và ( )( )0 , /tI Iimg H M N N→ → Γ ( )P Supp N∈ ( )1 , / 0tIH M R P+ ≠ ( ) ( )1 1 , / 1 , / 0 : t I t n I H M R P n H M R P x++ ≥ =U ( )( )/ , ,tR IHom R I H M N ( )( ),tI IH M NΓ ( )0 , 0tIimf H M N img→ → → → Áp dụng hàm tử vào hai dãy khớp trên. Để chứng minh ( )( )/ , ,tR IHom R I H M N hữu hạn sinh thì ta cần chứng minh được ( )/ ,RHom R I img , nhưng để ( )/ ,RHom R I img hữu hạn sinh thì ta cần chứng minh được hữu hạn sinh. Do đó ta có thể giả sử N là I – xoắn, như thế tồn tại x I∈ mà không là ước của 0 trên N. Đặt /N N xN= . Xét dãy khớp sau 0 0 x N N N→ → → → cảm sinh dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( )1 1... , , , , ... k x t t t t I I I IH M N H M N H M N H M N − −→ → → → → Theo giả thiết thì ( )1 ,tIH M N− hữu hạn sinh do đó imk hữu hạn sinh. Xét dãy khớp sau: Ta có ( ),tIH M N hữu hạn sinh với i t< do đó theo giả thiết qui nạp hữu hạn sinh. Như thế từ dãy khớp phía trên ta có ( )/ ,RHom R I imh hữu hạn sinh. Cuối cùng ta xét dãy khớp: ( ) ( )0 , , x t t I Iimh H M N H M N→ → → Áp dụng hàm tử vào dãy khớp trên. Vì x I∈ nên ta có ( )( ) ( )/ , , / ,tR I RHom R I H M N Hom R I imh≅ là R – môđun hữu hạn sinh.  Mệnh đề 2.1.30. Cho i là số tự nhiên sao cho ( ),iIH M N hữu hạn sinh với mọi i t< . Khi đó là tập có hữu hạn phần tử. Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.29, ( )( )/ , ,tR IHom R I H M N là R – môđun hữu hạn sinh do đó ( )( )( )/ , ,tR IAss Hom R I H M N là tập có hữu hạn phần tử. Do ( )( ) ( ),tISupp H M N V I⊂ nên từ mệnh đề 1.1.4 suy ra điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.31. Cho 1 2, ,..., nx x x là một N – dãy chính quy trong I. Khi đó, ( )/ ,RHom R I − ( )( )( )/ , , /tR I IHom R I H M N NΓ ( )10 , 0tIimk H M N imh−→ → → → ( )( )1/ , ,tR IHom R I H m N− ( )/ ,RHom R I − ( )( ),tIAss H M N ( )( ) ( )( )( )0 1 2, , / , ,...,iI I nAss H M N Ass H M N x x x N= Chứng minh Dùng quy nạp theo n. Nếu 1n = , nếu 1x là phần tử chính quy trong N, khi đó ta có dãy khớp 1 10 / 0 x N N N x N→ → → → cảm sinh dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( )11 0 0 0 1... , , , , / ... xk t I I I IH M N H M N H M N H M N x N −→ → → → → Do 1x I∈ nên ( ) ( )0 11, / ,I IH M N x N H M N≅ do đó ( )( ) ( )( )1 0 1, /I IAss H M Ass H M N x N= Ta cũng có ( ) ( )1 1, / ,i iI IH M N x N H M N− ≅ Sử dụng chứng minh quy nạp ta được ( )( ) ( )( )( )0 1 2, / , ,...,nI I nAss H M Ass H M N x x x N=  Mệnh đề 2.1.32. Cho M, N là các R – môđun, trong đó M hữu hạn sinh. Nếu ( ) ( ) ( )Supp M Supp N V I⊂I thì ( ) ( ), ,I M N Hom M NΓ = và do đó ( ) ( ), ,i iI RH M N Ext M N≅ với mọi 0i ≥ . Chứng minh Với ( )P Spec R∈ ta có ( ) ( ), , PR R P PP Hom M N Hom M N≅ Do đó ( )( ) ( ) ( )( ) ( ),RSupp Hom M N Supp M Supp N V I⊂ ⊂I Theo mệnh đề 1.1.1 ta có điều phải chứng minh.  Nếu M là R – môđun hữu hạn sinh và *t∈¥ thì ( )iIH M hữu hạn sinh với mọi i t< khi và chỉ khi ( )( )0 : iII H M⊂ với mọi i t< . Mệnh đề dưới đây sẽ tổng quát kết quả trên trong trường hợp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Mệnh đề 2.1.33. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh và *t∈¥ , các phát biểu sau là tương đương: i. ( ),iIH M N hữu hạn sinh với mọi i t< ii. ( )( )0 : ,iII H M N⊂ với mọi i t< Chứng minh .) .)i ii⇒ Ta có ( ),iIH M N hữu hạn sinh và ( ),iIH M N là I – xoắn do đó tồn tại 0k > sao cho: ( ), 0k iII H M N = với mọi i t< ⇒ ( )( )0 : iII H M⊂ với mọi i t< .) .)ii i⇒ Ta chứng minh quy nạp theo t • 1t = : ( ) ( )( )0 , ,I I RH M N Hom M N= Γ là hữu hạn sinh. • 1t > và ( ),iIH M N hữu h