Luận văn Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương

≥ 0 (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m)}. Định nghĩa 1.2 Ma trận A = (aij)n×m ∈ R n×m được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0, ∀ i 6= j. Định lí sau cho ta mối quan hệ về tính dương của ma trận mũ và ma trận Metzler. Định lý 1.1 [7] Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó A là ma trận Metzler khi và chỉ khi eAt  0, với t > 0 nào đó. Ví dụ 1.1 Cho ma trận A =   −1 0 1 0 2 1 0 0 2   . Theo Định nghĩa 1.2 thì A là một ma trận Metzler. Ta tính được ma trận eAt là eAt =   e−t 0 −13e −t + 13e 2t 0 e2t 0 0 0 e2t   . Ta thấy eAt là một ma trận không âm. Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm về hệ động lực dương. Xét hệ điều khiển tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân x˙(t) = Ax(t) +Bu(t), t ≥ 0, (1.1a) x(0) = x0, (1.1b) y(t) = Cx(t) +Du(t), (1.1c) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, y(t) ∈ Rp là véc tơ quan sát, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×m là các ma trận hằng số cho trước. 5Định nghĩa 1.3 [7] Hệ (1.1a)-(1.1c) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ véc tơ điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ và mọi véc tơ đầu vào u(t) ∈ R m + ta đều có x(t) ∈ Rn+ và y(t) ∈ R p + với mọi t ≥ 0. Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính (1.1) là dương. Định lý 1.2 [7] Hệ điều khiển tuyến tính (1.1) là dương nếu và chỉ nếu ma trận A = (aij)n×n là ma trận Metzler và B ∈ R n×m + , C ∈ R p×n + , D ∈ R p×m + . Chứng minh. Điều kiện đủ: Ta có công thức nghiệm của phương trình (1.1a), (1.1b) là x(t) = eAtx0 + ∫ t 0 eA(t−s)Bu(s) ds. (1.2) Vì A ma trận Metzler nên theo Định lí 1.2, ma trận eAt ∈ Rn×n+ ,∀t ≥ 0. Theo giả thiết, ta có B ∈ Rn×m+ , x0 ∈ R n + và u (t) ∈ R m + với ∀t ≥ 0. Do đó từ phương trình (1.2) chúng ta thu được x(t) ∈ Rn+ với ∀t ≥ 0. Ngoài ra, từ phương trình (1.1c), ta có y(t) ∈ Rp+ vì x(t) ∈ R n + và C ∈ R p×n + , D ∈ R p×m + . Điều kiện cần: Cho u (t) = 0 với ∀t ≥ 0 và x0 = ei (ei là cột thứ i của ma trận đơn vị In). Ta thấy quỹ đạo của véc tơ trạng thái x(t) không vượt qua R n + chỉ khi x˙(0) = Aei ≥ 0. Điều này suy ra aij ≥ 0 với mọi i 6= j. Suy ra A là ma trận Metzler. Từ các phương trình (1.1a), (1.1b), cho x0 = 0, ta có x˙(0) = Bu(0) ≥ 0. Vì u(0) ∈ Rm+ có thể được chọn tùy ý nên ta có B ∈ R n×m + . Từ phương trình (1.1c) với u(0) = 0 ta có y(0) = Cx0 ≥ 0. Vì x0 ≥ 0 có thể được chọn tùy ý nên suy ra C ∈ Rp×n+ . Một cách hoàn toàn tương tự, ta cho x0 = 0. Từ phương trình (1.1c) ta thu được y(0) = Du(0) ≥ 0. Lại vì u(0) ≥ 0 có thể chọn tùy ý nên ta có D ∈ Rp×m+ .  Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2. Hệ quả 1.1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính 6  x˙(t) = Ax(t), t ≥ 0, x(0) = x0, (1.3) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) là dương nếu và chỉ nếu ma trận A là ma trận Metzler. 1.2. Hệ tuyến tính dương có trễ Xét hệ điều khiển tuyến tính đa trễ hằng số x˙(t) = A0x(t) + q∑ k=1 Akx(t− dk) +Bu(t), t ≥ 0, (1.4a) y(t) = Cx(t) +Du(t), (1.4b) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, y(t) ∈ Rp là véc tơ quan sát, A0, Ak(k = 1, . . . , q) ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ R p×n, D ∈ Rp×m là các ma trận hằng số cho trước. Các hằng số không âm dk(k = 1, . . . , q) là độ trễ. Hàm điều kiện ban đầu cho hệ (1.4a) là x(t) = x0(t), t ∈ [−d, 0], d = max 1≤k≤q {dk}, (1.5) ở đó x0(t) ∈ C([a, b],Rn). Định nghĩa 1.4 [8] Hệ (1.4) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ điều kiện ban đầu x0(t) ∈ Rn+ và mọi véc tơ đầu vào u(t) ∈ R m + ta đều có x(t) ∈ R n + và y(t) ∈ Rp+ với mọi t ≥ 0. Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ (1.4). Định lý 1.3 [8] Hệ điều khiển tuyến tính (1.4) là dương nếu và chỉ nếu ma trận A0 là ma trận Metzler, Ak ∈ R n×n + (k = 1, . . . , q), B ∈ R n×m + , C ∈ R p×n + và D ∈ Rp×m+ . 7Chứng minh. Điều kiện cần: Trong phương trình (1.4a) cho x0(t) = 0, t ∈ [−d, 0] và u(t) = 0,∀t ≥ 0 ta thu được x(t) = A0x(t), t ∈ [0, d]. (1.6) Theo Định lí 1.2, ta có véc tơ trạng thái của hệ (1.6) là x(t) ∈ Rn+ nếu và chỉ nếu A là ma trận Metzler. Vậy, ta đã chứng minh được A là ma trận Metzler. Tiếp theo, từ phương trình (1.4a), cho u(t) = 0, t ≥ 0, x(0) = 0, x0(−dk) = ei, i = 1, . . . , n (ei là véc tơ cột thứ i của ma trận đơn vị In), x(−dj) = 0, j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n. Khi đó với t = 0, ta có x˙(0) = Akei = Aki ∈ R n +, trong đó Aki là cột thứ i của ma trận Ak. Từ đó suy ra Ak ∈ R n×n + (k = 1, . . . , q). Mặt khác, lại từ phương trình (1.4a), ta cho x0(t) = 0, t ∈ [−d, 0]. Khi đó tại t = 0, ta có x˙(0) = Bu(0). Vì u(0) ∈ Rm+ có thể được chọn tùy ý nên ta có B ∈ Rn×m+ . Việc chứng minh C ∈ R p×n + và D ∈ R p×m + được thực hiện hoàn toàn tương tự như Định lí 1.2. Điều kiện đủ: Với t ∈ [0, d] nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.4a), (1.5) cho bởi công thức sau x(t) = eA0tx0(t) + t∫ 0 eA0(t−τ) ( q∑ k=1 Akx0(τ − dk) +Bu(τ ) ) dτ. (1.7) Theo giả thiết A0 là ma trận Metzler nên ta có eA0t ∈ R n×n + . Do đó, từ phương trình (1.7) ta suy ngay ra x(t) ∈ Rn+,∀t ∈ [0, d] vì x0(t) ∈ R n +,∀t ∈ [0, d] và u(t) ∈ Rm+ ,∀t ≥ 0. Ngoài ra, từ phương trình (1.4b) ta có y(t) ∈ R p +, t ∈ [0, d] vì x(t) ∈ Rn+ theo chứng minh trên và u(t) ∈ R m +(∀t ≥ 0), C ∈ R p×n + và D ∈ Rp×m+ theo giả thiết. Sử dụng phương pháp từng bước, ta sẽ thu được x(t) ∈ Rn+ và y(t) ∈ R p + trên các đoạn [d, 2d], [2d, 3d], . . . Định lí hoàn toàn được chứng minh.  81.3. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Định nghĩa 1.5 [1] Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) là biểu thức có dạng LMI(y) = A0 + y1A1 + ... + ymAm ≥ 0, (1.8) trong đó y = (y1, y2, ..., ym) T ∈ Rm, A0, A1, ..., Am ∈ R n×n là các ma trận đối xứng. Các sự kiện tiêu biểu trong sự phát triển của LMI: • LMI xuất hiện đầu tiên năm 1890, khi Luapunov xuất bản các công trình về lí thuyết Lyapunov. Ông chỉ ra rằng phương trình vi phân . x(t) = Ax(t) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một ma trận P đối xứng xác định dương sao cho ATP +PA < 0. Bất đằng thức trên là một dạng đặc biệt của LMI, và có thể giải thích một cách tường minh thông qua các bất phương trình tuyến tính. • Khoảng năm 1940, Lur’e, Postnikov và nhiều nhà khoa học Liên Xô khác lần đầu tiên áp dụng các phương pháp của Lyapunov cho một số bài toán thực tế trong điều khiển máy móc, đặc biệt, bài toán ổn định của hệ điều khiển với một nhiễu phi tuyến. Các kết quả về ổn định của họ có dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính và được giải "bằng tay". Tất nhiên, các kết quả này chỉ làm được với hệ có kích cỡ nhỏ (bậc 2 hoặc 3). • Đầu thập niên 60 (thế kỉ 20), Yakubovich, Popvo, Kalman và nhiều nhà khoa học khác đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc giải các LMI, phương pháp hình học. Kĩ thuật này cho phép giải các hệ có kích cỡ lớn hơn, tuy nhiên cũng chỉ làm được với hệ không có nhiều hơn một nhiễu phi tuyến. Cuối những năm 60, các nhà khoa học nhận thấy các LMI tương tự có thể được giải thông qua phương trình vi phân Ricatti. 9• Những năm đầu thập niên 80 (thế kỉ 20), nhiều LMI có thể giải được bằng máy tính thông qua bài toán quy hoạch. • Những năm cuối thập niên 80 (thế kỉ 20), sự ra đời của thuật toán điểm trong cho phép giải được các LMI phát sinh trong các hệ thống có điều khiển. Năm 1984, N. Karmarkar giới thiệu một thuật toán quy hoạch tuyến tính mới, thuật toán điểm trong, cho phép giải các bài toán tuyến tính với thời gian đa thức. Các công trình của ông chủ yếu cho các bài toán toàn phương (lồi) và tuyến tính. Sau đó, năm 1988, Nesterov và Nemirovskii đã phát triển thuật toán điểm trong (thuật toán phép chiếu của Nemirovskii) và áp dụng trực tiếp để giải các bài toán lồi liên quan tới LMI. • Năm 1993, Gahinet và Nemirovskii đã phát triển một phần mềm LMI- Lab dựa trên code FORTRAN, cho phép người sử dụng miêu tả bài toán LMI dưới dạng kí hiệu. LMI- Lab giả quyết bài toán LMI này dựa trên thuật toán phép chiếu của Nemirovskii. Sau đó, năm 1994, El Ghaoui đã phát triển một phần khác, gọi là LMI-tool được sử dụng trong Matlab. Một phiên bản khác của LMI-tool được phát triển bởi Nikoukhah và Delebecque. Ba yếu tố khiến cho kĩ thuật LMI thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà khoa học là: 1. Có nhiều thông số thiết kế và hạn chế có thể được thể hiện qua LMI. 2. Sau khi thiết lập LMI, một bài toán có thể được giải quyết một cách chính xác thông qua các thuật toán lồi tối ưu của LMI. 3. Trong khi các bài toán cùng với nhiều hạn chế và đa mục tiêu khó khăn trong việc tìm nghiệm của các phương trình ma trận, thì vấn đề này lại dễ xử lí khi dùng kĩ thuật LMI. Điều này khiến các thiết kế dựa trên LMI là sự thay thế đầy ý nghĩa cho các phương pháp cổ điển. 10 Điều thuận lợi nhất cho các nhà kĩ thuật là có nhiều phương pháp số hiệu quả để xác định xem LMI là khả thi hay không. Tính khả thi thể hiện ở chỗ: liệu có tồn tại y sao cho LMI (y) ≥ 0, hoặc để giải quyết một vấn đề tối ưu lồi hóa với những hạn chế LMI. Nhiều vấn đề tối ưu hóa trong lí thuyết điều khiển, hệ thống nhận dạng, và xử lí tín hiệu có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Để kiểm tra LMI thực thi hay không, hộp công cụ LMI trong Matlab có một vai trò quan trọng. Đặc biệt, cùng với phần mềm này, các công cụ thiết kế điều khiển có thể sử dụng một cách đơn giản mà không cần phải có kiến thức nhất định về LMI hoặc thuật toán để giải LMI. Chương 2 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 2.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính:  x˙(t) = Ax(t) t ≥ 0, x(0) = x0, (2.1) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước, x0 ∈ Rn là điều kiện ban đầu. Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.1). Định nghĩa 2.1 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) nếu với mọi điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn thỏa mãn ‖x0‖∞ ≤ c1 ta đều có ‖x(t)‖∞ < c2,∀t ∈ [0, Tf ]. Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính dương và ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính (2.1). 11 12 Định lý 2.1 Cho A là một ma trận Metzler, các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Giả sử tồn tại một véc tơ λ = (λ1, . . . , λn) T ≻ 0 và một số dương α sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn (−αIn + A) T λ ≺ 0, (2.2a) c1M≤ βc2e −αTf , (2.2b) ở đó β = min i∈{1,2,...,n} λi, M = n‖λ‖∞. Khi đó hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler nên theo Định lí 1.3, hệ (2.1) là một hệ dương. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Đặt (−αIn + A) T λ = −r. Khi đó r ≻ 0. Ta xét hàm không âm sau V (x(t)) = λTx(t). (2.3) Lấy đạo hàm của hàm V (x(t)) theo thời gian, ta thu được đánh giá sau V˙ (x(t))− αV (x(t)) = −αλTx(t) + λT x˙(t) ≤ −αλTx(t) + λTAx(t) = λT (−αIn + A) x(t) = −r Tx(t) ≤ 0. (2.4) Vậy, ta có V˙ (x(t)) ≤ αV (x(t)), ∀t ∈ [0, Tf ]. (2.5) Lấy tích phân hai vế của bất phương trình bên trên từ 0 tới t, ta có V (x(t)) ≤ V (x0)e αt = λTx0e αt ≤M‖x0‖∞e αt ≤ c1Me αTf . (2.6) 13 Mặt khác, bằng các đánh giá đơn giản, ta thu được V (x(t)) ≥ λTx(t) ≥ β‖x(t)‖∞. (2.7) Kết hợp các điều kiện (2.6), (2.7) và (2.2b), ta thu được ‖x(t)‖∞ < c2, ∀t ∈ [0, Tf ]. Do đó hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Định lí được chứng minh hoàn toàn.  Nhận xét 2.1 Khi cố định số α, điều kiện (2.2a) là một bài toán qui hoạch tuyến tính theo λ. Điều kiện này có thể giải được bởi hộp công cụ lập trình tuyến tính tối ưu (linear programming optimal toolbox) trong tài liệu [12]. Nhận xét 2.2 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Từ Định lí 2.1 và Nhận xét 2.1, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) của hệ (2.1): Bước 1. Kiểm tra xem A có là một ma trận Metzler. Bước 2. Cho trước số dương α. Ta giải bài toán qui hoạch tuyến tính (2.2a) để tìm được véc tơ λ = (λ1, . . . , λn) T ≻ 0. Bước 3. Tính β và M. Bước 4. Kiểm tra điều kiện (2.2b). Nếu điều kiện này thỏa mãn thì sang Bước 5. Nếu trái lại thì quay trở lại Bước 2. Bước 5. Kết luận hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Với cách dùng chuẩn của véc tơ trạng thái x(t) là chuẩn vô cùng. Định lí 2.1 đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính (2.1) thông qua việc giải bài toán qui hoạch tuyến tính. Khi ta chọn chuẩn véc tơ trạng thái x(t) là chuẩn Euclide, định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn cho hệ tuyến tính (2.1) dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. 14 Định nghĩa 2.2 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) nếu với mọi điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn thỏa mãn ‖x0‖2 ≤ c1 ta đều có ‖x(t)‖2 < c2,∀t ∈ [0, Tf ]. Định lý 2.2 Cho A là một ma trận Metzler, các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Giả sử rằng tồn tại một số dương α, một ma trận đường chéo chính xác định dương P sao cho các kiện sau đây được thỏa mãn: PA+ ATP − αP < 0, (2.8a) λmax(P ) λmin(P ) c21 ≤ c 2 2e −αTf , (2.8b) Khi đó hệ (2.1) là dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler nên hệ (2.1) là hệ dương theo kết quả của Định lí 1.3. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Xét hàm Lyapunov: V (x(t)) = xT (t)Px(t). Lấy đạo hàm của hàm V (x(t)) theo t dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ (2.1), ta thu được V˙ (x(t))− αV (x(t)) ≤ xT (t) ( PA+ ATP − αP ) x(t). (2.9) Từ điều kiện (2.8a), ta có V˙ (x(t))− αV (x(t)) ≤ 0, ∀t ≥ 0. (2.10) Nhân hai vế của bất đẳng thức (2.10) với e−αt, và chú ý rằng d dt (e−αtV (x(t))) = e−αtV˙ (x(t))− αe−αtV (x(t)), ta thu được d dt ( e−αtV (x(t)) ) ≤ 0, ∀t ∈ [0, Tf ] . (2.11) Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên từ 0 tới t, ta có V (x(t)) ≤ V (x0)e αt = xT (0)Px(0)eαt ≤ λmax(P )‖x0‖ 2eαt ≤ λmax(P )c 2 1e αTf . (2.12) 15 Bằng các tính toán đơn giản, ta thu được ước lượng sau V (x(t)) ≥ λmin(P )‖x(t)‖ 2 2, ∀t ∈ [0, Tf ] . (2.13) Kết hợp các điều kiện (2.12), (2.13) và (2.8b), ta có ‖x(t)‖2 < c2, ∀t ∈ [0, Tf ]. Do đó hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ).  Nhận xét 2.3 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Từ Định lí 2.2, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) của hệ (2.1): Bước 1. Kiểm tra xem A có là một ma trận Metzler. Bước 2. Cho trước số dương α. Ta giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.8a) để tìm ma trận P . Bước 3. Tính λmin(P ), λmax(P ). Bước 4. Kiểm tra điều kiện (2.8b). Nếu điều kiện này thỏa mãn thì sang Bước 5. Nếu trái lại thì quay trở lại Bước 2. Bước 5. Kết luận hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). 2.2. Ví dụ số Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính  x˙(t) = Ax(t) t ≥ 0, x(0) = x0, (2.14) ở đó x(t) ∈ R2 và ma trận A =  −3 1 2 −5   . 16 Ta thấy A là một ma trận Metzler. Do đó hệ (2.15) là một hệ tuyến tính dương. Tiếp theo, ta đi xét tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ (2.15). Cho Tf = 10, c1 = 1, c2 = 2. Ta thấy các điều kiện của Định lí 2.1 được thỏa mãn với α = 1 và ma trận λ = [1 1]T ≻ 0. Vậy hệ (2.14) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (1,2,10) Ví dụ 2.2 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính  x˙(t) = Ax(t) t ≥ 0, x(0) = x0, (2.15) ở đó x(t) ∈ R5 và ma trận A =   −10 2 1 2 3 1 −15 1 5 2 2 1 −8 2 1 1 2 5 −10 5 2 1 4 6 −9   . Ta thấy A là một ma trận Metzler. Do đó hệ (2.15) là một hệ tuyến tính dương. Tiếp theo, ta đi xét tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ (2.15). Cho Tf = 2, c1 = 0.1, c2 = 1.8. Ta thấy các điều kiện của Định lí 2.2 được thỏa mãn với α = 1 và ma trận P =   0.1417 0.0615 0.2062 0.1809 0.1642 0.0615 0.0718 0.1309 0.1200 0.1032 0.2062 0.1309 0.5022 0.4007 0.3555 0.1809 0.1200 0.4007 0.3931 0.3208 0.1642 0.1032 0.3555 0.3208 0.3241   . Vậy hệ (2.15) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (0.1, 1.8, 2). Chương 3 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ dương có trễ. Bằng cách sử dụng ý tưởng của bài báo [14] trong việc xây dựng một hàm không âm, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ mới cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ dương có trễ. Điều kiện này được đưa ra dưới dạng bài toán quy hoạch tuyến tính. Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii, chúng tôi cũng đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ dương có trễ thông qua việc giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính. 3.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ hằng số:  x˙(t) = Ax(t) +Dx(t− τ ), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], (3.1) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A,D ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước, hằng số dương τ là độ trễ, φ(t) ∈ C([a, b],Rn) là điều kiện ban 17 đầu. 18 Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ hằng số (3.1). Định nghĩa 3.1 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Hệ (3.1) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) nếu với mọi điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([a, b],Rn) thỏa mãn ‖φ‖ := max t∈[−τ,0] ‖φ(t)‖∞ ≤ c1 ta đều có ‖x(t)‖∞ < c2,∀t ∈ [0, Tf ]. Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính dương và ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính có trễ (3.1). Định lý 3.1 Cho A là một ma trận Metzler, D ∈ Rn×n+ , các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Giả sử tồn tại một véc tơ λ = (λ1, . . . , λn) T ≻ 0 và một số dương α sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn ( −αIn + A+ e −ατD )T λ ≺ 0, (3.2a) c1Λ ≤ βc2e −αTf , (3.2b) ở đó β = min i∈{1,2,...,n} λi, Λ = n‖λ‖∞ + n α ( 1− e−ατ ) ‖λTD‖∞. Khi đó hệ (3.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler và ma trận D  0 nên theo Định lí 1.3, hệ (3.1) là một hệ dương. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (3.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Đặt (−αIn + A+ e−ατD) T λ = −r. Khi đó r ≻ 0. Ta xét hàm không âm sau V (xt) = λ Tx(t) + ∫ t t−τ eα(t−s−τ)λTDx(s)ds, (3.3) ở đó xt ∈ C([−τ, 0],Rn). 19 Lấy đạo hàm của hàm V (xt) dọc theo quỹ đạo của nghiệm của hệ (3.1), ta thu được đánh giá sau V˙ (xt)− αV (xt) = −αλTx(t) + λT x˙(t) + eα(t−τ) [ e−αtλTDx(t)− e−α(t−τ)λTDx(t− τ ) ] − α ∫ t t−τ eα(t−s−τ)λTDx(s)ds ≤ −αλTx(t) + λTAx(t) + λTDx(t− τ ) + e−ατλTDx(t)− λTDx(t− τ ) = λT ( −αIn + A+ e −ατD ) x(t) = −rTx(t) ≤ 0. (3.4) Vậy, ta có V˙ (xt) ≤ αV (xt), ∀t ∈ [0, Tf ]. (3.5) Lấy tích phân hai vế của bất phương trình bên trên từ 0 tới t, ta có V (xt) ≤ V (x0)e αt = V (φ)eαt = ( λTx(0) + ∫ 0 −τ eα(−s−τ)λTDx(s)ds ) eαt ≤ Λ‖φ‖eαt ≤ c1Λe αTf . (3.6) Mặt khác, bằng các đánh giá đơn giản, ta thu được V (xt) ≥ λ Tx(t) ≥ β‖x(t)‖∞. (3.7) Kết hợp các điều kiện (3.6), (3.7) và (3.2b), ta thu được ‖x(t)‖∞ < c2, ∀t ∈ [0, Tf ]. Do đó hệ (3.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Định lí được chứng minh.  Nhận xét 3.1 Khi cố định số α, điều kiện (3.2a) là một bài toán qui hoạch tuyến tính theo λ. Điều kiện này có thể giải được bởi hộp công cụ lập trình tuyến tính tối ưu (linear programming optimal toolbox) trong tài liệu [12]. 20 Nhận xét 3.2 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Từ Định lí 3.1 và Nhận xét 3.1, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) của hệ (3.1): Bước 1. Kiểm tra xem A có là một ma trận Metzler và D ∈ Rn×n+ . Bước 2. Cho trước số dương α. Ta giải bài toán qui hoạch tuyến tính (3.2a) để tìm được véc tơ λ = (λ1, . . . , λn) T ≻ 0. Bước 3. Tính β và Λ. Bước 4. Kiểm tra điều kiện (3.2b). Nếu điều kiện này thỏa mãn thì sang Bước 5. Nếu trái lại thì quay trở lại Bước 2. Bước 5. Kết luận hệ (3.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Tiếp theo, chúng tôi mở rộng kết quả của Định lí 3.1 cho lớp hệ tuyến tính dương đa trễ hằng số. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính đa trễ hằng số.  x˙(t) = Ax(t) + p∑ i=1 Dix(t− τi), x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], τ = max{τ1, . . . , τp}, (3.8) ở đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, các hằng số không âm τi ≥ 0(i = 1, . . . , p) là các độ trễ, A,Di ∈ Rn×n(i = 1, . . . , p), và φ(t) ∈ PC([−τ, 0],Rn) là điều kiện ban đầu. Định nghĩa 3.2 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Hệ (3.8) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) nếu với mọi điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([a, b],Rn) thỏa mãn ‖φ‖ := max t∈[−τ,0] ‖φ(t)‖∞ ≤ c1 ta đều có ‖x(t)‖∞ < c2,∀t ∈ [0, Tf ]. Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính dương và ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính đa trễ hằng số (3.8). Định lý 3.2 Cho A là một ma trận Metzler, Di ∈ Rn×n+ (i = 1, . . . , p), các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Giả sử tồn tại một véc tơ λ = (λ1, . . . , λn) T ≻ 0 21 và một số dương α sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn( −αIn + A+ p∑ i=1 e−ατiDi )T λ  0, (3.9a) c1Λ ≤ βc2e −αTf , (3.9b) ở đó β = min i∈{1,2,...,n} λi, Λ = n‖λ‖∞ + n α p∑ i=1 ( 1− e−ατi ) ‖λTDi‖∞. Khi đó hệ (3.8) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler, các ma trận Di  0(i = 1, . . . , p), nên hệ (3.8) là hệ dương theo kết quả của Định lí 1.3. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (3.8) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Đặt( −αIn + A+ p∑ i=1 e−ατiDi )T λ = −r. Khi đó r  0. Xét hàm không âm sau: V (xt) = λ Tx(t) + p∑ i=1 ∫ t t−τi eα(t−s−τi)λTDix(s)ds. (3.10) Lấy đạo hàm của hàm V (xt) dọc theo quỹ đạo của nghiệm của hệ (3.8), ta thu được đánh giá sau V˙ (xt)− αV (xt) = −αλTx(t) + λT x˙(t) + p∑ i=1 eα(t−τi) [ e−αtλTDix(t)− e −α(t−τi)λTDix(t− τi) ] − α p∑ i=1 ∫ t t−τi eα(t−s−τi)λTDix(s)ds 22 ≤ −αλTx(t) + λTAx(t) + p∑ i=1 λTDix(t− τi) + p∑ i=1 e−ατiλTDix(t) − p∑ i=1 λTDix(t− τi) = λT ( −αIn + A+ p∑ i=1 e−ατiDi ) x(t) = −rTx(t) ≤ 0. (3.11) Từ đó suy ra V˙ (xt) ≤ αV (xt), ∀t ∈ [0, Tf ]. (3.12) Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên từ 0 tới t, ta có V (xt) ≤ V (x0)e αt = V (φ)eαt = ( λTx(0) + p∑ i=1 ∫ 0 −τi eα(−s−τi)λTDix(s)ds ) eαt ≤ Λ‖φ‖eαt ≤ r1Λe αTf . (3.13) Mặt khác, ta có V (xt) ≥ λ Tx(t) ≥ β‖x(t)‖∞. (3.14) Kết hợp các điều kiện (3.13), (3.14) và (3.9b), ta thu được ‖x(t)‖∞ < c2, ∀t ∈ [0, Tf ]. Do đó hệ (3.8) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ).  Nhận xét 3.3 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Từ Định lí 3.2 và Nhận xét 3.1, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) của hệ (3.8): Bước 1. Kiểm tra xem A có là một ma trận Metzler và Di ∈ Rn×n+ (i = 1, . . . , p). Bước 2. Cho trước số dương α. Ta giải bài toán qui hoạch tuyến tính (3.9a) để tìm được véc tơ λ = (λ1, . . . , λn) T ≻ 0. 23 Bước 3. Tính β và Λ. Bước 4. Kiểm tra điều kiện (3.9b). Nếu điều kiện này thỏa mãn thì sang Bước 5. Nếu trái lại thì quay trở lại Bước 2. Bước 5. Kết luận hệ (3.8) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ). Với cách dùng chuẩn của véc tơ trạng thái x(t) là chuẩn vô cùng. Định lí 3.2 đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương đa trễ (3.8) thông qua việc giải bài toán qui hoạch tuyến tính. Tiếp theo, chúng tôi sẽ đi nghiên cứu bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ tuyến tính dương đa trễ (3.8) trong trường hợp chuẩn của véc tơ trạng thái x(t) là chuẩn Euclide (chuẩn 2). Định nghĩa 3.3 Cho các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Hệ (3.8) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1, c2, Tf ) nếu với mọi điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([a, b],Rn) thỏa mãn ‖φ‖ := max t∈[−τ,0] ‖φ(t)‖2 ≤ c1 ta đều có ‖x(t)‖2 < c2,∀t ∈ [0, Tf ]. Định lý 3.3 Cho A là một ma trận Metzler, các ma trận Di  0, (i = 1, . . . , p), các số dương Tf , c1, c2(c1 < c2). Giả sử rằng tồn tại một số dương α, một ma trận đường chéo chính xác định dương P, và p ma trận đối xứng xác định dương Q1, . . . , Qp sao cho các kiện sau đây được thỏa mãn: Ω =   Ω11 PD1 PD2 . . . PDp ∗ −Q1 0 . . . 0 ∗ ∗ −Q2 . . . 0 ∗ ∗ ∗ . . . −Qp   < 0, (3.15a) c21 λmin(P ) ( λmax(P ) + 1 α p∑ i=1 λmax(Qi) ( 1− e−ατi )) ≤ c22e −αTf , (3.15b) ở đó Ω11 = PA+ A TP − αP + p∑ i=1 e−ατiQi. Khi đó hệ (3.8) là dương và ổn định hữu hạn thời gi