Nghiên cứu việc dạy học hệ phượng trình bậc nhất hai ẩn thong mối liên hệ với mô hỉnh hóa toán học

uãng đường nhưng SGK không đề cập đến mô hình trung gian là các sơ đồ đường đi. Thực tế thì kiểu nhiệm vụ này được xem như là học sinh đã biết và không còn bỡ ngỡ nữa. Theo SGV9 “Điều khác biệt duy nhất là việc chọn hai ẩn thay vì trước đây chỉ chọn một ẩn. Do đó, GV có điều kiện tập trung vào phân tích các mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán để từ đó đưa ra cách chọn ẩn thích hợp và lập được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thích hợp.” [SGV9; tr.20] 41 Như vậy SGV có nhấn mạnh sự cần thiết của việc phân tích bài toán để đưa ra cách chọn ẩn và lập được hệ phương trình thích hợp nghĩa là xây dựng mô hình toán học phù hợp. Thực tế, việc trình bày của SGK có nhắm đến mục tiêu này hay không hay nó hoàn toàn thuộc về trách nhiệm của giáo viên. Đến tiết thứ hai, SGK9 đề cập đến vấn đề tương đối mới với học sinh đó là năng suất và thời gian để hoàn thành công việc. “Ví dụ 3: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? Cách giải Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là một công việc), ta suy ra trong một ngày hai đội làm chung được 1 24 (công việc). Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm được trong một ngày và số ngày cần thiết để hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (trong bài toán này, ta hiểu số ngày là một đại lượng không nhất thiết phải nguyên). Vậy ta có thể giải bài toán như sau: Gọi x là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc; y là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc. Điều kiện của ẩn x và y là những số dương. Mỗi ngày, đội A làm được 1 x (công việc), đội B làm được 1 y (công việc). Do mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình: 1 11,5 x y = hay: 1 3 1 2x y = (2.14) Hai đội làm chung 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được 1 24 (công việc). Ta có phương trình: 1 1 1 24x y + = (2.15) Từ (2.14) và (2.15) ta có hệ phương trình: 1 3 1. 2 1 1 1 24 x y x y   = +  =    (2.16)” [SGK9; tr.22-23] 42 Mô hình toán học đã được định sẵn ngầm ẩn trong bài toán. Việc chọn ẩn trong ví dụ này SGK9 cũng thực hiện như các ví dụ trên: chọn ẩn là đại lượng cần tìm được nêu trong đề “Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?”. Ta thấy mặc dù ẩn liên quan đến thời gian nhưng SGK không dùng kí hiệu t (kí hiệu thường dùng cho thời gian) mà gọi ẩn là x và y. Các mối quan hệ trong bài toán trên ít nhiều gây khó khăn cho học sinh trong việc lập phương trình (các đại lượng năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau). Để lập được phương trình từ giả thiết “Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B”, với cách đặt ẩn như trên, học sinh trước hết cần tính số phần công việc mà mỗi đội làm được trong một ngày từ đó mới lập được phương trình 1 11,5 x y = . Việc lập phương trình thứ hai cũng vậy đòi hỏi học sinh phải hiểu được mối quan hệ giữa năng suất và thời gian. Hệ phương trình lập được không phải là hệ phương trình bậc nhất nhưng nó được hướng dẫn giải quyết bằng hoạt động 6: “Giải hệ (2.16) bằng cách đặt ẩn phụ 1 1;u v x y   = =    rồi trả lời bài toán đã cho.” [SGK9; tr.23] Với việc đặt ẩn phụ 1 1;u v x y = = ta được hệ phương trình: 3 . 2 1 24 u v u v   = +  =    Giải hệ phương trình này ta được 1 40 1 60 u v  =   =  , từ đó ta có kết quả 40 60 x y =  = . Thực tế việc giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì học sinh đã gặp trong bài tập 27 trang 20 SGK9. Bài toán trên có thể có những cách chọn ẩn khác nhau. SGK9 hướng dẫn cách chọn ẩn khác thông qua hoạt động 7. 43 “Hãy giải bài toán trên bằng cách khác (gọi x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A; y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B). Em có nhận xét gì về cách giải này?” [SGK9; tr.23] Theo hướng dẫn trên chúng ta có thể gọi x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A; y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B. Khi đó ta có hệ: 3 2 1 24 x y x y  =   + =  Giải hệ phương trình này ta được 1 40 1 60 x y  =   =  , từ đó chúng ta suy ra được kết quả bài toán: đội A hoàn thành công việc trong 40 ngày; đội B hoàn thành công việc trong 60 ngày. Để suy ra được kết quả này đòi hỏi học sinh phải suy luận. Trong cách gọi ẩn như trên, ẩn không phải là đại lượng được nêu trong bài toán. Trong hai cách chọn ẩn được hướng dẫn bởi SGK thì cách thứ nhất dễ thực hiện hơn (vì ẩn được nêu tường minh trong câu hỏi). Cách chọn ẩn này chúng ta lập được hệ không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cần thiết phải đặt ẩn phụ để giải. Theo SGV9, “Trong bài giải, SGK dùng phương án chọn ẩn trực tiếp, tức là chọn chính đại lượng mà bài toán cần tìm làm ẩn. Cách chọn ẩn như vậy cho phép dễ dàng lập hệ phương trình”[SGV9; tr.20]. Như vậy, qua ví dụ 3, SGK đã ngầm ẩn đề cập đến một khía cạnh quan trọng của quá trình mô hình hóa, đó là cần thiết lập mô hình toán học sao cho phù hợp với tình huống thực tế và cho phép giải quyết tình huống tối ưu nhất. Với một tình huống thực tế, có thể tồn tại nhiều mô hình toán học khác nhau. Vấn đề là cần phải 44 đánh giá để lựa chọn ra mô hình tốt. Tuy nhiên, vấn đề có thể chọn ẩn khác nhau trong kiểu nhiệm vụ giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình chỉ được đề cập đến duy nhất một lần trong ví dụ 3 này. Trong tất cả các bài tập còn lại, ẩn luôn được chọn là đại lượng cần tìm trong đề toán. Đặc trưng này cùng với chỉ dẫn của SGK “Cách chọn ẩn như vậy cho phép dễ dàng lập hệ phương trình” sẽ dẫn đến hình thành nơi học sinh quy tắc hợp đồng là luôn chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong đề toán. Ở cuối bài, SGK9 đưa ra các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. “Bước 1: Lập hệ phương trình. - Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng. - Biễu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn. - Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên. Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.” [SGK9; tr.26] Mô hình toán học trong các bài toán của kiểu nhiệm vụ “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” hầu hết đã định sẵn (ngầm ẩn hoặc tường minh), học sinh chỉ cần đặt ẩn và lập hệ. Trong các bước của quá trình mô hình hóa toán học, chỉ có bước 3 được giải thích bởi các kiến thức có trong phần lý thuyết (các phương pháp giải hệ phương trình). Hệ phương trình lập được luôn luôn là hệ có số phương trình bằng số ẩn (hệ hai phương trình hai ẩn, bậc nhất hoặc không phải bậc nhất nhưng đưa về hệ bậc nhất bằng cách đặt ẩn phụ) và giải được nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Trong bước 2 ẩn luôn được chọn là các đại lượng được hỏi trong bài toán. Bước 3 luôn cho kết quả vì các nghiệm tìm được luôn thỏa mãn điều kiện. Trong lời giải của SGV9, chúng tôi thấy luôn luôn có bước đặt điều kiện cho ẩn. Tuy vậy, bước này dường như chỉ là hình thức vì các dữ kiện của bài toán luôn luôn được chọn sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn các điều kiện của ẩn. Do đó, học sinh không 45 có trách nhiệm kiểm tra các kết quả toán học nhận được có phù hợp với thực tế hay không. Các bài toán thực tế không biểu diễn những tình huống “thực tế” với tất cả sự phức tạp của nó mà chỉ là những mô hình khá gần với mô hình toán học cần xây dựng (mô hình toán học đã xác định trước). Các bài toán này luôn cho đủ dữ kiện, nhiệm vụ của học sinh là lập hệ và giải hệ đã lập rồi trả lời yêu cầu bài toán. Đại lượng cần tính đến như ẩn luôn được nêu tường minh trong câu hỏi ở cuối bài toán. Hệ phương trình tìm được luôn có nghiệm duy nhất và thỏa mãn yêu cầu đề bài, có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc hệ phương trình hai ẩn không bậc nhất (trường hợp này hầu như học sinh chỉ gặp dạng 1 1, x y ). Kiểu nhiệm vụ T1 (giải hệ cho sẵn thuần túy toán học) được chú trọng nhiều nhất (79/148). Kiểu nhiệm vụ T2 cũng được quan tâm, số lượng bài tập đưa ra nhiều (44/148). Số bài toán đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là 33, số bài toán đưa về hệ phương trình hai ẩn không bậc nhất là 11. Sách giáo khoa ưu tiên sử dụng hệ phương trình tuyến tính để giải quyết các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T2, các phương pháp khác như phương pháp thử sai; phương pháp lập phương trình một ẩn; không hề được đề cập. Học sinh sử dụng công cụ sẵn có là hệ phương trình tuyến tính, không có trách nhiệm đặt ra câu hỏi lựa chọn công cụ toán học nào hữu hiệu nhất. Các bài toán được xây dựng xung quanh các chủ đề: tìm hai số; quãng đường, thời gian và vận tốc; năng suất và thời gian; hình học và các bài toán khác về hỗn hợp 2 chất, các bài toán về sách, các bài toán về tỉ lệ, các bài toán yêu cầu tìm số quả quýt, quả cam; số ghế, số học sinh.... Những phân tích trên cho phép chúng tôi dự đoán sự tồn tại ở học sinh các quy tắc hợp đồng sau liên quan đến vấn đề mô hình hóa toán học bằng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: R1: Để giải bài toán cần lập một hệ hai phương trình hai ẩn. 46 R25: Ẩn được chọn là đại lượng cần tìm trong đề toán và xuất hiện tường minh trong đề toán. Ẩn được kí hiệu là x, y. 2.2.3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK106 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK10 được trình bày trong “Chương 3: Phương trình , hệ phương trình”. SGK10 xem như học sinh đã học về hệ phương trình này nên mục đích chỉ là nhắc lại kiến thức cũ. SGV10 nêu rõ: “Ôn tập về phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Vì học sinh đã học phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 9 nên SGK không trình bày lại cách giải mà nhắc lại bằng các hoạt động 1,2 và 3.” [SGV10; tr.75] Trước tiên, SGK10 nhắc lại định nghĩa về phương trình bậc nhất hai ẩn, biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình này cũng được nhắc lại. Sau đó, SGK10 nêu định nghĩa tổng quát về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Các kỹ thuật giải cũng không được nhắc lại, SGK10 thông qua hoạt động 3 yêu cầu học sinh tự thực hiện lại các kỹ thuật (ở đây chỉ có kỹ thuật thế và cộng đại số). Chúng tôi nhận thấy SGK10 cũng chỉ chú ý đến kiểu nhiệm vụ T1, kiểu nhiệm vụ T2 không được chú ý, không được nhắc đến trong phần lý thuyết và số lượng bài tập ít (chỉ có 8 bài kể cả sách giáo khoa và sách bài tập). Các bài trong kiểu nhiệm vụ này giống như lớp 9: Tìm hai số; quãng đường, thời gian và vận tốc; năng suất và thời gian, hình học. Việc chọn ẩn trong kiểu nhiệm vụ này cũng chính là các đại lượng cần tìm trong yêu cầu bài toán; theo hướng dẫn giải trong SGV10 5 Một phần của R2 đã được kiểm chứng trong luận văn của Nguyễn Thị Minh Vân (2012). 6 Liên quan đến, kiểu nhiệm vụ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, SGK10NC chỉ có 1 bài tập về vận tốc xuôi dòng và ngược dòng, tương tự như ở lớp 9. Số lượng bài tập trong SGK10 phong phú hơn. Vì vậy, chúng tôi chỉ phân tích SGK10. 47 và BTĐS10 thì đa số trường hợp ẩn vẫn được kí hiệu là x, y; hệ phương trình lập được là hệ bậc nhất hai ẩn hoặc không bậc nhất (vẫn là trường hợp 1 1; x y ). Tuy nhiên, có một trường hợp SGV đề cập một bài toán (năng suất – thời gian) mà kí hiệu ẩn có liên quan đến tình huống thực tế hơn: “Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai sơn được 4 giờ thì họ sơn được 5 9 bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ còn lại 1 18 bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường.” [SGK10; tr.70] Hướng dẫn giải trong sách giáo viên: “Gọi t1 (giờ) là thời gian người thứ nhất sơn xong bức tường, t2 (giờ) là thời gian người thứ hai sơn xong bức tường; điều kiện t1 > 0, t2 > 0. Trong một giờ người thứ nhất sơn được 1 1 t bức tường, người thứ hai sơn được 2 1 t bức tường. Theo đầu bài ta có: 1 2 7 4 5 9t t + = Sau 4 giờ làm việc chung họ sơn được: 4 1 7 9 18 18 − = (bức tường) Vậy ta có 1 2 4 4 7 18t t + = []” [SGV10; tr.79] Trong bài toán này SGV gọi ẩn là t1, t2 gắn với tình huống thực tế hơn, đến khi đặt ẩn phụ giải hệ thì mới chọn ẩn là x, y. Việc lập các phương trình trong bài toán này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ bản chất của tình huống mối liên hệ giữa năng suất và thời gian. Hai phương trình trong bài toán này đòi hỏi học sinh phải tính được số phần làm được trong một giờ của mỗi công nhân. Ngoài cách gọi ẩn trực tiếp như hướng dẫn của SGV, bài toán này chúng ta có thể gọi ẩn gián tiếp: x, y 48 là năng suất làm việc lần lượt của mỗi công nhân (số phần công việc hoàn thành trong một giờ). Tuy nhiên, với cách gọi ẩn trực tiếp thì hệ phương trình nhận được dễ dàng hơn và cũng không khó để giải (tương tự SGK9). Vì vậy, SGV đã chọn cách này. Mô hình toán học trong kiểu nhiệm vụ này cũng đã được định sẵn, học sinh chỉ có nhiệm vụ chọn ẩn, lập hệ phương trình và giải. Quá trình mô hình hóa không được thực hiện đầy đủ các bước và đúng nghĩa. Thật vậy, các bài toán trong kiểu nhiệm vụ này được cho với những điều kiện ràng buộc như SGK9. Bài toán cho đủ dữ kiện, không thừa, không thiếu, yêu cầu tìm hai đại lượng, hệ phương trình lập được giải được bằng các phương pháp đã học và ra nghiệm thỏa yêu cầu đề bài. Việc đối chiếu kết quả với tình huống thực tế chỉ là hình thức vì tất cả các nghiệm tìm được đều thỏa mãn bài toán. 2.3. Kết luận Phần phân tích trên đã cho phép chúng tôi làm rõ những đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam đối với việc dạy học hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học. Chúng tôi có một số kết luận sau: - Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, các bài toán thực tiễn được giải quyết bằng công cụ hệ phương trình tuyến tính chỉ được đề cập trong các giáo trình Đại số tuyến tính dành cho kinh tế. Ở đó, vấn đề mô hình hóa toán học không được quan tâm vì trong các bài toán, mô hình toán học luôn được cho sẵn. Sinh viên chỉ có trách nhiệm làm việc với mô hình toán học và chuyển câu trả lời toán học về câu trả lời cho bài toán kinh tế. - Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, trước khi hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn chính thức được dạy trong chương trình lớp 9, tri thức này đã xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình lớp 4 thông qua bài toán “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó”, các bài toán này bước đầu đã có nội dung thực tế. 49 Phương pháp giải bài toán này là sơ đồ đoạn thẳng tương ứng với cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình chủ yếu xuất hiện ở lớp 9 còn ở lớp 10 ít được chú trọng. Mô hình toán học trong các bài toán này hầu hết đã được định sẵn, quá trình mô hình hóa được thực hiện không đầy đủ chỉ thực hiện ở bước 2, bước 3. Bước 4 chỉ là hình thức và chu kì kiểm tra dừng lại ngay lần thực hiện đầu, vì kết quả tìm được luôn là kết quả của bài toán. Bước 2 bị chi phối bởi các quy tắc hợp đồng R1 và R2: R1: Để giải bài toán cần lập một hệ hai phương trình hai ẩn. R2: Ẩn được chọn là đại lượng cần tìm trong đề toán và xuất hiện tường minh trong đề toán. Ẩn được kí hiệu là x, y. Chúng tôi cũng đồng ý với các kết luận của tác giả Nguyễn Thị Minh Vân (2012) về những ràng buộc của kiểu nhiệm vụ này: + Đề toán yêu cầu tìm 2 đại lượng. + Mối liên hệ giữa hai giá trị cần tìm không được chỉ ra một cách rõ ràng. + Hệ phương trình lập được từ đề toán phải đưa được về một hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn. + Dữ kiện của bài toán rõ ràng, vừa đủ cho việc lập hệ phương trình. Kiểu nhiệm vụ này được đề cập xoay quanh 5 loại bài toán: tìm hai số; quãng đường, thời gian và vận tốc; năng suất và thời gian; hình học và các bài toán khác (về hỗn hợp 2 chất, các bài toán về sách, các bài toán về tỉ lệ, các bài toán yêu cầu tìm số quả quýt, quả cam; số ghế, số học sinh....). Chúng tôi không tìm thấy dấu vết của các mô hình tuyến tính trong kinh tế (được trình bày ở bậc đại học) trong SGK phổ thông. Đặc biệt hơn, ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong các bài toán trong lĩnh vực kinh tế (liên quan đến giá cả, chi phí) hoàn toàn vắng bóng trong SGK phổ thông Việt Nam. 50 Qua phân tích SGK phổ thông chúng ta nhận thấy việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được tiến hành theo tiến trình sau: Dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải  Áp dụng hệ phương trình tuyến tính để giải quyết một số vấn đề thực tế. Theo Lê Văn Tiến (2005), đây là quy trình dạy học mô hình hóa. Tuy nhiên, với các đặc trưng và ràng buộc của thể chế như trên đã phân tích thì việc dạy học mô hình hóa này chưa thực sự diễn ra theo đúng các bước của quá trình mô hình hóa. Vấn đề cốt lõi ở đây chỉ là áp dụng kiến thức toán học đã xác định (hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) vào việc giải quyết một số dạng toán quen thuộc. Nguồn gốc thực tiễn của khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cũng như vai trò công cụ của nó khá mờ nhạt. Hơn nữa, vấn đề dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa đã không được tính đến. Thật vậy, hệ phương trình được đưa vào SGK một cách trực tiếp như là một đối tượng nghiên cứu chứ không xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề của toán học và của thực tế. Làm thế nào để xây dựng được những tình huống dạy học sao cho khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nảy sinh qua nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế, đồng thời nâng cao khả năng vận dụng toán học vào cuộc sống hằng ngày ở học sinh? Câu hỏi này thúc đẩy chúng tôi nghiên cứu xây dựng một tiến trình dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa nhằm giúp học sinh thấy được động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tiến trình này bao gồm các bước sau: Xuất phát từ bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học (hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy (định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn khác. 51 Việc xây dựng tiến trình dạy học này dựa trên giả thuyết nghiên cứu sau: “ Có thể làm nảy sinh khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như là công cụ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trước khi xem nó như một đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa và học sinh có thể tiếp cận bước đầu với quá trình mô hình hóa toán học.” Việc xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết này và kết quả thực nghiệm sẽ được trình bày trong chương 3 tiếp theo. 52 Chương 3: THỰC NGHIỆM (ĐỒ ÁN DẠY HỌC) Nghiên cứu chương 2 cho thấy rõ vấn đề dạy học bằng mô hình hóa và dạy học mô hình hóa chưa được quan tâm đầy đủ trong việc dạy học hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn. Trong chương 2 chúng tôi cũng đã nghiên cứu các ràng buộc thể chế đối với kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình, kết quả nghiên cứu cho thấy các bước của quá trình mô hình hóa không được thực hiện đầy đủ (chủ yếu học sinh chỉ thực hiện bước 2 và bước 3, tức là hoạt động trong mô hình toán học). Trong chương này, chúng tôi xây dựng một tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa với mong muốn giúp học sinh tiếp cận với các bước của quá trình mô hình hóa toán học và giúp học sinh thấy được động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Cụ thể chúng tôi xây dựng tiến trình dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như sau: Xuất phát từ bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học (hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy (định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn khác. 1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sau: “ Có thể làm nảy sinh khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như là công cụ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trước khi xem nó như một đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 53 bằng mô hình hóa và học sinh có thể tiếp cận bước đầu với quá trình mô hình hóa toán học.” Cụ thể, mục đích thực nghiệm của chúng tôi là: + Thiết lập một tình huống cho phép học sinh tiếp cận khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải hệ. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện như là kết quả của việc giải quyết một số bài toán thực tiễn đặt ra ban đầu. + Thông qua hoạt động giúp học sinh tăng cường khả năng vận dụng hệ phương trình như công cụ giải quyết bài toán thực tế và phát triển khả năng mô hình hóa toán học ở học sinh. 2. Nội dung thực nghiệm 2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm  Phiếu số 1: An: Tôi có hai số. Nếu thêm vào số thứ hai hai lần số thứ nhất thì ta được 115. An hỏi Bình hai số đó là hai số nào? Câu hỏi 1 Theo em, Bình có trả lời được câu hỏi của An hay không? Vì sao?  Phiếu số 2: An phát hiện trong câu đố bị thiếu dữ kiện nên An thêm vào dữ kiện sau: “Nếu bớt số thứ hai một giá trị bằng hai lần số thứ nhất ta được 15”. Vậy hai số đó là hai số nào? Câu hỏi 2 2.1. Theo nhóm em, Bình có thể trả lời được câu đố của An chưa? 2.2. Nhóm em hãy thảo luận và viết hướng dẫn gởi bạn Bình để Bình giải được câu đố của An bằng ít nhất ba cách. 54  Phiếu số 3: Cô Ba là người bán các loại cá ngoài chợ, cô mua cá của những người nuôi cá và đem ra chợ bán kiếm lời. Cô thu mua nhiều loại cá: cá rô, cá phi, cá điêu hồng, Ngày hôm qua cô mua 20kg cá điêu hồng, lúc đầu cô bán hết 16kg thì chợ bắt đầu thưa người, cô quyết định giảm giá bán và bán hết số cá điêu hồng còn lại thu được tiền lời từ bán cá điêu hồng trong ngày là 76000 đồng. Ngày hôm sau cô thu mua 15kg cá điêu hồng, tương tự ngày trước đó lúc đầu cô bán được 13kg thì chợ bắt đầu thưa người, cô quyết định giảm giá bán và bán hết số cá điêu hồng còn lại thu được tiền lời từ bán cá điêu hồng là 63000 đồng. Biết rằng giá bán cá điêu hồng và giá giảm giá trong hai ngày không đổi. Hỏi khi bán với giá giảm giá thì cô Ba lời hay lỗ, số tiền này là bao nhiêu? Câu hỏi 3 Em hãy giải bài toán trên.  Phiếu số 4: Hai nhà bạn An và Bình cách nhau 3600m. Mỗi buổi sáng hai bạn thường đi bộ ngược chiều nhau, ngày đầu tiên hai bạn xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại địa điểm cách nhà bạn An 2000m. Ngày thứ hai do bạn Bình xuất phát sớm hơn bạn An 6 phút nên hai bạn gặp nhau ngay giữa đoạn đường. Hỏi An và Bình đi bộ với vận tốc bao nhiêu? Câu hỏi 4 Trong các hệ phương trình cho dưới đây, em hãy chọn những hệ tương ứng với đề toán trên, giải thích và nêu rõ ý nghĩa các biến? Theo em, em chọn trường hợp nào? Vì sao? (1) 1 2 1 2 2000 1600 1800 1800360 v v v v  =   + =  (2) 2000 1600 0 1800 1800 360 x y x y  − =   − = −  55 (3) 1 2 1 2 2000 1600 1800 360 1800 t t t t =  + = (4) 2000 1600 0 1800 1800 360 x y x y − =  − = −  Phiếu số 5: Một gia đình muốn bơm nước và quyết định đi thuê. Có hai hình thức thuê một loại máy bơm. Loại thứ nhất giá thuê là 150 ngàn đồng một tháng, loại thứ hai giá thuê 15 ngàn đồng một giờ. Tuy nhiên, nếu thuê máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tốn thêm phí nhiên liệu là 5 ngàn đồng. Gọi y là số tiền mà gia đình này phải trả cho việc sử dụng máy bơm trong x giờ trong một tháng. Câu hỏi 5 5.1. Hãy viết và vẽ đồ thị của những hàm số biểu diễn chi phí phải trả cho việc sử dụng máy bơm theo hai hình thức trên cùng một hệ trục tọa độ. Suy ra giao điểm. Giao điểm này có ý nghĩa gì? 5.2. Nếu cần sử dụng máy bơm trong một tháng và mỗi ngày cần phải sử dụng trong ít nhất 1 giờ thì gia đình này nên chọn hình thức nào để chi phí phải trả thấp hơn. 2.2 Dàn dựng kịch bản  Pha 1: (Làm việc cá nhân – 10 phút). ♦ Giáo viên phát thông báo phiếu số 1. Học sinh làm việc cá nhân để nghiên cứu trả lời câu hỏi trong phiếu số 1. ♦ Giáo viên thu lại bài làm của học sinh và tổng kết các câu trả lời của học sinh. ♦ Giáo viên kết luận: An yêu cầu tìm hai số nhưng chỉ có một dữ kiện về mối liên hệ giữa chúng nên hai số đó chưa xác định.  Pha 2: (Làm việc nhóm – 20 phút) 56 ♦ Giáo viên ph