Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Tích phân ngẫu nhiên stratonovich và ứng dụng

ên với các số gia độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Mactingan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4. Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5. Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.7. Quá trình lặp lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.8. Quá trình điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Tích phân Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Tính chất của tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Liên hệ với tích phân Itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. Công thức liên hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 2.3.Mở rộng tích phân Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. λ−tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Tích phân kiểu Stratonovich đối với một semi-mactingan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 3. Ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.Ứng dụng trong phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1. Chuyển đổi giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1.2. Một số phương trình Itô giải được bằng cách chuyển sang phương trình Stratonovich. . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.Ứng dụng trong lý thuyết lọc ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên truyền thống được xây dựng bắt đầu từ một loại tích phân ngẫu nhiên do Kiyosi Itô sáng tạo ra từ năm 1941, đáp ứng được việc giải quyết một loạt các phương trình ngẫu nhiên nảy sinh từ Cơ học, kinh tế Tài chính. Giải tích ngẫu nhiên Itô vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Tuy nhiên, tích phân ngẫu nhiên nói chung không giải ra được dưới dạng biểu thức đóng. Điều đó đòi hỏi phải nhờ đến các phương pháp giải tích số gần đúng. Năm 1956, tích phân Stratonovich ra đời. Người ta nhận xét rằng rất nhiều biểu thức xấp xỉ bằng số đó lại hội tụ đến tích phân Stratonovich. Trong vật lý, tích phân ngẫu nhiên xuất hiện trong lời giải của các phương trình langevin. Phương trình langevin nguyên thủy là một sự mô tả chuyển động Brown mà ta thường thấy trong chuyển động ngẫu nhiên của một loại hạt trong môi trường chất lỏng do có va chạm với các phân tử của chất lỏng: m d2x dt2 =−λ dx dt +η(t) Trong đó x là vị trí và m là khối lượng của hạt, còn lực tác động ngẫu nhiên η(t) được coi là nhiễu ngẫu nhiên có phân phối Gauss với hàm tương quan là = 2λkBTδij(t− t ′) Trong đó kB là hằng số Boltmann, T là nhiệt độ, ηi(t) là thành phần thứ i của vectơ η(t), δij là hàm Dirac. R.L.Stratonovich là một nhà toán học người Nga, sáng tạo ra tích phân này gần như đồng thời với D.L.Fisk – người đã có một công trình về tựa-martingan (quasimartingales) dưới sự hướng dẫn của giáo sư Herman Rubin 4 tại các đại học Stanford, Oregon, Michigan, Perdue và là thành viên của Viện thống kê Mỹ (IMS). Cho nên đôi khi người ta cũng gọi tích phân này là tích phân Fisk- Stratonovich, nhưng phổ biến vẫn là tên tích phân Stratonovich. Vì sự tiện dụng trong ứng dụng do công thức kiểu Itô đối với tích phân Stratonovich rất giống với vi phân hàm hợp trong Giải tích cổ điển nên tích phân này có nhiều ích lợi trong Vật lý và Cơ học. Luận văn này nhằm giới thiệu về tích phân Stratonovich và các ứng dụng thường gặp của nó trong nghiên cứu toán học. Luận văn gồm có 3 chương: • Chương 1 Kiến thức cơ sở. • Chương 2 Tích phân Stratonovich. • Chương 3 Ứng dụng của tích phân Stratonovich. Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Phương Thảo 5 Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi giới thiệu vắn tắt những khái niệm cơ bản về Quá trình ngẫu nhiên và Giải tích ngẫu nhiên Itô, để phục vụ cho những chương sau về tính toán ngẫu nhiên Stratonovich. Nội dung gồm các quá trình ngẫu nhiên, bộ lọc, thời điểm dừng, chuyển động Brown và quá trình Poisson, các tính toán ngẫu nhiên Itô (đặc biệt là định nghĩa mô tả của tích phân ngẫu nhiên Itô, nhằm nêu ra định nghĩa tương ứng về tích phân Stratonovich ở chương sau) 1.1. Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1. Các định nghĩa Cho (Ω,F,P) là một không gian xác suất, trong đó Ω là tập cơ sở, F là một σ - đại số các tập con của Ω, P là một độ đo xác suất. Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên). Cho T là một tập nào đó. Một ánh xạ X : (Ω×T )→ R sao cho với mỗi t ∈ T ánh xạ Xt : ω → Xt(ω) là đo được được gọi là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X(t), t ∈ T}. Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T} là một quá trình ngẫu nhiên. Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến thời gian. 6 Định nghĩa 1.1.2 (Quá trình đo được). Một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T} được gọi là đo được, nếu nó đo được đối với σ - trường tíchBR+⊗F. Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của R , tập hợp {(t,ω) : X(t,ω) ∈B} thuộc về σ - trường tích BR+⊗F. Đó là σ - trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0, t]×A với t ∈R+,A∈F. Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc). Một họ các σ - trường con Ft ⊂ F được gọi là một bộ lọc, thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: (i) Đó là một họ tăng, tức là Fs ⊂ Ft nếu s< t (ii) Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = ∩ ε>0 Ft+ε (iii) Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (do đó nằm trong mọi Ft). Định nghĩa 1.1.4 (quá trình thích nghi với một bộ lọc). Cho một bộ lọc bất kỳ (Ft , t ∈ R+) trên không gian (Ω,F,P). Một quá trình ngẫu nhiên Y được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu mọi Y (t) là đo được đối với σ - trường Ft . Định nghĩa 1.1.5 (thời điểm dừng). Xét không gian xác suất (Ω,F,P) trên đó ta đã cố định một bộ lọc (Ft)t∈R+ . Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0 {ω ∈Ω : τ(ω)≤ t} ∈ Ft Một thời điểm Markov τ được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là: P{ω ∈Ω : τ(ω)< ∞}= 1. Những yếu tố cơ bản để phân loại các quá trình ngẫu nhiên là không gian trạng thái, tập tham số chỉ số T và các mối quan hệ phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên Xt , t ∈ T . 7 1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên với các số gia độc lập Nếu các biến ngẫu nhiên Xt2−Xt1,Xt3−Xt2, ...Xtn−Xtn−1 là độc lập với nhau với mọi cách chọn các giá trị tham số t1, t2, ..., tn với mọi n sao cho t1 < t2 < ... < tn ta nói rằng Xt là một quá trình với các số gia độc lập. Nếu T = {0,1, ...} thì quá trình với các số gia độc lập sẽ được rút gọn lại thành một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập {Z0,Z1, ...,Zn, ...} với Z0= X0,Zi= Xi−Xi−1(i= 1,2, ...,n, ...) Khi đó nếu biết các phân phối riêng lẻ của từng biến ngẫu nhiên Z0,Z1, ... ta có thể xác định được phân phối đồng thời của mọi tập hữu hạn các biến Xi. Thật vậy, Xi = Z0+Z1+ ...+Zi, i= 1,2, ...,n, ... Nếu phân phối của các số gia X (t1+h)−X (t1) chỉ phụ thuộc vào độ dài h của khoảng (t1, t1+h)mà không phụ thuộc gì vào thời điểm t1 thì ta nói rằng quá trình có số gia dừng. Đối với quá trình có số gia dừng thì phân phối của X (t1+h)−X (t1) cũng giống như phân phối của X (t2+h)−X (t2) với mọi giá trị của t1, t2 và h. Nếu một quá trình X = {X(t), t ∈ T} với T = [0,∞) hoặc T = {0,1, ...} có các số gia độc lập và dừng và có trung bình hữu hạn thì dễ thấy rằng EXt = m0+m1t trong đó m0 = E(X0) và m1 = E(X1)−m0. 1.1.3. Mactingan Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt , t ≥ 0} thích nghi với bộ lọc (Ft) thỏa mãn các điều kiện sau: (i) E |Xt |< ∞ với mọi t ≥ 0 8 (ii) E (Xt |Fs) = Xs với 0≤ s≤ t, t ∈ T Khi đó {Xt} được gọi là mactingan đối với bộ lọc (Ft) Với mọi 0≤ s≤ t, • Nếu Xt thỏa mãn điều kiện (i) và E (Xt |Fs )≤ Xs thì {Xt} được gọi là mactingan trên • Nếu Xt thỏa mãn điều kiện (i) và E (Xt |Fs )≥ Xs thì {Xt} được gọi là mactingan dưới Mactingan có thể được xem như một mô hình thích hợp cho các trò chơi công bằng, theo nghĩa là Xt biểu thị cho số tiền mà người chơi có tại thời điểm t và tính chất mactingan ở đây nói lên rằng, nếu người chơi đã có một số tiền là an ở thời điểm tn, thì về mặt trung bình mà nói, số tiền mà người đó có được tại thời điểm tn+1 cũng vẫn là an mặc cho diễn biến quá khứ cuộc chơi như thế nào. 1.1.4. Quá trình Markov Nói một cách sơ lược, một quá trình {Xt} là một quá trình Markov, nếu một khi ta đã biết giá trị Xs của quá trình đó tại thời điểm s, thì mọi giá trị Xt với t > s không phụ thuộc vào các giá trị Xu với u< s . Nghĩa là P{a< Xt ≤ b |Xt1 = x1,Xt2 = x2, ...,Xtn = xn}= P{a< Xt ≤ b |Xtn = xn} (1.1.1) với mọi t1 < t2 < ... < tn < t Cho A là một đường thẳng thực. Hàm số P{s,x; t,A}= P{Xt ∈ A |Xs = x} , t > s được gọi là hàm xác suất chuyển. Ta có thể biểu diễn (1.1.1) như sau P{a< Xt ≤ b |Xt1 = x1,Xt2 = x2, ...,Xtn = xn}= P{tn,xn; t,A} với A= (a;b] 9 1.1.5. Quá trình Gauss Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt , t ∈ T} được gọi là một quá trình Gauss, nếu mọi tổ hợp tuyến tính có dạng Z = N ∑ i=1 αiXti với ti ∈ T, i= 1,N là một biến ngẫu nhiên chuẩn. Nói cách khác, {Xt} là Gauss nếu mọi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn. 1.1.6. Quá trình dừng Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt , t ∈ T} gọi là một quá trình dừng chặt hoặc dừngmạnh nếu các hàm phân phối của hai họ các biến ngẫu nhiên { Xt1+h,Xt2+h, ...,Xtn+h } và {Xt1,Xt2, ...,Xtn} là như nhau với mọi h > 0 , mọi t1, t2, ..., tn ∈ T và mọi n ∈ N . Điều kiện này khẳng định rằng về bản chất, quá trình dừng là một quá trình cân bằng về mặt xác suất và các thời điểm riêng biệt tại đó ta xem xét quá trình đều có vai trò như nhau. Nói riêng, phân phối của Xt là như nhau đối với mọi t ∈ T. Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt , t ∈ T} là một quá trình dừng theo nghĩa rộng hoặc dừng yếu, hoặc dừng tương quan, nếu EX2t < ∞ với mọi t và cov(Xt ,Xt+h) := E (XtXt+h)−EXtEXt+h chỉ phụ thuộc vào h. Các quá trình dừng rất thích hợp để mô tả nhiều hiện tượng xảy ra trong thông tin liên lạc, trong thiên văn học, sinh học và kinh tế, tài chính. 1.1.7. Quá trình lặp lại Một quá trình lặp lại là một dãy Tk các biến ngẫu nhiên dương độc lập cùng phân phối, nó biểu diễn thời gian tồn tại của những phần tử nào đó. Một phần tử được sinh ra vào thời điểm T0 = 0, nó biến mất tại thời điểm T1, tại đó một phần tử mới ra đời rồi biến mất tại thời điểm T1+T2, và cứ như vậy tiếp diễn, thủ tục đó cứ tiếp tục lặp lại có tên gọi là quá trình lặp lại. Thời điểm để sản sinh ra phần tử thứ n là Sn = T1+T2+ ...+Tn Ta gọi quá trình đếm lặp lại Nt = n là một quá trình đếm các số lần lặp lại trong khoảng thời gian [0, t]. Một cách hình thức, a có thể viết như sau: 10 Nt = n với Sn ≤ t ≤ Sn+1,n= 0,1,2, ... 1.1.8. Quá trình điểm Cho S là một tập hợp trong không gian n -chiều và A là một họ các tập con của S. Một quá trình điểm là một quá trình ngẫu nhiên có chỉ số là các tập A ∈A và có không gian trạng thái là tập các số nguyên không âm Z+. Ta quan niệm điểm ở đây nằm rải rác trong S một cách ngẫu nhiên, và kí hiệu N(A) là số điểm nằm trong A mà ta đếm được. Vì N(A) là một hàm đếm nên phải có tính chất cộng tính: N (A1∪A2) = N (A1)+N (A2) với A1,A2 ∈A , A1∪A2 ∈Avà A1∩A2 = /0, và nếu /0 ∈A thì phải có N( /0) = 0 . Giả sử S là một tập trên đường thẳng (mặt phẳng hoặc không gian thực 3 chiều) và với mỗi tập A⊂ S ta đặt V (A) là độ đo Lebesgue của A (độ dài, diện tích, thể tích). Khi đó {N(A),A⊂ S} là một quá trình điểm Poisson thuần nhất với tham số λ nếu: • với A ⊂ S , N(A) là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λV (A). • Với một họ hữu hạn {A1,A2, ...,An} các tập con rời rạc nhau của S thì các biến ngẫu nhiên N(A1), ...,N(An) là độc lập. Các quá trình điểm Poisson xuất hiện khi người ta nghiên cứu phân bố của các ngôi sao hoặc các dải ngân hà, về phân bố các vi khuẩn trong một môi trường nào đó. 11 1.2. Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng 1.2.1. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.2.1. Một quá trình ngẫu nhiên liên tục W = {W (t), t ∈ T} với T = [0;+∞) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (i) W0 = 0 hầu chắc chắn (ii) W có số gia độc lập, tức là với 0= t0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu nhiên Wt1−Wt0,Wt2−Wt1, ...,Wtn−Wtn−1 là độc lập. (iii) với 0≤ s< t thì biến ngẫu nhiênWt−Xs có phân bố chuẩn N (0; t− s). Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (iii), phương sai củaWt−Ws là σ2(t− s) Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa tương đương). Một quá trình ngẫu nhiênW = {Wt , t ≥ 0} được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown, nếu nó là một quá trình Gauss sao cho: (i) E(Wt) = 0,∀t (tứcWt là qui tâm) (ii) Hàm tương quan R(t,s) =min(t,s). Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai σ2 là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là R(t,s) = σ2.min(t,s) Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener Cho (Wt) là một quá trình Wiener 1. Wt là một mactingan đối với FWt (σ - trường nhỏ nhất sinh bởiWs,s≤ t còn gọi là lịch sử củaW tính cho đến thời điểm t) 12 2. Với mỗi ω ∈Ω, quỹ đạoWt(ω) không khả vi tại bất cứ điểm nào theo t. 3. Với mỗi ω ∈ Ω, hầu hết mọi quỹ đạoWt(ω) đều không có biến phân bị chặn trên bất kỳ khoảng hữu hạn nào. 4. Wt tuân theo luật lôga lặp như sau: P { ω : limsup t→∞ Wt(ω)√ 2t log log t = 1 } = 1 5. Cho BR là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên R. Với mỗi t > 0 và f ∈BR ta định nghĩa một hàm Pt f trên R xác định bởi: (Pt f )(x) = 1 (2pit) 1 2 ∫ R f (y)exp [ −|y− x| 2 2t ] dy Khi đó, (i) Pt f ∈BR (ii) Với 0 < s < t và f ∈ BR thì (Pt−s f )(x) = E [ f (Wt) |Ws = x ] hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue trên R (iii) E [ f (Wt) ∣∣FWs ]= E [ f (Wt) |Ws ] = (Pt−s f )(Ws) Chứng tỏW là một quá trình Markov. Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown NếuWt là một quá trình Wiener, dễ dàng kiểm nghiệm rằng cảWt và W2t − t là các mactingan (đối với Fwt ). Ngược lại, người ta cũng chứng minh được rằng: Định lý 1.2.1. ChoWt là một quá trình ngẫu nhiên liên tục, sao cho: Wt là một mactingan,W0 = 0 h.c.cW 2t − t là một mactingan (đối với Fwt ) (1.2.2) Khi đóWt là một quá trình Wiener. 13 Do đó ta thấyWt là một quá trình Wiener nếu và chỉ nếu điều kiện (1.2.2) được thực hiện Điều kiện (1.2.2) được gọi là đặc trưng Lévy của quá trình Wiener. 1.2.2. Quá trình Poisson a) Quá trình đếm Một quá trình ngẫu nhiên (Nt , t ≥ 0) được gọi là một quá trình đếm (hay quá trình điểm) nếu Nt biểu thị tổng số lần một biến cố nào đó xảy ra cho đến thời điểm t. Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gian liên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiên T0,T1,T2, ... sao cho: T0 = 0 0≤ T1 < T2 < ... và lim n→∞Tn = ∞. Khi đó có thể viết Nt =  n nếu t ∈ [Tn,Tn+1] ,n≥ 0∞ nếu t = ∞ Hoặc Nt = ∞ ∑ n=0 n.1[Tn,Tn+1] b) Quá trình Poisson Một quá trình ngẫu nhiên N = {Nt , t ∈ T} được gọi là một quá trình Poisson, nếu: (i) N0 = 0. (ii) {Nt} có số gia độc lập, tức là với 0= t0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu nhiên Nt1−Nt0,Nt2−Nt1, ...,Ntn−Ntn−1 là độc lập. (iii) Với 0≤ s< t thì biến ngẫu nhiên Xt−Xs có phân bố Poisson với tham số λ (t−s). Chú ý: Số biến cố xảy ra trong khoảng thời gian nào đó có độ dài t là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là λ t(λ > 0). Điều đó có nghĩa là, với mọi 14 s, t ≥ 0, ta có P{Nt+s−Ns = n}= e−λ t (λ t) n n! ;n= 0,1,2, ... Từ đó ta có E(Nt) = λ t. Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson. Đặc trưng Watanabe của một quá trình Poisson Nếu {Nt} là một quá trình Poisson với cường độ λ > 0 thì dễ dàng thấy rằng Nt−λ t là một mactigan đối với FNt . Đối với quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì Nt− t là một mactigan đối với FNt . Ngược lại ta cũng có: Định lý 1.2.2. Cho Nt là một quá trình ngẫu nhiên khả tích với mọi t, có số gia độc lập, N0 = 0 sao cho với ∀t ≥ 0 thì Nt −λ t là một mactigan đối với FNt . Khi đó Nt là một quá trình Poisson với cường độ là λ . Nói riêng, nếu Nt−t là một mactingan thì Nt là một quá trình Poisson tiêu chuẩn. 1.3. Tích phân Itô 1.3.1. Tích phân Riemann-Stieltjes Tích phân Riemann-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm g liên tục và có biến phân giới nội trên đoạn thẳng [0, t]⊂ R được định nghĩa bởi t∫ 0 f dg= lim max(ai−ai−1)→0 n ∑ i=1 f (xi) [g(ai)−g(ai−1)] với xi ∈ (ai−1,ai) và với mọi phân hoạch 0= a0 < a1 < ... < an = t, nếu giới hạn trên tồn tại. Trường hợp đặc biệt khi mà g(t) = t thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa của tích phân Riemann. Nếu f và g không phải là hàm số mà là các quá trình ngẫu nhiên, sao cho f liên tục và g có biến phân hữu hạn, thì ta vẫn có thể định nghĩa được tích phân Riemann- Stieltjes t∫ 0 f dg như trên. (Bản thân tích phân cũng sẽ là một quá trình ngẫu nhiên, 15 vì ta định nghĩa nó cho từng tình huống và từng mốc thời gian). Thế nhưng khi mà g =Wt là một chuyển động Brown, thì định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes nói chung không còn áp dụng được nữa. Tuy mỗi quỹ đạo t →Wt là một hàm liên tục của t, nhưng ta đã biết là hầu hết mọi quĩ đạo là những hàm không có biến phân giới nội trên bất cứ khoảng hữu hạn nào. Vậy không thể định nghĩa tích phân Ito như một tích phân Stieltjès. Ta phải tìm một cách xây dựng khác. Nhà toán học K.Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho một lớp các hàm ngẫu nhiên nào đó dựa theo nguyên tắc “ánh xạ đẳng cự”. 1.3.2. Định nghĩa tích phân Itô Luôn luôn ta xét các quá trình ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω,F,P) trên đó có một bộ lọc (Ft)t∈T là một họ tăng các σ− trường con của F; trong đó T là một tập Borel nào đó thuộc R+. Thông thường ta lấy T là một đoạn [0, t] nào đó. Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f (t,ω), t ≥ 0 là một hàm ngẫu nhiên. 1. Ta nói rằng f (t,ω) là đo được dần (đối với lọc (Ft) ) nếu với mỗi t ≥ 0, hàm (s,ω)→ f (s,ω) xác định trên [0; t]×Ω làBt×F(t) -đo được. Ở đóBt là σ -đại số Borel của [0, t]. 2. Ký hiệu N2(0,T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t,ω) đo được dần và E ( T∫ 0 f 2(t,ω)dt ) < ∞ N2(0,T ) là không gian Banach với chuẩn ‖ f‖2 = E ( T∫ 0 f 2(t,ω)dt ) . 3. Ký hiệu N1(0,T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t,ω) đo được dần và E ( T∫ 0 | f (t,ω)|dt ) < ∞. 16 N1(0,T ) là không gian Banach với chuẩn ‖ f‖= E ( T∫ 0 | f (t,ω)|dt ) Tư tưởng của việc xây dựng tích phân Itô như sau Trước hết ta định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên bậc thang Định nghĩa 1.3.2. Một hàm ngẫu nhiên f ∈ N2(0,T ) được gọi là một hàm bậc thang nếu tồn tại một phép phân hoạch I: 0 = t0 < t1 < ... < tn = T của [0,T ] sao cho f (t,ω) = ci(ω) nếu ti ≤ t < ti+1, Tức là f (t,ω) = n−1 ∑ i=0 ci(ω)1[ti,ti+1)(t) (1.3.3) Nếu f là hàm ngẫu nhiên bậc thang có dạng (1.3.3) ta định nghĩa tích phân Itô của f trên đoạn [0,T ] bằng công thức: T∫ 0 f dW = n−1 ∑ i=0 ci(ω)(W(ti+1)−W(ti)) Tiếp theo ta chứng tỏ rằng mỗi hàm f ∈ N2(0,T ) có thể xấp xỉ bởi các hàm bậc thang: Định lý 1.3.1. Giả sử f ∈ N2(0,T ). Khi đó tồn tại một dãy các hàm ngẫu nhiên bậc thang, bị chặn gn ∈ N2(0,T ) sao cho E  T∫ 0 | f −gn|2dt → 0 Gọi S là không gian tuyến tính các hàm ngẫu nhiên bậc thang. Khi đó theo định lí 1.3.1 thì S là trù mật trong N2(0,T ). Ta định nghĩa ánh xạ I : S→ L2(Ω) bởi I( f ) = n−1 ∑ i=0 ci(ω)(W(ti+1)−W(ti)) nếu f có dạng (1.3.3). 17 Theo tính chất của hàm ngẫu nhiên bậc thang suy ra I là đẳng cự. Từ đó I có thể mở rộng thành một đẳng cự lên toàn bộ N2(0,T ). Ký hiệu I( f ) = T∫ 0 f dW Và I ( f ) được gọi là tích phân Itô của f trên đoạn [0,T ]. Định nghĩa mô tả Tích phân Itô của một hàm ngẫu nhiên đo được dần f (t,ω) có thể được định nghĩa như một giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình như sau I( f ) = T∫ 0 f (t,ω)dW = l.i.m |∆|→0 n−1 ∑ i=1 f (ti,ω) [ Wti+1−Wti ] trong đó |∆|=max |tk+1− tk| với mọi phân hoạch t0 = 0< t1 < ... < tn = T 1.3.3. Tính chất của tích phân Itô Với mọi hằng số a,b ∈ R và với mọi hàm ngẫu nhiên f ,g ∈ N2(0,T ) ta có: • T∫ 0 (af+bg)dW= a T∫ 0 f dW +b T∫ 0 gdW . • E ( T∫ 0 f dW ) = 0. • E ( T∫ 0 f dW )2 = E ( T∫ 0 f 2dt ) . • Xt = t∫ 0 f (s,ω)dWs là một mactingan đối với FWt , với ∀t ∈ [0,T ] 18 1.3.4. Công thức Itô Định nghĩa 1.3.3 (vi phân ngẫu nhiên). Giả sử hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ [0;T ] có dạng X(t) = X(0))+ t∫ 0 f (s,ω)ds+ t∫ 0 g(s,ω)dW(s) Ở đó f ∈ N1(0,T ),g ∈ N2(0,T ) và mọi t : 0≤ t ≤ T. Khi đó ta nói X có vi phân ngẫu nhiên là dX(t) = f (t,ω)dt+g(t)dW(t) và viết gọn là dX(t) = f (t)dt+g(t)dW Công thức Itô Định lý 1.3.2. Giả sử X = X(t), t ∈ [0;T ] có vi phân ngẫu nhiên dX(t) = f (t)dt+ g(t)dW. Cho u(t,x) là hàm liên tục xác định trên [0;T ]×R với các đạo hàm riêng ut ,ux,uxx liên tục. Xét hàm ngẫu nhiên Y = Y (t), t ∈ [0;T ] xác định bởi Y (t) = u(t,X(t)) Khi đó Y có vi phân ngẫu nhiên dY (t)= ( ut (t,X(t))+ux (t,X(t)) f (t)+ 1 2 uxx (t,X(t))g2(t) ) dt+ux (t,X(t))g(t)dW(t) Công thức Itô được viết gọn dưới dạng: du(t,X) = ut(t,X)dt+ux(t,X)dX+ 1 2 uxx(t,X)g2dt . 1.3.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô Định nghĩa 1.3.4. Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên dX(t) = f (t,X(t))dt+g(t,X(t))dW(t) (1.3.4) 19 trong đó f ∈ N1(0,T ) và g ∈ N2(0,T ), Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Nếu xem X(t) là quá trình ngẫu nhiên ta phải tìm, thì hệ thức (1.3.4) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.3.5. Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt(ω), t ∈ [0,T ]} được gọi là một lời giải của phương trình (1.3.4) với điều kiện ban đầu X(0) = Z (1.3.5) trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W= {Wt , t ≥ 0} sao cho E ( Z2 ) < ∞ , nếu X thỏa mãn các giả thiết sau: (i) Xt thích nghi với Ft = FWt = σ (Ws,s≤ t) và là đo được đối với σ - trường tích B[0,T ]⊗Ft . (ii) E t∫ 0 X2s ds< ∞,∀t ∈ [0,T